Transcript
ELEMENTS DE MECANIQUE ELEMENTS DE MECANIQUE DES SOLIDES DEFORMABLESDES SOLIDES DEFORMABLES
AM Habraken - JP Jaspart
2011 2012
Objectifs du coursObjectifs du cours
MathématiquesMathématiques Concret de Concret de l’ingénieurl’ingénieur
I-2
o Contraintes DéformationsContraintes Déformations
o Résistance des matériaux Résistance des matériaux calcul des structurescalcul des structures
o Donner des réflexes d’ingénieursDonner des réflexes d’ingénieursUne contrainte de 1000MPa :Une contrainte de 1000MPa :pour de l’acier, du bois, du béton ça pour de l’acier, du bois, du béton ça passe ou ça casse????passe ou ça casse????
Une contrainte ???Une contrainte ???
Tenseur du second ordre
Force / Section
N/mm² ou Mpa
1000MPa???1000MPa???
I-3
Une déformation ???Une déformation ???
Tenseur du second ordre
Variation de longueur/Longueur de référence
Pas de dimension
I-4
MathMath
Contenu du coursContenu du cours
Eléments de calcul des tenseurs (1-2)
I-5
o Calcul statique Equilibre (2-4) Propriétés mécaniques des matériaux Concept de Poutre Sécurité Etats Limites
Traction Compression Flexion Torsion Cisaillement Combinaisons
o Déformation élastique des poutres
Organisation
Délégués
me fournir nom et adresse mail à la pause
Assistants (B 52 1er étage couloir en face des ascenseurs MS²F ArGEnCo)
Gaëtan Gilles (Habraken)Clara Huvelle (Jaspart)
I-6
OrganisationNotes de Cours (Théorie)
Voir centrale des cours AEES Copies2 chapitres du cours de l’an passéEléments de mécanique des solides déformables
Serge Cescotto(pour sections Mécanique Physique Construction Architecture livre complet sera nécessaire cours Duchêne Mécanique du solide)Mécanique des matériaux Massonet Cescotto
I-7
OrganisationNotes de Cours (Exercices)
Voir centrale des cours AEES Copies2 chapitres du cours de l’an passéEléments de mécanique des solides déformablesExercices S Cescotto
(pour sections Mécanique Physique Construction Architecture livre complet sera nécessaire cours Duchêne Mécanique du solide)Mécanique des matériaux ExercicesS. Cescotto
I-8
Ca sert à quoi???Ca sert à quoi???
I-10
Ingénieur de construction:
Dimensionner les ouvrages d’art Choix des matériaux Choix des sections
Ca sert à quoi???Ca sert à quoi???
I-14
Ingénieur de mécanicien:
Dimensionner des pièces, des machines… Choix des matériaux Choix des sections
MétallurgieMétallurgie
I-19
Ingénieur métallurgiste:Comprendre les phénomènes à
l’échelle des atomes, des grains et les relier à l’échelle macroscopique
Liens entre Composition chimique,Traitement thermiquePropriétés mécaniques
T’es ingénieur !!!T’es ingénieur !!!
I-22
Alors, tu vas pouvoir me dire….
Si je perce une baie entre la cuisine et le salon, je dois rajouter une poutrelle ou non?
Tu crois qu’il faut quelle hauteur de linteau au dessus de ma porte?
Mon linteau il est pas carré, je le mets dans quel sens?
I-24
Eléments de calcul des tenseurs
Un système dextorsum coordonnées cartésiennes x, y, zvecteurs unitaires de baseorigine 0
Unitaire ex . ex = 1
Orthogonaux ex. ey = 0
o
y
z
x
Soit un autre système dextorsum noté ‘ même origine O orientation différente
I-25
Eléments de calcul des tenseurs
z
y
x
Z’
Y’
X’
O
I-26
Eléments de calcul des tenseurs Transformation des coordonnées du point P
Coordonnées x,y,z dans le 1er système d’axes Coordonnées x’,y’,z’ dans le 2eme système
d’axes
y
x
Z’Y’
X’
P.
O
),cos( ' xycxy
I-27
Eléments de calcul des tenseurs
Transformation de coordonnées
zzzz
yzzy
xzzx
zyyz
yyyy
xyyx
zxxz
yxxy
xxxx
eec
eec
eec
eec
eec
eec
eec
eec
eec
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'''
'''
'''
zcycxcz
zcycxcy
zcycxcx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
P= x ex + y ey + z ez
P= x’ e’x + y’ e’y + z’ e’z
P . ex=( x ex + y ey + z ez) . ex
P . ex= x ex. ex + y ey . ex + z ez. ex = x
P . ex = (x’ e’x + y’ e’y + z’ e’z). ex
= x’ e’x . ex + y’ e’y . ex + z’ e’z . ex
1
x = x’ cxx+ y’ cxy + z’ cxz
Notations: lettres grasses plutôt que soulignées pour vecteurs de base
xx’
),cos( ' xycxy
I-28
Eléments de calcul des tenseurs
Transformation de coordonnées
zzzz
yzzy
xzzx
zyyz
yyyy
xyyx
zxxz
yxxy
xxxx
eec
eec
eec
eec
eec
eec
eec
eec
eec
'
'
'
'
'
'
'
'
'
P= x ex + y ey + z ez
P= x’ e’x + y’ e’y + z’ e’z
P . e’x=( x’ e’x + y’ e’y + z’ e’z) . e’x
P . e'x= x’ e’x. e’x + y’ e’y . e’x + z’ e’z. e’x = x’
P . e’x = (x ex + y ey + z ez). e’x
= x ex . e’x + y ey . e’x + z ez . e’x
1
x’ = x cxx+ y cyx + z czx
zcycxcz
zcycxcy
zcycxcx
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
'
'
'
x’x
I-29
Eléments de calcul des tenseurs
Transformation de coordonnées
',','
,,
zyx
zyx
),cos( ' xycxy
zzzz
yzzy
xzzx
zyyz
yyyy
xyyx
zxxz
yxxy
xxxx
eec
eec
eec
eec
eec
eec
eec
eec
eec
'
'
'
'
'
'
'
'
'
zcycxcz
zcycxcy
zcycxcx
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
'
'
'
'''
'''
'''
zcycxcz
zcycxcy
zcycxcx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
1 O
I-30
Eléments de calcul des tenseurs
x= cxxx’+ cxy y'+ cxzz’On remplace x’ et y ‘ et z ‘
On regroupe les termes en x, en y en zx = x (cxx
2 + cxy2+ cxz
2) + y (cxxcyx+cxycyy+cxz cyz) + z(…)
'''
'''
'''
zcycxcz
zcycxcy
zcycxcx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
O
Cxx2 + Cxy
2+ Cxz2=1
Cxx Cyx + Cxy Cyy + CxzCyz=0Cxx Czx + Cxy Czy + Cxz Czz =0
zcycxcz
zcycxcy
zcycxcx
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
'
'
'
On refait le même coup en partant de y et de z
Rebelotte En partant de x’ y’ z’
I-31
0
0
0
1
1
1
222
222
222
zzyzzyyyzxyx
zzxzzyxyzxxx
yzxzyyxyyxxx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
cccccc
cccccc
cccccc
ccc
ccc
ccc
Propriétés des coëfficients c
0
0
0
1
1
1
222
222
222
zzzyyzyyxzxy
zzzxyzyxxzxx
zyzxyyyxxyxx
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
cccccc
cccccc
cccccc
ccc
ccc
ccc
Eléments de calcul des tenseurs
12 équations
I-32
'
'
jiji
jjii
xcx
xcx
Eléments de calcul des tenseurs
'''
'''
'''
zcycxcz
zcycxcy
zcycxcx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zcycxcz
zcycxcy
zcycxcx
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
'
'
'
Indice répété (muet)= sommation
2 équations pour en représenter 6
Notation d’Einstein ouNotation d’Einstein ouConvention de sommation d’Einstein Convention de sommation d’Einstein
I-33
jiij 'eec
Eléments de calcul des tenseurs
zzzz
yzzy
xzzx
zyyz
yyyy
xyyx
zxxz
yxxy
xxxx
eec
eec
eec
eec
eec
eec
eec
eec
eec
'
'
'
'
'
'
'
'
'
x 1y 2z 3
Indice i=1,2,3j=1,2,3 1 équation 1 équation
qui en représente qui en représente 9 !!!9 !!!
I-34
symbole de Kronecker symbole de Kronecker : représente 9 équations
Que vaut δii= ?
ji if0
ji if1ij
Eléments de calcul des tenseurs
δii=δ11+ δ22+ δ33
I-35
Transformation des coordonnées EXERCICEEXERCICE Notation d’Einstein ou
Convention de sommation d’Einstein :
Symbole de Kronecker
jiij 'eec
'
'
jiji
jjii
xcx
xcx
ikkjijcc
ji if0
ji if1ij
ikjkjicc
P
321
321
,x',x'x'
,x,xx
Eléments de calcul des tenseurs
Même démo que slide 24
3, 6 ou 9 eq. ?
I-36
ikkjijcc ikjkjicc
0
0
0
1
1
1
222
222
222
zzyzzyyyzxyx
zzxzzyxyzxxx
yzxzyyxyyxxx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
cccccc
cccccc
cccccc
ccc
ccc
ccc
0
0
0
1
1
1
222
222
222
zzzyyzyyxzxy
zzzxyzyxxzxx
zyzxyyyxxyxx
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
cccccc
cccccc
cccccc
ccc
ccc
ccc
Eléments de calcul des tenseurs
i=k= 1
i=k= 2
i=k= 3
i=1 k=2
i=1 k=3
i=2 k=3
i=3 k=2 ; i=3 k=1 ; i=2 k=1
I-37
Symboles dans la notation dEinstein Kronecker delta:
Symbole de permutation :
ji if0
ji if1ij
0...
1
1
1,2,3 de impairen permutatio uneest k j,i, if1
1,2,3 de
e)(circulair pairen permutatio uneest k j,i, si1
égaux indices 2 si0
113112111
321132213
231312123
eee
eee
eee
eijk
Eléments de calcul des tenseurs
I-38
Formules utiles et habituelles..
Matrice 3 x 3:
Déterminant:
Matrice adjointe
Identité:
333231
232221
131211
AAA
AAA
AAA
A
kjiijk AAAeA 321 det
qtpsjstipqij AAeeB
AAAB
21
detadj T
ksjtktjsistijkee
Eléments de calcul des tenseurs
I-39
Formules utiles et habituelles..
Déterminant:
Identités:
kjiijk AAAeA 321 det
ksjtktjsistijkee
Eléments de calcul des tenseurs
kpjnimmnpijk AAAeAe det
kpjnimmnpijk AAAeeA 6
1det
knijnijkee 2
6ijkijkee
I-40
ScalaireScalaire
Un scalaire s est un être mathématique à une seule composante (30) et invariant lors d’un changement de repère
exemples: masse, volume, température, énergie, ...
Eléments de calcul des tenseurs
I-41
VecteurVecteur un vecteur V est un être mathématique à 31
composantes qui, lors d’un changement de repère:
se transforme selon la formule
un vecteur V est un être mathématique qui, à toute direction de l’espace associe un salaire V au moyen d’une expression linéaire et homogène en les cosinus directeurs j de cette direction:
exemples: force, vitesse, accélération, flux de chaleur
jiji VcV '
jiji ece '
jjVVV
Eléments de calcul des tenseurs
Eléments de calcul des tenseurs
On peut montrer queOn peut montrer que (1)
I-42
jjii VcV '
Remplacons les j de (2) par k
Adaptons (1) puisque i devient k
Exploitons ou ? ikkjijcc ikjkjicc
jiji VcV 'Partons de (2)
Remplaçons le V’j par (1) mais en chemin 3 j!!! Donc KO
CQFD
kiki VcV '
jjkk VcV '
jijjjkiki VVccV
I-43
Equivalence des 2 définitionsEquivalence des 2 définitions Déf 1 Si alors
ou
Déf 2 unitaire et vecteur V:
Equivalence: soit dirigé selon
alors et
jiji VcV 'jiji ece '
jjVVV
Eléments de calcul des tenseurs
jjii VcV '
ie'
jij cjjii VcV '
I-44
Un tenseur du Un tenseur du 22èmeème ordre ordre Un tenseur du 2ème ordre est une entité mathématique à
32 composantes qui, lors d’un changement de repère
se transforment selon les formules:
Un tenseur du 2ème ordre est une entité mathématique qui à toute direction de l’espace, associe un vecteur T au moyen d’une expression linéaire et homogène en les cosinus directeurs j de cette direction:
avec
et donc
kljlikij T'ccT ijjlikkl TccT'
jiji ece '
jjTT
kjkj eTT
Eléments de calcul des tenseurs
kjkj eTT Vecteur projection du tenseur sur axe jComposante vectorielle du tenseur
Eléments de calcul des tenseurs
Equivalence des 2 définitions:
I-45
jjTT fkkjfiij TccT'
?
kjkj eTT (1)
(2)
Soit =ei’ sachant que =ei’ =cji ej=j ej
(2)
(1)
fj
jjii TcTT '
jfkkjfijkjfkfijij eTccecTceT '''' kfkfijij eTceT ''
kjkjijij eTceT ''
ijjlikkl TccT'
I-46
n-order tensor Un tenseur T d’ordre n est un être mathématique de
3n components qui se transforme par
pour un changement de repère:
Un tenseur T d’ordre n est un être mathématique qui à toute direction de l’espace associe un tenseur Td’ordre (n-1) au moyen d’une expression linéaire et homogène en les cosinus directeurs j de cette direction.
...... ... pqrkrjqipijk T'cccT ...... ... ijkkrjqippqr TcccT'
jiji ece '
Eléments de calcul des tenseurs
I-47
Propriétés des tenseurs: égalité:
addition:
multiplication par un scalaire:
...... ijkijk BABA
......... ijkijkijk BACBAC
...... ijkijk sBABsA
Eléments de calcul des tenseurs
Attention tenseur du même ordre
I-48
Propriétés des tenseurs: multiplication des tenseurs:
contraction:rendre identique 2 indices d’un tenseur A d’ordre n produit un tenseur B d’ordre (n-2) –appelé contraction du tenseur initial par rapport à ces 2 indices
kijijk BACBAC
lililiijjlil AAAAB 332211
Eléments de calcul des tenseurs
Eléments de calcul des tenseurs
Intérêt de la contraction:
Lien entre tenseur contrainte tenseur déformation
9 équations
Possibilité de trouver l’équation relative à la contrainte moyenne
I-49
klijklij C
kliiklmoyii C 3/ 1 équation
I-50
Propriétés des tenseurs: Équations tensorielles vraies dans tous les repères :
Si dans le système de coordonnées (x1, x2, x3)
Les composantes de T sont 0 dans tout repère
Dans le système de coordonnées (x’1, x’2, x’3)
00 ...
.........
......
ijk
ijkijkijk
ijkijk
TT
BATBAT
BABA
...... ...' ijkkrjqippqr TcccT
......
.........
''
0'''
ijkijk
ijkijkijk
BA
BAT
Eléments de calcul des tenseurs
I-51
Comment identifier un tenseur? :1. Utiliser une des deux définitions.2. Quand une quantité est obtenue par addition,
multiplication ou contraction de tenseurs, cette quantité est un tenseur.
3. Règle du quotient : Aij est un tenseur d’ordre 2
Si AijBij = s est un scalaire pour tout tenseur B
Si AijUj = Vi est un vecteur pour tout vecteur U
Si AijBjk = Cik est un tenseur du 2ème ordre pour tout tenseur B
Si Aijk...UiVjWk... = s est un scalaire pour tout vecteur
U, V, W,... alors Aijk... est un tenseur.
Eléments de calcul des tenseurs
I-52
Champ tensoriel (grandeur physique, représentée par un tenseur,
définie en tout point de l’espace)
Température de chaque molécule d’un gaz dans une enceinte
Vitesse de toutes les particules d’eau d’un fleuve
Les fameuses contraintes et déformations dans un bâti de machine
xTTxxxTT ijkijk 321...... ,,
Eléments de calcul des tenseurs
I-53
Si le champ tensoriel est assez continu
Dérivée partielles
Développement en série de Taylor
...... ppx
......
2
pqqp xx
...xT xxxx
xT xxxTxT
ijk...pqqqpp
ijk...pppijk...ijk...
000
000
2
1
Eléments de calcul des tenseurs
I-54
Champs de tenseurs (voir vos cours de mécanique, de physique)
Opérateur dérivée
Opérateur double dérivée
Opérateur Laplacian
(nabla) i
ij
2
3
2
2
2
2
2
1
22
xxxii
Elément de calcul des tenseurs
I-55
Etude des vecteurs
Addition
Produit scalaire
Module
Divergence
iii BACBAC
3322 BABABABAsBAs iiii
23
22
21 VVVVVVVVV ii
3
3
2
2
1
1divdivxV
xV
xV
VVVV ii
I-57
Produit vectoriel
Rotationnel
kjijki VeC
VVVxxx
eee
VV rotC
321
321
321
kjijki BAeC
BBB
AAA
eee
BAC
321
321
321
θABC sin
Etude des vecteurs
Aire du parallélogramme
I-58
Rotationnel
kjijki VeC
VVVxxx
eee
VV rotC
321
321
321
Etude des vecteurs
Z
Y
X
VY
X
V
X
V
C
C
C
V
00
0
2
2
0
0
0
Vrotx
y
V
0
0
0
Vrot
I-59
Gradient d’un champ scalaire
Laplacian d’un champ scalaire
3
3
2
2
1
1
grad
exΦ
exΦ
exΦ
Φ
ΦGΦΦG ii
23
2
22
2
21
22
22
xΦ
xΦ
xΦ
Φ
ΦΦΦΦ ii
Etude des vecteurs
I-60
Quelques formules utiles (exercice)
ΨΦΦΨΦΨ
ΨΦΦΨΦΨ
ΨΦΦΨΦΨ
iii
grad grad grad
ΦVVΦΦV
ΦVVΦVΦ
ΦVVΦVΦ
iiiiii
grad div div
xΦ
Φe
Φ
Φ
kjijk
0
0
0 grad rot
xV
Ve
V
V
kjijki
0
0
0 rotdiv
Etudes des vecteurs
I-61
Etude des tenseurs du second ordre
Analogie matricielle (attention une matrice peut être rectangle pas un tenseur)
333231
232221
131211
TTT
TTT
TTT
TTij
100
010
001
if0
if1I
ji
jiij
I-62
Transposée d’un tenseur du 2nd ordre
332313
322212
312111
333231
232221
131211
AAA
AAA
AAA
A
AAA
AAA
AAA
A
ABAB
T
jiij
T
321
3
2
1
VVVV
V
V
V
V T
Etude des tenseurs du second ordre
I-63
Tenseur symétrique
Tenseur antisymétrique
Trace and valeur moyenne d’un tenseur
jiij
T AAAA
0332211
AAA
AAAA ijji
T
miimoy
ii
AAAAAAA
AAAAA
332211
332211
3
1
3
1tr
3
1
tr
Etude des tenseurs du second ordre
Attention pas confondre avec un vecteur…
I-64
Partie déviatorique d’un tenseur
m
m
m
ijmijijm
AAAA
AAAA
AAAA
A
AAA
AAA
AAA
A
AAAIAAA
333231
232221
131211
333231
232221
131211
ˆ
ˆˆ
Etude des tenseurs du second ordre
I-65
Produit matriciel
si U et V =vecteurs et A = un tenseur du 2nd ordre
W = A U est un vecteur de composantes Wi = Aij Uj
s = UT V est un scalaire s = Ui Vi = U.V
C = U VT est un tenseur du 2nd ordre de composantesCij = Ui Vj
Ce produit est équivalent au produit vectoriel
kjikij BACBAC
VUC
Etude des tenseurs du second ordre
I-66
Transformation of coordinates
Icccc
ece
ece
ccc
ccc
ccc
c
TT
jjii
jiji
'
' with
333231
232221
131211
VcVVcV
VcVVcVT
iijj
jiji
''
''
cTcTTccT
cTcTTccTT
ijjlikkl
T
kljlikij
''
''
Etude des tenseurs du second ordre
I-67
Décomposition spectrale d’un tenseur d’ordre 2
est une direction principale ou vecteur propre λ est une valeur propre
ijijAA
00
0 0
333231
232221
131211
AAA
AAA
AAA
détIAdét
AIA jijij
Etude des tenseurs du second ordre
Pour éviter la solution triviale
Ecrire cette équation, regrouper les termes λ, λ² et λ³
I-68
On obtient : l’équation caractéristique du tenseur A
3 racines réelles 1, 2, 3 si A symétrique (Algèbre)
3 vecteurs propres (1), (2), (3)
023 AAA IIIIII
kjiijkA
jiijjjiiA
A
AAAeAIII
AAAAAA
AA
AA
AA
AA
AAII
AAAAI
321
2221
1211
3331
1311
3332
2322
332211
det
21
tr
Etude des tenseurs du second ordre
I-69
3 vecteurs propres (1), (2), (3)
(Cas d’un tenseur A symétrique)
Etude des tenseurs du second ordre
0 )1(1 IA
Vecteurs propres connus à un coefficient près choix vecteurs propres normés
Vecteurs propres orthogonaux si 3 valeurs propres différentes sinon indétermination mais choix possible…
Choisis orthogonaux et normés.
I-70
Représentation géométrique du tenseur symétrique A
Croix des valeurs principales
Etude des tenseurs du second ordre
I-71
Si 1 = 2= 3 c’est que A = 1 I
Ce tenseur n’est pas affecté par un changement de repère, c’est un tenseur isotrope
On peut toujours trouver
3 vecteurs propres orthogonaux et unitaires
pour tout tenseur symétrique, réel d’ordre 2.
Etude des tenseurs du second ordre
I-72
Si (1), (2), (3) = les vecteurs propres de A Ils constituent un nouveau repère
valeurs propres = invariants avec le repère coef de l’équation caractéristiques sont des invariants
3
2
1
)3(3
)2(3
)1(3
)3(2
)2(2
)1(2
)3(1
)2(1
)1(1
')(
00
00
00
'
dAdAd
cAcAecee
Td
jlijikkliijjji
ji
321
313221
321
A
A
A
III
II
I
Etude des tenseurs du second ordre
Facile à calculer à partir de la forme diagonale
cTcTTccT Tijjlikkl ''
I-74
Calcul des fonctions d’un tenseur symétrique A
333
222
111
333
222
111
333
222
111
22
33
lnlnlnln
sinsinsinsin
...2
1ln...1
2
11ln
...6
1sin...
6
1sin
A
A
A
IAIAAaaa
AAAaaa
Etude des tenseurs du second ordre
Vu l’orthogonalité des vecteurs propres:
I-75
Les valeurs propres du déviateur d’un tenseur
Soit le tenseur symétrique A
Valeurs propres : 1, 2, 3
Vecteurs propres : (1), (2), (3)
Valeurs propres du déviateur
Vecteurs propres du déviateur : (1), (2), (3)
mmm
jijmijijmijij
jijij
AAA
AAAAA
A
332211ˆ ; ˆ ; ˆ
0 ˆ ˆ0
Etude des tenseurs du second ordre
I-76
Intégration par parties (intégrale de volume)
v ijkqlmna lmnijkqv lmnqijk dvFGdaGFndvGF ..................
a lmnqv lmnq daGndvG ......
Cours d’analyseLa formule sur les fonctions F et G est transférée sur les champs tensoriels F et G
n normale unitaire à la surface a
Si F scalaire = 1Théorème de Gauss
I-77
av
a kjijkv kjijk
av
a iiv ii
av
a iv i
daUndvU
daUnedvUe
daUndvU
daUndvU
daΦndvΦ
daΦndvΦ
rot
div
grad
Intégration par parties a lmnqv lmnq daGndvG ......
Si G est un scalaire Ф
Si G est un vecteur U
Si F est le symbole de permutation et G un vecteur U
v ijkqlmna lmnijkqv lmnqijk dvFGdaGFndvGF ..................
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