McGraw-Hill/Irwin Corporate Finance, 7/e © 2005 The McGraw-Hill Companies, Inc. All Rights Reserved. 0 Das Capital Asset Pricing Model (CAPM)

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Das Capital Asset Pricing Model

(CAPM)

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Kapitelüberblick1 Einzelne Wertpapiere2 Erwartete Rendite, Varianz und Kovarianz3 Rendite und Risiko von Portfolios4 Die effiziente Menge für zwei Wertpapiere5 Die effiziente Menge für viele Wertpapiere6 Diversifikation: Ein Beispiel7 Risikolose Kapitalaufnahme und -anlage8 Marktgleichgewicht9 Beziehung zwischen Risiko und erwarteter Rendite

(CAPM)10 Zusammenfassung und Schlussfolgerungen

1 Einzelne Wertpapiere2 Erwartete Rendite, Varianz und Kovarianz3 Rendite und Risiko von Portfolios4 Die effiziente Menge für zwei Wertpapiere5 Die effiziente Menge für viele Wertpapiere6 Diversifikation: Ein Beispiel7 Risikolose Kapitalaufnahme und -anlage8 Marktgleichgewicht9 Beziehung zwischen Risiko und erwarteter Rendite

(CAPM)10 Zusammenfassung und Schlussfolgerungen

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1 Einzelne Wertpapiere

Die relevanten Characteristica einzelner Wertpapiere sind die:

Erwartete Rendite

Varianz und Standardabweichung

Kovarianz und Korrelation

Die relevanten Characteristica einzelner Wertpapiere sind die:

Erwartete Rendite

Varianz und Standardabweichung

Kovarianz und Korrelation

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2 Erwartete Rendite, Varianzund Kovarianz

Betrachten Sie die folgende Welt mit zwei riskanten Wertpapieren: Aktienfonds und Rentenfonds bei drei Zuständen der Welt mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

Rate of ReturnScenario Wahrscheinlichkeit Aktienfonds Rentenfonds

Rezession 33,3% -7% 17%Normal 33,3% 12% 7%

Boom 33,3% 28% -3%

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Aktienfonds Rentenfonds

Quadrierte Quadrierte

Scenario Rendite Abweichung Rendite Abweichung

Rezession -7% 3,24% 17% 1,00%Normal 12% 0,01% 7% 0,00%Boom 28% 2,89% -3% 1,00%Erwartete Rendite 11,00% 7,00%Varianz 0,0205 0,0067Standardabweichung 14,3% 8,2%

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%)28(31%)12(3

1%)7(31)(

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Scenario Return Abweichung Return Abweichung

%)3(31%)7(3

1%)17(31)(

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%24.3%)7%11( 2

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%01.%)12%11( 2

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Scenario Return Abweichung Return Abweichung

%89.2%)28%11( 2

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%)89.2%01.0%24.3(3

1%05.2

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Aktienfonds Rentdenfonds

0205.0%3.14

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3 Rendite und Risikovon Portfolios

Man bemerke, dass Aktien eine höhere erwartete Rendite als Renten, aber auch höheres Risiko haben. Wenden wir uns nun der Risiko-Rendite-Beziehung eines Portfolios zu, das zu 50% in Renten und zu 50% in Aktien investiert ist.

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3 Rendite und Risiko von Portfolios

RenditeScenario Aktienfonds Rentenfonds Portfolio quadrierte Abweichung

Rezession -7% 17% 5,0% 0,160%Normal 12% 7% 9,5% 0,003%Boom 28% -3% 12,5% 0,123%

Erwartete Rendite 11,00% 7,00% 9,0%Varianz 0,0205 0,0067 0,0010Standardabweichung 14,31% 8,16% 3,08%

Die Rendite des Portfolios ist der gewichtete Durchschnitt der Renditen auf Aktien und Renten im Portfolio:

SSBBP rwrwr

%)17(%50%)7(%50%5

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%)7(%50%)12(%50%5.9

SSBBP rwrwr

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%)3(%50%)28(%50%5.12

SSBBP rwrwr

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RenditeScenario Aktienfonds Rentenfonds Portfolioquadrierte Abweichung

Die erwartete Rendite des Portfolios ist der gewichtete Durchschnitt der erwarteten Renditen auf Aktien und Renten im Portfolio:

%)7(%50%)11(%50%9

)()()( SSBBP rEwrEwrE

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Die Varianz der Rendite des 2-Wertpapier-Portfolios ist

BSSSBB2

BB2P )ρσ)(wσ2(w)σ(w)σ(wσ

wobei BS der Korrelationskoeffizient zwischen den Renditen der einzelnen Wertpapiere ist.

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RenditeScenario Aktienfonds Rentenfonds Abweichung A Abweichung B

Rezession -7% 17% -18,0% 10,000%Normal 12% 7% 1,0% 0,000%Boom 28% -3% 17,0% -10,000%

Erwartete Rendite 11,00% 7,00%Abw.A x Abw.B -0,0180 0,0000 -0,0170Standardabweichung 14,31% 8,16%Kovarianz: -0,0117 Korrelation: -0,9988

0.5 0.1431( )2 2 0.9988( ) 0.5 0.1431( ) 0.5 0.0816( ) 0.5 0.0816( )2 0.00095

0.5 0.1431( )2 2 0.9988( ) 0.5 0.1431( ) 0.5 0.0816( ) 0.5 0.0816( )2 0.03086

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Beachten Sie die Senkung des Risikos durch Diversifikation.

Ein gleichgewichtetes Portfolio (50% in Aktien und 50% in Renten) ist weniger riskant als nur Aktien oder nur Renten.

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Portfolio Risiko und Rendite Kombinationen

0,0% 5,0% 10,0% 15,0% 20,0%

Portfolio-Risiko (Standardabweichung)Po

rtfoli

% in Aktien Risiko Rendite0% 8,2% 7,0%5% 7,0% 7,2%10% 5,9% 7,4%15% 4,8% 7,6%20% 3,7% 7,8%25% 2,6% 8,0%30% 1,4% 8,2%35% 0,4% 8,4%40% 0,9% 8,6%45% 2,0% 8,8%

50,00% 3,08% 9,00%55% 4,2% 9,2%60% 5,3% 9,4%65% 6,4% 9,6%70% 7,6% 9,8%75% 8,7% 10,0%80% 9,8% 10,2%85% 10,9% 10,4%90% 12,1% 10,6%95% 13,2% 10,8%

100% 14,3% 11,0%

4 Die effiziente Menge bei zwei Wertpapieren

Man kann Aktien und Renten natürlich in anderen Verhält-nissen als 50-50 kombinieren ...

100% Renten

100% Aktien

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Portfolio Risiko und Renditekombinationen

0,0% 5,0% 10,0% 15,0% 20,0%

Portfoliorisiko (Standardabweichung)

Hier andere Kombinationen als 50% Aktien und 50% Anleihen …

100% Bonds

100% Aktien

% in stocks Risk Return0% 8.2% 7.0%5% 7.0% 7.2%10% 5.9% 7.4%15% 4.8% 7.6%20% 3.7% 7.8%25% 2.6% 8.0%30% 1.4% 8.2%35% 0.4% 8.4%40% 0.9% 8.6%45% 2.0% 8.8%50% 3.1% 9.0%55% 4.2% 9.2%60% 5.3% 9.4%65% 6.4% 9.6%70% 7.6% 9.8%75% 8.7% 10.0%80% 9.8% 10.2%85% 10.9% 10.4%90% 12.1% 10.6%95% 13.2% 10.8%

100% 14.3% 11.0%

% in stocks Risk Return0% 8.2% 7.0%5% 7.0% 7.2%

10% 5.9% 7.4%15% 4.8% 7.6%20% 3.7% 7.8%25% 2.6% 8.0%30% 1.4% 8.2%35% 0.4% 8.4%40% 0.9% 8.6%45% 2.0% 8.8%50% 3.1% 9.0%55% 4.2% 9.2%60% 5.3% 9.4%65% 6.4% 9.6%70% 7.6% 9.8%75% 8.7% 10.0%80% 9.8% 10.2%85% 10.9% 10.4%90% 12.1% 10.6%95% 13.2% 10.8%

100% 14.3% 11.0%

% in stocks Risk Return0% 8.2% 7.0%5% 7.0% 7.2%10% 5.9% 7.4%15% 4.8% 7.6%20% 3.7% 7.8%25% 2.6% 8.0%30% 1.4% 8.2%35% 0.4% 8.4%40% 0.9% 8.6%45% 2.0% 8.8%50% 3.1% 9.0%55% 4.2% 9.2%60% 5.3% 9.4%65% 6.4% 9.6%70% 7.6% 9.8%75% 8.7% 10.0%80% 9.8% 10.2%85% 10.9% 10.4%90% 12.1% 10.6%95% 13.2% 10.8%100% 14.3% 11.0%

100% 14.3% 11.0%

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Portfolîo Risk and Return Combinations

0,0% 2,0% 4,0% 6,0% 8,0% 10,0% 12,0% 14,0% 16,0%

Portfolio Risk (standard deviation)

olio R

100% 14.3% 11.0%

100% stocks

100% bonds

Einige Portfolios sind “besser” als andere: Sie haben höhere Renditen bei demselben oder niedrigerem Risikoniveau.

Diese bilden den effizienten Rand.

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Zwei-Wertpapier-Portfolios bei verschiedenen Korrelationen

100% Renten

100% Aktien

= -1.0

Beziehung hängt von der Korrelation ab

-1.0 < < +1.0

Bei= +1.0 ist keine Risikoreduktion möglich

Bei= –1.0 ist vollständige Risikoreduktion möglich

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Portfoliorisiko als Funktion der Anzahl der Aktienim Portfolio

Nichtdiversifizierbares Risiko; Systematisches Risiko; Markt Risiko

Diversifizierbares Risiko; Unsystematisches Risiko; Firmenspezifisches Risiko; Einzigartiges Risiko

In einem großen Portfolio werden die Varianzterme wegdiversifiziert, aber die Kovarianzterme nicht.

Folglich kann Diversifikation etwas davon, aber nicht das ganze Risiko individueller Wertpapiere eliminieren.

Portfoliorisiko

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5 Die effiziente Menge bei vielen Wertpapieren

In einer Welt mit vielen riskanten Wertpapieren können wir genauso die Opportunitätsmenge der Risiko-Rendite-Kombinationen verschiedener Portfolios identifizieren.

Individuelle Wertpapiere

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Bei gegebener Opportunitätsmenge können wir das Varianz-minimale Portfolio identifizieren.

Varianz-minimales Portfolio

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Der Abschnitt der Opportunitätsmenge oberhalb des Varianz-minimalen Portfolios ist der effiziente Rand.

Varianz-minimales portfolio

effizienter Rand

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6 Optimales Riskantes Portfolio mit einer risikofreien Anlage

Neben Aktien und Renten beziehen wir nun eine risikofreie Anlage wie Schatzwechsel ein.

100% Renten

100% Aktien

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Jetzt können Investoren ihre Investition auf Schatzwechsel und einen ausgewogenen Fonds verteilen

7 Risikolose Aufnahme und Anlage

100% Renten

100% Aktien

Ausgewoge-ner Fonds

Reserved.

7 Risikolose Aufnahme und Anlage

Ist eine risikofreie Anlage verfügbar und der effiziente Rand bekannt, kann man die Kapitalallokationslinie mit dem steilsten Anstieg wählen.

effizienter Rand

Reserved.

8 Marktgleichgewicht

Ist die Kapitalmarktlinie identifiziert, wählen alle Investoren einen Punkt auf dieser Linee—irgendeine Kombination der risikofreien Anlage und des Marktportfolios M. In einer Welt mit homogenen Erwartungen ist M identisch für alle Investoren.

effizienter Rand

Reserved.

Die Separationseigenschaft

Die Separationseigenschaft besteht darin, dass das Marktportfolio M dasselbe für alle investoren ist—sie können ihre Risikoaversion von ihrer Wahl des Marktportfolios trennen, separieren.

effizienter Rand

Reserved.

Die Risikoaversion eines Investors spiegelt sich in der Wahl des Punktes auf der Kapitalmarktlinie,—nicht in der Wahl der Linie.

effizienter Rand

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Marktgleichgewicht

Wo auf der Wertpapierlinie der Investor sich zu positionieren entscheidet, hängt von seiner Risikotoleranz ab. Bedeutsam ist, dass alle Investoren dieselbe Wertpapierlinie haben.

100% Anleihen

100% Aktien

Separations-fonds

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Marktgleichgewicht

Alle Investoren haben dieselbe CML, weil sie alle dasselbe optimale riskante Portfolio realisieren.

100% Anleihen

100% Aktien

Optimales riskantes Portfolio

Reserved.

Die Separationseigenschaft besagt, dass die Portfoliowahl in zwei Schritten entschiedne werden kann: (1) Bestimme das optimale riskante Portfolio und (2) wähle einen Punkt auf der CML.

100% Anleihen

100% Aktien

Optimales riskantes Portfolio

Reserved.

Optimales riskantes Portfolio bei einer risikofreien Anlage

Übrigens, das optimale riskante Portfolio hängt sowohl vom risikofreien Zins als auch von den riskanten Wertpapieren ab.

100% Anleihen

100% Aktien

Erstes Optimales riskantes Portfolio

Zweites Optimales riskantes Portfolio

CML 0 CML 1

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Risikodefinition, wenn Investoren dasMarktportfolio halten

Es lässt sich theoretisch zeigen, dass das geeignete Risikomaß für ein Wertpapier in einem großen Portfolio das sogenannte Beta () des Wertpapiers ist.

Das Beta misst die Reaktion eines Wertpapiers auf Veränderungen im Marktportfolio.

Es lässt sich theoretisch zeigen, dass das geeignete Risikomaß für ein Wertpapier in einem großen Portfolio das sogenannte Beta () des Wertpapiers ist.

Das Beta misst die Reaktion eines Wertpapiers auf Veränderungen im Marktportfolio.

vari M

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Schätzung von mit der Regression

Rendite des Rendite des Marktportfolios %Marktportfolios %

RRii = = ii + + iiRRmm + + eeii

Steigung = Steigung = iiRegres

sionsgera

Regressio

nsgerade

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Schätzung von für ausgewählte Aktien

Aktie Beta

Bank of America 1.55

Borland International 2.35

Travelers, Inc. 1.65

Du Pont 1.00

Kimberly-Clark Corp. 0.90

Microsoft 1.05

Green Mountain Power

Homestake Mining 0.20

Oracle, Inc. 0.49

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Schätzung von für ausgewählte AktienReporting Instrument ISINVolatility 250 Correlation 250 Beta 250ADIDAS-SALOMON AG O.N. DE000500340421,79% 0,4913 0,7455ALLIANZ AG VNA O.N. DE000840400520,64% 0,8288 1,1915ALTANA AG O.N. DE000760080124,07% 0,2096 0,3515BASF AG O.N. DE000515100518,75% 0,7827 1,0218BAY.MOTOREN WERKE AG STDE000519000319,68% 0,6218 0,8522BAYER AG O.N. DE000575200021,79% 0,6665 1,0112COMMERZBANK AG O.N. DE000803200427,11% 0,6556 1,2378CONTINENTAL AG O.N. DE000543900422,41% 0,6946 1,0839DAIMLERCHRYSLER AG NA O.NDE000710000024,86% 0,7344 1,2718DEUTSCHE BANK AG NA O.N. DE000514000819,25% 0,8597 1,1526DEUTSCHE BOERSE NA O.N. DE000581005526,60% 0,5221 0,9673DEUTSCHE POST AG NA O.N. DE000555200421,15% 0,5122 0,7543DT.TELEKOM AG NA DE000555750814,71% 0,5836 0,5977E.ON AG O.N. DE000761440619,11% 0,7511 0,9997FRESEN.MED.CARE KGAA ST DE000578580218,48% 0,4476 0,5761HENKEL KGAA VZO O.N. DE000604843219,28% 0,5429 0,7290HYPO REAL ESTATE HLDG STDE000802770725,21% 0,4810 0,8446INFINEON TECH.AG NA O.N. DE000623100427,00% 0,5810 1,0927LINDE AG O.N. DE000648300123,16% 0,5631 0,9082LUFTHANSA AG VNA O.N. DE000823212520,13% 0,5939 0,8325MAN AG ST O.N. DE000593700727,70% 0,6600 1,2730METRO AG ST O.N. DE000725750317,67% 0,5742 0,7067MUENCH.RUECKVERS.VNA O.N.DE000843002618,95% 0,7669 1,0120RWE AG ST O.N. DE000703712920,08% 0,6919 0,9675

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Die Formel für Beta

Natürlich hängt die Beta-Schätzung vom gewählten Surrogat für ein Marktportfolio ab.

vari M

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9 Beziehung zwischen Risikound erwarteter Rendite (CAPM)

Erwartete Rendite des Marktes:Erwartete Rendite des Marktes:

Erwartete Rendite eines einzelnen WP:

Risiko-Prämie für den MarktM FR R

)(β FMiFi RRRR

Markt-Risiko-Prämie

Anwendbar auf einzelne WP im Kontext eines wohl-diversifizierten Portfolios.

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Erwartete Rendite eines einzelnen WP

Diese Formel konstituiert das Capital Asset Pricing Model (CAPM)Diese Formel konstituiert das Capital Asset Pricing Model (CAPM)

• Bei i = 0 ist die erwartete Rendite gleich RF.• Bei i = 1 ist die erwartete Rendite gleich RM.

erwartete Rendite = risikofreie Rendite +

Beta Risikoprämie des Marktes

i i Mf fR R R R

Reserved.

Beziehung zwischen Risiko & erwarteter Rendite

)(β FMiFi RRRR

Reserved.

Beziehung zwischen Risiko & erwarteter Rendite

5.1β i %10MR%5.13%)3%10(5.1%3 iR

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10 Zusammenfassung und Schlussfolgerungen

Dieses Kapitel hat die Grundlagen der modernen Portfoliotheorie verdeutlicht.Erwartete Rendite und Varianz eines Portfolios von zwei Wertpapieren A und B sind wie folgt gegeben:

Variiert man wA, kann man die effiziente Menge der Portfolios darstellen. Das haben wir im Zwei-Wertpapier-Fall graphisch getan, wobei sich in der Kurvengestalt der Diversifikationseffekt spiegelte: Je niedriger die Korrelation zwischen den beiden WP, desto größer die Diversifikation.Das kann auf den Fall vieler Wertpapiere entsprechend übertragen werden.

Dieses Kapitel hat die Grundlagen der modernen Portfoliotheorie verdeutlicht.Erwartete Rendite und Varianz eines Portfolios von zwei Wertpapieren A und B sind wie folgt gegeben:

Variiert man wA, kann man die effiziente Menge der Portfolios darstellen. Das haben wir im Zwei-Wertpapier-Fall graphisch getan, wobei sich in der Kurvengestalt der Diversifikationseffekt spiegelte: Je niedriger die Korrelation zwischen den beiden WP, desto größer die Diversifikation.Das kann auf den Fall vieler Wertpapiere entsprechend übertragen werden.

ABAABB2

AA2P )ρσ)(wσ2(w)σ(w)σ(wσ

)()()( BBAAP rEwrEwrE

Reserved.

Die effiziente Menge riskanter WP kann kombiniert werden mit risikofreier Anlage und Aufnahme. Dann wird ein rationaler Investor immer das Portfolio riskanter WP halten, das durch das Marktportfolio gegeben ist.

effizienter Rand

Dann wählt der Investor einen Punkt auf der CML.

Reserved.

Der Beitrag eines WP zum Risiko eines wohldiversifizierten Portfolios ist proportional zur Kovarianz der Wertpapierrendite mit der Marktrendite. Dieser Beitrag heißt das Beta.

Das CAPM besagt, dass die erwartete Rendite eines WP in positiv linearer Beziehung zum Beta des WP steht:

Der Beitrag eines WP zum Risiko eines wohldiversifizierten Portfolios ist proportional zur Kovarianz der Wertpapierrendite mit der Marktrendite. Dieser Beitrag heißt das Beta.

Das CAPM besagt, dass die erwartete Rendite eines WP in positiv linearer Beziehung zum Beta des WP steht:

vari M

i f i M fR R R R

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rendite und risiko

varianz und kovarianz

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