MECÂNICA - DINÂMICA Dinâmica de um Ponto Material: Impulso e Quantidade de Movimento Cap. 15.
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MECÂNICA - DINÂMICA
Dinâmica de um Ponto Material: Impulso e
Quantidade de MovimentoCap. 15
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2015 Curotto, C.L. - UFPR 2
Desenvolver o princípio do impulso e quantidade de movimento.
Estudar a conservação da quantidade de movimento para pontos materiais.
Analisar a mecânica de colisões.Introduzir o conceito de impulso angular e momento
angular.
Objetivos
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15.2 Princípio do Impulso e Quantidade de Mov. para um Sist. de Pontos Materiais
A equação de movimento para um sistema de pontosmateriais de massa pode ser escrita como:
(15.5)
onde são medidas num ref. inercial.As forças internas aparecem aos pares e
i
ii i
i
i md
mdt
vF
v
se anulam ao serem somadas, nãoaparecendo na eq. (15.5).
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15.2 Princípio do Impulso e Quantidade de Mov. para um Sist. de Pontos Materiais
1
1
1 2
Rearranjando a eq. (15.5) e integrando entreos limites , e , :
(15.6)
a quantidade de movimento do sistemano instante mais a somatória dos impulsosdas
2t
i i i i it
1 1 2 2
m dt m
t
forças et
er
t
xt
v
v v
v F
1 2
2
aplicados no intervalo a é igual a quantidade de movimento
do sistema no instante .t
n st
t
a
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15.2 Princípio do Impulso e Quantidade de Mov. para um Sist. de Pontos Materiais
O centro de massa G do sistema é determinado por
, onde é a massa total do
sistema. Então a derivada temporal nos fornece:
equação que estabelece que a quantidadede movimento tota
G i i i
G i i
m m m m
m m
r r
v v
l do sistema éequivalente à quantidade de movimentode um ponto material fictício de massaigual à massa total do sistema e de posiçãoigual ao do centro de massa do sistema.
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15.2 Princípio do Impulso e Quantidade de Mov. para um Sist. de Pontos Materiais
1
1 2
1
Substituindo a eq. anterior em (15.6):
(15.7)
a quantidade de movimento do
de massa no instante
mais a somatória dos impulsos das aplicados
2t
G it
i
G
ponto
fictício
forças externa
m
m
m
m
t
d
s
t
v F v
1 2
2
no intervalo a é igual a quantidade de
movimento do ponto no instante .t t
t
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15.3 Conservação da Quantidade de Movimento para um Sistema de Pontos Materiais
1 2
Quando a soma dos é nula, a eq. (15.6)se reduz à equação seguinte, que expressa a
:
(15.8)
a quantidade de movimento total de um
i i i i
impulsos externosconservação
da quantidade de movime
m
nto
m
v v
1 2
sistemade pontos materiais permanece constante durante ointervalo de tempo a .t t
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15.3 Conservação da Quantidade de Movimento para um Sistema de Pontos Materiais
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15.3 Conservação da Quantidade de Movimento para um Sistema de Pontos Materiais
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15.3 Conservação da Quantidade de Movimento para um Sistema de Pontos Materiais
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15.3 * - Forças impulsivas e não impulsivas
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15.3 * - Forças impulsivas e não impulsivas
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15.3 * - Forças impulsivas e não impulsivas
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15.2-15.3 – Procedimento para Análise
Geralmente, aplica-se o princípio do impulso e quantidade de movimentoou a conservação da quantidade de movimento a sistemas de pontosmateriais para se determinarem as velocidades finais dos pontosimediatamente após o intervalo de tempo considerado.
Ao se aplicar essas equações ao sistema inteiros, os impulsosinternos são eliminados da análise.
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15.2-15.3 – Procedimento para Análise
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15.2-15.3 – Procedimento para Análise
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0
Uma estaca rígida de 800 kg mostrada na figura estásendo cravada no solo usando-se o bate-estaca de300 kg. O bate-estaca, inicialmente em repouso,cai de uma altura 0.5 m e atinge a cabeçada est
PH
y aca. Determine o impulso que o
bate-estaca imprime à estaca, supondo queesta esteja imersa em areia fofa, de modo que, após o impacto, o bate-estaca não perdecontato com a estaca.
Exemplo 15.7
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Exemplo 15.7 - Solução
0 0 1 1
2 2
0 10 1
2
1
1
Conservação da Energia (referência na cabeça da estaca):
1 12 2
300 9.81
10 0.5 2943.0 3
2943.0 N
3
00 0
.132 m2
1 /s
H H H H H H
H H
H
H
T V T V
m v W y m
W
v
W
v W y
v
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Exemplo 15.7 - Solução
Diagrama de corpo livre (durante o tempo de duraçãoda colisão):Como o bate-estaca e a estaca estão se movendopara dentro da areia fofa, sem resistência considerávelda mesma, as forças do peso do bate-
s
estaca, dopeso da estaca e da resistência da areia ( ) são nãoimpulsivas. As forças impulsivas internas ( e - )se cancelam. Portanto a quantidade de movimentose conserva durante este breve período d
FR R
e tempo.
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Exemplo 15.7 - Solução
22 2
2 2
2 2
2
1 1
Conservação da Quantidade de Movimento:O bate-estaca não perde contato com a estacaimediatamente apó
0.
s a colisão, logo:
300 3.1321 0 300 8
85421 m s
00
/
H P
H H P P H P
v v v
m v m v m v m v
v v
v
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Exemplo 15.7 - Solução
1
21
Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento:Impulso do bate-estaca na estaca:
800 0 800 0.8542
683.37 N 683 N.
1
s.s
2t
P P y Pt
Rd
m v F dt m v
Rd
Rd
t
tt
800 kg
0.85421 m/s
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Exemplo 15.7 - Solução
1
21
Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento:Impulso da estaca no bate-estaca:
300 3.1321 300 0.8542
683.37 N
1
683 N.s .s
2t
H H y Ht
Rd
m v F dt m v
Rd
Rd
t
tt
300 kg
3.1321 m/s
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Exemplo 15.7 - Solução
Cálculo de R após o impulso:Bate-estaca e estaca se movem juntos com mesmavelocidade e aceleração. O peso da estaca ésuportado pela areia ( ) (pois a estacaestá imóvel a princípio).
800 9.81
s
P P
PF W
W W F
22943
784
3
8 N
2.6700 8 55 m/0 s0H P s
s
y
y
y y
yF
W W F ma
a a
ma
ya
ysF
PW
HW300 kg
800 kg
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Exemplo 15.7 - Solução
Cálculo de R após o impulso:
2943 300 2.6755
2140.3 N
y y
H yW R ma
F m
R
a
R
ya
y
R
HW300 kg
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