Mercatorova projekce

Mercatorova projekceMercatorova projekce

Aplikace matematiky pro učiteleZdeněk Halas

Regiomontanus: De Regiomontanus: De Triangulis Omnimodis Triangulis Omnimodis Libri QuinqueLibri QuinqueTy, který chceš studovat úžasné věci, který bys rád poznal pohyb hvězd, musíš číst tyto věty o trojúhelnících... Neboť nikdo nemůže pominout vědu o trojúhelnících a získat přitom uspokojivou znalost hvězd.

De TriangulisDe Triangulis kniha I – spíše geometrie Definice: veličina, poměr, rovnost, kružnice, oblouk,

tětiva sinus definován po indickém způsobu: jako polovina

délky tětivy V20: použití sinu k řešení trojúhelníka

kniha II – rovinná trigonometrie začíná sinovou větou – V1 řešení trojúhelníka ssu, suu, sus S = ab sin γ /2

zbylé 3 knihy: sférická geometrie a goniom. kvůli astronomii

dopsal 1464 publikováno až 1533

NavigaceNavigacepotřebná mapa, která by

zachovávala směrPedro Nonius (1502 – 1578)Loxodroma

Rozdíl loxodromy

a hlavní kružnice

NavigaceNavigaceúkol kartografie 16. století: najít

takové zobrazení, že se loxodroma zobrazuje na úsečku

Gerhard Kremer (1512 – 1594)polat. podoba: Gerardus Mercatornarodil se ve Flandrech1544 uvězněn, 1552 přesídlil do

Německakartografie – posun z umění na věduatlas

MercatorMercator

1568 si Mercator vytkl cíl: zobrazení odpovídající potřebám navigace:

mapa na pravoúhelné sítirovnoběžky – úsečky rovnoběžné

s rovníkem, rovné, stejně dlouhépoledníky – rovnoběžné úsečky

kolmé na rovníkkonformní – zachovává velikosti

úhlů

Všechny rovnoběžky stejně dlouhé

kolikrát je tedy „natažena“ daná rovnoběžka

Koeficient – sekans Natažení ve směru osy x tedy jasné

Natažení ve směru osy y – konformní

Netušíme

1569 vydal mapu světaNový a vylepšený popis zemí

světa, upravená pro navigátoryvelká, tištěna na 21 listech

1,37 × 2,1 metrudochovaly se pouhé tři výtiskyjeho mapa nebyla přijata hned,

zkreslení kontinentů

Mercatorova mapaMercatorova mapa

Edward Wright (1560 – 1615)1599 Certaine Errors in Navigation

máme obdélník na sféře:

máme obdélník na mapě:  oba obdélníky chceme podobné, aby

byl zachován směrtakže poměry délek příslušných stran

se sobě rovnají:

Tedy:

Integrace sekans 1614 John Napier – logaritmy 1620 Edmund Günter – tabulky logaritmů

tangent 1645 Henry Bond: Wrightova poledníková tabulka je totožná

s Günterovou!

Rekonstrukce důkazuRekonstrukce důkazu

v 50. letech 17. stol. se důkaz stal důležitým problémem

1668 James Gregory – složitě1670 pěkný důkaz Isaac Barrowv tomto důkazu asi poprvé rozklad

na parciální zlomky:

Mercatorovo zobrazeníMercatorovo zobrazení

Navigace a matematikaNavigace a matematikarozvíjející se mořeplavba – aplikace v navigaci- zejména sférická trigonometrie- pro navigaci jsou také potřeba přesné

hodiny: s pozorováním a astronom. výpočty to jsou spojené nádoby

zkoumá se tedy kyvadloChristian Huygens (1629 – 1695)

(viz isochronní kyvadlo)Robert Hooke (1635 – 1703)

díky logaritmům byly výpočty potřebné k navigaci lodě mnohem jednodušší – tím i spolehlivější