Mécanique du point - 2ème édition...ISBN 978-2-10-050586-9 ALAIN GIBAUD est professeur à l’université du Maine. MICHEL HENRY est maître de conférences à l’IUFM des Pays
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SCIENCES SUP
Cours et exercices corrigeacutes
SCIENCES SUP
2e eacutedition
COURS DE PHYSIQUEMEacuteCANIQUE
DU POINT 2e eacutedition
Alain Gibaud Michel Henry
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Licence 1re et 2e anneacutees
Alain Gibaud bull Michel Henry
COURS DE PHYSIQUEMEacuteCANIQUE DU POINT
Cet ouvrage aborde lensemble de la meacutecanique du point etintroduit les concepts deacutenergie et de puissance Dans cette secondeeacutedition entiegraverement actualiseacutee une nouvelle rubrique drsquoExercicesdrsquoapplication avec solution deacutetailleacutee complegravete les applications etles nombreux exercices corrigeacutesLes deux premiers chapitres sont deacutedieacutes agrave la cineacutematique du pointainsi qursquoaux changements de reacutefeacuterentiels Ensuite les loisfondamentales de la meacutecanique sont preacutesenteacutees ainsi que lesconcepts drsquoeacutenergie et de puissance et les oscillateurs libres et forceacutesUn chapitre est consacreacute agrave la caracteacuterisation des reacutefeacuterentiels nongalileacuteens cas du reacutefeacuterentiel terrestre avec le poids drsquoun corps etdu reacutefeacuterentiel geacuteocentrique avec le pheacutenomegravene des mareacutees Lesdeux derniers chapitres sont consacreacutes au problegraveme agrave deux corpsLrsquoaccent est mis sur la notion de reacutefeacuterentiel barycentriqueLes outils matheacutematiques neacutecessaires agrave la bonne compreacutehensiondrsquoun cours de physique et les notions de base de la meacutecaniqueceacuteleste sont preacutesenteacutes en fin drsquoouvrage
MATHEacuteMATIQUES
PHYSIQUE
CHIMIE
SCIENCES DE LrsquoINGEacuteNIEUR
INFORMATIQUE
SCIENCES DE LA VIE
SCIENCES DE LA TERRE
1 2 3 4 5 6 7 8LICENCE MASTER DOCTORAT
6647754ISBN 978-2-10-050586-9 wwwdunodcom
ALAIN GIBAUD
est professeur agrave lrsquouniversiteacutedu Maine
MICHEL HENRY
est maicirctre de confeacuterences agravelrsquoIUFM des Pays de Loire
bull Optique (ParisotLe Boiteux)bull Meacutecanique du point
(GibaudHenry)
bull Matheacutematiques pour laphysique (NoirotBrouillet)
bull Eacutelectromagneacutetisme 1 et 2(Cordier)
COURS DE PHYSIQUECe cours de physique preacutesente les grands domaines de la physiqueenseigneacutes en 1re 2e etou 3e anneacutees de licence
COURS DE PHYSIQUE
MEacuteCANIQUE DU POINT
Alain Gibaud
Professeur agrave lrsquouniversiteacute du Maine (Le Mans)
2
e
eacutedition
Michel Henry
Agreacutegeacute de physiqueMaicirctre de confeacuterences agrave lrsquoIUFM des Pays de Loire (Le Mans)
M CANIQUE DU POINT Page I Mardi 26 juin 2007 903 09
Illustration de couverture
Digital Vision
copy Dunod Paris 1999 2007 pour la seconde eacuteditionISBN 978-2 -10-050586-9
M CANIQUE DU POINT Page II Mardi 26 juin 2007 903 09
AVANT-PROPOS
Le cours preacutesenteacute dans ce livre est le fruit de plusieurs anneacutees drsquoenseignement dispenseacuteaux eacutetudiants de premiegravere anneacutee agrave lrsquouniversiteacute du Maine Il srsquoagit drsquoun cours drsquointroduc-tion agrave la meacutecanique du point et des systegravemes de points mateacuteriels Notre souci au coursde la reacutedaction de cet ouvrage a eacuteteacute de nous reacutefeacuterer aux connaissances acquises par leseacutetudiants dans les classes du secondaire afin drsquoassurer une transition la plus continue pos-sible
La principale difficulteacute que nous avons rencontreacutee lors de ce cours a eacuteteacute certainementdrsquoordre matheacutematique La meacutecanique est une science qui exige de la rigueur et lesconcepts acquis lors de lrsquoapprentissage dans le secondaire sont ici repris de faccedilon plusformelle et rigoureuse Nous preacutesentons donc en annexe 1 les outils matheacutematiques quinous semblent neacutecessaires agrave la bonne compreacutehension du cours de physique
Le premier et le second chapitres sont consacreacutes agrave la cineacutematique du point ainsi qursquoauxchangements de reacutefeacuterentiels Nous insistons plus particuliegraverement sur la deacutefinition dureacutefeacuterentiel cette deacutefinition conditionne bien souvent la faccedilon de traiter un problegraveme etreste bien des fois mal comprise
Nous preacutesentons ensuite les lois fondamentales de la meacutecanique en deacutecrivant les forces lesplus classiques susceptibles drsquointervenir dans les problegravemes de meacutecanique Nous introdui-sons alors les concepts drsquoeacutenergie et de puissance avant de preacutesenter les oscillateurs libreset forceacutes
La partie suivante montre que pour traiter un problegraveme de meacutecanique dans un reacutefeacuterentielnon galileacuteen il est neacutecessaire drsquointroduire des pseudos forces appeleacutees forces drsquoinertieLrsquoeacutetude du poids drsquoun corps sur Terre met en eacutevidence le fait que le reacutefeacuterentiel terrestrenrsquoest pas galileacuteen Lrsquoeacutetude du pheacutenomegravene des mareacutees conduit agrave la mecircme conclusion pourle reacutefeacuterentiel geacuteocentrique
Les deux derniers chapitres sont consacreacutes au problegraveme agrave deux corps Lrsquoaccent est missur la notion de reacutefeacuterentiel barycentrique Lrsquoeacutetude de la trajectoire drsquoun systegraveme agrave deuxcorps permet de retrouver les lois de Kepler auxquelles obeacuteissent les planegravetes du systegravemesolaire Une preacutesentation de la meacutecanique ceacuteleste se trouve agrave la fin du livre en annexe 2
Cet ouvrage srsquoadresse bien sucircr aux eacutetudiants du premier cycle universitaire mais aussi agraveceux des classes preacuteparatoires du CAPES et de lrsquoagreacutegation Nous espeacuterons qursquoil leur seraune aide preacutecieuse dans leur effort de compreacutehension de cette branche de la physique
TABLE DES MATIEgraveRES
Avant-propos III
CHAPITRE 1 CINEacuteMATIQUE DU POINT 1
1 De la neacutecessiteacute du reacutefeacuterentiel 12 Vitesse drsquoun point mateacuteriel 53 Acceacuteleacuteration drsquoun point mateacuteriel 94 Reacutecapitulatif 115 Exemples de mouvements 12
Agrave retenir 18Exercice drsquoapplication avec solution deacutetailleacutee 19Exercices 20Solutions 23
CHAPITRE 2 CHANGEMENTS DE REacuteFEacuteRENTIELS 29
1 Mouvements drsquoun reacutefeacuterentiel par rapport agrave un autre 292 Eacutetude de la vitesse 343 Eacutetude de lrsquoacceacuteleacuteration 41
Agrave retenir 43Exercice drsquoapplication avec solution deacutetailleacutee 44Exercices 47Solutions 51
CHAPITRE 3 LOIS DE NEWTON ET REacuteFEacuteRENTIELS GALILEacuteENS 57
1 Principe drsquoinertie premiegravere loi de Newton 572 Principe de la dynamique deuxiegraveme loi de Newton 623 Actions reacuteciproques troisiegraveme loi de Newton 654 Les forces 665 Applications 72
Agrave retenir 77Exercices drsquoapplication avec solution deacutetailleacutee 78Exercices 83Solutions 86
CHAPITRE 4 TRAVAIL PUISSANCE EacuteNERGIE 93
1 Travail drsquoune force 932 Exemples de calcul du travail 953 Puissance drsquoune force 984 Eacutenergie 985 Eacutetats lieacutes drsquoun systegraveme meacutecaniquement isoleacute 104
Agrave retenir 107
VI Meacutecanique du point
Exercices drsquoapplication avec solution deacutetailleacutee 109Exercices 121Solutions 121
CHAPITRE 5 OSCILLATEURS MEacuteCANIQUES 125
1 Lrsquooscillateur harmonique 1252 Eacutequation diffeacuterentielle 1273 Exemples drsquooscillateurs harmoniques 1284 Eacutetude eacutenergeacutetique des oscillateurs 1305 Oscillateur meacutecanique amorti par frottements visqueux 1326 Analogie eacutelectrique 1377 Oscillateur amorti par frottement solide 1378 Portrait de phase drsquoun oscillateur 141
Agrave retenir 143Exercices drsquoapplication avec solution deacutetailleacutee 144Exercices 152Solutions 153
CHAPITRE 6 OSCILLATIONS FORCEacuteES REacuteSONANCE 155
1 Oscillations forceacutees 1552 Solution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle 1583 Transfert de puissance 1634 Facteur de qualiteacute 165
Agrave retenir 166Exercices drsquoapplication avec solution deacutetailleacutee 167
CHAPITRE 7 INTERACTION GRAVITATIONNELLE 175
1 Attraction universelle 1752 Champ de gravitation terrestre 1773 Eacutenergie potentielle de gravitation 1794 Applications 181
Agrave retenir 185
CHAPITRE 8 REacuteFEacuteRENTIELS NON GALILEacuteENS 187
1 Introduction 1872 Loi de la dynamique dans un reacutefeacuterentiel non galileacuteen 1883 Exemples drsquoapplication 1894 Dynamique terrestre 197
Agrave retenir 209Exercices drsquoapplication avec solution deacutetailleacutee 209Exercices 219Solutions 221
CHAPITRE 9 SYSTEgraveMES Agrave DEUX CORPS 227
1 Eacuteleacutements cineacutetiques 2272 Reacutefeacuterentiel du centre de masse 2293 Relation fondamentale de la dynamique 2324 Proprieacuteteacutes du mouvement 236
Agrave retenir 241
Table des matiegraveres VII
Exercices drsquoapplication avec solution deacutetailleacutee 242
CHAPITRE 10 TRAJECTOIRES DrsquoUN SYSTEgraveME Agrave DEUX CORPS 253
1 Rappels 2532 Eacutequation polaire de la trajectoire Formule de Binet 2543 Reacutesolution de la formule de Binet 2564 Eacutetude des trajectoires 2575 Eacutetude eacutenergeacutetique 2606 Trajectoires elliptiques lois de Kepler 261
Agrave retenir 265Exercices drsquoapplication avec solution deacutetailleacutee 265Exercices 274Solutions 277
ANNEXE 1 RAPPEL DES OUTILS MATHEacuteMATIQUES 283
1 Scalaires et vecteurs 2832 Composantes drsquoun vecteur 2863 Produit scalaire 2884 Produit vectoriel 2905 Deacuterivation vectorielle 2936 Diffeacuterentielle drsquoune fonction 2947 Vecteur gradient drsquoune fonction 3028 Inteacutegrales et primitives 3049 Inteacutegrales vectorielles 306
ANNEXE 2 INTRODUCTION Agrave LA MEacuteCANIQUE CEacuteLESTE 309
1 Historique 3092 Deacutefinitions 3113 La Voie Lacteacutee 3124 Le Systegraveme Solaire 3135 La deacutefinition du temps 3166 Temps et repeacuterage de la longitude des eacutetoiles 3187 Repeacuterage de lrsquoaltitude du Soleil au cours de lrsquoanneacutee 321
Agrave retenir 322
BIBLIOGRAPHIE 325
INDEX 326
CHAPITRE 1
CINEacuteMATIQUE DU POINT
Preacute-requis bull Connaicirctre les systegravemes de coordonneacutees carteacutesiennes polaires et cylin-driques
bull Savoir deacuteriver les vecteurs de la base polaire ou cylindriquebull Savoir inteacutegrer quelques fonctions eacuteleacutementaires (polynocircmes fonctions
trigonomeacutetriques exponentielle etc)
bull Ces notions sont reprises en annexe Rappel des outils matheacutematiques
Objectif I Agrave partir du vecteur acceacuteleacuteration drsquoun point savoir retrouver le vecteurvitesse les eacutequations horaires du mouvement ainsi que lrsquoeacutequation de latrajectoire de ce point
I Connaicirctre lrsquoexpression des vecteurs position vitesse et acceacuteleacuteration dansles diffeacuterents systegravemes de coordonneacutees
I Connaicirctre la deacutefinition de quelques mouvements particuliers traiteacutes enfin de chapitre
I Lrsquoobjet de la cineacutematique du point est drsquoeacutetudier le mouvement drsquoun pointau cours du temps indeacutependamment des causes qui produisent ce mou-vement Les objectifs sont la deacutetermination des grandeurs cineacutematiquestelles que les vecteurs acceacuteleacuteration vitesse position et lrsquoeacutequation horairede la trajectoire de ce point par rapport agrave un reacutefeacuterentiel choisi par lrsquoob-servateur
1 DE LA NEacuteCESSITEacute DU REacuteFEacuteRENTIEL
Lrsquoeacutetude du mouvement drsquoun point implique neacutecessairement la preacutesence simultaneacutee dupoint et drsquoun observateur qui analyse le mouvement de ce point Lrsquoobservateur est le pilierde lrsquoeacutetude du mouvement car selon sa position par rapport agrave lrsquoobjet en mouvement sesconclusions quant agrave la nature du mouvement seront tregraves variables Ainsi dans un TGV quise deacuteplace agrave vitesse constante un passager qui lacircche verticalement une bille conclut quela bille a un mouvement rectiligne La personne qui est sur le quai et qui observe la mecircmescegravene conclut que le mouvement nrsquoest pas rectiligne et pourtant il srsquoagit bien de la mecircmebille Un mouvement est donc toujours lieacute agrave un observateur On dit qursquoil est relatif
2 Meacutecanique du point
Le mouvement drsquoun objet ne pourra se faire que par rapport agrave une reacutefeacuterence Il est doncneacutecessaire de deacutefinir ce que lrsquoon appelle un reacutefeacuterentiel ou solide de reacutefeacuterence dans lequellrsquoobservateur est fixe On entend par solide de reacutefeacuterence un ensemble de points tous fixesles uns par rapport aux autres Par exemple dans le cas citeacute plus haut on peut choisirle TGV comme reacutefeacuterentiel lrsquoobservateur eacutetant assis agrave lrsquointeacuterieur ou bien le reacutefeacuterentielterrestre (constitueacute par tout ce qui est fixe par rapport agrave la Terre) pour la personne resteacuteesur le quai
La figure 11 illustre bien qursquoun mouvement est relatif agrave un reacutefeacuterentiel choisi Ainsi unobservateur situeacute au sommet drsquoune montagne conclut que le pilote drsquoun avion se deacuteplacetregraves vite Lrsquoobservateur situeacute sur lrsquoaile conclut de faccedilon tregraves diffeacuterente que le pilote est bieninstalleacute au repos Nous concluons donc que
Le mouvement drsquoun point est toujours relatif agrave un reacutefeacuterentiel
Suis-je au repos ouen mouvement
Quelle chance Il estbien installeacute au repos
A cette vitesse ils auront vitefait le tour de la Terre
Figure 11 bull Relativiteacute du mouvement
Pour caracteacuteriser le mouvement de lrsquoobjet lrsquoobservateur a ensuite besoin de se repeacutererdans lrsquoespace R3 qui lrsquoenvironne Il lui faut pour deacuteterminer la nature du mouvementconnaicirctre la position du point au cours du temps crsquoest-agrave-dire pouvoir reacutepondre aux ques-tions suivantes
Ougrave se trouve le point
Quand est-il passeacute agrave cette position
Pour pouvoir reacutepondre agrave la question ougrave il se choisit un repegravere drsquoespace Le repegravere drsquoes-pace est deacutefini par une origine O qui est fixe dans le reacutefeacuterentiel et des axes de reacutefeacuterence(x y z) qui permettent agrave lrsquoobservateur de juger dans quelle direction se trouve lrsquoobjet Cesaxes sont eux-mecircmes lieacutes au reacutefeacuterentiel En toute logique lrsquoorigine O du repegravere doit ecirctreplaceacutee sur lrsquoobservateur Aussi dans le cas de la figure 11 le reacutefeacuterentiel est le reacutefeacuterentielmontagne avec une origine O prise sur lrsquoobservateur qui srsquoy trouve Cet observateur choisitses axes x y z comme il lrsquoentend afin de repeacuterer la position drsquoun point de lrsquoavion
Pour un reacutefeacuterentiel donneacute il existe autant de repegraveres drsquoespace que de choix drsquoorigineet drsquoaxes possibles crsquoest-agrave-dire une infiniteacute Par contre agrave un repegravere drsquoespace donneacute necorrespond qursquoun seul reacutefeacuterentiel constitueacute par tout ce qui est fixe par rapport agrave ce repegravere
Cineacutematique du point 3
Pour pouvoir reacutepondre agrave la question quand il faut ajouter un repegravere de temps crsquoest-agrave-dire une grandeur qui est la variable de temps Cette variable est continue et croissantece qui traduit lrsquoirreacuteversibiliteacute du temps Elle est mesureacutee au moyen drsquoune horloge ou chro-nomegravetre agrave partir drsquoune origine des temps fixeacutee par lrsquoobservateur et drsquoune dureacutee unitairefixant une chronologie
Agrave chaque instant on associe un nombre reacuteel appeleacute date qui correspond agrave la dureacutee eacutecouleacuteedepuis lrsquoinstant origine
Axe des temps
Instants
Dates
Origine
0
Instant 1 Instant 2
t1 t2Uniteacute detemps
Figure 12 bull Repegravere de temps La dureacutee entre les deux instants 1 et 2correspond agrave la diffeacuterence de leur date t2 minus t1
En meacutecanique classique ou newtonienne on postule que le repegravere de temps est le mecircmepour tous les reacutefeacuterentiels et que le temps srsquoeacutecoule de la mecircme maniegravere dans des reacutefeacuteren-tiels en mouvement les uns par rapport aux autres Ce principe drsquouniversaliteacute du tempsnrsquoest plus applicable dans le cadre de la meacutecanique relativiste Notons que la meacutecaniquerelativiste est utiliseacutee degraves que la vitesse v drsquoun objet devient voisine de la ceacuteleacuteriteacute c dela lumiegravere dans le vide La transition entre les deux meacutecaniques est fixeacutee en geacuteneacuteral agravev = c 10
Pour terminer nous signalons qursquoun reacutefeacuterentiel peut ecirctre caracteacuteriseacute par son nom Parexemple il est tregraves freacutequent drsquoutiliser pour des observations faites agrave la surface de la Terrele reacutefeacuterentiel terrestre Il est clair alors que lrsquoeacutetude se fera par rapport agrave la Terre ou parrapport agrave tout ce qui est fixe sur Terre On distingue plus particuliegraverement les reacutefeacuterentielsde Copernic (figure 13) geacuteocentrique (figure 13) et terrestre deacutefinis par
bull Le reacutefeacuterentiel de Copernicndash origine centre du Systegraveme Solaire (voisin du centre drsquoinertie du Soleil) ndash axes dirigeacutes vers les eacutetoiles situeacutees dans des directions fixes par rapport au So-
leil ndash proprieacuteteacute supposeacute galileacuteen (voir chapitre 3)
bull Le reacutefeacuterentiel geacuteocentriquendash origine centre de la Terre ndash axes dirigeacutes parallegravelement agrave ceux du reacutefeacuterentiel de Copernic
bull Le reacutefeacuterentiel terrestrendash origine point de la surface de la Terre ndash axes fixes par rapport agrave la Terre
4 Meacutecanique du point
S
T
Reacutefeacuterentiel deCopernic
ReacutefeacuterentielGeacuteocentrique
Figure 13 bull Reacutefeacuterentiels de Copernic et geacuteocentrique Il faut noter que lesaxes du reacutefeacuterentiel geacuteocentrique restent parallegraveles agrave ceux du reacutefeacuterentiel de
Copernic
Au lieu de caracteacuteriser un reacutefeacuterentiel par son nom on convient souvent de le repreacutesenterpar le symbole R associeacute agrave un repegravere drsquoespace et de temps La notation suivante est drsquousagecourant
reacutefeacuterentiel R(O x y z t)
Pour une eacutetude plus preacutecise du mouvement drsquoun point mobile dans un reacutefeacuterentiel R on estameneacute agrave deacutefinir sa position mais aussi des grandeurs vectorielles comme le vecteur vitesseou acceacuteleacuteration de ce point Il faudra donc faire un choix de systegraveme de coordonneacutees(voir annexe rappel des outils matheacutematiques) et utiliser la base correspondante
bull (x y z) en coordonneacutees carteacutesiennes avec la base(minusrarru x
minusrarru yminusrarru z)
qui est une basedont les vecteurs sont fixes dans le repegravere
bull (r u z) en coordonneacutees cylindriques avec la base(uruuk
)qui est une base
dont les deux premiers vecteurs voient leur direction varier au cours du temps
bull (r u w) en coordonneacutees spheacuteriques avec la base mobile(uruuuw
)
Il est important de noter que suivant le choix effectueacute la base utiliseacutee comme outil ma-theacutematique peut ecirctre fixe ou mobile dans le reacutefeacuterentiel donneacute Ceci a des conseacutequencesimportantes lorsqursquoil srsquoagit de deacuteriver des vecteurs Pour eacuteviter toute erreur ou confusionon notera agrave chaque fois qursquoune eacutetude est entreprise le choix de la base en preacutecisant sielle est fixe ou pas
Lrsquoassociation de lrsquoorigine drsquoun repegravere drsquoespace des axes du repegravere drsquoespace et de la chro-nologie deacutefinit le reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude On notera ensuite la base de projections utiliseacutee enpreacutecisant si elle est fixe ou pas dans le reacutefeacuterentiel On notera donc un reacutefeacuterentiel drsquoeacutetudesous la forme preacutesenteacutee sur la figure 14
R(Oxyz t ) avec ( uzuyuxrarrrarrrarr ) fixe
AxesBase de projectionschoisie (fixe ou mobile)
ChronologieOrigine
Figure 14 bull Reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude
Cineacutematique du point 5
On appelle reacutefeacuterentiel un solide de reacutefeacuterence constitueacute de lrsquoensemble des pointstous fixes les uns par rapport aux autres
Un reacutefeacuterentiel peut ecirctre deacutefini par un de ses repegraveres drsquoespace muni drsquoune origine de troisaxes et drsquoune chronologie R(O x y z t)
Pour une eacutetude plus preacutecise on notera agrave la suite la base utiliseacutee en preacutecisant si elle estfixe ou pas R(O x y z t) avec (base fixe ou mobile)
Si un reacutefeacuterentiel est deacutefini par un de ses repegraveres on prendra soin de noter bull lrsquoorigine O bull les axes du reacutefeacuterentiel x y z bull le temps tOn preacutecisera ensuite lorsque lrsquoeacutetude le neacutecessite la base de projections dont on indiquerasi elle est fixe ou non dans R
2 VITESSE DrsquoUN POINT MATEacuteRIEL
21 Deacutefinition
Soit un point M mobile dans un reacutefeacuterentiel R(O x y z t) avec(minusrarru x
minusrarru yminusrarru z)
fixe
x
y
z
Ouxrarr
M(t)uzrarr
uy
M
prime (t+dt)
Figure 15 bull Mouvement drsquoun point M dans le reacutefeacuterentiel R
On appelle vitesse du point M par rapport agrave R la deacuteriveacutee du vecteur positionminusrarrOM du point
M par rapport au temps1 soit
minusrarrv MR =dminusrarrOMd t
Cette deacutefinition est la seule qui reste toujours valable quel que soit le problegraveme consideacutereacuteDrsquoun point de vue pratique le calcul du vecteur vitesse se fait en consideacuterant le deacuteplace-
ment eacuteleacutementaireminusminusrarrMMprime du point M entre les instants t et t + d t qui nrsquoest rien drsquoautre que
le vecteur dminusrarrOM =
minusminusrarrOMprime minusminusrarr
OM =minusminusrarrMMprime (annexe 1 65)
1 La notation d d t est qualifieacutee de notation de Leibniz
6 Meacutecanique du point
22 Expression de la vitesse en coordonneacutees carteacutesiennes
Lorsque le repegravere dans lequel le mouvement est eacutetudieacute est carteacutesien la position du pointM srsquoeacutecrit
minusrarrOM = xminusrarru x + yminusrarru y + zminusrarru z
Les vecteurs(minusrarru x
minusrarru yminusrarru z)
sont constants et la deacuteriveacutee de la position conduit agrave
minusrarrv MR =dminusrarrOMd t
=d(xminusrarru x + yminusrarru y + zminusrarru z)
d t=
d xd t
minusrarru x +d yd t
minusrarru y +d zd t
minusrarru z
Lrsquoeacutecriture preacuteceacutedente peut ecirctre condenseacutee en utilisant les variables surmonteacutees drsquoun pointpour deacutecrire la deacuterivation temporelle On eacutecrit alors la vitesse de la faccedilon suivante
minusrarrv MR = xminusrarru x + yminusrarru y + zminusrarru z
23 Vitesse en coordonneacutees polaires ou cylindriques
On appelle coordonneacutees cylindriques des coordonneacutees relatives agrave une base tournante(minusrarru rminusrarru u
minusrarru z)
autour de lrsquoaxe z dans le reacutefeacuterentiel R Les coordonneacutees sont dites cylin-driques si elles font intervenir une coordonneacutee z en dehors du plan (O x y) et polairesdans le cas contraire
x
y
O
θ
M
ρurarr
θurarr
θurarr
ρ
ρurarr
ρurarr
z
x
y
θ
ρ
ρ
M
uxrarr
uxrarr
uzrarr
uyrarr
uyrarr
θurarr
θurarr
ρurarr
(a) (b)
O
Figure 16 bull Systegraveme de cordonneacutees cylindriques (a) et polaires (b)
En geacuteneacuteral la base(minusrarru r
minusrarru uminusrarru z)
est repreacutesenteacutee au point M consideacutereacute mais elle peuttout aussi bien ecirctre placeacutee en O
Si le point M se deacuteplace dans le plan xOy (figure 16b) il peut ecirctre repeacutereacute par ses coordon-
neacutees polaires r = OM et la position angulaire u = (minusrarru xminusrarrOM)
Dans la base mobile(minusrarru r
minusrarru uminusrarru z) la position du point M est alors deacutefinie par le vecteur
minusrarrOM = rminusrarru r
Cineacutematique du point 7
Il est impeacuteratif de remarquer que la base(minusrarru r
minusrarru uminusrarru z)
est une base orthonormeacutee et queles vecteurs minusrarru r
minusrarru u sont des vecteurs mobiles et donc variables dans le temps contrai-rement aux vecteurs minusrarru x
minusrarru yminusrarru z qui eux sont fixes
En appliquant la deacutefinition de la vitesse il est possible drsquoexprimer le vecteur vitesse dupoint M dans la base mobile soit
minusrarrv MR =dminusrarrOMd t
=d(rminusrarru r)
d t=
d r
d tminusrarru r + r
dminusrarru r
d t
Le calcul de la vitesse peut se faire en utilisant le theacuteoregraveme du vecteur unitaire tournant(annexe 1 52) qui impose que
dminusrarru r
d t= minusrarru u
d u
d t= uminusrarru u
ce qui engendre qursquoen coordonneacutees polaires
minusrarrv MR = rminusrarru r + ruminusrarru u
En coordonneacutees cylindriques (figure 16a) il suffit de rajouter la troisiegraveme composantesuivant lrsquoaxe Oz minusrarr
OM = rminusrarru r + zminusrarru z
Lrsquoexpression du vecteur vitesse est alors obtenue en ajoutant la composante suivant minusrarru z
minusrarrv MR = rminusrarru r + ruminusrarru u + zminusrarru z
Lrsquoutilisation des coordonneacutees cylindriques (ou polaires) est appreacuteciable degraves que lemouvement du point M est curviligne (circulaire ou elliptique)
Le vecteur vitesse que nous avons calculeacute et exprimeacute dans la base polaire repreacutesentela vitesse du point par rapport au reacutefeacuterentiel R Il srsquoagit bien du mecircme vecteur quelrsquoon exprime dans la base carteacutesienne par
vMR = x minusrarru x + y minusrarru y
24 Vitesse dans la base de Frenet
Il est eacutegalement possible de deacuteterminer la vitesse du point M dans le reacutefeacuterentiel R enutilisant une nouvelle base appeleacutee base de Frenet La base de Frenet est une base localequi se deacuteplace avec le point M Elle est utiliseacutee lorsque le mouvement du point M estcurviligne Elle fait intervenir le cercle osculateur agrave la trajectoire du point M crsquoest-agrave-direle cercle qui est tangent localement agrave la trajectoire du point M Lrsquoun des vecteurs de baseest tangent agrave la trajectoire et est orienteacute dans le sens positif donneacute agrave la trajectoire lrsquoautrevecteur est dirigeacute selon le rayon de courbure de la trajectoire vers le centre du cercleosculateur
8 Meacutecanique du point
Ω+
tene
M
C
x
y
Trajectoire du point M
O
Figure 17 bull Abscisse curviligne et base de Frenet
La vitesse du point M est par deacutefinition
minusrarrv =dminusrarrOMd t
=dminusrarrOMd s
d sd t
avec s =
VM (mesure algeacutebrique sur la courbe de la distance VM)
Lorsque lrsquoon fait varier de faccedilon eacuteleacutementaire la position du point M en deacutecrivant la trajec-toire lrsquoabscisse curviligne du point M passe de s agrave s + d s entre lrsquoinstant t et lrsquoinstant t + d tLe deacuteplacement eacuteleacutementaire du point M srsquoeacutecrit donc
x
M
M
prime
O
s
terarry
s+ds
Figure 18 bull Preacutesentation du deacuteplacement eacuteleacutementaire sur la trajectoire curviligne
dminusrarrOM =
minusminusrarrMMprime = d sminusrarre t
ce qui permet drsquoeacutecrire que la vitesse dans la base de Frenet est
minusrarrv MR =d sd t
minusrarre t = sminusrarre t
Remarque Le vecteur unitaire tangent agrave la trajectoire peut ecirctre deacutetermineacute analytiquementagrave partir de lrsquoeacutequation ci-dessus
minusrarre t =dminusrarrOMd s
Cineacutematique du point 9
3 ACCEacuteLEacuteRATION DrsquoUN POINT MATEacuteRIEL
31 DeacutefinitionOn appelle acceacuteleacuteration drsquoun point mateacuteriel M par rapport agrave un reacutefeacuterentiel R la deacuteriveacuteedu vecteur vitesse par rapport au temps soit
minusrarra MR =dminusrarrv MR
d t=
dd t
(dminusrarrOMd t
) =d2 minusrarrOM
d t2
Lrsquoacceacuteleacuteration est aussi la deacuteriveacutee seconde de la position par rapport au temps
32 Expression en coordonneacutees carteacutesiennesConsideacuterons une base orthonormeacutee carteacutesienne
(Ominusrarru x
minusrarru yminusrarru z)
du reacutefeacuterentiel R servantagrave deacutefinir la position du point M Lrsquoacceacuteleacuteration du point M dans cette base srsquoeacutecrit puisqueles vecteurs de base minusrarru x
minusrarru yminusrarru z sont constants
minusrarra MR =dminusrarrv MR
d t=
d2 minusrarrOMd t2
= xminusrarru x + yminusrarru y + zminusrarru z
avec la notation suivante x =d2 xd t2
33 Expression en coordonneacutees polaires ou cylindriquesSi lrsquoon utilise comme base de reacutefeacuterence du reacutefeacuterentiel la base polaire
(minusrarru rminusrarru u
)qui est une
base qui tourne avec la position du point M dans le plan (xOy) nous avons montreacute que lavitesse dans cette base srsquoeacutecrit minusrarrv MR = rminusrarru r + ruminusrarru u
Lrsquoacceacuteleacuteration du point M par rapport au reacutefeacuterentiel R srsquoexprime dans cette base par
minusrarra MR =dminusrarrv MR
d t=
d(rminusrarru r + ruminusrarru u)d t
= rminusrarru r + rdminusrarru r
d t+ ruminusrarru u + ruminusrarru u + ru
dminusrarru u
d t
RMv
rarr
ρurarr
θurarr
y
x
RMa
rarr
θ
ρ
O
Figure 19 bull Vecteurs vitesse etacceacuteleacuteration en coordonneacutees polaires
En utilisant le theacuteoregraveme du vecteur uni-taire tournant il vient minusrarra MR = (r minus ru2)minusrarru r + (2ru + ru)minusrarru u
Lrsquoacceacuteleacuteration du point M dans cette basea deux composantes une composante ra-diale (suivant minusrarru r) et une composante or-thoradiale (suivant minusrarru u)
En coordonneacutees polaires le vecteur acceacute-leacuteration srsquoeacutecrit minusrarra MR = (r minus ru2)minusrarru r + (2ru + ru)minusrarru u
En coordonneacutees cylindriques il suffit de rajouter la troisiegraveme composante suivant lrsquoaxe Oz minusrarrv MR = rminusrarru r + ruminusrarru u + zminusrarru z
Lrsquoexpression du vecteur acceacuteleacuteration est obtenue en ajoutant la composante z suivant minusrarru z minusrarra MR = (r minus ru2)minusrarru r + 2(ru + ru)minusrarru u + zminusrarru z
10 Meacutecanique du point
34 Expression dans la base de FrenetLrsquoacceacuteleacuteration du point M peut eacutegalement srsquoexprimer dans la base de Frenet Dans cettebase la vitesse srsquoeacutecrit minusrarrv MR = sminusrarre t
ce qui entraicircne pour lrsquoacceacuteleacuteration
minusrarra MR = sminusrarre t + sdminusrarre t
d t
Agrave un instant t au point M de la trajectoire le vecteur de base fait un angle a avec ladirection de lrsquoaxe des x Agrave lrsquoinstant t + d t ce vecteur tourne drsquoun angle d a (figure 110)
M
x
y
C
α
dα
nerarr
Trajectoire
α dαds
terarr
+
Ω
Figure 110 bull Base de Frenet et deacuteplacement eacuteleacutementaire
La deacuteriveacutee par rapport au temps de ce vecteur unitaire est donc donneacutee par
dminusrarre t
d t= aminusrarre n
De plus on a avec R = rayon du cercle osculateur
d s = CM d a = R d a
soit d a
d t= a =
1R
d sd t
=1R
s
On obtient donc
sdminusrarre t
d t= saminusrarre n =
s2
Rminusrarre n =
v2MR
Rminusrarre n
ce qui conduit agrave
minusrarra MR = sminusrarre t +v2
MR
Rminusrarre n
Remarquesbull On pourra veacuterifier que ce reacutesultat est toujours vrai quelle que soit la concaviteacute de latrajectoirebull La composante normale eacutetant toujours positive le vecteur acceacuteleacuteration est toujourstourneacute vers la concaviteacute de la trajectoire au point consideacutereacute
Cineacutematique du point 11
4 REacuteCAPITULATIF
Nous preacutesentons dans le tableau suivant le reacutecapitulatif des expressions que nous avonsintroduites preacuteceacutedemment
Base Position Vitesse Acceacuteleacuteration
Carteacutesienne
Ominusrarru xminusrarru y
minusrarru zminusrarrOM = xminusrarru x+ yminusrarru y+ zminusrarru z vMR = xminusrarru x+ yminusrarru y+ zminusrarru z aMR = xminusrarru x+ yminusrarru y+ zminusrarru z
Cylindrique
Ouruuminusrarru z
minusrarrM = rur + zminusrarru z vMR = rur + ruuu + zminusrarru z aMR =
∣∣∣∣∣∣∣∣(r minus ru2)ur
(2ru + ru)uu
zminusrarru z
Base de Frenet
Veten s = VM vMR = set = vet aMR = set +
v2
Ren
uzrarr
θ
M(t)
dθx
y
z
M
prime(t+dt)
O
uzdt
d rarrrarr θω =
Figure 111 bull Lrsquoangle u croicirct au cours dutemps donc la valeur algeacutebrique de la
vitesse angulaire est positive et le vecteurvitesse angulaire est dirigeacute dans le sens des
z positifs
Remarque Il est eacutegalement possible de deacute-finir agrave partir de la position angulaire drsquounpoint M se deacuteplaccedilant dans le plan O x y levecteur vitesse angulaire minusrarrv = uminusrarru z et le vecteuracceacuteleacuteration angulaire d minusrarrv
d t = uminusrarru z Ces vecteurssont perpendiculaires au plan dans lequel sefait le mouvement de M
Le signe de u (et donc le sens du vecteurminusrarrv ) permet de savoir dans quel sens le sys-tegraveme tourne en appliquant la regravegle habituelledu tire-bouchon (voir annexe) La figure 111illustre ce propos le point M tourne dans lesens trigonomeacutetrique et le tire bouchon quitourne dans ce sens se deacuteplace dans le sensdes z gt 0 Le vecteur vitesse angulaire estdonc orienteacute dans le mecircme sens que minusrarru z
Le mouvement est acceacuteleacutereacute si |u| croicirct avec letemps crsquoest-agrave-dire si u2 est une fonction crois-sante du temps La deacuteriveacutee 2uu doit ecirctre positive Lrsquoeacutetude du signe du produit uu indiquerasi le mouvement est acceacuteleacutereacute (uu gt 0 les deux vecteurs vitesse et acceacuteleacuteration angulairesont le mecircme sens) ou deacuteceacuteleacutereacute (uu lt 0 les deux vecteurs sont alors de sens contraire)
Encart 11 Les eacutequations diffeacuterentielles du mouvement
Lrsquoeacutetude du mouvement drsquoun point mateacuteriel a pour but de deacuteterminer les eacutequationshoraires de la trajectoire crsquoest-agrave-dire la loi drsquoeacutevolution des composantes de la positiondu point mateacuteriel en fonction du temps Les eacutequations horaires de la trajectoire ne
12 Meacutecanique du point
peuvent ecirctre obtenues que si lrsquoon connaicirct au preacutealable lrsquoacceacuteleacuteration de ce point Crsquoesten faisant le bilan des actions qui agissent sur le point mateacuteriel que lrsquoon deacuteterminepar la relation fondamentale de la dynamique lrsquoacceacuteleacuteration du point mateacuteriel Onobtient alors lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement du point mateacuteriel crsquoest-agrave-direune eacutequation qui relie lrsquoacceacuteleacuteration la vitesse et la position instantaneacutee du point agravela variable t Nous distinguerons plusieurs types drsquoeacutequations diffeacuterentielles selon leursformes Agrave titre drsquoexemple non exhaustif nous trouvons les eacutequations diffeacuterentiellessuivantes
x = 0 x + ax = 0 x + ax + bx = 0
La derniegravere eacutequation est sans doute lrsquoune des eacutequations les plus connues de la physiquepuisqursquoon la rencontre dans tous les problegravemes drsquooscillateurs que ce soit en meacutecaniqueou en eacutelectriciteacute Cette eacutequation fait intervenir seulement la variable x ainsi que ses deacute-riveacutees Elle est qualifieacutee de lineacuteaire car si la variable x est multiplieacutee par une constanteil en va de mecircme pour ses deacuteriveacutees ce qui fait que la forme de lrsquoeacutequation nrsquoest pas mo-difieacutee si elle est multiplieacutee par une constante Sa reacutesolution ne pose pas de difficulteacutesparticuliegraveres Il faut cependant noter que ce type drsquoeacutequation reacutesulte drsquoune modeacuteli-sation souvent simplifieacutee de pheacutenomegravenes physiques et que la reacutealiteacute est parfois pluscomplexe Les problegravemes reacuteels font souvent appel agrave des eacutequations diffeacuterentielles nonlineacuteaires qui associent par exemple la variable x agrave une puissance n gt 1 agrave ses deacuteriveacuteescomme lrsquoeacutequation suivante
x + ax3 = 0
On voit alors que si la variable x est multiplieacutee par une constante lrsquoeacutequation changede forme Dans de tels cas lrsquoutilisation de lrsquoordinateur devient le seul recours pos-sible pour deacuteterminer la solution qui deacutepend tregraves fortement des conditions initialesdu mouvement (laquo effet papillon raquo)
Agrave partir de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement du point on deacutetermine les eacutequa-tions horaires du mouvement Il importe de noter que geacuteneacuteralement il existe autantdrsquoeacutequations diffeacuterentielles qursquoil y a de variables de position dans le problegraveme Lrsquoob-tention des eacutequations horaires du mouvement se fait par inteacutegration des eacutequationsdiffeacuterentielles
5 EXEMPLES DE MOUVEMENTS
51 Mouvements rectilignesa) Le mouvement rectiligne uniforme
O
M
rarrv = cste
x
Figure 112 bull Mouvement rectiligneuniforme le point M se deacuteplace sur
une droite agrave vitesse constante
Un mouvement drsquoun point mateacuteriel est ditrectiligne uniforme si le point mateacuteriel sedeacuteplace agrave vecteur vitesse constant
Mouvement rectiligne uniforme lArrrArr v = minusrarrcste
Cineacutematique du point 13
Le vecteur vitesse eacutetant constant le mouvement est rectiligne car la vitesse est tangente agrave latrajectoire La droite sur laquelle le point se deacuteplace est assimileacutee agrave lrsquoaxe des x Lrsquoeacutequationdiffeacuterentielle du mouvement srsquoeacutecrit alors
minusrarrv = xminusrarru x = Cminusrarru x rArr x = C
ce qui conduit agrave lrsquoeacutequation horaire suivante
x = Ct + x0
b) Le mouvement uniformeacutement varieacute
Un mouvement est dit rectiligne uniformeacutement varieacute si le vecteur acceacuteleacuteration est constantet la trajectoire rectiligne
Mouvement rectiligne uniformeacutement varieacute lArrrArr a = minusrarrcste et trajectoire rectiligne
Si le mouvement est rectiligne il est commode de se fixer comme axe du mouvement lrsquoaxedes x On aura donc
minusrarrOM = xminusrarru x =rArr minusrarrv = xminusrarru x =rArr minusrarra = xminusrarru x
etminusrarra = xminusrarru x = Cminusrarru x
Par inteacutegration de cette eacutequation nous obtenons la vitesse du point M
v = x = Ct + B
ce qui par une nouvelle inteacutegration conduit agrave lrsquoeacutequation horaire du mouvement
x =12
Ct2 + Bt + D
Les constantes B et D qui sont apparues dans les deux inteacutegrations successives sont deacute-termineacutees par les conditions initiales du mouvement du point M Ainsi si le point M a unevitesse nulle et est en x = xo agrave t = 0 les constantes B et D deviennent B = 0 et D = xo etlrsquoeacutequation horaire du mouvement srsquoeacutecrit alors
x =12
Ct2 + xo
Remarques Le mouvement est uniformeacutement acceacuteleacutereacute si la norme du vecteur vitesse estune fonction croissante de t soit v2 fonction croissante La deacuteriveacutee de v2 doit donc ecirctrepositive La condition sera
d v2
d tgt 0 =rArr 2 v
d vd t
gt 0
Lrsquoeacutetude du signe du produit de la vitesse par lrsquoacceacuteleacuteration permettra de preacuteciser si lemouvement est acceacuteleacutereacute (x x gt 0) ou retardeacute (x x lt 0)
14 Meacutecanique du point
Avoir un vecteur acceacuteleacuteration constant ne suffit pas pour dire que le mouvement est recti-ligne Il faut aussi que le vecteur vitesse ait la mecircme direction que le vecteur acceacuteleacuterationDans le cas contraire on obtient un mouvement parabolique qui est traiteacute agrave la fin de cechapitre
Encart 12 Un mouvement plus complexeNous consideacuterons maintenant le cas drsquoun mouvement rectiligne plus complexe danslequel nous supposons que lrsquoacceacuteleacuteration est de la forme
x = pt
ougrave p est une constante
Lrsquoacceacuteleacuteration est variable dans le temps et nous recherchons lrsquoeacutequation horaire dumouvement Nous effectuons donc deux inteacutegrations successives qui nous conduisentdrsquoune part agrave la vitesse
x = pt =rArr d v = pt d t =rArr v =int
pt d t
soit
v = pt2
2+ q = x
et drsquoautre part agrave la position
x = pt3
6+ qt + r
Comme toujours les constantes drsquointeacutegration q et r sont deacutetermineacutees par les conditionsinitiales du mouvement qui si elles se reacutesument agrave x = 0 et v = 0 agrave t = 0 conduisent agrave
x = pt3
6
c) Mouvement rectiligne sinusoiumldal
x(t)
t
Xm
Figure 113 bull Repreacutesentation du mouvementsinusoiumldal dans le temps
Le mouvement drsquoun point M est ditrectiligne sinusoiumldal si se produisantsur un axe Ox lrsquoabscisse x du point Msrsquoeacutecrit
x = Xm cos(vt + w)
Le terme vt + w est appeleacute phase agravelrsquoinstant t avec w la phase agrave lrsquooriginedes dates (t = 0) Le terme Xm corres-pond agrave lrsquoamplitude du mouvement xvariant sinusoiumldalement de minusXm agrave Xmcomme le montre la figure 113 La vi-tesse a pour expression
v = x = minusXm sin(vt + w)
Cineacutematique du point 15
et lrsquoacceacuteleacuteration a = x = minusv2Xm cos(vt + w)
Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement est donc
x + v2x = 0
Cette eacutequation correspond agrave lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du second ordre drsquoun oscillateur har-monique
Remarque La solution de cette eacutequation diffeacuterentielle peut srsquoeacutecrire de diffeacuterentes faccedilonstoutes eacutequivalentes On a
x = Xm cos(vt + w) = Xm sin(vt + wprime) = A sin vt + B cos vt
En utilisant les relations trigonomeacutetriques usuelles on obtient tregraves simplement
wprime = w + p2 A = minusXm sin w B = Xm cos w
52 Mouvement circulaire uniformeθurarry
x
M
ρurarr
θ
RMararr
RMvrarr
R
O
Figure 114 bull Mouvementcirculaire uniforme
Le mouvement drsquoun point est dit circulaire uni-forme si bull le point se deacuteplace sur un cercle bull sa vitesse angulaire de rotation est constante
Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement est donneacuteepar
d u
d t= v = cste
ce qui conduit par inteacutegration agrave
u = vt + uo
Les caracteacuteristiques cineacutematiques du mouvement circulaire uniforme peuvent se deacuteduiredu scheacutema de la figure 114 et sont donneacutees par
minusrarrOM(t) = rminusrarru r(t) = r cos uminusrarru x + r sin uminusrarru y
minusrarrv (t) =d(rminusrarru r(t)
)d t
= ruminusrarru u(t)
minusrarra (t) =dminusrarrv (t)
d t= minusru2minusrarru r(t)
Nous remarquons donc que le mouvement circulaire uniforme est un mouvement acceacuteleacutereacutedont lrsquoacceacuteleacuteration est centripegravete En remarquant que minusrarru u = minusrarru z and minusrarru r (annexe 1 4) onpeut donner une expression du vecteur vitesse indeacutependante de la base choisie En effeton obtient
minusrarrv (t) = ruminusrarru u(t) = ruminusrarru z and minusrarru r(t) = uminusrarru z and rminusrarru r(t) = minusrarrv and minusrarrOM(t)
16 Meacutecanique du point
Dans cette expression minusrarrv est le vecteur vitesse angulaire Cette relation est valable pourtout mouvement circulaire On obtient de mecircme pour le vecteur acceacuteleacuteration
minusrarra (t) = minusrarrv and(minusrarrv and minusrarr
OM(t))
= minusrarrv and minusrarrv (t)
Ce reacutesultat peut ecirctre obtenu directement en deacuterivant le vecteur vitesse exprimeacute sous formedrsquoun produit vectoriel
minusrarra (t) =dminusrarrv (t)
d t=
d(minusrarrv and minusrarr
OM(t))
d t=
minusrarrd v
d tand minusrarr
OM(t) + minusrarrv and dminusrarrOM(t)d t
Si le mouvement est circulaire uniforme le vecteur vitesse angulaire minusrarrv est un vecteurconstant Sa deacuteriveacutee eacutetant nulle on retrouve bien lrsquoexpression du vecteur acceacuteleacuteration
53 Le mouvement heacutelicoiumldal
O
x
y
z
M
Figure 115 bull Illustration drsquounmouvement heacutelicoiumldal
Le mouvement heacutelicoiumldal est la combinaison drsquounmouvement de translation rectiligne uniforme se-lon lrsquoaxe des z et drsquoun mouvement circulaire uni-forme dans le plan xOy
Les eacutequations horaires du mouvement selon lestrois axes x y z du reacutefeacuterentiel carteacutesien sont
x(t) = R cos vt y(t) = R sin vt z(t) = vot
Il est facile de deacuteterminer par deacuterivations succes-sives les composantes du vecteur vitesse et du vec-teur acceacuteleacuteration du point dans cette base
minusrarrv MR =
∣∣∣∣∣ minusRv sin vtRv cos vt
vo
minusrarra MR
∣∣∣∣∣∣minusRv2 cos vtminusRv2 sin vt
0
De mecircme les expressions de la vitesse et de lrsquoacceacuteleacuteration dans la base cylindrique sontdonneacutees par
minusrarrv MR =
∣∣∣∣∣ 0Rvv0
minusrarra MR
∣∣∣∣∣∣minusRv2
00
54 Le mouvement parabolique
Supposons que le vecteur acceacuteleacuteration soit un vecteur constant et qursquoagrave lrsquoinstant t = 0 levecteur vitesse minusrarrv o soit donneacute Le choix du repegravere eacutetant libre nous pouvons deacutecider de ledeacutefinir agrave partir des donneacutees du problegraveme Nous faisons le choix suivant pour des raisonsde bon sens (figure 116) bull origine du repegravere position du point agrave t = 0 bull axe z suivant le vecteur acceacuteleacuteration soit minusrarra = ao
minusrarru z
Cineacutematique du point 17
bull axe x perpendiculaire agrave lrsquoaxe z et dans le plan contenant minusrarra et minusrarrv o On aura alors
minusrarrv o = voxminusrarru x + voz
minusrarru z
bull axe y deacutefini de sorte que minusrarru xminusrarru y
minusrarru z forment une base orthonormeacutee directe
On obtient par inteacutegrations successives et en tenant compte des conditions initiales
minusrarra MR
∣∣∣∣∣ 00ao
=rArr minusrarrv MR
∣∣∣∣∣ vox0
aot + voz
soit
minusrarrOM =
∣∣∣∣∣∣x = voxt + xo = voxt
y = yo = 0z = 1
2 aot2 + vozt + zo = 12 aot2 + voz
Dans le cas ougrave minusrarrvo = 0 on retrouve le mouvement rectiligne uniformeacutement varieacute suivantlrsquoaxe des z
Pour vox = 0 le mouvement est un mouvement plan dans le plan deacutefini par le vecteuracceacuteleacuteration et le vecteur vitesse agrave lrsquoinstant t = 0
Le mouvement projeteacute suivant lrsquoaxe des x est un mouvement uniforme de vitesse vox
Le mouvement projeteacute suivant lrsquoaxe des z est uniformeacutement varieacute drsquoacceacuteleacuterationconstante ao
En eacuteliminant la variable t entre les deux eacutequations horaires du mouvement on obtientlrsquoeacutequation de la trajectoire
t =x
voxet z =
12
aox2
v2ox
+ vozx
vox
Si a est lrsquoangle que fait le vecteur vitesse vo avec lrsquoaxe des x et vo la norme de ce vecteurvitesse on peut encore eacutecrire
z =12
aox2
v2o cos2 a
+ x tan a (11)
La trajectoire est une portion de parabole
La figure 116 repreacutesente la trajectoire drsquoun projectile pour lequel le vecteur acceacuteleacuterationvaut
minusrarra = minusrarrg = minusgminusrarru z =rArr ao = minusg
ougrave g est lrsquoacceacuteleacuteration de la pesanteur
La flegraveche h correspond agrave lrsquoaltitude maximale que peut atteindre le point mobile La porteacuteed correspond agrave la distance maximale que peut atteindre le point lorsque qursquoil revient agravelrsquoordonneacutee z = 0
18 Meacutecanique du point
ovrarr
z
x
a
O
uzaa o
rarrrarr=
uzrarr
uxrarr
La flegraveche h
La porteacutee d
Figure 116 bull Chute parabolique Lrsquoacceacuteleacuteration correspond ici agrave lrsquoacceacuteleacuteration de la pesanteur
a) Calcul de la porteacutee
z = 0 =rArr x = 0 et x = d =v2
o
ao2 sin a cos a =
v2o
gsin 2a
La porteacutee est maximale pour 2a = p2 soit pour un angle a = p4 = 45 (il importede noter que ce reacutesultat nrsquoest valide que si lrsquoon part drsquoune altitude de lancement z = 0)
b) Calcul de la flegraveche
Elle peut ecirctre obtenue de diffeacuterentes faccedilons On peut rechercher par exemple lrsquoordonneacuteecorrespondant agrave lrsquoabscisse x = d2 On obtient alors
h =v2
o
2gsin2 a
Agrave RETENIR
Lrsquoeacutetude du mouvement drsquoun point neacutecessite un reacutefeacuterentiel caracteacuteriseacute par
R(Oxyz t ) avec ( uzuyuxrarrrarrrarr ) fixe
AxesBase de projectionschoisie (fixe ou mobile)
ChronologieOrigine
Expressions des vecteurs positionminusrarrOM vitesse minusrarrv = d
minusrarrOMd t et acceacuteleacuteration
minusrarra = d minusrarrvd t = d2 minusrarrOM
d t2 dans les diffeacuterents systegravemes de coordonneacutees
Cineacutematique du point 19
Coordonneacutees Carteacutesiennes Cylindriques Frenet
Base(minusrarru x
minusrarru yminusrarru z) (minusrarru r
minusrarru uminusrarru z) (minusrarre t
minusrarre n)
PositionminusrarrOM
[xyz
] [r0z
]s =
VM
Vitesse minusrarrv MR
[xyz
] ⎡⎣ r
ruz
⎤⎦ sminusrarre t = vminusrarre t
Acceacuteleacuteration minusrarra MR
[xyz
] ⎡⎣ (r minus ru2)(2ru + ru)
z
⎤⎦ ⎡⎣ sminusrarre tv2
MR
Rminusrarre n
⎤⎦ Diffeacuterents mouvements simples
bull Mouvement rectiligne uniforme rArr minusrarrv = cstebull Mouvement rectiligne uniformeacutement varieacute rArr minusrarra = cste et minusrarra et minusrarrv ont mecircme
directionbull Mouvement circulaire uniforme rArr v = u = cste et acceacuteleacuteration normale et centri-
pegravete a = v2R = v2
R
EXERCICE DrsquoAPPLICATION AVEC SOLUTION DEacuteTAILLEacuteE
Cineacutematique
Dans un repegravere carteacutesien (O x y z) muni de la base (minusrarru xminusrarru y
minusrarru z) un point M enmouvement a pour eacutequations horaires⎧⎨⎩
x = 1 + cos ty = sin t
z = 0(uniteacutes du systegraveme international)
1) Deacuteterminer lrsquoeacutequation de la trajectoire et montrer que crsquoest un cercle dont le centreC est sur lrsquoaxe Ox (OC = +1 m) et dont le rayon est R = 1m
2) Exprimer le vecteur vitesseminusrarrV Preacuteciser sa direction par rapport agrave la trajectoire
Donner la valeur de la vitesse V du point M et montrer que le mouvement est uniforme
3) Exprimer le vecteur vitesse angulaire minusrarrv (ou vecteur rotation) Donner la valeurde v
4) Exprimer le vecteur acceacuteleacuteration minusrarra Le comparer avec le vecteurminusrarrCM Que peut-on
dire de ce vecteur par rapport au vecteur vitesseminusrarrV et par rapport agrave la trajectoire
Donner la valeur de a
20 Meacutecanique du point
5) Repreacutesenter la trajectoire le vecteur vitesse angulaire minusrarrv le vecteur vitesseminusrarrV ainsi
que le vecteur acceacuteleacuteration minusrarra en un point M quelconque
Solution1) (x minus 1)2 + y2 = cos2 t + sin2 t = 1 rArr trajectoire est un cercle de centre xo = 1 m etyo = 0 soit
minusrarrOC = minusrarru x et de rayon R = 1 m (dans le plan Oxy)
2)
⎧⎨⎩x = minus sin ty = cos tz = 0
rArr minusrarrV = minus sin tminusrarru x + cos tminusrarru y rArr
∥∥∥minusrarrV ∥∥∥ = sin2 t + cos2 t = 1 msminus1
La vitesse est constante le mouvement est donc uniforme Le vecteur vitesse est tan-gent agrave la trajectoire circulaire (perpendiculaire au rayon correspondant)
3) minusrarrv = vminusrarru zrArr v =VR
= 1 radsminus1
4)
⎧⎨⎩x = minus cos ty = minus sin tz = 0
rArr minusrarra = minus(cos t)minusrarru x minus (sin t)minusrarru y
Ce vecteur est normal et centripegravete (mouvementcirculaire uniforme) dirigeacute de M vers C Ce vec-teur est perpendiculaire au vecteur vitesse
minusrarrCM =
minusrarrOM minusminusrarr
OC =minusrarrOM minusminusrarru x
minusrarrCM = (1 + cos t minus 1)minusrarru x + (sin t)minusrarru y = minusminusrarra
O C
M
xu
V
a
ω x
y rarr
rarr rarr
rarr
Figure 117
EXERCICES CORRIGEacuteS
1 Mouvement rectiligne uniforme Agrave lrsquoinstant t = 0 deux navires Nprime et N sont situeacutessur un mecircme meacuteridien Le navire Nprime estagrave une distance a au nord de N
1) N se dirige vers le nord agrave la vitesse v Nprime vers lrsquoest avec la vitesse constante vprimeQuelle sera la distance minimale entre les deux navires
2) Nprime se dirige vers lrsquoest avec la vitesse vprime constante Quelle direction doit prendre Npour atteindre Nprime en ligne droite Calculer la dureacutee correspondante
A
B
C
dD
l
x
Figure 118
2 Mouvement rectiligne uniforme Untracteur partant drsquoun point A situeacute surune route rectiligne doit atteindre unpoint B situeacute dans un champ agrave la distanced = CB de la route et ce dans un tempsminimal (voir figure 118) On supposeles trajets successifs AD et DB rectiligneset parcourus agrave vitesse constante par letracteur qui va deux fois moins vite dansle champ que sur la route On poseAC = l et AD = x
Cineacutematique du point 21
1) Exprimer la dureacutee t du trajet ADB en fonction de x
2) En quel point D le tracteur doit-il quitter la route
3 Mouvement rectiligne uniformeacutement varieacute Sur le quai drsquoune gare une voya-geuse en retard court pour essayer de prendre son train agrave une vitesse constantev = 8 msminus1
Le train deacutemarre alors qursquoelle est encore agrave 100 megravetres du dernier wagon Lrsquoacceacuteleacutera-tion constante du train est de a = 05 msminus2
1) La voyageuse rejoindra-t-elle son train Sinon agrave quelle distance minimale srsquoentrouvera-t-elle
2) Reprendre la question 1 dans le cas ougrave le deacutemarrage du train a lieu lorsque ledernier wagon est agrave 40 m de la voyageuse
3) Quelle devrait ecirctre agrave lrsquoinstant du deacutemarrage la distance minimale entre le trainet la voyageuse pour que celle-ci atteigne effectivement le dernier wagon
4 Mouvement rectiligne sinusoiumldal Deux points mobiles A et B se deacuteplacent tous lesdeux le long drsquoun segment drsquoun mouvement sinusoiumldal drsquoamplitude 10 cm Le pointA a une pulsation vA = 10 radsminus1 et B une pulsation vB = 11 radsminus1
1) Agrave la date t = 0 s ils passent dans le mecircme sens agrave lrsquoorigine des abscisses Agrave quelledate se rencontrent-ils agrave nouveau avec chacun une vitesse de mecircme signe
2) Quelle distance aura parcouru le moins rapide le plus rapide
O
θA
BBVrarr
Figure 119
5 Eacutechelle double Une eacutechelle double OABest appuyeacutee au bas drsquoun mur en O (figure119) Le deuxiegraveme point drsquoappui B glissesur le sol agrave la vitesse minusrarrv B On preacutecise queOA = AB = 2 5 m et que la vitesse angulairede OA garde la valeur constante de 10 degreacutespar seconde Agrave lrsquoinstant t = 0 u = uo = 15
1) Donner lrsquoeacutequation u = f (t)
2) Agrave quel instant t1 lrsquoangle OAB vaut-il 100
3) Agrave cet instant t1 donner les caracteacuteristiques(direction sens module) du vecteur vitesse minusrarrv A1 et du vecteur acceacuteleacuteration minusrarra A1 dupoint A faire un scheacutema repreacutesentant ces deux vecteurs
4) Calculer en fonction de t la longueur OB
5) En deacuteduire les eacutequations horaires de la vitesse vB et de lrsquoacceacuteleacuteration aB du point B
6) Faire lrsquoapplication numeacuterique pour t = t1
7) Quelle est la nature du mouvement de B
6 Mouvement circulaire uniforme Un pilote de chasse fait un looping La trajectoirecirculaire est situeacutee dans un plan vertical La vitesse est supposeacutee constante et eacutegale agrave1800 kmhminus1
Sachant que le corps humain ne peut pas supporter une acceacuteleacuteration supeacuterieure agrave 10g(g = 10 msminus1) calculer le rayon minimal que le pilote peut donner agrave la trajectoire
22 Meacutecanique du point
C
A
Instant t=0 Instant t
A
C oVrarr
x
y
θ
Figure 120
7 Mouvement drsquoun point drsquouneroue Une roue circulaire derayon a et de centre C roule sansglisser sur Ox tout en restant dansle plan Oxy (figure 120) Un pointA de la roue coiumlncide agrave lrsquoinstantt = 0 avec lrsquoorigine O du re-pegravere Le centre C a une vitesseconstante Vo
1) Deacuteterminer les coordonneacutees deA agrave lrsquoinstant t
2) Calculer le module du vecteur vitesse de A et eacutetudier ses variations au cours dutemps
3) Pour quelles positions de A ce vecteur vitesse est-il nul
8 Rotation Le rotor drsquoune machine tourne agrave 1200 trminminus1 Agrave lrsquoinstant t = 0 il estsoumis agrave une acceacuteleacuteration angulaire a supposeacutee constante jusqursquoagrave lrsquoarrecirct complet Ilsrsquoarrecircte en 300 tours
1) Donner les eacutequations horaires de a et a
2) Calculer la dureacutee du freinage Que vaut a
R2R1
ωo c
Figure 121
9 Rotation On considegravere un systegraveme de deuxpoulies relieacutees par une courroie (figure 121)La premiegravere poulie a un rayon R1 = 5 cmet tourne agrave la vitesse angulaire constantevo = 180 radsminus1 la seconde a un rayonR2 = 30 cm
1) Calculer la vitesse angulaire de la secondepoulie
2) La courroie porte une marque C Calculer lrsquoacceacuteleacuteration du point C au cours dumouvement
10 Mouvement curviligne Un ballon sonde a une vitesse drsquoascension verticale vo indeacute-pendante de son altitude Le vent lui communique une vitesse horizontale vx = z
tproportionnelle agrave lrsquoaltitude z atteinte z est une constante
1) Deacuteterminer les lois du mouvement x(t) et z(t) ainsi que lrsquoeacutequation de la trajectoirex(z)
2) Calculer le vecteur acceacuteleacuteration ses composantes tangentielle et normale
11 Mouvement curviligne Une mouche M parcourt drsquoun mouvement uniforme avecla vitesse Vo lrsquoaiguille des secondes drsquoune horloge situeacutee sur un mur vertical (figure122) Agrave lrsquoinstant t = 0 la mouche est au centre O de lrsquohorloge qui indique laquo 0 se-condes raquo Au bout drsquoune minute elle atteint lrsquoextreacutemiteacute de lrsquoaiguille qui mesure 20 cm
Cineacutematique du point 23
M
ox
y
uxrarr
θurarr
ρurarr
uy
rarr
θ
ρ
Figure 122
1) Par rapport au mur exprimer levecteur vitesse
minusrarrV (M) de la mouche
sur la base mobile (minusrarrurminusrarruu) lieacutee agrave MCalculer les composantes de
minusrarrV (M)
pour t = 0 s 15 s 30 s 45 s et 60 s
2) RepreacutesenterminusrarrV (M) aux points
M correspondants aux instants ci-dessus Donner lrsquoallure de la trajec-toire sur le mur
3) Calculer les composantes de lrsquoacceacuteleacuteration de M minusrarra (M) sur la base mobile Repreacute-senter minusrarra (M) aux cinq positions preacuteceacutedentes
12 Mouvement curviligne Une particule M se deacuteplace dans le plan xOy Sa vitesse estdeacutefinie par minusrarrv = aminusrarru u + bminusrarru y ougrave a et b sont deux constantes
1) Deacuteterminer lrsquoeacutequation r(u) de la trajectoire en coordonneacutees polaires
2) On choisit a = 3b Sachant que pour u = 0 lrsquoabscisse du point M est +1 m donnerlrsquoexpression de r(u) Quelle est lrsquoallure de la trajectoire dans le plan xOy
13 Mouvement curviligne Un point M se deacuteplace sur une spirale logarithmique drsquoeacutequa-tions polaires parameacutetriques r = roeu u = vt avec v constant
1) Dessiner scheacutematiquement une spirale logarithmique Repreacutesenter les axes descoordonneacutees polaires et le repegravere de Frenet en un point M quelconque de cette tra-jectoire
2) Calculer les composantes des vecteurs vitesse et acceacuteleacuteration de M en coordonneacuteespolaires En deacuteduire les normes de ces vecteurs Que vaut lrsquoangle a que fait la vitesseavec le vecteur unitaire minusrarru r
3) Calculer le rayon de courbure de la trajectoire
4) Le point M deacutecrit la mecircme spirale r = roeu mais cette fois-ci crsquoest la vitesse lineacuteairev qui est constante Comment varie alors la vitesse angulaire au cours du temps
Solutions
1 Positions initiales des navires No Nprimeo Axes fixes lieacutes agrave la Terre Nox vers lrsquoest et No Nprime
oy vers lenord (voir figure 123a)
(nord)
Nrsquo
v primerarr
No
prime
No(est)
Na
x
y
vrarr
(nord)
Nrsquo
v primerarr
Norsquo
No(est)
N1
a
x
y
vrarrN
u
(a) (b)
Figure 123
24 Meacutecanique du point
1) Date t minusminusrarrNoN = vtminusrarru y
minusminusrarrNprime
oNprime = vprimetminusrarru x et leur distance est D =
sbquo
sbquo
sbquo
minusminusrarrNNprime
sbquo
sbquo
sbquo
=p
vprime2t2 + (a minus vt)2
La deacuteriveacutee dDdt est eacutegale agrave 1
2D (2vprime2t minus 2v(a minus vt)) et srsquoannule pour tm = avv2+vprime2 Agrave cet instant la
distance est minimale et sa valeur est
D(tm) =h
vprime2v2a2
(v2+vprime2)2 + (a minus av2
(v2+vprime2) )2i12
= avprimeradicv2+vprime2
2) Soit u la direction prise par le navire N (figure 123b) On a alors
minusminusrarrNoN = (vt cos u)minusrarru x + (vt sin u)minusrarru y
minusminusrarrNprime
oNprime = vprimetminusrarru x
Les navires se croisent en N1 srsquoil existe un instant t pour lequel on a simultaneacutementvt cos u = vprimet et vt sin u = a rArr cos u = vprime
v N ne peut atteindre Nprime que si v gt vprime Ladirection qursquoil doit prendre est donneacutee par cos u = vprime
v et le croisement a lieu agrave lrsquoinstantt1 = a
v sin u= aradic
v2minusvprime2
2 Distance AD = d1 = x parcourue agrave la vitesse constante v Temps t1 = xv
Distance DB = d2 =p
(l minus x)2 + d2 parcourue agrave la vitesse constante v2 Temps
t2 =2radic
(lminusx)2+d2
v
Temps mis pour aller de A agrave B t = t1 + t2 = 1v (x + 2
p
(l minus x)2 + d2) Ce temps est minimallorsque la deacuteriveacutee srsquoannule soit d t
d x = 0 rArr 1 minus 2(lminusx)radic(lminusx)2+d2
= 0 rArr x = l minus dradic3
3 Repegravere axe Ox dans la direction du mouvement du train et de la voyageuse origine O positionde la voyageuse lorsque le train deacutemarre Agrave t = 0 il se trouve agrave D = 100 m de O
Voyageuse mouvement rectiligne uniforme drsquoeacutequation horaire x = vt = 8t
Train mouvement rectiligne uniformeacutement acceacuteleacutereacute drsquoacceacuteleacuteration a = 0 5 msminus2
La vitesse horaire est vt = at = 0 5t et lrsquoeacutequation horaire xt = 12 at2 + D = 0 25t2 + 100 La
voyageuse rejoint le train si pour une mecircme date t on a x = xt rArr 0 25t2 minus 8t + 100 = 0
Le discriminant D = minus36 lt 0 rArr pas de solution La distance qui seacutepare la voyageuse etle train est xt minus x = 1
2 at2 + D minus vt Cette distance est minimale quand sa deacuteriveacutee srsquoannulesoit quand at minus v = 0 rArr t = v
a On a donc t = 80 5 = 16 s et la distance minimale estdm = 1
2 at2 + D minus vt = 36 m
Pour D = 40 m x = xt rArr 0 25t2 minus 8t + 40 = 0 Le discriminant D = 24 gt 0 Les solutionssont
t1 = 16 minusradic
96 = 6 2 s et la voyageuse a parcouru x1 = vt1 = 49 6 m (le train a effectueacute 9 6m et sa vitesse est alors de 3 1 msminus1 La voyageuse est plus rapide et commence agrave remonterle train)
t2 = 16 +radic
96 = 25 8 s et la voyageuse a parcouru x1 = vt1 = 206 4 m (le train acceacuteleacuterantil deviendra plus rapide que la voyageuse et la deacutepassera si elle nrsquoa pas pu monter en marcheElle a pour cela 19 6 s)
Distance minimale Dm pour que la voyageuse atteigne le train x = xt rArr 0 25t2 minus 8t + D = 0Le discriminant doit ecirctre positif ou nul soit 64 minus D gt 0 rArr Dm = 64 m On a alors t = 16 set la distance parcourue est de x = 128 m Le train a parcouru 28 m et sa vitesse est de 8msminus1 = v
Cineacutematique du point 25
4 A vA = 10 radsminus1 rArr TA = 2pvA
B vB = 11 radsminus1 rArr TB = 2pvb
lt TA
La peacuteriode de A est supeacuterieure agrave celle de B qui est donc le plus rapide Lors de la premiegraverecoiumlncidence B aura effectueacute une oscillation de plus que A On peut donc eacutecrire que la rencontrese fera agrave lrsquoinstant t = nTA = (n + 1)TB ougrave n repreacutesente le nombre drsquooscillations effectueacutees parA jusqursquoagrave la coiumlncidence
n = TBTAminusTB
= 1vBvA
minus1= 1
11minus1 = 10 rArr t = 10TA = 6 28 s
Le moins rapide aura effectueacute 10 oscillations soit une distance de 10 fois 4Xm crsquoest-agrave-dire 4 mLe plus rapide effectue une oscillation de plus et a donc parcouru 4 4 m
5 Vitesse angulaire constante de OA vo = u = 10sminus1 = p18 radsminus1
1) u = vot + uo = 10t + 15 (en degreacutes) = p18 t + p
12 (en radians)
2) 2u1 = 100 rArr t1 = u1minusuovo
= 50minus1510 = 3 5 s
3) A a un mouvement circulaire uniforme de rayon OA = 2 5 m= l et de vitesse angulairevo = p
18 radsminus1 On a donc vA = lvo = 0 436 msminus1 et minusrarrv A perp minusrarrOA vers B Lrsquoacceacuteleacuteration est
centripegravete direction OA sens de A vers O et a pour expression a =v2
Al = v2
o l = 0 076 msminus1
4) OB = 2OA sin u = 5 sin(10t + 15) = 5 sin( p18 t + p
12 )
5)- minusrarrv B = dminusrarrOBd t = minusrarru x2OAvo cos(vot + uo) = minusrarru x
5p18 cos( p
18 t + p12 )
minusrarra B = minusminusrarru x2OAv2o sin(vot + uo) = minusminusrarru x5( p
18 )2 sin( p18 t + p
12 )
Pour t = t1 rArr vB = 5p18 cos 50 = 0 5609 msminus1 et aB = minus0 1523 sin 50 = minus0 1166 msminus1
6) B a un mouvement rectiligne sinusoiumldal drsquoamplitude 2OA = 5 m et de pulsation vo
6 Mouvement circulaire uniforme de vitesse constante v = 1800 kmhminus1 = 0 5103 msminus1 Lrsquoac-ceacuteleacuteration est normale et centripegravete et a pour expression a = v2
r lt 10g rArr r gt v2
10g = 2 5 km
7 Roulement sans glissement pendant la dureacutee d t le point C effectue vo d t et la roue a tourneacutede d u On a donc a d u = vo d t rArr u = vo
a rArr u = voa t (en orientant u comme sur le scheacutema)
minusrarrOA =
minusrarrOC +
minusrarrCA =
ˆ
(vot)minusrarru x + aminusrarru y˜
+ˆ
minusa sin uminusrarru x minus a cos uminusrarru y˜
minusrarrOA =
ˆ
vot minus a sin voa t˜minusrarru x + a
ˆ
1 minus cos voa t˜minusrarru y
minusrarrv A = dminusrarrOA
d t = voˆ
(1 minus cos voa t)minusrarru x + minusrarru y sin vo
a t˜
rArr minusrarrv A = vo
q
(1 minus cos voa t)2 + sin2 vo
a t
minusrarrv A = voradic
2p
1 minus cos voa t Fonction peacuteriodique de peacuteriode T = 2pa
vo(temps mis pour faire un
tour de roue complet u = 2p) Elle srsquoannule pour t = nT (avec n nombre entier correspondantau nombre de tours effectueacutes) Le point A est alors en contact avec le sol Elle est maximalepour t = nT + T
2 et prend alors la valeur de 2vo Le point A est alors au sommet de la roue
26 Meacutecanique du point
8 Rotation de 1200 trminminus1 rArr ao = 40p radsminus1 Arrecirct en 300 trrArr a1 = 600p Acceacuteleacuterationangulaire constante a rArr a = at + ao et a = 1
2 at2 + aot rArr a = aminusaot et a = 1
2aminusao
t t2 + aot
Lrsquoarrecirct srsquoeffectue pour
a = a1 et a = 0 rArr a1 = minus12
aot + aot =12
aot rArr t = 2a1
ao= 2
600p
40p= 30 s
a = aminusaot = minus ao
30 = minus 43 p radsminus2
9 Un point C de la courroie se deacuteplace avec une vitesse constante La courroie ne glissant passur les roues on peut exprimer la vitesse du point lorsqursquoil est en contact avec la roue de rayonR1 (vc = R1vo) et lorsqursquoil est en contact avec la roue de rayon R2 (vc = R2v2) On a doncR1vo = R2v2 rArr v2 = vo
R1R2
= 30 radsminus1
Sur les roues le point C a un mouvement circulaire uniforme Lrsquoacceacuteleacuteration est donc normaleet centripegravete (vers le centre des roues) et a pour valeur
Roue n1 a1 = R1v2o = 1620 radsminus2 Roue n2 a2 = R2v2
2 = a1R1R2
= 270 radsminus2 Entreles deux roues le mouvement est rectiligne uniforme et lrsquoacceacuteleacuteration est donc nulle
10 La vitesse drsquoascension verticale vo eacutetant constante on peut eacutecrire que le mouvement projeteacutesur lrsquoaxe des z est rectiligne uniforme On a d2 z
d t2 = 0 d zd t = vo z = vot (avec z = 0 pour t = 0)
Suivant lrsquoaxe des x on a vx = d xd t = z
t= vo
tt
et x = vot2
2t(le mouvement est uniformeacutement
acceacuteleacutereacute)
Lrsquoeacutequation de la trajectoire est x = z2
2tvoet correspond agrave une portion de parabole
Le vecteur acceacuteleacuteration est donneacute par minusrarra = d2 xd t2
minusrarru x + d2 zd t2
minusrarru y = vot
minusrarru x
Le vecteur vitesse est donneacute par minusrarrv = ztminusrarru x + vo
minusrarru y Le vecteur vitesse eacutetant tangent agrave latrajectoire on en deacuteduit lrsquoexpression du vecteur unitaire tangent
minusrarrut =minusrarrv
minusrarrv = t(z2 + v2o t
2)minus12(ztminusrarru x + vo
minusrarru y)
Le vecteur normal agrave la trajectoire se deacuteduit de minusrarrut par
minusrarrut minusrarrun = 0 rArr minusrarrun = t(z2 + v2
o t2)minus12(vo
minusrarru x minusztminusrarru y)
at = minusrarra minusrarrut = t(z2 + v2o t2)minus12 voz
t2 = (z2 + v2o t2)minus12 voz
t
an = minusrarra minusrarrun = (z2 + v2o t2)minus12v2
o
11 minusrarrOM = rminusrarrur rArr minusrarr
V (M) = rminusrarrur + ruminusrarruu M parcourt lrsquoaiguille drsquoun mouvement uniforme avec lavitesse Vo constante On a donc r = Vo rArr r = Vot (agrave t = 0 r = 0) et u = v = minus p
30 radsminus1
(mouvement de lrsquoaiguille des secondes un tour en 60 secondes dans le sens inverse du senstrigonomeacutetrique)
En 60 secondes la mouche effectue 20 cm On a donc Vo = 2060 = 1
3 cmsminus1
minusrarrV (M) = Vo(minusrarrur minus p
30 tminusrarruu )
rArr minusrarrV (t = 0) = Vo
minusrarrur =13minusrarru y
minusrarrV (t = 15) = Vo(minusrarrur minus p
2minusrarruu ) =
13
(minusrarru x minusp
2minusrarru y)
Cineacutematique du point 27
minusrarrV (t = 30) = Vo(minusrarrurminuspminusrarruu ) = 1
3 (minusminusrarru yminuspminusrarru x) minusrarrV (t = 45) = Vo(minusrarrurminus 3
2 pminusrarruu ) = 13 (minusminusrarru x+ 3
2 pminusrarru y)minusrarrV (t = 60) = Vo(minusrarrur minus 2pminusrarruu ) = 1
3 (minusrarru y + 2pminusrarru x)
Il est alors possible de tracer les diffeacuterents vecteurs vitesse tous tangents agrave la trajectoire Lrsquoallurede la trajectoire est une spiraleminusrarra (M) = Vo(minusrarrur + vtminusrarruu )prime = Vo(vminusrarruu + vminusrarruu + vt(minusvminusrarrur)) = Vo(minusv2tminusrarrur + 2vminusrarruu )minusrarra (M) = p
30 Vo(minus p30 tminusrarrur minus 2minusrarruu ) = p 1
90 (minus p30 tminusrarrur minus 2minusrarruu ) (en cmsminus2)
minusrarra (t = 0) = 2Vovminusrarruu = minus2Vov
minusrarru x = p45minusrarru x
minusrarra (t = 15) = Vo(minusv215minusrarru x + 2vminusrarru y) = minus p
90(p
2minusrarru x + 2minusrarru y)
minusrarra (t = 30) = Vo(v230minusrarru y + 2vminusrarru x) = minus p90 (minuspminusrarru y + 2minusrarru x)
minusrarra (t = 45) = Vo(+v245minusrarru x minus 2vminusrarru y) = p90 ( 3
2 pminusrarru x + 2minusrarru y)minusrarra (t = 60) = Vo(minusv260minusrarru y minus 2vminusrarru x) = p
90 (minus2pminusrarru y + 2minusrarru x)
12 minusrarrv = aminusrarruu + bminusrarru y et minusrarru y = sin uminusrarrur + cos uminusrarruu
04
08
12
16
2
30
60
240 300
330
0
Figure 124
rArr minusrarrv = b sin uminusrarrur +(a+b cos u)minusrarruu = rminusrarrur +ruminusrarruu
d r
d t = b sin u et r d ud t = a + b cos u
rArr r d u
d r=
a + b cos u
b sin urArr d r
r=
b sin u
a + b cos ud u
On integravegre chaque membre de lrsquoeacutegaliteacute (avecC = minus ln ro une constante drsquointeacutegration)
On obtient
ln r + C =
Z
b sin u
a + b cos ud u = ln r minus ln ro
= minus ln(a + b cos u) = ln r
ro
Lrsquoeacutequation de la trajectoire est r(u) = roa+b cos u
Avec a = 3b et pour u = 0 on a r(0) = 1 = ro3b+b rArr ro = 4b
r(u) = 43+cos u
= 431+ 1
3 cos u Ceci est lrsquoeacutequation drsquoune ellipse en coordonneacutees polaires (allure de
la trajectoire voir figure 124)
13 1) Voir figure 125
30
60
0θu
rarr
ρurarr
turarr
nurarr
M
Figure 125
2) r = roevt rArr r = vr et r = v2r
La vitesse angulaire est constante u = v rArr u = 0minusrarrv = rminusrarrur + ruminusrarruu = rv(minusrarrur + minusrarruu )
rArr angle a=(minusrarrv minusrarrur ) = 45 =angle (minusrarrut minusrarrur )
minusrarra = (r minus ru2)minusrarrur + (2ru + ru)minusrarruu
= (v2r minus v2r)minusrarrur + 2rv2minusrarruu
= 2rv2minusrarruu
Lrsquoangle entre minusrarra et (minusrarrut ou minusrarrun ) est donc aussi de 45
(voir figure 125)
minusrarrv =radic
2rv et minusrarra = 2rv2
28 Meacutecanique du point
3) an = minusrarra minusrarrun = minusrarra cos 45 =radic
2rv2 =minusrarrv 2
R = 2r2v2
R rArr R =radic
2r
4) minusrarrv =radic
2ru = v = cste rArr d ud t = v
roradic
2eu rArr eu d u = vroradic
2d t
eu = vroradic
2t + C Si pour t = 0 u = 0 alors eu = v
roradic
2t + 1
On a donc u = ln( vroradic
2t + 1) et u = v
roradic
2
ldquo
vroradic
2t + 1
rdquominus1
CHAPITRE 2
CHANGEMENTS DE REacuteFEacuteRENTIELS
Preacute-requis bull Avoir compris ce qursquoest un reacutefeacuterentielbull Savoir deacuteriver un vecteur unitaire tournant
Objectif I Savoir reconnaicirctre le type de mouvement que peut avoir un reacutefeacuterentielpar rapport agrave un autre
I Savoir deacuteriver un vecteur dans des reacutefeacuterentiels diffeacuterentsI Connaicirctre la loi de composition des vitessesI Connaicirctre la loi de composition des acceacuteleacuterations
Dans les mouvements de rotation que nous allons eacutetudier nous ne consideacutererons que larotation autour drsquoun seul axe
1 MOUVEMENTS DrsquoUN REacuteFEacuteRENTIEL PAR RAPPORT Agrave UN AUTRE
Dans ce qui va suivre nous consideacuterons deux reacutefeacuterentiels R et Rprime Le premier est carac-teacuteriseacute par un de ses repegraveres (O x y z) avec la base correspondante
(minusrarru xminusrarru y
minusrarru z) et le
second par (Oprime xprime yprime zprime) avec la base(minusrarru prime
xminusrarru prime
yminusrarru prime
z
) Les axes Oprimexprime Oprimeyprime Oprimezprime sont choisis
de sorte agrave ecirctre parallegraveles respectivement aux axes Ox Oy Oz agrave un instant quelconque quipeut ecirctre un instant origine Cette condition valide agrave t = 0 nrsquoest plus vraie en geacuteneacuteralquand le temps srsquoeacutecoule puisque nous consideacuterons que Rprime se deacuteplace par rapport agrave RNous allons cependant preacuteciser ce que devient lrsquoorientation des axes de ces deux reacutefeacuteren-tiels dans quelques cas importants
11 Le mouvement de translationa) Deacutefinition
Nous dirons que le reacutefeacuterentiel Rprime est en mouvement de translation par rapport au reacutefeacute-rentiel R si les axes du reacutefeacuterentiel Rprime restent parallegraveles agrave ceux du reacutefeacuterentiel R au cours dumouvement Si le point Oprime est en mouvement par rapport agrave R tous les points constituantle reacutefeacuterentiel Rprime se deacuteplacent de la mecircme quantiteacute vectorielle que Oprime Conseacutequences
30 Meacutecanique du point
bull Agrave tout instant on a les eacutegaliteacutes minusrarru x = minusrarru primexminusrarru y = minusrarru prime
yminusrarru z = minusrarru prime
z La base(minusrarru prime
xminusrarru prime
yminusrarru prime
z
)est donc une base fixe dans Rprime mais aussi dans R Le vecteur
minusminusrarrOOprime correspond au vecteur
translationbull Le mouvement de translation de Rprime par rapport agrave R peut ecirctre rectiligne circulaire ou
quelconque selon la nature du mouvement de lrsquoorigine Oprime du reacutefeacuterentiel Rprime
O
x
y
z
Vecteur translation
z 0
y prime
(R )
O
uzrarr
uzrarr
uyrarr
uxrarr
uxrarr uy
rarr
(R)
x
Figure 21 bull Translation drsquoun reacutefeacuterentiel Rprime par rapport agrave un reacutefeacuterentiel R
b) Translation rectiligne
Le point Oprime suit une trajectoire rectiligne par rapport au reacutefeacuterentiel R Un exemple simpleest celui ougrave le reacutefeacuterentiel Rprime est lieacute agrave un tapis roulant R eacutetant lieacute agrave la Terre Dans cesconditions on peut eacutecrire la vitesse du point Oprime par rapport agrave R en choisissant lrsquoaxe Oxdans la direction du mouvement de translation
minusrarrV OprimeR = VOprime
minusrarru x = VOprimeminusrarru prime
x
(R) (R)
OO prime
prime
Figure 22 bull Mouvement de translation rectiligne drsquoun reacutefeacuterentiel Rprime parrapport agrave un reacutefeacuterentiel R
La vitesse VOprime peut varier au cours du temps
Encart 21 Translation rectiligne uniformeLe mouvement du point Oprime est un mouvement rectiligne et uniforme On a donc
minusrarrV OprimeR = minusrarrcste =
dminusminusrarrOOprime
d t=rArr
minusminusrarrOOprime = VOprime tminusrarru x +
minusrarrC
Le vecteurminusrarrC est une constante qui deacutepend des conditions initiales du mouvement En
particulier si agrave t = 0 le point Oprime est confondu avec le point O ce vecteur est nul
Changements de reacutefeacuterentiels 31
c) Translation circulaire
Le point Oprime deacutecrit un cercle autour drsquoun point fixe de R qui peut ecirctre choisi comme origineO du repegravere de R Son mouvement est caracteacuteriseacute par le vecteur vitesse angulaire minusrarrv OprimeRLrsquoexpression du vecteur vitesse du point Oprime par rapport au reacutefeacuterentiel R est donc
minusrarrV OprimeR = minusrarrv OprimeR and
minusminusrarrOOprime
O x
y
x prime
y prime
O prime
uxrarr
uyrarr
uzrarr
(R)
(R prime)
RO primeωrarr
Figure 23 bull Translation circulaire drsquoun reacutefeacuterentiel Rprime par rapport agrave unreacutefeacuterentiel R Les axes de Rprime restent parallegraveles agrave ceux de R lrsquoorigine Oprime deacutecrit
un mouvement circulaire
Exemple Si on considegravere la nacelle drsquoune grande roue drsquoune fecircte foraine elle constitue unreacutefeacuterentiel qui est en translation circulaire par rapport au reacutefeacuterentiel terrestre le fond dela nacelle restant toujours horizontal (figure 23)
Translation circulaire uniforme Le vecteur vitesse angulaire minusrarrv OprimeR est un vecteurconstant
d) Translation quelconque
Le point Oprime a un mouvement quelconque curviligne uniforme ou varieacute mais les axes durepegravere de Rprime restent parallegraveles agrave ceux du reacutefeacuterentiel R (figure 24)
12 Le mouvement de rotationNous dirons qursquoun reacutefeacuterentiel Rprime est en rotation par rapport agrave un reacutefeacuterentiel R si les axesdu reacutefeacuterentiel Rprime tournent par rapport agrave ceux du reacutefeacuterentiel R
Le point Oprime origine du repegravere du reacutefeacuterentiel Rprime est immobile par rapport agrave R Nousconsideacutererons la rotation autour drsquoun seul axe cette rotation eacutetant caracteacuteriseacutee par levecteur vitesse angulaire de rotation du reacutefeacuterentiel Rprime par rapport agrave R
minusrarrV RprimeR
32 Meacutecanique du point
O(R)
y
z
x
uxrarr
uyrarruz
rarrO
prime
z prime
y prime
O prime
(R prime)zrsquo
x prime
y prime
O prime
(R prime)z
prime
x prime
y prime
(R )
x prime
Figure 24 bull Mouvement de translation quelconque
Dans ces conditions on peut choisir lrsquoorigine O confondue avec le point Oprime et choisir unrepegravere (O x y z) de sorte que le vecteur vitesse angulaire
minusrarrV RprimeR soit de la forme
minusrarrV RprimeR = VRprimeR
minusrarru z
Lrsquoaxe Oprimezprime peut ecirctre confondu avec lrsquoaxe Oz et donc minusrarru z = minusrarru primez Les axes Oprimexprime et Oprimeyprime sont
alors en rotation autour de lrsquoaxe Oz Dans ces conditions la base(minusrarru prime
xminusrarru prime
yminusrarru prime
z
) qui est
la base fixe du reacutefeacuterentiel Rprime est une base mobile dans R Les vecteurs minusrarru primex et minusrarru prime
y tournentautour de lrsquoaxe Oz au cours du temps
uyrarr
ux primerarr
uxrarr
x
x prime
y
y prime
z z prime
uzrarr
uz prime
rarr
uy primerarr
RR
primeΩrarr
θ
O O prime
RRperpprimeΩ
rarr
uy primerarr
uyrarr
x
x prime
y
y prime
uxrarr
ux primerarr
θ
Figure 25 bull Mouvement de rotation drsquoun reacutefeacuterentiel Rprime par rapport agrave un reacutefeacuterentiel R
Si u est lrsquoangle que fait minusrarru primex avec lrsquoaxe Ox du reacutefeacuterentiel R (figure 25) nous avons alors
u = VRprimeR
La deacuterivation du vecteur unitaire tournant minusrarru primex conduit agrave (voir 5 de lrsquoannexe 1)
dminusrarru primex
d u= minusrarru prime
y =rArr dminusrarru primex
d t
)R
= uminusrarru primey = VRprimeR
minusrarru primey
Changements de reacutefeacuterentiels 33
Si nous nous placcedilons dans le reacutefeacuterentiel R la deacuterivation des vecteurs de la base donne
d minusrarru primex
d t
)R
= VRprimeRminusrarru prime
y = VRprimeR(minusminusrarru prime
x and minusrarru primez
)=
minusrarrV RprimeR and minusrarru prime
x
d minusrarru primey
d t
)R
= minusVRprimeRminusrarru prime
x = VRprimeR
(minusrarru primez and minusrarru prime
y
)=
minusrarrV RprimeR and minusrarru prime
y
d minusrarru primez
d t
)R
=minusrarr0
Dans le reacutefeacuterentiel Rprime nous aurions
dminusrarru primex
d t
)Rprime
= 0dminusrarru prime
y
d t
)Rprime
= 0dminusrarru prime
z
d t
)Rprime
= 0
Il est donc important de preacuteciser agrave chaque fois si la deacuterivation est effectueacutee dans R oudans Rprime Ceci peut ecirctre speacutecifieacute en indice au niveau du symbole de deacuterivation
Enfin on peut remarquer que la base(minusrarru prime
xminusrarru prime
yminusrarru prime
z
)du reacutefeacuterentiel Rprime se confond avec la
base(minusrarru r
minusrarru uminusrarru z) base mobile des coordonneacutees cylindriques du repegravere (O x y z)
13 Mouvement quelconque
Un mouvement quelconque peut ecirctre consideacutereacute comme une combinaison drsquoun mouve-ment de translation et de rotation On peut prendre lrsquoexemple suivant de la roue drsquounebicyclette qui se deacuteplace le long drsquoun axe Ox (figure 26) et deacutefinir trois reacutefeacuterentiels pos-sibles
bull le reacutefeacuterentiel R terrestre lieacute agrave la Terre sur laquelle se deacuteplace la bicyclette bull le reacutefeacuterentiel R1 lieacute agrave la bicyclette bull enfin un reacutefeacuterentiel R2 lieacute aux rayons de la roue et agrave la valve de la chambre agrave air
uyrarr rarr
uy1rarr
x1
y1 ux2
ux2
rarruy2
uy2
rarr
O1
O2
x
y
uxrarr
rarr
uy1rarr
x1
y1
rarr
rarrO1
O2
x2
y2
x2
y2
O
ux1 ux1
Figure 26 bull Mouvement drsquoune roue de bicyclette
Le reacutefeacuterentiel R1 (bicyclette) est en translation rectiligne par rapport au reacutefeacuterentiel Rterrestre Le reacutefeacuterentiel R2 (rayon de la roue) peut ecirctre caracteacuteriseacute par le repegravere (O1 x2 y2)Ce repegravere est en rotation par rapport agrave R1 Le mouvement du reacutefeacuterentiel R2 par rapportau reacutefeacuterentiel R peut donc se deacutecomposer en un mouvement de translation rectiligne etun mouvement de rotation
34 Meacutecanique du point
Avec cet exemple simple on srsquoaperccediloit que
Le mouvement quelconque drsquoun reacutefeacuterentiel par rapport agrave un autre peut toujours seramener agrave une composition de mouvement de translation et de rotation
Drsquoougrave lrsquoimportance de ces deux cas que nous allons eacutetudier maintenant
2 EacuteTUDE DE LA VITESSE
21 Reacutefeacuterentiel Rprime en translation par rapport agrave Ra) Position drsquoun point M
Le repegravere du reacutefeacuterentiel Rprime en translation par rapport agrave un reacutefeacuterentiel R est choisi desorte que les axes Oprimexprime Oprimeyprime et Oprimezprime soient respectivement parallegraveles aux axes Ox Oy et Oz durepegravere caracteacuterisant le reacutefeacuterentiel R Lrsquoorigine Oprime lieacutee agrave Rprime a un mouvement quelconquepar rapport agrave R
O(R)
y
z
x
uxrarr
uyrarruz
rarrO
prime
(R prime)z
prime
x prime
y prime
O prime
(Rrsquo)z prime
x prime
y prime
O prime
(R prime)z
prime
x prime
y prime
Figure 27 bull Mouvement de translation quelconque
La base fixe de R(minusrarru x
minusrarru yminusrarru z) est aussi une base fixe de Rprime
Dans le reacutefeacuterentiel R les coordonneacutees du point M sont (x y z) Dans le reacutefeacuterentiel Rprime elles
sont (xprime yprime zprime) La relation de Chasles appliqueacutee aux vecteursminusrarrOM et
minusminusrarrOprimeM srsquoeacutecrit
minusrarrOM =
minusminusrarrOOprime +
minusminusrarrOprimeM
avec minusrarrOM = xminusrarru x + yminusrarru y + zminusrarru z et
minusminusrarrOprimeM = xprimeminusrarru x + yprimeminusrarru y + zprimeminusrarru z
Encart 22 Transformation de GalileacuteeConsideacuterons le cas particulier ougrave Rprime est en mouvement de translation rectiligne parrapport agrave un reacutefeacuterentiel R Nous pouvons alors choisir les axes des repegraveres de sorteque le mouvement de translation soit colineacuteaire agrave lrsquoaxe des y Dans ces conditions levecteur vitesse du point Oprime par rapport au reacutefeacuterentiel R peut srsquoeacutecrire
minusrarrv OprimeR =dminusminusrarrOOprime
d t= VOprimeminusrarru y = VOprimeminusrarru prime
y
Changements de reacutefeacuterentiels 35
(R)
(R prime)
O primeO y
x
x prime
z z prime
M
ROV primerarr
uzrarr
uxrarr
uyrarr
uxrarr
uyrarr
uzrarr
Figure 28 bull Mouvement de translation rectiligne
Si le reacutefeacuterentiel Rprime est en translation rectiligne uniforme par rapport agrave R on peut eacutecrireque
minusminusrarrOOprime = votminusrarru y
On en deacuteduit donc que les coordonneacutees du point M dans R srsquoexpriment en fonction descoordonneacutees du point M dans Rprime par la transformation suivante dite transformationde Galileacutee
xminusrarru x + yminusrarru y + zminusrarru z = votminusrarru y + xprimeminusrarru x + yprimeminusrarru y + zprimeminusrarru z
Cette relation peut srsquoeacutecrire en utilisant la notion de quadrivecteur (position temps)et en se rappelant que le temps en meacutecanique classique est une grandeur absolue sousla forme matricielle suivante ⎡⎢⎣ x
yzt
⎤⎥⎦ =
⎡⎢⎣ 1 0 0 00 1 0 vo0 0 1 00 0 0 1
⎤⎥⎦⎡⎢⎣ xprime
yprime
zprime
tprime
⎤⎥⎦
b) Loi de composition des vitesses
Par deacutefinition nous pouvons eacutecrire que
minusrarrv MR =dminusrarrOMd t
)R
=d(xminusrarru x + yminusrarru y + zminusrarru z)
d t=
d xd t
minusrarru x +d yd t
minusrarru y +d zd t
minusrarru z
minusrarrv MRprime =dminusminusrarrOprimeMd t
)Rprime
=d(xprimeminusrarru x + yprimeminusrarru y + zprimeminusrarru z)
d t=
d xprime
d tminusrarru x +
d yprime
d tminusrarru y +
d zprime
d tminusrarru z
etdminusminusrarrOOprime
d t
)R
= minusrarrv OprimeR = minusrarrv RprimeR
En deacuterivant par rapport au temps dans le reacutefeacuterentiel R la relation de Chasles qui donnela position du point M il vient
dminusrarrOMd t
)R
=dminusminusrarrOOprime
d t
)R
+dminusminusrarrOprimeMd t
)R
36 Meacutecanique du point
Comme les axes de Rprime restent parallegraveles agrave ceux de R la deacuteriveacutee deminusminusrarrOprimeM dans R est iden-
tique agrave la deacuteriveacutee deminusminusrarrOprimeM dans Rprime
dminusminusrarrOprimeMd t
)R
=dminusminusrarrOprimeMd t
)Rprime
ce qui conduit agrave la relation suivante
dminusrarrOMd t
)R
=dminusminusrarrOOprime
d t
)R
+dminusminusrarrOprimeMd t
)Rprime
soit minusrarrv MR = minusrarrv OprimeR + minusrarrv MRprime
Cette relation entre les vitesses est formellement analogue agrave la relation de Chasles surlrsquoaddition des vecteurs et est connue sous lrsquoappellation loi de composition des vitessesOn peut remarquer que si le point M eacutetait fixe dans Rprime on aurait
minusrarrv MR = minusrarrv OprimeR
Pour cette raison minusrarrv OprimeR = minusrarrv RprimeR est aussi appeleacutee vitesse drsquoentraicircnement et noteacutee minusrarrv e
22 Reacutefeacuterentiel Rprime en rotation par rapport agrave R
Consideacuterons maintenant le cas ou le reacutefeacuterentiel Rprime(O xprime yprime zprime t) avec(minusrarru prime
xminusrarru prime
yminusrarru prime
z
)fixe de Rprime est en mouvement de rotation par rapport au reacutefeacuterentiel R(O x y z t) avec(minusrarru x
minusrarru yminusrarru z)
fixe de R Nous supposons comme lrsquoindique la figure 29 que le point Oprime estconfondu avec O
rarrrarr
rarr
x
x prime
y
y prime
z z prime
rarr rarrrarr
RR
primeΩrarr
θ
OO
prime
RR
primeΩrarr
rarr
rarr
x
x prime
y
y prime
rarr
rarr
θuyux prime
ux
uz uz prime
uy prime
uy prime
uy
ux
ux prime
Figure 29 bull Mouvement de rotation drsquoun reacutefeacuterentiel Rprime par rapport agrave un reacutefeacuterentiel R
Changements de reacutefeacuterentiels 37
Nous faisons en outre lrsquohypothegravese que lrsquoaxe de rotation de Rprime par rapport agrave R est lrsquoaxe desz ce qui permet drsquoeacutecrire que la vitesse angulaire de rotation de Rprime par rapport agrave R est
minusrarrV RprimeR =
d u
d tminusrarru z
Il est alors tregraves important de comprendre que dans le reacutefeacuterentiel Rprime les vecteurs de base(minusrarru primexminusrarru prime
yminusrarru prime
z
)sont constants puisqursquoils tournent avec les axes du reacutefeacuterentiel Pour srsquoen
assurer il suffit de deacuteterminer agrave tout instant lrsquoangle fait par ces vecteurs et les axes du
reacutefeacuterentiel et de constater qursquoil est toujours nul Les vecteurs(minusrarru prime
xminusrarru prime
yminusrarru prime
z
)sont donc
fixes dans Rrsquo Drsquoautre part le reacutefeacuterentiel R peut ecirctre rapporteacute soit agrave la base(minusrarru x
minusrarru yminusrarru z)
fixe de R soit agrave la base(minusrarru prime
xminusrarru prime
yminusrarru prime
z
)mobile de R Dans ce cas les vecteurs minusrarru prime
xminusrarru prime
y
correspondent comme nous lrsquoavons vu au paragraphe 12 aux vecteurs minusrarru rminusrarru u de la base
polaire de R Ils ne sont plus constants dans R puisqursquoils tournent agrave la vitesse angulaireminusrarrV RprimeR par rapport agrave R Toute la difficulteacute du calcul qui suit repose sur la compreacutehensionde ce point
Quel que soit le reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude la position du point M peut srsquoeacutecrire
minusrarrOM = xminusrarru x + yminusrarru y + zminusrarru zminusrarrOM = xprimeminusrarru prime
x + yprimeminusrarru primey + zminusrarru prime
z
La vitesse du point M de coordonneacutees (x y z) dans R(O x y z t) est
minusrarrv MR =dminusrarrOMd t
)R
=d xd t
minusrarru x +d yd t
minusrarru y +d zd t
minusrarru z
alors que la vitesse du mecircme point M dans Rprime(Oprime xprime yprime zprime t) srsquoeacutecrit
minusrarrv MRprime =dminusrarrOMd t
)Rprime
=d(
xprimeminusrarru primex + yprimeminusrarru prime
y + zminusrarru primez
)d t
Dans Rprime les vecteurs de base(minusrarru prime
xminusrarru prime
yminusrarru prime
z
)sont constants ce qui conduit agrave
minusrarrv MRprime =d xprime
d tminusrarru prime
x +d yprime
d tminusrarru prime
y +d zprime
d tminusrarru prime
z
Nous nous replaccedilons maintenant dans R mais nous exprimons la position du point M dans
la base(minusrarru prime
xminusrarru prime
yminusrarru prime
z
) La vitesse du point M srsquoeacutecrit alors
minusrarrv MR =d(xprimeminusrarru prime
x + yprimeminusrarru primey + zminusrarru prime
z)d t
soit minusrarrv MR =
d xprime
d tminusrarru prime
x +d yprime
d tminusrarru prime
y +d zprime
d tminusrarru prime
z + xprimedminusrarru prime
x
d t+ yprime
dminusrarru primey
d t+ zprime
dminusrarru primez
d t
38 Meacutecanique du point
En utilisant les reacutesultats du paragraphe 12 de ce chapitre on obtient
minusrarrv MR =d xprime
d tminusrarru prime
x +d yprime
d tminusrarru prime
y +d zprime
d tminusrarru prime
z + xprimeuminusrarru primey minus yprimeuminusrarru prime
x
En remarquant que
uminusrarru primey =
minusrarrV RprimeR and minusrarru prime
x et minus uminusrarru primex =
minusrarrV RprimeR and minusrarru prime
y
on obtient finalement
minusrarrv MR =d xprime
d tminusrarru prime
x +d yprime
d tminusrarru prime
y +d zprime
d tminusrarru prime
z + xprimeminusrarrV RprimeR and minusrarru prime
x + yprimeminusrarrV RprimeR and minusrarru prime
y
Nous constatons ensuite que
minusrarrV RprimeR and xprimeminusrarru prime
x +minusrarrV RprimeR and yprimeminusrarru prime
y =minusrarrV RprimeR and
(xprimeminusrarru prime
x + yprimeminusrarru primey
)Comme le vecteur vitesse instantaneacute de rotation est dirigeacute selon minusrarru prime
z nous avons aussi
minusrarrV RprimeR and
(xprimeminusrarru prime
x + yprimeminusrarru primey
)=
minusrarrV RprimeR and
(xprimeminusrarru prime
x + yprimeminusrarru primey + zprimeminusrarru prime
z
)=
minusrarrV RprimeR and minusrarr
OM
Nous pouvons donc conclure que
dminusrarrOMd t
)R
=dminusrarrOMd t
)Rprime
+minusrarrV RprimeR and minusrarr
OM (21)
ce qui montre que
Deacuteriver le vecteurminusrarrOM dans R nrsquoest pas eacutequivalent agrave le deacuteriver dans Rprime
En posant minusrarrv RprimeR =minusrarrV RprimeR and
minusrarrOM la loi de composition des vitesses dans deux reacutefeacuterentiels
en rotation srsquoeacutecrit minusrarrv MR = minusrarrv RprimeR + minusrarrv MRprime
avec minusrarrv RprimeR appeleacutee vitesse drsquoentraicircnement crsquoest-agrave-dire la vitesse par rapport agrave R qursquoau-rait le point M srsquoil eacutetait fixe dans Rprime
La loi preacuteceacutedente a eacuteteacute appliqueacutee au vecteur positionminusrarrOM Elle est tout agrave fait geacute-
neacuterale et peut srsquoappliquer agrave nrsquoimporte quel vecteurminusrarrX Ainsi si
minusrarrX est un vecteur
quelconque on a drsquoapregraves (21)
dminusrarrX
d t
)R
=d
minusrarrX
d t
)Rprime
+minusrarrV RprimeR and minusrarr
X (22)
Changements de reacutefeacuterentiels 39
Nous insistons tregraves fortement sur cette derniegravere relation qui montre que
Si un vecteurminusrarrX appartient agrave deux reacutefeacuterentiels R et Rprime en rotation lrsquoun par rapport
agrave lrsquoautre la deacuteriveacutee du vecteurminusrarrX dans R est diffeacuterente de sa deacuteriveacutee dans Rprime
Par contre il est clair que si deux reacutefeacuterentiels R et Rprime sont en mouvement de transla-
tion lrsquoun par rapport agrave lrsquoautre(minusrarr
V RprimeR =minusrarr0)
la deacuteriveacutee drsquoun vecteurminusrarrX dans lrsquoun
est eacutegale agrave la deacuteriveacutee de ce mecircme vecteurminusrarrX dans lrsquoautre
23 Cas geacuteneacuteralCette relation peut ecirctre geacuteneacuteraliseacutee agrave un mouvement combinant une translation et unerotation en faisant intervenir la vitesse de Oprime par rapport agrave R ainsi que le vecteur vitesseangulaire
minusrarrV RprimeR caracteacuterisant la rotation de Rprime par rapport agrave R En partant de
minusrarrOM =
minusminusrarrOOprime +
minusminusrarrOprimeM
on voit que
dminusrarrOMd t
)R
=dminusminusrarrOOprime
d t
)R
+dminusminusrarrOprimeMd t
)R
Or la deacuteriveacutee deminusminusrarrOprimeM dans R peut srsquoexprimer agrave partir de la deacuteriveacutee de ce mecircme vecteur
dans Rprime drsquoougrave dminusrarrOMd t
)R
=dminusminusrarrOOprime
d t
)R
+dminusminusrarrOprimeMd t
)Rprime
+minusrarrV RprimeR and
minusminusrarrOprimeM
Nous obtenons ainsi la loi de composition des vitesses dans un cas geacuteneacuteral minusrarrv MR = minusrarrv OprimeR + minusrarrv MRprime +
minusrarrV RprimeR and minusminusrarr
OprimeM
On distingue dans cette expression deux termes
bull minusrarrv MRprime qui repreacutesente la vitesse de M par rapport agrave Rprime et que lrsquoon appelle vitesserelative de M par rapport agrave Rprime
bull minusrarrv OprimeR +minusrarrV RprimeRand
minusminusrarrOprimeM qui est la vitesse drsquoentraicircnement de M dans son mouvement par
rapport agrave R Cette vitesse est la somme de deux termes Le premier terme correspondagrave la vitesse drsquoentraicircnement due au deacuteplacement de lrsquoorigine Oprime (terme de translation)et le deuxiegraveme correspond agrave la vitesse drsquoentraicircnement due agrave la rotation de Rprime parrapport agrave R (terme de rotation)
Encart 23 Le mouvement cycloiumldalNotre but est de montrer comment il est possible drsquoutiliser la loi de composition desvitesses afin de preacutedire la vitesse drsquoun point dans un reacutefeacuterentiel R connaissant sa vitessedans un reacutefeacuterentiel Rprime Agrave ce titre nous consideacuterons le mouvement de la valve M de laroue drsquoune bicyclette de rayon R Ce mouvement est le reacutesultat de la composition drsquoun
40 Meacutecanique du point
mouvement de translation de la fourche et drsquoun mouvement de rotation de la roue Lemouvement eacutetant composeacute il est difficile drsquoeacutecrire lrsquoexpression de la vitesse de la valvedans le reacutefeacuterentiel R fixe Crsquoest pourquoi il est utile de deacutecomposer le mouvement enfaisant intervenir un autre reacutefeacuterentiel dans lequel le mouvement de la valve est simpleNous allons agrave ce titre donner deux exemples qui montrent comment il est possible detirer les avantages de la loi de composition des vitesses
rarrrarr
x1
y1 rarrrarr
rarr
O1
M
x
y
rarr
rarr
rarr
x1
y1
rarr
rarrO1
M
x2
y2
x2
y2
O
uy
uy1
ux2
ux2
uy2
uy2
ux
uy1
ux1 ux1
Figure 210 bull Mouvement de la valve drsquoune roue de bicyclette
Nous consideacuterons dans les exemples qui suivent les reacutefeacuterentiels suivants (fi-gure 210)
bull R(O x y z t) avec(minusrarru x
minusrarru yminusrarru z)
bull R1(O1 x1 y1 z1 t) avec
(minusrarru x2minusrarru y2)
base polaire mobile de R1bull R2(O1 x2 y2 z2 t) avec
(minusrarru x2minusrarru y2)
base fixe de R2
Nous observons que la position du point M est deacutefinie par
minusminusrarrO1M = Rminusrarru x2
(minusrarru x1
minusrarru x2
)= u(t)
Avant de faire un bon usage de la loi de composition des vitesses il est utile de se poserles questions suivantes
bull que fait le reacutefeacuterentiel Rprime par rapport au reacutefeacuterentiel R bull que fait le point M dans le reacutefeacuterentiel Rprime
Consideacuterons tout drsquoabord que Rprime srsquoidentifie au reacutefeacuterentiel R1 En reacuteponse agrave la premiegraverequestion nous observons que le reacutefeacuterentiel R1 se deacuteplace avec le centre de la roue O1(fourche) et est en mouvement de translation rectiligne uniforme de vitesse minusrarrv O1R Nous
concluons donc queminusrarrV R1R =
minusrarr0
Agrave la deuxiegraveme question nous reacutepondons que le point M est en mouvement de rotationuniforme dans R1
En appliquant la loi de composition des vitesses qui se reacutesume agrave
minusrarrv MR = minusrarrv MR1 + minusrarrv O1R +minusrarrV R1R and minusminusrarr
O1M
nous voyons que le dernier terme est nul En utilisant la base mobile(minusrarru x2
minusrarru y2)
de R1
dans laquelleminusminusrarrO1M = Rminusrarru x2 nous voyons que
Changements de reacutefeacuterentiels 41
minusrarrv MR = minusrarrv MR1 + minusrarrv O1R = minusrarrv O1R +dminusminusrarrO1Md t
)R1
minusrarrv MR = minusrarrv O1R +d(Rminusrarru x2
)R1
d t= minusrarrv O1R + Ruminusrarru y2
Consideacuterons maintenant le reacutefeacuterentiel R2 lieacute agrave la valve Ce reacutefeacuterentiel est en rotationtranslation par rapport agrave R donc dans ce cas
minusrarrV R2R = minusrarr
0 etminusrarrV R2R = uminusrarru z
De plus la valve M est immobile dans R2 donc minusrarrv MR2 =minusrarr0
On obtient donc
minusrarrv MR = minusrarrv O1R +minusrarrV R2R and minusminusrarr
O1M = minusrarrv O1R + VR2Rminusrarru z and Rminusrarru x2 = minusrarrv O1R + Ruminusrarru y2
Nous retrouvons bien eacutevidemment la mecircme expression puisqursquoen utilisant le reacutefeacuteren-tiel R1 nous nous sommes placeacutes dans la mecircme base (minusrarru x2
minusrarru y2)
3 EacuteTUDE DE LrsquoACCEacuteLEacuteRATION
31 Loi de composition des acceacuteleacuterationsNous cherchons agrave exprimer lrsquoacceacuteleacuteration du point M par rapport agrave R connaissant lescaracteacuteristiques du mouvement par rapport agrave Rprime Nous supposons que le reacutefeacuterentiel Rprime esten mouvement de translation rotation par rapport agrave R La loi de composition des vitessesnous donne
minusrarrv MR = minusrarrv MRprime + minusrarrv OprimeR +minusrarrV RprimeR and
minusminusrarrOprimeM
et par deacutefinition nous avons
minusrarra MR =dminusrarrv MR
d t
)R
Il en reacutesulte que
minusrarra MR =d(minusrarrv MRprime + minusrarrv OprimeR +
minusrarrV RprimeR and
minusminusrarrOprimeM)
d t
⎞⎠R
On obtient donc
minusrarra MR = minusrarra OprimeR +dminusrarrv MRprime
d t
)R
+minusrarrV RprimeR and d
minusminusrarrOprimeMd t
)R
+dminusrarrV RprimeR
d tandminusminusrarrOprimeM (23)
Il importe agrave ce stade de commenter les regravegles de deacuterivation Nous voyons que par deacute-finition nous deacuterivons pour obtenir lrsquoacceacuteleacuteration de M par rapport agrave R la vitesse de
42 Meacutecanique du point
M dans R par rapport au temps En faisant cette opeacuteration il apparaicirct dans le secondmembre des vecteurs qui sont manifestement des vecteurs lieacutes au reacutefeacuterentiel Rprime comme
par exemple le vecteurminusminusrarrOprimeM ou encore le vecteur minusrarrv MRprime Nous souhaitons faire apparaicirctre
leur deacuteriveacutee dans Rprime et nous utilisons donc agrave cette fin la regravegle de deacuterivation (22)
dminusrarrX
d t
)R
=dminusrarrX
d t
)Rprime
+minusrarrV RprimeR and minusrarr
X
Appliqueacutee aux vecteursminusminusrarrOprimeM et minusrarrv MRprime cette regravegle conduit agrave
dminusminusrarrOprimeMd t
)R
= dminusminusrarrOprimeMd t
)Rprime
+minusrarrV RprimeR and
minusminusrarrOprimeM
d minusrarrv MRprime
d t
)R
=d minusrarrv MRprime
d t
)Rprime
+minusrarrV RprimeR and minusrarrv MRprime
Nous concluons donc que
dminusminusrarrOprimeMd t
)R
= minusrarrv MRprime +minusrarrV RprimeR and
minusminusrarrOprimeM
d minusrarrv MRprime
d t
)R
= minusrarra MRprime +minusrarrV RprimeR and minusrarrv MRprime
Le report de ces expressions dans lrsquoeacutequation (23) conduit agrave eacutecrire le vecteur acceacute-leacuteration de M par rapport agrave R sous la forme
minusrarra MR = minusrarra MRprime + minusrarrae + minusrarrac (24)
avec minusrarrae = minusrarra OprimeR +minusrarrV RprimeR and
(minusrarrV RprimeR and minusminusrarr
OprimeM)
+ dminusrarrV RprimeR
d t and minusminusrarrOprimeM
minusrarrac = 2minusrarrV RprimeR and minusrarrv MRprime
Le reacutesultat ci-dessus constitue la loi de composition des acceacuteleacuterations
Il est alors possible de distinguer trois termes dans cette expression
bull le premier terme du second membre minusrarra MRprime qui repreacutesente lrsquoacceacuteleacuteration de M dansRprime ou acceacuteleacuteration relative
bull le dernier terme du second membre qui repreacutesente lrsquoacceacuteleacuteration de Coriolis ou ac-ceacuteleacuteration compleacutementaire minusrarrvc =
minusrarr2VRprimeR and minusrarrv MRprime Elle nrsquoexiste que si le point est M
en mouvement dans Rprime et si Rprime est un reacutefeacuterentiel en rotation par rapport agrave R bull le terme intermeacutediaire qui repreacutesente lrsquoacceacuteleacuteration drsquoentraicircnement minusrarrae Cette acceacuteleacute-
ration correspondrait agrave lrsquoacceacuteleacuteration qursquoaurait le point M par rapport agrave R srsquoil eacutetait fixedans Rprime Dans ce cas les acceacuteleacuterations relative et compleacutementaire sont nulles
Encart 24 Application de la loi de composition des acceacuteleacuterationsNous cherchons agrave comprendre comment utiliser lrsquoeacutequation (24) Reprenons lrsquoexempledu mouvement cycloiumldal illustreacute par la figure 210 et consideacuterons les trois reacutefeacuterentielssuivants
Changements de reacutefeacuterentiels 43
bull R(O x y z t) avec(minusrarru x
minusrarru yminusrarru z)
fixe de Rbull R1(O1 x1 y1 z1 t) avec
(minusrarru x2minusrarru y2)
base polaire mobile de R1bull R2(O2 equiv O1 x2 y2 z2 t) avec
(minusrarru x2minusrarru y2)
base fixe de R2
Nous supposons que la roue se deacuteplace drsquoun mouvement rectiligne uniforme ce quiimpose minusrarra OprimeR =
minusrarr0
Nous commenccedilons par utiliser les reacutefeacuterentiels R et R1 Puisque R1 est en translationpar rapport agrave R le vecteur
minusrarrV R1R et le terme drsquoacceacuteleacuteration de Coriolis sont nuls Il
en va de mecircme de lrsquoacceacuteleacuteration drsquoentraicircnement Nous en deacuteduisons que
minusrarra MR = minusrarra MR1
Comme nous avons minusminusrarrO1M =
minusminusrarrO2M = Rminusrarru x2
il est facile de voir que
minusrarra MR = minusrarra MR1 = minusRu2minusrarru x2
Dans le cas ougrave nous consideacuterons les reacutefeacuterentiels R et R2 lieacute agrave la valve lrsquoacceacuteleacuterationde Coriolis est nulle car le point M (valve) est fixe dans R2 ainsi que lrsquoacceacuteleacuterationrelative Par contre R2 est en mouvement de rotation par rapport agrave R et
minusrarrV R2R = uminusrarru z
Nous obtenons alors le reacutesultat suivant
minusrarra MR =minusrarrV RprimeR and
(minusrarrV RprimeR and
minusminusrarrOprimeM)
= minusRu2minusrarru x2
Comme dans le cas de lrsquoeacutetude de la vitesse nous retrouvons bien les mecircmes expres-sions que lrsquoon utilise le reacutefeacuterentiel R1 ou le reacutefeacuterentiel R2 en raison de lrsquoidentiteacute de labase de ces deux reacutefeacuterentiels
Agrave RETENIR
Mouvement de translation drsquoun reacutefeacuterentiel Rprime par rapport agrave un reacutefeacuterentiel R
Les axes du reacutefeacuterentiel Rprime restent parallegraveles agrave ceux du reacutefeacuterentiel R
La translation peut ecirctre rectiligne circulaire ou quelconque suivant le mouvement delrsquoorigine Oprime du reacutefeacuterentiel Rprime
44 Meacutecanique du point
Mouvement de rotation drsquoun reacutefeacuterentiel Rprime par rapport agrave un reacutefeacuterentiel R
Les axes du reacutefeacuterentiel Rprime tournent par rapport agrave ceux du reacutefeacuterentiel R (vitesse angu-laire
minusrarrV RprimeR)
Loi de composition des vitesses
minusrarrv MR = minusrarrv RprimeR + minusrarrv MRprime
avec minusrarrv RprimeR = minusrarrv OprimeR +minusrarrV RprimeR and
minusminusrarrOprimeM (vecteur vitesse drsquoentraicircnement)
Loi de composition des acceacuteleacuterations
minusrarra MR = minusrarra MRprime + minusrarrae + minusrarrac
avec minusrarrae = minusrarra OprimeR +minusrarrV RprimeR and
(minusrarrV RprimeR and
minusminusrarrOprimeM)
+ dminusrarrV RprimeR
d t andminusminusrarrOprimeM (vecteur acceacuteleacuteration
drsquoentraicircnement)
et minusrarrac = 2minusrarrV RprimeR and minusrarrv MRprime (vecteur acceacuteleacuteration compleacutementaire ou de Coriolis)
EXERCICE DrsquoAPPLICATION AVEC SOLUTION DEacuteTAILLEacuteE
Cineacutematique et changement de reacutefeacuterentiel
Une charrette se deacuteplace agrave vitesse constante Vo = 1 8 kmhminus1 Ces roues agrave rayons ontun diamegravetre de D = 47 75 cm
x
ρu
xu
y
O
yu
xu
C A
oV
ω
Instant t = 0
C A
Instant t1
C
A
Instant t (0 lt t lt t1)
M
θu
θ
yu
rarr
rarr
rarr
rarr
rarr
rarrrarr
Figure 211
Agrave lrsquoinstant t = 0 on considegravere un rayon CA horizontal avec C centre drsquoune roue et Alrsquoautre extreacutemiteacute du rayon Agrave lrsquoinstant t1 ce mecircme rayon se retrouve pour la premiegraverefois dans la mecircme position (la roue a effectueacute un tour complet)
Changements de reacutefeacuterentiels 45
I Question preacuteliminaire Cineacutematique
1) Exprimer la vitesse angulaire v en fonction de Vo et D En deacuteduire lrsquoexpression duvecteur vitesse angulaire v Calculer v
2) Exprimer le temps t1 au bout duquel la roue a effectueacute un tour complet Calculer t1
3) Une petite coccinelle M situeacutee au centre C agrave lrsquoinstant t = 0 part avec une vitesseconstante v sur le rayon CA Quelle doit ecirctre sa vitesse pour atteindre A agrave lrsquoinstant t1
II Reacutefeacuterentiels en mouvement
On considegravere les reacutefeacuterentiels suivants caracteacuteriseacutes par leur repegravere
bull Reacutefeacuterentiel R(O x yminusrarru xminusrarru y
minusrarru z)bull Reacutefeacuterentiel Rprime(C x yminusrarru x
minusrarru yminusrarru z)
bull Reacutefeacuterentiel Rprimeprime lieacute au rayon CA avec sa base fixe (minusrarru rminusrarru u) qui correspond agrave la base
polaire du repegravere Rprime(C x y)
Quel est le mouvement de Rprime par rapport agrave R (preacuteciser les caracteacuteristiques dumouvement)
Quel est le mouvement de Rprimeprime par rapport agrave Rprime (preacuteciser les caracteacuteristiques dumouvement)
Quel est le mouvement de Rprimeprime par rapport agrave R (preacuteciser les caracteacuteristiques dumouvement)
III On se place dans le reacutefeacuterentiel Rprimeprime (lieacute au rayon CA base (minusrarru r minusrarru u)1) La coccinelle se deacuteplaccedilant agrave vitesse constante v dans ce repegravere donner lrsquoeacutequationhoraire du mouvement de M(CM = r(t))2) Exprimer le vecteur vitesse minusrarrv du point M dans la base (minusrarru r
minusrarru u)3) Que vaut le vecteur acceacuteleacuteration minusrarra du point M dans ce reacutefeacuterentiel
IV On se place dans le reacutefeacuterentiel Rprime(C x y minusrarru xminusrarru y) et on utilisera sa base mobile
(minusrarru r minusrarru u)
1) Donner lrsquoexpression du vecteur positionminusrarrCM
2) Exprimer le vecteur vitesse minusrarrv MRprime du point M par rapport au reacutefeacuterentiel Rprime
3) Exprimer le vecteur acceacuteleacuteration minusrarra MRprime du point M par rapport au reacutefeacuterentiel Rprime
V Loi de composition des vitesses et acceacuteleacuterations
1) Exprimer pour le point M le vecteur vitesse drsquoentraicircnement minusrarrv primee du reacutefeacuterentiel Rprimeprime
par rapport au reacutefeacuterentiel Rprime Eacutenoncer la loi de composition des vitesses et retrouverlrsquoexpression de minusrarrv MRprime agrave partir de celles de minusrarrv et de minusrarrv prime
e
2) De mecircme exprimer
a) Le vecteur acceacuteleacuteration drsquoentraicircnement minusrarra primee du point M
b) Le vecteur acceacuteleacuteration de Coriolis ou compleacutementaire minusrarra c de Mc) Eacutenoncer la loi de composition des acceacuteleacuterations et retrouver lrsquoexpression de minusrarra MRprime
agrave partir de celles de minusrarra minusrarra e et minusrarra c
46 Meacutecanique du point
VI On se place maintenant dans le reacutefeacuterentiel R(O x y minusrarru xminusrarru y)
1) Comment agrave partir de minusrarrv MRprime peut-on obtenir lrsquoexpression du vecteur minusrarrv MRprime vitessede M par rapport agrave R Donner son expression
2) Mecircme question pour lrsquoacceacuteleacuteration minusrarra MRprime
Solution
x ρu
rarr
xurarr
y
O
yurarr
xurarr
C A
oV
ω
Instant t = 0
C A
Instant t1
C
A
Instant t (0 lt t lt t1)
M
θurarr
θ
yurarr
rarr
Figure 212
I 1) v =2Vo
D=
20504775
= 2094 radsminus1 rArr minusrarrv = vminusrarru z = minus2094minusrarru z attention
v lt 0
2) Pour un tour 2p = |v| t1 rArr t1 =2p
|v| =23142094
= 3 s
3)D2
= vt1 rArr v =D2t1
=4775
6= 796 asymp 8 cms-1
II Rprime est en translation rectiligne uniforme par rapport agrave R avec la vitesse Vo
Rprimeprime est en rotation uniforme par rapport agrave Rrsquo avec la vitesse angulaire
minusrarrv = vminusrarru z = minus2094minusrarru z
Rprimeprime est en mouvement de translation (vitesseminusrarrV o) plus rotation autour axe minusrarru z par
rapport agrave R (minusrarrv = vminusrarru z = minus2094minusrarru z)
III On se place dans le reacutefeacuterentiel Rprimeprime (lieacute au rayon CA base (minusrarru r minusrarru u)1) CM = r(t) = vt+constante rArr r(t) = vt
2) minusrarrv = vminusrarru r
3) minusrarra =d minusrarrvd t
=d (vur)
d t=
minusrarr0 (M a un mouvement rectiligne uniforme sur le
rayon CA
IV On se place dans le reacutefeacuterentiel Rprime (Cxyminusrarru xminusrarru y) et on utilisera la base mobile
(minusrarru r minusrarru u)
1)minusrarrCM = rminusrarru r
Changements de reacutefeacuterentiels 47
2) minusrarrv MRprime =d (rminusrarru r)
d t
)Rprime
= rminusrarru r + ruminusrarru u = vminusrarru r + rvminusrarru u
= vminusrarru r + vvtminusrarru u = v(minusrarru r + vtminusrarru u)
minusrarrv MRprime = v(minusrarru r + vtminusrarru u) = 008(minusrarru r minus 2094tminusrarru u)
3) minusrarra MRprime =d minusrarrv M
Rprime
d t
)Rprime
= v(uminusrarru u + vminusrarru u minus vtuminusrarru r)
= v(2vminusrarru u minus v2tminusrarru r) = vv(minusvtminusrarru r + 2minusrarru u)
minusrarra MRprime = minus0 35tminusrarru r minus 0 333minusrarru u
V 1) minusrarrv primee = minusrarrv CRprime +minusrarrv andminusrarrCM =
minusrarr0 +vminusrarru zandrminusrarru r = rvminusrarru u = vvtminusrarru u = minus0167tminusrarru u
Le point M aurait un mouvement circulaire uniforme srsquoil ne bougeait pas dans RprimeDonc minusrarrv prime
e = rvminusrarru u Drsquoapregraves la loi de composition des vitesses minusrarrv MRprime = minusrarrv MRprimeprime + minusrarrv prime
e = vminusrarru r + vvtminusrarru u = 008(minusrarru r minus 2094tminusrarru u)
mecircme reacutesultat que pour 3) b
2) a) minusrarra e = minusrarra CRprime
+minusrarrvand(minusrarrvandminusrarrCM)+d minusrarrvd t
andminusrarrCM =minusrarr0 +vminusrarru zand(vminusrarru zandrminusrarru r) = minusv2rminusrarru r
minusrarra e = minusv2rminusrarru r = minusv2vtminusrarru r = minus0349tminusrarru r
Le point M aurait un mouvement circulaire uniforme srsquoil ne bougeait pas dans RprimeDonc lrsquoacceacuteleacuteration est normale centripegravete minusrarra e = minusv2rminusrarru r = minus0349tminusrarru r
b) minusrarra c = 2minusrarrv and minusrarrv = 2vminusrarru z and vminusrarru r = 2vvminusrarru u
c) minusrarra MRprime = minusrarra MRrdquo + minusrarra e + minusrarra c =minusrarr0 minus rv2minusrarru r + 2vvminusrarru u = vv(minusvtminusrarru r + 2minusrarru u)
mecircme reacutesultat que pour 3)c
VI On se place maintenant dans le reacutefeacuterentiel R(Oxyminusrarru xminusrarru y)
1) Rprime est en translation par rapport agrave R On a donc minusrarrv MR = minusrarrv MRprime +
minusrarrV o = v(minusrarru r + vtminusrarru u) + Vo
minusrarru z
2) minusrarra MR = minusrarra MRprime + minusrarra CR = minusrarra MRprime =minusrv2minusrarru r + 2vvminusrarru u = vv(minusvtminusrarru r + 2minusrarru u)
EXERCICES CORRIGEacuteS
1 Agrave un instant pris comme origine des dates (t = 0) un autobus prend un virage agravevitesse angulaire constante vo O est le centre du virage et la distance OA = R
Agrave ce moment preacutecis un passager P immobile en A se preacutecipite directement vers uneplace assise libre en B drsquoun mouvement drsquoacceacuteleacuteration constante ao (voir figure 213)
48 Meacutecanique du point
θO
rarr
uy
ux
rarr
x
y
A BP
Figure 213
1) Eacutetude dans le reacutefeacuterentiel lieacute agrave lrsquoautobus RA Preacuteciser le repegravere choisi et la nature dumouvement de P Deacuteterminer en fonction des donneacutees et de t le vecteur acceacuteleacuterationar et le vecteur vitesse vr du point P ainsi que lrsquoeacutequation horaire du mouvement
2) Eacutetude dans le reacutefeacuterentiel terrestre RT Preacuteciser le repegravere choisi Deacuteterminer levecteur vitesse vT et le vecteur acceacuteleacuteration aT du point P Donner lrsquoeacutequation de latrajectoire du point P en coordonneacutees polaires (r = OP en fonction de u)
3) En utilisant les lois de composition des vitesses et des acceacuteleacuterations retrouver lesvecteurs vT et aT agrave partir des vecteurs vr et ar Indiquer clairement les diffeacuterentstermes intervenant dans ces lois en preacutecisant leur signification et leur expression
4) Applications numeacuteriques ao = 6 msminus2 vo = 16 radsminus1 R = 120 nm etAB = 3 m
Avec quelle vitesse P atteint le siegravege B et en combien de temps Quelle distance aparcouru lrsquoautobus et de quel angle a-t-il tourneacute
O x
yx1
y1
G
θ1
θ
A1
Figure 214
2 Le repegravere drsquoespace Gminusrarrx 1 Gminusrarry 1 du reacutefeacuteren-tiel R1 tourne autour de lrsquoaxe Oz du reacutefeacuteren-tiel R drsquoaxes Ox Oy Oz Le point G deacutecrit uncercle de rayon a constant agrave la vitesse angu-laire constante vo Dans R1 le point A1 deacutecritun cercle de rayon r et de centre G avec lavitesse angulaire constante v1 (figure 214)Exprimer la vitesse drsquoentraicircnement de A1son acceacuteleacuteration drsquoentraicircnement et son acceacute-leacuteration compleacutementaire
3 Soit dans un plan un reacutefeacuterentiel R et un reacutefeacuterentiel R1 dont les repegraveres drsquoespacesont formeacutes respectivement des axes Ox Oy et des axes Ox1 Oy1 Le repegravere Ox1 Oy1tourne agrave la vitesse angulaire v constante autour de lrsquoaxe Oz perpendiculaire au planUn point M est mobile sur Ox1 selon la loi
minusrarrOM = r(t)minusrarru x1 = (ro cos vt)minusrarru x1
Changements de reacutefeacuterentiels 49
1) Calculer en fonction de ro et v le vecteur vitesse vR1 de M dans le reacutefeacuterentiel R1ainsi que le vecteur vitesse drsquoentraicircnement ve du point M
2) En deacuteduire le module du vecteur vitesse vR de M dans R et lrsquoangle w deacutefini parw = (
minusrarrOMvR)
3) Calculer le vecteur acceacuteleacuteration aR1 de M dans R1 le vecteur acceacuteleacuteration drsquoentraicirc-nementae du point M le vecteur acceacuteleacuteration compleacutementaire minusrarrac et lprimeacceacuteleacuterationaR
de M dans R Quelle est la valeur de lrsquoangle C = (minusrarrOMaR)
O
CP
θ
ωo
x
y
uxrarr
uyrarr
Figure 215
4 Un manegravege de chevaux de bois tourne agrave la vitesseangulaire constante vo = vouz Pour aider un en-fant en difficulteacute sur un cheval de bois repreacutesenteacutepar le point C le patron (point P) du manegravege partdu centre O et se dirige vers C drsquoun mouvementdrsquoacceacuteleacuteration constante ao (figure 215)
Notation Rt reacutefeacuterentiel terrestre (Ominusrarru xminusrarru y
minusrarru zrepegravere fixe dans Rt) et Rm reacutefeacuterentiel lieacute au manegravege
Origine des dates agrave t = 0 P est en O et part avecune vitesse nulle OC coiumlncide avec lrsquoaxe Ox
On utilisera les coordonneacutees polaires (r u) pour re-peacuterer P ainsi que la base (minusrarrurminusrarru u) pour exprimer lesdiffeacuterents vecteurs
On prendra a = 1 msminus2 v = 15 toursmin OC = ro = 2 m
1) Eacutetude dans le reacutefeacuterentiel Rm
a) Quelle est la nature du mouvement de P b) Deacuteterminer le vecteur vitesse de P VPRm
c) Deacuteterminer lrsquoeacutequation horaire du mouvement de P r(t)d) Temps mis pour atteindre C
2) Mouvement du reacutefeacuterentiel Rm par rapport au reacutefeacuterentiel Rt
a) Preacuteciser quel est ce mouvementb) Donner lrsquoeacutequation horaire u(t)
3) Mouvement dans le reacutefeacuterentiel Rt
a) Donner lrsquoexpression du vecteur vitesse de P VPRt en fonction de a vo et tb) Mecircme chose pour le vecteur acceacuteleacuteration aPRt
c) Donner lrsquoeacutequation de la trajectoire en coordonneacutees polairesd) Faire une repreacutesentation (on prendra les valeurs pour t = 0 s t = 0 5 s
t = 1 s t = 1 5 s et t = 2 s) Repreacutesenter les vecteurs vitesses
4) Utilisation des lois de composition des vitesses et des acceacuteleacuterations
a) Eacutecrire la loi de composition des vitessesb) Exprimer le vecteur vitesse drsquoentraicircnement de RmRt pour le point P
c) Veacuterifier que cette loi redonne bien VPRt (3- a)d) Exprimer la loi de composition des acceacuteleacuterationse) Deacuteterminer lrsquoacceacuteleacuteration drsquoentraicircnement
50 Meacutecanique du point
f) Deacuteterminer lrsquoacceacuteleacuteration de Coriolis ou acceacuteleacuteration compleacutementaireg) Veacuterifier que cette loi redonne bien aPRt (3- c)
5 Une mouche M parcourt lrsquoaiguille des secondes drsquoune horloge avec une acceacuteleacuterationconstante ao et agrave lrsquoinstant t = 0 elle est au centre O de lrsquohorloge avec une vitessenulle alors que lrsquoaiguille indique laquo 0 seconde raquo
R est le reacutefeacuterentiel terrestre (ou le reacutefeacuterentiel du mur de lrsquohorloge) Il est deacutefini par(O x y z) repegravere fixe de R Rprime est le reacutefeacuterentiel lieacute agrave lrsquoaiguille des secondes OX Agravet = 0 OX coiumlncide avec Oy
On utilisera les coordonneacutees polaires de M (r u) et pour exprimer les diffeacuterentsvecteurs la base (minusrarrurminusrarru u)
1) Mouvement de M dans Rprime
a) Deacuteterminer le vecteur vitesse de M minusrarrV MRprime
b) Deacuteterminer lrsquoeacutequation horaire r(t) du mouvement de Mc) La mouche atteint lrsquoextreacutemiteacute de lrsquoaiguille qui mesure 20 cm en 60 s Quelle
est la valeur de ao
2) Mouvement de M dans R
a) Donner lrsquoeacutequation de la trajectoire en coordonneacutees polaires
b) Donner lrsquoexpression du vecteur vitesse de MminusrarrV MR en utilisant la loi de com-
position des vitessesc) Donner lrsquoexpression de son vecteur acceacuteleacuteration minusrarra MR en utilisant la loi de
composition des acceacuteleacuterations
6 Une roue circulaire de centre C de rayon a roule sans glisser sur Ox tout en restantdans le plan Ox Oz (figure 216)
C
z
xO
uxrarr
I
A
ϕuzrarr
Figure 216
Un point A de la roue coiumlncide agrave lrsquoinstant t = 0 avec lrsquoorigine O du repegravere Le centreC a une vitesse constante Vo
1) Deacuteterminer les coordonneacutees de A agrave lrsquoinstant t
2) CalculerminusrarrV le vecteur vitesse de A par rapport au sol et eacutetudier ses variations au
cours du temps Pour quelles positions de A ce vecteur est-il nul
Changements de reacutefeacuterentiels 51
3) Soit le vecteur vitesse angulaireminusrarrV caracteacuterisant la rotation de la roue Donner
lrsquoexpression deminusrarrV Calculer le produit vectoriel
minusrarrV and minusrarr
IA (figure 216) Le comparer agraveminusrarrV et commenter
4) RepreacutesenterminusrarrV sur la figure Montrer que
minusrarrV peut ecirctre deacutecomposeacute en deux vecteurs
de mecircme module lrsquoun parallegravele agrave Ox lrsquoautre tangent agrave la roue
Calculer minusrarra le vecteur acceacuteleacuteration de A par rapport au sol
5) On peut consideacuterer que le mouvement de A est le reacutesultat de la composition dedeux mouvements
bull un mouvement de rotation uniforme autour de lrsquoaxe Cy de la roue (caracteacuteriseacute parle vecteur vitesse angulaire
minusrarrV )
bull un mouvement de translation rectiligne uniforme de la roue (vitesse Vominusrarru x)
RetrouverminusrarrV et minusrarra en utilisant les lois de compositions des vitesses et des acceacuteleacutera-
tions
Solutions
1 Reacutefeacuterentiel R lieacute agrave lrsquoautobus repegravere (Aminusrarrur minusrarruu ) base fixe dans lrsquoautobus P a un mouvementrectiligne uniformeacutement acceacuteleacutereacute drsquoacceacuteleacuteration ao dans la direction de A rarr B (direction deminusrarrur ) Agrave t = 0 P est en A
ar = ao rArr vr = aot rArr AP = x = 12 aot2
2) Reacutefeacuterentiel terrestre RT repegravere (Ominusrarrur minusrarruu ) base mobile des coordonneacutees polairesminusrarrOP = rminusrarrur = (R + x)minusrarrur rArr minusrarrvT = xminusrarrur + (R + x)uminusrarruu = aotminusrarrur + (R + 1
2 aot2)vominusrarruu
minusrarraT = xminusrarrur + xuminusrarruu + xuminusrarruu minus (R + x)u2minusrarrur = (ao minus (R + 12 aot2)v2
o )minusrarrur + 2aotvominusrarruu
On a lrsquoeacutequation de la trajectoire r = R + 12 aot2 et u = vot rArr r = R + 1
2aov2
ou2 (eacutequation drsquoune
spirale)
3) Loi de composition des vitesses
Le reacutefeacuterentiel R est en mouvement de rotation par rapport agrave RT avec un vecteur vitesse angu-
laireminusrarrV RRT = vo
minusrarru zminusrarrvT = minusrarrv r + minusrarrv e avec minusrarrv r = aotminusrarrur et
minusrarrv e = dminusrarrOA
d t + (minusrarrV RRT and minusrarr
AP) = (minusrarrV RRT and minusrarr
OA) + (minusrarrV RRT and minusrarr
AP)
minusrarrv e = (minusrarrV RRT and
minusrarrOP) = (R+x)vo
minusrarruu = (R+ 12 aot2)vo
minusrarruu La vitesse drsquoentraicircnement correspond agravela vitesse du point P par rapport agrave RT srsquoil eacutetait fixe dans lrsquoautobus agrave ce moment-lagrave Il a alors unmouvement circulaire uniforme de rayon (R + x) et de vitesse angulaire vo drsquoougrave lrsquoexpressiondu vecteur vitesse
On a donc minusrarrvT = minusrarrv r + minusrarrv e rArr minusrarrvT = aotminusrarrur + (R + 12 aot2)vo
minusrarruu
Loi de composition des acceacuteleacuterations
minusrarra T = minusrarra r + minusrarra e + minusrarra c avec minusrarra r = aominusrarrur et minusrarra c = 2
minusrarrV RRT and minusrarrv r = 2vo
minusrarru z and aotminusrarrur = 2aotvominusrarruu
52 Meacutecanique du point
minusrarra e = d2 minusrarrOA
d t2 +dminusrarrV RRT
d t and minusrarrAP +
minusrarrV RRT and (
minusrarrV RRT and minusrarr
AP)
=minusrarrV RRT and (
minusrarrV RRT and minusrarr
OA) +minusrarrV RRT and (
minusrarrV RRT and minusrarr
AP)
minusrarra e =minusrarrV RRT and (
minusrarrV RRT and minusrarr
OP) = vominusrarru z and (vo
minusrarru z and (R + x)minusrarrur
minusrarra e = minusv2o (R + 1
2 aot2)minusrarruu Lrsquoacceacuteleacuteration drsquoentraicircnement correspond agrave lrsquoacceacuteleacuteration du pointP par rapport agrave RT srsquoil eacutetait fixe dans lrsquoautobus agrave ce moment-lagrave Il a alors un mouvementcirculaire uniforme de rayon (R + x) et de vitesse angulaire vo drsquoougrave lrsquoexpression du vecteuracceacuteleacuteration qui est normale agrave la trajectoire et centripegraveteminusrarra T = minusrarra r + minusrarra e + minusrarra c rArr (ao minus (R + 1
2 aot2)v2o )minusrarrur + 2aotvo
minusrarruu
4) AB = 3 m= 12 aot2 rArr t =
q
2ABao
= 1 srArr vb = aot = 6 msminus1
Lrsquoautobus a tourneacute drsquoun angle u = vot = 16 rad= 9 55 et a parcouru l = Ru = 20 m
2 Le reacutefeacuterentiel R1 a un mouvement combineacute de rotation uniforme par rapport au reacutefeacuterentiel R
avec un vecteur vitesse angulaireminusrarrV R1R = vo
minusrarru z et de translation circulaire uniforme (G deacutecritun cercle de rayon a avec une vitesse angulaire vo
minusrarru z et donc une vitesse lineacuteaire vominusrarru z and
minusrarrOG)
Vitesse drsquoentraicircnement de A1
minusrarrv e =dminusrarrOGd t
+minusrarrV R1R and minusminusrarr
GA1 =minusrarrV R1R and minusrarr
OG +minusrarrV R1R and minusminusrarr
GA1 =minusrarrV R1R and minusminusrarr
OA1
minusminusrarrOA1 =
minusrarrOG +
minusminusrarrGA1 = aminusrarrur + r cos u1
minusrarrur + r sin u1minusrarruu = (a + r cos u1)minusrarrur + r sin u1
minusrarruu
Ceci peut aussi srsquoexprimer dans la base (minusrarru xminusrarru y) en utilisant
minusrarrur = cos uminusrarru x + sin uminusrarru y minusrarruu = minus sin uminusrarru x + cos uminusrarru y
minusrarrv e = vominusrarru z and ((a + r cos u1)minusrarrur + r sin u1
minusrarruu ) = minusvor sin u1minusrarrur + vo(a + r cos u1)minusrarruu
Le point A1 a un mouvement circulaire de rayon r et de vitesse angulaire v1 = cste On a doncle vecteur vitesse de A1 dans R1
minusrarrvA1 = minusrarrv1 andminusminusrarrGA1 = minusrarrv1 and (r cos u1
minusrarrur + r sin u1minusrarruu ) = minusv1r sin u1
minusrarrur + v1r cos u1minusrarruu
On a le vecteur acceacuteleacuteration compleacutementaire
minusrarrvc = 2minusrarrV R1R and minusrarrvA1 = 2vo
minusrarru z and (minusv1r sin u1minusrarrur + v1r cos u1
minusrarruu )
minusrarrvc = minus2vov1r cos u1minusrarrur minus 2vov1r sin u1
minusrarruu = minus2vov1minusminusrarrGA1
minusrarrvc = minus2vov1r(cos u1minusrarrur + sin u1
minusrarruu )
On a le vecteur acceacuteleacuteration drsquoentraicircnement
minusrarrve = d2 minusrarrOG
d t2 +minusrarrV R1R and (
minusrarrV R1R and minusminusrarr
GA1) +dminusrarrV R1R
d t and minusminusrarrGA1
minusrarrve =minusrarrV R1R and (
minusrarrV R1R and minusrarr
OG) +minusrarrV R1R and (
minusrarrV R1R and minusminusrarr
GA1) = vominusrarru z and (vo
minusrarru z andminusminusrarrOA1)
minusrarrve = vominusrarru z and (vo
minusrarru z and ((a + r cos u1)minusrarrur + r sin u1minusrarruu )) = minusv2
o (a + r cos u1)minusrarrur minus v2o r sin u1
minusrarruu
Changements de reacutefeacuterentiels 53
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
Figure 217
3 1) Dans le reacutefeacuterentiel R1minusrarru x1 = minusrarrur est un vecteur fixe
rArr minusrarrvR1 = rminusrarru x1 = minus(rov sin vt)minusrarru x1
Le reacutefeacuterentiel R1 est en rotation par rapport agrave R avec
une vitesse angulaire constanteminusrarrV R1R = vminusrarru z La vitesse
drsquoentraicircnement minusrarrve srsquoeacutecrit
minusrarrve =minusrarrV R1R and minusrarr
OM
= vminusrarru z and ro cos vtminusrarrur = (vro cos vt)minusrarruu = vrminusrarru y1
(le point M srsquoil eacutetait fixe dans R1 aurait un mouvementcirculaire uniforme de rayon r et de vitesse angulaire v)
2) minusrarrvR = minusrarrvR1 + minusrarrve = minus(rov sin vt)minusrarrur + (vro cos vt)minusrarruu
minusrarrvR = vroˆ
minus(sin vt)minusrarrur + (cos vt)minusrarruu
˜
rArr minusrarrvR = vro
et minusrarrvR minusrarrur = minusrarrvR minusrarrur cos w
rArr cos w =minusrarrvR minusrarrur
vro= minus sin vt = minus sin u = cos
ldquo
p
2+ urdquo
rArr w =p
2+ u
3) minusrarraR1 = rminusrarrux1 = minus(rov2 cos vt)minusrarrur = minusrv2minusrarrur
Acceacuteleacuteration compleacutementaire
minusrarrac = 2minusrarrV R1R and minusrarrvR1 = 2vminusrarru z and (minusrov sin vt)minusrarrur = minus2(rov
2 sin vt)minusrarruu
Acceacuteleacuteration drsquoentraicircnement minusrarrae =minusrarrV R1R and (
minusrarrV R1R and minusrarr
OM) = minusrv2minusrarrur
minusrarraR = minusrarraR1 + minusrarrac + minusrarrae = minus2rov2 ˆ(cos vt)minusrarrur + (sin vt)minusrarruu
˜
rArr minusrarraR = 2rov2
minusrarraRminusrarrur = minusrarraR cos C = minus2rov2(cos vt) rArr cos C = minus cos vt = minus cos u = cos(p minus u)
C = p minus u
Remarque minusrarrOM = ro cos vtminusrarrur = ro cos vt(cos vtminusrarru x + sin vtminusrarru y)minusrarrOM = ro
ˆ
(cos2 vt)minusrarru x + (cos vt sin vt)minusrarru y˜
minusrarrOM = ro
ˆ
12 (1 + cos 2vt)minusrarru x + 1
2 (sin 2vt)minusrarru y˜
rArr (x minus ro2 ) = ro
2 cos 2vt et y = ro2
Lrsquoeacutequation de la trajectoire en cordonneacutees carteacutesiennes est (x minus ro2 )2 + y2 = ( ro
2 )2
Le point M deacutecrit un cercle de rayon ro2 et de centre C de coordonneacutees ( ro
2 0) (figure 217)
4 1) Eacutetude dans Rm
Repegravere axe OC avec base (minusrarrur minusrarruu ) fixe dans Rm Le point P a un mouvement rectiligne unifor-meacutement acceacuteleacutereacute drsquoacceacuteleacuteration ao rArr
minusrarrV PRm = (aot)minusrarrur (t = 0
minusrarrV PRm (0) =
minusrarr0 )
AN minusrarrV PRm = tminusrarrur
Agrave t = 0minusrarrOP(0) =
minusrarr0 rArr minusrarr
OP = rminusrarrur = 12 aot2minusrarrur AN
minusrarrOP = 0 5t2minusrarrur
OC = ro = 12 aot2 rArr t =
q
2roao
AN t =radic
4 = 2 s
54 Meacutecanique du point
04 0812 16
2
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
Figure 218
2) Rm a un mouvement de rotation parrapport agrave Rt avec une vitesse angulaireminusrarrV RmRt = vo
minusrarru z = uminusrarru z = p2minusrarru z
u = vo rArr u = vot (t = 0 u(0) = 0)
AN u = p2 t = 1 57t
3) Eacutetude dans Rt
Repegravere (O x y) avec la base (minusrarrur minusrarruu ) mobiledans Rt
minusrarrOP = rminusrarrur rArr minusrarr
V PRt = rminusrarrur + ruminusrarruu
= (aot)minusrarrur +12
aot2vo
minusrarruu
AN minusrarrV PR = tminusrarrur + p
4 t2minusrarruu
minusrarra PRt = (r minus ru2)minusrarrur + (2ru + ru)minusrarruu = (ao minus 12 aot2v2
o )minusrarrur + (2aovot)minusrarruu
AN minusrarra PRt = (1 minus p2
8 t2)minusrarrur + ptminusrarruu = (1 minus 1 234t2)minusrarrur + 3 14tminusrarruu
r = 12 aot2 et u = p
2 t rArr r = 12
aov2
ou2 eacutequation drsquoune spirale
AN r = 2p2 u2 0 2u2
t 0 05 1 15 2
r 0 0125 05 98 = 1 125 2
u 0 p4 0 78 p
2 1 57 3p4 2 36 p 3 14
minusrarrV PRt
minusrarrur 0 12 = 0 5 1 15 2
minusrarrV PRt
minusrarruu 0 p16 0 196 p
4 0 78 9p16 1 77 p 3 14
(voir figure 218)
4) Loi de composition des vitesses minusrarrV PRt =
minusrarrV PRm +
minusrarrVe
minusrarrVe =
minusrarrV RmRt and
minusrarrOP = rvo
minusrarru z and minusrarrur = rvominusrarruu = 1
2 aovot2minusrarruu rArr AN minusrarrVe = p
4 t2minusrarruu
minusrarrV PRt = (aot)minusrarrur + 1
2 aovot2minusrarruu mecircme reacutesultat que celui obtenu agrave la question 3
Loi de composition des acceacuteleacuterations minusrarra PRt = minusrarra PRm + minusrarra e + minusrarra c
minusrarra e =minusrarrV RmRt and (
minusrarrV RmRt and
minusrarrOP) = minusrv2
ominusrarrur = minus 1
2 aov2o t2minusrarrur
minusrarra c = 2minusrarrV RmRt and
minusrarrV PRm = 2aovotminusrarruu
minusrarra PRm = aominusrarrur
minusrarra PRt = (ao minus 12 aot2v2
o )minusrarrur + (2aovot)minusrarruu mecircme reacutesultat que celui obtenu agrave la question 3
5 Le reacutefeacuterentiel Rprime (aiguille) est en rotation uniforme par rapport au reacutefeacuterentiel R (mur) Le
vecteur vitesse angulaire estminusrarrV = vminusrarru z = minus p
30minusrarru z
1) Eacutetude dans Rprime(Ominusrarrur minusrarruu ) base fixe dans ce reacutefeacuterentiel Agrave t = 0 OM = r(0) = 0 etminusrarrv MRprime (0) =
minusrarr0
Changements de reacutefeacuterentiels 55
minusrarra MRprime = aominusrarrur rArr minusrarrv MRprime = aotminusrarrur rArr minusrarr
OM = rminusrarrur = 12 aot2minusrarrur rArr r(t) = 1
2 aot2
l = 20 cm parcourue en t = 60 srArr ao = 2lt2 = 040
3600 = 1 1110minus4 msminus2 = 0 11 mmsminus2
2) Eacutetude dans R(Ominusrarrur minusrarruu )
u = v rArr u = vt + p2 (agrave t = 0 lrsquoaiguille est suivant lrsquoaxe Oy) et r(t) = 1
2 aot2 Lrsquoeacutequation de latrajectoire est
r(u) = 12
aov2 (u minus p
2 )2 rArr r(u) = 3 3810minus4(u minus p2 )2 eacutequation drsquoune spirale
Loi de composition des vitesses minusrarrv MR = minusrarrv MRprime + minusrarrve
minusrarrve =minusrarrV and minusrarr
OM = rvminusrarruu = 12 aovt2minusrarruu
rArr minusrarrv MR = aotminusrarrur + 12 aovt2minusrarruu = 0 11tminusrarrur minus 0 57610minus2t2minusrarruu (mmsminus1)
Loi de composition des acceacuteleacuterations minusrarra MR = minusrarra MRprime + minusrarra e + minusrarrac
minusrarrac = 2minusrarrV and minusrarrv MRprime = 2vaotminusrarruu
minusrarra e =minusrarrV and (
minusrarrV and minusrarr
OM) = minusv2rminusrarrur = minus 12 aov
2t2minusrarrur
minusrarra MR = (ao minus 12 aov
2t2)minusrarrur + 2vaotminusrarruu
6 La roue de rayon a roule sans glisser On a donc OI = aw etminusrarrOC =
minusrarrOI +
minusrarrIC = awminusrarru x + aminusrarru z
La vitesse du point C est donc dans le reacutefeacuterentiel terrestre
minusrarrV (C) =
minusrarrVo = awminusrarru x = Vo
minusrarru x rArr w =Vo
a
1)minusrarrOA =
minusrarrOC +
minusrarrCA = (awminusrarru x + aminusrarru z) + (minusa sin wminusrarru x minus a cos wminusrarru z)
minusrarrOA = a
ˆ
(w minus sin w)minusrarru x + (1 minus cos w)minusrarru z˜
2)minusrarrV = aw
ˆ
(1 minus cos w)minusrarru x + sin wminusrarru z˜
= Voˆ
(1 minus cos w)minusrarru x + sin wminusrarru z˜
sbquo
sbquo
sbquo
minusrarrVsbquo
sbquo
sbquo
=radic
2Voradic
1 minus cos w rArrsbquo
sbquo
sbquo
minusrarrVsbquo
sbquo
sbquo
= 0 pour w = 2np (n entier) Chaque fois que le point A
touche le sol (A confondu avec I) sa vitesse est nulle Elle est maximale quand le point est agravelrsquoopposeacute de I par rapport agrave C
3)minusrarrV = wminusrarru y et
minusrarrIA =
minusrarrIC+
minusrarrCA = aminusrarru z+(minusa sin wminusrarru xminusa cos wminusrarru z) = minusa sin wminusrarru x+a(1minuscos w)minusrarru z
minusrarrV and minusrarr
IA = awˆ
(1 minus cos w)minusrarru x + sin wminusrarru z˜
=minusrarrV Agrave lrsquoinstant consideacutereacute le point A a un mouve-
ment circulaire autour du point I avec un vecteur vitesse angulaireminusrarrV
4)minusrarrV = Vo
minusrarru x + Voˆ
minus cos wminusrarru x + sin wminusrarru z˜
=minusrarrVo + Vo
minusrarru avec minusrarru =ˆ
minus cos wminusrarru x + sin wminusrarru z˜
Ce vecteur minusrarru est un vecteur tangent agrave la roue (figure 219) En effet on a minusrarrCAminusrarru = 0 Le
vecteur vitesse peut donc se deacutecomposer en deux vecteurs de mecircme module (Vo) lrsquoun parallegraveleagrave Ox (
minusrarrVo ) et lrsquoautre tangent agrave la roue (Vo
minusrarru )
minusrarra = Vow(sin wminusrarru x + cos wminusrarru z) = minus( Voa )2minusrarrCA Ce vecteur est dirigeacute de A vers C et minusrarra =
V2oa
5) Loi de composition des vitesses minusrarrV =
minusrarrV prime +
minusrarrVe
Dans le reacutefeacuterentiel lieacute au veacutelo repegravere de centre C A deacutecrit un cercle de rayon a drsquoun mouvementuniforme On a donc minusrarrV prime =
minusrarrV and minusrarr
CA = wminusrarru y and (minusa sin wminusrarru x minus a cos wminusrarru z) = Voˆ
minus cos wminusrarru x + sin wminusrarru z˜
= Vominusrarru
56 Meacutecanique du point
I
A
C
ararr
oVrarr
uVorarr
IAV andΩ=rarrrarr rarr
Figure 219
Le reacutefeacuterentiel eacutetant en translation rectiligne uniforme par rapport au sol on a minusrarrVe =
minusrarrVo
Conclusion on retrouveminusrarrV = Vo
minusrarru x + Voˆ
minus cos wminusrarru x + sin wminusrarru z˜
Il nrsquoy a pas drsquoacceacuteleacuteration compleacutementaire (le reacutefeacuterentiel nrsquoest pas en rotation) ni drsquoacceacuteleacuteration
drsquoentraicircnement (la translation est rectiligne uniforme) On a donc minusrarra =minusrarraprime Pour un mouve-
ment circulaire uniforme le vecteur acceacuteleacuteration est un vecteur normal centripegravete et a pour
expressionminusrarraprime = Vprime2
a
minusrarrCAa = minus( Vo
a )2minusrarrCA = minusrarra
CHAPITRE 3
LOIS DE NEWTONET REacuteFEacuteRENTIELS GALILEacuteENS
Preacute-requis bull Connaicirctre les notions de masse et centre drsquoinertie drsquoun systegraveme mateacuterielbull Connaicirctre la notion de moment drsquoune force (se reporter agrave lrsquoannexe 1
Rappel des outils matheacutematiques)bull Savoir projeter un vecteur sur une base donneacuteebull Avoir assimileacute le chapitre sur la cineacutematique du point
Objectif I Savoir reacutesoudre un problegraveme de dynamiqueI Savoir faire un bilan des forces srsquoappliquant sur un systegraveme deacutefini au
preacutealable
1 PRINCIPE DrsquoINERTIE PREMIEgraveRE LOI DE NEWTON
La meacutecanique comme de nombreuses branches de la physique prend ses fondementsdans des principes ou des postulats que lrsquoon ne deacutemontre pas Veacuterifieacutes expeacuterimentale-ment ils restent valables tant qursquoil nrsquoexiste pas drsquoexpeacuteriences les mettant en deacutefaut Parmiceux-ci nous trouvons le principe drsquoinertie qui est agrave la base de lrsquoeacutetude du mouvement dessystegravemes mateacuteriels Ce principe deacutejagrave entrevu par Galileacutee1 a eacuteteacute repris par Newton2 etconstitue ce que lrsquoon appelle la premiegravere loi de Newton
11 Systegraveme mateacuteriela) Deacutefinitions
Par deacutefinition nous appellerons systegraveme mateacuteriel un ensemble de points mateacuteriels Nousdistinguerons deux sortes de systegravemes mateacuteriels
1 Galileo Galilei (1564-1642) agrave lire Galileacutee le messager des eacutetoiles par J P Maury Coll Deacutecouvertes Gallimardn 10 1993
2 Isaac Newton (1642-1727) agrave lire Newton et la meacutecanique ceacuteleste par JP Maury Deacutecouvertes Gallimard n911990
58 Meacutecanique du point
bull Systegraveme mateacuteriel indeacuteformable tous les points mateacuteriels constituant le systegraveme restentfixes les uns par rapport aux autres Ceci correspond agrave la deacutefinition drsquoun solide enmeacutecanique
bull Systegraveme mateacuteriel deacuteformable tous les systegravemes ne correspondant pas agrave la deacutefinitiondrsquoun solide Agrave titre drsquoexemple deux solides sans liens entre eux forment un systegravemedeacuteformable lorsque chacun des solides se deacuteplace indeacutependamment de lrsquoautre
Lorsqursquoil ne subit aucune action venant de lrsquoexteacuterieur un systegraveme mateacuteriel est dit isoleacute (oufermeacute) Crsquoest le cas drsquoun solide seul dans lrsquoespace loin de toute autre masse
Si des actions exteacuterieures agissant sur un systegraveme se compensent alors on dit que le sys-tegraveme est pseudo-isoleacute crsquoest-agrave-dire que tout se passe comme srsquoil eacutetait isoleacute
Sur la Terre il nrsquoest pas possible de rencontrer des systegravemes rigoureusement isoleacutes Lrsquoac-tion de la Terre est une action exteacuterieure pour tout systegraveme mateacuteriel Par contre on peutrencontrer des systegravemes pseudo-isoleacutes chaque fois que lrsquoaction de la Terre est compenseacuteeCrsquoest le cas des mobiles autoporteurs ou encore drsquoun systegraveme se trouvant sur une tablesoufflante Dans ces cas le coussin drsquoair compense lrsquoaction de la Terre et eacutelimine les prin-cipales forces de frottements qui sont les frottements solide-solide On retrouve la mecircmesituation sur une surface horizontale glissante comme la surface geleacutee drsquoune patinoire
Par la suite par mesure de simplification nous utiliserons le terme laquo isoleacute raquo pourtout systegraveme effectivement isoleacute ou seulement pseudo-isoleacute
b) Masse et centre drsquoinertie
La masse drsquoun systegraveme caracteacuterise la quantiteacute de matiegravere qursquoil renferme Elle est invariabledans le cadre de la meacutecanique Newtonienne Crsquoest une caracteacuteristique du systegraveme Dansle systegraveme international drsquouniteacutes lrsquouniteacute de masse est le kilogramme (kg)
Le centre drsquoinertie drsquoun systegraveme mateacuteriel (ou centre de gravitation) correspond au pointnoteacute G barycentre des positions des points mateacuteriels affecteacutes de leur masse Par deacutefinitiondu barycentre le point G veacuterifie sum
i
miminusminusrarrGMi =
minusrarr0
Mi
mi
M2
m2
G
M1
m1
Figure 31 bull Centre drsquoinertie drsquoun systegraveme mateacuteriel
Pour un systegraveme discret constitueacute de n masses mi situeacutees aux points Mi on aura par rapportagrave un point O origine
minusrarrOG =
sumi mi
minusminusrarrOMisum
i mi=rArr m
minusrarrOG =
sumi
miminusminusrarrOMi
avec m = masse totale du systegraveme
Lois de Newton et reacutefeacuterentiels galileacuteens 59
Si le systegraveme forme un milieu continu agrave lrsquoeacutechelle macroscopique le signe somme se trans-forme en signe inteacutegrale
mminusrarrOG =
intintintM
minusrarrOMdm
12 Vecteur quantiteacute de mouvement
Comme nous le verrons un peu plus loin la relation fondamentale de la dynamique in-troduit une nouvelle grandeur physique qui est la quantiteacute de mouvement drsquoun systegravememateacuteriel de masse m dont le centre drsquoinertie se deacuteplace agrave la vitesse minusrarrv
Le vecteur quantiteacute de mouvement drsquoun point mateacuteriel de masse m se deacuteplaccedilant avec unevitesse minusrarrv est donneacute par
minusrarrp = mminusrarrv
Ce vecteur deacutepend du reacutefeacuterentiel dans lequel est exprimeacutee la vitesse Il est colineacuteaire agrave lavitesse du point et srsquoexprime en kgmsminus1 dans le systegraveme international drsquouniteacutes
Pour un systegraveme mateacuteriel constitueacute de n masses mi situeacutees aux points Mi et se deacuteplaccedilantagrave la vitesse minusrarrv i le vecteur quantiteacute de mouvement correspond agrave la somme des vecteursquantiteacute de mouvement de chacune des parties constituant le systegraveme On a donc
minusrarrp =
sumi
miminusrarrv i =
sumi
minusrarrp i
On peut aussi eacutecrire la masse m totale eacutetant invariante
minusrarrp =
sumi
midminusminusrarrOMi
d t=
dd t
(sumi
miminusminusrarrOMi
)=
dd t
(mminusrarrOG)
= mdminusrarrOGd t
= mminusrarrVG
Le vecteur quantiteacute de mouvement drsquoun systegraveme mateacuteriel est eacutegal au vecteur quan-titeacute de mouvement drsquoun point mateacuteriel fictif confondu avec le centre drsquoinertie dusystegraveme ougrave serait concentreacutee la masse totale du systegraveme
Solide en mouvement
m
Gm
G
Point mateacuterieleacutequivalent
Figure 32 bull Identification drsquoun solide agrave son centre drsquoinertie G auquel est affecteacutee la massetotale m du solide
60 Meacutecanique du point
13 Principe drsquoinertie eacutenonceacute de la premiegravere loi de Newton
Le principe drsquoinertie repose sur lrsquohypothegravese de lrsquoexistence drsquoun reacutefeacuterentiel dit galileacuteen Cetype de reacutefeacuterentiel fait partie drsquoune classe de reacutefeacuterentiels dont lrsquoarcheacutetype est en premiegravereapproximation le reacutefeacuterentiel de Copernic Tout autre reacutefeacuterentiel appartenant agrave cette classedoit ecirctre en mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport au reacutefeacuterentiel deCopernic Le principe drsquoinertie stipule que
Dans un reacutefeacuterentiel R galileacuteen le centre drsquoinertie de tout systegraveme mateacuteriel meacutecani-quement isoleacute est soit au repos soit en mouvement rectiligne uniforme
Reacutefeacuterentiel R galileacuteen
Systegraveme meacutecaniquement isoleacute
G
constV RG =rarr
Le mouvement du centre drsquoinertie G dusystegraveme est rectiligne uniforme
Figure 33 bull Illustration du principe drsquoinertie
Il importe de remarquer que drsquoapregraves ce principe si un systegraveme est meacutecaniquement isoleacutecrsquoest-agrave-dire si ce systegraveme ne subit aucune action ou des actions compenseacutees alors le mou-vement du point particulier qursquoest son centre drsquoinertie G est rectiligne uniforme Il enreacutesulte qursquoun systegraveme peut donc ecirctre en mouvement mecircme srsquoil ne subit aucune action Ilpeut tout aussi bien ecirctre au repos Le principe stipule cependant que si le systegraveme meacute-caniquement isoleacute dans le reacutefeacuterentiel galileacuteen est en mouvement alors le mouvement deson centre drsquoinertie est neacutecessairement rectiligne uniforme Nous insistons sur le fait quele principe drsquoinertie ne reacutegit que le mouvement du centre drsquoinertie agrave lrsquoexclusion de toutautre point Ainsi un hockeyeur qui frappe sur le palet peut imprimer agrave celui-ci un mouve-ment de rotation Si le palet glisse sur la glace sans frottement le centre drsquoinertie deacutecriraune trajectoire rectiligne alors que tous les autres points du palet deacutecriront des trajectoiresplus compliqueacutees appeleacutees cycloiumldes (figure 34)
Remarque Lrsquoapplication du principe drsquoinertie conduit agrave la loi de conservation de la quan-titeacute de mouvement du systegraveme
minusrarrV GR = minusrarrcste =rArr minusrarr
p GR = minusrarrcste =rArrdminusrarr
p GR
d t=
minusrarr0
Le vecteur quantiteacute de mouvement se conserve si le principe drsquoinertie est veacuterifieacute
Attention le principe drsquoinertie ne preacutedit que le mouvement de G
Lois de Newton et reacutefeacuterentiels galileacuteens 61
G
G
Figure 34 bull Palet de hockey lanceacute sur la glace Le palet est pseudo-isoleacute doncson centre drsquoinertie G deacutecrit une trajectoire rectiligne et le mouvement de G
est uniforme Tous les autres points du palet qui ne se trouvent pas agrave laverticale de G peuvent avoir un mouvement non rectiligne
14 Reacutefeacuterentiels galileacuteensNous avons deacutejagrave vu que la notion de mouvement ou de repos deacutependait du choix dureacutefeacuterentiel Le principe drsquoinertie ne srsquoapplique donc que dans certains reacutefeacuterentiels ditgalileacuteens
On appelle reacutefeacuterentiel galileacuteen un reacutefeacuterentiel dans lequel le principe drsquoinertiesrsquoapplique
Si on connaicirct un reacutefeacuterentiel galileacuteen on peut en connaicirctre une infiniteacute se deacuteduisant dupremier par une translation rectiligne uniforme En effet soit un reacutefeacuterentiel R galileacuteen etun autre Rprime en mouvement par rapport agrave R cherchons agrave deacuteterminer les conditions qursquoilfaut imposer agrave Rprime pour que si le principe drsquoinertie est veacuterifieacute dans R il le soit aussi dansRprime Si le principe drsquoinertie est veacuterifieacute dans R alors
minusrarrv GR = minusrarrcste
Drsquoapregraves les lois de composition des vitesses et des acceacuteleacuterations on peut eacutecrire
minusrarrv GR = minusrarrv GRprime + minusrarrv e (31)minusrarra GR = minusrarra GRprime + minusrarra e + minusrarra c (32)
Si dans R on a minusrarrv GR = cste =rArr
d minusrarrv GR
d t =minusrarr0
minusrarra GR =minusrarr0
nous aurons les mecircmes conditions dans Rprime (voir (31)) si
minusrarrv e = minusrarrcste =rArr minusrarra e =minusrarr0
De plus si lrsquoon reporte cette condition dans (32) nous voyons que Rprime doit ecirctre en trans-lation rectiligne et uniforme
Encart 31 Exemples de reacutefeacuterentiels galileacuteensLrsquoexpeacuterience montre que le reacutefeacuterentiel de Copernic est un excellent reacutefeacuterentiel galileacuteen(malgreacute le mouvement du Soleil dans notre galaxie qui elle-mecircme est en mouvementpar rapport aux autres galaxies)
62 Meacutecanique du point
Le reacutefeacuterentiel geacuteocentrique est en translation non rectiligne autour du Soleil (trans-lation pratiquement circulaire uniforme) Il nrsquoest donc pas rigoureusement galileacuteenCependant la reacutevolution de la Terre srsquoeffectue en 365 jours et 6 heures ce qui fait quele reacutefeacuterentiel geacuteocentrique peut en premiegravere approximation ecirctre consideacutereacute comme ga-lileacuteen lorsque le pheacutenomegravene eacutetudieacute se produit pendant un temps tregraves court devant lapeacuteriode de reacutevolution de la Terre
Pour les mecircmes raisons le reacutefeacuterentiel terrestre nrsquoest pas galileacuteen mais srsquoy apparentelorsque le temps de lrsquoexpeacuterience est tregraves infeacuterieur agrave 24 heures ougrave bien lorsque la preacute-cision des mesures ne permet pas de mettre en eacutevidence ce mouvement
2 PRINCIPE DE LA DYNAMIQUE DEUXIEgraveME LOI DE NEWTON
21 La notion de forceUn point mateacuteriel G est rarement meacutecaniquement isoleacute mais subit des actions Ces actionssont appeleacutees forces Lorsqursquoon parle de force il est important de voir que cela supposelrsquoexistence drsquoun acteur (celui qui exerce la force) et un receveur (celui qui subit la force)
Une force srsquoexerce dans une certaine direction (ou ligne drsquoaction de la force) dans uncertain sens et avec une certaine intensiteacute Une force a donc toutes les caracteacuteristiques drsquounvecteur qui servira agrave la repreacutesenter De plus une force srsquoapplique en un point particulier
Une force sera donc mateacuterialiseacutee par un vecteur associeacute agrave un point drsquoapplication Elleest mesureacutee au moyen drsquoun dynamomegravetre et srsquoexprime en Newton (symbole N) dans lesystegraveme international drsquouniteacutes
Les forces qursquoun point mateacuteriel peut subir sont en fait en nombre limiteacute On distingue lesforces suivantes bull Forces drsquointeraction agrave distance comme les forces de gravitation les forces eacutelectromagneacute-
tiques les forces nucleacuteaires de coheacutesionbull Forces de contact comme les forces de frottement et de tension
Des preacutecisions sur ces forces sont donneacutees dans la partie 3 de ce chapitre
22 Principe fondamental de la dynamique dans un reacutefeacuterentiel galileacuteen
a) Eacutenonceacute de la deuxiegraveme loi de Newton
Consideacuterons un systegraveme mateacuteriel S de centre drsquoinertie G de masse m se deacuteplaccedilant dansun reacutefeacuterentiel galileacuteen Si ce systegraveme nrsquoest pas meacutecaniquement isoleacute crsquoest-agrave-dire srsquoil subitune action non compenseacutee le principe drsquoinertie nous dit que sa quantiteacute de mouvementne peut pas ecirctre constante dans le temps Le principe (ou relation) fondamental(e) dela dynamique nous permet de lier la cause (actions non compenseacutees) agrave lrsquoeffet observeacute(quantiteacute de mouvement variable) (figure 35) Il srsquoeacutecrit summinusrarr
F ext =d(mminusrarrv GR
)d t
Comme la masse du systegraveme est supposeacutee constante dans le temps il en reacutesulte que larelation fondamentale de la dynamique ou RFD peut srsquoeacutecrire sous la forme summinusrarr
F ext = mminusrarra GR
Lois de Newton et reacutefeacuterentiels galileacuteens 63
Causes Effets
dt
vmddt
pdF RG
ext
)(
rarrrarrrarr==sum
Actions non compenseacutees Quantiteacute de mouvement variable
Figure 35 bull Dans un reacutefeacuterentiel galileacuteen la somme des forces exteacuterieuresappliqueacutees agrave un systegraveme est eacutegale agrave la deacuteriveacutee du vecteur quantiteacute de
mouvement du centre drsquoinertie de ce systegraveme
b) Theacuteoregraveme du centre drsquoinertie
Dans un reacutefeacuterentiel galileacuteen le mouvement du centre drsquoinertie drsquoun systegraveme mateacute-riel est le mecircme que celui drsquoun point mateacuteriel coiumlncidant avec ce centre point quiaurait comme masse la masse totale du systegraveme et auquel on appliquerait la sommedes forces agissant sur le systegraveme
Par la suite nous ne nous inteacuteresserons qursquoau mouvement du centre drsquoinertie drsquoun systegraveme(correspondant au mouvement drsquoensemble du systegraveme) Toutes les forces exteacuterieures ap-pliqueacutees au systegraveme seront donc repreacutesenteacutees en ce point (voir figure 36)summinusrarr
F ext = mminusrarra GR
G
m
1Frarr
2Frarr
3Frarr
4Frarr
G
m
1Frarr
2Frarr
3Frarr
4Frarr
Figure 36 bull Theacuteoregraveme du centre drsquoinertie Le mouvement de translation dusystegraveme se ramegravene agrave celui de son centre drsquoinertie G auquel on applique toutes
les forces
c) Theacuteoregraveme du moment cineacutetique
Deacutefinition du moment cineacutetique Consideacuterons un point mateacuteriel M en rotation autourdrsquoun axe fixe D dans un reacutefeacuterentiel Galileacuteen R(O x y z) (figure 37)
On appelle moment cineacutetique du point M par rapport agrave un point fixe O de lrsquoaxe D lemoment de sa quantiteacute de mouvement que lrsquoon note
minusrarrL MR =
minusrarrOM and mminusrarrv MR
64 Meacutecanique du point
θ
x
O y
z
M RMV
rarr
OML
rarrΔ
Figure 37 bull Illustration du mouvement de rotation drsquoun point M dans un reacutefeacuterentiel R
Le moment cineacutetique est donc un vecteur perpendiculaire agraveminusrarrOM et agrave la vitesse minusrarrv MR du
point (annexe 1 4) Crsquoest donc un vecteur perpendiculaire agrave la trajectoire du point M
Theacuteoregraveme du moment cineacutetique Le theacuteoregraveme du moment cineacutetique est un theacuteoregravemequi deacutefinit la valeur de la deacuteriveacutee du moment cineacutetique Dans le reacutefeacuterentiel R galileacuteen ladeacuteriveacutee du moment cineacutetique srsquoeacutecrit
dminusrarrL o
d t=
d(minusrarrOM and mminusrarrv MR)
d t= minusrarrv MR and mminusrarrv MR +
minusrarrOM and m
dminusrarrv MR
d t
Il en reacutesulte que la deacuteriveacutee du moment cineacutetique est eacutegale agrave la somme des moments desforces exteacuterieures par rapport au point O (annexe 1 44)
dminusrarrL o
d t=
minusrarrOM and mminusrarra MR =
minusrarrOM and
summinusrarrF ext =
summinusrarrMo(
minusrarrFext)
Causes Effets
dt
LdFM o
exto
rarrrarrrarr
=sum )(
Actions en rotation non compenseacutees Moment cineacutetique variable
Figure 38 bull Theacuteoregraveme du moment cineacutetique
Theacuteoregraveme
Dans un reacutefeacuterentiel galileacuteen la deacuteriveacutee du moment cineacutetique drsquoun point mateacuterielpar rapport agrave un point fixe O est eacutegale agrave la somme des moments des forces exteacute-rieures appliqueacutees agrave ce point
Si le point est en eacutequilibre (pas de rotation) alors la somme des moments des forces exteacute-rieures est nulle et le moment cineacutetique est nul
Pour un point mateacuteriel il est possible drsquoexprimer la deacuteriveacutee du moment cineacutetique agrave lrsquoaidedu moment drsquoinertie ID par rapport agrave lrsquoaxe de rotation choisi Le moment cineacutetique du
Lois de Newton et reacutefeacuterentiels galileacuteens 65
point mateacuteriel est eacutegal agrave
minusrarrL =
minusrarrOM and mminusrarrv = mlvminusrarru z = ml2
d u
d tminusrarru z = IDuminusrarru z
Par deacutefinition le moment drsquoinertie du point mateacuteriel M distant de l de lrsquoaxe de rotationest eacutegal au produit de la masse de ce point par le carreacute de la distance agrave lrsquoaxe de rotation
ID = ml2
Pour un point mateacuteriel en rotation autour drsquoun axe fixe on peut appliquer indif-feacuteremment le principe fondamental de la dynamique ou le theacuteoregraveme du momentcineacutetique
3 ACTIONS REacuteCIPROQUES TROISIEgraveME LOI DE NEWTON
31 Principe des actions reacuteciproquesLe principe des actions reacuteciproques ou principe de lrsquoaction et de la reacuteaction a eacuteteacute eacutenonceacutepar Newton (troisiegraveme loi de Newton)
Soit deux systegravemes S1 et S2 Si le systegraveme S1 exerce une action sur le systegraveme S2 alorssimultaneacutement le systegraveme S2 exerce une action (ou reacuteaction) sur le systegraveme S1 et reacutecipro-quement Le principe des actions reacuteciproques3 preacutecise la relation entre ces deux forces
Lorsque deux systegravemes S1 et S2 sont en interaction quel que soit le reacutefeacuterentieldrsquoeacutetude et quel que soit leur mouvement (ou lrsquoabsence de mouvement) lrsquoaction dusystegraveme S1 sur le systegraveme S2 est exactement opposeacutee agrave la reacuteaction du systegraveme S2 surle systegraveme S1
21F
rarr
12F
rarr
Systegraveme 1 eninteraction avec
systegraveme 2
CAUSE
12
21 FF
rarrrarrminus=
EFFET
1
2
Figure 39 bull Illustration du principe des actions reacuteciproques
Ce principe est universel Il srsquoapplique aussi bien aux interactions agrave distance qursquoaux inter-actions de contact agrave lrsquoeacutechelle de lrsquoUnivers comme agrave lrsquoeacutechelle des particules
3 Agrave lire Le principe des actions reacuteciproques par A Gibaud et M Henry BUP n 787 1996 1465-1473
66 Meacutecanique du point
4 LES FORCES
41 Forces drsquointeraction agrave distancea) Force de gravitation newtonienne
On appelle force de gravitation ou force drsquointeraction gravitationnelle la force exerceacuteepar une masse M sur une autre masse m Cette force drsquointeraction suit une loi eacutenonceacutee parNewton en 1650 et qui preacutecise que deux masses m et M interagissent entre elles de faccedilondrsquoautant plus forte que les masses sont grandes et que la distance qui les seacutepare est petiteLa loi qursquoil a formuleacutee est dite laquo loi de la gravitation de Newton raquo ou laquo loi drsquoattractionuniverselle raquo Elle srsquoeacutenonce de la faccedilon suivante
Loi de gravitation de NewtonLes masses de deux corps srsquoattirent en raison de leur masses et de lrsquoinverse du carreacutede leur distance selon une direction qui passe par leurs centres de masses
urarr
Vecteur unitaire
MmF rarrrarr
mMF rarrrarr
S C
M m
Figure 310 bull Forces de gravitation drsquoun objet de masse M sur un objet de masse m
La loi drsquoattraction universelle srsquoexprime analytiquement de la faccedilon suivante
minusrarrF Mrarrm = minusGmM
SC2minusrarru
Il importe de remarquer que si M attire m selon la loi preacuteceacutedente il en est de mecircme pourm qui attire M selon la mecircme loi Il srsquoagit drsquoune interaction On retrouve ici le principe desactions reacuteciproques
La force est porteacutee par lrsquoaxe qui seacutepare les deux masses m et M Elle est attractive ce quipermet drsquoeacutecrire que le vecteur force est dirigeacute agrave lrsquoopposeacute du vecteur unitaire minusrarru Le sens duvecteur unitaire est deacutefini par lrsquoappellation de la force Ainsi si lrsquoon considegravere lrsquoaction deM sur mminusrarru sera dirigeacute de M vers m La force est proportionnelle agrave m et M et inversementproportionnelle au carreacute de la distance SC Elle fait intervenir une constante drsquointeractionG appeleacutee constante drsquointeraction gravitationnelle Cette constante est universelle et vautG = 66710minus11usi
minusrarrF Mrarrm = minusGmM
SC3
minusrarrSC
Encart 32 Gravitation au voisinage de la Terre
Un cas important est celui ougrave la masse M est la masse de la Terre et ougrave m est la massedrsquoun corps au voisinage de la surface de la Terre En premiegravere approximation enneacutegligeant la rotation de la Terre sur elle-mecircme (voir chapitre 8) la force de Newton
Lois de Newton et reacutefeacuterentiels galileacuteens 67
repreacutesente le poids de la masse m au voisinage de la Terre Cette force peut srsquoeacutecrire
minusrarrF Mrarrm = mminusrarrg
ougrave minusrarrg repreacutesente le champ de pesanteur ou lrsquoacceacuteleacuteration de la pesanteur au point Cconsideacutereacute soit
minusrarrg (C) = minusG MSC2
minusrarru = minusG MSC3
minusrarrSC
Si le corps se trouve agrave la surface de la Terre la distance SC correspond au rayon de laTerre Lrsquointensiteacute du champ de pesanteur go vaut alors
go = G MR2
Si le corps se trouve agrave lrsquoaltitude z par rapport agrave la surface de la Terre cette intensiteacutedevient
g(z) = G M(R + z)2 = G M
R2
R2
(R + z)2 = go(1 +zR
)minus2
Pour z R = 6400 km cette expression donne au premier ordre par rapport agrave zR
go(1 minus 2zR
)
La variation relative de lrsquointensiteacute du champ de pesanteur est alors de
Dggo
=2zR
Pour z lt 32 km la variation relative est infeacuterieure agrave 1 On peut donc consideacuterer lechamp de pesanteur comme localement uniforme
b) Interaction coulombienne
Lrsquointeraction coulombienne est lrsquoanalogue de lrsquointeraction gravitationnelle pour descharges eacutelectriques ponctuelles La force drsquointeraction drsquoune charge Q placeacutee en S surune charge q placeacutee en C srsquoeacutecrit
minusrarrF Qrarrq =
14pacuteo
qQSC3
minusrarrSC
Il est possible de faire apparaicirctre comme dans le cas de la pesanteur un champ creacuteeacute parune charge ponctuelle Q en tout point M de lrsquoespace Ce champ appeleacute champ eacutelectriquesrsquoeacutecrit
minusrarrE (M) =
14pacuteo
QSM3
minusrarrSM
Toute charge q placeacutee dans ce champ subira une action de la part de la charge Q qui peutsrsquoeacutecrire minusrarr
F Qrarrq = qminusrarrE
68 Meacutecanique du point
c) Interaction eacutelectromagneacutetique
La force que subit une charge eacutelectrique placeacutee dans des champsminusrarrE et
minusrarrB est appeleacutee Force
de Lorentz et srsquoeacutecrit minusrarrF = q(
minusrarrE + minusrarrv and minusrarr
B )
avec v le vecteur vitesse de la charge dans le reacutefeacuterentiel ougrave E et B sont mesureacutes
42 Forces de contacta) Reacuteaction du support
La force que subit un objet poseacute sur un support horizontal en provenance du supportsrsquoappelle reacuteaction du support La reacuteaction du support sur un objet est reacutepartie sur toutela surface de contact support-objet On peut repreacutesenter cette action par une force reacutesul-tante de toutes les actions exerceacutees sur toute cette surface
nRrarr
Prarr
G
Figure 311 bull Reacuteaction drsquoun support
Lrsquoobjet subit de la part de lrsquoexteacuterieur deux forces son poidsminusrarrP appliqueacute au centre
drsquoinertie G et la reacuteaction du supportminusrarrR n(figure311) Lrsquoobjet eacutetant en eacutequilibre on a
minusrarrP +
minusrarrR n =
minusrarr0 =rArr minusrarr
P = minusminusrarrR n
Cet eacutequilibre de lrsquoobjet sur le support impose que le point drsquoapplication de la reacuteaction soitagrave lrsquointersection de la surface de contact et de la ligne drsquoaction du poids de lrsquoobjet
Remarque Drsquoapregraves le principe des actions reacuteciproques lrsquoaction de lrsquoobjet sur le supporthorizontal est exactement opposeacute agrave la reacuteaction du support sur lrsquoobjet et correspond doncau poids de lrsquoobjet
b) Forces de frottement
Les forces de frottement sont des forces qui apparaissent soit lors du mouvement drsquounobjet soit si cet objet est soumis agrave une force qui tend agrave vouloir le deacuteplacer Dans tousles cas la force de frottement srsquooppose au deacuteplacement que lrsquoon cherche agrave engendrer Ilimporte de distinguer deux types de frottement le frottement visqueux (contact solide-fluide) et le frottement solide (contact solide-solide)
Lois de Newton et reacutefeacuterentiels galileacuteens 69
Le frottement visqueux Lorsqursquoun solide se deacuteplace dans un fluide (gaz comme lrsquoair ouliquide comme lrsquoeau) il subit de la part du fluide des forces de frottement La reacutesultantede ces actions est un vecteur force proportionnel au vecteur vitesse de deacuteplacement delrsquoobjet
Avec k constante positive on a minusrarrF = minuskminusrarrv
Cette force nrsquoexiste que srsquoil y a mouvement
Encart 33 Frottement fluide pour des vitesses importantesDans le cas ougrave la vitesse de lrsquoobjet devient tregraves importante la force de frottementvisqueux nrsquoest plus proportionnelle agrave la vitesse mais au carreacute de la vitesse agrave la surfaceS de lrsquoobjet dans la direction perpendiculaire agrave la direction du deacuteplacement et agrave lamasse volumique r du fluide Le coefficient de proportionnaliteacute deacutepend du profil dela surface en contact avec le fluide et est appeleacute coefficient de peacuteneacutetration Cx La forcede frottement srsquoeacutecrit alors
minusrarrF = minus1
2CxSrvminusrarrv
Le frottement solide Le frottement solide se produit quand deux solides sont en contactIl fut eacutetudieacute par Leacuteonard de Vinci4 qui au travers drsquoexpeacuteriences simples en deacutecouvrit leslois Amontons (1699) et Coulomb5 les eacutenoncegraverent de faccedilon plus preacutecise Le frottementsolide apparaicirct degraves que lrsquoon cherche agrave faire glisser un corps poseacute sur un support Ce corpssoumis agrave des forces exteacuterieures qui auraient pour effet de le deacuteplacer peut rester immobilesi les frottements le permettent La reacuteaction du sol et donc la force de frottement srsquoadaptepour maintenir lrsquoeacutequilibre Dans le cas contraire ce corps se deacuteplacera tout en subissantune force de frottement
minusrarrF constante opposeacutee au sens du mouvement La reacuteaction du
support sur le corps peut dans les deux cas se deacutecomposer en une reacuteactionminusrarrR n normale
au support et qui empecircche le corps de srsquoenfoncer et une forceminusrarrF parallegravele au support et
qui tend agrave srsquoopposer au mouvement du corps
nRrarr
Prarr
G
Rrarr
Frarr
eFrarr
F
Figure 312 bull Solide en mouvement sur unsupport sous lrsquoaction drsquoune force exteacuterieure
Lorsque le solide se deacuteplace souslrsquoaction drsquoune force exteacuterieure
minusrarrF e (fi-
gure 312) lrsquointensiteacuteminusrarrF de la force
de frottement est proportionnelle agravecelle de la reacuteaction
minusrarrRn normale au
support Le coefficient de propor-tionnaliteacute srsquoappelle le coefficient defriction m ou coefficient de frotte-ment Ce coefficient deacutepend de lanature des surfaces en contact
F = mRn
4 Leacuteonard de Vinci (1452-1519)
5 Charles de Coulomb (1736-1806)
70 Meacutecanique du point
Le rapport FRn deacutefinit la tangente drsquoun angle F Cet angle est appeleacute angle de frotte-ment On a donc la relation
FRn
= tan F = m
Si le frottement se produit sur un plan horizontalminusrarrR n compense le poids et la force de
frottement est donc proportionnelle au poids du solide Il est possible de montrer quelrsquoeacutetendue de la surface de contact entre les deux solides ne joue aucun rocircle dans la valeurde la force de frottement La valeur du coefficient m ne deacutepend que de la nature des deuxsurfaces en contact Pour le veacuterifier il suffit de prendre un objet paralleacuteleacutepipeacutedique et de leposer sur diffeacuterentes faces On constate que la force de frottement solide reste identique
Le tableau ci-apregraves deacutefinit la valeur du coefficient de friction pour quelques surfaces
Mateacuteriaux en contact m
Acier-acier 02Checircne-sapin 067
Caoutchouc-bitume 06
nRrarr
Prarr
G
Rrarr
Frarr
eFrarr
ϕ
Figure 313 bull Solide en eacutequilibre surun support sous lrsquoaction drsquoune force
exteacuterieure et drsquoune force de frottement
Il convient de noter que la force de frotte-ment solide deacutepend de lrsquoaction subie parle solide Si aucune action exteacuterieure netend agrave deacuteplacer un solide se trouvant surun plan horizontal celui-ci est au repos etla force de frottement nrsquoexiste pas Elle neprend naissance que si le solide subit uneaction Son intensiteacute varie alors lineacuteaire-ment en fonction de cette action jusqursquoagravedevenir constante par lrsquointermeacutediaire ducoefficient m degraves que le solide se met enmouvement La force de frottement estalors maximale et ne peut plus empecirccherle mouvement
La condition drsquoeacutequilibre (figure 313) im-pose Rn = P et Fe = F On peut donc eacutecrire
FRn
= tan w =Fe
P
Remarque Le solide en eacutequilibre ne bascule pas non plus Ceci impose que la somme desmoments par rapport agrave un point fixe comme G de toutes les forces soit nulle Si la lignedrsquoaction de
minusrarrF e passe par G comme
minusrarrP alors cette condition impose que la ligne drsquoaction
de la reacuteactionminusrarrR passe aussi par G On deacutetermine ainsi la position du point drsquoapplication
deminusrarrR qui doit se situer sur la surface de contact du solide avec le support
Lorsque lrsquointensiteacute de la force Fe varie de la valeur 0 jusqursquoagrave une valeur permettant lemouvement du corps la force de frottement F passe drsquoune valeur nulle jusqursquoagrave sa valeurmaximale F = mRn (figure 314) Lrsquoangle w que fait la reacuteaction avec la verticale varie de 0agrave la valeur F Lrsquoangle F est appeleacute angle de frottement
Solide en eacutequilibre F = Fe lt mRnF
Rn= tan w lt tan F = m
Solide en mouvement F = mRn lt FeF
Rn= tan F = m
Lois de Newton et reacutefeacuterentiels galileacuteens 71
F
Fe
Repos Mouvement
F=μRn
Figure 314 bull Eacutevolution de la force de frottement en fonctionde la force Fe agissant sur le systegraveme
Lrsquoeacutetude des proprieacuteteacutes des forces de friction constitue le domaine de la tribologie6 Lrsquointer-preacutetation microscopique des pheacutenomegravenes de friction est encore mal connue et fait lrsquoob-jet drsquoeacutetudes sophistiqueacutees dans de nombreux centres de recherche Les domaines drsquoac-tion repreacutesentent des enjeux eacuteconomiques eacutenormes en particulier dans la fabrication despneumatiques et des moteurs Drsquoun point de vue plus pragmatique le lecteur prendraconscience qursquoil ne peut tenir son stylo ou qursquoil ne peut marcher que parce que le frotte-ment solide existe
c) Forces de tension
Lorsqursquoun opeacuterateur tire sur une extreacutemiteacute drsquoun fil (lrsquoautre extreacutemiteacute eacutetant fixe) celui-cise tend Simultaneacutement le fil exerce une reacutesistance crsquoest-agrave-dire une action sur lrsquoopeacuterateur(qui la ressent bien) Cette action du fil sur lrsquoopeacuterateur est appeleacutee tension du fil Ellenrsquoexiste que si le fil est tendu sous lrsquoeffet drsquoune action exteacuterieure
Pour un fil de masse neacutegligeable supportant un objet de masse m au repos la tension dufil (action du fil sur la masse) srsquooppose au poids de la masse m (action de la masse m sur lefil) drsquoapregraves le principe des actions reacuteciproques Elle prend la mecircme valeur en tout pointdu fil
Lorsque le fil est eacutelastique (figure 315) la tension du fil peut srsquoexprimer en fonction delrsquoeacutetat drsquoeacutetirement du fil et augmente lineacuteairement avec son allongement (agrave la conditionde ne pas exercer des forces trop importantes) Le coefficient drsquoallongement srsquoappelle laraideur k du fil Un exemple typique de fil eacutelastique est le ressort La force de tension drsquounressort de longueur lo non tendu et eacutetireacute agrave la longueur l srsquoeacutecrit
minusrarrF = minusk(l minus l0)minusrarru
avec minusrarru vecteur unitaire dans la direction de la deacuteformation
Le signe minus dans cette relation signifie que la force de tension du ressort est une force derappel et qursquoelle srsquooppose agrave la deacuteformation
6 Agrave lire La tribologie de lrsquoAntiquiteacute agrave nos jours par J Frecircne BUP 1986 n689 1532-1560
72 Meacutecanique du point
Trarr
Prarr
urarr
Frarr
lo
Trarr l
Δ l=l -lo
Figure 315 bull Tension drsquoun fil et drsquoun ressort
5 APPLICATIONS
51 Mouvements uniformesLe systegraveme eacutetudieacute est un point mateacuteriel M de masse m (figure 316) Le reacutefeacuterentiel danslequel on effectue lrsquoeacutetude du mouvement est un reacutefeacuterentiel galileacuteen
(a)
O
uxrarr
cstevmp == rarrrarr
x
O
Mθ
ωrarrrarr
Δ== IcsteLo
axe Δ
(b)
Figure 316 bull Mouvement rectiligne uniforme (a) et mouvement circulaire uniforme (b)
a) Mouvement rectiligne uniforme
Eacutetude dynamique (figure 316(a)) Bilan des forces le systegraveme nrsquoest soumis agrave aucuneforce ou agrave un ensemble de forces dont la reacutesultante est nulle Le principe fondamental dela dynamique appliqueacute au point mateacuteriel M conduit agrave summinusrarr
F ext = mminusrarra MR =minusrarr0
Eacutetude cineacutematique Par deacutefinition un mouvement est rectiligne uniforme si
minusrarrv = minusrarrcste
Les conditions initiales sont les suivantes agrave t = 0 minusrarrv o = vominusrarru x et OM = xo =rArr minusrarrv = vo
minusrarru x
Lois de Newton et reacutefeacuterentiels galileacuteens 73
Il srsquoensuit que lrsquoeacutequation horaire du mouvement est
d xd t
= vo rArr x = vot + xo
b) Mouvement circulaire uniforme
Eacutetude dynamique (figure 316(b)) Le bilan des forces est tel qursquoil nrsquoy a aucune forceappliqueacutee agrave M ou un ensemble de forces dont le moment reacutesultant par rapport agrave un pointfixe O est nul Le theacuteoregraveme du moment cineacutetique srsquoeacutecrit sum
MFextD = 0 rArr ID
d2 u
d t2= 0 rArr d u
d t= cste = vo
Eacutetude cineacutematique Par deacutefinition un mouvement est circulaire uniforme si
minusrarrv =d u
d tminusrarru z = minusrarrcste = vo
minusrarru z
Il srsquoensuit que lrsquoeacutequation horaire du mouvement est
d u = vo d t rArr u = vot + uo
52 Mouvement uniformeacutement varieacute
(a)
O
uxrarr
Frarr
xM
O
Mθ
ωrarrrarr
Δ=ne IcsteLo
axe Δ
(b)
Frarr
Figure 317 bull Mouvements uniformeacutement varieacutes Mouvement rectiligne (a)et mouvement de rotation (b)
a) Mouvement rectiligne uniformeacutement varieacute
Eacutetude dynamique (figure 317(a)) Le bilan des forces se reacutesume agrave un ensemble de forcesdont la reacutesultante
minusrarrF est constante Le principe fondamental de la dynamique conduit agravesumminusrarr
F ext = mminusrarra MR =minusrarrF
Eacutetude cineacutematique En projection sur la direction du mouvement nous avons
a =Fm
= cste
74 Meacutecanique du point
Les conditions initiales eacutetant agrave t = 0 minusrarrv o = vominusrarru x et OM = xo nous avons
x =Fm
rArr x =Fm
t + vo
ce qui conduit agrave lrsquoeacutequation horaire
x =12
Fm
t2 + vot + xo
b) Mouvement circulaire uniformeacutement varieacute
Eacutetude dynamique (figure 317(b)) Le bilan des forces se reacutesume agrave un ensemble de forcesdont le moment reacutesultant par rapport agrave un point fixe O est constant Lrsquoapplication dutheacuteoregraveme du moment cineacutetique conduit agrave
IDu =sum
MFextD = cste = Fd (avec d = OM etminusrarr
F perp minusrarrOM)
Eacutetude cineacutematique Nous avons donc
u =Fd
md2 =F
md= cste
En consideacuterant qursquoagrave t = 0 u(0) = uo et u(0) = uo il vient
u =F
mdt + uo
ce qui conduit agrave lrsquoeacutequation horaire suivante
u =12
Fmd
t2 + uot + uo
53 Mouvements quelconques
a) Chute freineacutee drsquoun corpsuxrarr
G
Frarr
Prarr
O
x
Figure 318 bull Chutefreineacutee drsquoun corps
Nous faisons lrsquohypothegravese que le corps de masse m est freineacute aucours de sa chute par une force de frottement de type visqueuxNous eacutetudions le problegraveme dans un reacutefeacuterentiel terrestre sup-poseacute galileacuteen La chute se faisant sur un seul axe on se limite agraveun vecteur de base (figure 318) On supposera que la masse mchute sans vitesse initiale drsquoune position x = 0 agrave t = 0
Systegraveme eacutetudieacute le systegraveme masse m
Reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude R(O x t) supposeacute galileacuteen (vecteur uni-taire minusrarru x)Les forces exteacuterieures appliqueacutees sont bull le poids
minusrarrP
bull la force de frottementminusrarrF = minuskminusrarrv GR
Lois de Newton et reacutefeacuterentiels galileacuteens 75
Lrsquoapplication de la relation fondamentale de la dynamique conduit agrave
mdminusrarrv GR
d t=
minusrarrP +
minusrarrF =
minusrarrP minus kminusrarrv GR
Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement de la masse m srsquoeacutecrit donc
dminusrarrvd t
+kmminusrarrv = minusrarrg
ce qui en projection sur lrsquoaxe x du mouvement conduit agrave
d vx
d t+
km
vx = g
Cette eacutequation est une eacutequation diffeacuterentielle du premier degreacute agrave coefficients et secondmembre constants La meacutethode de reacutesolution consiste agrave calculer une solution de lrsquoeacutequa-tion sans second membre et y ajouter une solution particuliegravere indeacutependante du tempsLrsquoeacutequation sans second membre srsquoeacutecrit
d vxd t + k
m vx = 0 rArr d vxvx
= minus km d t
ln vx = minus km t + cste = minus k
m t + ln C
Il en reacutesulte que la vitesse du mobile varie exponentiellement selon une loi du type
vx = Ceminuskm t
On recherche une solution particuliegravere de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle ne deacutependant pas dutemps On a donc
d vx
d t= 0 rArr vx =
mgk
La solution geacuteneacuterale de cette eacutequation srsquoeacutecrit donc
vx =mgk
+ Ceminuskm t
Il ne reste plus qursquoagrave deacuteterminer la constante C en revenant aux conditions aux limites dece mouvement qui impose que v = 0 agrave t = 0 Il vient donc
C +mgk
= 0 rArr C = minusmgk
ce qui conduit agrave vx =
mgk
(1 minus eminuskm t)
On peut ainsi constater que la vitesse augmente progressivement pour atteindre une vi-tesse limite lorsque le temps tend vers lrsquoinfini (figure 319) La vitesse limite de chute quilogiquement nrsquoest jamais atteinte est donneacutee par
vlim =mgk
x =mgk
(t +mgk
(eminuskm t minus 1))
76 Meacutecanique du point
0 2 4 6 8 100
1
2
3
4
5
Vlim
Vite
sse
(ms
-1)
Temps (s)
Figure 319 bull Eacutevolution avec le temps de la vitesse dans le casdrsquoune chute avec frottements visqueux
b) Pendule simple
l
θ
ρurarr
θurarr
O
Trarr
Prarr
Figure 320 bull Repreacutesentationdrsquoun pendule simple
Consideacuterons une masse m mobile autour drsquoun axefixe La distance de la masse m agrave lrsquoaxe de rotation estappeleacutee l (figure 320) On considegravere le mouvementdu systegraveme masse m par rapport agrave un reacutefeacuterentiel gali-leacuteen R(O x y z t) La base choisie est la base mobile(minusrarru r
minusrarru u) Les forces exteacuterieures appliqueacutees sont lepoids
minusrarrP = mminusrarrg et la tension
minusrarrT du fil La relation
fondamentale de la dynamique conduit agrave
minusrarrP +
minusrarrT = mminusrarra GR
m(minuslu2minusrarru r + luminusrarru u) =minusrarrP +
minusrarrT
En projection sur les vecteurs de base le poids et latension srsquoeacutecrivent
minusrarrP(
mg cos uminusmg sin u
)minusrarrT(
minusT0
)ce qui conduit agrave
mg cos u minus T = minusmlu2
minusmg sin u = mlu
De la seconde eacutequation il est possible drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement dela masse m
u +gl
sin u = 0
Lois de Newton et reacutefeacuterentiels galileacuteens 77
Cette eacutequation est une eacutequation diffeacuterentielle non lineacuteaire agrave cause de la preacutesence du termeen sinus La solution nrsquoest donc pas facile agrave obtenir sauf si dans certaines conditions lrsquoeacutequa-tion peut ecirctre assimileacutee agrave une eacutequation lineacuteaire Cette condition est satisfaite dans le casougrave lrsquoangle u est petit crsquoest-agrave-dire lorsque le sinus est assimilable agrave lrsquoangle soit sin u uDans ce cas lrsquoeacutequation diffeacuterentielle devient
u +glu = 0
Crsquoest lrsquoeacutequation diffeacuterentielle drsquoun oscillateur harmonique La solution de cette eacutequationsrsquoeacutecrit
u = um sin(vot + w)
agrave condition de poser v2o =
gl
Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle preacuteceacutedente aurait pu ecirctre obtenue directement par le theacuteoregravemedes moments calculeacutes en O soit
ml2uminusrarru z =minusrarrMminusrarr
P O +minusrarrMminusrarr
T O =minusrarrMminusrarr
P O ml2u = minusmgl sin u
Agrave RETENIR
Premiegravere loi de Newton principe drsquoinertie
Dans un reacutefeacuterentiel R galileacuteen le centre drsquoinertie de tout systegraveme mateacuteriel meacutecani-quement isoleacute est soit au repos soit en mouvement rectiligne uniforme
Deacutefinition drsquoun reacutefeacuterentiel galileacuteen
Tout reacutefeacuterentiel pour lequel le principe drsquoinertie est applicable est un reacutefeacuterentiel gali-leacuteen
Deuxiegraveme loi de Newton principe fondamental de la dynamique
Dans un reacutefeacuterentiel galileacuteen la somme des forces exteacuterieures appliqueacutees agrave un systegravemeest eacutegale agrave la deacuteriveacutee du vecteur quantiteacute de mouvement du centre drsquoinertie de cesystegraveme
Troisiegraveme loi de Newton principe des actions reacuteciproques
Lorsque deux systegravemes S1 et S2 sont en interaction quel que soit le reacutefeacuterentiel drsquoeacutetudeet quel que soit leur mouvement (ou lrsquoabsence de mouvement) lrsquoaction du systegraveme S1sur le systegraveme S2 est exactement opposeacutee agrave la reacuteaction du systegraveme S2 sur le systegraveme S1
78 Meacutecanique du point
Moment cineacutetique et theacuteoregraveme du moment cineacutetique
minusrarrL MR =
minusrarrOM and mminusrarrv MR et
dminusrarrL o
d t=
minusrarrOM and
summinusrarrF ext =
summinusrarrMo(
minusrarrFext)
Dans un reacutefeacuterentiel galileacuteen la deacuteriveacutee du moment cineacutetique par rapport agrave un pointfixe O drsquoun point mateacuteriel est eacutegale agrave la somme des moments des forces exteacuterieuresappliqueacutees agrave ce point
Les forces
Forces agrave distance (poids drsquoun corps force de gravitation etc) et forces de contact(tension drsquoun fil ou drsquoun ressort reacuteaction drsquoun support avec ou sans frottement solidefrottement solide)
EXERCICES DrsquoAPPLICATION AVEC SOLUTION DEacuteTAILLEacuteE
Dynamique
(axe de rotation fixe dans le Reacutefeacuterentiel Terrestre)
Tige en rotation autour de lrsquoaxe
Masse m (peut coulisser sur la tige sans frottement)
Ressort de raideur k
L
nabla
nabla
Figure 321
Un ressort est enfileacute sur une tige horizontale fixeacutee agrave un axe de rotation (D) vertical Ceressort est eacutegalement fixeacute agrave (D) agrave lrsquoune de ses extreacutemiteacutes tandis qursquoagrave lrsquoautre extreacutemiteacuteest fixeacutee une masse m de 50 g pouvant coulisser sans frottement sur la tige
La tige entraicircne la masse m dans son mouvement de rotation uniforme de vitesse angu-laire constante v La vitesse de rotation est de 2 tours par seconde
Dans ces conditions (figure 2) le ressort est allongeacute et a une longueur L
Sa longueur agrave vide (ou au repos) est de Lo= 48 cm
De plus dans une eacutetude statique de ce ressort on accroche une masse M = 200 g agravelrsquoune de ses extreacutemiteacutes On constate qursquoil srsquoallonge verticalement de d = 1 cm souslrsquoaction du poids de cette masse M
On prendra pour les applications numeacuteriques g = 9 8 msminus2 et p2 = 9 8
Lois de Newton et reacutefeacuterentiels galileacuteens 79
1) Question preacuteliminaire eacutetude statique faire un scheacutema repreacutesentant le ressort agrave vide(ou au repos) dans la position verticale et agrave cocircteacute le mecircme ressort mais eacutetireacute sous lrsquoactiondu poids de la masse M Agrave partir de la condition drsquoeacutequilibre exprimer puis calculer laraideur k du ressort
2) On se place dans le cas de la figure Apregraves avoir preacuteciseacute exactement le mouvementde la masse m indiquer quels sont la direction et le sens du vecteur acceacuteleacuteration minusrarra Donner lrsquoexpression de lrsquoacceacuteleacuteration a en fonction de la longueur L du ressort et dela vitesse angulaire v
3) Faire lrsquoeacutetude dynamique complegravete du systegraveme masse m et en deacuteduire lrsquoexpression dela longueur L et de lrsquoallongement DL du ressort Calculer cet allongement
4) Calculer la tension T du ressort
5) Commenter le reacutesultat du 3) quand la vitesse angulaire v varie Que se passerait-il
si lrsquoensemble tournait agrave la vitesse angulaire v = vo =
radickm
Solution1) eacutequilibre Mg = kd rArr k =
Mgd
=0298
001= 196 Nmminus1
2) Mouvement circulaire uniforme Lrsquoacceacuteleacuteration est donc normale et centripegravete Sonexpression est a = v2L
3) Systegraveme m
Reacutefeacuterentiel terrestre galileacuteen
Bilan des forces exteacuterieures le poids mminusrarrg vertical vers le bas la reacuteaction de la tige(perpendiculaire agrave la tige car pas de frottement) et la tension du ressort
minusrarrT
Principe fondamental de la dynamique minusrarrP +
minusrarrR +
minusrarrT = mminusrarra La projection sur la tige
mobile donne
T = k(L minus Lo) = mv2L rArr L =kLo
k minus mv2 =Lo
1 minus v2
v2o
et L minus Lo =mv2Lo
k minus mv2 =Lo
v2o
v2 minus 1
avec vo =
radickm
v2o
4p2 =1
498196005
= 100 etv2
4p2 = 22 = 4 L minus Lo =Lo
v2o
v2 minus 1=
4824
= 2 cm
et L = 50 cm
4) T = k(L minus Lo) = 196002 = 392 N
5) v lt vo rArr LminusLo =Lo
v2o
v2 minus 1et L =
kLo
k minus mv2 =Lo
1 minus v2
v2o
Alors v vo rArr impossible
Le ressort casse avant puisque pour v = vo rArr lrsquoallongement tend vers lrsquoinfini Ensuiteil devient neacutegatif impossible On sort du domaine drsquoeacutelasticiteacute du ressort
80 Meacutecanique du point
Toboggan aquatique (Les parties I et II sont indeacutependantes)
On considegravere un toboggan aquatique ayant la forme drsquoune portion de cercle de centreO et de rayon r Le revecirctement de ce toboggan rend les frottements neacutegligeables
Ce toboggan possegravede une longueur MoM1 telle que sa reacuteaction sur un point mateacute-riel M de masse m (un baigneur) lacirccheacute en Mo sans vitesse initiale soit nulle en M1 minusrarrR (M equiv M1) =
minusrarr0
Le reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude est le reacutefeacuterentiel Terrestre consideacutereacute galileacuteen
I Premiegravere phase du mouvement
La position du point M est repeacutereacutee par lrsquoangle u = (minusrarrOx
minusrarrOM) compris entre uo =
p
2et
u1 = (minusrarrOx
minusminusrarrOM1) On utilise la base polaire (minusrarru r minusrarru u)
rurarr
yurarr
M1
y
Mo
O xu
rarr
x
1
M
1Vrarr
H Plan deau urarr
r
Figure 322
a) Faire le bilan des forces exteacuterieures appliqueacutees sur la masse m dans la position inter-meacutediaire repeacutereacutee par u
b) Appliquer le principe fondamental de la dynamique et faire la projection sur minusrarru r etminusrarru u On obtient ainsi deux relations permettant de deacuteterminer le module V = ru de lavitesse et le module R de la reacuteaction du toboggan en fonction de u
c) Sachant qursquoune eacutequation diffeacuterentielle du type u = A cos u (avec A une constante)srsquointegravegre entre t = 0 et t en multipliant les deux membres par 2u montrer que
u =
radic2gr
(1 minus sin u) En deacuteduire les expressions (fonctions de u) de V(u) et R(u)
d) Montrer qursquoau point M1 (ougrave la reacuteactionminusrarrR (u1) =
minusrarr0 ) on a sin u1 =
23
et V1 =
radic23
gr
Lois de Newton et reacutefeacuterentiels galileacuteens 81
II Deuxiegraveme phase du mouvement
Le point mateacuteriel M effectue agrave preacutesent un mouvement de chute libre (pas de frotte-ment) qui se termine par une reacuteception en H sur un plan drsquoeau drsquoeacutequation y = 0
a) Donner les composantes sur la base (minusrarru xminusrarru y) du vecteur vitesse
minusrarrV 1 donneacute au 1 d)
b) En translatant lrsquoorigine O des coordonneacutees en M1 et en choisissant lrsquoorigine destemps t = 0 lorsque M est en M1 deacuteterminer dans ce nouveau repegravere) les eacutequationshoraires x(t) et y(t) durant cette phase et en deacuteduire lrsquoeacutequation y = f (x) de la trajectoireen fonction de r
c) Indiquer comment deacuteterminer finalement la distance OH en fonction de r
SolutionI Premiegravere phase du mouvement
a) Forces appliqueacutees minusrarrP = mminusrarrg = minusmgminusrarru y
La reacuteaction normale au toboggan (pas de frottements)minusrarrR = Rminusrarru r (voir scheacutema)
R
Prarr
rurarr
yurarr
M1
y
Mo
O xu
rarr
x
1
M
1Vrarr
rarr
H Plan deau
urarr
Figure 323
b) Principe fondamental
minusrarrP +
minusrarrR = mminusrarra = m(minusru2minusrarru r + ruminusrarru u) (R minus mg sin u)minusrarru r minus mg cos uminusrarru u = mminusrarra
bull R minus mg sin u = minusmru2 = minusmr
V2
bull minusmg cos u = mru rArr u = minusgr
cos u
82 Meacutecanique du point
c) u = minusgr
cos u rArr 2uu = minus2gr
u cos u rArr d (u2)d t
= minus2gr
d (sin u)d tint u
uo=p2
d (u2)d t
= minus2gr
int u
uo=p2
d (sin u)d t
rArr u2 = minus2gr
[sin u]up2
=2gr
(1 minus sin u) = u2
u2 =2gr
(1 minus sin u) rArr r2u2 = 2gr(1 minus sin u) rArr V =radic
2gr(1 minus sin u)
R minus mg sin u = minusmru2 = minusmr
V2 rArr R = mg sin u minus m[2g(1 minus sin u)] = mg(3 sin u minus 2)
d) Au point M1 minusrarrR (u1) =
minusrarr0 rArr 3 sin u1 minus 2 = 0 rArr sin u1 =
23
et en remplaccedilant dans V
V1 =radic
2gr(1 minus sin u1) =
radic2gr(1 minus 2
3) =
radic23
gr
et cos u1 =radic
1 minus sin2 u1 =
radic1 minus 4
9=
radic5
3
II Deuxiegraveme phase du mouvement
a)minusrarrV1 = V1(sin u1
minusrarru x minus cos u1minusrarru y) =
radic23
gr
⎛⎝23minusrarru x minusminusrarru y
radic1 minus(
23
)2⎞⎠
=
radic23
gr
(23minusrarru x minus
radic5
3minusrarru y
)
b) minusrarra = minusrarrg =
∣∣∣∣∣∣0minusg0
rArr minusrarrV =
∣∣∣∣∣∣V1 sin u1
minusgt minus V1 cos u1
0rArr
∣∣∣∣∣∣∣∣x = (V1 sin u1)t
y = minus12
gt2 minus (V1 cos u1)t
0
avec t =x
V1 sin u1
y = minus12
gx2
(V1 sin u1)2 minus cos u1
sin u1x rArr y = minus27
16x2
rminus
radic5
2x (origine en M1)
c) Le point M touche le plan drsquoeau pour y = minusr sin u1 rArr 2716
x2 +radic
52
rx minus 23
r2 = 0
x2 +8radic
527
rx minus 3281
r2 = 0 rArr x = minus4radic
527
r plusmn
radicradicradicradic(4radic
527
r
)2
+32r2
81
x = minus4radic
527
r +radic
80272 r2 +
329272 r2 = minus4
radic5
27r +
r27
radic80 + 288 =
r27
(radic
368 minus 4radic
5)
x =r
27(12
radic2 minus 4
radic5) =
427
r(3radic
2 minusradic
5) =8
27r = 0297r
On a donc OM = r cos u1 +8
27r =
(radic5
3+
827
)r = 10426r
Lois de Newton et reacutefeacuterentiels galileacuteens 83
EXERCICES CORRIGEacuteS
α
L
H
Figure 324
1 Un solide de masse m est en eacutequilibre sur un planinclineacute drsquoun angle a par rapport agrave lrsquohorizontale (fi-gure 324)
Dans les questions 2 et 3 le contact entre le solideet le plan inclineacute est supposeacute sans frottements
1) Rappeler agrave quelles conditions un solide est eneacutequilibre
2) Lrsquoeacutequilibre est drsquoabord reacutealiseacute en maintenant lesolide par un fil non eacutelastique de masse neacutegligeableEacutecrire les lois de lrsquoeacutequilibre de ce solide Deacuteterminer la tension du fil
3) Lrsquoeacutequilibre est maintenant assureacute par un fil eacutelastique de raideur k dont la longueuragrave vide est lo Deacuteterminer la longueur du ressort lorsqursquoil maintient le solide sur leplan inclineacute
4) Le solide nrsquoest plus maintenu par un fil mais on suppose que le coefficient defrottement solide entre le solide et le plan est m Deacutemontrer que le solide ne peut ecirctreen eacutequilibre que si lrsquoangle a est infeacuterieur agrave un angle que lrsquoon deacuteterminera Deacuteterminerla position du point drsquoapplication de la reacuteaction du support dans ce cas
2 Un bœuf tire un traicircneau sur un sol horizontal en appliquant systeacutematiquement uneforce de traction
minusrarrF inclineacutee de 60
par rapport agrave lrsquohorizontale La force de traction
minusrarrF qursquoil exerce sera variable dans les diffeacuterentes parties du problegraveme et lrsquoon chercheagrave comprendre le mouvement du traicircneau en fonction de la valeur du module de
minusrarrF
Dans tout le problegraveme on considegravere que la masse du traicircneau est m = 100 kg et lrsquoonposera g = 10 msminus2
1) Pour mettre en mouvement le traicircneau le bœuf doit tirer avec une force minimaleFm = 40 N Expliquer lrsquoorigine de cette force minimale En deacuteduire les caracteacuteris-tiques de la reacuteaction sol-traicircneau
2) Agrave lrsquoinstant t = 0 il tire le traicircneau avec une force F1 = 100 N pendant t1 = 10 spuis il applique une force F2 = 40 N pendant t2 = 20 s pour ne le tirer qursquoavec uneforce de F3 = 20 N par la suite
a) Eacutecrire lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement du traicircneau dans les trois cas preacuteceacute-dents
b) Reacutesoudre ces eacutequations et deacuteterminer lrsquoexpression de la distance parcourue par letraicircneau en fonction de t
c) Le traicircneau srsquoarrecircte-t-il Dans lrsquoaffirmative trouver la position drsquoarrecirct
3 Un traicircneau de masse m = 200 kg est tireacute suivant une ligne de plus grande pentedrsquoun plan inclineacute par lrsquointermeacutediaire drsquoun cacircble faisant un angle b avec celui-ci(figure 325)
1) La tension du cacircble vaut T = 1000 N Le mouvement eacutetant uniforme de vitessev = 10 kmhminus1 deacuteterminer la reacuteaction R somme des forces de contact exerceacutees parle sol sur le traicircneau (norme et inclinaison par rapport agrave la normale au plan inclineacute)Donneacutees a = 20 b = 30 g = 10 msminus2
84 Meacutecanique du point
α
β
Figure 325
2) On augmente la tension et le mou-vement du traicircneau devient unifor-meacutement acceacuteleacutereacute
a) Le coefficient de frottementtraicircneau-sol restant identiques la reacute-action R est-elle modifieacutee
b) La vitesse du traicircneau passe de10 kmhminus1 agrave 20 kmhminus1 sur unedistance de 10 m Calculer la puis-sance exerceacutee par la tension du cacircblelorsque la vitesse vaut 15 kmhminus1
4 Un esquimau pousse un traicircneau de masse m = 100 kg le long de lrsquoaxe Ox pourfinalement le lancer dans la pente Ax afin drsquoatteindre un point B dans la pente Lapente fait un angle a avec lrsquohorizontale (figure 326)
O AB
xα
Figure 326
On posera dans tout le problegraveme g = 10 msminus2 La force de frottement entre le sol etle traicircneau est du type frottement solide et veacuterifie les lois suivantes
bull Lorsque le traicircneau est mobile par rapport au sol le sol exerce sur le traicircneau uneforce de freinage f = KN qui est proportionnelle agrave la reacuteaction normale N exerceacuteepar le sol sur le traicircneau et proportionnelle au coefficient de frottement solide K
bull Tant que le traicircneau est immobile (v = 0) il faut au moins exercer une forceparallegravele au sol F gt KN pour le mettre en mouvement
1) Mouvement horizontal entre O et A
Au deacutepart le traicircneau est immobile en O Lrsquoesquimau doit exercer une pousseacutee mi-nimale Fo pour faire deacutemarrer le traicircneau puis il exerce une pousseacutee croissanteF(t) = Fo(1 + t
t) pour lui donner de la vitesse Dans tout ce qui suit t est une
constante et Fo = 100 N
a) Exprimer Fo en fonction de K m et g
b) Exprimer la vitesse v(t) et la position x(t) de lrsquoesquimau en fonction de Fomet t
c) Le point A est atteint en 10 s La vitesse v(A) est alors de 5 msminus1 Calculer lecoefficient de frottement K la constante t et la distance OA de lancement
2) Mouvement dans la pente entre A et B
En A lrsquoesquimau de masse me = 60 kg saute sur le traicircneau et lrsquoensemble prend lapente agrave la vitesse v(A) Le coefficient de frottement K est le mecircme dans la pente quesur le plat
Lois de Newton et reacutefeacuterentiels galileacuteens 85
a) Discuter les diffeacuterents types de mouvement possibles agrave partir de A selon lavaleur de a Trouver une condition neacutecessaire pour que le mouvement soitacceacuteleacutereacute
b) Lrsquoesquimau souhaite atteindre le point B agrave 2 km de A sans relancer le traicirc-neau La pente est de 8 et v(A) = 5 msminus1
bull Deacutecrire le mouvementbull Deacuteterminer la position drsquoarrecirctbull Lrsquoesquimau regrette de ne pas avoir farteacute les skis de son traicircneau Quel devrait
ecirctre le coefficient K de frottement pour qursquoil atteigne le point B Quelle est dansces conditions la dureacutee du parcours AB
ω
θ
l1
O
C
m
B
Figure 327
5 On dispose drsquoun ressort agrave boudin BC deraideur k = 20 Nmminus1 de masse neacutegli-geable de longueur agrave vide lo = 10 cmet drsquoune masse m = 100 g consideacutereacuteecomme ponctuelle fixeacutee agrave lrsquoune de ses ex-treacutemiteacutes
On attache lrsquoextreacutemiteacute B du ressort agrave unfil inextensible de masse neacutegligeable delongueur l1 = 40 cm Lrsquoautre extreacutemiteacutedu fil est fixeacutee agrave lrsquoextreacutemiteacute supeacuterieuredrsquoune tige verticale qui en tournant en-traicircne le fil le ressort et la masse drsquounmouvement de rotation uniforme (figure327) Apregraves un reacutegime transitoire lrsquoangle u entre le fil et la tige verticale prend unevaleur constante eacutegale agrave 60
1) Calculer la tension du ressort et sa longueur
2) Quelle est en nombre de tours par seconde la vitesse de rotation de la tige Onprendra g = 10 msminus2
θ
A
M
2lo
lO
Figure 328
6 Une masse m = 1 kg est suspendue agrave un ressortde raideur k fixeacute en A comme lrsquoindique la figure328
La tige OM rigide de masse neacutegligeable est arti-culeacutee en O et M et agit sans frottements de sorteque lrsquoaction de la tige sur la masse m est dirigeacuteedans lrsquoaxe OM de la tige Le ressort a une lon-gueur 2lo lorsqursquoil nrsquoest soumis agrave aucune forceDrsquoautre part AO = 2lo et OM = lo = 1 m
On suppose que le systegraveme est en eacutequilibre pourun angle u=60 et lrsquoon cherche agrave deacuteterminer laconstante de raideur du ressort k
1) Peut-on trouver une solution graphique agrave ce problegraveme (faire un scheacutema agrave lrsquoeacutechelle1 cm = 2 N 2 5 cm=1 m)
86 Meacutecanique du point
2) On rappelle deux relations dans un triangle ABC
minusrarrBC2 =
minusrarrAB2 +
minusrarrAC2 minus 2
minusrarrAB
minusrarrAC
minusrarrAB and minusrarr
AC =minusrarrBC and minusrarr
BA =minusrarrCA and minusrarr
CB
Deacuteterminer la longueur du ressort AM ainsi que sin(minusrarrMO
minusrarrMA) en fonction de lo et u
3) Calculer la valeur de la constante de raideur k du ressort qui assure lrsquoeacutequilibre
a) en faisant le bilan des forces
b) en utilisant le theacuteoregraveme des moments
toωθ = x
y
x
prime
O
M
Figure 329
7 Le mobile M est un anneau enfileacute sur lrsquoaxe ri-gide Oxprime Il peut glisser sur Oxprime sans frottementet on neacuteglige la pesanteur (alors lrsquoanneau nrsquoestsoumis qursquoagrave une reacuteaction normale de lrsquoaxe ri-gide)
Lrsquoaxe Oxprime tourne dans le plan xOy agrave la vitesseangulaire constante vo Le repegravere xOy est un re-pegravere galileacuteen Agrave lrsquoinstant t = 0 u = 0 r = rod r
d t = 0
1) Eacutecrire lrsquoeacutequation fondamentale de la dyna-mique dans le repegravere fixe xOy
2) Deacuteterminer les eacutequations horaires r(t) et u(t) du mouvement du point M
3) Repreacutesenter lrsquoallure de la trajectoire dans le plan xOy
Solutions
1 Le reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude est le reacutefeacuterentiel terrestre consideacutereacute comme galileacuteen Le systegraveme eacutetudieacuteest un solide de masse m Les forces appliqueacutees rameneacutees au centre drsquoinertie du solide sont(figure 330) minusrarrP = mminusrarrg (verticale vers le bas)
minusrarrRn (reacuteaction normale du sol car pas de frottement) et
minusrarrT
(tension du fil)
1) Le centre drsquoinertie du solide est immobile dans le reacutefeacuterentiel terrestre si Pminusrarr
Fext =minusrarr0 rArr minusrarr
P +minusrarrRn +
minusrarrT =
minusrarr0
2) En projetant sur les axes du repegravere on obtient mg sin a = T et Rn = mg cos a
3) Le fil est remplaceacute par un ressort La tension du ressort est proportionnelle agrave son allonge-ment On a donc
T = k(l minus lo) rArr (l minus lo) = mgk sin a rArr l = lo + mg
k sin a
4) La tension est remplaceacutee par la force de frottementminusrarrf (figure 331)
On a donc f = mg sin a Rn = mg cos a et la condition drsquoeacutequilibre qui impose mRn gt f Lrsquoeacutequilibre est possible si m gt tan a = f
Rn
Lois de Newton et reacutefeacuterentiels galileacuteens 87
nRrarr
Trarr
Prarr
αα
uxrarr
uyrarr
Figure 330
nRrarr
frarr
Prarr
αα rarr
uyrarr
Rrarr
ux
Figure 331
Si lrsquoeacutequilibre est reacutealiseacute on a minusrarrP +
minusrarrR =
minusrarr0 et les deux forces ont la mecircme ligne drsquoaction
Le point drsquoapplication de la reacuteaction se trouve donc agrave lrsquointersection de la surface de contactsolide-sol avec la ligne drsquoaction de
minusrarrP
α=60˚
Frarr
Prarr
Rrarr
frarr
nRrarr
Figure 332
2 Le reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude est le reacutefeacuterentiel terrestreconsideacutereacute comme galileacuteen Le systegraveme eacutetudieacuteest le traicircneau de masse m (m = 100 kg etg = 10 msminus2)
Les forces appliqueacutees (voir figure 332) sont minusrarrP = mminusrarrg
minusrarrF (action du bœuf)
minusrarrR (reacuteaction du
sol)
Principe fondamental de la dynamique
mminusrarrg +minusrarrR +
minusrarrF = mminusrarra
(minusrarra acceacuteleacuteration du centre drsquoinertie du traicircneau)
1) Si la reacuteaction du sol eacutetait uniquement normale au sol la projection des forces suivant lrsquoho-rizontale donnerait F cos a = mx Il nrsquoy aurait aucune condition sur F pour que le traicircneau semette en mouvement degraves que F = 0
Il existe donc des forces de frottement et la reacuteaction du sol est inclineacutee vers lrsquoarriegravere (fi-gure 332)
En projetant sur lrsquohorizontale et la verticale on a F cos a minus f = mx et Rn minus mg = 0
La condition est donc x gt 0 rArr F cos a gt f rArr Fm = fcos a
= f12 = 2f = 40 NrArr f = 20 N
Si le traicircneau bouge alors on a f = mRn avec m coefficient de frottement caracteacuteristique de lareacuteaction sol-traicircneau avec Rn = mg rArr m = f
Rn= f
mg = 201000 = 0 02 = tan w ougrave w est lrsquoangle
que fait la reacuteactionminusrarrR avec la normale au sol
minusrarrRn Cet angle de frottement vaut w = 1 146
Dans tout ce qui suit f reste constante et peut srsquoeacutecrire f = mRn = mmg
2) Pour la premiegravere eacutetape F1 cos aminusmmg = mx1 rArr x1 = F1m cos aminusmg = 1
2minus0 2 = 0 3 msminus2
Le mouvement est rectiligne uniformeacutement acceacuteleacutereacute Agrave t = 0 x1(0) = 0 et x1(0) = 0 On adonc
x1 = x1t = 0 3t rArr x1 = 12 x1t2 = 015t2 Au bout de t1 = 10 s le traicircneau a parcouru
x1(t1) = d1 = 12 x1t21 = 15 m et sa vitesse est x1(t1) = v1 = x1t1 = 3 msminus1
Pour lrsquoeacutetape suivante F2 cos a minus mmg = mx2 rArr x2 = F2m cos a minus mg = 0 2 minus 0 2 = 0
88 Meacutecanique du point
Le mouvement est donc rectiligne uniforme agrave la vitesse x2 = v1 = x1t1 = 3 msminus1 Le deacute-placement x2 srsquoeacutecrit x2 = x2t + C = v1t + C avec pour t = t1 x2 = d1 rArr C = d1 minus v1t1rArr x2 = v1(t minus t1) + d1
Agrave la date t = t1 + t2 il a parcouru x2(t1 + t2) = d2 = v1t2 + d1 = 60 + 15 = 75 m depuislrsquoorigine O point de deacutepart Sa vitesse est alors toujours v1
Pour la derniegravere eacutetape F3 cos a minus mmg = mx3 rArr x3 = F3m cos a minus mg = 0 1 minus 0 2 = minus0 1
msminus2
Le mouvement est donc rectiligne uniformeacutement deacuteceacuteleacutereacute A t = (t1 + t2) x3 = v1 et x3 = d2On a donc
x3 = x3t+C rArr C = v1 minus x3(t1 + t2) rArr x3 = x3(tminus t1 minus t2)+v1 = minus0 1(tminus30)+3 = minus0 1t+6
x3 = 12 x3t2 minus [x3(t1 + t2) minus v1] t + C rArr C = d2 minus 1
2 x3(t1 + t2)2 + [x3(t1 + t2) minus v1] (t1 + t2)
C = d2 + 12 x3(t1 + t2)2 minus v1(t1 + t2) = 75 minus 0 05(30)2 minus 3(30) = minus60 m
x3 = 12 x3t2 minus [x3(t1 + t2) minus v1] t + d2 + 1
2 x3(t1 + t2)2 minus v1(t1 + t2) = minus0 05t2 + 6t minus 60
La vitesse srsquoannule pour minus0 1(t minus 30) + 3 = 0 rArr t3 = 60 s Le traicircneau srsquoarrecircte alors
On a donc en conclusion
t1 gt t gt 0 = 10s rArr x = 12 x1t2 = 015t2 et v = x1t = 0 3t
t1 + t2 gt t gt t1 = 10s = 30s rArr x = x1t1(t minus t1) + 12 x1t21
x = v1(t minus t1) + d1 = x1t1(t minus t12 ) = 3(t minus 5) = 3t minus 15 et v = v1 = 3msminus1
t3 = 60s gt t gt t1 + t2 = 30 rArr x3 = minus0 05t2 + 6t minus 60 et x3 = minus0 1t + 6
Le traicircneau srsquoarrecircte au bout de 60 s agrave la distance du point de deacutepart d3 = minus0 05(60)2 +6(60) minus 60 = 120 m
nRrarr
frarr
Prarr
β
α
uxrarr
uyrarr
Rrarr
Trarr
Figure 333
3 Le reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude est le reacutefeacuterentiel terrestreconsideacutereacute comme galileacuteen Le systegraveme eacutetudieacute est letraicircneau de masse m (m = 200 kg et g = 10 msminus2)
Bilan des forces (figure 333)
minusrarrP = mminusrarrg = minusmg(sin aminusrarru x + cos aminusrarru y)
= minus2 000(sin 20minusrarru x + cos 20minusrarru y)
minusrarrT = T(cos bminusrarru x + sin b
minusrarrj )
= 1 000((cos 30minusrarru x + sin 30minusrarru y)
etminusrarrR =
minusrarrf +
minusrarrRn = minusfminusrarru x + Rn
minusrarru y
Principe fondamental de la dynamique minusrarrP +
minusrarrT +
minusrarrR = mminusrarra
Projection sur minusrarru x et minusrarru y minusmg sin a + T cos bminus f = mx et minusmg cos a + T sin b + Rn = my = 0
1) Le mouvement est uniforme (vitesse constante x = v = 10 kmhminus1 = 259 msminus1) lrsquoacceacuteleacutera-
tion est nulle On a donc f = minusmg sin a + T cos b = 1000(minus2 sin 20 + cos 30) = 182 N
Rn = mg cos a minus T sin b = 1000(2 cos 20 minus sin 30) = 1379 4 N sbquo
sbquo
sbquo
minusrarrRsbquo
sbquo
sbquo
=radic
1822 + 1379 42 = 1391 35 N
tan w = fRn
= m = 18213794 = 0 132 rArr w = 7 5
Lois de Newton et reacutefeacuterentiels galileacuteens 89
Lrsquoangle w est lrsquoangle que faitminusrarrR avec la normale au sol Puisqursquoil y a mouvement on a la relation
f = mRn ougrave m est le coefficient de frottement ne deacutependant que de la nature des surfaces encontact
2) La tension T augmente Le mouvement devient uniformeacutement acceacuteleacutereacute (x gt 0) Rn va doncdiminuer Le coefficient m restant constant f diminue aussi Le module de
minusrarrR diminue mais
lrsquoangle w ne change pas
Calcul de lrsquoacceacuteleacuteration v = at + v1 et x = 12 at2 + v1t rArr t = vminusv1
a et x = 12
vminusv1a (v + v1)
On peut donc eacutecrire 2ax = v2 minus v21 rArr a =
v2minusv21
2x = (20minus10)(20+10)20 ( 103
3600 )2 = 1 16 msminus1
Calcul de Tprime f = mRn = m(mg cos a minus Tprime sin b) = minusma minus mg sin a + Tprime cos b On en tirelrsquoexpression de Tprime
Tprime = m acos b+m sin b
+ mg m cos a+sin a
cos b+m sin b= m a
cos b+m sin b+ T = 200 116
0932 + 1000 = 1248 93 N
La puissance est P =minusrarrT minusrarrv = T cos bv = 4506 7 W
4 Le reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude est le reacutefeacuterentiel terrestre consideacutereacute comme galileacuteen Le systegraveme eacutetudieacuteest le traicircneau de masse m (m = 100 kg et g = 10 msminus2)
Nrarr
frarr
Prarr
αα
uxrarr
uyrarr
Rrarr
Frarr
Prarr
Nrarr
frarr
Rrarr
Figure 334
1) Mouvement horizontal suivant OA
Bilan des forces (figure 334) minusrarrP = mminusrarrg (
sbquo
sbquo
sbquo
minusrarrPsbquo
sbquo
sbquo
= P = 1000N) minusrarrF (F = Fo(1 + t
t))
minusrarrR =
minusrarrf +
minusrarrN
Projection suivant lrsquohorizontale et la verticale N minus mg = 0 et F minus f = mx
Lorsqursquoil y a mouvement on a f = KN Pour deacutemarrer il faut
x gt 0 rArr F gt Fo = f = KN = Kmg
On a donc Fo = Kmg = 1000K
Ensuite F minus f = mx rArr Fo(1 + tt) minus Fo = mx rArr x = Fo
mtt
= Kg tt
x = v = 12
Fom
t2
t= 1
2 Kg t2
trArr x = 1
6Fom
t3
t= 1
6 Kg t3
t=rArr K = Fo
mg = 1001000 = 0 1
Pour t = 10 s on a v = v(A) = 5 msminus1 rArr v(A) = 12 Kg t2
trArr t = 1
2 Kg t2
v(A) = 12
1005 = 10 s
OA = x = 16 Kg t3
t= 1
61000
10 = 1006 = 16 67 m
2) Mouvement sur la pente La masse du systegraveme est Mprime = m + me
Les forces appliqueacutees sontminusrarrP
minusrarrR =
minusrarrf +
minusrarrRn
90 Meacutecanique du point
Principe fondamental de la dynamique minusrarrP +
minusrarrR =
minusrarrP +
minusrarrf +
minusrarrRn = Mprimeminusrarra
Projection sur la base (minusrarru xminusrarru y) Mprimeg sin a minus f = Mprimex et minusMprimeg cos a + N = 0 et f = KN
On obtient lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement g(sin aminusK cos a) = x = g sin a(1minus Ktan a
)
bull Si x gt 0 le mouvement est uniformeacutement acceacuteleacutereacute rArr K = 0 1 lt tan a rArr a gt 5 71
bull Si x = 0 le mouvement est uniforme de vitesse v(A) rArr K = tan a rArr a = 5 71
bull Si x lt 0 le mouvement est uniformeacutement deacuteceacuteleacutereacute rArr K gt tan a rArr a lt 5 71
La pente est de 8 = 0 08 rArr tan a asymp sin a asymp 0 08 rArr a = 4 57 Le mouvement seradonc uniformeacutement freineacute Lrsquoacceacuteleacuteration sera x = g sin a(1 minus K
tan a) = 0 8(1 minus 5
4 ) = minus0 2msminus2
x = g sin a(1 minus Ktan a
)t + v(A) = minus0 2t + 5
x = 12 g sin a(1 minus K
tan a)t2 + v(A)t = minus0 1t2 + 5t
Pour lrsquoarrecirct x = 0 rArr t = minus v(A)g sin a(1minus K
tan a)= 25 s et x = minus 1
2v(A)2
g sin a(1minus Ktan a
)= minus 1
2v(A)2
x = 62 5 m
Si AB = d = 2000 m rArr x = minus v(A)2
2d = minus 1160 msminus2 rArr (1 minus K
tan a) = x
g sin a= minus 1
128
K = tan a(1 minus xg sin a
) = (1 + v(A)2
2dg sin a) tan a = 0 08(1 + 1
128 ) = 0 080 625
Il faut donc que 0 080 625 gt K La dureacutee de la descente est t = minus v(A)x = 800 s
ω
θ l1O
Cm
BBC=l
Prarr
Trarr
amrarr
Figure 335
5 Systegraveme la masse m = 0 1 kg reacutefeacuterentiel terrestregalileacuteen Bilan des forces (figure 335) minusrarrP (P = mg = 1 N) et
minusrarrT (T = k(l minus lo)
Principe fondamental de la dynamique minusrarrP +
minusrarrT = mminusrarra
La masse m a un mouvement circulaire uniforme au-tour de lrsquoaxe vertical Elle deacutecrit un cercle de rayonr = (l1 + l) sin u agrave la vitesse angulaire v Lrsquoacceacuteleacutera-tion est donc normale et centripegravete et a pour expres-sion a = v2r = v2(l1 + l) sin u suivant lrsquohorizontaleet vers lrsquoaxe En projetant on obtient T cos u = mg etT sin u = mv2(l1 + l) sin u
On a donc k(l minus lo) cos u = mg rArr T = k(l minus lo) = mgcos u
= 2 N
(l minus lo) = mgk cos u
= 0 1 m rArr l = lo + 0 1 = 0 2 m
T sin u = mv2(l1 + l) sin u rArr mg
cos u= m(l1 + l)v2
rArr v = (g
(l1 + l) cos u)12 =
r
100 3
= 5 77 radsminus1 = 0 92 trsminus1
6 Systegraveme la masse m = 1 kg en eacutequilibre Reacutefeacuterentiel terrestre galileacuteen Bilan des forces minusrarrP
minusrarrR
minusrarrT
Principe fondamental de la dynamique minusrarrP +
minusrarrR +
minusrarrT =
minusrarr0
Theacuteoregraveme du moment cineacutetique minusrarrMo(
minusrarrP ) +
minusrarrMo(
minusrarrT ) +
minusrarrMo(
minusrarrR ) =
minusrarr0
Lois de Newton et reacutefeacuterentiels galileacuteens 91
θ=60˚
A
m
2lo
lo
O
Prarr
Rrarr
Trarr
α
Figure 336
1)minusrarrP eacutetant connu en direction sens et in-
tensiteacute on deacutetermine la longueur des vec-teurs
minusrarrR et
minusrarrT dont les directions sont
connues en construisant le paralleacutelogrammeminusrarrR +
minusrarrT = minusminusrarr
P (figure 336)
On obtient T 6 6 cmrArr T = 13 2 N etAM = 6 6 cm pour une longueur agrave vide de5 cm Lrsquoallongement du ressort est donc de1 6 cm soit en tenant compte de lrsquoeacutechelle de0 64 m
La raideur du ressort est
k =TDl
=13 20 64
= 20 625 Nmminus1
2)minusrarrAM =
minusrarrAO +
minusrarrOM rArr minusrarr
AM2 =minusrarrAO2 +
minusrarrOM2
+2minusrarrAO
minusrarrOM = 4l2o + l2o + 4l2o cos u
AM2 = l2o (5 + 4 cos 60) rArr AM2 = 7l2o rArr AM =radic
7lo = 2 646 m (soit 6 615 cm sur legraphique agrave lrsquoeacutechelle 2 5 cmrarr 1 m)
AM = loradic
5 + 4 cos u rArr Dl = AM minus 2lo = loradic
5 + 4 cos u minus 2lo
AM = lohradic
5 + 4 cos u minus 2i
minusrarrOM and minusrarr
OA =minusrarrMA and minusrarr
MO rArr 2l2o sin(p minus u) = AMlo sin a rArr sin a = 2loAM sin u = 2radic
5+4 cos usin u
sin a = 2radic7
sin 60 = 0 655 rArr a = 40 89
3) En projetant la relation fondamentale de la dynamique sur la direction perpen-diculaire agrave
minusrarrR on obtient mg sin u minus T sin a = 0 On en tire lrsquoexpression de T
T = mg sin usin a
= mg AM2lo
= mgq
54 + cos u = 5
radic7 = 13 23 N (valeur veacuterifieacutee graphique-
ment)
La somme des moments des forces par rapport agrave O doit ecirctre nulle Le moment deminusrarrR est nul
puisque la ligne drsquoaction de cette force passe par O Il reste minusrarrMo(
minusrarrP ) +
minusrarrMo(
minusrarrT ) =
minusrarr0 rArr
sbquo
sbquo
sbquo
minusrarrMo(
minusrarrP )sbquo
sbquo
sbquo
=sbquo
sbquo
sbquo
minusrarrMo(
minusrarrT )sbquo
sbquo
sbquo
sbquo
sbquo
sbquo
minusrarrOM and minusrarr
Psbquo
sbquo
sbquo
= lomg sin u =sbquo
sbquo
sbquo
minusrarrOM and minusrarr
Tsbquo
sbquo
sbquo
= Tlo sin(p minus a) = Tlo sin a rArr T = mg sin usin a
On retrouve bien le mecircme reacutesultat On en deacuteduit lrsquoexpression de la raideur k du ressort
k =TDl
=mglo
q
54 + cos u
hradic5 + 4 cos u minus 2
i rArr k = 10
radic7
21radic
7 minus 2= 20 48 Nmminus1
(on retrouve la valeur obtenue par la meacutethode graphique)
7 Le systegraveme est lrsquoanneau de masse neacutegligeable Le reacutefeacuterentiel est le reacutefeacuterentiel terrestre galileacuteen
Bilan des forces une forceminusrarrR de contact sans frottement avec la tige force perpendiculaire
agrave la tige
Principe fondamental de la dynamique minusrarrR = mminusrarra
92 Meacutecanique du point
En coordonneacutees polaires on peut eacutecrire
minusrarra = (r minus ru2)minusrarrur + (2ru + ru)minusrarruu =
Rmminusrarruu rArr r minus ru
2 = 0
On a de plus u = vot rArr u = vo rArr r minus rv2o = 0
Lrsquoeacutequation caracteacuteristique donne l2 minus v2o = 0 rArr l = plusmnvo rArr r = Aeminusvot + Bevot
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
Figure 337
Les condition initiales sont t = 0 r(0) = ro
et r(0) = 0 On a donc ro = A + B etr(0) = 0 = vo(B minus A) rArr A = B = ro
2
r(t) = ro2 (eminusvot + evot) = ro cos h(vot)
Lrsquoeacutequation de la trajectoire est
r(u) = ro cos hu = ro(eminusu + eu)
Crsquoest lrsquoeacutequation drsquoune spirale exponentielle(figure 337) r tend tregraves rapidement vers lrsquoin-fini Il est possible de connaicirctre la reacuteactionR = m(2ru + ru) = 2mrvo
R = 2mrov2o (evot minus eminusvot)
= 4mv2o ro sin h(vot) = 4mv2
o ro sin hu
CHAPITRE 4
TRAVAIL PUISSANCE EacuteNERGIE
Preacute-requis bull La notion de produit scalaire de deux vecteurs est supposeacutee acquise ainsique les notions drsquointeacutegration et de diffeacuterentiation Ces outils matheacutema-tiques sont abordeacutes dans lrsquoannexe ainsi que dans le livre Matheacutematiquespour la physique paru dans la mecircme collection
Objectif I Calculer le travail drsquoune force variable ou non sur un deacuteplacement quel-conque
I Application au calcul du travail de la force de pesanteur et de la forceeacutelastique quelle que soit lrsquoorientation des axes choisis
I Savoir utiliser le theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetiqueI Comprendre comment deacutefinir lrsquoeacutenergie potentielle agrave partir de la notion
de force conservativeI Apprendre agrave utiliser la notion drsquoeacutenergie meacutecanique
1 TRAVAIL DrsquoUNE FORCE
11 Force constante sur un deacuteplacement rectiligneConsideacuterons un objet assimileacute agrave un point mateacuteriel G se deacuteplaccedilant sur une portion dedroite drsquoun point A agrave un point B et soumis agrave une force
minusrarrF constante au cours du deacuteplace-
ment (figure 41)
A B
Frarr
G
α
Figure 41 bull Deacuteplacement du point drsquoapplication drsquoune force sur un chemin rectiligne
Par deacutefinition le travail drsquoune forceminusrarrF constante sur un deacuteplacement rectiligne AB est
eacutegal au produit scalaire du vecteur force par le vecteur deacuteplacement minusrarrF = minusrarrcste sur
minusrarrAB =rArr WArarrB
(minusrarrF)
=minusrarrF
minusrarrAB = FAB cos a
avec a lrsquoangle que faitminusrarrF avec
minusrarrAB
94 Meacutecanique du point
Le travail est soit positif nul ou neacutegatif selon la direction de la forceminusrarrF par rapport au
deacuteplacement SiminusrarrF est perpendiculaire agrave AB le travail est nul la force F ne contribuant
pas agrave deacuteplacer lrsquoobjet Lorsque la force srsquooppose au deacuteplacement elle est reacutesistante et letravail est neacutegatif Lorsque la force est motrice le travail est positif
Le travail srsquoexprime en joules (symbole J)
12 Travail eacuteleacutementaireDans le cas ougrave la force
minusrarrF varie au cours du deacuteplacement qui peut ecirctre quelconque il nrsquoest
plus possible drsquoutiliser lrsquoexpression preacuteceacutedente En effet la force peut changer constam-ment drsquoorientation et drsquointensiteacute sur le deacuteplacement consideacutereacute Pour calculer le travail ondeacutecompose alors le trajet AB en une succession de deacuteplacements eacuteleacutementaires d
minusrarrl =
minusminusrarrMMrsquo
infiniment petits et donc rectilignes ( figure 42) Sur lrsquoun quelconque de ces trajets eacuteleacute-mentaires le vecteur force
minusrarrF peut ecirctre consideacutereacute comme constant et la deacutefinition preacute-
ceacutedente (paragraphe 11) peut srsquoappliquer Lrsquoexpression du travail eacuteleacutementaire sur un teldeacuteplacement eacuteleacutementaire peut donc srsquoeacutecrire
d WMminusrarrMprime
(minusrarrF)
=minusrarrF d
minusrarrl
Nous utiliserons par la suite indiffeacuteremment lrsquoappellation de travail eacuteleacutementaire du vecteurforce ou de circulation eacuteleacutementaire du vecteur force
)(MprimeprimeFrarr
ldrarr
M
)(MFrarr A
B
M
prime
Mprimeprime
Figure 42 bull Force variable sur le deacuteplacement AB quelconque Sur ledeacuteplacement eacuteleacutementaire la force est consideacutereacutee comme constante car le
deacuteplacement est infiniment petit et la force nrsquoa pas le temps de varier
13 Force variable sur un deacuteplacement quelconquePour obtenir le travail total de la force sur le deacuteplacement total AB il suffit drsquoaddition-ner les travaux eacuteleacutementaires quand on passe du point A au point B La sommation estcontinue ce qui conduit agrave
WArarrB
(minusrarrF)
=
BintA
minusrarrF (M) d
minusrarrl
Le travail drsquoune force sur un deacuteplacement AB correspond agrave la circulation C du vecteurforce sur ce trajet
WArarrB
(minusrarrF)
=
BintA
minusrarrF (M) d
minusrarrl = CminusrarrF ArarrB
Travail puissance eacutenergie 95
TheacuteoregravemeLe travail drsquoune force au cours drsquoun deacuteplacement AB est eacutegal agrave la circulation duvecteur force sur ce deacuteplacement
2 EXEMPLES DE CALCUL DU TRAVAIL
21 Travail drsquoune force constante poids drsquoun corpsDans le cas ougrave le vecteur force reste constant (en norme direction et sens) au cours dudeacuteplacement de son point drsquoapplication comme lrsquoindique la figure 43 lrsquoexpression dutravail de cette force se simplifie Il en effet possible de sortir ce vecteur de lrsquointeacutegrale cequi conduit agrave
WArarrB
(minusrarrF)
=
BintA
minusrarrF d
minusrarrl =
minusrarrF
BintA
dminusrarrl =
minusrarrF
minusrarrAB
)(MFrarr
A
B
M
α
Figure 43 bull Deacuteplacement drsquoune force constante
On constate alors que le travail de cette force ne deacutepend pas du chemin suivi mais uni-quement de la position initiale (A) et finale (B)
F = cste =rArr WArarrB
(minusrarrF)
=minusrarrF
minusrarrAB
Encart 41 Travail du poids drsquoun corpsUn exemple classique de ce type de situation concerne le travail du poids drsquoun corpsConsideacuterons une masse m se deacuteplaccedilant drsquoun point A drsquoaltitude zA agrave un point B drsquoalti-tude zB et calculons le travail du poids de ce corps au cours de ce deacuteplacement (voirfigure 44) Le deacuteplacement de A agrave B est supposeacute quelconque crsquoest-agrave-dire que le che-min qui megravene de A agrave B peut prendre diffeacuterentes trajectoires Le poids est une forceconstante en norme et en direction (agrave la condition de rester dans une reacutegion de lrsquoes-pace pas trop eacutetendue voir chapitre 3)
On obtient donc lrsquoexpression suivante du travail du poids
WArarrB
(minusrarrP)
=
BintA
minusrarrP (M) d
minusrarrl =
minusrarrP
minusrarrAB = mg (zA minus zB)
On constate que ce travail ne deacutepend pas du chemin suivi mais uniquement de ladiffeacuterence drsquoaltitude Il est positif (donc moteur) si lrsquoaltitude finale est plus petite quelrsquoaltitude initiale et neacutegatif (donc reacutesistant) dans le cas contraire
96 Meacutecanique du point
Prarr
z
zA
zB B
MA
y
x
uyrarrux
rarr
uzrarr
grarr
α
Figure 44 bull Travail du poids drsquoun corps
Ce reacutesultat peut ecirctre obtenu en utilisant les coordonneacutees des points A et B et descomposantes du vecteur minusrarrg dans un repegravere carteacutesien (O x y z) En orientant lrsquoaxe Ozvers le haut (voir figure 44) nous pouvons eacutecrire
minusrarrP = mminusrarrg =
∣∣∣∣∣ 00
minusmget
minusrarrAB =
∣∣∣∣∣ xB minus xAyB minus yAzB minus zA
soit WArarrB
(minusrarrP)
=minusrarrP
minusrarrAB = mg (zA minus zB)
Enfin ce reacutesultat peut se retrouver en partant de lrsquoexpression du travail eacuteleacutementairedu poids Dans le repegravere carteacutesien (O x y z) on peut eacutecrire
d WminusrarrP =
minusrarrP d
minusrarrl = minusmgminusrarru z (d xminusrarru x + d zminusrarru z) = minusmg d z
Il en reacutesulte que pour aller de A en B le travail du poids est donneacute par
WArarrB
(minusrarrP)
= mg(zA minus zB) (41)
On peut remarquer que le travail eacuteleacutementaire de correspond agrave lrsquoopposeacute de la diffeacuteren-tielle drsquoun fonction qui serait mgz + constante Nous y reviendrons par la suite
22 Travail drsquoune force eacutelastiqueConsideacuterons un ressort de raideur k de longueur au repos l0 au bout duquel est accro-cheacutee une masse m comme lrsquoindique la figure 45 Le ressort et la masse sont sur un planhorizontal et nous nous inteacuteressons uniquement agrave la tension du ressort
La force eacutelastiqueminusrarrT crsquoest-agrave-dire la force de tension du ressort est une force qui varie avec
lrsquoeacutetat drsquoeacutetirement du ressort k Ce nrsquoest donc pas une force constante au cours du deacuteplace-ment Pour calculer le travail de cette force il nous faut calculer le travail eacuteleacutementaire de
Travail puissance eacutenergie 97
Trarr
lo
x
l
x
O
x
uxrarr
Figure 45 bull Illustration de la force de tension drsquoun ressort
cette force sur un deacuteplacement infiniment petit sur lequel nous consideacutererons que la forceest constante
Avec les conventions drsquoorientation des vecteurs de la figure 45 la tension srsquoexprime de lafaccedilon suivante
minusrarrT = minuskDlminusrarru x = minusk (l minus l0)minusrarru x = minuskxminusrarru x
Le travail eacuteleacutementaire de la force eacutelastiqueminusrarrT lorsque la masse passe drsquoune position x agrave
une position x + d x est donc donneacute par
d Wxrarrx+d x
(minusrarrT)
=minusrarrT d
minusrarrl = minuskxminusrarru x d xminusrarru x = minuskx d x = minusd
(12
kx2)
(42)
Lorsque le point drsquoapplication passe drsquoune position x1 agrave une position x2 le travail de laforce eacutelastique est donc
Wx1rarrx2
(minusrarrT)
=int x2
x1
minusrarrT d
minusrarrl =int x2
x1
minuskx d x =12
k(x2
2minus x2
1
)Nous remarquons que le travail de cette force ne deacutepend pas du chemin suivi mais uni-quement de la position initiale et finale du ressort Le travail eacuteleacutementaire correspond lagraveaussi agrave lrsquoopposeacute de la diffeacuterentielle drsquoune fonction qui est 1
2 kx2 + cste
23 Travail de la force de Lorentz
Consideacuterons une particule de charge q se deacuteplaccedilant agrave la vitesse minusrarrv dans un champ ma-gneacutetique
minusrarrB La force magneacutetique subie par la particule est la force de Lorentz donneacutee
par minusrarrF = qminusrarrv and minusrarr
B
98 Meacutecanique du point
Le travail eacuteleacutementaire de cette force au cours drsquoun deacuteplacement sur sa trajectoire estdonneacute par
d W = q(minusrarrv and minusrarrB ) d
minusrarrl = q(minusrarrv and minusrarr
B )minusrarrv d t = 0
Il est toujours nul car le deacuteplacement eacuteleacutementaire de la particule est toujours perpendi-culaire agrave la force
minusrarrF On peut donc conclure que la force de Lorentz ne travaille pas sur sa
trajectoire
3 PUISSANCE DrsquoUNE FORCE
En introduisant la deacutefinition du travail eacuteleacutementaire drsquoune force effectueacute entre les instant tet t + d t il est possible de deacutefinir une puissance instantaneacutee P (t) par
P (t) =d Wd t
=minusrarrF
dminusrarrl
d t=
minusrarrF minusrarrv
Cette grandeur srsquoexprime dans le systegraveme international drsquouniteacutes en Watts en utilisant lesymbole W
Il est donc clair que le travail eacuteleacutementaire peut aussi srsquoexprimer agrave partir de la puissancede la force et srsquoeacutecrire
d W =minusrarrF minusrarrv d t = P (t) d t
ce qui conduit agrave lrsquoexpression suivante du travail drsquoune force
W1rarr2
(minusrarrF)
=int t2
t1
minusrarrF minusrarrv d t =
int t2
t1P (t) d t
4 EacuteNERGIE
41 Eacutenergie cineacutetique theacuteoregraveme
Consideacuterons un point mateacuteriel G se deacuteplaccedilant dans un reacutefeacuterentiel galileacuteen R sous lrsquoactiondrsquoun ensemble de forces exteacuterieures Le mouvement de ce point est reacutegi par le principefondamentale de la dynamique soit
summinusrarrF ext = mminusrarra GR = m
dminusrarrv GR
d t
Au cours drsquoun deacuteplacement eacuteleacutementaire dminusrarrl la somme des travaux eacuteleacutementaires des forces
exteacuterieures est donneacutee par
summinusrarrF ext d
minusrarrl = m
dminusrarrv G
d t dminusrarrl = mminusrarrv G dminusrarrv G
Travail puissance eacutenergie 99
Par inteacutegration de cette relation sur un trajet AB nous obtenons
m
vBintvA
minusrarrv dminusrarrv =sum Bint
A
minusrarrF ext d
minusrarrl =sum
WArarrB
(minusrarrF ext
)soit
12
m(v2B minus v2
A) =sum
WArarrB
(minusrarrF ext
)(43)
Drsquoapregraves lrsquoeacutequation 43 on voit qursquoil est inteacuteressant de deacutefinir une fonction drsquoeacutetat ne deacute-pendant que de la vitesse du point appeleacutee eacutenergie cineacutetique
Pour un point mateacuteriel de masse m se deacuteplaccedilant agrave la vitesse v dans un reacutefeacuterentiel R
galileacuteen nous poserons que lrsquoeacutenergie cineacutetique de ce point est Ec =1
2mv2
Dans ces conditions nous observons que la variation drsquoeacutenergie cineacutetique du point mateacuterielentre deux positions est eacutegale au travail de toutes les forces appliqueacutees sur ce point ce quiconstitue un theacuteoregraveme appeleacute theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetiqueDans un reacutefeacuterentiel galileacuteen la variation drsquoeacutenergie cineacutetique drsquoun point mateacuterielsoumis agrave un ensemble de forces exteacuterieures entre une position A et une position Best eacutegale agrave la somme des travaux de ces forces entre ces deux points
Ec (B) minus Ec (A) =sum
WArarrB
(minusrarrF ext
)(44)
42 Eacutenergie potentiellea) Forces conservatives
Le theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetique permet de deacuteterminer lrsquoeacutetat de la vitesse drsquoun pointmateacuteriel Il repose sur la deacutetermination du travail de toutes les forces exteacuterieures appli-queacutees agrave ce point Il est possible de deacutefinir une seconde fonction drsquoeacutetat appeleacutee eacutenergiepotentielle du systegraveme Pour ce faire il importe de distinguer deux types de forces exteacute-rieures bull Les forces conservatives qui sont les forces dont le travail ne deacutepend pas du chemin suivi
mais que du point de deacutepart et du point drsquoarriveacutee Exemples travail du poids travailde la tension du ressort travail drsquoune force constante
bull Les forces non conservatives dont le travail deacutepend du chemin suivi comme parexemple les forces de frottement Si lrsquoon considegravere une force de frottement solideminusrarrF = minusK d
minusrarrl d l de norme constante K celle-ci srsquooppose constamment au deacuteplace-
ment On aura donc
d W = minusKdminusrarrl
d l dminusrarrl = minusK d l
ce qui conduit agrave
WArarrB
(minusrarrF)
= minusKint B
Ad l = minusK
AB
Ce travail de la force de frottement solide deacutepend donc du chemin suivi
100 Meacutecanique du point
b) Eacutenergie potentielle
Nous nous placcedilons ici purement dans le cadre de la meacutecanique Pour cette raison nousappreacutehendons lrsquoeacutenergie potentielle de faccedilon simple et moins ambitieuse que ce que nouspourrions faire dans le cadre plus geacuteneacuteral de la thermodynamique1
Par deacutefinition le travail des forces conservatives ne deacutepend pas du chemin suivi maisuniquement de lrsquoeacutetat initial et final Le travail de ces forces peut donc srsquoexprimer agrave partirdrsquoune fonction drsquoeacutetat appeleacutee eacutenergie potentielle Ep Pour des raisons qui apparaicirctrontclairement au paragraphe 43 nous conviendrons que la variation drsquoeacutenergie potentielleest repreacutesenteacutee par lrsquoopposeacute du travail des forces conservatives soit
EP (B) minus EP (A) = minusWArarrB
(minusrarrF C
ext
)ce qui peut encore srsquoeacutecrire
DEP = minusWArarrB
(minusrarrF C
ext
)Cette relation conduit en explicitant le travail agrave la deacutefinition inteacutegrale de lrsquoeacutenergie poten-tielle
EP (B) minus EP (A) = minusBint
A
minusrarrF C
ext dminusrarrl (45)
De lrsquoexpression inteacutegrale (45) il est possible de deacuteduire la deacutefinition diffeacuterentielle de lrsquoeacutener-gie potentielle en faisant apparaicirctre le travail eacuteleacutementaire de la force conservative soit
d EP = minusminusrarrF C
ext dminusrarrl
Finalement la diffeacuterentielle de lrsquoeacutenergie potentielle peut srsquoexprimer en fonction du gra-dient de EP (annexe 1 7)
d EP = minusminusrarrgrad EP dminusrarrl
On aboutit agrave la deacutefinition locale de lrsquoeacutenergie potentielle
minusminusrarrgrad EP = minusminusrarrF C
ext (46)
Alors que les deux autres deacutefinitions preacutesentent des appellations eacutevidentes il est certai-nement utile de commenter la terminologie de cette derniegravere deacutefinition Le terme localsignifie que lrsquoeacutequation (46) est valide en un point particulier de lrsquoespace et que drsquoun pointagrave un autre de lrsquoespace le reacutesultat de lrsquoopeacuterateur gradient appliqueacute agrave la fonction scalaireeacutenergie potentielle peut ecirctre variable
Les trois formes preacuteceacutedentes sont eacutequivalentes entre elles comme lrsquoindique la figure reacuteca-pitulative 46
1 Agrave lire agrave ce sujet Le principe de conservation de lrsquoeacutenergie et le theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie meacutecanique par E Saltiel BUP1997 n 794 957-972
Travail puissance eacutenergie 101
ldFAEBEB
A
CextPP
rarrrarr)()( intminus=minus ldFdE C
extP
rarrrarrminus=
CextP FEgrad
rarrminus=
Forme inteacutegrale Forme diffeacuterentielle
Forme locale
Figure 46 bull Repreacutesentation scheacutematique des trois formes possibles de lrsquoeacutenergie potentielle
c) Exemples drsquoeacutenergie potentielle
Eacutenergie potentielle de pesanteur En reprenant les reacutesultat obtenus agrave lrsquoeacutequation (41)nous avons avec lrsquoaxe Oz axe vertical ascendant
WArarrB
(minusrarrP)
= mg(zA minus zB) = EPP (A) minus EPP (B)
Par comparaison avec la relation inteacutegrale il apparaicirct clairement que nous pouvons deacutefinirla fonction eacutenergie potentielle de pesanteur EPP (z) par
EPP (z) = mgz + C
Cette fonction est deacutefinie agrave une constante C pregraves qursquoil convient de fixer La deacuteterminationde cette constante se fait par le choix arbitraire du zeacutero de la fonction eacutenergie potentielleEn geacuteneacuteral lrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur est prise nulle en z = 0 ce qui imposeC = 0 Ce choix entraicircne que
EPP (z) = mgz
Remarquesbull Le calcul de lrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur se fait tout aussi simplement agrave partir de
la relation diffeacuterentielle
d W(minusrarr
P)
=minusrarrP d
minusrarrl = minusmgminusrarru z(d xminusrarru x + d zminusrarru z) = minusmg d z = minusd EPP
Nous obtenons immeacutediatement lrsquoexpression de la fonction eacutenergie potentielleEPP = mgz en choisissant la constante nulle comme preacuteceacutedemment
bull Si lrsquoaxe Oz est orienteacute vers le bas (axe vertical descendant) nous obtenons
d WP =minusrarrP d
minusrarrl = minusmgminusrarru z(d xminusrarru x + d zminusrarru z) = minusmg d z
et lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur devient
Epp = minusmgz
Il faut donc bien preacuteciser lrsquoorientation choisie pour lrsquoaxe Oz pour utiliser la bonne ex-pression de lrsquoeacutenergie potentielle Un bon moyen de veacuterifier si lrsquoexpression utiliseacutee estcorrecte consiste agrave veacuterifier que lrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur augmente toujoursavec lrsquoaltitude
102 Meacutecanique du point
Eacutenergie potentielle eacutelastique En reprenant les reacutesultats obtenus agrave lrsquoeacutequation (42) nousvoyons que
d Wxrarrx+d x
(minusrarrT)
=minusrarrT d
minusrarrl = minuskx d x = minusd
(12
kx2)
= minusd (EPe)
ou encore
Wx1rarrx2
(minusrarrT)
= minuskint x2
x1
x d x =12
k(x2
1 minus x22
)Lrsquoeacutenergie potentielle eacutelastique EPe correspond donc agrave
EPe =12
kx2 + C
Il est logique de choisir lrsquoeacutenergie potentielle nulle pour une deacuteformation nulle Laconstante C est alors nulle et nous obtenons finalement
EPe =12
kx2
Attention Dans cette expression x repreacutesente lrsquoallongement (ou la compression) du res-sort (voir figure 45) Un choix diffeacuterent de lrsquoorigine des abscisses conduirait agrave une ex-pression diffeacuterente de cette eacutenergie potentielle Il vaut donc mieux retenir le reacutesultat enintroduisant lrsquoallongement du ressort
EPe =12
k (Dl)2 =12
k (l minus l0)2
Eacutenergie potentielle et force Nous avons vu que lrsquoeacutenergie potentielle Ep est relieacutee locale-ment agrave la force
minusrarrF qui en deacuterive par la relation
minusminusrarrgrad EP = minusminusrarrF
Cette relation est utile pour revenir agrave lrsquoexpression de la force quand on connaicirct lrsquoexpres-sion de Ep Ainsi pour lrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur il vient pour un axe verticalascendant
minusrarrF = minusminusminusrarrgrad EPP = minusd EPP
d zminusrarru z = minusmgminusrarru z
ce qui montre bien que le poids drsquoun corps deacuterive de la fonction eacutenergie potentielle depesanteur
De mecircme pour lrsquoeacutenergie potentielle eacutelastique nous voyons que la force eacutelastique deacuterivede la fonction eacutenergie potentielle eacutelastique
minusrarrF = minusminusminusrarrgrad EPe = minusd EPe
d xminusrarru x = minus
d(
12 kx2)
d xminusrarru x = minuskxminusrarru x
Travail puissance eacutenergie 103
43 Eacutenergie meacutecaniqueNous introduisons maintenant une nouvelle fonction particuliegraverement utile dans tous lesproblegravemes de meacutecanique lrsquoeacutenergie meacutecanique drsquoun systegraveme Pour deacutefinir cette fonctionnous partons du theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetique dans lequel nous faisons apparaicirctre letravail des forces conservatives et celui des forces non conservatives soit
Ec (B) minus Ec (A) =sum
WArarrB
(minusrarrF C
ext
)+sum
WArarrB
(minusrarrF NC
ext
)En appelant Ep lrsquoeacutenergie potentielle totale somme des eacutenergies potentielles dont deacuterivechaque force conservative on peut eacutecrire
[Ec (B) minus Ec (A)] = [EP (A) minus EP (B)] +sum
WArarrB
(minusrarrF NC
ext
)ce qui en faisant passer lrsquoeacutenergie potentielle dans le membre de gauche conduit agrave
[Ec (B) minus Ec (A)] + [EP (B) minus EP (A)] =sum
WArarrB
(minusrarrF NC
ext
)Si lrsquoon regroupe dans le premier membre les fonctions qui ne deacutependent que de B et deA il vient
[Ec (B) + EP (B)] minus [Ec (A) + EP (A)] =sum
WArarrB
(minusrarrF NC
ext
)Il est possible drsquointroduire une nouvelle fonction drsquoeacutetat appeleacutee eacutenergie meacutecaniqueE du systegraveme en posant E = Ec + EP
Lrsquointroduction de cette fonction permet de preacutesenter de faccedilon tregraves simple le bilan eacutenergeacute-tique drsquoun systegraveme par la relation suivante
(EB minus EA) =sum
WArarrB
(minusrarrF NC
ext
)ce qui conduit au theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie meacutecanique
Theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie meacutecaniqueLa variation drsquoeacutenergie meacutecanique drsquoun systegraveme entre deux points A et B est eacutegalela somme des travaux des forces exteacuterieures non-conservatives appliqueacutees agrave ce sys-tegraveme
Les forces non conservatives eacutetant des forces reacutesistantes lrsquoeacutenergie meacutecanique drsquoun systegravemene peut que diminuer au cours du temps
Cependant lorsqursquoun systegraveme est meacutecaniquement isoleacute (crsquoest-agrave-dire pour un systegravemequi ne subit aucune force exteacuterieure non conservative) lrsquoeacutenergie meacutecanique se conserveLrsquoeacutenergie meacutecanique ne deacutepend plus du point consideacutereacute
Systegraveme meacutecaniquementisoleacute lArrrArr E = cste
104 Meacutecanique du point
5 EacuteTATS LIEacuteS DrsquoUN SYSTEgraveME MEacuteCANIQUEMENT ISOLEacute
51 Eacutevolution drsquoun systegravemeLorsqursquoun systegraveme est meacutecaniquement isoleacute son eacutenergie meacutecanique se conserve On adonc pour un tel systegraveme
E = EC + EP = cste
En eacutecrivant que lrsquoeacutenergie cineacutetique est une grandeur neacutecessairement positive nous obte-nons une condition restreignant les eacutetats eacutenergeacutetiques possibles du systegraveme cette condi-tion de restriction deacutefinit ce que lrsquoon appelle les eacutetats lieacutes du systegraveme Ces eacutetats sont deacutefinispar
EC gt 0 rArr E minus EP gt 0
Pour une masse accrocheacutee agrave une ressort les eacutetats lieacutes du systegraveme sont deacutefinis par
E minus 12
kx2 gt 0 rArr minusradic
2Ek
lt x lt
radic2Ek
Les valeurs de x en dehors de cet intervalle sont inaccessibles au systegraveme qui est dit en-fermeacute dans un puits de potentiel agrave cause de la forme prise par la fonction eacutenergie poten-tielle
Le systegraveme ne peut eacutevoluer qursquoentre les valeurs de x comprises entre minusxm et xm Le systegravemeest pris dans un puits de potentiel comme lrsquoindique la figure 47
-4 -2 0 2 400
02
04
06
08
10
12
14
-xm
puits de potentiel
xm
kx2
2
1Ep =
Ec
E
En
erg
ie
x
Figure 47 bull Graphe des eacutenergies en fonction de lrsquoallongement pour un ressort
52 Stabiliteacute drsquoun systegravemea) Deacutefinition de la stabiliteacute
Pour un systegraveme soumis uniquement agrave une force conservative il est inteacuteressant de savoirsrsquoil existe ou pas des eacutetats drsquoeacutequilibre La forme locale de lrsquoeacutenergie potentielle permetdrsquoeacutecrire que
minusrarrF = minusminusminusrarrgrad EP
Travail puissance eacutenergie 105
Dans le cas ougrave lrsquoeacutenergie potentielle ne deacutepend que drsquoune variable x cela revient agrave direque
minusrarrF = minusd EP
d xminusrarru x
La condition drsquoeacutequilibre se traduisant parminusrarrF = 0 peut donc srsquoeacutecrire aussi
d EP
d x= 0
Une position drsquoeacutequilibre se traduit donc par un extremum de la fonction eacutenergie poten-tielle
Un eacutequilibre est dit stable si agrave la suite drsquoune perturbation qui a eacuteloigneacute le systegraveme decette position celui-ci y retourne spontaneacutement Dans le cas contraire lrsquoeacutequilibre est ditinstable
b) Conditions de stabiliteacute
Reprenons le cas ougrave lrsquoeacutenergie potentielle ne deacutepend que drsquoune variable x et supposons quepour x0 la deacuteriveacutee de cette fonction est nulle Pour une perturbation amenant le systegraveme agravex lt x0 la valeur algeacutebrique de la force doit ecirctre positive pour ramener le systegraveme vers x0
soit d EPd x (x) lt 0 Dans le cas contraire x gt x0 la force doit ecirctre neacutegative et donc d EP
d x (x) gt 0(voir lrsquoexemple de la masse accrocheacutee agrave un ressort de la figure 48) La fonction EP deacutecroicirctavant x0 et est croissante apregraves x0 Elle preacutesente donc un minimum pour x = x0
Trarr
x
x
O
x
TT uxrarrrarr
=
xltx0 = 0
xgtx0 =0
Position drsquoeacutequilibre x0 =0
uxrarr
Figure 48 bull En dehors de la position drsquoeacutequilibre x0 = 0 la valeur algeacutebriqueT de la tension est positive pour x lt x0 et neacutegative pour x gt x0 La force de
tension drsquoun ressort est une force de rappel
Dans ce cas la fonction d EPd x (x) est une fonction croissante qui srsquoannule pour x = x0 La
condition de stabiliteacute crsquoest-agrave-dire Ep minimale peut donc se traduire par d2EPd x2 (x) gt 0 au
voisinage de x0 et donc pour x = x0 Dans le cas contraire la position sera une positiondrsquoeacutequilibre instable Nous concluons donc sur le scheacutema suivant
106 Meacutecanique du point
Eacutequilibre stable pour x = x0 lArrrArr Ep(x0) minimale
d EP
d x
)x0
= 0 etd2 EP
d x2
)x0
gt 0
Eacutequilibre instable pour x = x0 lArrrArr EP(x0) maximale
d EP
d x
)x0
= 0 etd2 EP
d x2
)x0
lt 0
Un systegraveme livreacute agrave lui-mecircme eacutevolue donc spontaneacutement vers un eacutetat drsquoeacutequilibrequi correspond agrave une position pour laquelle lrsquoeacutenergie potentielle est minimale
Remarque On peut eacutecrire que
d EP = minusminusrarrgrad EP dminusrarrl
avec dminusrarrl vecteur deacuteplacement eacuteleacutementaire quelconque
Pour un deacuteplacement quelconque dminusrarrl sur une surface drsquoeacutenergie potentielle constante
d EP = 0 Le vecteur minusminusrarrgrad EP est donc perpendiculaire aux surfaces drsquoeacutegale eacutenergie po-tentielle (voir annexe 1 72)
Pour un deacuteplacement perpendiculaire aux surfaces eacutequipotentielles vers les eacutenergies po-tentielles croissantes d EP gt 0 et donc minusminusrarrgrad EP a la mecircme direction que le deacuteplacementLe vecteur minusminusrarrgrad EP est donc dirigeacute vers les eacutenergies potentielles croissantes
La forceminusrarrF = minusminusminusrarrgrad EP est donc toujours dirigeacutee vers les eacutenergies potentielles deacutecrois-
santes
Un systegraveme livreacute agrave lui-mecircme eacutevolue spontaneacutement vers les eacutenergies potentiellesdeacutecroissantes
Encart 42 Eacutevolution drsquoune bille dans le champs de pesanteur terrestre
Ce que nous venons de formuler peut srsquoillustrer simplement par lrsquoexemple suivantConsideacuterons une bille de masse m pouvant se deacuteplacer sur un sol constitueacute drsquoun creuxet drsquoune bosse comme lrsquoindique la figure 49 Lrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur decette masse ne peut varier qursquoentre une valeur maximale (sommet de la bosse) et unevaleur minimale (fond du creux)
Travail puissance eacutenergie 107
Energie potentielle depesanteur maximale eacutequilibre
instable
Energie potentielle de pesanteur minimale
eacutequilibre stable
Evolution spontaneacutee poids dirigeacute versles eacutenergies potentielles deacutecroissantes
Figure 49 bull Illustration de lrsquoeacutevolution drsquoun systegravemeen fonction de son eacutenergie potentielle
Agrave RETENIR
Deacutefinition du travail drsquoune force
Le travail drsquoune force au cours drsquoun deacuteplacement AB est eacutegal agrave la circulation du vecteurforce sur ce deacuteplacement
WArarrB
(minusrarrF)
=
BintA
minusrarrF (M) d
minusrarrl = CminusrarrF ArarrB
Deacutefinition de la puissance drsquoune force
La puissance instantaneacutee P (t) drsquoune forceminusrarrF est deacutefinie par
P (t) =d Wd t
=minusrarrF
dminusrarrl
d t=
minusrarrF minusrarrv
Theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetique
Dans un reacutefeacuterentiel galileacuteen la variation drsquoeacutenergie cineacutetique DEc = 12 mv2
Bminus 12 mv2
A drsquounpoint mateacuteriel soumis agrave un ensemble de forces exteacuterieures entre une position A et uneposition B est eacutegale agrave la somme des travaux de ces forces entre ces deux points
Ec (B) minus Ec (A) =sum
WArarrB
(minusrarrF ext
) Deacutefinition de la variation drsquoeacutenergie potentielle
La variation drsquoeacutenergie potentielle associeacutee agrave une force conservativeminusrarrF (force dont le
travail ne deacutepend pas du chemin suivi) qui travaille entre deux points A et B est eacutegaleagrave lrsquoopposeacute du travail de cette force conservative
EP (B) minus EP (A) = minusWArarrB
(minusrarrF C
ext
)
108 Meacutecanique du point
Les trois deacutefinitions suivantes sont agrave connaicirctre
bull Deacutefinition inteacutegrale
EP (B) minus EP (A) = minusBint
A
minusrarrF C
ext dminusrarrl
bull Deacutefinition diffeacuterentielled EP = minusminusrarr
F Cext d
minusrarrl
bull Deacutefinition locale minusminusrarrgrad EP = minusminusrarrF C
ext
Lrsquoapplication des deacutefinitions ci-dessus permet de montrer que
ndash Lrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur (avec g uniforme) est
EP = mgz si lrsquoaxe des z est vertical ascendant
EP = minusmgz si lrsquoaxe des z est vertical descendant
ndash Lrsquoeacutenergie potentielle eacutelastique est
EP =12
k(l minus l0)2
Theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie meacutecanique
La variation drsquoeacutenergie meacutecanique drsquoun systegraveme entre deux points A et B est eacutegale agrave lasomme des travaux des forces exteacuterieures non-conservatives appliqueacutees agrave ce systegraveme
(EB minus EA) =sum
WArarrB
(minusrarrF NC
ext
)avec lrsquoeacutenergie meacutecanique E du systegraveme deacutefinie par
E = Ec + EP
Conditions de stabiliteacute drsquoun eacutequilibre
Eacutequilibre stable pour x = x0 lArrrArr Ep(x0) minimale()d EP
d x
)x0
= 0 etd2 EP
d x2
)x0
gt 0
Travail puissance eacutenergie 109
EXERCICES DrsquoAPPLICATION AVEC SOLUTION DEacuteTAILLEacuteE
Eacutenergie et chute libre
O
Orsquo
x
z
R
A
B
C
xurarr
zurarr
grarr
D
h
l
a
M u
Figure 410
Un skieur deacutecide de faire du horspiste (voir figure) Il se retrouve surun passage en forme drsquoarc de cercleAO de rayon CA = CO = R et abou-tissant sur un fosseacute de largeur l Lepoint O se trouve agrave une hauteur h parrapport agrave lrsquoautre bord D du fosseacute Leskieur estimant qursquoil aura assez drsquoeacutelanen O pour passer le fosseacute part dupoint A sans vitesse initial (VA = 0)Le reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude est le reacutefeacuteren-tiel terrestre consideacutereacute galileacuteen et leskieur est assimileacute agrave un point mateacute-riel M de masse m Lrsquoorigine du re-pegravere choisi est en O (voir figure 410)
Donneacutees m = 60 kg g = 10 msminus2 R = 40 m h = 3 2 m l = 7 m
a = 60 =p
3
I Descente sur lrsquoarc AO
1) On suppose que les frottements sont neacutegligeables Faire un bilan des forces appli-queacutees agrave M (faire un scheacutema) Le systegraveme est-il conservatif Que peut-on dire alors delrsquoeacutenergie meacutecanique
2) Exprimer lrsquoaltitude z du point M en fonction de R et de lrsquoangle OCM = u (voirfigure)
On choisit le point O comme origine des eacutenergies potentielles de pesanteur Ep(O) = 0
Exprimer lrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur Ep(A) au point A (en A u(A) = a)
3) Exprimer lrsquoeacutenergie meacutecanique Em(A) en A et Em(O) en O et en deacuteduire lrsquoexpressionde la vitesse V(O) = Vo Faire lrsquoapplication numeacuterique
4) En fait il existe des frottements solide et la vitesse Vo en O est plus faible que preacutevueOn appelle f la valeur de la force de frottement constante sur AO qui srsquooppose aumouvement
a) Exprimer le travail WAO de cette force f entre A et O
b) Que peut-on dire de la variation drsquoeacutenergie meacutecanique DEm = Em(O) minus Em(A)
c) En deacuteduire une expression de f en fonction de m g R Vo et a
d) Application numeacuterique On trouve Vo = 10 msminus1 calculer f
110 Meacutecanique du point
II Chute libre
1) Donner lrsquoexpression du vecteur vitesseminusrarrV o au point O dans la base (minusrarru x
minusrarru z)2) Faire lrsquoeacutetude dans le repegravere (O x z) de la masse m en chute libre (on neacuteglige toutfrottement) En deacuteduire lrsquoeacutequation de la trajectoire z = f (x) et faire lrsquoapplication nu-meacuterique avec Vo = 10 msminus1
3) En deacuteduire si le skieur retombe de lrsquoautre cocircteacute du fosseacute ou pas
SolutionI Descente sur lrsquoarc AO
1) Le poidsminusrarrP = mminusrarrg = minusmgminusrarru x
La reacuteaction du sol pas de frottement donc la reacuteaction est normale minusrarrN = Nminusrarru x
Le systegraveme est conservatif (pas de frottement et le poids force conservative) On a alorsconservation de lrsquoeacutenergie meacutecanique
Em = constante
2) z = R minus R cos u = R(1 minus cos u)Ep(A) minus Ep(O) = mg(zA minus zo) donc
Ep(A) = mgzA = mgR(1 minus cos a) =12 000 J
3) Em(A) = Ep(A) + Ec(A) = Ep(A) = mgR(1 minus cos a)
Em(O) = Ep(O) + Ec(O) = Ec(O) =12
mgV2o
Em(A) = Em(O) rArr mgR(1 minus cos a) =12
mV2o rArr Vo =
radic2gR(1 minus cos a) = 20 msminus1
4) a) WAO =int O
A
minusrarrf d
minusrarrl =int O
Aminusfdl = minusf
int O
Adl = minusf
L AO = minusfRa = minusfR
p
3(la force de frottement srsquooppose au deacuteplacement et garde un module constant)
b) Theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie meacutecanique la variation drsquoeacutenergie meacutecanique entre 2 posi-tions est eacutegale au travail des forces non conservatives entre ces 2 positions
DEm = Em(O) minus Em(A) = WAO rArr 12
mV2of minus mgR(1 minus cos a) = minusfRa
c) f =m
2aR(2gR(1 minus cos a) minus V2
o ) =2 7004p
= 21486 N
d) f = 214 9 N
II Chute libre
1)minusrarrV o = Vo
minusrarru x
2) La masse m nrsquoest soumis alors qursquoagrave son poids (chute libre) En appliquant le principefondamental de la dynamique
minusrarrP = minusmgminusrarru z = mminusrarra rArr minusrarra = minusgminusrarru z rArr z = minusg
Travail puissance eacutenergie 111
minusrarra =
⎡⎣ 00
z = minusgrArr minusrarrv =
⎡⎣ vox = Vo
voy = 0voz = minusgt + voz = minusgt
rArr minusrarrOM =
⎡⎣ x = Vot + xo = Voty = yo = 0
z = minus 12 gt2 + zo = minus 1
2 gt2
On a donc
x = Vot
z = minus 12 gt2
rArr
t = xVo
z = minus 12 g x2
V2o
rArr z = minus 12 g x2
V2o
= minus x2
20
3) Pour z = minush on a h = 12 g x2
V2o
= x2
20 rArr x =radic
20h =radic
64 = 8 m gt 7 m Le skieurtraverse donc le fosseacute
Eacutetude drsquoune bille dans une gouttiegravere
Une bille assimileacutee agrave un point mateacuteriel M de masse m peut glisser sans frottement surle fond drsquoune gouttiegravere demi cylindrique de rayon R Elle est relieacutee agrave une extreacutemiteacutedrsquoun ressort de raideur k et de longueur agrave vide lo lrsquoautre extreacutemiteacute eacutetant fixeacutee sur unsupport situeacute agrave la distance lo du rebord (voir scheacutema 411) La bille reste toujours encontact avec la gouttiegravere
M Point mateacuterielde masse m
R
Le ressort est de raideur k et sa longueur agrave vide (ni eacutetireacute ni comprimeacute) est lo Le diamegravetre des spires est neacutegligeable
O
Gouttiegravere demi cylindre
de rayon R
z
lo A
R
u
Figure 411
Le point M est repeacutereacute par lrsquoangle u que fait OM avec lrsquohorizontale OA
Rappel de quelques formules trigonomeacutetriques ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩cos(a + b) = cos a cos b minus sin a sin bsin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
cos 2a = cos2 a minus sin2 a = 2 cos2 a minus 1 = 1 minus 2 sin2 asin 2a = 2 sin a cos a
On rappelle que la somme des trois angles drsquoun triangle est eacutegale agrave p
Les parties I et II sont indeacutependantes
I Eacutequilibre de la bille (eacutetude des forces)
1) Faire un bilan des forces agissant sur la masse et les repreacutesenter sur un scheacutema
2) Eacutecrire la condition drsquoeacutequilibre
112 Meacutecanique du point
3) En projetant convenablement cette condition
a) Deacuteduire une relation entre la tension T du ressort le poids P de la masse etlrsquoangle u = ue (position agrave lrsquoeacutequilibre)
b) Deacuteduire une relation entre la reacuteaction RN de la gouttiegravere la tension T du ressortle poids P de la masse et lrsquoangle ue
4) Calculer lrsquoallongement du ressort et montrer que la tension T du ressort srsquoeacutecrit
T = 2kR sinue
25) Agrave partir des reacuteponses 3)a) et 4) exprimer laquo tan ue raquo en fonction de m g k et R
6) A N Calculer ue si m = 0 1 kg g = 10 msminus2 k = 10 Nmminus1 et R = 10 cm
II Eacutequilibre de la bille (eacutetude de lrsquoeacutenergie potentielle)
La masse m se trouve dans une position quelconque deacutefinie par lrsquoangle u
1) Exprimer lrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur Epp de la masse en fonction de lrsquoangle uOn prendra lrsquoorigine des eacutenergies potentielles au niveau du point O
2) Exprimer lrsquoeacutenergie potentielle eacutelastique Epe en fonction de lrsquoangle u
3) Montrer alors que lrsquoeacutenergie potentielle totale EP du systegraveme srsquoeacutecrit
EP(u) = kR2(1 minus cos u) minus mgR sin u
4) Agrave quelle condition sur lrsquoeacutenergie potentielle EP le systegraveme est-il en eacutequilibre Endeacuteduire lrsquoexpression detan ue pour lequel la masse est en eacutequilibre et veacuterifier le reacutesultatobtenu agrave la question I5)
SolutionI Eacutequilibre de la bille (eacutetude des forces)
u
e R
O z
lo A R M gmP= T
R
N Figure 4121)Forces euro
Š
P=mŠ
geuroŠT
=kDl=kAMeuro
Š
RNreacuteaction normale du sup-port (pas de frottement)2)ConditiondrsquoeacutequilibreŠ P+
ŠT+
ŠRN=
Š03) a)ŠPfait un angle de
p2Šueavec le rayonOMŠTfaitlrsquoangle (O M A)=
˛pŠu
e2Łavec le rayonOM
Enprojetantsuivantlaperpendiculaire agraveOM on a
Tsin˛ p
2Š
ue
2 Ł Šmgcosu e=0Tcosu e
2=mgcosue
Travail puissance eacutenergie 113
b) Suivant le rayon OM
T cos(
p
2minus ue
2
)+ RN minus mg sin ue = 0 rArr T sin
ue
2+ RN minus mg sin ue = 0
4) Triangle OMA isocegraveleAM2
= R sinue
2rArr Dl = 2R sin
ue
2rArr T = 2kR sin
ue
2
5) T cosue
2= 2kR sin
ue
2cos
ue
2kR sin ue = mg cos ue rArr tan ue =
mgkR
=11
= 1
6) tan ue = 1 rArr ue =p
4= 45
II Eacutequilibre de la bille (eacutetude de lrsquoeacutenergie potentielle)
5) Epp = minusmgR sin u
6) Epe =12
k(Dl)2 =12
k(
2R sinu
2
)2
= 2kR2 sin2 u
2= kR2(1 minus cos u)
7) EP(u) = kR2(1 minus cos u) minus mgR sin u
8) EP doit ecirctre minimale La deacuteriveacutee est donc nulle pour u = ue Lrsquoeacutequilibre est stablesi la deacuteriveacutee seconde est positive
d Ep
d u= kR2 sin u minus mgR cos u = 0 rArr tan ue =
mkkR
mecircme reacutesultat que pour I5
d2 Ep
d u2 = kR2 cos ue + mgR sin ue gt 0 lrsquoeacutequilibre est bien stable
Pendule pesant
M
C
B
l
x
grarr
A
O y D
U
Figure 413
On considegravere une masse m accrocheacutee agraveune des extreacutemiteacutes M drsquoun fil de lon-gueur l et de masse neacutegligeable Lrsquoautreextreacutemiteacute O du fil est fixe dans le reacutefeacute-rentiel R terrestre consideacutereacute galileacuteen
Lrsquoobjectif de lrsquoexercice est de calculer lavaleur minimale de la vitesse VA de lamasse m au point A pour que celle-ci ef-fectue un tour complet autour du pointO le fil restant constamment tendu
On repegravere la masse M sur la boucle parlrsquoangle u que fait OM avec la verticaleOA On notera VA et VM la vitesse de Mrespectivement en A et en M
I Eacutetude eacutenergeacutetique
1) En prenant lrsquoorigine de lrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur au niveau du point A(EPP(A) = 0) donner lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur EPP(M) en M
114 Meacutecanique du point
2) En deacuteduire lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie meacutecanique totale Em(A) en A et Em(M) en M
3) Le systegraveme est-il conservatif En deacuteduire une relation entre Em(A) et Em(M)4) En deacuteduire lrsquoexpression de V2
M en fonction de g l VA et u (relation n 1)
II Cineacutematique
Lrsquoeacutetude du mouvement de M sur le cercle (ABCD) se fait naturellement en coordonneacuteespolaires (r = l u) et la base associeacutee (minusrarru r
minusrarru u)
1) Exprimer le vecteur vitesseminusrarrV M en coordonneacutees polaires et en deacuteduire la relation
entre VM l et u Exprimer V2M en fonction de l et u (relation n 2)
2) Exprimer le vecteur acceacuteleacuteration minusrarra M en coordonneacutees polaires En deacuteduire en uti-lisant la relation n 2 preacuteceacutedente lrsquoexpression de la composante radiale ar (suivant minusrarru r)de lrsquoacceacuteleacuteration en fonction de VM et l
III Dynamique
1) Faire lrsquoeacutetude dynamique de M sur la partie circulaire (ABCD) On appelleraminusrarrT la
tension du fil exerceacutee sur la masse M
2) En projetant le principe fondamental de la dynamique sur (minusrarru rminusrarru u) exprimer le
rapport Tm de la reacuteaction T sur la masse m (relation n 3)
3) En utilisant les relations n 1 et 3 exprimer la tension T du support en fonction del g VA et u
4) Dire que la masse fait un tour complet le fil restant tendu se traduit par
Pour toute valeur de lrsquoangle u la tension T existe forallu T(u) 0
a) Pour quelle valeur eacutevidente de u la reacuteaction T est-elle minimale b) En deacuteduire la valeur minimale que doit avoir la vitesse VA de la masse m au
point A pour que celle-ci effectue un tour complet le fil restant tenduc) Quelle est alors la vitesse VC de la masse au point C
Solution
I Eacutetude eacutenergeacutetique
M
C
B
x
grarr
A
O y D
Prarr
Trarr
U
Figure 414
1) EPP(M) = mgh = mgl(1 minus cos u)
2) E(A) = EPP(A) + EC(A) =12
mV2A
E(M) = EPP(M) + EC(M)
=12
mV2M + mgl(1 minus cos u)
3) Le systegraveme conservatif (Pas de frot-tement) donc Em(A) = Em(M)
4) V2M = V2
A minus 2gl(1 minus cos u) (relation n 1)
Travail puissance eacutenergie 115
II Cineacutematique
1)minusrarrV M =
d(rminusrarru r)dt
= luminusrarru u rArr VM = lu
donc V2M = l2u2 (relation n 2)
2) Le vecteur acceacuteleacuteration minusrarra M = minuslu2minusrarru r + luminusrarru u rArr ar = minuslu2 = minusV2M
l
III Dynamique
1) Systegraveme la masse m Reacutefeacuterentiel terrestre galileacuteen
Forces PoidsminusrarrP = mminusrarrg = mg(cos uminusrarru r minus sin uminusrarru u) et
minusrarrT = minusTminusrarru r
Principe fondamental de la dynamique minusrarrP +
minusrarrT = mminusrarra
2) Suivant minusrarru r mg cos u minus T = minusmV2
M
let minusmg sin u = mlu
Donc Tm
= g cos u +V2
M
l(relation n 3)
3)Tm
= g cos u +V2
M
l= g cos u +
V2A
lminus 2g(1 minus cos u) =
V2A
lminus g(2 minus 3 cos u) =
Tm
4) Pour toute valeur de lrsquoangle u la tension T existe forallu T(u) 0
a) T minimale pour cos u minimal crsquoest agrave dire cos u = minus1 rArr u = p (reacuteponse eacutevidente)
b) forallu T(u) 0 rArr foralluV2
A
lminus g(2 minus 3 cos u) 0
rArr forallu V2A gl(2 minus 3 cos u) rArr V2
A 5gl
VA =radic
5gl
c) V2C = V2
A minus 2gl(1 minus cos uC) = 5gl minus 2gl(1 minus cos p) = gl rArr VC =radic
gl
Looping
Le jouet drsquoun enfant est constitueacute drsquoun petit chariot de masse m qui se deacuteplace sur unepiste se terminant par une boucle circulaire verticale (looping) de rayon R Lrsquoobjectifde lrsquoexercice est de calculer la valeur minimale de lrsquoaltitude h du point A pour que lechariot abandonneacute en A sans vitesse initiale (VA = 0) puisse faire le tour complet de laboucle en restant en contact avec la piste tout le long du trajet
Le chariot assimileacute agrave un point mateacuteriel M glisse sur la piste (ABCDEF) sans frottement
On repegravere la masse M sur la boucle par lrsquoangle u que fait OM avec la verticale OB
I Eacutetude eacutenergeacutetique
1) En prenant lrsquoorigine de lrsquoeacutenergie potentielle au niveau du sol (EPP(B) = 0 = EPP(F))donner lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie potentielle EPP(A) en A et EPP(M) en M (en fonctionde m g h R et u)
116 Meacutecanique du point
h
A
B
M
C
D
E
F
z grarr
R O
U
Figure 415
2) On notera VM la vitesse du point M dans la position repeacutereacutee par u Eacutecrire lrsquoeacutenergiemeacutecanique totale Em(A) en A et Em(M) en M
3) Le systegraveme est-il conservatif En deacuteduire une relation entre Em(A) et Em(M)
4) En deacuteduire lrsquoexpression deV2
M
Ren fonction de g R h et u (relation n 1)
II Cineacutematique
Lrsquoeacutetude du mouvement de M sur la boucle (BCDE) se fait naturellement en coordon-neacutees polaires (R u) et la base associeacutee (minusrarru r
minusrarru u)
1) Exprimer le vecteur vitesseminusrarrV M en coordonneacutees polaires et en deacuteduire la relation
entre VM R et u Exprimer V2M
R en fonction de R et u (relation n 2)
2) Exprimer le vecteur acceacuteleacuteration minusrarra M en coordonneacutees polaires et en deacuteduire enutilisant la relation n 2 preacuteceacutedente lrsquoexpression de la composante radiale (suivant minusrarru r)de lrsquoacceacuteleacuteration en fonction de VM et R
III Dynamique
1) On appelleraminusrarrF la reacuteaction de la piste sur la masse M
Faire lrsquoeacutetude dynamique de M sur la partie circulaire (BCDE) Projeter le principe fon-damental de la dynamique sur(minusrarru r
minusrarru u) et exprimer alors le rapport Fm (relation 3)
2) Utiliser les relations n 1 et 3 pour exprimer Fm en fonction de h g R et u
3) Dire que la masse fait un tour complet en restant en contact avec la piste se traduitpar
Pour toute valeur de lrsquoangle u la reacuteaction F existe forallu F(u) 0
Pour quelle valeur eacutevidente de u la reacuteaction F est-elle minimale
En deacuteduire la valeur minimale que doit avoir lrsquoaltitude h du point A pour que le chariotreacutealise le looping sans quitter la piste
Travail puissance eacutenergie 117
SolutionI Eacutetude eacutenergeacutetique
1) EPP(A) = mgh EPP(M) = mgR(1 minus cos u)
2) Em(A) = mgh Em(M) =12
mV2M + mgR(1 minus cos u)
3) Le systegraveme conservatif (pas de frottement Em (A) = Em(M)
4) Em(M) =12
mV2M+mgR(1minuscos u) = Em(A) = mgh rArr V2
M
R=2g[
hR
minus (1 minus cos u)]
(n 1)
II Cineacutematique
1)minusrarrV M = Ruminusrarru u On a donc VM = Ru rArr V2
M
R= Ru2 (n 2)
2) minusrarra M = minusRu2minusrarru r + Ruminusrarru u soit ar = minusV2M
Rcomposante radiale de lrsquoacceacuteleacuteration
III Dynamique
1) Systegraveme la masse M reacutefeacuterentiel terrestre consideacutereacute galileacuteen
Forces minusrarrP = mminusrarrg = mg cos uminusrarru r minusmg sin uminusrarru u et
minusrarrF = minusFminusrarru r (reacuteaction normale agrave
la piste car pas de frottement Principe fondamental de la dynamique minusrarrP +
minusrarrF = mminusrarra
2) En projection sur OM
F minus mg cos u = mV2
M
RrArr F
m= g cos u +
V2M
R(n 3)
3)Fm
= g cos u +V2
M
R= g cos u + 2g
hR
minus 2g(1 minus cos u) = 2g[hR
minus 1 +32
cos u]
4) u = p donne F minimale La condition est donc Fmingt0 soit
Fmin 0 rArr hR
1 minus 32
cos p = 1 +32
=52
La hauteur minimale est donc de h =52
R
Mouvement sur un plan inclineacute
On considegravere un petit bloc assimilable agrave un point mateacuteriel de masse m abandonneacutesans vitesse initiale au point A drsquoun plan inclineacute comme lrsquoindique la figure ci-apregraves Lepoint A est agrave lrsquoaltitude ho On suppose que le coefficient de frottement est le mecircme surles deux plans et vaut m = tan w (w est appeleacute angle de frottement)
Lrsquoeacutetude suivante se fera dans le reacutefeacuterentiel terrestre consideacutereacute comme galileacuteen
118 Meacutecanique du point
yurarr
a b ho h1
A
B
C
xurarr
Figure 416
1) Dans le cas ougrave la masse m glisse si f repreacutesente la reacutesultante des forces de frottementet Rn la reacuteaction normale au support on a la relation f = mRn
Quelle relation a-t-on entre f Rn et m lorsque les frottements sont suffisants pourmaintenir la masse en eacutequilibre
2) On se place dans le cas ougrave la masse glisse Faire le bilan des forces agissant sur lamasse m entre A et B Lrsquoorigine du repegravere choisi est le point A et AB correspond agrave lrsquoaxedes abscisses (voir figure) Appliquer le principe fondamental de la dynamique et endeacuteduire
a) lrsquoacceacuteleacuteration suivant AB de la masse m Donner son expression en fonction deg a et w
b) En deacuteduire lrsquoexpression de la vitesse VB de la masse m au point B en fonction deg ho a et w
c) Y-a-t-il une condition portant sur lrsquoangle de frottement w et lrsquoangle a du planinclineacute pour que le mouvement puisse se produire Si oui laquelle
d) Faire la mecircme eacutetude sur la partie BC et donner lrsquoacceacuteleacuteration de la masse sur BCIndiquer srsquoil existe une condition pour que le mouvement puisse se produire
3) Que peut-on dire de lrsquoeacutenergie meacutecanique totale de la masse m
a) Exprimer les eacutenergie cineacutetique EC(A) et potentielle EP(A) de la masse au pointde deacutepart A On choisira lrsquoorigine des eacutenergies potentielles au point B En deacute-duire lrsquoeacutenergie meacutecanique E(A)
b) Exprimer les eacutenergie cineacutetique EC(B) et potentielle EP(B) de la masse au pointdrsquoarriveacutee B En deacuteduire lrsquoeacutenergie meacutecanique E(B)
c) Exprimer le travail de la force de frottement f entre A et B donner lrsquoexpressionen fonction de m g ho a et w
d) Appliquer le theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie meacutecanique et en deacuteduire lrsquoexpression de lavitesse VB de la masse m au point B Retrouver le reacutesultat du 2) b)
4) Apregraves le passage au point B agrave la vitesse VB la masse remonte le plan inclineacute BC(angle b avec lrsquohorizontale) Le coefficient de frottement m = tan w reste le mecircmeOn supposera que lrsquoangle fait entre les deux plans ne perturbe pas le mouvement Lamasse srsquoarrecircte au point C
a) Appliquer le theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie meacutecanique entre B et C Jusqursquoagrave quelle hau-teur h1 la masse m remontera-t-elle Donner lrsquoexpression de h1 en fonction deho a b et w
b) Application Montrer que pour a = b on a h1 = hotan a minus tan w
tan a + tan wc) La masse eacutetant arrecircteacutee au point C va-t-elle redescendre la pente BC
Travail puissance eacutenergie 119
Solution
yurarr
a b ho h1
A
B
C
xurarr
nRrarr
Prarr
frarr
Prarr
nRrarr
frarr
Figure 417
1) Lorsque les frottements sont suffisants pour maintenir la masse en eacutequilibre on a
Solide en eacutequilibre f
Rnlt m
2) Bilan des forces agissant sur la masse m
bull Le poidsminusrarrP = mminusrarrg = mg(sin aminusrarru x + cos aminusrarru y)
bull La reacuteaction normaleminusrarrR n = Rn
minusrarru y
bull Les frottements solide minusrarrf = minusfminusrarru x et la masse glisse alors f = mRn
Principe fondamental de la dynamique minusrarrP +
minusrarrf +
minusrarrR n = minusrarra
et en projetant
a) Sur minusrarru y Rn = mg cos a Sur minusrarru x mg sin aminusf = mx et avec f = mRn = mmg cos a
On a mx = mg sin a minus mmg cos a = mg sin a(
1 minus m
tan a
)x = g sin a
(1 minus tan w
tan a
)= g sin a minus g cos a tan w
b) On obtient x = xt (agrave t = 0 la vitesse est nulle) et x =12
xt2 (agrave t = 0 x = 0)
La masse est en B agrave lrsquoinstant tB correspondant agrave xB =ho
sin a
tB =
radic2xB
x=
radic2h
x sin a
On en deacuteduit la vitesse en B VB = xtB =
radic2hoxsin a
=radic
2hog(
1 minus tan w
tan a
)c) Il y a mouvement si lrsquoacceacuteleacuteration existe et est positive soit
x 0 rArr tan w tan ail faut donc a w
120 Meacutecanique du point
d) Sur BC mecircme force mais en orientant de B vers C le poids et les frottementsont mecircme sens On a donc Le poids
minusrarrP = mminusrarrg = mg(minus sin bminusrarru x + cos bminusrarru y) la reacuteaction normale
minusrarrR n = Rn
minusrarru y et les frottements solide minusrarrf = minusfminusrarru x et la masse glisse alors
f = mRn
Principe fondamental de la dynamique minusrarrP +
minusrarrf +
minusrarrR n = minusrarra et en projetant
Sur minusrarru y Rn = mg cos b Sur minusrarru x minusmg sin b minus f = mx avec f = mRn = mmg cos b On a
mx = minusmg sin b minus mmg cos b = minusmg sin b
(1 +
m
tan b
)x = minusg sin b
(1 +
tan w
tan b
)= minusg sin b minus g cos b tan w
Il nrsquoy a pas de condition sur les angles puisque lrsquoacceacuteleacuteration est toujours neacutega-tive (mouvement uniformeacutement freineacute)
3) Lrsquoeacutenergie meacutecanique totale de la masse m ne se conserve pas car le systegraveme subit desfrottements (systegraveme non conservatif)
a) Eacutenergie cineacutetique EC(A) = 0 et eacutenergie potentielle EP(A) = mgho On en deacute-duit lrsquoeacutenergie meacutecanique E(A) = EC(A) + EP(A) = mgho
b) Eacutenergie cineacutetique EC(B) = 12 mV2
B et eacutenergie potentielle EP(B) = 0 On en
deacuteduit lrsquoeacutenergie meacutecanique E(B) = EC(B) + EP(B) =12
mV2B
c) WAB =minusrarrfminusrarrAB = minusfxB = minusmRn
ho
sin a= minusmmg cos a
ho
sin a= minusmgho
tan w
tan a
d) Theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie meacutecanique DE = E(B) minus E(A) = WAB
12
mV2B minus mgho = WAB = minusmgho
tan w
tan arArr V2
B = 2gho
(1 minus tan w
tan a
)On retrouve bien le reacutesultat du 2)b)
4) a) Le travail de la force de frottement entre B et C est
WBC =minusrarrfminusrarrBC = minusmRn
h1
sin b= minusmmg cos b
h1
sin b= minusmgh1
tan w
tan b
Theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie meacutecanique entre B et C DE = E(C) minus E(B) = WBC
mgh1 minus12
mV2B = WBC = minusmgh1
tan w
tan b
rArr V2B = 2gh1
(1 +
tan w
tan b
)et V2
B = 2gho
(1 minus tan w
tan a
)
On a donc h1
ho=
1 minus tan w
tan a
1 +tan w
tan b
=tan a minus tan w
tan b + tan w
b) Application Pour a = b on a h1 = hotan a minus tan w
tan a + tan wc) La masse est arrecircteacutee au point C La condition pour redescendre est b gt w
Travail puissance eacutenergie 121
EXERCICES CORRIGEacuteS
1 1) Rappeler la deacutefinition de la fonction eacutenergie potentielle deacuterivant drsquoune forceconservative
2) En prenant lrsquoexemple du poids drsquoun corps exprimer lrsquoeacutenergie potentielle de pe-santeur en consideacuterant un axe vertical ascendant z
3) Un projectile de masse m = 10 kg est lanceacute du sol sous une incidence de 45 agrave unevitesse initiale v = 10 msminus1 On suppose qursquoil nrsquoy a pas de frottements
a) Deacuteterminer son eacutenergie meacutecanique
b) Repreacutesenter lrsquoeacutevolution de son eacutenergie potentielle en fonction de la variable zrepreacutesentant lrsquoaltitude du projectile
c) En deacuteduire lrsquoeacutevolution de lrsquoeacutenergie cineacutetique du projectile et lrsquoaltitude maximaleatteinte par le projectile
d) Deacuteterminer lrsquoeacutequation de la trajectoire du projectile et trouver le point drsquoimpactsur le sol
2 Un bateau de masse m ayant atteint sa vitesse de croisiegravere v0 coupe ses moteurs agravelrsquoinstant t = 0 Lrsquoeau exerce une force de frottement proportionnelle agrave la vitesse v dubateau
1) Agrave lrsquoaide de la relation fondamentale de la dynamique donner lrsquoexpression de lavitesse en fonction du temps Ougrave le bateau srsquoarrecirctera-t-il
2) Quel est le travail effectueacute par la force de frottement entre lrsquoinstant ougrave le bateaucoupe ses moteurs et celui ougrave il srsquoarrecircte Le comparer agrave lrsquoeacutenergie cineacutetique du bateauagrave lrsquoinstant t = 0
3 On considegravere un solide de masse m = 2 kg pouvant glisser sur un sol lisse dont leprofil est donneacute par z(x) = ax2 + bx3 + cx4 avec a = 0 4 b = minus0 1 et c = 2 210minus4On ne considegravere que lrsquointervalle de valeurs de x compris entre minus3 et 3
1) Repreacutesenter lrsquoeacutevolution de la fonction eacutenergie potentielle de pesanteur de ce so-lide
2) Deacuteterminer si le long de ce trajet le solide peut occuper des positions drsquoeacutequilibrestable et instable On exprimera les conditions de stabiliteacute de faccedilon quantitative
3) On suppose que le solide se trouve agrave lrsquoinstant t = 0 agrave la position M drsquoabscissex = 1 5 sans vitesse initiale Deacuteterminer qualitativement le mouvement du solideDeacuteterminer quantitativement lrsquoeacutevolution de lrsquoeacutenergie cineacutetique du solide en fonctionde x Trouver la vitesse maximum atteinte par le solide et en deacutefinir la position P
Solutions1 1) La relation entre une force conservative et lrsquoeacutenergie potentielle dont elle deacuterive est
minusminusrarrgrad EP = minusminusrarrF C
ext
2) Avec un axe vertical ascendant nous avons
d EPP = minusminusrarrP d
minusrarrl = mgminusrarru z(d xminusrarru x + d zminusrarru z) = mg d z
soit EPP (z) = mgz + cste
122 Meacutecanique du point
3) a) E = Ec + EPP (z) = 12 mv2 + mgz (en prenant comme zeacutero de lrsquoeacutenergie potentielle
EPP (0) = 0)
b) Lrsquoeacutenergie potentielle croicirct lineacuteairement avec lrsquoaltitude
c) Agrave t = 0 s lrsquoeacutenergie potentielle est nulle donc E = Ec0 = 12 mv2
o An E = Eco = 500 J
Lrsquoeacutenergie cineacutetique sera deacutefinie agrave un instant quelconque par Ec = E minus EPP (z) = E minus mgz cequi est une fonction deacutecroissante de lrsquoaltitude z atteinte Lrsquoaltitude maximale zmax atteinte seraobtenue pour Ec(zmax) = 0 soit zmax = Emg An zmax = 5 m
Cependant la vitesse ne peut pas srsquoannuler complegravetement La composante vz suivant la verti-cale peut srsquoannuler mais la composante vx = vo sin a suivant lrsquoaxe x reste constante Donc enreacutealiteacute il existe un minimum non nul pour lrsquoeacutenergie cineacutetique Ecmin = 1
2 m(vo sin a)2 = 14 mv2
o(avec lrsquoangle a = 45)
On a donc Ecmin = 5002 = 250 J ce qui donne alors pour lrsquoaltitude maximale atteintezmax = (E minus Ec min)mg = 2 5 m
d) Eacutequation de la trajectoire (voir chapitre 2) z = 12 ao
x2
v2o cos2 a
+ x tan a et la porteacutee d est
donneacutee par d =v2
0a0
2 sin a cos a =v2
0g sin 2a AN d = 10 m
2 1) On considegravere le systegraveme bateau dans le reacutefeacuterentiel galileacuteen R Les forces exteacuterieures appli-queacutees au bateau sont
bull minusrarrP le poids du bateau
bull minusrarrR la pousseacutee de lrsquoeau sur le bateau
bull minusrarrf la force de frottement
Le principe fondamental de la dynamique donne mminusrarra GR =minusrarrP +
minusrarrR +
minusrarrf ce qui conduit par
projection dans la direction x drsquoavanceacutee du bateau agrave m d vx d t = minuskvx
On en conclut que d vxvx = minus km d t =rArr ln vx = minus k
m t + C
Les conditions initiales du mouvement imposent que
C = ln vom =rArr lnvx
v0= minus k
mt =rArr vx = voe
minus km t
Pour trouver la position drsquoarrecirct il faut inteacutegrer la vitesse soit
x =
Z
vx d t = vo
Z
eminuskm t d t = minusvo
keminus
km t + C2
Agrave lrsquoinstant t = 0 le bateau eacutetait en x = 0 donc C2 = v0k =rArr x = v0
k
ldquo
1 minus eminuskm trdquo
Le bateau
srsquoarrecirctera au bout drsquoun temps infini agrave la position xa = vok
2) Par deacutefinition le travail de la force de frottement est donneacute par
W1rarr2
ldquominusrarrfrdquo
=
Z 2
1
minusrarrf d
minusrarrl =
Z 2
1
minusrarrf minusrarrv d t =rArr W1rarr2
ldquominusrarrfrdquo
= minuskv20
Z t2
t1
eminus2 km t d t
soit entre lrsquoorigine des temps et lrsquoinfini
W1rarr2
ldquominusrarrfrdquo
= kv20
m2k
h
eminus2 km tiinfin
0= minus1
2mv2
0
ce qui repreacutesente lrsquoopposeacute de lrsquoeacutenergie cineacutetique de deacutepart (Ceci est logique dans la mesure ougraveseule la force de frottement travaille)
Travail puissance eacutenergie 123
3 1) Voir figure 418
-3 -2 -1 0 1 2 30
1
2
3
4
5
6
7
x(m)
z(x)
(m)
Figure 418
2) Conditions de stabiliteacute en x = xo = 0 d EPd x
acute
x0= 0 et d2 EP
d x2
rdquo
x0
= 2a gt 0 donc lrsquoeacutequilibre
est stable dans cette position Par contre en x1 = 2 695 m nous avons
d EP
d x
laquo
x1
= 0 etd2 EP
d x2
laquo
x1
lt 0
donc cette position est une position drsquoeacutequilibre instable
3) En xM = 1 5 m z(xM) = 0 563 m Le solide va aller du cocircteacute correspondant agrave la diminutionde son eacutenergie potentielle soit vers les x deacutecroissants Son eacutenergie potentielle va deacutecroicirctrejusqursquoagrave ce qursquoil passe par x = 0 ougrave elle deviendra nulle si lrsquoon convient de prendre lrsquooriginedes eacutenergies potentielles en z = 0 Comme il nrsquoy a pas de frottements lrsquoeacutenergie meacutecanique seconserve
E = E(M) =rArr 12
mv2 + mgz(x) = mgz(xM)
Lrsquoeacutenergie cineacutetique sera donc 12 mv2 = mgz(xM) minus mgz(x)
Lrsquoeacutenergie cineacutetique passe par un maximum quand z(x) = 0 ce qui correspond agrave la position dupoint P La vitesse en ce point est donneacutee par
v =p
2gz(xM) = 3 32 msminus1
CHAPITRE 5
OSCILLATEURS MEacuteCANIQUES
Preacute-requis bull Une bonne connaissance de lrsquoutilisation des nombres complexes estimpeacuterative pour aborder ce chapitre Il est eacutegalement neacutecessaire deconnaicirctre les reacutesultats des chapitres 3 et 4 de ce livre pour appreacutehen-der la dynamique et lrsquoaspect eacutenergeacutetique des oscillateurs
Objectif I Deacutefinir lrsquooscillateur meacutecaniqueI Preacutesenter les aspects dynamique et eacutenergeacutetique de lrsquooscillateur meacuteca-
niqueI Apprendre comment les forces de frottements solide et fluide influencent
le mouvement de lrsquooscillateurI Aborder le repeacuterage de lrsquooscillateur dans lrsquoespace des phases
1 LrsquoOSCILLATEUR HARMONIQUE
On appelle oscillateur harmonique tout systegraveme dont le paramegravetre ou degreacute de liberteacutex(t) peut se mettre sous la forme
x(t) = xmax cos(vt + w)
Par deacutefinition nous appellerons x(t) lrsquoeacutelongation (ou la position) agrave lrsquoinstant t xmax lrsquoeacutelon-gation maximale ou lrsquoamplitude w la phase agrave lrsquoorigine v la pulsation du mouvement etvt + w la phase agrave lrsquoinstant t La position drsquoun oscillateur harmonique de freacutequence 1 Hzdrsquoamplitude 5 cm est repreacutesenteacutee sur la figure 51
La peacuteriode T des oscillations est le temps mis par lrsquooscillateur pour revenir agrave une positionidentique quel que soit le choix de cette position Matheacutematiquement la peacuteriode T estdeacutefinie par
existTforallt x(t + T) = x(t)
Il est courant de repreacutesenter la position drsquoun oscillateur par un nombre complexe (fi-gure 52) ou de faccedilon eacutequivalente par la repreacutesentation de Fresnel
126 Meacutecanique du point
00 05 10 15 20-6
-4
-2
0
2
4
6x(t)=5sin(2πt+π 3)
x(t)
t (s)
Figure 51 bull Repreacutesentation de lrsquoeacutevolution de la position drsquoun oscillateurharmonique en fonction du temps
Axe
des
imag
inai
res
purs
v t
v t+w
xmax
w
j
Axe des reacuteelsxmax cos(v t+w)
Figure 52 bull Repreacutesentation de lrsquoeacutelongation instantaneacutee drsquoun oscillateur dans le plan complexe
La position instantaneacutee x(t) de lrsquooscillateur est donneacutee par la partie reacuteelle du nombrecomplexe x deacutefini par
x = [xmax vt + w]x = xmaxej(vt+w)
Par abus drsquoeacutecriture il est freacutequent de confondre le nombre complexe x avec la positioninstantaneacutee x(t) de lrsquooscillateur On eacutecrit ainsi que
x(t) = xmaxej(vt+w)
ce qui nrsquoa pas de sens physique mais qui est bien pratique
La vitesse instantaneacutee de lrsquooscillateur est alors donneacutee par
v (t) =d xd t
= xmaxvjej(vt+w) = xmaxvej(vt+w+ p2 )
On constate que la vitesse est deacutephaseacutee p2 par rapport agrave la position Cela montre bienque lorsque lrsquooscillateur passe par lrsquoorigine x = 0 sa vitesse est maximale alors que quandil passe par son eacutelongation maximale x = xmax sa vitesse est nulle
Oscillateurs meacutecaniques 127
De mecircme on peut calculer lrsquoacceacuteleacuteration de lrsquooscillateur
a =d vd t
= minusxmaxv2ej(vt+w) = v2xmaxej(vt+w+p)
Cette relation montre que lrsquoacceacuteleacuteration de lrsquooscillateur est en opposition de phase aveclrsquoamplitude La repreacutesentation dans le plan complexe de ces trois grandeurs est preacutesenteacuteefigure 53
Axe des imaginaires pursj
Axe des reacuteels
v2xmax
v t
xmax
v x max
Elongation
Vitesse
Acceacuteleacuteration
w
Figure 53 bull Repreacutesentation de lrsquoeacutelongation de la vitesse et de lrsquoacceacuteleacuterationdans le plan complexe
2 EacuteQUATION DIFFEacuteRENTIELLE
De la relation preacuteceacutedente il est facile de voir que lrsquoacceacuteleacuteration de lrsquooscillateur est lieacutee agravesa position par la relation
a = minusv2x
Il en reacutesulte que lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement drsquoun oscillateur harmonique estdonneacutee par
x + v2x = 0
Tout systegraveme dont lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement est de cette forme est un oscil-lateur harmonique ce qui peut se reacutesumer de la faccedilon suivante
Oscillateur harmonique
x + v2x = 0 =rArr
⎧⎪⎨⎪⎩x(t) = xmax cos(vt + w) = xmax sin(vt + wprime)
x(t) = A cos vt + B sin vt
x(t) = xmaxej(vt+w)
128 Meacutecanique du point
La forme de la solution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle peut ecirctre eacutecrite de diffeacuterentes faccedilons toutefois si lrsquoeacutecriture diffegravere (voir ci-dessus) la solution x(t) reste la mecircme La somme drsquounsinus et drsquoun cosinus affecteacutes drsquoamplitudes A et B est bien eacutequivalente agrave un cosinus ou unsinus affecteacute drsquoune certaine phase La derniegravere forme x(t) est la solution dans lrsquoespace descomplexes et seule la partie reacuteelle de x(t) correspond agrave la solution physique de lrsquoeacutequationdiffeacuterentielle
3 EXEMPLES DrsquoOSCILLATEURS HARMONIQUES
31 Pendule eacutelastique horizontalNous consideacuterons le mouvement drsquoune masse m accrocheacutee agrave un ressort de raideur k as-sujettie agrave se deacuteplacer sans frottements sur un plan horizontal (figure 54) Le mouvementeacutetant rectiligne nous eacutetudions le systegraveme masse m dans le reacutefeacuterentiel galileacuteen R(O x y t)muni de la base (minusrarru x
minusrarru y) Le point O correspond agrave la position drsquoeacutequilibre de la masse mle ressort eacutetant au repos (ni eacutetireacute ni comprimeacute)
0
Rrarr
Prarr
Trarr
lo
x
l
x
O
x
uxrarr
Figure 54 bull Pendule eacutelastique horizontal
Lrsquoapplication de la RFD conduit agrave
mminusrarra =minusrarrP +
minusrarrT +
minusrarrR (51)
avec minusrarrP =
∣∣∣∣ 0minusmg
minusrarrT =
∣∣∣∣ minuskx0
minusrarrR =
∣∣∣∣ 0R
minusrarra =∣∣∣∣ x
0
Par projection de la RFD sur lrsquoaxe des abscisses on obtient lrsquoeacutequation diffeacuterentielle dumouvement du pendule eacutelastique soit
x +km
x = 0
qui correspond bien agrave lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement drsquoun oscillateur harmo-nique La solution est bien sucircr sinusoiumldale La pulsation et la peacuteriode du mouvement sontdonneacutees par
v =
radickm
rArr T =2p
v= 2p
radicmk
Oscillateurs meacutecaniques 129
Il en reacutesulte qursquoun ressort tregraves raide (k grand) a une peacuteriode drsquooscillation courte Nous no-terons qursquoil est drsquousage drsquoappeler T la peacuteriode propre de lrsquooscillateur et que tregraves freacutequem-ment la peacuteriode propre est noteacutee T0 Cette peacuteriode correspond agrave la peacuteriode drsquooscillationsde lrsquooscillateur libre Cette derniegravere notation est tregraves utile quand un oscillateur meacutecaniqueest entretenu ou exciteacute de faccedilon sinusoiumldale La peacuteriode drsquoexcitation est alors noteacutee T etla peacuteriode propre de lrsquooscillateur T0
32 Pendule eacutelastique vertical
Consideacuterons maintenant le mecircme problegraveme que preacuteceacutedemment mais avec un pendulevertical Le systegraveme eacutetudieacute est la masse le reacutefeacuterentiel galileacuteen R(O x t) et les forces ex-teacuterieures appliqueacutees
minusrarrP et
minusrarrT Agrave lrsquoeacutequilibre le poids compense la tension du ressort (fi-
gure 55) et lrsquoon a minusrarrP +
minusrarrT =
minusrarr0 rArr (mg minus kDl0)minusrarru x =
minusrarr0
x(t)
l0 k
l0+Δl0
O
xPrarr
Trarr
EquilibreA vide Mouvement
uxrarr
Figure 55 bull Scheacutema drsquoune masse accrocheacutee agrave un ressort vertical en eacutequilibrepuis en mouvement
En mouvement le poids ne compense plus la tension Lrsquoorigine O du mouvement est prisesur la position drsquoeacutequilibre du ressort Lrsquoapplication de la RFD conduit agrave
minusrarrP +
minusrarrT = mminusrarra rArr mxminusrarru x = (mg minus k(Dl0 + x))minusrarru x
En utilisant la condition drsquoeacutequilibre du ressort on aboutit agrave lrsquoeacutequation diffeacuterentielle dumouvement du pendule eacutelastique
x +km
x = 0
Le mouvement a les mecircmes caracteacuteristiques que celles de lrsquooscillateur horizontal
33 Pendule simple
Nous consideacuterons un pendule simple constitueacute drsquoune masse m ponctuelle accrocheacutee agrave unfil de longueur l comme lrsquoindique la figure 56
130 Meacutecanique du point
Prarr
uTrarr
l
Figure 56 bull Pendule simple constitueacute drsquoune masse accrocheacutee agrave un fil de longueur l
Lrsquoapplication du theacuteoregraveme du moment cineacutetique dans lequel seul le poids posegravede un mo-ment non nul summinusrarr
MO
(minusrarrF ext
)=
d(minusrarr
OM and minusrarrF ext
)d t
conduit apregraves projection sur lrsquoaxe de rotation agrave
mgl sin u = mldvdt
= ml2u =rArr u +gl
sin u = 0 (52)
Nous rappelons que lrsquoeacutequation 52 est celle drsquoun oscillateur anharmonique car elle nrsquoestpas lineacuteaire
Pour u laquo petit raquo nous avons au premier ordre en u sin u u Cette eacutequation devient li-neacuteaire et srsquoeacutecrit
u +glu = 0
On retrouve une eacutequation diffeacuterentielle identique agrave celles rencontreacutees preacuteceacutedemment cequi montre que le pendule simple est assimilable agrave un oscillateur harmonique dans lalimite des petites oscillations (u lt10)
4 EacuteTUDE EacuteNERGEacuteTIQUE DES OSCILLATEURS
41 Diagrammes drsquoeacutenergieUn oscillateur harmonique ne subit pas de forces de frottement il est donc meacutecanique-ment isoleacute et son eacutenergie meacutecanique se conserve Nous pouvons donc eacutecrire que
E = EC + EP = cste
Il est possible de repreacutesenter graphiquement lrsquoeacutevolution de ces trois eacutenergies enfonction du paramegravetre de mouvement de lrsquooscillateur La figure 57 donne lrsquoeacutener-gie meacutecanique drsquoun pendule eacutelastique et drsquoun pendule simple de faible amplitude(u lt 10 =rArr sin u u cos u 1minus u2
2 )
Oscillateurs meacutecaniques 131
xO
θ
l
m
E mv kx= +1
2
1
2
2 2
222
22
2
1
2
1
cos12
1
θθ
θθ
mglmlE
)mgl(mlE
+
minus+=
Pendule eacutelastique Pendule simple
Figure 57 bull Repreacutesentation drsquoun pendule eacutelastique et drsquoun pendule simpleavec leur eacutenergie meacutecanique associeacutee
Lrsquoeacutevolution des diffeacuterentes eacutenergies drsquoun pendule eacutelastique de constante de raideurk = 02 Nmminus1 est preacutesenteacutee sur la figure 58 On y voit que lrsquoeacutenergie meacutecanique estconstante et que lrsquoeacutenergie cineacutetique eacutevolue de faccedilon compleacutementaire agrave lrsquoeacutenergie poten-tielle celle-ci eacutevoluant de faccedilon parabolique
-006 -004 -002 000 002 004 006 00800
40x10-5
80x10-5
12x10-4
16x10-4
20x10-4
24x10-4
Ep E Ec
Ep
E
Ec
(J)
x (m)
Figure 58 bull Eacutenergie potentielle cineacutetique et meacutecanique drsquoun penduleeacutelastique sans frottements
42 Eacutenergie instantaneacutee
Lrsquoeacutenergie instantaneacutee est lrsquoeacutenergie de lrsquooscillateur agrave lrsquoinstant t Nous faisons agrave titre drsquoappli-cation le calcul dans le cas du pendule eacutelastique Lrsquoeacutenergie instantaneacutee est la somme des
132 Meacutecanique du point
eacutenergies cineacutetiques et potentielles instantaneacutees qui srsquoeacutecrivent
EC(t) = 12 mv2
0x2msin2(v0t + w)
EP(t) = 12 kx2
mcos2(v0t + w)
En introduisant la raideur k du ressort en fonction de la pulsation propre v0 de lrsquooscil-lateur dans lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie cineacutetique et en sommant ces deux eacutenergies nousobtenons lrsquoeacutenergie meacutecanique instantaneacutee de lrsquooscillateur soit
E =12
kx2m
Conformeacutement agrave lrsquohypothegravese nous trouvons bien que lrsquoeacutenergie meacutecanique de lrsquooscillateurest constante et indeacutependante du temps
5 OSCILLATEUR MEacuteCANIQUE AMORTI PAR FROTTEMENTS VISQUEUX
51 Eacutequation diffeacuterentielle du mouvementNous consideacuterons un pendule eacutelastique horizontal subissant une force de frottement vis-queux du type
minusrarrF = minusaminusrarrv Nous eacutetudions le systegraveme masse m dans le reacutefeacuterentiel galileacuteen
R(O x t)
Les forces exteacuterieures appliqueacutees sont le poidsminusrarrP la force de frottement
minusrarrF la tension du
ressortminusrarrT et la reacuteaction du support
minusrarrR (figure 59)
kRrarr
Trarr
Prarr
Frarr
xO
Figure 59 bull Repreacutesentation drsquoun pendule eacutelastique horizontal soumis agrave uneforce de frottement visqueux
Lrsquoapplication de la RFD conduit agrave
minusrarrP +
minusrarrT +
minusrarrR +
minusrarrF = mminusrarra GR
avec minusrarra =
∣∣∣∣ x0
minusrarrT =
∣∣∣∣ minuskx0
minusrarrP =
∣∣∣∣ 0minusmg
minusrarrR =
∣∣∣∣ 0R
minusrarrF =
∣∣∣∣ minusav0
Oscillateurs meacutecaniques 133
En projection sur lrsquoaxe des x il vient
mx = minuskx minus av rArr x +a
mx +
km
x = 0 (53)
Cette eacutequation est une eacutequation diffeacuterentielle lineacuteaire du deuxiegraveme degreacute Les solutionssont exponentielles en effet il srsquoagit de trouver une fonction solution dont la deacuteriveacuteeseconde et premiegravere sont proportionnelles agrave la fonction elle-mecircme Nous consideacuteronsdonc une solution du type
x (t) = Aert
Le report de cette solution dans lrsquoeacutequation diffeacuterentielle conduit agrave
forallt(
r2 +a
mr +
km
)A ert = 0
r2 +a
mr +
km
= 0
car une solution du type A = 0 nrsquoest pas inteacuteressante puisqursquoelle correspond agrave lrsquoimmobiliteacutedu pendule
La derniegravere de ces eacutequations srsquoappelle eacutequation caracteacuteristique de lrsquoeacutequation diffeacuteren-tielle Sa reacutesolution permet de deacuteterminer les solutions de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle dansles diffeacuterents reacutegimes drsquoamortissement Comme il srsquoagit drsquoune eacutequation du second degreacuteil importe de distinguer trois cas qui correspondent agrave la valeur positive nulle ou neacutegativedu discriminant Le discriminant de cette eacutequation srsquoeacutecrit en faisant apparaicirctre la pulsa-tion propre de lrsquooscillateur
D =a2
m2 minus 4km
=a2
m2 minus 4v20
Nous preacutesentons dans le tableau 51 les trois cas qui sont donc agrave distinguer avec les solu-tions correspondantes de lrsquoeacutequation caracteacuteristique et de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle
D lt 0 D = 0 D gt 0
rplusmn = minus a2m plusmn j
radicv2
0 minus a2
4m2 r = minus a2m rplusmn = minus a
2m plusmnradic
a2
4m2 minus v20
x = x+ + xminus
x+ = Aeminusa
2m tejtq
v20minus a2
4m2
xminus = Beminusa
2m teminusjtq
v20minus a2
4m2
x = (At + B)eminusa
2m t
x = x+ + xminus
x+ = Aeminusa
2m tetq
a2
4m2 minusv20
xminus = Beminusa
2m teminustq
a2
4m2 minusv20
Tableau 51 bull Solutions de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement delrsquooscillateur amorti pour un amortissement faible D lt 0
un amortissement critique D = 0 et un amortissement fort D gt 0
Nous eacutetudions tout drsquoabord le cas tregraves freacutequent de lrsquoamortissement faible
134 Meacutecanique du point
52 Eacutetude de lrsquooscillateur agrave frottement faibleNous avons vu que la solution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle srsquoeacutecrit
x (t) = eminusa
2m t(
Aejtq
v20minus a2
4m2 + Beminusjtq
v20minus a2
4m2
)ougrave A et B sont deux constantes complexes deacutependant des conditions initiales
La solution x(t) eacutetant une fonction reacuteelle on peut montrer que le terme entre parenthegravesessrsquoeacutecrit comme une combinaison de cosinus et sinus ce qui conduit agrave
x (t) = Xmaxeminusa
2m t cos (vt + w) = eminusa
2m t (X0 cos vt + Y0 sin vt)
avec
v =
radicv2
0 minusa2
4m2
qui est la pulsation du mouvement et les couples (Xmax w) et (X0 Y0) sont des constantesreacuteelles deacutependant des conditions initiales La position de lrsquooscillateur srsquoexprime donc parun produit de deux termes Le premier terme est une exponentielle deacutecroissante et re-preacutesente lrsquoenveloppe du mouvement de lrsquooscillateur crsquoest-agrave-dire les positions extreacutemalesprises par x (t) lorsque le temps srsquoeacutecoule La deacutecroissance de lrsquoexponentielle est guideacuteepar le rapport a2m qui traduit lrsquoamortissement plus ou moins prononceacute du mouvementLorsque a est nul le mouvement est non amorti et lrsquoon retombe sur la solution de lrsquooscil-lateur harmonique
Le second terme est un cosinus qui traduirait la peacuteriodiciteacute du mouvement srsquoil nrsquoy avaitpas drsquoamortissement Nous notons bien que le mouvement nrsquoest plus peacuteriodique puis-qursquoau bout du temps T lrsquoeacutelongation de lrsquooscillateur ne reprend pas la mecircme valeur doncx(t) = x(t + T) On parle de pseudopeacuteriode et lrsquoon dit que le mouvement est pseudopeacute-riodique La pseudopeacuteriode est donneacutee par
T =2p
v=
2pradicv2
0 minus a2
4m2
=T0radic
1 minus a2
4v20m2
Cette expression montre que la peacuteriode de lrsquooscillateur amorti augmente avec lrsquoamor-tissement Nous pouvons donc affirmer que les frottements ralentissent le mouvementLa figure 510 montre lrsquoeacutevolution de lrsquoeacutelongation x du ressort pour un pendule eacutelastiqueamorti par frottement visqueux
Nous remarquons que les constantes A et B sont deacutetermineacutees par les conditions initialesdu mouvement qui geacuteneacuteralement sont x = Xmax et v = 0 agrave t = 0 ce qui conduit agrave
x (t) = Xmaxeminusa
2m t(
cos vt +a
2mvsin vt
)Dans la pratique il existe deux solutions pour reacutealiser lrsquoamortissement visqueux La pre-miegravere consiste agrave utiliser un pendule eacutelastique horizontal monteacute sur coussin drsquoair et agrave ac-crocher agrave la masse m une palette verticale trempant dans un liquide La seconde consiste agraveamortir le mouvement drsquoun pendule eacutelastique vertical par une force de Lorentz en plon-geant la masse m dans un champ magneacutetique
minusrarrB uniforme On deacutemontre que les courants
induits dans la masse produisent une force de freinage opposeacutee et proportionnelle agrave lavitesse de deacuteplacement de la masse
Oscillateurs meacutecaniques 135
0 2 4 6 8 10-6
-4
-2
0
2
4
6
x(t)=5e-αt2m
(cosω t+(α 2m)sinωt)
x(t
)
t (s)
Figure 510 bull Mouvement drsquoun oscillateur amorti par frottement fluide dansle cas drsquoun amortissement faible Lrsquoamplitude des oscillations deacutecroicirct de faccedilon
exponentielle (traits pointilleacutes)
Encart 51 Deacutecreacutement logarithmique et amortissementLa deacutetermination du coefficient de viscositeacute a peut se faire expeacuterimentalement agrave partirde la courbe x(t) en utilisant le deacutecreacutement logarithmique d Cette quantiteacute est obtenueen consideacuterant le logarithme du rapport des amplitudes des oscillations au bout destemps nT et (n minus 1)T Agrave ces instants nous avons
x (nT) = Xmaxeminusa
2m nT cos (vnT) = Xmaxeminusa
2m nT
et x ((n minus 1) T) = Xmaxeminus
a2m (nminus1)T cos (v (n minus 1) T) = Xmaxeminus
a2m (nminus1)T
Le deacutecreacutement logarithmique qui est le logarithme du rapport des amplitudes estdonneacute par
d = lnx (nT)
x ((n minus 1) T)=
a
2mT
Cette quantiteacute est facilement accessible par lrsquoexpeacuterience et permet de deacuteterminer ra-pidement a Une meacutethode plus preacutecise consiste agrave tracer le logarithme de lrsquoamplitudeln x(nT) en fonction de nT On obtient alors une droite de pente minusa2m
53 Lrsquooscillateur critiqueLe reacutegime de lrsquooscillateur est dit critique lorsque le discriminant de lrsquoeacutequation caracteacuteris-tique est nul Dans ce cas le mouvement de lrsquooscillateur obeacuteit agrave une eacutequation horaire dutype
x = (At + B)eminusa
2m t
136 Meacutecanique du point
Le reacutegime est dit critique car il correspond agrave un amortissement critique pour lequel onbascule du reacutegime pseudopeacuteriodique vers un reacutegime ougrave il nrsquoy a plus drsquooscillations
Les constantes A et B sont deacutetermineacutees par les conditions initiales du mouvement qui sontsupposeacutees ecirctre x = Xmax et v = 0 agrave t = 0 Lrsquointroduction de ces deux conditions conduit agraveune solution du type
x (t) = Xmax
(1 +
a
2mt)
eminusa
2m t
Dans la pratique ce reacutegime est extrecircmement important car lorsqursquoil est atteint lrsquooscil-lateur revient dans sa position drsquoeacutequilibre au bout drsquoun temps minimal Crsquoest ainsi quece reacutegime est mis agrave profit dans les systegravemes drsquoamortisseurs qui ont pour but drsquoempecirccherles oscillations drsquoun oscillateur La figure 511 montre le retour agrave lrsquoeacutequilibre drsquoun ressortamorti en reacutegime critique La peacuteriode propre drsquooscillation est de 314 s et le retour agravelrsquoeacutequilibre est de lrsquoordre de cette valeur
0 2 4 6 8 10
0
1
2
3
4
5
α =08Reacutegime apeacuteriodique
α =04
T0 =314s
Reacutegime critique
m=01kgxmax=5cm
x(t)
(cm
)
t (s)
Figure 511 bull Eacutevolution de lrsquoeacutelongation drsquoun ressort amorti en reacutegimecritique (trait plein) et en reacutegime apeacuteriodique (trait pointilleacute)
54 Reacutegime apeacuteriodiqueLe reacutegime est dit apeacuteriodique lorsque lrsquooscillateur est tellement amorti qursquoil ne peut plusosciller Il correspond agrave a gt 0 La solution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle est de la formesuivante
x (t) = eminusa
2m t(Aeminustq
a2
4m2 minusv20 + Bet
q
a2
4m2 minusv20 )
Le mouvement de lrsquooscillateur nrsquoest plus peacuteriodique et la masse m revient dans sa posi-tion drsquoeacutequilibre au bout drsquoun temps qui en principe tends vers lrsquoinfini Si nous fixons lesconditions initiales pour que x(0) = xmax et v(0) = 0 comme preacuteceacutedemment il vient
A =xmax
2
(1 minus a
2mv
)B =
xmax
2
(1 +
a
2mv
)avec v =
radica2
4m2 minus v20
Oscillateurs meacutecaniques 137
La figure 511 qui illustre la comparaison entre le mouvement critique et le mouvementapeacuteriodique montre bien que lrsquooscillateur retourne plus vite vers sa position drsquoeacutequilibreen reacutegime critique
6 ANALOGIE EacuteLECTRIQUE
Il est parfois commode de rapprocher le problegraveme de lrsquooscillation drsquoun oscillateur meacute-canique tel que le pendule eacutelastique amorti de celui drsquoun circuit eacutelectrique RLC seacuteriealimenteacute en signaux carreacutes (figure 512)
R
L
E C
k
αm
Figure 512 bull Comparaison drsquoun oscillateur meacutecanique et drsquoun oscillateur eacutelectrique
En effet les eacutequations diffeacuterentielles pour le mouvement de la masse m et pour la chargeeacutelectrique q sont formellement analogues puisqursquoelles srsquoeacutecrivent
mx + ax + kx = 0 Lq + Rq +qC
= 0
On peut ainsi constater qursquoil existe une eacutequivalence formelle entre les quantiteacutes suivantes
x rarr q m rarr L a rarr R k rarr 1C
Il est ainsi inteacuteressant de remarquer que la reacutesistance R drsquoun circuit eacutelectrique joue un rocircleanalogue au coefficient de frottement a en meacutecanique
7 OSCILLATEUR AMORTI PAR FROTTEMENT SOLIDE
Consideacuterons un oscillateur harmonique horizontal constitueacute drsquoune masse m et drsquoun res-sort k pour lequel une force de frottement solide est appliqueacutee agrave la masse m commelrsquoindique la figure 513
Lrsquoapplication de la RFD au systegraveme masse m conduit agrave
minusrarrP +
minusrarrT +
minusrarrR +
minusrarrF = mminusrarra GR
138 Meacutecanique du point
k Rrarr
Trarr
PrarrF
rarr xO
+
Figure 513 bull Oscillateur horizontal agrave frottement solide
Nous supposons que lrsquointensiteacute de la force de frottement solide est constante au cours dumouvement de lrsquooscillateur et eacutegale agrave F = mR Par projection de la RFD sur lrsquoaxe desabscisses nous obtenons lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement qui srsquoeacutecrit
mx + kx = acuteF avec acute =
∣∣∣∣∣ 1 si x lt 0
minus1 si x gt 0
Il importe de remarquer que lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement de m change agravechaque fois que m passe par une position drsquoarrecirct ce qui oblige agrave un peu de prudencedans la meacutethode de reacutesolution En effet cela revient agrave reacutesoudre lrsquoeacutequation diffeacuterentiellepar morceaux en respectant la continuiteacute de x(t) entre chaque morceau Nous supposonsque la masse m est agrave la position x = Xm au temps t = 0 et qursquoelle a une vitesse nulle agrave t = 0Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle est du deuxiegraveme ordre agrave second membre constant Nous utilise-rons donc la mecircme meacutethode que pour une eacutequation du premier ordre agrave second membreconstant (voir chapitre 3)
Nous seacuteparons le mouvement en diffeacuterents tronccedilons correspondant au passage de lamasse m par des positions extreacutemales (vitesse nulle) Le premier tronccedilon srsquoeffectue agrave vi-tesse neacutegative ce qui conduit agrave une eacutequation diffeacuterentielle du type
mx + kx = F
La somme de la solution particuliegravere et de la solution de lrsquoeacutequation sans second membreest une solution geacuteneacuterale de cette eacutequation et srsquoeacutecrit
x = A cos(v0t + w) +Fk
A et w sont deacutetermineacutes par les conditions initiales du mouvement qui conduisent agrave
Xmax = A +Fk
et w = 0
Sur le premier tronccedilon nous avons donc
x = (Xmax minusFk
) cos v0t +Fk
Oscillateurs meacutecaniques 139
Sur le second tronccedilon la vitesse est ensuite positive et la masse m quitte sa position dedeacutepart donneacutee par
X1 = minusXmax +2Fk
avec une vitesse nulle Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement sur ce tronccedilon srsquoeacutecrit
mx + kx = minusF
Il faut encore une fois reacutesoudre cette eacutequation diffeacuterentielle sur ce tronccedilon en tenantcompte des nouvelles conditions initiales Il est facile de voir que la solution geacuteneacuteralesrsquoeacutecrit
x = B cos(v0t + f) minus Fk
Agrave t =T2
=p
v0 nous avons v = 0 et x = X1 ce qui permet de deacuteterminer B et f La
solution srsquoeacutecrit alors x = (Xmax minus
3Fk
) cos v0t minus Fk
Il est possible de deacuteterminer lrsquoeacutequation horaire sur chaque tronccedilon en poursuivant ceraisonnement Une forme geacuteneacuterale de la solution peut srsquoeacutecrire
x = (Xmax minus (2p + 1)Fk
) cos v0t + (minus1)p Fk
avec p isin N et pT2
t (p + 1)T2
Nous preacutesentons sur la figure 514 le graphe de x(t) pour un oscillateur amorti par frot-tement solide Nous observons que lrsquoamplitude des oscillations deacutecroicirct lineacuteairement aucours du temps ce que lrsquoon pouvait preacutevoir en observant qursquoagrave chaque fois que le temps tsrsquoaccroicirct drsquoune peacuteriode propre T0 lrsquoamplitude deacutecroicirct de 4Fk
0 10 20 30 40-006
-004
-002
000
002
004
006
k=002Nm-1
m=01kgF=00001N
x(t)
t (s)
Figure 514 bull Eacutevolution de la position drsquoun oscillateur amortipar frottement solide en fonction du temps
140 Meacutecanique du point
Encart 52 Eacutenergie drsquoun oscillateur amorti par frottement solideUne autre faccedilon tregraves eacuteleacutegante de reacutesoudre ce problegraveme est drsquoutiliser lrsquoapproche eacutener-geacutetique Lrsquooscillateur eacutetant amorti lrsquoeacutenergie meacutecanique ne se conserve pas et deacutecroicirctprogressivement au cours du temps La variation drsquoeacutenergie meacutecanique est eacutegale au tra-vail de la force de frottement entre deux positions de lrsquooscillateur Il convient commepreacuteceacutedemment de raisonner sur les tronccedilons agrave vitesse positive ou neacutegative La force defrottement eacutetant constante le travail de cette force varie lineacuteairement avec la positionde lrsquooscillateur Ainsi sur le premier tronccedilon la variation drsquoeacutenergie meacutecanique entre lepoint de deacutepart xmax et un point x quelconque est donneacutee par
E minus E0 = E minus EP0 = F(x minus Xmax)
E = 12 mv2 + 1
2 kx2 = Fx minus FXmax + 12 kX2
max
La position drsquoarrecirct X1 de lrsquooscillateur sur ce tronccedilon est obtenue en exprimant quelrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquooscillateur en X1 est nulle soit
12 kx2
1 = minusFx1 + FXmax + 12 kX2
max12 kx2
1 + Fx1 minus (FXmax + 12 kX2
max) = 0
Il est facile de voir que la position X1 = Xmax est solution de cette eacutequation du seconddegreacute ce qui correspond au point de deacutepart de lrsquooscillateur pour lequel lrsquoeacutenergiecineacutetique est eacutegalement nulle Lrsquoautre solution de cette eacutequation est
X1 = minusXmax +2Fk
Nous pouvons ainsi obtenir analytiquement toutes les positions drsquoarrecirct de lrsquooscilla-teur En outre une solution graphique est eacutegalement possible comme le montre lafigure 515
-006 -004 -002 000 002 004 00600
50x 10-5
10x 10-4
15x 10-4
20x 10-4
25x 10-4
Pente de la droite-F
Pente de la tangentekx
xmE(x)=12kxm
2 -F(xm-x)
Ep
E (
J)
x (m)
Figure 515 bull Deacutetermination graphique des positions extreacutemales atteintes parun oscillateur agrave frottement solide agrave partir des traceacutes de lrsquoeacutenergie meacutecanique et
de lrsquoeacutenergie potentielle
Les positions drsquoarrecirct correspondent aux intersections de la courbe E = f (x) avecEP = g(x) Il est eacutegalement remarquable de constater que la position drsquoarrecirct deacutefinitivede lrsquooscillateur peut ecirctre deacutetermineacutee graphiquement En effet cette position drsquoarrecirct estobtenue lorsque la tension du ressort devient eacutegale agrave la force de frottement solide La
Oscillateurs meacutecaniques 141
tension du ressort est au signe pregraves eacutegale agrave la deacuteriveacutee de lrsquoeacutenergie potentielle eacutelas-tique Graphiquement elle est repreacutesenteacutee en touts points par la pente de la tangenteagrave la courbe EP = f (x) Il y aura donc arrecirct deacutefinitif lorsque la pente de la tangente agrave lacourbe EP = f (x) sera eacutegale agrave la pente des droites E = f (x) F ou minusF
Remarquons enfin pour conclure cette section qursquoil existe deux diffeacuterences notables entrelrsquooscillateur harmonique agrave frottement solide et lrsquooscillateur harmonique agrave frottement vis-queux Pour un frottement solide la peacuteriode drsquooscillation ne deacutepend par de la force defrottement et lrsquoamplitude maximale drsquooscillation (positions drsquoarrecirct) deacutecroicirct lineacuteairement
8 PORTRAIT DE PHASE DrsquoUN OSCILLATEUR
Le mouvement drsquoun oscillateur qursquoil soit amorti ou non est en geacuteneacuteral deacutecrit de faccedilonclassique en repreacutesentant lrsquoeacutevolution de son eacutelongation en fonction du temps Ce traite-ment classique utiliseacute dans les paragraphes preacuteceacutedents est justifieacute par la nature deacutetermi-niste du mouvement de lrsquooscillateur et par le fait que lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouve-ment est lineacuteaire Nous rappelons agrave ce titre que lrsquoeacutequation est lineacuteaire car si x(t) est solutionde cette eacutequation il en va de mecircme pour ax(t) avec a isin R
Le mouvement des oscillateurs que nous avons eacutetudieacutes preacuteceacutedemment est reacutegi (sauf dansle cas du frottement solide) par lrsquoeacutequation diffeacuterentielle suivante
x +2a
mx + v2
0x = 0 (54)
Lrsquooscillateur est amorti si a gt 0 et entretenu si a lt 0 Ce dernier cas nrsquoest pas freacutequent enmeacutecanique car les frottements fluides imposent a gt 0 Toutefois il est possible de reacutealiserdes oscillations entretenues avec des dispositifs eacutelectroniques
Lrsquoeacutequation (54) peut se reacutecrire
d(
m x2
2 + m v20x2
2
)d x
= minus2ax
Lrsquoeacutequation ci-dessus nrsquoest rien drsquoautre que la traduction eacutenergeacutetique de lrsquoeacutequation dif-feacuterentielle du mouvement En particulier nous voyons que dans le cas drsquoun oscillateurharmonique pour lequel a = 0 la quantiteacute
mx2
2+ m
v20x2
2= E
se conserve
Nous voyons ainsi apparaicirctre que si lrsquoon porte sur un graphe la position de lrsquooscillateur enabscisse et en ordonneacutee sa vitesse nous obtenons une ellipse qui deacutefinit ce que lrsquoon appellela trajectoire de phase de lrsquooscillateur Le portrait de phase de lrsquooscillateur repreacutesentelrsquoensemble des trajectoires de phase reacutealiseacutees par le mecircme oscillateur agrave partir de toutes lesconditions initiales reacutealisables1 Lrsquoeacutequation ci-dessus est en effet de la forme
x2
a2 +x2
b2 = 1 agrave condition de poser a =
radic2E
mv20
et b =
radic2Em
1 Agrave lire Le portrait de phase des oscillateurs par H Gieacute et JP Sarmant BUP 1992 n744 719-755 et Delrsquooscillateur harmonique agrave Van der Pol par L Sartre BUP 1998 n804
142 Meacutecanique du point
Pour un oscillateur harmonique la trajectoire de phase est donc une ellipse2 (figure 516)Lrsquoellipse se reacutepegravete indeacutefiniment dans le temps ce qui est une signature de la conservationde lrsquoeacutenergie de lrsquooscillateur Nous remarquons de plus qursquoelle peut ecirctre parcourue dans unsens ou dans un autre ce qui montre que le mouvement est invariant par renversementdu temps Pour un oscillateur harmonique donneacute il est clair que le portrait de phase nedeacutepend que de lrsquoeacutenergie meacutecanique E de lrsquooscillateur
-1 0 1
-3
-2
-1
0
1
2
3
v(t)
x(t)0 1 2 3 4 5 6
-10
-05
00
05
10
x(t)
t (s)
Figure 516 bull Repreacutesentation de lrsquoeacutelongation de lrsquooscillateur harmonique enfonction du temps (agrave gauche) et du portrait de phase (agrave droite)
Pour un oscillateur amorti lrsquoeacutenergie ne se conserve plus et diminue au cours du tempsLrsquoamplitude des oscillations deacutecroicirct exponentiellement au cours du temps ainsi que lavitesse La trajectoire de phase est alors caracteacuteriseacutee par une spirale logarithmique dontle centre (x = 0 v = 0) porte le nom drsquoattracteur (figure 517)
-3
-2
-1
0
1
2
v(t)
x(t)0 1 2 3 4 5 6
x(t)
t (s)
10
05
00
-05
-10 -05 00 05 10 15
Figure 517 bull Repreacutesentation de lrsquoeacutelongation de lrsquooscillateur amorti enfonction du temps (agrave gauche) et du portrait de phase (agrave droite)
Il nrsquoest pas indiffeacuterent de parcourir la spirale dans un sens ou dans lrsquoautre ce qui montrebien que le mouvement nrsquoest plus invariant par renversement du temps Il est clair en effetque le frottement engendre ineacuteluctablement lrsquoirreacuteversibiliteacute du mouvement
2 Il arrive souvent que lrsquoon utilise comme coordonneacutees de lrsquoespace des phases x et vv Dans ce cas lrsquoellipse setransforme en cercle
Oscillateurs meacutecaniques 143
Agrave RETENIR
Deacutefinitions
On appelle oscillateur harmonique tout systegraveme dont le paramegravetre ou degreacute de liberteacutex(t) peut se mettre sous la forme
x(t) = xmax cos(vt + w)
Si un oscillateur est harmonique alors
x + v2x = 0 =rArr
⎧⎨⎩x(t) = xmax cos(vt + w)
x(t) = A cos vt + B sin vt
x(t) = xmaxej(vt+w)
Lrsquoeacutenergie meacutecanique drsquoun oscillateur harmonique se conserve
E = EC + EP = cste
Oscillateur meacutecanique agrave frottement visqueux
Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle
x +a
mx +
km
x = 0
preacutesente une solution du type
x (t) = Aert
ce qui conduit agrave lrsquoeacutequation caracteacuteristique suivante
r2 +a
mr +
km
= 0
Selon la valeur du discrimant D = a2
m2 minus 4 km = a2
m2 minus 4v20 de lrsquoeacutequation caracteacuteristique
trois reacutegimes sont agrave distinguer
D lt 0 D = 0 D gt 0
Reacutegime pseudopeacuteriodique Reacutegime critique Reacutegime apeacuteriodique
x = x+ + xminus
x+ = Aeminusa
2m tejtq
v20minus a2
4m2
xminus = Beminusa
2m teminusjtq
v20minus a2
4m2
x = (At + B)eminusa
2m t
x = x+ + xminus
x+ = Aeminusa
2m tetq
a2
4m2 minusv20
xminus = Beminusa
2m teminustq
a2
4m2 minusv20
Oscillateur meacutecanique agrave frottement solide
Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle est valable par morceaux et srsquoeacutecrit
mx + kx = acuteF avec acute =∣∣∣∣ 1 si x lt 0minus1 si x gt 0
Les solutions sont agrave deacuteterminer par morceaux
144 Meacutecanique du point
Trajectoire de phase drsquoun oscillateur
On appelle trajectoire de phase drsquoun oscillateur le graphe de sa vitesse en fonction desa position
EXERCICES DrsquoAPPLICATION AVEC SOLUTION DEacuteTAILLEacuteE
Oscillateur
Une masse m consideacutereacutee comme ponctuelle repose sur un plan inclineacute drsquoun angle upar rapport agrave lrsquohorizontale Elle est accrocheacutee agrave lrsquoextreacutemiteacute drsquoun ressort de raideur kde longueur agrave vide lo lrsquoautre extreacutemiteacute eacutetant fixe par rapport au plan
Donneacutees numeacuteriques m = 01 kg u = 30 g = 10 msminus2 k = 10 Nmminus1
On repegravere la position de la masse par rapport agrave sa position O drsquoeacutequilibre (voir figures)
Fig b) Position deacutequilibre O origine du repegravere pour m
le = lo + Dl1
Fig a) Ressort agrave vide (ni allongeacute ni comprimeacute)
Fig c) Position x(t) agrave linstant t quelconque
le
x
O
y
m
u
lo
x
O
y
u u x
O
y
m
Figure 518
I La masse m est en eacutequilibre (fig b)
1) On suppose qursquoil nrsquoy a pas de frottement solide entre le plan et la masse m Fairelrsquoeacutetude du systegraveme et en deacuteduire lrsquoexpression de lrsquoallongement Dl1 du ressort Calculercet allongement
2) En reacutealiteacute la mesure expeacuterimentale Dl2 de lrsquoallongement du ressort correspond agravela moitieacute de la valeur Dl1 calculeacutee preacuteceacutedemment Pour expliquer la diffeacuterence il fautintroduire une force reacutesultante f de frottement solide entre la masse et le support
a) Pourquoi nrsquointroduit-on pas de forces de frottement de type fluide b) Reprendre lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre de la masse et en deacuteduire lrsquoexpression de la
force de frottement f Calculer f
II La masse m est en mouvement (fig c)
Dans tout ce qui suit on neacuteglige de nouveau les forces de frottement solide
On tire sur la masse de Xo = +5 cm et on la lacircche agrave lrsquoinstant t = 0 sans vitesse initiale
Eacutetude du systegraveme (on neacuteglige aussi les forces de frottement visqueux avec lrsquoair)
Oscillateurs meacutecaniques 145
a) En appliquant le principe fondamental de la dynamique et en utilisant la condi-tion drsquoeacutequilibre montrer que x(t) veacuterifie lrsquoeacutequation diffeacuterentielle de lrsquooscillateurharmonique
x + v2o x = 0
Donner lrsquoexpression de la pulsation propre vo et de la peacuteriode propre To Cal-culer vo et To
b) En tenant compte des conditions initiales donner la solution x(t) et son expres-sion numeacuterique
III Approche eacutenergeacutetique
a) Donner lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur Epp agrave un instant t quel-conque la masse se trouvant agrave lrsquoabscisse x On prendra Epp(O) = 0
b) Donner lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie potentielle eacutelastique Epe agrave un instant t quelconquela masse se trouvant agrave lrsquoabscisse x On prendra Epe(O) = 0
c) Donner lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie meacutecanique Em du systegraveme agrave un instant t quel-conque la masse se trouvant agrave lrsquoabscisse x avec la vitesse x
d) Le systegraveme est-il conservatif Que peut-on dire alors de Em que vautd Em
d t
e) Agrave partir de lrsquoexpression de Em obtenue preacuteceacutedemment au (IIIc) exprimerd Em
d tet
retrouver lrsquoeacutequation diffeacuterentielle obtenue preacuteceacutedemment (IIa)
SolutionDonneacutees numeacuteriques m = 01 kg u = 30 g = 10 msminus2 k = 10 Nmminus1
Fig a) Ressort agrave vide (ni allongeacute ni comprimeacute)
u
lo
x
O
y
P
eTrarr
NRrarr
rarr
rarr
rarr
rarr
Fig b) Position deacutequilibre O origine du repegravere pour m
le = lo + D l1
u
le
x
O
y
m
Fig c) Position x(t) agrave linstant t quelconque
u x
O
y
m
P
T
NR
Figure 519
I La masse m est en eacutequilibre (fig b)
1) Systegraveme la masse m Reacutefeacuterentiel terrestre consideacutereacute galileacuteen
Forces poidsminusrarrP = mminusrarrg reacuteaction normale du support
minusrarrR N pas de frottement et la
tension du ressortminusrarrT Condition drsquoeacutequilibre
minusrarrP +
minusrarrT +
minusrarrR N =
minusrarr0
Repegravere (O x y) minusrarrP = mminusrarrg = mg sin uminusrarru x minus mg cos uminusrarru y
minusrarrR N = RN
minusrarru y minusrarrT = minuskDl1minusrarru x
146 Meacutecanique du point
Projection sur Ox
mg sin u minus kDl1 = 0 rArr Dl1 =mg sin u
k=
01101210
= 005 m = 5 cm
2) Dl2 = Dl12
a) Pour un eacutequilibre la vitesse est nulle Les forces de frottement fluide nrsquointer-viennent que si le systegraveme est en mouvement Il ne peut donc y avoir que desforces de frottement solide La masse aurait tendance agrave descendre donc la forcef est opposeacutee agrave minusrarru x
b) Il faut donc ajouterminusrarrf = minusfminusrarru x et
minusrarrT = minuskDl2minusrarru x = minusk
Dl12
minusrarru x = minus12
mg sin uminusrarru x
Suivant Ox mg sin u minus 1
2kDl1 minus f = 0 rArr f = mg sin u minus 1
2mg sin u =
12
mg sin u
=011012
2=
14
= 025 N
c) Projection sur Oy RN minus mg cos u = 0 rArr RN = mg cos u = cos 30 =
radic32 = 0866 N
d) tan f =f
RN=
0250866
= 02887 rArr f = 16
m fT 1
f = T
NR
R
P
Angle f
rarr
rarr
rarr rarr
rarr
u
Figure 520
II La masse m est en mouvement (fig c)
On tire sur la masse de x = Xo = 5 cm et on la lacircche agrave lrsquoinstant t = 0 sans vitesseinitiale
1) Comme I1 avec minusrarrP +
minusrarrT +
minusrarrR N = mminusrarra
a) En projetant sur Ox
mg sin u minus k(Dl1 + x) = mx0 rArr x +km
x = 0
rArr v2o =
km
=1001
= 100 rArr vo = 10 radsminus1
To =2p
vo= 2p
radicmk
= 0628 s
Oscillateurs meacutecaniques 147
b) x = Xm cos(vot + w) et x = minusvoXm sin(vot + w)Avec
x(0) = Xo = Xm cos w et x(0) = minusvoXm sin w = 0
on obtient x = Xo cos vot = 5 cos 10t (x exprimeacute en cm)
2) Approche eacutenergeacutetique
a) EPP = minusmgx sin u
b) EPe =12
k(Dl1 + x)2
c) Em =12
mx2 minus mgx sin u +12
k(Dl1 + x)2
d) Pas de frottement donc le systegraveme est conservatif Em = constante soitd Em
d t=0
e)d Em
d t=
12
2mxx minus mgx sin u +12
2k(Dl1 + x)x = 0 rArr mx + kx = 0
(mecircme reacutesultat qursquoau 21)
3) Mouvement avec frottement visqueux
a) Il faut ajouter minusrarrf v = minusaminusrarrv = minusaxminusrarru x On obtient alors
mg sin u minus k(Dl1 + x) minus ax = mx0 rArr x +a
mx + v2
o x = 0
rArr v2o =
km
=1001
= 100
rArr vo = 10x + 12x + 100x = 0
b) D = (12)2 minus 400 = minus256 = j2162 rArrradic
D = plusmnj16 rArr r = minus6 plusmn 8j
x(t) = exp(minus6t)[A cos 8t + B sin 8t] reacutegime pseudo peacuteriodique avec v = 8 radsminus1
(pseudo pulsation) et la pseudo peacuteriode T =2p
v=
6288
= 0785 gt To = 0628 s
x(t) = minus6 exp(minus6t)[A cos 8t + B sin 8t] + exp(minus6t)[minus8A sin 8t + 8B cos 8t)x(0) = minus6A + 8B = 0 rArr 3A = 4B et x(0) = A = Xo = 5
x(t) = 5 exp(minus6t)[cos 8t + 075 sin 8t)
Oscillateurs
I Un ressort de raideur k et longueur agrave vide lo pouvant travailler en compression estposeacute verticalement sur le sol Un plateau de masse neacutegligeable est fixeacute agrave lrsquoextreacutemiteacute librede ce ressort (Fig a)
On pose sur le plateau une masse m (consideacutereacutee ponctuelle) Agrave lrsquoeacutequilibre le ressortest comprimeacute drsquoune quantiteacute Xe = Dle (Fig b)
148 Meacutecanique du point
Par la suite (Fig c et d) on repegravere la position de la masse m par son abscisse x sur unaxe Ox vertical dirigeacute vers le haut lrsquoorigine O correspondant agrave la position drsquoeacutequilibredu plateau
x x x x
t t
t
x
x
OO
x
lo
xo
xo
X
Fig a) Fig b) Fig c) Fig d)
e= lD e
xurarr
Figure 521
Donneacutees numeacuteriques k = 10 Nmminus1 m = 01 kg g = 10 msminus2
I1 Eacutetudier le systegraveme (masse+plateau) agrave lrsquoeacutequilibre En deacuteduire lrsquoexpression de lacompression Xe = Dle Faire lrsquoapplication numeacuterique
I2 On comprime le ressort jusqursquoagrave lrsquoabscisse xo et agrave t = 0 on lacircche le plateau sansvitesse initiale x(0) = xo et v(0) = 0 (Fig c) On suppose que la masse reste sur leplateau
a) Exprimer la tensionminusrarrT du ressort agrave lrsquoinstant t (Fig d)
b) Faire lrsquoeacutetude du systegraveme agrave lrsquoinstant t (Fig d) et montrer que lrsquoeacutequation diffeacuterentielledu mouvement peut srsquoeacutecrire x + v2x = 0 comment se nomme ce type drsquooscillateur
c) Donner lrsquoexpression de v et calculer sa valeur
d) Donner lrsquoexpression geacuteneacuterale x(t) de la solution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle
e) En tenant compte des conditions initiales montrer que x(t) = xo cos vt
I3 On fixe la valeur de xo telle que xo = minus2Xe
a) Exprimer lrsquoabscisse x(t) et lrsquoacceacuteleacuteration x(t)b) En consideacuterant comme systegraveme uniquement la masse m poseacutee sur le plateau faire unbilan des forces En deacuteduire en appliquant le principe fondamental de la dynamiquelrsquoexpression de la reacuteaction R du plateau sur la masse en fonction de lrsquoacceacuteleacuteration xpuis en fonction du temps t
c) Cette reacuteaction peut-elle srsquoannuler Si oui quand Que peut-il arriver ensuite pourla masse m
II Question de cours
On considegravere un oscillateur constitueacute drsquoune masse m accrocheacutee agrave lrsquoextreacutemiteacute drsquoun res-sort de raideur k La masse peut osciller suivant un axe Ox le point O correspondant agravela position drsquoeacutequilibre du systegraveme et on repegravere la masse par son abscisse x
Agrave lrsquoinstant t = 0on eacutecarte la masse de sa position drsquoeacutequilibre (x(t = 0) = xo) et on lalacircche sans vitesse initiale (v(t = 0) = 0) On eacutetudie alors lrsquoabscisse x de la masse enfonction du temps
Oscillateurs meacutecaniques 149
On constate que la fonction x(t) est de la forme
x(t) = eminuslt(X1 cos vt + X2 sin vt)
II1 Agrave quel type drsquooscillateur correspond ce systegraveme Lrsquooscillateur est-il harmonique Le reacutegime est-il apeacuteriodique critique ou pseudopeacuteriodique
II2 Que repreacutesentent les grandeurs v et T =2p
v(nom et uniteacute)
II3 Deacuteterminer lrsquoexpression des constantes X1 et X2 en utilisant les conditions ini-tiales
SolutionI x x x x
lo
Ressort agrave vide
Ressort agrave lrsquoeacutequilibre
t = 0 Ressort comprimeacute x(t = 0) = xo lt 0
Instant t
O
x
xo
Xe= D le
x
Fig a) Fig c) Fig b) Fig d)
xu
Vecteur unitaire
O
eT
P
T
P
rarr
rarr rarr
rarr rarr
Figure 522
I1 Systegraveme (masse+plateau) agrave lrsquoeacutequilibre Reacutefeacuterentiel terrestre galileacuteen
Forces le poidsminusrarrP = mminusrarrg = minusmgminusrarru x et la tension du ressort
minusrarrT e = kDleminusrarru x = kXe
minusrarru x
Agrave lrsquoeacutequilibre minusrarrP +
minusrarrT e =
minusrarr0 rArr minusmgminusrarru x + kXe
minusrarru x = 0 rArr Xe =mgk
= 01 m = 10 cm
I2 a)minusrarrT = k(Dle minus x)minusrarru x = (kXe minus kx)minusrarru x = minusmgminusrarru x minus kxminusrarru x
b) Principe fondamental de la dynamique (projeter selon Ox)
minusrarrP +
minusrarrT = mminusrarra rArr minusmg + kXe minus kx = mx rArr x + v2x = 0avecv2 =
km
Ce type drsquooscillateur crsquoest un oscillateur harmonique
c) v2 = km rArr v =
radickm = 10 radsminus1
d) x(t) = Xm cos(vt + w)
e) x(0) = xo rArr xo = Xm cos w et x(t) = minusvXm sin(vt + w) rArr x(0) = 0 = minusvXm sin w
On en deacuteduit donc comme solution w = 0 Xm = xo soit x(t) = xo cos vt
I3 a) x(t) = xo cos vt = minus2Xe cos vt x = +2Xev sin vt et donc
x(t) = minusv2xo cos vt = minusv2x(t) = +2Xev2 cos vt
150 Meacutecanique du point
b) Systegraveme uniquement la masse m poseacutee sur le plateau reacutefeacuterentiel terrestre galileacuteen
Bilan des forces exteacuterieures le poidsminusrarrP = mminusrarrg = minusmgminusrarru x et la reacuteaction du plateau
minusrarrR = Rminusrarru x
Principe fondamental de la dynamique minusrarrP +
minusrarrR = mminusrarra rArr minusmg + R = mx
En remplaccedilant lrsquoacceacuteleacuteration par son expression R = m(x + g) = m(g + 2v2Xe cos vt)
c) R = m(x + g) = m(g + 2v2Xe cos vt) = 0 rArr minusg = 2v2Xe cos vt
g = minus2v2Xe cos vt rArr cos vt =minusg
2v2Xe=
minus10210001
= minus12rArr vt =
2p
3
Agrave lrsquoinstant t =2p
3v=
2p
30= 021 s la reacuteaction srsquoannule
La masse peut alors deacutecoller du plateau
II Question de cours
x(t) = eminuslt(X1 cos vt + X2 sin vt)II1 Oscillateur faiblement amorti Lrsquooscillateur nrsquoest pas harmonique Le reacutegime estpseudopeacuteriodique
II2 Pseudopulsation v en rads-1 et la pseudo-peacuteriode T =2p
ven seconde
II3 x(t) = eminuslt(X1 cos vt + X2 sin vt) rArr x(0) = xo = X1
rArr x(t) = eminuslt[minuslX1 cos vt minus vX1 sin vt minus lX2 sin vt + vX2 cos vt]
x(0) = minuslX1 + vX2 = 0 rArr X2 =l
vX1 =
l
vxo
On a donc
x(t) = xoeminuslt(cos vt +l
vsin vt)
Tunnel traversant la Terre
Pr
C
R
Frarr
Figure 523
Le poids drsquoun corps correspond en premiegravere approxima-tion agrave lrsquoattraction gravitationnelle qursquoexerce la Terre surce corps
Dans le cas ougrave la Terre est supposeacute spheacuterique et homo-gegravene on peut montrer que pour tout point P agrave lrsquointeacuterieurde la Terre (voir figure) de masse m situeacute agrave la distanceCP = r du centre C de la Terre lrsquoattraction terrestre estune force agissant sur ce point dirigeacutee vers le centre dela Terre et de mesure
minusrarrF = minusmg
rRminusrarru avec r R et minusrarru
vecteur unitaire de C vers P
Oscillateurs meacutecaniques 151
Dans cette relation g est le champ de gravitation agrave la surface de la Terre et R est lerayon de la Terre
1) En consideacuterant pour le point P un petit deacuteplacement eacuteleacutementaire dminusrarrl = d rminusrarru
exprimer le travail eacuteleacutementaire dW de la forceminusrarrF Montrer que ce travail eacuteleacutementaire
dW peut srsquoeacutecrire comme lrsquoopposeacute de la diffeacuterentielle drsquoune fonction de r et appeleacuteeeacutenergie potentielle EP(r) dW = minusd EP Donner lrsquoexpression de EP en fonction de mg r et R On choisira lrsquoeacutenergie potentielle nulle au centre C
R d
C
P
r
xH
Srsquo S
Figure 524
2) On considegravere un tunnel rectiligne traver-sant la Terre Une masse ponctuelle m peut srsquoydeacuteplacer sans frottement La distance du tun-nel au centre C de la Terre est CH = d Onabandonne sans vitesse initiale la masse m agravelrsquoentreacutee S du tunnel On repegravere alors la posi-tion du point P par lrsquoabscisse HP = x
a) Donner lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie potentielleEP en fonction de la position x dans le tun-nel En deacuteduire lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie meacute-canique E de la masse m
b) Exprimer la deacuteriveacutee par rapport au temps de lrsquoeacutenergie meacutecanique d Ed t
Que peut-
on dire de la valeur de cette deacuteriveacutee En deacuteduire lrsquoeacutequation diffeacuterentielle en x dumouvement
c) Quelle est la nature du mouvement de m Donner la forme de la solution x(t)d) Calculer la vitesse maximale de m en H
AN d = 5106 m R = 64106 m g = 10 msminus2
Solution1) Le travail eacuteleacutementaire dW pour un petit deacuteplacement eacuteleacutementaire d
minusrarrl = d rminusrarru
est dW =minusrarrFminusrarrdminusrarrl = minusmg
rRminusrarru minusrarru d r
dW = minusmgrR
d r = minusd(
12
mgr2
R
)= minusd EP
Avec lrsquoeacutenergie potentielle nulle au centre C on a
EP(r) =12
mgr2
R
2) a) On a r2 = d2 + x2 rArr EP =12
mgd2 + x2
R
Lrsquoeacutenergie meacutecanique E = Ec + Ep =12
mv2 +12
mgd2 + x2
R
b)d Ed t
=12
2mvd vd t
+12
2mgxR
d xd t
= mvx + mgR
xv = mv(
x +gR
x)
152 Meacutecanique du point
R d
C
P
r
xH
Srsquo S
Figure 525
Le systegraveme est conservatif (par de frottement)donc lrsquoeacutenergie meacutecanique se conserve et doncla deacuteriveacutee par rapport au temps est nulle Onen deacuteduit sachant que la vitesse v ne peut pasecirctre identiquement nulle
mv(
x +gR
x)
= 0 rArr x +gR
x = 0
Crsquoest lrsquoeacutequation diffeacuterentielle drsquoun oscillateurharmonique
c) Mouvement sinusoiumldal x(t) = XM cos(vt+w)
XM et w deacutependant des conditions initiales et v =radic
gR
Pour t = 0 x(0) = HS =radic
R2 minus d2 = XM cos w et x(0) = 0 = minusvXM sin w
On en deacuteduit radic
R2 minus d2 = XM avec w = 0 soit x(t) =radic
R2 minus d2 cos vt avec v =radic
gR
La peacuteriode T T = 2p1v
= 2p
radicRg
(indeacutependant de la distance d) Cette peacuteriode
appeleacutee peacuteriode de Schuler correspond agrave la peacuteriode drsquoun pendule simple dont la lon-gueur est eacutegale au rayon de la Terre l = R (T asymp 84 minutes)
d) Vitesse maximale
v = minusvradic
R2 minus d2 sin vt donc vmax = vradic
R2 minus d2 =radic
gR
(R2 minus d2)
vmax =radic
gR
(R2 minus d2) =radic
1064106 (642 minus 52)1012 = 5106 msminus1 = 5 000 kmsminus1
EXERCICES CORRIGEacuteS
1 1) On met en parallegravele deux ressorts de mecircme longueur de constante de raideurk1 et k2 et de masses neacutegligeables On exerce sur lrsquoensemble une force de tension Tqui se communique agrave chacun des ressorts et allonge lrsquoensemble de Dl Deacuteterminer laconstante de raideur eacutequivalente agrave celle de ces deux ressorts En deacuteduire la peacuteriodepropre des oscillations drsquoune masse m accrocheacutee agrave ces deux ressorts (on considegravere queles deux ressorts sont verticaux)
2) Mecircmes questions si les deux ressorts sont maintenant placeacutes bout agrave bout
2 Un corps ponctuel de masse m est assujetti agrave glisser sans frottement sous lrsquoaction deson poids sur un guide circulaire de rayon a Deacuteterminer la peacuteriode To de ses petitsmouvements autour de sa position drsquoeacutequilibre
Oscillateurs meacutecaniques 153
3 Une sphegravere de rayon r et de masse m est suspendue agrave un ressort de raideur k et delongueur agrave vide lo Elle est plongeacutee dans un liquide de coefficient de viscositeacute h etsoumise alors agrave une force de frottement fluide donneacutee par la formule de Stokes
minusrarrF = minus6phrminusrarrv
ougrave minusrarrv est la vitesse Dans lrsquoair ougrave les frottements fluides sont neacutegligeables sur lasphegravere la peacuteriode des oscillations est To Deacuteterminer le coefficient de viscositeacute h enfonction de m r To et de la pseudo-peacuteriode T des oscillations dans le fluide
4 Un ressort de raideur k et de longueur agrave vide l0 prend une longueur L quand on luiaccroche un point mateacuteriel M de poids mg
1) Exprimer la pulsation q des oscillations verticales de M
2) Exprimer la pulsation p des petites oscillations drsquoun pendule de longueur L
3) On considegravere les oscillations de M dans le plan vertical (xOy) avec Oy verticaleascendante au voisinage de la position drsquoeacutequilibre O Eacutetablir les eacutequations diffeacuteren-tielles du mouvement de M en supposant x et y comme des infiniment petits du 1ier
ordre
4) Inteacutegrer ces eacutequations Quelle condition doivent veacuterifier p et q pour que le vecteurminusrarrOM soit une fonction peacuteriodique Eacutetudier le cas pq = 12 v(t = 0) = 0 x(t = 0) = aet y(t = 0) = b
Solutions1 1) Nous consideacuterons le systegraveme constitueacute des deux ressorts Si lrsquoon exerce une force de tension
minusrarrT sur les deux ressorts ils srsquoallongent de Dl On en conclut que si minusrarru x est un vecteur unitairedans la direction verticale de lrsquoallongement alors
minusrarrT = minus(k1 + k2)Dlminusrarru x
La constante de raideur de ces deux ressorts est donc k1 + k2 Si lrsquoon attache une masse m auxdeux ressorts cette masse sera soumise agrave
bull son poidsminusrarrP
bull la tensionminusrarrT
Agrave lrsquoeacutequilibre le poidsminusrarrP compense la tension
minusrarrT et lrsquoallongement des deux ressorts veacuterifie
mgminusrarru x minus (k1 + k2)Dl0minusrarru x =minusrarr0
On en deacuteduit que le ressort eacutequivalent agrave ces deux ressorts placeacutes en parallegravele a une raideur kveacuterifiant k = k1 + k2
Pour une position hors eacutequilibre quelconque de la masse m et en prenant comme origine delrsquoaxe des x la position drsquoeacutequilibre de la masse m le principe fondamental de la dynamiqueappliqueacute agrave la masse m conduit agrave
mgminusrarru x minus (k1 + k2) (Dl0 + x)minusrarru x = mxminusrarru x
qui compte tenu de la condition drsquoeacutequilibre entraicircne [mx + (k1 + k2)x]minusrarru x =minusrarr0 Le vecteurminusrarru x eacutetant un vecteur unitaire cette eacutequation devient [mx + (k1 + k2)x] = 0 ce qui est lrsquoeacutequation
diffeacuterentielle drsquoun oscillateur harmonique de peacuteriode propre T T = 2pq
mk1+k2
2) Dans ce cas la tension des deux ressorts est la mecircme mais leur allongement Dl est diffeacuterentNous avons donc minusrarr
T 1 = minusk1Dl1minusrarru x etminusrarrT 2 = minusk2Dl2minusrarru x
154 Meacutecanique du point
Agrave lrsquoeacutequilibre sous lrsquoaction de la masse m nous avons mgminusrarru x minus k2Dl20
minusrarru x = mgminusrarri minus k1Dl10
minusrarru x =minusrarr0
Nous deacuteduisons que lrsquoallongement total pris par les deux ressorts mis bout agrave bout est
Dl20 + Dl10 = mgldquo
1k1
+ 1k2
rdquo
Un ressort unique eacutequivalent agrave ces deux ressorts srsquoallongerait de Dl0 = mgk ce qui permet
drsquoaffirmer que lrsquoon peut remplacer les deux ressorts par un ressort de raideur k veacuterifiant 1k = 1
k1+ 1
k2 La peacuteriode drsquooscillation de la masse est donc T = 2p
q
m(k1+k2)k1k2
2 Lrsquoeacutenergie meacutecanique de la masse m se conserve Crsquoest la somme de lrsquoeacutenergie cineacutetique et delrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur soit E = 1
2 mv2 + mgz = 12 ma2u2 + mga(1 minus cosu) car pour
un guide circulaire v = au La deacuteriveacutee par rapport au temps de lrsquoeacutenergie est nulle puisqueE est constante soit d E
d t = 0 =rArr ma2uu + mga sin uu = 0 ce qui pour u petit conduit agravema2u + mgau = 0
Cette eacutequation diffeacuterentielle est celle drsquoun oscillateur harmonique de pulsation propre
v0 =q
ga La peacuteriode propre des petites oscillations est donc T0 = 2p
q
ag
3 Dans lrsquoair la peacuteriode des oscillations est donneacutee par T0 = 2pv0
= 2pp m
k
Dans le fluide on considegravere la masse m dans le reacutefeacuterentiel galileacuteen R du laboratoire elle estsoumise aux trois forces suivantes
bull minusrarrP son poids appliqueacute en G
bull minusrarrT tension du ressort appliqueacutee au point de contact
bull minusrarrF localiseacutee sur toute la surface de la bille
Le principe fondamental de la dynamique appliqueacute au systegraveme bille conduit agrave minusrarrP +
minusrarrT +
minusrarrF = mminusrarra GR
Si lrsquoon appelle z lrsquoaxe vertical descendant du reacutefeacuterentiel R nous avons
mg minus k(z + Dl0) minus 6prhz = mz
ce qui compte tenu des conditions drsquoeacutequilibre (mg = kDl0) conduit agrave lrsquoeacutequation diffeacuterentielle
mz + 6prhz + kz = 0
Cette eacutequation admet une solution sinusoiumldale amortie si le frottement fluide est faible Dansce cas la pseudopulsation est donneacutee par
v =
s
v2o minus
bdquo
3prhm
laquo2
= vo
s
1 minusbdquo
3prhvom
laquo2
=rArr 1 minusbdquo
v
vo
laquo2
=
bdquo
3prhvom
laquo2
s
1 minusbdquo
To
T
laquo2
=3prhvom
La vsicositeacute du fluide est donc donneacutee par
h =vom3pr
s
1 minusbdquo
To
T
laquo2
=2m
3rTo
s
1 minusbdquo
To
T
laquo2
h =2m3r
r
1T2
ominus 1
T2
CHAPITRE 6
OSCILLATIONS FORCEacuteES REacuteSONANCE
Preacute-requis bull Il importe avant drsquoaborder ce chapitre de bien connaicirctre les reacutesultats duchapitre preacuteceacutedent La notation complexe est ici primordiale
Objectif I Comprendre qursquoun oscillateur peut en eacutetant exciteacute et sous certainesconditions drsquoamortissement entrer en reacutesonance
I Assimiler la notion de reacutesonance en meacutecanique en faisant la diffeacuterenceentre lrsquoeacutevolution de lrsquoamplitude et celle de la vitesse en fonction de lafreacutequence
I Comprendre le bilan eacutenergeacutetique drsquoun oscillateur forceacute
Lrsquoamortissement des oscillations est un pheacutenomegravene ineacuteluctable auquel il convient par-fois de remeacutedier En effet il importe parfois drsquoentretenir les oscillations drsquoun oscillateurcomme par exemple celles drsquoune horloge agrave balancier ou tout simplement celles drsquoune ba-lanccediloire Lorsque le mouvement drsquooscillation est entretenu peacuteriodiquement on dit queles oscillations sont forceacutees par opposition au cas ougrave elles sont non entretenues ougrave ellessont qualifieacutees de libres
1 OSCILLATIONS FORCEacuteES
11 Montage expeacuterimentalPour eacutetudier les oscillations forceacutees drsquoun oscillateur il est neacutecessaire drsquoexciter lrsquooscillateurpeacuteriodiquement dans le temps Le montage preacutesenteacute figure 61 permet drsquoexciter de faccedilonsinusoiumldale un ressort de raideur k au bout duquel est accrocheacutee une masse m
Le moteur tourne agrave la vitesse angulaire v constante et il entraicircne la masse m dans unmouvement de va-et-vient peacuteriodique Ce mouvement de va-et-vient est obtenu en atta-chant un fil au ressort dans une position excentreacutee de e de lrsquoaxe de rotation du moteur Onconstate expeacuterimentalement qursquoen reacutegime permanent la masse m suit le mouvement dumoteur en oscillant agrave la mecircme freacutequence que celle du moteur Pour une freacutequence drsquoexci-tation proche de la freacutequence propre de lrsquooscillateur harmonique lrsquoamplitude de vibrationde la masse m devient maximale On dit que lrsquooscillateur entre en reacutesonance Par la suitele moteur sera qualifieacute drsquoexcitateur et la masse accrocheacutee au ressort de reacutesonateur
156 Meacutecanique du point
k
D
O
x
Ω
e
m
X
Excentriciteacute
Moteur
Poulie
Position deacutequilibre
Moteur arrecircteacute
Figure 61 bull Scheacutema de principe drsquoun montage permettant lrsquoeacutetude desoscillations forceacutees en meacutecanique
12 Eacutequation diffeacuterentielle du mouvement
Nous consideacuterons le mouvement de la masse m dans un reacutefeacuterentiel Galileacuteen lieacute au solR(O x t) avec le vecteur
minusrarri vecteur unitaire servant de base agrave R Lrsquoorigine du reacutefeacuterentiel
est prise sur la position drsquoeacutequilibre de la masse pour laquelle lrsquoallongement du ressort estDl0 Agrave lrsquoeacutequilibre le poids
minusrarrP de la masse m compense la tension
minusrarrT du ressort (figure 62)
soit mg minus kDl0 = 0
Pour une position arbitraire x(t) de lrsquooscillateur et lorsque le moteur est bloqueacute la masse mest soumise agrave son poids
minusrarrP agrave la force de tension
minusrarrT du ressort dont lrsquoallongement est
(x + Dl0) agrave la force de frottement visqueux Degraves que le moteur tourne le fil fait subir auressort une force suppleacutementaire qui tire ou pousse le ressort selon la position de lrsquoexcen-trique Cette force engendre un allongement (x(t) minus X(t) + Dl0) du ressort Il importe denoter que dans cette expression les quantiteacutes x(t) et X(t) sont des quantiteacutes algeacutebriquesAinsi sur le scheacutema de la figure 62 et dans la position ou le moteur tourne nous avonsx(t) gt 0 et X(t) lt 0
Lrsquoapplication de la relation fondamentale de la dynamique conduit agrave lrsquoeacutequation diffeacuteren-tielle du mouvement donneacutee par
minusrarrF +
minusrarrF e +
minusrarrP +
minusrarrT = mminusrarra GR
Lrsquoallongement du ressort est alors
x(t) minus X(t) + Dl0
ougrave X(t) correspond au deacuteplacement par rapport agrave la position drsquoeacutequilibre de lrsquoextreacutemiteacutedu ressort relieacutee au moteur
Par projection sur lrsquoaxe des abscisses on obtient lrsquoeacutequation diffeacuterentielle suivante
mx = minusk(Dl0 + x minus X (t)) + ax + mg
Oscillations forceacutees reacutesonance 157
l0k
l0+Δl0
O
xPrarr
Trarr
X(t)
x(t)
A vide EquilibreMouvement de m
moteur bloqueacuteMouvement de mmoteur tournant
Figure 62 bull Repreacutesentation de lrsquoallongement du ressort dans diffeacuterents casde deacuteplacement de la masse m et pour diffeacuterents mouvements de rotation du
moteur
En tenant compte de la condition drsquoeacutequilibre il vient
mx + ax + kx = kX (t) (61)
Encart 61 Deacuteplacement X(t) de lrsquoextreacutemiteacute supeacuterieure du ressort
Lrsquoeacutequation (61) est lrsquoeacutequation diffeacuterentielle de lrsquooscillateur entretenu Nous voyonsqursquoelle est eacutequivalente agrave lrsquoeacutequation drsquoun oscillateur libre qui est le membre de gauchedans laquelle il faut ajouter une force F (t) = kX (t) dans le membre de droite Cetteforce fait clairement intervenir lrsquoallongement speacutecifique du ressort lieacute agrave la rotation dumoteur Elle peut ecirctre expliciteacutee quantitativement dans le cas de ce montage expeacuteri-mental En effet il est possible drsquoexprimer X(t) en fonction de la vitesse angulaire derotation du moteur et de lrsquoexcentriciteacute e
e
D
L
l
X
Ω
θ
Figure 63 bull Interpreacutetation du mouvement X(t) de lrsquoextreacutemiteacute supeacuterieure du ressort
158 Meacutecanique du point
Nous appellerons L la longueur du fil agrave lrsquoeacutequilibre entre le point drsquoattache sur lemoteur et la poulie et l cette longueur pour une position quelconque repeacutereacutee parlrsquoangle u (figure 63) Nous supposons D e ce qui permet de faire un deacuteveloppementlimiteacute au premier ordre par rapport agrave eD Dans ces conditions nous avons
X = L minus l =(D2 + e2)12 minus (D2 + e2 minus 2eD cos u)12 e cos u
Si le moteur tourne agrave la vitesse angulaire constante v nous pouvons eacutecrire
X (t) = e cos vt
Le terme kX (t) du second membre de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle qui est homogegravene agrave uneforce srsquoeacutecrit donc
F (t) = kX (t) = ke cos vt = F0 cos vt (62)
F0 = ke repreacutesente lrsquoamplitude maximale de la force excitatrice Il apparaicirct donc claire-ment que ce montage permet de reacutealiser un geacuteneacuterateur de force sinusoiumldale Lrsquoeacutequationdiffeacuterentielle peut donc eacutecrire
mx + ax + kx = F0 cos vt
2 SOLUTION DE LrsquoEacuteQUATION DIFFEacuteRENTIELLE
21 Eacutetude de lrsquoamplitude
Apregraves quelques oscillations qui correspondent agrave un reacutegime transitoire le systegraveme adopteen reacutegime permanent un mouvement de type sinusoiumldal dont la pulsation est la mecircme quela pulsation de la force excitatrice mais dont la phase diffegravere de celle de la force excitatriceIl est donc logique drsquoeacutecrire que la solution du reacutegime permanent est du type
x (t) = X0 cos(vt + f)
La deacutetermination des quantiteacutes X0 et f se fait en reportant cette solution dans lrsquoeacutequationdiffeacuterentielle
De mecircme la solution du reacutegime transitoire est la solution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle sanssecond membre dont nous avons vu qursquoelle conduit agrave lrsquoexpression suivante
xt(t) = Aeminusat2m cos(vprimet + f)
avec vprime = 2
radicv2
0 minus a2
4m2 (voir chapitre 5) La solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequation diffeacuterentielleest la somme de ces deux solutions Cependant il est clair que la contribution du reacutegimetransitoire devient tregraves vite neacutegligeable par rapport agrave celle du reacutegime permanent en rai-son du terme exponentiel preacutesent dans cette expression Pour cette raison nous ne nousinteacuteresserons qursquoau reacutegime permanent que nous appelerons le reacutegime forceacute
Oscillations forceacutees reacutesonance 159
Pour des raisons pratiques il est commode drsquoutiliser la repreacutesentation complexe On eacutecritalors que
x (t) = X0ej(vt+f)
F (t) = F0ejvt
En transposant dans lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement il vient
X0ej(vt+f)(minusmv2 + jva + k) = F0ejvt
En utilisant la pulsation propre de lrsquooscillateur harmonique et en simplifiant par la partiedeacutependante du temps on aboutit agrave
X0ejf(v20 minus v2 + j
va
m) =
F0
mavec v2
0 = km
De cette eacutequation complexe on peut tirer la valeur de X0 et de f En prenant le modulede lrsquoeacutequation nous obtenons
X0 (v) =F0
mradic
(v20 minus v2)2 + v2a2
m2 )
soit encore
X0 (v) =ev2
0radic(v2
0 minus v2)2 + v2a2
m2 )
En raisonnant sur les arguments des nombres complexes nous obtenons la valeur de latangente de la phase f
tan f (v) = minus va
m(v20 minus v2)
Les expressions ci-dessus montrent que lrsquoamplitude et la phase de lrsquooscillateur entretenudeacutependent de la pulsation de lrsquoexcitateur En particulier lrsquoamplitude des oscillations passepar un maximum dont la position est deacutetermineacutee par lrsquoeacutequation suivante
dX0 (v)dv
= 0
Le calcul de la deacuteriveacutee ne pose pas de problegraveme majeur et lrsquoeacutequation ci-dessus est veacuterifieacuteelorsque
v2 = v20 minus
a2
2m2
Lrsquoamplitude passe donc par un maximum non nul si la condition v0 gt a
mradic
2est veacuterifieacutee
La figure 64 montre lrsquoeacutevolution de lrsquoamplitude et de la phase en fonction de la freacutequence
Il est important de noter que lrsquoamplitude des oscillations passe par un maximum au voisi-nage de la pulsation propre de lrsquooscillateur harmonique non entretenu ce qui correspondagrave un pheacutenomegravene qui de faccedilon impropre (pour des raisons que nous eacutevoquerons plus tard)est qualifieacute de reacutesonance Lrsquoacuiteacute de ce pheacutenomegravene deacutepend fortement du coefficient defrottement a Si celui est tregraves faible on dit que la reacutesonance est aigueuml crsquoest notammentle cas pour la valeur a = 001 de la figure 64 Quand a augmente la reacutesonance devientfloue De plus lrsquoobservation du maximum nrsquoest possible que si le coefficient de frottement
160 Meacutecanique du point
reste assez faible Le maximum nrsquoest plus visible sur la figure 64 pour a = 01 La po-sition de ce maximum drsquoamplitude srsquoeacuteloigne de la valeur v = v0 degraves que le coefficientde frottement augmente comme on peut le voir pour a = 004 Nous noterons qursquoagrave tregravesbasse freacutequence lrsquoamplitude du reacutesonateur correspond agrave la valeur de lrsquoexcentrique e Demecircme agrave haute freacutequence nous constatons que lrsquoamplitude du reacutesonateur tend vers zeacutero
0 1 2 3 4 5-200
-150
-100
-50
0
α=001
α=004
α=01
Φ (
deg
reacute)
ω (rads-1
)
0 1 2 3 4 5000
002
004
006
008
010
012
014
e
α gt1414ω0m
k=01 Nm-1
m=005 kg
e=2 cm
α=001
α=004
α=01
X0 (
cm)
ω (rad s-1
)
Figure 64 bull Courbes donnant lrsquoamplitude et la phase de lrsquooscillateur enfonction de la pulsation de lrsquoexcitateur pour diffeacuterentes valeurs de
lrsquoamortissement On notera que lrsquoamplitude passe par un maximum pour unevaleur proche mais infeacuterieure agrave la pulsation propre sauf si lrsquoamortissement
devient trop fort Il convient de noter qursquoagrave basse freacutequence lrsquoexcitateur est enphase avec le reacutesonateur puis vibre en opposition de phase avec celui-ci agrave
haute freacutequence Agrave la freacutequence propre les deux systegravemes sont en quadrature
Nous constatons que la phase du reacutesonateur varie de faccedilon tregraves importante avec la va-leur de la pulsation excitatrice Tant que la freacutequence drsquoexcitation est faible le reacutesonateurlaquo suit raquo le mouvement et vibre en phase avec lrsquoexcitateur Ce reacutegime est facile agrave observer carquand la masse m monte il en va de mecircme pour lrsquoextreacutemiteacute haute du ressort Progressive-ment la diffeacuterence de phase croicirct pour atteindre 180 agrave haute freacutequence Le reacutesonateur est
Oscillations forceacutees reacutesonance 161
alors en opposition de phase avec lrsquoexcitateur Lagrave encore lrsquoobservation du pheacutenomegravene estfacile quand la masse descend le haut du ressort monte et vice versa Agrave la reacutesonance lereacutesonateur est en quadrature par rapport agrave lrsquoexcitateur et il est alors plus difficile de visua-liser clairement les mouvements respectifs du reacutesonateur et de lrsquoexcitateur Cette difficulteacuteest accrue par le fait que le reacutesonateur se deacuteplace tregraves vite
Nous venons de voir qursquoagrave la reacutesonance lrsquoamplitude des oscillations du reacutesonateurpasse par un maximum Toutefois nous observons que ce pheacutenomegravene ne se produitpas toujours agrave la mecircme freacutequence en particulier si lrsquoamortissement change Cetteobservation impose drsquoecirctre prudent sur la terminologie du mot reacutesonance En effetnous allons voir que la vitesse du reacutesonateur passe elle par un maximum lorsquela pulsation de lrsquoexcitateur est rigoureusement eacutegale agrave la pulsation propre du reacute-sonateur et ceci quelle que soit la valeur de lrsquoamortissement De plus crsquoest agrave cettefreacutequence que le transfert drsquoeacutenergie entre lrsquoexcitateur et le reacutesonateur est optimalLa reacutesonance en meacutecanique est donc de faccedilon rigoureuse plus une reacutesonance devitesse que drsquoamplitude Toutefois comme il est plus facile drsquoeacutetudier lrsquoamplitudedu mouvement plutocirct que la vitesse instantaneacutee du reacutesonateur il est drsquousage drsquoap-preacutehender la reacutesonance en meacutecanique par lrsquoeacutetude de lrsquoamplitude Nous eacutetudionsmaintenant le comportement de la vitesse du reacutesonateur en fonction de la pulsationde lrsquoexcitateur
22 Reacutesonance de vitessePar deacutefinition la vitesse de lrsquooscillateur est eacutegale agrave la deacuteriveacutee de la position soit
v =dxdt
= jvX0ej(vt+f) = vX0ej(vt+f+p2)
Il est facile de voir que lrsquoon peut eacutecrire la vitesse de la faccedilon suivante
v(t) = V0 ej(vt+fv)
agrave condition de poser V0 = vX0 et fv = f +p
2Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement de lrsquooscillateur srsquoeacutecrit en termes de vitesse
mdvdt
+ av + kint
vdt = F0ejvt
Le report de lrsquoexpression de la vitesse dans cette eacutequation conduit agrave
V0ej(vt+fv)(mjv + a +kjv
) = F0ejvt
ce qui aboutit agrave V0 (v) =F0radic
a2 + (mv minus kv
)2et tan fv (v) = minus
mv minus kv
a
Ces relations montrent que si la pulsation v de lrsquoexcitateur est eacutegale agrave la pulsation propre
v0 =radic
km de lrsquooscillateur alors la force et la vitesse sont en phase De plus la vitesse
V0 (v0) est alors maximale on dit qursquoil y a reacutesonance de vitesse Agrave la reacutesonance de vitessenous avons donc
fv (v0) = 0 et V0 (v0) = Vmax =F0
a
162 Meacutecanique du point
Contrairement agrave ce qui se passe pour lrsquoamplitude la reacutesonance de vitesse se pro-duit toujours lorsque la pulsation de lrsquoexcitateur est eacutegale agrave la pulsation propre delrsquooscillateur
Nous retiendrons qursquoagrave la reacutesonance meacutecanique la vitesse de lrsquooscillateur est en phase avecla force excitatrice et que lrsquoamplitude de la vitesse passe par un maximum
Les figures 65 et 66 repreacutesentent lrsquoeacutevolution de lrsquoamplitude et de la phase de la vitesseen fonction de la pulsation
0 1 2 3 4 50
5
10
15
20 k=01 N m-1
m =005 kg
e=2 cm
α=001
α=004
α=01
V 0 (
cm
s-1
)
ω (rads-1
)
Figure 65 bull Eacutevolution de la vitesse du reacutesonateur en fonction de la pulsationde lrsquoexcitateur pour diffeacuterentes valeurs de lrsquoamortissement Il convient de
noter que la reacutesonance de vitesse se produit toujours agrave la pulsation propre dureacutesonateur et qursquoelle est drsquoautant plus aigueuml que lrsquoamortissement est faible
0 1 2 3 4 5-100
-50
0
50
100
α=001
α=004
α=01
Φ v (
degr
eacute)
ω (ra ds-1
)
Figure 66 bull Eacutevolution de la phase de la vitesse du reacutesonateur par rapport agrave laphase de lrsquoexcitateur en fonction de la pulsation de lrsquoexcitateur pour
diffeacuterentes valeurs de lrsquoamortissement Il convient de noter qursquoagrave la reacutesonancela vitesse du reacutesonateur et la force excitatrice sont en phase
Oscillations forceacutees reacutesonance 163
Nous voyons eacutegalement que la phase de la vitesse est simplement translateacutee de p2 parrapport agrave celle de lrsquoamplitude
Encart 62 Impeacutedance meacutecaniqueLrsquoeacutetude de la reacutesonance de vitesse montre qursquoagrave force excitatrice constante la vitessepasse par un maximum lorsque la pulsation de lrsquoexcitateur est eacutegale agrave la pulsationpropre du reacutesonateur Par analogie avec lrsquoeacutelectriciteacute il est utile drsquointroduire la notiondrsquoimpeacutedance meacutecanique Z deacutefinie par
F = Z(v)v
Cette relation est formellement eacutequivalente agrave la loi drsquoOhm en eacutelectriciteacute u = Zi danslaquelle Z est lrsquoimpeacutedance eacutelectrique En revenant agrave la deacutefinition de la vitesse et de laforce (voir deacutebut du paragraphe 2) nous voyons que
V0ej(vt+fv)(mjv + a +kjv
) = F0ejvt
soit
Z(v) = a + j(
mv minus kv
)Si lrsquoon passe au module lrsquoeacutequation preacuteceacutedente devient
F0 = |Z(v)|V0 (v)
ce qui conduit agrave
V0 (v) =F0radic
a2 + (mv minus kv
)2
tan fv (v) = minusmv minus k
v
aou cos fv =
a
|Z(v)|
(63)
Agrave la reacutesonance la vitesse passe par un maximum agrave force constante ce qui impose agravelrsquoimpeacutedance meacutecanique drsquoecirctre minimale et de prendre la valeur
|Z(v0)| = a
3 TRANSFERT DE PUISSANCE
31 Puissance instantaneacuteeLrsquoimpeacutedance meacutecanique est une quantiteacute qui traduit lrsquoopposition drsquoun systegraveme meacutecaniqueagrave se deacuteplacer agrave une certaine vitesse sous lrsquoaction drsquoune force Quand lrsquoimpeacutedance est mini-male lrsquoopposition est faible et la vitesse peut devenir grande Ainsi la reacutesonance se produiten meacutecanique parce que le transfert de la puissance de lrsquoexcitateur est maximal vers le reacute-sonateur quand la freacutequence drsquoexcitation est eacutegale agrave la freacutequence propre En effet noussavons que la puissance est deacutefinie par
PminusrarrF (t) =
minusrarrF (t)minusrarrv (t)
164 Meacutecanique du point
Il srsquoensuit que la puissance instantaneacutee fournie par la force excitatrice est donneacutee par
PminusrarrF (t) = F0 cos (vt) V0 cos(vt + fv)
Nous noterons que pour faire ce type de calcul il importe de bien consideacuterer les partiesreacuteelles des quantiteacutes complexes En effet la partie reacuteelle drsquoun produit de deux nombrescomplexes nrsquoest pas eacutegale au produit des parties reacuteelles de ces deux nombres Crsquoest cettederniegravere quantiteacute qui nous inteacuteresse dans ce calcul
En utilisant lrsquoexpression de V0 (63) et en deacuteveloppant le produit des cosinus nous deacutedui-sons que
PminusrarrF (t) =
F20
2radic
a2 + (mv minus kv
)2[cos (2vt + fv) + cos(fv)]
ce qui montre bien que le transfert de puissance est maximal agrave la reacutesonance En outreon peut veacuterifier que la puissance moyenne fournie par la force excitatrice compense lapuissance deacuteveloppeacutee par la force de frottement
32 Puissance moyenne
La puissance moyenne fournie par la forceminusrarrF se calcule en prenant la valeur moyenne de
la puissance sur une peacuteriode T ce qui srsquoeacutecrit langPminusrarr
F (t)rang
=1T
int T
0Pminusrarr
F (t)dt
Il srsquoensuit que langPminusrarr
F (t)rang
=F2
0
2radic
a2 + (mv minus kv
)2cos(fv) =
F20
2 |Z (v)| cos(fv)
soit en utilisant (63) langPminusrarr
F (t)rang
= aV2
0 (v)2
La puissance deacuteveloppeacutee par la force de frottement srsquoeacutecrit
Pminusrarrf (t) =
minusrarrf minusrarrv = minusaminusrarrv minusrarrv = minusaV2
0 cos2 (vt + fv)
ce qui conduit agrave une puissance moyennelangPminusrarr
f(t)rang
= minusaV2
0 (v)2
Nous concluons donc que la puissance fournie par lrsquoexcitateur compense bien la puissancedeacuteveloppeacutee par la force de frottement De plus la reacutesonance meacutecanique est deacutefinie par la valeurde la pulsation qui permet le transfert maximal de puissance entre lrsquoexcitateur et le reacutesonateur Ilsrsquoensuit que la reacutesonance se produit quand V0 (v) passe par un maximum ce qui est veacuterifieacutequand v = v0
Nous avons vu dans les paragraphes preacuteceacutedents que lrsquoamortissement jouait un rocircle pri-mordial sur lrsquoacuiteacute de la reacutesonance Il est possible de rendre la notion drsquoacuiteacute plus quan-titative en introduisant le notion de facteur de qualiteacute
Oscillations forceacutees reacutesonance 165
4 FACTEUR DE QUALITEacute
Comme en eacutelectriciteacute il est possible de qualifier lrsquoacuiteacute de la reacutesonance de vitesse par unfacteur de qualiteacute Q Pour cela on considegravere les pulsations v1 et v2 pour lesquelles on a
V0 (v1) = V0 (v2) =V0 (v0)radic
2
Ces deux pulsations peuvent facilement se mesurer sur la courbe de reacutesonance de vitessecomme le montre la figure 67 et elles deacutefinissent la bande passante en pulsation
Dv = v2 minus v1
05 10 15 20 250
5
10
15
20
Bandes passantes
Δω
k=01Nm-1
m=005kg
e=2cm
α=001
α=004
V 0 (
cms-1
)
ω (rads-1
)
Figure 67 bull Repreacutesentation en hachureacutes des bandes passantes observeacuteespour deux valeurs de lrsquoamortissement
Le facteur de qualiteacute se deacutefinit alors par
Q =v0
Dv(64)
Les deux pulsations qui limitent la bande passante peuvent ecirctre deacutetermineacutees analytique-ment La deacutefinition de la bande passante agrave partir de la vitesse conduit agrave
a2 + (mv minus kv
)2 = 2a2 =rArr mv minus kv
= plusmna (65)
Les solutions physiquement acceptables (pulsation positive) donnent
v1 = minus a
2m+
radic( a
2m
)2+ v2
0
v2 =a
2m+
radic( a
2m
)2+ v2
0
166 Meacutecanique du point
ce qui conduit agrave
Dv =a
m=rArr Q =
mv0
a=
kav0
Remarques
Nous revenons maintenant sur la reacutesonance drsquoamplitude qui rappelons-le est la plusfacile agrave mesurer Nous avons vu que lrsquoamplitude maximale des oscillations deacutependait de lapulsation En particulier lorsque la pulsation est eacutegale agrave la pulsation propre de lrsquooscillateurnous avons
X0(v0) =F0
av0=rArr X0(v0) =
keav0
= Qe
Nous voyons ainsi que le facteur de qualiteacute repreacutesente simplement le rapport de lrsquoampli-tude maximale agrave la pulsation propre sur la valeur de lrsquoexcentrique e Cette observation estparticuliegraverement utile pour deacuteterminer le facteur de qualiteacute Q En effet la valeur de e semesure facilement de mecircme que celle de X0(v0) Si lrsquoon revient agrave la figure 64 on voitpar exemple que pour a = 001 lrsquoamplitude maximale agrave la pulsation propre est de 14 cmpour un excentrique de 2 cm Le facteur de qualiteacute est donc de 7 ce qui est confirmeacute parle calcul direct
Si Q est grand la tension du ressort peut devenir tregraves importante devant la force exci-tatrice Lrsquoamplitude devenant tregraves grande il y a un risque de rupture du ressort Il fautdonc faire extrecircmement attention quand on eacutetudie un oscillateur agrave ne pas passer par lareacutesonance quand le coefficient drsquoamortissement a est tregraves petit Crsquoest le cas drsquoune masseattacheacutee agrave un ressort exciteacutee par lrsquoexcentrique dans lrsquoair pour lequel le facteur de qualiteacutepeut ecirctre tregraves grand (de lrsquoordre de 1 000)
Agrave RETENIR
Eacutetude de lrsquoamplitude
Eacutequation diffeacuterentielle drsquoun oscillateur entretenu
mx + ax + kx = F0 cos vt
En passant en notation complexe et en posant x(t) = X0ej(vt+fa) on obtient
X0 =F0
mradic
(v20 minus v2)2 + v2a2
m2 )et tan fa = minus va
m(v20 minus v2)
Eacutetude de la vitesse
Lrsquoeacutequation qui donne lrsquoamplitude et la phase de la vitesse est
V0ej(vt+fv)(mjv + a +kjv
) = F0ejvt
Oscillations forceacutees reacutesonance 167
ce qui aboutit agrave
V0 (v) =F0radic
a2 + (mv minus kv
)2et tan fv (v) = minus
mv minus kv
a
Reacutesonance
Il y a reacutesonance quand la force excitatrice et la vitesse sont en phase Agrave la reacutesonancede vitesse nous avons donc
fv (v0) = 0 et V0 (v0) =F0
a
Impeacutedance meacutecanique
On appelle impeacutedance meacutecanique le rapport Z(v) =Fv
Agrave la reacutesonance lrsquoimpeacutedance meacutecanique est minimale et vaut Z(v) = a Le transfertde puissance entre lrsquoexcitateur et le reacutesonateur est alors maximal
Facteur de qualiteacute
Le facteur de qualiteacute se deacutefinit par
Q =v0
Dv
avec Dv repreacutesentant la bande passante de la courbe de reacutesonance de vitesse crsquoest-agrave-dire la diffeacuterence de pulsation correspondant agrave
V0 (v1) = V0 (v2) =V0 (v0)radic
2
On deacutemontre que
Dv =a
m=rArr Q =
mv0
a=
kav0
ce qui montre que le facteur de qualiteacute est tregraves eacuteleveacute si le coefficient de frottement aest faible (reacutesonance aigueuml)
EXERCICES DrsquoAPPLICATION AVEC SOLUTION DEacuteTAILLEacuteE
Oscillateurs
Une masse m consideacutereacutee comme ponctuelle repose sur un plan horizontal Elle est ac-crocheacutee agrave lrsquoextreacutemiteacute drsquoun ressort de raideur k de longueur agrave vide lo lrsquoautre extreacutemiteacuteeacutetant fixe par rapport au plan
168 Meacutecanique du point
On repegravere la position de la masse par rapport agrave sa position O drsquoeacutequilibre (voir figure)
u
x
O M
lo
rarr
Figure 68
On repegravere la position M de la masse m agrave la date t parminusrarrOM = xminusrarru
Agrave t = 0 on eacutecarte la masse de xo = Xm et on lacircche sans vitesse initiale
1) La masse peut se deacuteplacer sur le plan horizontal sans frottement Deacuteterminer lrsquoeacutequa-tion horaire x(t) du mouvement de cette masse Comment qualifie-t-on cet oscillateur Deacuteterminer les expressions et valeurs de sa pulsation propre vo de sa peacuteriode propreTo et de sa freacutequence propre No
2) La masse subit des forces de frottement fluide dont la reacutesultante est de la formeminusrarrf = minusaminusrarrv
ougrave minusrarrv est le vecteur vitesse de m et a une constante positive
a) Donner la nouvelle eacutequation diffeacuterentielle du mouvement de mb) Indiquer briegravevement quels sont les 3 types de mouvement possible en fonction
de la valeur de a et repreacutesenter lrsquoallure des graphes x(t) correspondant Que sepasse-t-il au bout drsquoun temps suffisamment long
3) Le point M est maintenant soumis agrave une force suppleacutementaire de type sinusoiumldal minusrarrF = Fminusrarru
avec F = Fo cos vt
a) Exprimer la nouvelle eacutequation diffeacuterentielle agrave laquelle obeacuteit x(t)La solution de cette nouvelle eacutequation diffeacuterentielle est la somme de la solutionde lrsquoeacutequation diffeacuterentielle sans second membre qui correspond agrave un reacutegimetransitoire (voir question preacuteceacutedente) et drsquoune solution particuliegravere qui corres-pond au reacutegime permanentEn reacutegime permanent lrsquoamplitude est de la forme x(t) = Xo cos(vt + f) et lavitesse v = Vo cos(vt + w)On utilisera la notation complexe
F = Foe jvt x = Xoe jvt = Xoe jfe jvt v = Voe jvt = Voe jwe jvt
b) Deacutefinir la vitesse v et en deacuteduire la relation entre Vo et Xo et entre w et fc) En remplaccedilant dans lrsquoeacutequation diffeacuterentielle x ˙x et umlx par leur expression com-
plexe montrer qursquoon a la relation suivante Fo = ZXo ougrave Z appeleacute impeacutedance meacutecanique complexe (lieacutee au deacuteplacementx) ne deacutepend que de k m a et v
d) Donner lrsquoexpression de Xo en fonction de Fo m l =a
m vo et v
Oscillations forceacutees reacutesonance 169
Montrer que si lrsquooscillateur est faiblement amorti (pour a ltradic
2km) lrsquoamplitudepasse par un maximum pour une pulsation excitatrice vm leacutegegraverement diffeacuterentede vo Donner lrsquoexpression de vm
e) Deacuteterminer lrsquoexpression de tan f ougrave f repreacutesente le deacutephasage de x(t) parrapport agrave F
f) En utilisant b) et d) deacuteduire lrsquoexpression de Vo en fonction de Fo m l =a
m vo
et vQue se passe-t-il pour v = vo Quel nom porte ce pheacutenomegravene Donner lrsquoal-lure de la courbe Vo = f (v)
Solution1) Systegraveme la masse m reacutefeacuterentiel terrestre galileacuteen forces
minusrarrP
minusrarrR
minusrarrT = minuskxminusrarru
Principe fondamental minusrarrP +
minusrarrR +
minusrarrT =
minusrarr0 +
minusrarrT = minuskxminusrarru = mminusrarra rArr x +
km
x = 0
x + vox = 0 (eacutequation diffeacuterentielle de lrsquooscillateur harmonique) avec vo =
radickm
pulsation propre de lrsquooscillateur et donc To =2p
vo= 2p
radicmk
=1
NorArr 2pNo = vo
Solution x(t) = X cos(vot + f) Avec x(0) = Xm et x(0) = 0
on a Xm = X cos f et x(t) = minusvo sin(vot + f) rArr x(0) = 0 = minusvo sin f
On obtient f = 0 et X = Xm crsquoest agrave dire x(t) = Xm cos(vot)
2) La masse subit des forces de frottement fluide de la formeminusrarrf = minusaminusrarrv
a) minusaminusrarrv minus kxminusrarru = mminusrarra rArr x +a
mx +
km
x = 0 (oscillateur amorti)
b) Pour a faiblea
mlt 2vo rArr a lt 2
radickm Reacutegime pseudo peacuteriodique (oscillations
avec une amplitude qui diminue exponentiellement
Poura
m= 2vo rArr a = 2
radickm Reacutegime critique retour agrave lrsquoeacutequilibre sans oscilla-
tion le plus rapidement
Pour a forta
mgt 2vo rArr a gt 2
radickm Reacutegime apeacuteriodique retour agrave lrsquoeacutequilibre
sans oscillationsDans tous les cas Retour agrave lrsquoeacutequilibre x = 0 au bout drsquoun certain temps (reacutegimetransitoire)
3) On force la masse agrave osciller avec une pulsation v en lui appliquant une force sinu-soiumldale
minusrarrF = Fminusrarru avec F = Fo cos vt
a) x +a
mx + v2
o x =Fo
mcos vt
b) v = x rArr v = minusXov sin(vt + f) = Xov cos(vt + f +p
2) = Vo cos(vt + w)
Vo = vXo et w = f +p
2
170 Meacutecanique du point
c) minusv2Xo + jva
mXo + v2
o Xo =Fo
mrArr Fo =
[m(v2
o minus v2) + jva]
Xo
Lrsquoimpeacutedance meacutecanique complexe en amplitude Z =[m(v2
o minus v2) + jva]
avec
v2o =
km
d) Xo =∣∣∣Xo
∣∣∣ = Foradicm2(v2
o minus v2)2 + v2a2=
Fomradic(v2
o minus v2)2 + v2l2
dXo
dv=
dXo
dv2
dv2
dv= 2v
dXo
dv2 =2vFo
md
dv2
[(v2
o minus v2)2 + v2l2]minus1
=2vFo
m(minus1)
[l2 + 2(minus1)(v2
o minus v2)][
(v2o minus v2)2 + v2l2
]2 dXo
dv
= minus 2vFo
m
[l2 + 2(v2 minus v2
o )][
(v2o minus v2)2 + v2l2
]2
La deacuteriveacutee srsquoannule pour v = 0 et pour v2m = v2
o minus l2
2agrave la condition que
v2m = v2
o minusl2
2 0 rArr l vo
radic2 rArr a mvo
radic2 =
radic2mk
e) tan f = minus vl
v2o minus v2
f) Vo = vXo =vFomradic
(v2o minus v2)2 + v2l2
=Fomradic
l2 + ( v2o
vminus v)2
Pour v = vo Vo prend une valeur maximale Vom =Fo
ml=
Fo
a Crsquoest le pheacuteno-
megravene de reacutesonance
Allure du graphe Vof (v)
ωωo
Vo
Vom
Figure 69
Oscillations forceacutees reacutesonance 171
Principe du sismographe
Soit un point mateacuteriel M (masse m) suspendu agrave un socle (S) par un ressort de raideur ket de longueur agrave vide lo (voir figures ci-dessous)
On associe au reacutefeacuterentiel socle (S) un repegravere constitueacute drsquoune origine O correspondantagrave la position de la masse agrave lrsquoeacutequilibre suspendue au ressort (figure 2) et drsquoun axe (Ox)vertical dirigeacute vers le bas
Lorsque le point M se deacuteplace verticalement il subit une force de frottement fluide dela forme
minusrarrf = minusaminusrarrv (a coefficient de frottement fluide reacuteel positif) On deacutesigne par
x(t) le deacuteplacement de M par rapport agrave sa position drsquoeacutequilibre O (figure 3)
Le socle repose sur le sol terrestre Dans tout ce qui suit le Reacutefeacuterentiel Terrestre lieacute aucentre de la Terre (R) est consideacutereacute comme galileacuteen
lo
O
x
x(t)
m Ressort raideur k
longueur agrave vide lo
Socle (S)
Ressort agrave vide Masse m agrave leacutequilibre
Masse m en mouvement (instant t)
Socle (S) Socle (S)
Δle
x
Sol terrestre immobile
O
x
x(t)
Socle (S)
Ω
X
X(t)
X(t)Oscillation du so l
Oscillation du solentraicircnant le socle
O
M M
M
a)
a)
b)
b)
c)
c)
d)
d)
Figure 610
A) Absence de tremblements de Terre (ou mouvements sismiques)
1) Que peut-on dire du reacutefeacuterentiel socle(S) dans le cas ougrave le sol serait immobile dansle reacutefeacuterentiel terrestre (R) (figure a b et c)
2) Eacutetude de la masse dans la position drsquoeacutequilibre (figure b)
Eacutetudier la masse m dans le cas de la figure 2 et en deacuteduire lrsquoexpression de lrsquoallongementDle du ressort
3) Eacutetude de la masse en mouvement (figure c) dans le reacutefeacuterentiel socle (S)
On eacutecarte la masse m de sa position drsquoeacutequilibre puis on la lacircche
a) Exprimer la TensionminusrarrT du ressort agrave un instant t quelconque
b) Eacutetudier le systegraveme masse m (cas de la figure 3) et montrer que lrsquoeacutequation diffeacute-rentielle du mouvement de M est de la forme x + 2lx + v2
o x = 0Donner lrsquoexpression de l et de vo Que repreacutesente vo
c) Deux solutions possibles pour ce type drsquoeacutequation diffeacuterentielle sont les sui-vantes
172 Meacutecanique du point
avec w reacuteel positif
x(t) = eminuslt(Aewt + Beminuswt) reacutegime apeacuteriodique
x(t) = Aeminuslt cos(wt + f) reacutegime pseudo peacuteriodiqueQuelle est la forme de la troisiegraveme solution possible et comment nomme-t-once reacutegime
d) On se place dans le cas ougrave les frottements seraient tregraves faibles On a alorsl voParmi les 2 premiegraveres solutions preacuteceacutedentes possibles laquelle correspond aucas preacutesent
e) Donner lrsquoexpression de w en fonction de l et vo Que peut-on dire de w lorsquel vo
B) Preacutesence de tremblements de Terre (ou mouvements sismiques)
Au cours drsquoun tremblement de Terre une onde sismique se propage et vient faireosciller le sol sur lequel repose le socle eacutetudieacute preacuteceacutedemment dans la partie A
On suppose que le sol est animeacute alors par rapport agrave (R) drsquoun mouvement X(t) verticaldirigeacute vers le bas sinusoiumldal de pulsation v (voir figure d) X(t) = Xm cos(vt)Dans ce cas le mouvement du socle par rapport agrave (R) est un mouvement de translationrectiligne non uniforme Le reacutefeacuterentiel socle (S) nrsquoest plus galileacuteen lrsquoeacutetude du mouve-ment de m peut se faire de la mecircme faccedilon que preacuteceacutedemment il suffit drsquoajouter dansle bilan des forces la force drsquoinertie drsquoentraicircnement
minusrarrF i = minusmminusrarra e = minusmXminusrarru x (voir
chapitre sur les reacutefeacuterentiels non galileacuteens)
Eacutetude des oscillations forceacutees dans le reacutefeacuterentiel socle (S)
a) Eacutetude du systegraveme masse m (cas de la figure d) dans le reacutefeacuterentiel socle (S) Quelle diffeacuterence y a-t-il par rapport au cas du A3)a) En deacuteduire alors quelrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvement de M est de la forme
x + 2lx + v2o x = A cos(vt) avec A = v2Xm
b) On constate au bout drsquoun certain temps que la masse m oscille avec la mecircmepulsation v que le socle (oscillation forceacutees reacutegime permanent) La solutionest de la forme
x(t) = xm cos(vt + w)
En notation complexe on pose X(t) = Xm cos(vt) rArr X(t) = Xme jvt
x(t) = xm cos(vt + w) rArr x(t) = xme jwe jvt = xme jvtavec j2 = minus1
Reporter les grandeurs complexes dans lrsquoeacutequation diffeacuterentielle du mouvementde m et en deacuteduire une expression de xm puis de xm en fonction de l v voet Xm
c) Pour le fonctionnement en sismographe on a l vo ainsi que vo vQue peut-on dire alors en premiegravere approximation de xm par rapport agrave XmMontrer qursquoon peut ainsi mesurer lrsquoamplitude du tremblement de Terre
Oscillations forceacutees reacutesonance 173
SolutionPrincipe du sismographe
lo
O
x
x(t) m Ressort
raideur k longueur agrave vide lo
Socle (S)
a) Ressort agrave vide b) Masse m agrave leacutequilibre
c) Masse m en mouvement (instant t)
Socle (S) Socle (S)
Δle
x
Sol terrestre immobile
O
x
x(t)
Socle (S)
Ω
X
X(t)
X(t) Oscillation du sol
d) Oscillation du sol entraicircnant le socle
O
Prarr
Prarr
Prarr
eTrarr
Trarr
Trarr
a) b) c) d)
Figure 611
A) Absence de tremblements de Terre (ou mouvements sismiques)
1) Le reacutefeacuterentiel socle(S) dans le cas ougrave le sol serait immobile dans le reacutefeacuterentiel ter-restre (R) est un reacutefeacuterentiel galileacuteen comme le reacutefeacuterentiel terrestre
2) Eacutetude de la masse dans la position drsquoeacutequilibre (figure b)
Systegraveme masse m reacutefeacuterentiel socle (S) galileacuteen
Forces poidsminusrarrP = mminusrarrg = mgminusrarru x et tension
minusrarrT = minuskDleminusrarru x
Condition drsquoeacutequilibre minusrarrP +
minusrarrT =
minusrarr0 rArr mg = kDle rArr Dle =
mgk
3) Eacutetude de la masse en mouvement (figure c) dans le reacutefeacuterentiel socle (S)
a) La tension du ressort agrave un instant t quelconque estminusrarrT = minusk(x + Dle)minusrarru x
b) Force minusrarrP = mminusrarrg = mgminusrarru x
minusrarrT = minusk(x + Dle)minusrarru x et frottement fluide
minusrarrf = minusaminusrarrv = minusaxminusrarru x
Principe fondamental de la dynamique
mminusrarra = mxminusrarru x = mgminusrarru x minus k(Dle + x)minusrarru x minus axminusrarru x
= rArr x +a
mx +
km
x = g minus kDlem
= 0
x + 2lx + v2o x = 0 avec l =
a
2met vo =
radickm
pulsation propre de lrsquooscillateur
c) Reacutegime critique x(t) = (At + B)eminuslt
d) l vo (frottement tregraves faible) alors la solution correspond agrave un reacutegime pseudopeacuteriodique x(t) = Aeminuslt cos(wt + f)
174 Meacutecanique du point
e) Eacutequation caracteacuteristique r2 +2lr+v2o = 0 rArr D = 4(l2minusv2
o ) = (2j)2(v2o minusl2)
On a donc comme solution r = minusl plusmn jw avec
w =radic
v2o minus l2 = vo
radic1 minus l2
v2oasymp vo (cas l vo)
B) Preacutesence de tremblements de Terre (ou mouvements sismiques)
Le socle a le mecircme mouvement que le sol par rapport agrave (R) Le reacutefeacuterentiel socle (S)nrsquoest plus galileacuteen car il nrsquoest pas en translation rectiligne uniforme par rapport agrave(R) galileacuteen Il est en translation rectiligne sinusoiumldale Lrsquoacceacuteleacuteration drsquoentraicircnementcorrespond agrave lrsquoacceacuteleacuteration du point O ou drsquoun point quelconque du socle On a donc
X(t) = Xm cos(vt) rArr X = minusvX sin vt rArr X = ae = minusv2X cos jt
Le reacutefeacuterentiel socle nrsquoest plus galileacuteen il faut donc ajouter la force drsquoinertie drsquoentraicirc-nement
minusrarrF i = minusmminusrarra e =
[mv2Xm cos vt
]minusrarru x
Eacutetude des oscillations forceacutees dans le reacutefeacuterentiel socle (S)
a) Eacutetude du systegraveme masse m (cas de la figure d) dans le reacutefeacuterentiel socle (S)
mminusrarra = mxminusrarru x = minuskxminusrarru x minus axminusrarru x + mv2Xm cos vt
= rArr x +a
mx +
km
x =mv2Xm
mcos v
x + 2lx + v2o x = A cos(vt) avec A = v2Xm
b) x(t) = xm cos(vt + w) En notation complexe on pose X(t) = Xm cos(vt) rArr X(t) = Xme jvt
x(t) = xm cos(vt + w) rArr x(t) = xme jwe jvt = xme jvtavec j2 = minus1
(minusv2 + 2ljv + v2o )xm = v2Xm rArr xm =
v2Xm
(v2o minus v2) + 2jvl
xm =Xm
2j lvminus (1 minus v2
o
v2)
xm =Xmradic
4 l2
v2 + (1 minus v2o
v2 )2
c) avec l vo v on a
xm asymp Xmradic1 minus 2
v2o
v2 + 4l2
v2
asymp Xm
(1 minus 2
v2o
v2 + 4l2
v2
) 12
asymp Xm(1 minus v2o
v2 + 2l2
v2 ) asymp Xm
au deuxiegraveme ordre pregraves La mesure de xm permet de mesurer lrsquoamplitude dutremblement
CHAPITRE 7
INTERACTION GRAVITATIONNELLE
Preacute-requis bull Pour aborder ce chapitre il faut connaicirctre la deacutefinition de lrsquoeacutenergie po-tentielle et avoir une bonne ideacutee de la notion de champ de vecteurs Leprincipe fondamental de la dynamique doit ecirctre acquis
Objectif I Se familiariser avec la loi de la gravitation universelle (loi de Newton)I Comprendre la notion de champ de gravitation terrestre et son eacutevolution
en fonction de lrsquoaltitude consideacutereacuteeI Maicirctriser la notion drsquoeacutenergie potentielle de gravitation
Nous consideacuterons dans ce chapitre que toutes les masses sont agrave symeacutetrie spheacuterique Pourne pas surcharger le texte nous admettons que les masses se comportent comme des ob-jets ponctuels La deacutetermination du champ de gravitation est reacutealiseacutee au niveau le plussimple Nous renvoyons le lecteur soucieux de comprendre comment calculer le champde gravitation de faccedilon exacte au cours drsquoeacutelectrostatique et agrave lrsquoutilisation du theacuteoregraveme deGauss que lrsquoon applique agrave une distribution volumique de masse
1 ATTRACTION UNIVERSELLE
11 Force de gravitation newtonienneOn appelle force de gravitation ou force drsquointeraction gravitationnelle la force exerceacuteepar une masse M sur une autre masse m Cette force drsquointeraction a eacuteteacute deacutecouverte parNewton1 en 1665 Celui-ci a montreacute que deux masses m et M interagissent entre elles defaccedilon drsquoautant plus forte que les masses sont grandes et que la distance qui les seacutepare estpetite La loi qursquoil a formuleacutee est dite loi de Newton et srsquoeacutenonce de la faccedilon suivante
Loi de NewtonLes masses de deux corps srsquoattirent en raison de leurs masses et de lrsquoinverse ducarreacute de leur distance
1 Isaac Newton (1642-1727) La theacuteorie fut publieacutee en 1686 dans Principia Mathematica Philosophiae Naturalis
176 Meacutecanique du point
O
M
P
mMmF rarr
rarrmMF rarr
rarr
OPurarr (vecteur unitaire)
Figure 71 bull Interaction gravitationnelle entre deux masses
Lrsquoaction de M sur m peut srsquoeacutecrire
minusrarrF Mrarrm = minusG mM
OP2minusrarru OP
Cette force attractive est porteacutee par lrsquoaxe qui seacutepare les deux centres drsquoinertie des massesm et M Il est pratique alors de deacutefinir sur cet axe un vecteur unitaire minusrarru OP dont le sens estcelui de O (acteur de la force) vers P (receveur celui qui subit la force) Dans ces conditions laforce exerceacutee par M sur m est de mecircme direction mais de sens opposeacute agrave ce vecteur unitaire
Elle est proportionnelle agrave m et M et inversement proportionnelle au carreacute de la distanceseacuteparant les deux centre drsquoinertie O et P Elle fait intervenir une constante drsquointeractionappeleacutee constante drsquointeraction gravitationnelle (figure 71) Cette constante est univer-selle et a pour valeur G = 66710minus11 USI (uniteacutes du systegraveme international)
Notons que commeminusrarrOP = OPminusrarru OP la force de Newton peut aussi srsquoeacutecrire
minusrarrF Mrarrm = minusG mM
OP3
minusrarrOP
Il importe de remarquer que si M attire m selon la loi preacuteceacutedente il en est de mecircme pour mqui attire M selon la mecircme loi Il srsquoagit drsquoune interaction agrave distance Nous pouvons eacutecrire
minusrarrF mrarrM = minusG mM
OP3
minusrarrPO = minusminusrarr
F mrarrM
Nous retrouvons lagrave le principe des actions reacuteciproques
12 Champ de gravitation
Une masse m au voisinage drsquoune masse M subit donc une force Celle-ci est lieacutee agrave la preacute-sence drsquoun champ de gravitation creacuteeacute par la masse M au point ougrave est situeacutee la masse mEn effet on peut exprimer cette force sous la forme suivante
minusrarrF Mrarrm = m
(minusG M
OP3
minusrarrOP)
= mminusrarrG (P)
La masse M eacutetant fixeacutee le vecteurminusrarrG (P) ne deacutepend que de la position du centre drsquoinertie
P de la masse m par rapport au centre drsquoinertie O de M On deacutefinit ainsi un champ devecteurs qui correspond au champ de gravitation de la masse M
Interaction gravitationnelle 177
En tout point P de lrsquoespace ce champ a pour expression
minusrarrG (P) = minusG M
OP3
minusrarrOP = minusG M
OP2minusrarru OP
Une masse m placeacutee en un point P de lrsquoespace subit alors la force
minusrarrF Mrarrm = m
minusrarrG (P)
Dans le cas ougrave la densiteacute volumique du corps M est agrave symeacutetrie spheacuterique (ce qui est le caspour les astres) le champ de gravitation lrsquoest aussi et est donc radial et centripegravete La forceminusrarrF Mrarrm est alors une force centrale
O
P
P
prime
)
prime(PGrarr
)(PGrarr
Figure 72 bull Champ de gravitation de la Terre
2 CHAMP DE GRAVITATION TERRESTRE
21 Champ de gravitation agrave la surface de la Terre
OM
RT
mMF rarrrarr
Pm
Terre
Figure 73 bull Attraction dela Terre au niveau de sa
surface
Lorsque la masse M est la masse de la Terre et que m est agravela surface de la Terre la distance OP correspond au rayonterrestre RT et la force de Newton repreacutesente lrsquoattraction dela Terre sur la masse m
La force de Newton peut alors srsquoeacutecrire
minusrarrF Mrarrm = minusGmM
R2T
minusrarru OP = mminusrarrG 0 (P)
ougraveminusrarrG 0 (P) repreacutesente le champ de gravitation de la Terre au
point P consideacutereacute soit
minusrarrG 0 (P) = minusG M
R2T
minusrarru OP = minusG MOP3
minusrarrOP
178 Meacutecanique du point
Ce champ est un champ centripegravete et radial Il est en premiegravere approximation agrave symeacutetriespheacuterique ce qui signifie que le module de
minusrarrG 0 est constant agrave la surface de la Terre Ceci
nrsquoest pas tout agrave fait veacuterifieacute car la Terre tourne sur elle-mecircme Il se produit une deacuteformationqui rend la Terre plus aplatie aux pocircles qursquoagrave lrsquoeacutequateur
Encart 71 Valeur du champ de gravitation agrave la surface de la TerreLe champ de gravitation correspond au rapport drsquoune force sur une masse et estdonc homogegravene agrave une acceacuteleacuteration Avec G = 66410minus11 USI M = 5981024 kget RT = 637106 m on obtient
G0 = G MR2
T= 983 msminus2
Remarque Cette valeur est proche de celle du champ de pesanteur g agrave la surface dela Terre La diffeacuterence provient principalement de la rotation de la Terre autour deson axe Sud-Nord La comparaison entre ces deux grandeurs est traiteacutee au chapitre 8Cependant il est possible en premiegravere approximation de consideacuterer que le champ degravitation G0 correspond au champ de pesanteur g
22 Champ de gravitation au voisinage de la surface terrestreNous allons maintenant consideacuterer le cas ougrave la masse m nrsquoest plus en contact avec la surfaceterrestre mais se trouve agrave lrsquoaltitude z de la Terre avec z RT
Le champ de gravitation de la Terre agrave lrsquoaltitude z srsquoeacutecrit
minusrarrG (z) = minusG mM
(R + z)2minusrarru OP
En introduisant le module G0 du champminusrarrG 0 agrave la surface de la Terre (z = 0) le module du
champ de gravitation G(z) agrave lrsquoaltitude z peut srsquoeacutecrire
G(z) = minusG mMR2
T(1 + zRT
)2= G0
1(1 + z
RT)2
Si lrsquoon considegravere que z est tregraves infeacuterieur agrave RT la quantiteacute zRT est infiniment petite parrapport agrave 1 et lrsquoon peut utiliser un deacuteveloppement limiteacute de lrsquoexpression de G(z) agrave lrsquoaltitudez Rappelons que lorsque a est petit devant 1
(1 + a)n = 1 + na +n(n minus 1)
2a2 +
Dans notre cas n = minus2 et a = zRT ce qui conduit agrave lrsquoexpression du champ agrave lrsquoordre 1en zRT suivante
G(z) = G(0)(1 minus 2z
RT)
G(z) deacutecroicirct avec lrsquoaltitude Pour une altitude z = 32000 m on obtient une variation rela-tive du champ de lrsquoordre de 1 On peut donc souvent neacutegliger cette variation lorsqursquoonreste au voisinage de la Terre
Interaction gravitationnelle 179
Remarque Les rayons terrestres issus de deux point seacutepareacutes par un mille (1 852 m) fontentre eux un angle de 1rsquo et sont donc pratiquement parallegraveles On peut donc dans unvolume dont les dimensions sont de lrsquoordre de quelques kilomegravetres consideacuterer le champde gravitation comme uniforme
minusrarrG (z) = G(0)minusrarru OP
3 EacuteNERGIE POTENTIELLE DE GRAVITATION
31 Expression de lrsquoeacutenergie potentielle de gravitationConsideacuterons une masse m de centre drsquoinertie P placeacutee dans le champ de gravitation drsquounemasse M de centre drsquoinertie O
La force de gravitation que subit m est donneacutee par la loi de Newton
minusrarrF Mrarrm = minusG mM
OP3
minusrarrOP
Au cours drsquoun deacuteplacement quelconque dans lrsquoespace la force de Newton est variableLrsquoeacutenergie potentielle de gravitation peut ecirctre calculeacutee agrave partir de la relation diffeacuterentiellesuivante
d EP = minusminusrarrF d
minusrarrl
ougrave dminusrarrl est un deacuteplacement eacuteleacutementaire de P
La force de gravitation eacutetant agrave symeacutetrie spheacuterique il convient de travailler en coordonneacuteesspheacuteriques (voir annexe) Cependant on peut se contenter de deacutecomposer ce deacuteplacementen un deacuteplacement eacuteleacutementaire suivant le vecteur radial minusrarru r qui correspond donc agrave une
variation d r de la distance r et un deacuteplacement dminusrarrlprime perpendiculaire agrave minusrarru r Lrsquoexpression
en coordonneacutees spheacuteriques est
dminusrarrlprime = r d uminusrarru u + r sin u d wminusrarru w
On peut donc eacutecrire dminusrarrl = drminusrarru r + d
minusrarrlprime
Il en reacutesulte que la diffeacuterentielle de lrsquoeacutenergie potentielle srsquoeacutecrit
d EP = GmMr3 rminusrarru r(d rminusrarru r + d
minusrarrlprime ) = GmM
r2 d r
Lrsquointeacutegration de la diffeacuterentielle de EP conduit agrave
EP = minusGmMr
+ C
Ce reacutesultat peut ecirctre obtenu en utilisant les coordonneacutees carteacutesiennes mais le calcul est unpeu plus lourd Le deacuteplacement eacuteleacutementaire et la force de gravitation srsquoeacutecrivent respecti-vement
dminusrarrl = d xminusrarru x + d yminusrarru y + d zminusrarru z
minusrarrF Mrarrm = minusG mM
OP3
minusrarrOP = minusG
mM(xminusrarru x + yminusrarru y + zminusrarru z
)(x2 + y2 + z2)32
180 Meacutecanique du point
La diffeacuterentielle de lrsquoeacutenergie potentielle srsquoeacutecrit alors
d EP = GmM(x d x + y d y + z d z)(x2 + y2 + z2)32
Lrsquointeacutegration est plus deacutelicate qursquoen coordonneacutees spheacuteriques et il est utile de faire le chan-gement de variable suivant
r2 = u = (x2 + y2 + z2) rArr du = 2(x d x + y d y + z d z)
ce qui conduit agrave
d EP = GmM(x d x + y d y + z d z)(x2 + y2 + z2)32
=12GmMuminus32 d u
Par inteacutegration nous obtenons
EP = minusG mMu12
+ C
ce qui conduit en revenant agrave la variable r agrave
EP = minusGmMr
+ C
Lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie potentielle de pesanteur dans un champ de gravitationvariable srsquoeacutecrit donc toujours
EP = minusGmM
r+ C
Remarque La valeur de la constante C deacutepend du choix arbitraire du zeacutero de lrsquoeacutenergiepotentielle On choisit habituellement de prendre nulle lrsquoeacutenergie potentielle de la masse mlorsqursquoelle est agrave lrsquoinfini par rapport agrave M
Le choix de lrsquoorigine de lrsquoeacutenergie potentielle
EP (infin) = 0
conduit agrave prendre la constante C nulle Lrsquoeacutenergie potentielle srsquoeacutecrit alors
EP = minusGmMr
32 Eacutenergie potentielle pour une masse au voisinage de la TerrePour une masse m au voisinage de la Terre situeacutee agrave lrsquoaltitude z par rapport au niveaude la mer il est commode de prendre lrsquoeacutenergie potentielle nulle agrave lrsquoaltitude 0 Lrsquoeacutenergiepotentielle de gravitation peut alors srsquoeacutecrire
EP (z) = minusGmMr
+ C = minusG mMRT + z
+ C
avec EP (RT) = 0 ce qui donne
EP = minusGmMr
+ GmMRT
Interaction gravitationnelle 181
Dans le cas ougrave la masse m est agrave une altitude z tregraves petite devant le rayon de la Terre RTil est possible de deacutevelopper lrsquoeacutenergie potentielle au premier ordre en zRT On obtientlorsque le zeacutero est pris agrave la surface de la Terre
EP (z) = minusG mMRT + z
+ GmMRT
= minusG mMRT(1 + z
RT)
+ GmMRT
soit
EP (z) = minusGmMRT
(1 +z
RT)minus1 + GmM
RT
Le deacuteveloppement limiteacute de lrsquoeacutenergie potentielle agrave lrsquoordre 1 en zRT conduit agrave
EP (z) = minusGmMRT
+ GmMR2
Tz + GmM
RT= mG0z
Nous avons vu qursquoau voisinage de la Terre localement le champ de gravitationminusrarrGo peut
ecirctre consideacutereacute comme uniforme et eacutegal au champ de pesanteur minusrarrg On retrouve bienalors lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie potentielle drsquoune masse m dans un champ de pesanteuruniforme minusrarrg
EP (z) = mG0z mgz
avec lrsquoaxe des z ascendant
4 APPLICATIONS
41 Comparaison de lrsquointeraction Terre-Lune et Soleil-Lune
Nous allons comparer les forces drsquoattraction terrestre et solaire sur la Lune Nous repor-tons dans le tableau 71 ci-dessous les diffeacuterentes grandeurs utiles
Terre Soleil Lune
MT=61024 kg MS=21030 kg ML=741022 kg
RT=6400 km ST=150106 km TL=60RT=384 000 km
Tableau 71 bull Masses et distances caracteacuteristiques de la Terre du Soleil et de la Lune
La force drsquoattraction du Soleil sur la Lune est donneacutee par
minusrarrF MSrarrML = minusGMSML
SL2minusrarru SL asymp minusGMSML
ST2minusrarru SL
La force drsquoattraction de la Terre sur la Lune srsquoeacutecrit
minusrarrF MTrarrML = minusGMTML
TL2minusrarru TL
182 Meacutecanique du point
Le rapport de lrsquointensiteacute de ces deux forces srsquoeacutecrit donc
r =FMSrarrML
FMTrarrML
=MSTL2
MTSL2 asymp 2
Le calcul preacuteceacutedent montre que la force drsquoattraction solaire sur la Lune est supeacuterieuredrsquoun facteur 2 agrave la force drsquoattraction terrestre sur la Lune Il nrsquoy a donc pas plus de raisonsde consideacuterer que la Lune est un satellite de la Terre ou du Soleil Le mouvement dela Lune autour de la Terre et autour du Soleil est un mouvement agrave trois corps dont lescaracteacuteristiques ont eacuteteacute donneacutees par les conditions initiales du mouvement
42 Champ de gravitation des astres agrave la surface de la TerreToute masse situeacutee agrave la surface de la Terre subit lrsquoattraction de gravitation terrestre maisaussi celles exerceacutees par tous les autres astres et en particulier la Lune (astre le plus prochede la Terre) et le Soleil (pour lrsquoimportance de sa masse) Il est inteacuteressant de comparer cesdiffeacuterents effets
TerreLune
Soleil
T PL
S
Figure 74 bull Repreacutesentation du Soleil de la Terre et de la Lune avec lesdiffeacuterents points utiliseacutes dans les calculs
Pour un point P agrave la surface de la Terre on aura
TP = RT LP 60RT minus RT = 59RT
SP ST minus RT ST ST = 150106 km
SoitminusrarrGS(P)
minusrarrGL(P) et
minusrarrGT(P) respectivement les champs de gravitation du Soleil de la Lune
et de la Terre au point P la comparaison de la valeur des deux premiers champs parrapport au champ de gravitation terrestre donne
GT(P)GS(P)
=MT
MS
(TSRT
)2
165103
GT(P)GL(P)
=MT
ML
(59RT
RT
)2
28105
Les rapports que nous venons de calculer montrent que le champ de gravitation terrestreest tregraves supeacuterieur aux champs de gravitation de la Lune ou du Soleil en tout point dela surface de la Terre Les effets gravitationnels du Soleil et de la Lune peuvent doncecirctre neacutegligeacutes devant lrsquoattraction de la Terre Cependant ces effets peuvent ecirctre mis eneacutevidence agrave partir de pheacutenomegravenes comme celui des mareacutees dont une interpreacutetation estdonneacutee dans le chapitre suivant
Interaction gravitationnelle 183
43 Satellites en orbite circulairea) Deacutetermination de la peacuteriode de reacutevolution
Nous allons nous inteacuteresser au mouvement drsquoun satellite de masse m tregraves petite devantla masse M de la Terre Il peut ecirctre consideacutereacute comme ponctuel et soumis uniquement agravelrsquoattraction gravitationnelle de la Terre De plus nous nous limitons au cas de la trajectoirecirculaire Une eacutetude plus geacuteneacuterale sur le mouvement drsquoune masse dans un champ degravitation est deacuteveloppeacutee dans le chapitre 10
Le rayon r = r0 de lrsquoorbite est constant donc d r d t = 0
x
y
z
O
P ρurarr
θurarr
Equateur
Figure 75 bull Repreacutesentation drsquoun satellite en orbite circulaire autour de la Terre
Le reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude est le reacutefeacuterentiel geacuteocentrique R galileacuteen dans lequel la Terre a unmouvement de rotation uniforme de peacuteriode 86164 s autour de son axe sud-nord
Le satellite P subit la force de gravitation de la Terre
minusrarrf Mrarrm = minusGmM
r20
minusrarru r
Lrsquoapplication agrave la masse m du principe fondamental de la dynamique permet drsquoeacutecrire
minusrarrf Mrarrm = mminusrarra
ougrave minusrarra est le vecteur acceacuteleacuteration du point P dans le reacutefeacuterentiel geacuteocentrique R
La trajectoire circulaire qursquoon recherche est plane Nous pouvons donc travailler en coor-donneacutees polaires Dans ces conditions avec r = r0 = cste lrsquoacceacuteleacuteration srsquoeacutecrit
minusrarra = minusr0u2minusrarru r + r0uminusrarru u
Nous obtenons donc G mMr20
= r0u2
r0u = 0 =rArr u = v0 = cste
184 Meacutecanique du point
Le mouvement est neacutecessairement uniforme Le vecteur vitesse srsquoeacutecrit en coordonneacuteespolaires minusrarrv = v0
minusrarru u = r0v0minusrarru u
Nous obtenons donc la relation suivante entre vitesse et rayon
GMr20
= r0v20 =
v20
r0=rArr v2
0 = GMr0
La trajectoire circulaire srsquoeffectue dans un plan passant par le centre de la Terre O le pointP et contenant le vecteur vitesse La peacuteriode T du mouvement est
T =2pr0
v0=rArr T2 =
4p2r20
v20
=4p2r3
0
GM
La vitesse du satellite est inversement proportionnelle agrave la racine carreacutee du rayon et lapeacuteriode au carreacute est proportionnelle au rayon au cube ce qui constitue lrsquoune des lois deKepler comme nous le verrons au chapitre 10
b) Satellite geacuteostationnaire
Un satellite geacuteostationnaire est un satellite qui paraicirct toujours immobile par rapport agrave unobservateur situeacute sur Terre Il est donc immobile dans un reacutefeacuterentiel terrestre Ce der-nier ayant un mouvement de rotation autour de son axe avec une vitesse angulaire Vle satellite doit admettre le mecircme axe de rotation et la mecircme vitesse angulaire V Sonmouvement eacutetant uniforme sa trajectoire est circulaire dans un plan contenant le centre Ode la Terre et perpendiculaire agrave lrsquoaxe Sud-Nord Il srsquoeffectue donc neacutecessairement dans leplan eacutequatorial
La vitesse angulaire drsquoun satellite eacutetant fixeacutee le rayon de sa trajectoire lrsquoest automatique-ment
Si Tt est la peacuteriode de rotation de la Terre sur elle-mecircme nous obtenons
T2t =
4p2r3S
GM=rArr rS =
3
radicGMT2
t
4p2
On trouve un rayon drsquoorbite circulaire drsquoenviron 42 000 km ce qui compte tenu du rayonterrestre conduit agrave une altitude de 36 000 km
De tels satellites permettent des liaisons radio permanentes entre deux continents drsquoougrave ilssont visibles
c) Eacutenergie drsquoun satellite geacuteostationnaire
Lrsquoeacutenergie meacutecanique du satellite est eacutegale agrave la somme de son eacutenergie cineacutetique Ec et deson eacutenergie potentielle EP En utilisant les reacutesultats preacuteceacutedents nous voyons que
Ec =12
mv20 =
GMm2r0
et EP = minusGmMr0
soit
E = Ec + EP = minusGmM2r0
Cette eacutenergie est neacutegative et correspond agrave la moitieacute de lrsquoeacutenergie potentielle de gravitation
Interaction gravitationnelle 185
Agrave RETENIR
Loi de Newton ou loi drsquoattraction universelle
Les masses M et m de deux corps situeacutes en O et en P srsquoattirent en raison de leursmasses et de lrsquoinverse du carreacute de leur distance
minusrarrF Mrarrm = minusG mM
OP2minusrarru OP
avec G = 6 6710minus11 USI
Champ de gravitation
Une masse M situeacutee en un point O creacutee au point P un champ de gravitation radial quivaut
minusrarrG (P) = minusG M
OP3
minusrarrOP = minusG M
OP2minusrarru OP
Eacutenergie potentielle de gravitation
Lrsquoeacutenergie potentielle de gravitation (encore appeleacutee de pesanteur) srsquoeacutecrit toujours
EP = minusGmMr
+ C
avec C constante arbitraire fixeacutee par lrsquoobservateur En geacuteneacuteral on pose EP (infin) = 0sauf pour calculer EP au voisinage de la Terre
Pour une masse m agrave une altitude z immeacutediatement voisine de la surface de la TerreC = 0 en r = RT et
EP = mgz
CHAPITRE 8
REacuteFERENTIELS NON GALILEacuteENS
Preacute-requis bull La maicirctrise du principe fondamental de la dynamique dans un reacutefeacuteren-tiel galileacuteen (chapitre 4) est impeacuterative ainsi que tout ce qui concerne lacineacutematique des changements de reacutefeacuterentiel (chapitre 3)
Objectif I Apprendre ce que sont les reacutefeacuterentiels non galileacuteens et ecirctre capable drsquoap-pliquer la relation fondamentale de la dynamique dans un reacutefeacuterentielnon galileacuteen en identifiant les forces drsquoinertie
I Interpreacuteter sur des exemples comment agissent les forces drsquoinertieI Appreacutehender comment les forces drsquoinertie permettent de passer de la
force de gravitation agrave la force de pesanteur et bien cerner la diffeacuterenceentre ces deux forces
I Pour les lecteurs motiveacutes appreacutehender la notion de mareacuteeI Comprendre le pheacutenomegravene de deacuteviation vers lrsquoest et interpreacuteter quanti-
tativement son amplitude
1 INTRODUCTION
Nous avons vu dans le chapitre 3 qursquoil eacutetait possible de preacutedire le mouvement drsquoun pointmateacuteriel en connaissant les forces qui sont exerceacutees sur ce point Pour cela nous disposonsdu principe fondamental de la dynamique qui permet drsquoobtenir lrsquoeacutequation diffeacuterentielledu mouvement Cependant ce principe nrsquoest valable que si lrsquoeacutetude est effectueacutee dans unreacutefeacuterentiel galileacuteen ce qui pour des raisons pratiques nrsquoest pas toujours le cas En geacuteneacuteralles expeacuteriences de meacutecanique que nous sommes ameneacutes agrave reacutealiser srsquoeffectuent sur TerreIl est donc logique de prendre comme reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude le reacutefeacuterentiel terrestre
Or nous avons vu que ce reacutefeacuterentiel nrsquoest pas rigoureusement galileacuteen puisqursquoil a dansle reacutefeacuterentiel de Copernic qui est un excellent reacutefeacuterentiel galileacuteen un mouvement detranslation circulaire autour du Soleil combineacute agrave un mouvement de rotation autour deson axe sud-nord Heureusement dans de nombreux cas le reacutefeacuterentiel terrestre peuten premiegravere approximation ecirctre consideacutereacute comme galileacuteen Mais ceci nrsquoest pas toujourspossible comme par exemple lorsque lrsquoon cherche agrave expliquer la deacuteviation vers lrsquoest drsquouncorps en chute libre problegraveme qui est traiteacute dans ce chapitre De mecircme si une expeacuterienceest reacutealiseacutee dans un veacutehicule en acceacuteleacuteration par rapport agrave la Terre le reacutefeacuterentiel pratiquelaquo veacutehicule raquo nrsquoest pas galileacuteen
Il importe donc de consideacuterer comment le principe fondamental de la dynamique doitecirctre modifieacute lorsque le reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude choisi est non galileacuteen
188 Meacutecanique du point
2 LOI DE LA DYNAMIQUE DANS UN REacuteFEacuteRENTIEL NON GALILEacuteEN
Soit deux reacutefeacuterentiels dont lrsquoun R est galileacuteen et lrsquoautre Rprime non galileacuteen La loi de com-position des acceacuteleacuterations (voir chapitre 2) permet de relier lrsquoacceacuteleacuteration drsquoun point Mdans le reacutefeacuterentiel R agrave lrsquoacceacuteleacuteration de ce mecircme point dans le reacutefeacuterentiel Rprime
minusrarra MR = minusrarra MRprime + minusrarra e + minusrarra c
Lrsquoacceacuteleacuteration drsquoentraicircnement et celle de Coriolis ont pour expressions
minusrarra e = d2 minusrarrOOprime
d t2 + minusrarrv RprimeR and (minusrarrv RprimeR andminusminusrarrOprimeM) + d minusminusminusrarrvRprimeR
d t andminusminusrarrOprimeM
minusrarra c = 2minusrarrv RprimeR and minusrarrv MRprime
avec minusrarrv RprimeR vecteur rotation de Rprime par rapport agrave R O origine du repegravere lieacute agrave R et Oprime celledu repegravere lieacute agrave Rprime
Dans le reacutefeacuterentiel R galileacuteen il est possible drsquoeacutecrire que summinusrarrF ext = mminusrarra MR
En reportant la loi de composition des acceacuteleacuterations dans la relation fondamentale de ladynamique on obtient une nouvelle eacutequation qui fait intervenir le produit de la masse mdu point mateacuteriel par son acceacuteleacuteration
mminusrarra MRprime =summinusrarr
F ext minus mminusrarra e minus mminusrarra c
Cette eacutequation est connue sous le nom de relation fondamentale de la dynamique dansun reacutefeacuterentiel non galileacuteen
Il est agrave remarquer qursquoil importe de tenir compte dans Rprime de deux termes suppleacutementaires bull minusmminusrarra e que lrsquoon eacutecrit
minusrarrf ie et qui srsquoappelle force drsquoinertie drsquoentraicircnement
bull minusmminusrarra c que lrsquoon eacutecritminusrarrf ic et qui srsquoappelle force drsquoinertie de Coriolis ou force drsquoinertie
compleacutementaire
Il en reacutesulte que la relation fondamentale dans un reacutefeacuterentiel non galileacuteen srsquoeacutecrit
mminusrarra MRprime =summinusrarr
F ext +minusrarrf ie +
minusrarrf ic
ougraveminusrarrf ie et
minusrarrf ic sont des grandeurs homogegravenes agrave des forces et sont proportionnelles agrave la
masse m drsquoougrave leur nom de forces drsquoinertie drsquoentraicircnement et de Coriolis Ce ne sontpas de veacuteritables forces mais plutocirct des pseudo-forces introduites pour pouvoir avoir unerelation eacutequivalente agrave la relation fondamentale mais applicable dans un reacutefeacuterentiel nongalileacuteen Elles nrsquointerviennent que si lrsquoeacutetude est faite dans un reacutefeacuterentiel Rprime non galileacuteenElles sont dues au mouvement non rectiligne uniforme de Rprime par rapport agrave R On lesappelle parfois forces de repegravere
Il est important de noter que pour mettre en eacutevidence lrsquoeffet de la force de Coriolisil faut que le systegraveme que lrsquoon eacutetudie dans le reacutefeacuterentiel Rprime non galileacuteen (qui doit ecirctreen rotation par rapport agrave R) soit en mouvement dans Rprime Un livre poseacute sur une tabledans votre bureau (lieacutee au reacutefeacuterentiel terrestre non galileacuteen) ne peut pas subir la force deCoriolis Cette force a eacuteteacute mise en eacutevidence au cours drsquoexpeacuteriences ceacutelegravebres comme celledu pendule de Foucault Elle est aussi responsable du mouvement rotatoire drsquoun fluide eneacutecoulement dans une baignoire
Reacutefeacuterentiels non galileacuteens 189
La force drsquoinertie drsquoentraicircnement est plus facile agrave appreacutehender car elle se perccediloit plusfacilement Quand nous sommes installeacutes dans un veacutehicule en deacuteceacuteleacuteration ou en acceacuteleacute-ration nous sommes projeteacutes vers lrsquoavant du siegravege au cours drsquoun freinage brutal et colleacutes aufond au cours de lrsquoacceacuteleacuteration Vu de lrsquoexteacuterieur du veacutehicule ceci est la conseacutequence drsquounedeacuteceacuteleacuteration ou acceacuteleacuteration par rapport au reacutefeacuterentiel terrestre (consideacutereacute ici comme ga-lileacuteen) Vu de lrsquointeacuterieur du veacutehicule (reacutefeacuterentiel non galileacuteen) tout se passe comme si uneforce nous projetait vers lrsquoavant ou nous collait sur le siegravege Citons eacutegalement la ceacutelegravebreforce centrifuge que nous subissons quand nous sommes installeacutes dans un veacutehicule enmouvement de rotation et qui est mise agrave profit dans les centrifugeuses
3 EXEMPLES DrsquoAPPLICATION
31 Translation non uniformeConsideacuterons un reacutefeacuterentiel Rprime en mouvement de translation rectiligne uniformeacutement ac-ceacuteleacutereacute par rapport agrave un reacutefeacuterentiel R consideacutereacute comme galileacuteen (figure 81)
O
prime
zz prime
O
xx prime
y
y prime
cstea =rarr
R
R
prime
rarr
Figure 81 bull Reacutefeacuterentiel Rprime en mouvement acceacuteleacutereacute par rapport au reacutefeacuterentiel R galileacuteen
Le reacutefeacuterentiel Rprime eacutetant en mouvement de translation par rapport agrave R nous constatons quela force de Coriolis est nulle et que la force drsquoinertie drsquoentraicircnement se limite agrave
minusrarrf ie = minusmminusrarra e = minusm
d2 minusminusrarrOOprime
d t2= minusmminusrarra
Dans Rprime la relation fondamentale de la dynamique srsquoeacutecrit donc
mminusrarra MRprime =summinusrarr
F ext minus mminusrarra
Agrave titre drsquoexemple consideacuterons le cas drsquoun pendule simple accrocheacute au plafond drsquoun wa-gon drsquoun train en mouvement rectiligne uniformeacutement acceacuteleacutereacute On se place dans le casougrave le mouvement est eacutetabli (acceacuteleacuteration constante) Lrsquoeacutetude du mouvement de ce pen-dule peut se faire dans le reacutefeacuterentiel R terrestre consideacutereacute galileacuteen ou dans le reacutefeacuterentielRprime lieacute au wagon non galileacuteen puisqursquoen acceacuteleacuteration constante par rapport agrave la TerreCommenccedilons par le reacutefeacuterentiel Rprime
190 Meacutecanique du point
aaR
R
primerarrrarr =
gmrarr
amrarrminus
α
Trarr
y prime
x prime
O
prime
Figure 82 bull Eacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoun pendule dans le reacutefeacuterentiel non galileacuteen drsquoun wagon
a) Eacutetude dans le reacutefeacuterentiel Rprime (veacutehicule) non galileacuteen
Nous eacutetudions le systegraveme point mateacuteriel M de masse m Le reacutefeacuterentiel Rprime est en translationpar rapport au reacutefeacuterentiel R galileacuteen terrestre du quai En conseacutequence la force de Coriolisest nulle Le systegraveme subit donc les forces suivantes bull minusrarr
P = mminusrarrg poids de la masse mbull minusrarr
T tension du fil bull minusrarr
f ie force drsquoinertieminusrarrf ie = minusmminusrarra RprimeR = minusmminusrarra
Pour lrsquoobservateur situeacute en Oprime la masse m est immobile donc minusrarra MRprime =minusrarr0 On peut donc
eacutecrire la condition drsquoeacutequilibre de la masse m dans Rrsquo
minusrarrP +
minusrarrT +
minusrarrf ie =
minusrarr0 =rArr minusrarr
P +minusrarrT minus mminusrarra =
minusrarr0
Il est facile de deacutecomposer les diffeacuterentes forces dans la baseminusrarriprime
minusrarrjprime
minusrarrkprime du reacutefeacuterentiel Rprime
Nous avons en effet
minusrarrP =
0minusmg
0
minusrarrT =
T sin aT cos a
0
minusrarrf ie =
minusma00
Apregraves projection sur les deux axes xprime et yprime du mouvement nous obtenonsT sin a = maT cos a = mg
On en deacuteduit donc que lrsquoangle drsquoinclinaison est donneacute par
tan a =ag
(81)
Reacutefeacuterentiels non galileacuteens 191
ararr
y prime
x primeO
prime
y
x
Acceacuteleacuteration du veacutehicule
dans R
gmrarr
Trarr
α
amrarrM
O
Figure 83 bull Eacutetude du mouvement du pendule dans le reacutefeacuterentiel galileacuteen lieacute au sol
b) Eacutetude dans le reacutefeacuterentiel Terrestre R galileacuteen
Le systegraveme est le point mateacuteriel M de masse m qui subit les forces bull minusrarr
P poids de la masse mbull minusrarr
T tension du fil
Pour lrsquoobservateur en O la masse m a le mecircme mouvement que le veacutehicule et donc lemecircme vecteur acceacuteleacuteration Le principe fondamental de la dynamique appliqueacute agrave M dansR conduit agrave minusrarr
P +minusrarrT = mminusrarra
On en deacuteduit donc que lrsquoangle drsquoinclinaison est aussi donneacute par (81)
32 Mouvement de rotationConsideacuterons un pendule en mouvement de rotation uniforme de vitesse angulaire v parrapport agrave un reacutefeacuterentiel galileacuteen R(O x y z) Nous pouvons eacutetudier le mouvement de lamasse m dans ce reacutefeacuterentiel ou dans le reacutefeacuterentiel Rprime(O xprime yprime zprime) en rotation avec la massem Cette masse est alors fixe par rapport agrave Rprime (figure 84)
Dans le reacutefeacuterentiel R la masse a un mouvement circulaire uniforme de vecteur vitesseangulaire Le rayon du cercle deacutecrit par M est r = OM = l sin a les vecteurs vitesse etacceacuteleacuteration en coordonneacutees polaires sont donc minusrarrv = rvminusrarru u
minusrarra = minusrv2minusrarru r
Le reacutefeacuterentiel Rprime(O xprime yprime z) lieacute au point M est en mouvement de rotation uniforme parrapport agrave R de vecteur vitesse angulaire minusrarrv RprimeR = vminusrarru z Dans ce reacutefeacuterentiel la masse mapparaicirct immobile
192 Meacutecanique du point
rarruθrarr
ρurarr
z
y prime
y
x prime
x
O
uzrarr
ωrarr
α
θM
Prarr
Trarr
uxrarr
l
uy
Figure 84 bull Mouvement de rotation uniforme drsquoun pendule simple
a) Eacutetude dans le reacutefeacuterentiel R(O x y z) galileacuteen
α Trarr
Prarr
l
ρurarr
O
z
Figure 85 bull Eacutetude dumouvement dans le reacutefeacuterentiel
galileacuteen lieacute au sol
Le systegraveme est la masse m (en rotation) qui subitles forces
bull minusrarrP poids de m
bull minusrarrT tension du fil
Le principe fondamental de la dynamiqueconduit agrave minusrarr
P +minusrarrT = mminusrarra
soit minusrarrP +
minusrarrT = mminusrarra = minusmlv2 sin aminusrarru r
Par projection de cette relation sur minusrarru r nousavons
minusT sin a = minusmlv2 sin a
En projection sur minusrarru z nous obtenons
minusmg + T cos a = 0
soit tan a =lv2 sin a
g
b) Eacutetude dans le reacutefeacuterentiel Rprime(O xprime yprime z) non galileacuteen
Nous eacutetudions dans Rrsquo le systegraveme masse m (immobile) qui subit les forcesbull minusrarr
P poids de m bull minusrarr
T tension du fil bull minusrarr
f ie forces drsquoinertie
Reacutefeacuterentiels non galileacuteens 193
α Trarr
Prarr
l
ifrarr
O
z
x prime
Figure 86 bull Eacutetude de lrsquoeacutequilibre dans le reacutefeacuterentiel lieacute au pendule
La force drsquoinertie de Coriolis est nulle puisque la masse est immobile dans Rprime La seuleforce drsquoinertie agrave consideacuterer est donc la force drsquoinertie drsquoentraicircnement qui est donneacutee par
minusrarrf ie = minusmminusrarra e = minusmminusrarrv and
(minusrarrvminusminusminusrarrandOM)
= minusmminusrarra
soitminusrarrf ie = minusmv2l sin aminusrarru r
La relation fondamentale de la dynamique srsquoeacutecrit alors
minusrarrP +
minusrarrT + mlv2 sin aminusrarru r =
minusrarr0
ce qui compte tenu de la figure 86 conduit agrave
tan a =fiemg
=v2l sin a
g
Les deux faccedilons de raisonner aboutissent eacutevidemment au mecircme reacutesultat Ce sont lesmecircmes eacutequations qui sont preacutesenteacutees diffeacuteremment
Vu du reacutefeacuterentiel R la masse ayant un mouvement circulaire uniforme il est neacutecessaireque le fil srsquoincline pour que la somme des forces conduise agrave une acceacuteleacuteration normalecentripegravete
Vu du reacutefeacuterentiel Rprime le fil srsquoincline du fait de lrsquoexistence drsquoune force drsquoinertie La masseest alors en eacutequilibre sous lrsquoaction de trois forces La force drsquoinertie est ici centrifuge etmaintient dans Rprime lrsquoobjet sous un angle a par rapport agrave la verticale
La condition drsquoeacutequilibre peut se reacuteeacutecrire sous cette forme
tan a =lv2 sin a
g=rArr sin a
(1
cos aminus v2l
g
)= 0
ce qui conduit aux solutions suivantes sin a = 0 =rArr a = 0
1cos a
= v2lg
194 Meacutecanique du point
La derniegravere condition nrsquoest valable que dans la limite possible des valeurs du cosinus cequi impose une condition suppleacutementaire sur la vitesse angulaire de rotation du systegravemepour que lrsquoon puisse observer la deacuteviation sous lrsquoangle a Il faut en effet que
cos a 1 =rArr v2 gl
Cette vitesse de rotation est la vitesse en dessous de laquelle le pendule ne deacutevie pas Untel problegraveme est un magnifique exemple de bifurcation en physique On peut en effet re-preacutesenter lrsquoangle de deacuteviation en fonction de la vitesse angulaire v et veacuterifier que lrsquoangle abifurque quand on atteint la vitesse angulaire limite (figure 87)
0 2 4 6 8 10-02
00
02
04
06
08
10
12
14
16
l = 1 m
ωl = (gl)
12
α (
en r
adia
n)
ω (rads-1
)
Figure 87 bull Angle de deacuteviation du pendule en fonction de la vitesse angulaire
33 Poids apparent dans un ascenseurConsideacuterons pour commencer une personne immobile sur un pegravese-personne poseacute sur lesol (figure 88) Le reacutefeacuterentiel terrestre peut ecirctre pris comme galileacuteen Les forces agissantalors sur la personne sont la reacuteaction du support
minusrarrR (crsquoest-agrave-dire du pegravese-personne) et son
poidsminusrarrP La condition drsquoimmobiliteacute de la personne conduit agrave eacutecrire
minusrarrP +
minusrarrR = 0 =rArr minusrarr
P = minusminusrarrR
minusrarrR est lrsquoaction du pegravese-personne sur la personne Drsquoapregraves le principe des actions reacuteci-proques (minusminusrarr
R ) repreacutesente lrsquoaction de la personne sur le pegravese-personne crsquoest-agrave-dire sonpoids
minusrarrP
Consideacuterons maintenant la mecircme situation mais qui se deacuteroule dans un ascenseur enacceacuteleacuteration par rapport agrave la Terre (figure 89)
Lrsquoascenseur se deacuteplace suivant un axe vertical Oz orienteacute vers le haut Le vecteur acceacuteleacutera-tion de la cabine par rapport agrave la Terre est minusrarra = aminusrarru z Le reacutefeacuterentiel Rprime lieacute agrave lrsquoascenseur
Reacutefeacuterentiels non galileacuteens 195
Rrarr
Prarr
Figure 88 bull Personne en eacutequilibre sur un pegravese-personne
z
uzrarr
uzaa rarrrarr =
Rrarr
Prarr
AscenseurReacutefeacuterentiel non
galileacuteen
Reacutefeacuterentielterrestregalileacuteen
Figure 89 bull Eacutetude de lrsquoeacutequilibre drsquoune personne monteacuteesur un pegravese-personne placeacute dans un ascenceur
nrsquoest pas galileacuteen sauf si a = 0 car alors la cabine se deacuteplacerait drsquoun mouvement recti-ligne uniforme
Dans le reacutefeacuterentiel ascenseur non galileacuteen la personne est immobile Elle subit les forces
bull minusrarrP = mminusrarrg = minusmgminusrarru z son poids
bull minusrarrR la reacuteaction du pegravese-personne sur la personne
Il faut ajouter les forces drsquoinertie Lrsquoascenseur eacutetant en mouvement de translation rectilignenon uniforme la force drsquoinertie de Coriolis est nulle et seule subsiste la force drsquoinertiedrsquoentraicircnement qui srsquoeacutecrit
minusrarrf ie = minusmminusrarra = minusmaminusrarru z
La condition drsquoeacutequilibre eacutecrite dans le reacutefeacuterentiel ascenseur donne donc
minusrarrP +
minusrarrR +
minusrarrf ie =
minusrarr0 =rArr minusrarr
R =(mg + ma
)minusrarru z
196 Meacutecanique du point
Nous avons vu que (minusminusrarrR ) correspond agrave lrsquoaction de la personne sur le pegravese-personne Po-
sons alors∥∥∥minusrarrR ∥∥∥ = Pa poids apparent que le pegravese-personne va indiquer On a alors
Pa = m(g + a
)Examinons les diffeacuterents cas pouvant se preacutesenterbull a gt 0 lrsquoascenseur deacutemarre en montant ou freine en descendant On a dans ce cas
Pa = m(g + a
)gt mg = P
Le poids apparent est supeacuterieur au poids reacuteel Nous nous sentons un peu plus lourd etavons tendance agrave fleacutechir leacutegegraverement les genoux
bull a = 0 lrsquoascenseur se deacuteplace agrave vitesse constante
Pa = mg
Le reacutefeacuterentiel est alors devenu galileacuteen Nous retrouvons notre poids habituel et neressentons aucun effet du mouvement de lrsquoascenseur
bull a lt 0 lrsquoascenseur freine en montant ou deacutemarre en descendant On a alors
Pa = m(g minus |a|
)lt mg = P
Cette fois le poids apparent est infeacuterieur au poids reacuteel et nous nous sentons plus leacutegerSi le cacircble de lrsquoascenseur casse la cabine se retrouve en chute libre avec une acceacuteleacuterationminusrarra = minusrarrg = minusgminusrarru z Le poids apparent devient alors nul Nous nous retrouvons en eacutetatdrsquoapesanteur et ne ressentons plus les effets de notre poids (ceci eacutevidemment jusqursquoaumoment ougrave la cabine srsquoeacutecrase au sol)
34 Eacutetat drsquoapesanteur dans un satellite artificiel de la Terre
Consideacuterons un satellite de masse MS en orbite autour de la Terre (figure 810) Lemouvement du centre drsquoinertie I de ce satellite dans le reacutefeacuterentiel geacuteocentrique galileacuteenR(T x y z) est deacutetermineacute par le principe fondamental de la dynamique La seule forceagissant sur le systegraveme est la force de gravitation de la Terre On peut eacutecrire
MSminusrarra (I) = MS
minusrarrG (I) rArr minusrarra (I) =
minusrarrG (I)
Le reacutefeacuterentiel Rprime(I xprime yprime z) lieacute au centre drsquoinertie I du satellite et dont les axes restentparallegraveles aux axes du reacutefeacuterentiel geacuteocentrique est en translation circulaire par rapport agraveR et nrsquoest donc pas galileacuteen
Eacutetudions maintenant le mouvement par rapport au satellite drsquoun point mateacuteriel P (centredrsquoinertie drsquoun astronaute) de masse m situeacute dans le satellite Il est soumis a bull la force de gravitation de la Terre m
minusrarrG (P)
bull la force drsquoinertie drsquoentraicircnementminusrarrf ie = minusmminusrarra e = minusmminusrarra (I) = minusm
minusrarrG (I)
Dans ce cas il nrsquoy a pas de force drsquoinertie de Coriolis puisque le reacutefeacuterentiel Rprime(I xprime yprime z)est en translation
Reacutefeacuterentiels non galileacuteens 197
x
y
x prime
y prime
T
I
r
P
Figure 810 bull Astronaute en eacutetat drsquoapesanteur dans un satellite
Les dimensions du satellite eacutetant tregraves petites devant le rayon r de lrsquoorbite du satellite onpeut consideacuterer le champ de gravitation localement uniforme agrave lrsquointeacuterieur et donc on peuteacutecrire minusrarr
G (P) =minusrarrG (I)
Dans ces conditions la reacutesultante des forces appliqueacutees agrave P est
m(minusrarrG (P) minusminusrarr
G (I)) =minusrarr0
Lrsquoastronaute se trouve en eacutetat drsquoapesanteur1 (ou impesanteur) la force de gravitation ter-restre est compenseacutee par la force drsquoinertie centrifuge
Nous avons consideacutereacute ici que le satellite eacutetait fixe dans Rprime Il est possible de creacuteer unecertaine pesanteur artificielle dans le satellite en le faisant tourner par exemple autourde lrsquoaxe Iz Dans ce cas lrsquoastronaute subit une force drsquoinertie suppleacutementaire centrifugequi va lui permettre de retrouver un sol sous ses pieds
4 DYNAMIQUE TERRESTRE
41 Poids drsquoun corpsNous avons vu au chapitre 7 que le champ de pesanteur minusrarrg agrave la surface de la Terre pouvaitse confondre avec le champ de gravitation terrestre
minusrarrG Nous allons montrer dans ce pa-
ragraphe que cette relation nrsquoest qursquoapprocheacutee et qursquoelle doit ecirctre en toute rigueur reacuteviseacuteeagrave cause du mouvement de rotation de la Terre
Consideacuterons une masse m caracteacuteriseacutee par un point I agrave la surface de la Terre agrave la latitudel et eacutetudions son eacutequilibre dans le reacutefeacuterentiel terrestre Rprime en rotation agrave la vitesse angu-laire minusrarrv par rapport au reacutefeacuterentiel geacuteocentrique (origine T centre de la Terre) lui-mecircmeen mouvement de translation circulaire par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteen de Copernic
1 Agrave lire Le pheacutenomegravene drsquoimpesanteur par JP Penoit BUP 1988 n700 1-44
198 Meacutecanique du point
(origine S centre drsquoinertie du Systegraveme Solaire) Dans ce qui va suivre nous consideacuteronsque le reacutefeacuterentiel galileacuteen de reacutefeacuterence est le reacutefeacuterentiel de Copernic
Le poidsminusrarrP = mminusrarrg produit de la masse m par le champ de pesanteur se deacutefinit dans le
reacutefeacuterentiel terrestre agrave partir par exemple de lrsquoeacutequilibre de la masse poseacutee sur le sol oususpendue agrave un fil (ou un ressort) (figure 811)
m
Rrarr
PrarrP
rarr
Trarr
Terre I
Figure 811 bull Eacutequilibre drsquoune masse dans le reacutefeacuterentiel terrestre
Agrave lrsquoeacutequilibre avec les notations de la figure 811 on a
minusrarrP +
minusrarrR =
minusrarr0 =rArr minusrarr
P = minusminusrarrR
minusrarrP +
minusrarrT =
minusrarr0 =rArr minusrarr
P = minusminusrarrT
ougraveminusrarrR est la reacuteaction du sol et
minusrarrT la tension du fil
Pour deacuteterminer ce qursquoon appelle le poids drsquoun corps il est neacutecessaire de faire un bilande toutes les forces agissant sur lui en tenant compte en particulier des forces drsquoinertie quiapparaissent dans Rprime
Dans le reacutefeacuterentiel terrestre Rprime la masse m subit bull la force de gravitation de la Terre m
minusrarrG T(I)
bull la force de gravitation de tous les astres (le Soleil la Lune etc) que nous repreacutesentonspar m
minusrarrG A(I)
bull les forces drsquoinertieminusrarrf i du fait que le reacutefeacuterentiel terrestre Rprime nrsquoest pas galileacuteen
Comme la masse m est en eacutequilibre dans Rrsquo elle ne subit que la force drsquoinertie drsquoentraicircne-ment
minusrarrf ie Lrsquoacceacuteleacuteration drsquoentraicircnement est donneacutee par
minusrarra e = minusrarra TS + minusrarrv and(minusrarrv and minusrarr
TI)
avec minusrarrv vecteur vitesse angulaire de rotation de la Terre autour de son axe nord-sud etminusrarra TS lrsquoacceacuteleacuteration du centre T de la Terre par rapport au reacutefeacuterentiel de Copernic centreacutesur S (figure 812)
La force drsquoinertie drsquoentraicircnement srsquoeacutecrit doncminusrarrf ie = minusm
[minusrarra TS + minusrarrv and(minusrarrv and minusrarr
TI)]
Lrsquoeacutequilibre de la masse m agrave la surface de la Terre est donc reacutegi par la relation
minusrarrR + m
minusrarrG T(I) + m
minusrarrG A(I) +
minusrarrf ie =
minusrarr0
Reacutefeacuterentiels non galileacuteens 199
S T
xS x
zS
yS
x
prime
y
y
prime
z
ωrarr
L
Soleil
Reacutefeacuterentielgeacuteocentrique
ReacutefeacuterentielterrestreReacutefeacuterentiel de
Copernic
(Lune)(Terre)
Figure 812 bull Reacutefeacuterentiels de Copernic geacuteocentrique et terrestre
De plus si nous consideacuterons le mouvement du centre de masse de la Terre dans sa courseautour du Soleil nous pouvons eacutecrire en nous placcedilant dans le reacutefeacuterentiel galileacuteen de Co-pernic
MTminusrarra TS = MT
minusrarrGA(T) =rArr minusrarra TS =
minusrarrGA(T)
Il est reacutesulte que la force drsquoinertie drsquoentraicircnement srsquoeacutecrit
minusrarrf ie = minusm
minusrarrG A (T) minus mminusrarrv and
(minusrarrv and minusrarrTI)
La somme des forces exerceacutees sur m srsquoeacutecrit donc dans le reacutefeacuterentiel terrestre
minusrarrR + m
minusrarrG T(I) + m
minusrarrG A(I) minus m
minusrarrG A (T) minus mminusrarrv and
(minusrarrv and minusrarrTI)
ce qui par identification conduit agrave
minusrarrP = mminusrarrg = m
[minusrarrG T(I) minusminusrarrv and
(minusrarrv and minusrarrTI)
+minusrarrG A(I) minusminusrarr
G A (T)]
Nous voyons ainsi que le poidsminusrarrP drsquoun corps nrsquoest pas strictement eacutegal agrave la force de
gravitation qursquoexerce la Terre sur lui Le poids drsquoun corps est la somme de trois termes
bull mminusrarrG T(I) force de gravitation de la Terre exerceacutee sur la masse m (centre drsquoinertie I)
bull minusmminusrarrv and(minusrarrv and minusrarr
TI)
force centrifuge due agrave la rotation de la Terre
bull mminusrarrG A(I) minus m
minusrarrG A (T) qursquoon appelle le terme des mareacutees car il est responsable du pheacuteno-
megravene des mareacutees comme nous le verrons agrave la fin de ce chapitre
200 Meacutecanique du point
Le premier terme entre crochets est le plus important et correspond en module agrave en-viron 9 8 msminus2 Examinons maintenant lrsquoordre de grandeur des termes correctifs quiapparaissent en estimant leur valeur maximale Le second terme qui est lieacute agrave lrsquoacceacuteleacutera-tion centrifuge veacuterifie ∥∥∥minusrarrv and
(minusrarrv and minusrarrTI)∥∥∥ v2R 0034 msminus2
Le dernier terme peut se calculer en eacutevaluant la diffeacuterence entre le champ de gravitationde tous les astres au point I consideacutereacute et celui au point T centre de la Terre Il est facile devoir en faisant apparaicirctre lrsquoattraction du Soleil (
minusrarrG S) de la Lune (
minusrarrG L) et lrsquointeraction avec
les autres astres que
minusrarrG A(I) minusminusrarr
G A (T) =minusrarrG S(I) minusminusrarr
G S (T) +minusrarrG L(I) minusminusrarr
G L (T) +
On a alors ∥∥∥minusrarrG S(I) minusminusrarrG S (T)
∥∥∥ = GMS(
1SI2 minus 1
ST2
)= GMS
ST2
(ST2
SI2 minus 1)
GMSST2
[ST2
(STminusRT)2 minus 1]
= GMSST2
[(1 minus RT
ST
)minus2 minus 1]
∥∥∥minusrarrG S(I) minusminusrarrG S (T)
∥∥∥ 2GMSRT
ST3 = 510minus7 msminus2
et drsquoautre part∥∥∥minusrarrG L(I) minusminusrarrG L (T)
∥∥∥ GML(
1LI2 minus 1
LT2
)= GML
(1
(60RminusR)2 minus 1(60R)2
) GML
(60R)2
((1 minus 1
60
)2 minus 1)
∥∥∥minusrarrG L(I) minusminusrarrG L (T)
∥∥∥ GML
(60RT)21
30= 1110minus7 msminus2
Lrsquoinfluence des autres astres tregraves faible devant celle du Soleil ou de la Lune est absolumentneacutegligeable
On constate que bien que le champ de gravitation du Soleil en un point de la Terre soitsupeacuterieur agrave celui de la Lune la diffeacuterence de ce champ entre le centre T et un point dela surface terrestre est deux fois plus faible que pour la Lune Neacuteanmoins ces correctionsrestent tregraves faibles devant le terme corrrespondant agrave la force drsquoinertie due agrave la rotationde la Terre sur elle-mecircme Elles peuvent donc ecirctre neacutegligeacutees Ceci revient agrave consideacuterer lereacutefeacuterentiel geacuteocentrique comme galileacuteen et agrave ne pas tenir compte de tous les astres Nousverrons un peu plus loin que ces termes correctifs peuvent jouer un rocircle dans lrsquointerpreacute-tation du pheacutenomegravene des mareacutees
Toutes ces consideacuterations montrent que finalement le champ de pesanteur terrestre peutsrsquoeacutecrire
minusrarrg (I) =minusrarrG T (I) minusminusrarrv and
(minusrarrv and minusrarrTI)
=rArr minusrarrg (I) =minusrarrG T (I) + v2RT cos lminusrarru prime
x
Reacutefeacuterentiels non galileacuteens 201
z
xx
prime
y
y
prime
z
prime
ωrarr
T
I
λ
H
R
prime (Tx
primey
prime z)
R(Txyz)
uxrarr
primeuxrarr
R
λcosRHI =
Reacutefeacuterentiel terrestre
Reacutefeacuterentiel geacuteocentrique
Figure 813 bull Point I agrave la surface de la Terre agrave la latitude l
Le champ de pesanteur correspond donc au champ de gravitation corrigeacute de lrsquoacceacuteleacutera-tion centrifuge
La tensionminusrarrT du fil (ou la reacuteaction du support) qui compense le poids nrsquoest pas selon la
direction du rayon terrestre TI mais en deacutevie un peu agrave cause de la force drsquoinertie drsquoentraicirc-nement comme le montre la figure 814 La tension du fil compense la force mminusrarrg qui estla force de pesanteur et dont lrsquoexpression est
mminusrarrg = mminusrarrG T (I) +
minusrarrf ie = m(
minusrarrG T (I) + v2RT cos lminusrarru prime
x)
T
ε
)0)((rarrrarr
=Nf ie
)( Igmrarr
)( IGm T
rarr)( If ie
rarr
Trarr
λcosR
λ
I
N(pocircle Nord)
)()( NgmNGm T
rarrrarr=
)( Ef ie
rarr
)( EGm T
rarrE(eacutequateur)
)( Egmrarr
fil
Figure 814 bull Illustration du poids et de la force de gravitation
202 Meacutecanique du point
Cela montre donc que le terme de gravitation GT doit ecirctre corrigeacute de lrsquoeffet drsquoinertie etque lrsquoacceacuteleacuteration de la pesanteur diffegravere de lrsquoacceacuteleacuteration de gravitation selon la relation
minusrarrg =minusrarrG T + v2RT cos lminusrarru prime
x
La correction drsquoinertie deacutepend bien sucircr de la latitude du point consideacutereacute Elle est nullesur lrsquoaxe de rotation terrestre crsquoest-agrave-dire aux latitudes minus90 et 90 Elle est maximale agravelrsquoeacutequateur Les valeurs mesureacutees du champ de pesanteur g aux pocircles et agrave lrsquoeacutequateur sont bull aux pocircles g = 9 83 msminus2bull agrave lrsquoeacutequateur g = 9 78 msminus2
Sachant que la vitesse angulaire de rotation de la Terre est v = 7 310minus5 radsminus1 lacorrection maximale est de 0034 msminus2 Cette correction est agrave lrsquoeacutequateur opposeacutee agrave g etest leacutegegraverement infeacuterieure agrave la correction attendue qui est de 005 msminus2 La diffeacuterence estimputable agrave la non-spheacutericiteacute de la Terre En effet la force drsquoinertie centrifuge deacuteformela Terre qui possegravede un rayon agrave lrsquoeacutequateur plus important qursquoaux pocircles
La verticale drsquoun lieu deacutefinie agrave partir de la direction que prend un fil agrave plomb ne passedonc pas exactement par le centre de la Terre (sauf agrave lrsquoeacutequateur et aux pocircles) Crsquoest agrave lalatitude l = 45 que lrsquoeacutecart est maximal En consideacuterant le triangle formeacute par les deuxvecteurs minusrarrg (I) et
minusrarrG (I) on peut eacutecrire la relation suivante faisant intervenir lrsquoangle acute que
font ces deux vecteurs sin acute
v2R cos l=
sin (p minus l minus acute)G
Avec acute 1 cette relation devient
acute
v2R cos l=
sin l + acute cos l
G
Pour l = 45 et sachant que v2R G on obtient
acute =v2R
2G minus v2R=
v2R2G
(1 minus v2R
2G
)minus1
v2R2G
= 1 7410minus3 rad
Cet angle maximal correspondant donc agrave 0 1 = 6rsquo est tregraves faible et il apparaicirct leacutegitimede consideacuterer avec une bonne approximation que la verticale drsquoun lieu passe par le centrede la Terre
En conclusion on peut en premiegravere approximation confondre le champ de gravitationet le champ de pesanteur Pour plus de preacutecision on tiendra compte du terme correctifcorrespondant agrave la force drsquoinertie drsquoentraicircnement
42 Deacuteviation vers lrsquoest
Nous consideacuterons maintenant le cas drsquoun objet en mouvement agrave la surface de la Terre Agravetitre drsquoexemple nous traitons le mouvement drsquoune masse m en chute libre drsquoune hauteur hen un point de latitude l agrave la surface de la Terre
Reacutefeacuterentiels non galileacuteens 203
y
x
x
y
z
ωrarr
T
I
λ
H
uxrarr
uxrarr
R
λcosRHI =uyrarr
uzrarr M
prime
prime
prime
prime
prime
Figure 815 bull Repreacutesentation des systegravemes de coordonneacutees utiliseacuteespour traiter le problegraveme de la deacuteviation vers lrsquoest
Lrsquoeacutetude du mouvement se fait dans le reacutefeacuterentiel terrestre Rprime(I xprime yprime zprime) (figure 815) Lamasse m caracteacuteriseacutee par le point M est contenue au temps t = 0 dans le plan xrsquoIzrsquo et quittesa position de deacutepart situeacutee sur la droite TI avec IM(t = 0) = h sans vitesse initiale Agrave uninstant t quelconque la masse m agrave la vitesse
minusrarrvrsquo
Pour simplifier lrsquoeacutetude il est possible de faire quelques approximations justifieacutees Onconsidegravere que h est tregraves petit devant R (h 100 m R = 64106 m) Le champ depesanteur minusrarrg dans la reacutegion de lrsquoespace concernant le mouvement peut alors srsquoeacutecrire
minusrarrg =minusrarrG T (R + h) + v2 (R + h) cos lminusrarru prime
x minusrarrG T (R) + v2R cos lminusrarru prime
x
On consideacuterera donc le champ de pesanteur minusrarrg comme localement uniforme de directionIT
La masse m est en mouvement dans le reacutefeacuterentiel Rprime(I xprime yprime zprime) non galileacuteen qui est enrotation par rapport au reacutefeacuterentiel geacuteocentrique consideacutereacute galileacuteen Il est donc neacutecessairedrsquoajouter dans le bilan des forces une force suppleacutementaire la force drsquoinertie de Coriolis
minusrarrf ic = minus2mminusrarrv and
minusrarrvprime
Le mouvement de m est reacutegi par le principe fondamental de la dynamique
mminusrarra MR = mminusrarrG +
minusrarrf ie +
minusrarrf ic = m
minusrarrG minus mminusrarra e minus mminusrarra c = mminusrarrg minus mminusrarra c
Les diffeacuterents vecteurs intervenant dans cette relation srsquoeacutecrivent
minusrarra MR =
xprime
yprime
zprimeminusrarrg =
minusg cos l0
minusg sin l
minusrarrv =
xprime
yprime
zprime
fic = minus2mminusrarrv andminusrarrvprime =
2mvyprime
minus2mvxprime
0
204 Meacutecanique du point
La projection de lrsquoeacutequation fondamentale de la dynamique sur les trois axes conduit auxeacutequations diffeacuterentielles du mouvement suivantes
xprime = 2vyprime minus g cos l
yprime = minus2vxprime
zprime = minusg sin l
Ces eacutequations diffeacuterentielles sont coupleacutees par lrsquointermeacutediaire des variables xprime et yprime et leurreacutesolution est quelque peu difficile si lrsquoon ne fait pas lrsquoapproximation que la composantede la force de Coriolis selon lrsquoaxe des xprime est neacutegligeable Cette hypothegravese est justifieacutee parle fait que la vitesse de la masse m selon lrsquoaxe des yprime est toujours faible puisqursquoau point dedeacutepart le mouvement a lieu dans le plan xprimeOprimezprime Dans ce cas le terme 2vyprime est neacutegligeabledevant le terme g cos l Les eacutequations diffeacuterentielles se simplifient et srsquoeacutecrivent
xprime = minusg cos l = G1
yprime = minus2vxprime
zprime = minusg sin l = G2
La premiegravere eacutequation srsquointegravegre facilement et conduit agrave
xprime = G1 rArr xprime = G1t rArr xprime =12
G1t2 + x0 =12
G1t2 + h cos l
La seconde eacutequation se reacutesout en reportant lrsquoexpression de la vitesse selon xrsquo dans lrsquoex-pression de lrsquoacceacuteleacuteration de Coriolis soit
yprime = minus2vxprime = minus2vG1t rArr yprime minus vG1t2
rArr yprime = minus13
G1vt3 =13
g cos lvt3
La derniegravere eacutequation conduit agrave lrsquoeacutequation horaire suivante
zprime = G2 rArr zprime = G2t rArr zprime =12
G2t2 + z0 = minus12
g sin lt2 + h sin l
La deacuteviation vers lrsquoest est contenue dans le terme en yprime = 13 g cos lvt3 Cette quantiteacute est
positive ce qui correspond agrave une deacuteviation de la masse m vers lrsquoest2 On peut eacutevaluerson importance Supposons que la hauteur de chute soit de 45 m ce qui correspond agrave untemps de chute t eacutegal agrave 3 secondes (h = 12gt2) et que le point M soit agrave une latitude de45 on obtient alors yrsquo= 45 mm
Remarquons que ce terme srsquoannule sur lrsquoaxe de rotation de la Terre car le vecteur vitesseangulaire est alors parallegravele agrave la vitesse de chute ce qui annule la force de Coriolis
Si on neacuteglige cette deacuteviation vers lrsquoest le mouvement se fait suivant la direction TI confon-due avec la verticale du lieu Lrsquoeacutequation du mouvement est alors sur cette direction
IM = minus12
gt2 + h
2 Agrave lire Vers lrsquoest ou vers lrsquoouest par H Gieacute BUP 1986 n685 993-999
Reacutefeacuterentiels non galileacuteens 205
43 Pheacutenomegravene des mareacutees
Lrsquoeffet de mareacutee est essentiellement attribueacute agrave la Lune En effet on constate que ce pheacuteno-megravene cyclique a une peacuteriode proche de 12 h Cependant une augmentation de 50 minutesenviron se produit toutes les 24 h Cette augmentation de la peacuteriode est en accord avec lechangement journalier de position de la Lune par rapport agrave la Terre En effet la peacuteriodede reacutevolution de la Lune est de 28 jours En 24 h la Lune aura effectueacute 128e de tour cequi fait qursquoun point de la Terre qui est en conjonction avec la Lune le sera de nouveau aubout de 24(1+127)h La diffeacuterence est ainsi de lrsquoordre de 53 min ce qui est pratiquementeacutegal au retard journalier temporel des mareacutees drsquoun jour sur lrsquoautre De plus on constatedes variations sur lrsquoimportance de ce pheacutenomegravene au cours de lrsquoanneacutee qui deacutependent de laposition du Soleil et de la Lune par rapport agrave la Terre Le Soleil a donc aussi une influencesur les mareacutees
Si on considegravere que le reacutefeacuterentiel geacuteocentrique (et donc le reacutefeacuterentiel terrestre) est nongalileacuteen nous avons vu que la force exerceacutee sur une masse m drsquoeau de mer peut srsquoeacutecriredans le reacutefeacuterentiel terrestre
minusrarrF = m
[minusrarrG T(I) minusminusrarrv and
(minusrarrv and minusrarrTI)
+minusrarrG A(I) minusminusrarr
G A (T)]
Les seuls astres dont lrsquoaction nrsquoest pas infime sont le Soleil et la Lune en raison de la masseconsideacuterable du premier et de la proximiteacute de la seconde Cette expression peut donc semettre sous la forme
minusrarrF = mminusrarrg + m
(minusrarrG L(I) minusminusrarr
G L (T))
+ m(minusrarr
G S(I) minusminusrarrG S (T)
)soit minusrarr
F = mminusrarrg + m(Dminusrarrg L + Dminusrarrg S
)Le premier terme mminusrarrg correspond au terme de pesanteur (poids de la masse m) tel qursquoil aeacuteteacute deacutefini dans le chapitre 7 tandis que le deuxiegraveme terme m
(Dminusrarrg L + Dminusrarrg S
) correspond
agrave la force geacuteneacuteratrice de la mareacutee Ce dernier terme appeleacute terme des mareacutees doit son nomau fait que la mareacutee est le seul pheacutenomegravene dans lequel il est pris en compte alors qursquoildevrait lrsquoecirctre en toute rigueur dans tous les problegravemes de meacutecanique
Inteacuteressons-nous principalement au terme Dminusrarrg L repreacutesentant lrsquoinfluence de la Lune lamecircme eacutetude pouvant ecirctre appliqueacutee pour le terme Dminusrarrg S influence du Soleil Nous avonsvu que
Dminusrarrg L =minusrarrG L(I) minusminusrarr
G L (T)
Il srsquoensuit que
Dminusrarrg L = minusGML(minusrarrLILI3 minus
minusrarrLTLT3 )
Dans le repegravere (T x y z) les vecteurs suivants ont pour composantes (figure 816)
minusrarrTI =
xyz
minusrarrLT =
0minusD0
minusrarrLI =
x
y minus Dz
(82)
206 Meacutecanique du point
z
x
y
T
I
L
TerreLune
D
Figure 816 bull Influence de la Lune sur un point I de la Terre
Calculons la contribution de la Lune en I Nous avons dans la base carteacutesienne
minusrarrG L(I) = minusGML
minusrarrLILI3 = minusGML
xminusrarru x +(y minus D
)minusrarru y + zminusrarru z
(x2 +(y minus D
)2 + z2)32
La distance TI (rayon de la Terre) eacutetant tregraves infeacuterieure agrave la distance TL il est possible defaire le deacuteveloppement limiteacute de cette expression au premier ordre en yD
minusrarrG L(I) = minusGML
xminusrarru x +(y minus D
)minusrarru y + zminusrarru z
D3(1 minus 2yD + x2+y2+z2
D2 )32asymp minusGML
D3 (xminusrarru x +(y minus D
)minusrarru y + zminusrarru z)(1 +3yD
)
Il en reacutesulte que la quantiteacute Dminusrarrg L srsquoeacutecrit
Dminusrarrg L asymp minusGML
D3 (xminusrarru x +(y minus D
)minusrarru y + zminusrarru z)(1 +3yD
) minus GML
D3 Dminusrarru y
ce qui conduit agrave
Dminusrarrg L asymp minusGML
D3 (xminusrarru x + yminusrarru y + zminusrarru z) +GML
D3 3yminusrarru y = minusGML
D3
minusrarrTI +
GML
D3 3yminusrarru y
Cette quantiteacute est donc la somme de deux termes Le premier terme que lrsquoon notera g1
srsquoeacutecrit minusrarrg 1 = minusGML
D3
minusrarrTI
Il est de module constant et nrsquoinfluence aucunement le mouvement de la mer Il srsquoajouteau champ de pesanteur et sont influence est infime (minusrarrg 1 5 middot 10minus7 msminus2)
Le second terme fluctue avec la position de I dans le repegravere (T x y z) Il est noteacute g2 et a
pour expression minusrarrg 2 =GML
D3 3yminusrarru y
La figure 817 repreacutesente le plan eacutequatorial et preacutecise la contribution en diffeacuterents pointsI du repegravere
Reacutefeacuterentiels non galileacuteens 207
x
y
Lune
T
L
I)(2 Ig
rarr
J )(2 Jgrarr
I )(2 Igrarr
J
)prime
primeprime
prime(2 Jg
rarr
Figure 817 bull Contribution de la Lune au pheacutenomegravene des mareacutees
Il est clair sur ce scheacutema que la contribution de minusrarrg 2 est nulle lorsque le point I est sur lrsquoaxedes x car y est alors nul On est alors en peacuteriode de mareacutee basse et au cours de la rotationde la Terre autour drsquoelle-mecircme cela se produit deux fois La mer est haute lorsque le pointI se trouve sur lrsquoaxe des y Il faut bien remarquer que minusrarrg 2 est alors centrifuge que le pointM soit en regard ou agrave lrsquoopposeacute de la Lune
Le vecteurg2 peut srsquoeacutecrire minusrarrg 2 = minusrarrg 2v+minusrarrg 2h ougrave minusrarrg 2v est la composante suivant la directiondu rayon TI (verticale du lieu) et minusrarrg 2h suivant la direction perpendiculaire (horizontale)Le vecteur minusrarrg 2v comme minusrarrg 1 est absolument neacutegligeable devant le champ de pesanteurminusrarrg Par contre la composante minusrarrg 2h peut ecirctre prise en compte car elle nrsquoest laquo eacutetouffeacutee raquo paraucune autre force de masse deacutemesureacutee par rapport agrave elle Ainsi malgreacute sa valeur faible(0 lt g2h lt 1710minus6 msminus2) elle agit sur les eacuteleacutements liquides pour les pousser vers lespositions J et Jprime (figure 817) situeacutees sur la direction TL donnant lrsquoillusion drsquoune attractionde la Lune au point J et expliquant une reacutepulsion paradoxale au point Jprime
Encart 81 Influence du Soleil sur les mareacutees
Un calcul identique peut ecirctre fait pour la contribution du Soleil celle-ci eacutetant environdeux fois plus faible que celle de la Lune On peut comprendre alors qursquoil puisse y avoirdes variations sur lrsquoimportance des mareacutees au cours de lrsquoanneacutee En effet lrsquoinfluence duSoleil peut srsquoajouter agrave celle de la Lune lorsque les trois astres (Terre Lune et Soleil) setrouvent sur la mecircme direction (eacutepoque des syzygies ) On obtient alors des mareacutees ditesmareacutees de vive-eau (figure 818) Lorsque la direction Terre-Lune est perpendiculaireagrave celle Terre-Soleil (eacutepoques des quadratures ) les effets de la Lune sont contrarieacutespar ceux du Soleil et les mareacutees moins importantes sont dites mareacutees de morte-eau(figure 819)
En fait la rotation de la Terre a pour effet de deacuteplacer le bourrelet de mareacutee qui ne seretrouve donc pas exactement en regard de la Lune (points J ou Jprime)
Les mouvements apparents de la Lune et du Soleil eacutetant de peacuteriode diffeacuterente le pheacute-nomegravene reacutesultant est assez complexe et peut ecirctre consideacutereacute comme une superpositiondrsquoun grand nombre drsquoondes la plus importante eacutetant pour les oceacuteans comme lrsquoAt-lantique celle due agrave la Lune Viennent srsquoajouter agrave ce pheacutenomegravene les conditions aux
208 Meacutecanique du point
Soleil
LuneOceacutean
Niveaumoyen
Terre
Figure 818 bull Mareacutee de vive-eau (eacutepoques des syzygies)
limites que forment les cocirctes En effet elles imposent lrsquoexistence drsquoondes stationnairesdont lrsquoamplitude peut ecirctre consideacuterablement plus importante que celle de la mareacuteeoceacuteanique (baie du Mont-Saint-Michel en France 12 agrave 16 m) Dans les petites mersfermeacutees dont les rivages empecircchent lrsquoafflux liquide les mareacutees sont imperceptiblesPour les petites mers ouvertes sur lrsquooceacutean la mareacutee est indirecte et est entretenue autravers des embouchures par la mareacutee de lrsquooceacutean
Pour conclure le pheacutenomegravene des mareacutees est le pheacutenomegravene qui met en eacutevidence le faitque le reacutefeacuterentiel geacuteocentrique nrsquoest pas galileacuteen
Lune
Soleil
Terre
Oceacutean
Figure 819 bull Mareacutee de morte-eau (eacutepoques des quadratures)
Reacutefeacuterentiels non galileacuteens 209
Agrave RETENIR
La relation fondamentale de la dynamique dans un reacutefeacuterentiel Rprime non galileacuteen srsquoeacutecrit
mminusrarra MRprime =summinusrarr
F ext +minusrarrf ie +
minusrarrf ic
avec
bull minusrarrf ie = minusmminusrarra e nommeacutee la force drsquoinertie drsquoentraicircnement
bull minusrarrf ic = minusmminusrarra c nommeacutee la force drsquoinertie de Coriolis ou force drsquoinertie compleacutementaire
et
minusrarra e =d2 minusminusrarrOOprime
d t2+ minusrarrv RprimeR and (minusrarrv RprimeR and
minusminusrarrOprimeM) +
dminusminusminusrarrvRprimeR
d tandminusminusrarrOprimeM
minusrarra c = 2minusrarrv RprimeR and minusrarrv MRprime
Applications
bull Champ de pesanteur et champ de gravitation en un point I de la surface de la Terre
minusrarrg (I) =minusrarrG T (I) minusminusrarrv RprimeR and
(minusrarrv RprimeR and minusrarrTI)
=rArr minusrarrg (I) =minusrarrG T (I) + v2
RprimeRRT cos lminusrarru primex
Le champ de pesanteur minusrarrg (I) est eacutegal au champ de gravitationminusrarrG T (I) corrigeacute drsquoun
terme drsquoinertie centrifugebull Les corps lanceacutes agrave la surface de la Terre subissent une deacuteviation vers lrsquoestbull Le pheacutenomegravene des mareacutees met en eacutevidence le fait que le reacutefeacuterentiel geacuteocentrique nrsquoest
pas galileacuteen Il srsquointerpregravete en tenant compte de lrsquoattraction des astres et principalementde la Lune La diffeacuterence drsquoattraction de ces astres entre un point agrave la surface de la Terreet son centre est agrave lrsquoorigine de ce pheacutenomegravene
EXERCICES DrsquoAPPLICATION AVEC SOLUTION DEacuteTAILLEacuteE
Reacutefeacuterentiel non galileacuteen
Un veacutehicule de masse totale m = 200 kg centre drsquoinertie G est abandonneacute sans vitesseinitiale sur un plan inclineacute OA faisant un angle a = 60 avec lrsquohorizontale Au cours deson mouvement il subit des forces de frottement solide dont la reacutesultante
minusrarrf est une
force de module f = 1 000 N constant Pour les applications numeacuteriques on prendrag = 10 msminus2
210 Meacutecanique du point
yurarr
xurarr
O
A a
G
Figure 820
xurarrO
A a
uG
C
mo
yurarr
Figure 821
1) Dans le reacutefeacuterentiel terrestre galileacuteen on choisit un repegravere (O x y) et sa base(minusrarru x
minusrarru y) lrsquoaxe Ox eacutetant suivant la pente OA
a) Eacutetudier le mouvement du centre drsquoinertie G du veacutehicule (figure 820) par rap-port au reacutefeacuterentiel Terrestre Preacuteciser la nature du mouvement Donner lrsquoex-pression de lrsquoacceacuteleacuteration a(t)= x en fonction de m g f et a
b) Soit le reacutefeacuterentiel (R) lieacute au veacutehicule Quel est le mouvement exact de (R) parrapport au reacutefeacuterentiel terrestre En deacuteduire si ce reacutefeacuterentiel est galileacuteen ou pas(justifier)
2) Sur le veacutehicule Il y a une potence GC perpendiculaire au plan inclineacute Une massemo = 10minus2 kg y est suspendue par lrsquointermeacutediaire drsquoun fil inextensible et de masseneacutegligeable Lors du mouvement du veacutehicule on constate que le pendule srsquoeacutecarte drsquounangle u par rapport agrave la potence (figure 821) et se trouve en eacutequilibre dans le reacutefeacuteren-tiel (R) lieacute au veacutehicule On eacutetudie la masse mo dans ce reacutefeacuterentiel
a) Donner lrsquoexpression dans la base (minusrarru xminusrarru y) de la force drsquoinertie drsquoentraicircnement
minusrarrF ie appliqueacutee sur mo Faut-il introduire aussi une force drsquoinertie de Coriolis
b) Quelles sont les autres forces exerceacutees sur la masse mo Faire un scheacutema repreacute-sentant toutes les forces Donner les expressions des diffeacuterents vecteurs forcesdans la base (minusrarru x
minusrarru y)c) La masse mo eacutetant en eacutequilibre dans le reacutefeacuterentiel (R) en deacuteduire deux eacutequa-
tions reliant la tension T du fil et lrsquoangle u en fonction de m mo f g et ad) Reacutesoudre le systegraveme drsquoeacutequation et exprimer tan u Montrer que la mesure de
lrsquoangle u permet alors de deacuteterminer les frottements fApplications numeacuteriques calculer u et la valeur de la tension T du file) Lrsquoangle u peut-il ecirctre nul Si oui agrave quelle condition Peut-on avoir u = a Si
oui agrave quelle condition
Solutionyu
rarr
xurarrO
A
G nR
rarr
frarr
Prarr
αα
Figure 822
yu
xurarr O
A
G
C
mo
Prarr
ieFrarr T
rarr
rarr
u
α
Figure 823
Reacutefeacuterentiels non galileacuteens 211
1) a) Systegraveme masse m de centre drsquoinertie G (figure 822) Reacutefeacuterentiel terrestre galileacuteen Bilan des forces le poids
minusrarrP = mminusrarrg = mg[(sin a)minusrarru x minus (cos a)uy]
la reacuteaction normale du plan inclineacuteminusrarrR n = Rn
minusrarru y
la force de frottementminusrarrf = minusfminusrarru x
Principe fondamental de la dynamique minusrarrP +
minusrarrR n +
minusrarrf = mminusrarra
Projection sur la base drsquoeacutetude Sur minusrarru y Rn minus mg cos a = 0 rArr Rn = mg cos a
Sur minusrarru x mg sin a minus f = mx rArr a(t) = x = g sin a minus fm
Lrsquoacceacuteleacuteration est constante Le mouvement est rectiligne uniformeacutement acceacuteleacutereacuteb) Le reacutefeacuterentiel (R) lieacute au veacutehicule est en translation rectiligne uniformeacutement
acceacuteleacutereacute par rapport au reacutefeacuterentiel terrestre avec une acceacuteleacuteration a(t) Ce reacute-feacuterentiel nrsquoest pas en translation rectiligne uniforme ce qui serait la conditionpour qursquoil soit galileacuteen Il est donc non galileacuteen
2) a) Le reacutefeacuterentiel (R) eacutetant en translation il nrsquoy a pas de force drsquoinertie de Coriolis agraveintroduire (elle nrsquointervient uniquement que lorsque le reacutefeacuterentiel non galileacuteenest en rotation) Lrsquoacceacuteleacuteration drsquoentraicircnement correspond agrave lrsquoacceacuteleacuteration a(t)du point G La force drsquoinertie drsquoentraicircnement est donc
minusrarrF ie = minusmo
minusrarra e = minusmo
[g sin a minus f
m
]minusrarru x =
[minusmog sin a +
mo
mf]minusrarru x
b) Les autres forces exerceacutees sur la masse mo (figure 823) le poids
minusrarrP o = mo
minusrarrg = mog[(sin a)ux minus (cos a)minusrarru y]la tension
minusrarrT = T[minus(sin u)ux + (cos u)minusrarru y]
c) Condition drsquoeacutequilibre de la masse mo dans le reacutefeacuterentiel (R) minusrarrP o+
minusrarrT +
minusrarrF ie =
minusrarr0
Sur minusrarru x mog sin a minus T sin u minus mog sin a +mo
mf = 0
Sur minusrarru y T cos u minus mog cos a = 0d) Sur minusrarru y T cos u minus mog cos a = 0 rArr T cos u = mog cos a (1)
Sur minusrarru x mog sin a minus T sin u minus mog sin a +mo
mf = 0 rArr T sin u =
mo
mf (2)
Le rapport de (2) sur (1) fait apparaicirctre tan u
tan u =f
mg cos a(la mesure de lrsquoangle upermet de connaicirctre f )
Applications numeacuteriques tan u =f
mg cos a=
10002001005
= 1 rArr u = 45 =p
4
La valeur de la tension T du fil T=mogcos a
cos u=00110
12radic
2=01
radic2
2=00707N
e) Si les frottements sont nuls alors f = 0 et lrsquoangle u est nulSi f augmente alors lrsquoangle u augmente jusqursquoagrave u = a qui correspond au casougrave les frottements sont suffisamment importants pour maintenir le veacutehicule agravelrsquoeacutequilibre
212 Meacutecanique du point
Reacutefeacuterentiel non galileacuteen
Un eacutetudiant deacutesire deacuteterminer lrsquoacceacuteleacuteration que peut avoir lrsquoascenseur de la TourMontparnasse Il a lrsquoideacutee alors de suspendre au plafond de la cabine une masse maccrocheacutee agrave un ressort de raideur k Il fixe le long du ressort une regravegle avec un zeacuterocentral permettant de mesurer drsquoeacuteventuels allongements ou eacutetirements du ressort
Z
O
x
m
k
Z
O
x
m
k
Zuaa rarrrarr=
sol
urarr
Cabine immobile Cabine en mouvement
urarr
urarr
ZZ urarr
Ω Ω
Figure 824 Figure 825
Le mouvement de lrsquoascenseur dans le reacutefeacuterentiel Terrestre (RT) est deacutefini par rapportagrave un axe vertical ascendant VZ Le vecteur acceacuteleacuteration de la cabine en mouvement estminusrarra = aminusrarru Z avec minusrarru Z vecteur unitaire vertical ascendant
La position de la masse m est repeacutereacutee dans le reacutefeacuterentiel (R) lieacute agrave lrsquoascenseur Lrsquoeacutetudiantchoisit un axe Ox vertical descendant et un vecteur unitaire minusrarru = minusminusrarru Z Lrsquoorigine O(zeacutero central de la regravegle) est pris au niveau de la masse en eacutequilibre lorsque la cabineest immobile (figure 824)
Lorsque la cabine est en mouvement (figure 825) lrsquoeacutetudiant constate que la positionde la masse change Le but de lrsquoexercice est de relier la position algeacutebrique x de lamasse dans le reacutefeacuterentiel (R) avec la valeur algeacutebrique de lrsquoacceacuteleacuteration a de lrsquoascenseuret fabriquer ainsi un acceacuteleacuteromegravetre
1) Lrsquoascenseur est immobile au rez-de-chausseacutee de la tour Lrsquoeacutetudiant mesure drsquoabordla longueur Lo de son ressort agrave vide Puis il accroche la masse m et mesure la nouvellelongueur Le du ressort lorsque la masse est agrave lrsquoeacutequilibre
Donner lrsquoexpression de la raideur k du ressort Calculer la raideur k du ressort
On donne Lo = 20 cm Le = 24 9 cm m = 0 1 kg g = 9 8 msminus2
2) Quel est exactement le mouvement du reacutefeacuterentiel (R) par rapport au reacutefeacuterentielTerrestre galileacuteen (RT) lorsque lrsquoascenseur fonctionne Le reacutefeacuterentiel (R) est-il galileacuteenlorsque lrsquoacceacuteleacuteration a est non nulle Mecircme question si a = 0
3) Lrsquoascenseur est en mouvement Faire lrsquoeacutetude de lrsquoeacutequilibre de la masse dans le reacutefeacute-rentiel (R) Deacuteterminer la relation entre a et x Faire lrsquoapplication numeacuterique et donnerla relation entre lrsquoacceacuteleacuteration a exprimeacutee en msminus2 et x exprimeacute en cm
Reacutefeacuterentiels non galileacuteens 213
4) Application numeacuterique
La masse se trouve devant la graduation ndash1 cm Quelle est la valeur de lrsquoacceacuteleacuteration a Agrave quels phases du mouvement de lrsquoascenseur cela correspond-il
Mecircme question si la position correspond agrave + 1 cm puis si x = 0
Dans lrsquohypothegravese ougrave lrsquoascenseur se trouverait en chute libre quelle serait la longueurdu ressort
Solution1) Lrsquoascenseur est immobile par rapport au reacutefeacuterentiel terrestre galileacuteen Le reacutefeacuteren-tiel lieacute agrave lrsquoascenseur est donc aussi galileacuteen Les forces exerceacutees sur la masse m sont minusrarrP = mminusrarrg = mgminusrarru et
minusrarrT = k(Le minusLo) La masse est en eacutequilibre donc
minusrarrP +
minusrarrT =
minusrarr0 rArr
La raideur du ressort
k =mg
Le minus Lo=
01980249 minus 020
=098
0049= 20 Nmminus1 = 0 20 Ncmminus1
2) Le reacutefeacuterentiel (R) est en mouvement de translation rectiligne par rapport au reacutefeacute-rentiel Terrestre galileacuteen (RT) lorsque lrsquoascenseur fonctionne Le reacutefeacuterentiel (R) nrsquoestpas galileacuteen si lrsquoacceacuteleacuteration a est non nulle Si a = 0 alors le reacutefeacuterentiel (R) est entranslation rectiligne uniforme par rapport agrave (RT) et est donc galileacuteen
3) Systegraveme la masse m reacutefeacuterentiel non galileacuteen (R) les forces poids de la masseminusrarrP = mgminusrarru tension du ressort
minusrarrT = minusk(Le + x minus Lo)minusrarru et
minusrarrF ie = minusmminusrarra e = minusmminusrarra = minusmaminusrarru Z = maminusrarru (la force drsquoinertie drsquoentraicircnement)
Lrsquoeacutequilibre de la masse dans le reacutefeacuterentiel (R) se traduit par
minusrarrP +
minusrarrT +
minusrarrF ie =
minusrarr0 = mgminusrarru minus k(Le + x minus Lo)minusrarru + maminusrarru
rArr mg minus k(Le minus Lo) + ma minus kx = 0 = ma minus mx
On a donc a =km
x =2001
x = 200x avec a en msminus2 et x en m
Avec lrsquoacceacuteleacuteration a exprimeacutee en msminus2 et x exprimeacute en cm a = 2x
4) Application numeacuterique
x = minus1 cm alors a = minus2 msminus2 Lrsquoacceacuteleacuteration est vers le bas donc cela correspond soitagrave un freinage en montant pour srsquoarrecircter agrave un eacutetage soit un deacutemarrage vers le bas pourredescendre
x = +1 cm alors a = +2 msminus2 Lrsquoacceacuteleacuteration est vers le haut donc cela correspondsoit agrave un freinage en descendant pour srsquoarrecircter agrave un eacutetage soit un deacutemarrage vers lehaut pour atteindre un eacutetage supeacuterieur
Chute libre alors a = minusg Alors a = 200x rArr x = minus0049 cm et donc L = 20 cm Leressort est ni eacutetireacute ni comprimeacute Crsquoest lrsquoeacutetat drsquoapesanteur
214 Meacutecanique du point
Mouvement drsquoune fleacutechette dans un reacutefeacuterentiel tournant
Un joueur de fleacutechette srsquoinstalle sur un grand plateau tournant et srsquoamuse agrave tirer surune cible situeacutee au centre Malgreacute son bon niveau il est eacutetonneacute de voir qursquoil nrsquoarriveplus agrave atteindre la cible et cherche agrave expliquer ce reacutesultat en eacutetudiant les effets dumouvement du plateau sur le mouvement de sa fleacutechette
x
y
O
A oVrarr
Cible (Centre O rayon RC)
Axe lieacute agrave la Terre
Axe Ox lieacute au plateau
Figure 826 bull Plateau Oxy tournant Vitesse angulaire v par rapport agrave la Terre
Le plateau est un disque horizontal de rayon R = 10 m et de centre O On utiliseun repegravere carteacutesien (O x y z) lieacute au plateau (voir figure 826) et sa base associeacutee(minusrarru x
minusrarru yminusrarru z)
Le joueur A se place suivant lrsquoaxe Ox agrave lrsquoextreacutemiteacute du disque crsquoest-agrave-dire OA = RLa cible est placeacutee le long de lrsquoaxe Oy son centre (le laquo mille raquo) eacutetant confondu avec lepoint O Cette cible a un rayon de RC = 5 cm
Par rapport au reacutefeacuterentiel terrestre galileacuteen le plateau tourne lentement suivant lrsquoaxevertical Oz dans le sens trigonomeacutetrique avec une vitesse angulaire v correspondantagrave 1 tour en 10 minutes
La fleacutechette sera consideacutereacutee comme ponctuelle de masse m et la vitesse que le joueurdonne initialement agrave la fleacutechette est
minusrarrVo = minusVo
minusrarru x avec Vo = 10 msminus1
I Le plateau est fixe (par rapport agrave la Terre)
1) Le reacutefeacuterentiel plateau est-il galileacuteen
2) La fleacutechette F nrsquoest soumise qursquoagrave son poids Appliquer le principe fondamental de ladynamique et montrer que le mouvement projeteacute suivant Ox est uniforme de vitesse
minusrarrVo
En deacuteduire lrsquoexpression de lrsquoeacutequation horaire x(t)en fonction de R et Vo
3) Donner lrsquoexpression du temps T mis par la fleacutechette pour atteindre la cible Fairelrsquoapplication numeacuterique
4) Sans faire de calcul indiquer quel est lrsquoeffet du poids sur le mouvement Cet effetest-il visible dans le plan xOy (on observe comme sur la figure vue de dessus)
Par la suite on srsquointeacuteressera uniquement au mouvement de la fleacutechette dans leplan xOy Cela reviendra donc agrave neacutegliger son poids
Reacutefeacuterentiels non galileacuteens 215
II Le plateau tourne (par rapport agrave la Terre)
IIA Eacutetude cineacutematique
1) Donner lrsquoexpression du vecteur vitesse angulaire minusrarrv dans la base (minusrarru xminusrarru y
minusrarru z) Don-ner la valeur de v dans les uniteacutes du systegraveme international
2) Si la fleacutechette eacutetait poseacutee sur le sol du plateau agrave lrsquoabscisse x quel serait son mou-vement par rapport agrave la terre En deacuteduire lrsquoexpression dans la base (minusrarru x
minusrarru yminusrarru z) de
lrsquoacceacuteleacuteration qursquoelle aurait par rapport au reacutefeacuterentiel Terrestre Donner alors pourla fleacutechette en mouvement situeacutee agrave lrsquoabscisse x (t) (expression en fonction de R Voet t de la question I2) lrsquoexpression du vecteur acceacuteleacuteration drsquoentraicircnement minusrarra e de lafleacutechette par rapport au reacutefeacuterentiel terrestre
3) Lrsquoacceacuteleacuteration de Coriolis ou compleacutementaire qui intervient dans la loi de compo-sition des acceacuteleacuterations a pour expression minusrarra C = 2
minusrarrV and minusrarr
V avecminusrarrV vecteur vitesse du
point consideacutereacute dans le reacutefeacuterentiel tournant etminusrarrV le vecteur vitesse angulaire du reacutefeacute-
rentiel tournant par rapport au reacutefeacuterentiel terrestre Dans le cas de notre fleacutechette quise deacuteplacerait avec une vitesse
minusrarrV = minusVo
minusrarru x par rapport au plateau tournant donnerlrsquoexpression de lrsquoacceacuteleacuteration de Coriolis minusrarra C dans la base (minusrarru x
minusrarru yminusrarru z)
IIB Eacutetude dynamique
La rotation du plateau est suffisamment faible pour qursquoon puisse dans un premiertemps consideacuterer que la vitesse de la fleacutechette est
minusrarrV = minusVo
minusrarru x
1) Le reacutefeacuterentiel laquo plateau raquo est-il galileacuteen Pourquoi
2) Faire lrsquoeacutetude du systegraveme fleacutechette de masse m dans le reacutefeacuterentiel laquo plateau raquo Ex-primer les forces drsquoinertie drsquoentraicircnement et de Coriolis en utilisant les reacutesultats dela partie IIA Appliquer le principe fondamental de la dynamique (eacutequation vecto-rielle (1))
3) Projeter lrsquoeacutequation (1) suivant lrsquoaxe Ox Apregraves inteacutegration montrer que
x(t) = minusVo(1 + at2 minus bt) ougrave a et b sont 2 constantes positives
a) Exprimer a et b en fonction de R v et Vo Calculer les constantes a et bb) Pour t asymp T (temps mis par la fleacutechette pour atteindre la cible) calculer
(1minusaT2 + bT) Est-il justifieacute de consideacuterer dans un premier temps que la vitessesuivant Ox est minusVo
4) Projeter lrsquoeacutequation (1) suivant lrsquoaxe Oy Apregraves inteacutegration montrer que
y(t) = ct2 ougrave c est une constante
a) Exprimer c en fonction de v et Vo Calculer la constante cb) Exprimer y(t) = vy en fonction de la constante cc) Pour t asymp T (temps mis par la fleacutechette pour atteindre la cible) calculer
y(T) = vy(T)et comparer avec Vo Conclure agrave propos de lrsquohypothegravese faite audeacutebut du calcul de consideacuterer dans un premier temps que
minusrarrV = minusVo
minusrarru xd) Pour t asymp T (temps mis par la fleacutechette pour atteindre la cible) calculer y(T) Faire
un scheacutema donnant lrsquoallure de la trajectoire de la fleacutechette dans le plan xOy
Conclure la fleacutechette atteint-elle la cible
(Remarque cette meacutethode se nomme meacutethode par perturbation)
216 Meacutecanique du point
SolutionI Le plateau est fixe (par rapport agrave la Terre)
x
y
O A oV
rarr
Cible (Centre O rayon RC)
rarrω
Figure 827
1) Le reacutefeacuterentiel plateau fait parti du reacutefeacute-rentiel terrestre galileacuteen
2) Seule force minusrarrP = mminusrarrg = minusmgminusrarru z En
appliquant le principe fondamental de ladynamique on obtient minusmgminusrarru z = mminusrarra soitminusrarra = minusgminusrarru z En projetant suivant 0x on a x = 0 En inteacutegrant et en tenant comptede la vitesse initiale on aura x = minusVo Lemouvement est uniforme Agrave lrsquoinstant initialt = 0 OA = R et donc
x = minusVo rArr x(t) = minusVot + R = R minus Vot
3) On a x(T) = 0 soit
0 = minusVoT + R rArr T =RVo
=1010
= 1 s
4) Le poids agit suivant la direction Oz uniquement Il a pour effet de faire descendrela fleacutechette mais ne provoque pas de deacuteviation suivant Ox ou Oy Cet effet nrsquoest doncpas visible dans le plan xOy
II Le plateau tourne (par rapport agrave la Terre)
IIA Eacutetude cineacutematique
1) Le vecteur vitesse angulaire est minusrarrv = vminusrarru z AN v =2p
1060= 00105 radsminus1
2) La fleacutechette aurait un mouvement circulaire de centre O et de rayon OA = x Il seraituniforme On a donc
minusrarrOA = xminusrarru x avec la base (minusrarru x
minusrarru yminusrarru z) mobile dans le reacutefeacuterentiel
terrestre (correspond agrave la base des coordonneacutees polaire) On aura en deacuterivant et ensachant qursquoon considegravere x comme une constante pour ce calcul
minusrarrV A = xuminusrarru y = xvminusrarru y
et donc minusrarra A = minusxv2minusrarru x Cette acceacuteleacuteration correspond dans le cas ougrave la fleacutechette esten mouvement situeacutee agrave lrsquoabscisse x(t) agrave lrsquoinstant t agrave lrsquoexpression du vecteur acceacuteleacuterationdrsquoentraicircnement minusrarra e de la fleacutechette par rapport au reacutefeacuterentiel terrestre On a donc
minusrarra e = minusxv2minusrarru x
4) Lrsquoacceacuteleacuteration de Coriolis ou compleacutementaireminusrarra C = 2
minusrarrV and minusrarr
V = 2vminusrarru z and (minusVominusrarru x) = minus2vVo
minusrarru y
IIB Eacutetude dynamique
1) Le reacutefeacuterentiel laquo plateau raquo nrsquoest plus galileacuteen Il est en rotation par rapport au reacutefeacute-rentiel terrestre galileacuteen avec un vecteur vitesse angulaire minusrarrv = vminusrarru z
2) Systegraveme fleacutechette de masse m dans le reacutefeacuterentiel laquo plateau raquo On ne tient pas comptedu poids donc il reste les forces drsquoinertie
La force drsquoinertie drsquoentraicircnement minusrarrF ie = minusmminusrarra e = mv2x(t)minusrarru x = mv2(R minus Vo t)minusrarru x
La force drsquoinertie de Coriolis minusrarrF iC = minusmminusrarra C = 2mvVo
minusrarru y
Reacutefeacuterentiels non galileacuteens 217
Appliquons le principe fondamental de la dynamique (eacutequation vectorielle (1))
mminusrarra = mv2(R minus Vo t)minusrarru x + 2mvVominusrarru y rArr minusrarra = v2(R minus Vot)minusrarru x + 2vVo
minusrarru y
3) Projection de lrsquoeacutequation (1) suivant lrsquoaxe Ox x = v2(R minus Vot) En inteacutegrant 2 foisde suite et sachant qursquoagrave t = 0 on a x(0) = minusVo et x = R
x = v2Rt minus v2Vo
2t2 minus Ketx(0) = minusVo
donc x = v2Rt minus v2Vo
2t2 minus Vo = minusVo(1 minus v2R
Vot +
v2
2t2)
x(t) = minusVo(1 minus bt + at2) ougrave a et b sont 2 constantes
a) et b) b =v2RVo
=(
2p
60
)2 RVo
= 000011 sminus2 et a =v2
2= 0000055 sminus1
c) Pour t asymp T = 1 s
(1 minus bT + aT2) = 1 minus 000011 + 0000055 = 1 minus 0000055 = 0999945 asymp 1
Il est donc justifieacute de consideacuterer dans un premier temps que la vitesse suivantOx est ndash V o Lrsquoerreur relative serait de 00055
4) Projection de lrsquoeacutequation (1) suivant lrsquoaxe Oy
y = 2vVo rArr y = 2vVot + K et y(0) = 0
donc on obtient y = 2vVo rArr y = 2vVo t
en inteacutegrant encore une fois et avec y(0) = 0 y(t) = vVot2 = ct2
a) Avec c = vVo = 0 1 sminus2
b) y(t) = 2vVo t = 2ctc) Pour t asymp T = 1 s y(T) = vy(T) = 02 msminus1 agrave comparer avec Vo = 10 msminus1
Lrsquohypothegravese revient agrave neacutegliger 2 devant 100 soit une erreur relative de 2 Crsquoestjustifieacute
d) Pour t asymp T = 1 s on a y(T) = 0 1 m = 10 cm gt 5 cm = RC (deacuteviation de10 cm sur une longueur de 10 m (1))Voir scheacutema au deacutebut de lrsquoexercice (portion de parabole y est fonction de t2 etx est fonction de t)
Conclure la fleacutechette nrsquoatteint pas la cible
Reacutefeacuterentiel terrestre non galileacuteen usure des rails
Un train roule agrave vitesse constante sur une voie le long du meacuteridien de Greenwich agravela latitude l Montrer que la force drsquoinertie de Coriolis est responsable drsquoune usureineacutegale des rails De quel cocircteacute se trouve le rail le plus useacute
218 Meacutecanique du point
SolutionUsure des rails
M
O eacutequateur
Pocircle Nord
xurarr
zurarr
meacuteridien
u zrarr
xu rarr
Ax e Mzrsquo
Verticale du lieu
Ax e Mxrsquo
Vers le Sud sur lemeacuteridien
z
x
rarrΩ
Figure 828
Reacutefeacuterentiel geacuteocentrique consideacutereacute comme galileacuteen repegravere (O x y z) avec O le centrede la Terre
(R) Reacutefeacuterentiel Terrestre non galileacuteen repegravere (M xrsquo yrsquo zrsquo) avec M point lieacute agrave la Terrelrsquoaxe Mxrsquo est la direction du meacuteridien passant par M et orienteacute vers le Sud lrsquoaxe Mzrsquoest la verticale du lieu et Myrsquo correspond agrave la direction sur le parallegravele du lieu orienteacutevers lrsquoEst Lrsquoangle l est la latitude du lieu (environ 45 )
Le mouvement du reacutefeacuterentiel (R) par rapport au reacutefeacuterentiel geacuteocentrique se deacutecom-pose en un mouvement de translation circulaire (le point M deacutecrit un cercle de rayonRT cos l avec la vitesse angulaire V) et en un mouvement de rotation (les axes MxrsquoMyrsquo Mzrsquo tournent) avec un vecteur vitesse angulaire
minusrarrV = Vminusrarru z = V(minus cos lminusrarru prime
x + sin lminusrarru primez)
Dans le reacutefeacuterentiel terrestre on considegravere un train se deacuteplaccedilant agrave la vitesse minusrarrv = vminusrarru primex
(sur le meacuteridien vers le sud par exemple)
Eacutetude des actions exerceacutees sur une roue du train
rails
meacuteridienSud
Nord
xu rarr
yu rarr
Estouest
M
Figure 829
Dans le reacutefeacuterentiel terrestre non galileacuteen il y a
bull Le poids qui comprend agrave la fois lrsquoattraction de laterre et la force drsquoinertie drsquoentraicircnement (laquo force cen-trifuge raquo) verticale vers le bas On peut consideacutererici que la verticale passe par le centre O de la Terre(lrsquoeacutecart eacutetant tregraves faible) donc suivant lrsquoaxe Mzrsquo
bull La reacuteaction des railsbull La force drsquoinertie de Coriolis
minusrarrf ic = minusmminusrarra c = minus2m
minusrarrV and minusrarrv
minusrarrf ic = minus2mV(minus cos lminusrarru prime
x + sin lminusrarru primez) and vminusrarru prime
x
= minus2mVv sin lminusrarru primey
Mouvement suivant minusrarru primey les rails guident le train et donc il y a eacutequilibre crsquoest-agrave-dire
minus2mVv sin lminusrarru primey + Ryprime
minusrarru primey = 0 rArr Ryprime = 2mVv sin l
Reacutefeacuterentiels non galileacuteens 219
Les rails agissent lateacuteralement pour guider le train
Lrsquoaction des roues sur les rails est donc minusRyprime = minus2mVv sin l = ficLes roues vont donc appuyer plus sur le rail droit (par rapport au sens de la marche)Le rail droit va donc srsquouser plus vite du cocircteacute de lrsquointeacuterieur
EXERCICES CORRIGEacuteS
1 On considegravere un axe Oz vertical et fixe par rapport agrave la Terre et un axe Oxprime horizontalpouvant tourner autour de Oz agrave la vitesse angulaire constante Un point mateacuteriel Mde masse m peut glisser sans frottement sur Ox Ce point est soumis en outre agrave uneforce dirigeacutee de M vers O proportionnelle agrave la distance OM Soit l le coefficient deproportionnaliteacute
1) Deacuteterminer la relation donnant x = OM en fonction du temps ainsi que les com-posantes de la reacuteaction exerceacutee par Ox sur M Discuter suivant les valeurs de l
2) Agrave quelle condition M est-il en eacutequilibre relatif par rapport agrave Oxprime
3) Deacuteterminer alors la reacuteaction de Oxprime On prendra comme conditions initiales agravet = 0 x = x0 d x d t = 0
2 On considegravere un axe Oz vertical fixe par rapport agrave la Terre et un axe Ox faisant avecOz un angle aigu a et tournant autour de Oz avec une vitesse angulaire constante vUn point mateacuteriel M de masse m peut glisser sans frottement sur Ox
1) Deacuteterminer la relation r = OM en fonction du temps ainsi que les composantes dela reacuteaction exerceacutee par Ox sur M
2) Agrave t = 0 r = r0 et d r d t = 0 Agrave quelles conditions sur r0 le point est-il en eacutequilibrerelatif par rapport agrave Ox
x
z
O xrsquo
z1
ω
α
1yy uu =P
M
rarr
rarr rarrrarr
Figure 830
3 On considegravere une gouttiegravere drsquoeacutequation plane y = ax2 par rapport agrave un repegravere Oxy (Oyvertical) Dans cette gouttiegravere on place un point mateacuteriel de masse m On fait tournerla gouttiegravere autour de lrsquoaxe Oy agrave la vitesse angulaire constante v
220 Meacutecanique du point
Trouver la valeur que doit avoir v pour que le point puisse ecirctre en eacutequilibre relatifpar rapport agrave la gouttiegravere lorsqursquoon le deacutepose en un point donneacute de celle-ci sansvitesse initiale relative
4 Pendule de Foucault
En 1850 JB Foucault deacutemontre que le mouvement drsquoun pendule simple illustre lecaractegravere non galileacuteen du reacutefeacuterentiel terrestre en eacutetudiant le mouvement pendant untemps non neacutegligeable devant la peacuteriode de reacutevolution de la Terre sur elle-mecircme Lesconditions initiales sont les suivantes le pendule est initialement dans le plan xOzet il part sans vitesse initiale drsquoune position eacutecarteacutee de 10 par rapport agrave la verticaleDans tout le problegraveme on supposera que lrsquoacceacuteleacuteration de la pesanteur g est constanteet eacutegale agrave 10 msminus2
I
O eacutequateur
PocircleNord
Ω
meacuteridien
Axe IzVerticale du lieu
Axe Ix
Vers le Sud sur lemeacuteridien
Z
X
Nord
Sud Meacuteridien
Parallegravele
O
I
z
Est Ouest
X
Z
S
M
θyu
rarr
xurarr
zurarr
zurarr
rarrxu
rarr
λ
λ
Figure 831 bull Pendule de Foucault
1) Que peut-on dire du reacutefeacuterentiel terrestre
2) Le pendule simple est placeacute au Mans agrave la latitude l=48
Deacuteterminer les composantes du vecteur de rotation instantaneacuteeminusrarrV de la Terre dans
la base minusrarru xminusrarru y
minusrarru z du reacutefeacuterentiel terrestre R(O x y z) Comparer ses composantes agravela pulsation propre v0 du pendule de longueur l = 60 m On rappelle que la Terretourne sur elle-mecircme en 24 h
3) On appelle minusrarru r le vecteur unitaire dans la direction deminusrarrSM = lminusrarru r Calculer lrsquoex-
pression de ce vecteur en fonction de (x y z) position de M dans R et de l longueurdu pendule En deacuteduire lrsquoexpression de la tension
minusrarrT du fil dans la base minusrarru x
minusrarru yminusrarru z
en fonction de T x y z et l
4) Eacutecrire lrsquoeacutequation vectorielle du mouvement du pendule dans R en neacutegligeant laforce drsquoinertie drsquoentraicircnement
5) En deacuteduire les eacutequations diffeacuterentielles du mouvement de la masse m sur les troisaxes du reacutefeacuterentiel
6) On admet que si lrsquoamplitude drsquooscillation est faible la tension T du fil ne diffegravereque de tregraves peu du poids P de la masse m En faisant cette approximation reacuteeacutecrire leseacutequations du mouvement en faisant apparaicirctre la pulsation propre de lrsquooscillateur
7) On suppose que la vitesse de lrsquooscillateur selon z est faible par rapport agrave sa vi-tesse selon y Eacutecrire les eacutequations diffeacuterentielles selon les axes x et y dans le cadre de
Reacutefeacuterentiels non galileacuteens 221
cette approximation En utilisant la variable complexe U = x + iy eacutecrire lrsquoeacutequationdiffeacuterentielle satisfaite par U
8) Reacutesoudre cette eacutequation Montrer que la solution peut se mettre sous la forme
U = A eikt cos v0t
Deacuteterminer A et k
9) En deacuteduire les eacutequations horaires du mouvement selon x et y
10) Montrer que le pendule oscille dans des plans diffeacuterents Au bout de combien detemps le pendule aura-t-il fait un tour Commenter lrsquoinfluence de la latitude
Solutions
1 1) Nous nous placcedilons dans le reacutefeacuterentiel R(O xprime z) en mouvement de rotation Ce reacutefeacuterentielnrsquoest pas galileacuteen puisqursquoil tourne Dans R le point M est soumis agrave
bull son poidsminusrarrP
bull la reacuteaction du supportminusrarrR
bull la forceminusrarrF = minusl
minusrarrOM
bull la force drsquoinertie drsquoentraicircnementminusrarrfie
bull la force drsquoinertie de Coriolisminusrarrfic
Lrsquoapplication du principe fondamental de la dynamique au point M dans R non galileacuteenconduit agrave
minusrarrP +
minusrarrR +
minusrarrf ie +
minusrarrfic minus l
minusrarrOM = mminusrarra MR avec
minusrarrf ie = minusmminusrarra e = minusmminusrarrv and
ldquominusrarrvminusminusminusrarrandOMrdquo
etminusrarrfic = minus2mminusrarrv and minusrarrv MR
Les composantes des diffeacuterents vecteurs dans R sont
minusrarra MR =
8
lt
x00
minusrarrP =
8
lt
00
minusmg
minusrarrv =
8
lt
x00
minusrarrf ie =
8
lt
mv2x00
minusrarrv =
8
lt
00v
minusrarrF =
8
lt
minuslx00
minusrarrR =
8
lt
0RyRz
minusrarrf ic =
8
lt
0minus2mvx
0
Il srsquoensuit que x =`
v2 minus lm
acute
x Ry minus 2mvx = 0 Rz minus mg = 0
Le mouvement de M deacutependra du signe de v2 minus lm Si v2 minus l
m lt 0 alors x(t) = A cos (v0t + a)
avec v0 =q
lm minus v2 Avec les conditions initiales (CI) choisies nous obtenons
x(t) = x0 cos v0t
Si v2 minus lm gt 0 alors x(t) = Aev0t + Beminusv0t
222 Meacutecanique du point
Les CI conduisent agrave A + B = 0 et A minus B = 0 drsquoougrave x(t) = x0 cosh v0t
La reacuteaction de lrsquoaxe possegravede deux composantes qui sont Ry = 2mvx et Rz = mg
2) Le point M est en eacutequilibre relatif si x = 0 ce qui est veacuterifieacute pour v2 = lm
3) Dans ce cas la reacuteaction de lrsquoaxe est Rz = mg
2 1) Le Reacutefeacuterentiel terrestre consideacutereacute comme galileacuteen est deacutefini par le repegravere (O xprime y z)
Le reacutefeacuterentiel R lieacute agrave la tige avec le repegravere (0 x y1 z1) est non galileacuteen Il est en rotation avecle vecteur vitesse angulaire minusrarrv = vminusrarru z = v(cos aminusrarru x + sin aminusrarru z1)
On pose r = OM = x
Le point M est soumis aux forces suivantes
bull son poidsminusrarrP (verticale vers le bas) soit
minusrarrP = mg
ˆ
minus cos aminusrarru x minus sin aminusrarru z1˜
bull la reacuteaction du supportminusrarrR (pas de frottement la reacuteaction est normale agrave la tige et donc pas
de composante suivant lrsquoaxe Ox et agrave priori 2 composantes Ry1 et Rz1
bull la force drsquoinertie drsquoentraicircnementminusrarrf ie Le pointM srsquoil eacutetait fixe par rapport agrave la tige deacutecrirait
un cercle de rayon R = x sin a agrave la vitesse angulaire constante v Lrsquoacceacuteleacuteration drsquoentraicircne-ment est dirigeacutee vers lrsquoaxe Elle est horizontale et a pour valeur v
2x sin a On en deacuteduit la
force drsquoinertie drsquoentraicircnementsbquo
sbquo
sbquo
minusrarrf ie
sbquo
sbquo
sbquo
= mv2x sin a (horizontal vers lrsquoaxe) soit
minusrarrf ie = mv
2x sin a`
sin aminusrarru x minus cos aminusrarru z1acute
la force drsquoinertie de Coriolisminusrarrf ic = minus2mminusrarrv andminusrarrv avec minusrarrv = xminusrarru x la vitesse de M par rapport
agrave la tige On a donc minusrarrf ic = minus2mv[cos aminusrarru x + sin aminusrarru z1] and xminusrarru x = minus2mvx sin aminusrarru y1
x
z
O xrsquo
z1
ω
1yy uu =P
ief
1zR
α
1yR
icf
rarr
rarr rarr
rarr
rarr
rarr
rarr
rarr
Figure 832
La relation fondamentale de la dynamique conduit agrave
minusrarrP +
minusrarrR +
minusrarrf ie +
minusrarrf ic = mminusrarra = mxminusrarru x
En projection sur les axes
x = xv2 sin2
a minus g cos a
0 = Ry1 minus 2mvx sin a rArr Ry1 = 2mvx sin a
0 = Rz1 minus mg sin a minus mv2x sin a cos a rArr Rz1 = m sin a
ˆ
g + v2x cos a
˜
Posons vo = v sin a alors
x = xv2 sin2
a minus g cos a rArr x minus v2o x = g cos a
Reacutefeacuterentiels non galileacuteens 223
Solution de lrsquoeacutequation solution particuliegravere plus la solution geacuteneacuteral de lrsquoeacutequation sanssecond membre soit
x = Aevot + Beminusvot +g cos a
v2o
Les conditions initiales conduisent agrave
v(0) = 0 rArr voA minus voB = 0 rArr A = B
x(0) = ro rArr A + B +g cos a
v2o
= ro rArr 2A = ro minusg cos a
v2o
drsquoougrave
x(t) =
bdquo
ro minusg cos a
v2o
laquobdquo
evot + eminusvot
2
laquo
+g cos a
v2o
=
bdquo
ro minusg cos a
v2o
laquo
cosh vot +g cos a
v2o
On a Ry1 = 2mvx sin a = 2mv(sin a)vo
bdquo
ro minusg cos a
v2o
laquo
sinh vot
(avec sinh vot =evot minus eminusvot
2)
Rz1 = m sin aˆ
g + v2x cos a
˜
= mg sin a + mv2 sin a cos a
raquobdquo
ro minusg cos a
v2o
laquo
cosh vot +g cos a
v2o
ndash
(avec vo = v sin a)
2) Il y a eacutequilibre relatif par rapport agrave Ox si x ne deacutepend pas de t crsquoest-agrave-dire bdquo
ro minusg cos a
v2o
laquo
= 0 rArr rov2o = g cos a rArr ro =
g cos a
v2 sin2 a
3
α
α
y
x
Parabole y = ax 2 x
R
ief
P
ω M
rarr
rarr
rarr
rarr
Figure 833
Systegraveme le point M de masse m poseacute en un point de coordonneacutees (x y = ax2)
Reacutefeacuterentiel gouttiegravere avec le repegravere (O x y) en rotation par rapport au reacutefeacuterentiel terrestre gali-leacuteen vitesse angulaire de rotation minusrarrv = vminusrarru z
Le reacutefeacuterentiel nrsquoest donc pas galileacuteen
Les forces
Le poidsminusrarrP = mminusrarrg = minusmgminusrarru y
La reacuteaction du supportminusrarrR On suppose qursquoil nrsquoy a pas de frottement Cette reacuteaction est donc
perpendiculaire agrave la tangente agrave la parabole au point consideacutereacute La tangente fait avec lrsquohorizon-
tale un angle a tel que tan a =dydx
= 2ax
224 Meacutecanique du point
Force drsquoinertie le point M eacutetant en eacutequilibre dans le reacutefeacuterentiel mobile il nrsquoy a pas de forcedrsquoinertie de coriolis Le point M a un mouvement circulaire uniforme par rapport au reacutefeacuterentielterrestre Lrsquoacceacuteleacuteration drsquoentraicircnement est donc minusrarra e = minusv
2xminusrarru x La force drsquoinertie est donc minusrarrf ie = minusmminusrarra e = mv
2xminusrarru x
Condition drsquoeacutequilibre minusrarrP +
minusrarrR +
minusrarrf ie =
minusrarr0
Ceci se traduit par (voir figure)
tan a =fieP
=mv2x
mg=
v2xg
= 2ax rArr v =p
2ag
4 Le pendule de Foucault
1) Le Reacutefeacuterentiel terrestre est non galileacuteen Il nrsquoest pas en translation rectiligne uniforme maisen rotation uniforme par rapport au reacutefeacuterentiel Geacuteocentrique galileacuteen (sur une longue dureacutee)
2) Le pendule simple est placeacute agrave la latitude l = 48minusrarrV = V
minusrarrk = V
`
minus cos lminusrarru x + sin lminusrarru zacute
= minus7 310minus5 cos 48 minusrarru x + 7 310minus5 sin 48 minusrarru z
minusrarrV = minus4 8810minus5minusrarru x + 5 4210minus5minusrarru z
Pour un pendule simple vo =
r
gl
=
r
1006
= 0408 radsminus1 gtgt V
3) minusrarru r =minusrarrSMSM =
xlminusrarru x +
yluy +
z minus ll
minusrarru z
Soit minusrarrT = minusTminusrarru r = minus
ldquo xlTrdquominusrarru x minus
ldquo ylTrdquo
uy minusbdquo
z minus ll
Tlaquo
minusrarru z
4) On travaille dans le reacutefeacuterentiel non galileacuteen Comme force il y a
Le poidsminusrarrP = mminusrarrg = minusmgminusrarru z la Tension
minusrarrT
Il faut ajouter la force drsquoinertie de Coriolis minusrarrf ic = minus2m
minusrarrV and minusrarrv = minus2mV
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
minus cos l
0sin l
and
˛
˛
˛
˛
˛
˛
˛
xyz
minusrarrf ic = 2mV
ˆ
y sin lminusrarru x minus (z cos l + x sin l)minusrarru y + y cos lminusrarru z˜
On peut neacutegliger la force drsquoinertie drsquoentraicircnement devant la force de gravitation (ou si on preacute-fegravere le poids tient compte de la force drsquoinertie drsquoentraicircnement et on considegravere que la verticalepasse par le centre de la Terre) On a alors
minusrarrP +
minusrarrT +
minusrarrf ic = mminusrarra
5) Sur minusrarru x minus xlT + 2mVy sin l = mx
Sur minusrarru y minus ylT minus 2mV(z cos l + x sin l) = my
Sur minusrarru z minusmg minus z minus ll
T + 2mVy cos l = mz
6) Avec P = mg asymp T on a
mx = minus xlmg + 2mVy sin l rArr x +
glx = 2Vy sin l rArr x + v
2o x = 2Vy sin l
my = minus ylmg minus 2mV(z cos l + x sin l) rArr y + v
2o y = minus2V(z cos l + x sin l)
mz = minusmg minus z minus ll
mg + 2mVy cos l rArr z + v2o z = 2Vy cos l
Reacutefeacuterentiels non galileacuteens 225
7) On suppose z x (z varie tregraves peu par rapport agrave x) soit z cos l x sin l
x + v2o x = 2Vy sin ly + v
2o y = minus2Vx sin lz + v
2o z = 2Vy cos l
On en deacuteduit en multipliant la 2egraveme eacutequation par i et en ajoutant la 1egravere eacutequation
U + v2o U = 2V sin l(y minus ix) = 2V sin li(minusiy minus x) = minus2Vi sin lU
U + 2Vi sin lU + v2o U = 0 avec U = x + iy
8) Solution de la forme U = Aert rArr r2 + 2Vi sin lr + v2o r = 0
Crsquoest lrsquoeacutequation caracteacuteristique donc les solution sont
rplusmn = minusVi sin l plusmn ip
V2 sin2 l + v2o et avec V sin l vo on obtient
rplusmn = minusVi sin l plusmn ivo soit U = eminusiV sin lt `Aeivot + Beminusivotacute
Pour t = 0 on a y = 0 et x = x o = l sin 10 soit xo = A + B et on lacircche sans vitesse soitencore
U = minusiV sin leminusiV sin lt(Aeivot + Beminusivot) + eminusiV sin lt(Aivoeivot minus Bivoe
minusivot)
On a donc U(0) = minusiV sin l(A + B) + (Aivo minus Bivo) = 0 rArr Vxo sin l = vo(A minus B)
(A minus B) = xoV sin l
voet xo = A + B rArr A =
xo
2
bdquo
1 +V sin l
vo
laquo
et B =xo
2
bdquo
1 minus V sin l
vo
laquo
Avec V sin l vo cela donne A =xo
2= B et donc U = eminusiV sin lt
bdquo
xoeivot + eminusivot
2
laquo
Donc U = A(cos vot)eikt avec A = xo = l sin 10 = l sin ui et k = minusV sin l
9) x(t) = Re(U) = l sin ui cos(vot) cos(V sin lt)
y(t) = Im(U) = minusl sin ui cos(vot) sin(V sin lt)
10) La peacuteriode propre du pendule est
To =2p
vo= 2p
s
lg
= 154 s T =2p
V sin l=
24sin l
heures
x
y
Cercle de rayon deg== 10sinsin θ llR i
O
M
M oscille sur undiamegravetre
(peacuteriode 154 s)
Le diam egravetre tourne avec la
Peacuteriode hTsin24
sin2
=Ω
=π
λ λ
Figure 834
Le point M deacutecrit donc un segment de longueur 2l sin ui avec une peacuteriode de To = 1 54 sce segment (ou plan du pendule) tournant lentement dans le sens des aiguilles drsquoune montreavec une peacuteriode T
226 Meacutecanique du point
(On remarque que x2 + y2 = R2 = (l sin ui cos vot)2)
Aux pocircles on a sin l = 1 et T = 2pV
= 24 h
Agrave lrsquoeacutequateur sin l = 0 et le pendule oscille dans le plan de deacutepart (son plan ne tourne plus)
Agrave Paris sin l = sin 48 = 0743 et on obtient T = 2pV sin l
= 240743 = 32 h18 minutes
CHAPITRE 9
SYSTEgraveMES Agrave DEUX CORPS
Preacute-requis bull Avoir bien approfondi les chapitres 4 et 5 de ce livre
Objectif I Aborder le mouvement de deux corps en interaction en deacutegageant lanotion fondamentale de reacutefeacuterentiel barycentrique
I Ecirctre capable drsquoexprimer les lois de la physique dans le reacutefeacuterentiel bary-centrique et de reacuteduire le problegraveme agrave deux corps agrave un problegraveme agrave unseul corps
I Comprendre qursquoen utilisant les lois de conservation de lrsquoeacutenergie et dumoment cineacutetique il est possible drsquoobtenir des informations tregraves preacutecisessur la nature du mouvement des deux corps
I Ecirctre en mesure de discuter la repreacutesentation eacutenergeacutetique du problegravemeagrave deux corps
Nous avons vu dans le chapitre preacuteceacutedent une introduction agrave la meacutecanique ceacuteleste Nousnous proposons maintenant drsquoeacutetudier plus preacuteciseacutement le cas tregraves important drsquoun sys-tegraveme de deux masses m1 m2 en interaction mutuelle ne subissant aucune action delrsquoexteacuterieur Le systegraveme m1 m2 est donc consideacutereacute comme meacutecaniquement isoleacute et seracaracteacuteriseacute par son centre de masse G Les forces
minusrarrF1 et
minusrarrF2 qursquoexercent respectivement m2
sur m1 et m1 sur m2 sont des forces inteacuterieures Dans le cas de deux particules portant unecharge eacutelectrique ces forces correspondent aux forces eacutelectrostatiques (loi de Coulomb)Au cours drsquoun choc entre deux particules elles correspondent aux actions de contact Dansce qui suit nous nous inteacuteresserons au cas ougrave les deux masses sont en interaction gravita-tionnelle
1 EacuteLEacuteMENTS CINEacuteTIQUES
11 Centre de masseConsideacuterons un systegraveme de deux masses ponctuelles localiseacutees aux points M1 et M2 Nousrapportons lrsquoeacutetude agrave un reacutefeacuterentiel galileacuteen R(O x y z)On appelle centre de masse ou centre drsquoinertie ou encore centre de graviteacute ou bary-centre drsquoun systegraveme de deux masses le point G dont la position est deacutefinie par
m1minusminusrarrGM1 + m2
minusminusrarrGM2 =
minusrarr0
228 Meacutecanique du point
O
x
z
y(R)
M1
M2
Gm1
m2
Figure 91 bull Centre de masse drsquoun systegraveme constitueacute de deux masses
Lrsquointroduction drsquoune origine O arbitraire dans lrsquoeacutequation preacuteceacutedente et lrsquoutilisation de larelation de Chasles permet drsquoexprimer la position du centre de masse par
minusrarrOG =
m1minusminusrarrOM1 + m2
minusminusrarrOM2
m1 + m2
12 Vitesse et quantiteacute de mouvementLa deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation vectorielle preacuteceacutedente conduit agrave la vitesse du centre de masse Ennotant minusrarrvG minusrarrv1 et minusrarrv2 respectivement les vecteurs vitesse par rapport au reacutefeacuterentiel galileacuteenR du centre drsquoinertie G et des points M1 et M2 on obtient
minusrarrv G =m1
minusrarrv 1 + m2minusrarrv 2
m1 + m2rArr (m1 + m2)minusrarrv G = m1
minusrarrv 1 + m2minusrarrv 2
p = minusrarrp 1 + minusrarr
p 2 (91)
Theacuteoregraveme
La quantiteacute de mouvement du centre de masse drsquoun systegraveme est eacutegale agrave la sommedes quantiteacutes de mouvement de chaque eacuteleacutement du systegraveme
Le systegraveme m1 m2 est meacutecaniquement isoleacute ce qui conduit par deacuterivation agrave
dminusrarrp
d t=
minusrarr0 =
dminusrarrp 1
d t+
dminusrarrp 2
d t
Le principe fondamental de la dynamique appliqueacute agrave chacune des masses donne
dminusrarrp 1
dt=
minusrarrF 1 et
dminusrarrp 2
dt=
minusrarrF2 rArr minusrarr
F 1 +minusrarrF 2 =
minusrarr0
Ceci met en eacutevidence le principe des actions reacuteciproques (3egraveme loi de Newton) puisque laforce que subit M1 de la part de M2 est opposeacutee agrave la force subie par M2 de la part de M1
Systegravemes agrave deux corps 229
13 Moment cineacutetique et eacutenergie cineacutetiqueDans le reacutefeacuterentiel R le moment cineacutetique par rapport au point O du systegraveme de deuxmasses en interaction est eacutegal agrave la somme vectorielle des moments cineacutetiques de chaquemasse Il en reacutesulte que
minusrarrL =
minusrarrL 1 +
minusrarrL 2 =
minusrarrOM1 and m1
minusrarrv 1 +minusrarrOM2 and m2
minusrarrv 2
De la mecircme maniegravere lrsquoeacutenergie cineacutetique dans R est la somme des eacutenergies cineacutetiques dechaque masse
Ec = Ec1 + Ec2 =12
m1v21 +
12
m2v22
2 REacuteFEacuteRENTIEL DU CENTRE DE MASSE
21 Deacutefinition
O
x
z
y
(R)
M1
M2
G yrsquo
zrsquo
xrsquo
(R)
Figure 92 bull Reacutefeacuterentiel barycentrique ou reacutefeacuterentiel du centre de masse
On appelle reacutefeacuterentiel du centre de masse ou reacutefeacuterentiel barycentrique un reacutefeacuterentielnoteacute Rlowast centreacute sur le centre de masse G du systegraveme et qui se deacuteplace en translation parrapport au reacutefeacuterentiel R galileacuteen
Dans le cas de deux masses en interaction nous avons montreacute que la vitesse du centrede masse par rapport agrave R est constante Le reacutefeacuterentiel du centre de masse est doncen translation rectiligne uniforme par rapport agrave R crsquoest par conseacutequent un reacutefeacuterentielgalileacuteen
Lrsquoorigine eacutetant prise sur G il est clair que la vitesse de G dans Rlowast est nulle
22 Deacutefinition des eacuteleacutements cineacutetiques dans Rlowast
Les eacuteleacutements cineacutetiques que nous venons de deacutefinir dans R peuvent ecirctre deacutefinis dans RlowastNous allons voir en effet que le mouvement des masses m1 et m2 est plus facile agrave eacutetudierdans Rlowast que dans R Nous travaillons donc dans le reacutefeacuterentiel galileacuteen Rlowast (G x y z) et unasteacuterisque indiquera que les grandeurs sont calculeacutees dans ce reacutefeacuterentiel
a) Quantiteacute de mouvement
Dans Rlowast la quantiteacute de mouvement totale est nulle puisque la vitesse du centre de masseG est nulle On a donc
m1minusrarrv lowast
1 + m2minusrarrv lowast
2 =minusrarr0
230 Meacutecanique du point
b) Eacutenergie cineacutetique
Lrsquoeacutenergie cineacutetique dans Rlowast est eacutegale agrave la somme des eacutenergies cineacutetiques des masses m1 etm2 dans Rlowast On a donc
Elowastc =
12
m1vlowast21 +
12
m2vlowast22
c) Moment cineacutetique
Dans Rlowast le moment cineacutetique par rapport agrave G du systegraveme est par deacutefinition
minusrarrL lowast =
minusminusrarrGM1 and m1
minusrarrv lowast1 +
minusminusrarrGM2 and m2
minusrarrv lowast2
Posons minusrarrr =minusminusminusrarrM1M2 et en utilisant la relation m1
minusrarrv lowast1 = minusm2
minusrarrv lowast2
minusrarrL lowast = (
minusminusminusrarrminusGM1 +minusrarrGM2) and m2
minusrarrv lowast2 =
minusminusminusrarrM1M2 and m2
minusrarrv lowast2 = minusrarrr and m2
minusrarrv lowast2 = minusminusrarrr and m1
minusrarrv lowast1
Remarquons que nous venons drsquoexprimer le moment cineacutetique du systegraveme en fonction dela distance r qui seacutepare les deux masses M1 et M2
23 Masse reacuteduitea) Deacutefinition
Pour deacutefinir la notion de masse reacuteduite nous allons deacuteterminer lrsquoexpression de la vitessede la masse m2 dans le reacutefeacuterentiel barycentrique Rlowast Nous utilisons la loi de compositionde vitesse qui nous permet drsquoeacutecrire que
minusrarrv 2 = minusrarrv lowast2 + minusrarrv GR
avec minusrarrv GR =
m1minusrarrv 1 + m2
minusrarrv 2
m1 + m2
Nous obtenons donc minusrarrv lowast
2 = minusrarrv 2 minusm1
minusrarrv 1 + m2minusrarrv 2
m1 + m2
soitminusrarrv lowast
2 =m1(minusrarrv 2 minusminusrarrv 1
)m1 + m2
Le terme minusrarrv = minusrarrv 2 minus minusrarrv 1 apparaissant dans cette derniegravere expression nrsquoest rien drsquoautreque la vitesse de M2 par rapport agrave M1
minusrarrv lowast2 =
m1
m1 + m2
minusrarrv
On remarquera que la vitesse de M2 par rapport agrave M1 est donneacutee par
minusrarrv = minusrarrv 2 minusminusrarrv 1 =dminusminusrarrOM2
dtminus d
minusminusrarrOM1
dt=
d(minusminusrarrOM2 minus
minusminusrarrOM1)
dt
soitminusrarrv =
dminusminusminusrarrM1M2
dt=
dminusrarrrdt
Systegravemes agrave deux corps 231
La quantiteacute de mouvement de la masse M2 dans le reacutefeacuterentiel barycentrique srsquoexprimealors sous la forme suivante
minusrarrp lowast
2 = m2minusrarrv lowast
2 =m1m2
m1 + m2
minusrarrv = minusminusrarrp lowast
1
Le coefficient qui apparaicirct devant le vecteur vitesse minusrarrv et qui est homogegravene agrave une masseest appeleacute masse reacuteduite du systegraveme
DeacutefinitionOn appelle masse reacuteduite drsquoun systegraveme de deux masses m1 et m2 la masse m eacutegale agrave
m =m1m2
m1 + m2ou
1m
=1
m1+
1m2
b) Expression des eacuteleacutements cineacutetiques en fonction de la masse reacuteduite
Les eacuteleacutements cineacutetiques du systegraveme m1 m2 peuvent srsquoexprimer de faccedilon concise en fonc-tion de la masse reacuteduite du systegraveme Nous avons en effet
minusrarrp lowast
2 = m2minusrarrv lowast
2 = mminusrarrvminusrarrp lowast
1 = m1minusrarrv lowast
1 = minusm2minusrarrv lowast
2 = minusmminusrarrvminusrarrL lowast = minusrarrr and m2
minusrarrv lowast2 = mminusrarrr and minusrarrv
(92)
Dans le reacutefeacuterentiel du centre de masse lrsquoeacutenergie cineacutetique Ec est la somme des eacutenergiescineacutetiques de chacune des deux masses soit
Elowastc =
12
m1vlowast21 +
12
m2vlowast22
Si lrsquoon remplace minusrarrv lowast1 et minusrarrv lowast
2 par leur expression en fonction de minusrarrv on a alors
Elowastc =
12
m1
(minusmminusrarrv
m1
)2
+12
m2
(mminusrarrvm2
)2
soitElowast
c =12
mv2 (93)
Le tableau 91 reacutecapitule les expressions en fonction de la masse reacuteduite m = m1m2m1+m2
et dela vitesse relative minusrarrv de M2par rapport agrave M1 des eacuteleacutements cineacutetiques dans le reacutefeacuterentieldu centre de masse
Quantiteacute de mouvement de M2minusrarrp lowast
2 = mminusrarrvQuantiteacute de mouvement de M1
minusrarrp lowast
1 = minusmminusrarrvQuantiteacute de mouvement totale minusrarr
p lowast =minusrarr0
Moment cineacutetiqueminusrarrL lowast = mminusrarrr and minusrarrv
Energie cineacutetique Elowastc = 1
2 m1vlowast21 + 1
2 m2vlowast22 = 1
2 mv2
Tableau 91 bull Eleacutements cineacutetiques drsquoun systegraveme agrave deux corps exprimeacutes dansle reacutefeacuterentiel barycentrique
232 Meacutecanique du point
3 RELATION FONDAMENTALE DE LA DYNAMIQUE
31 Principe fondamental de la dynamique dans Rlowast
Le reacutefeacuterentiel Rlowast est un reacutefeacuterentiel galileacuteenIl est donc possible drsquoy appliquer la relationfondamentale de la dynamique sans se preacuteoccuper drsquoeacuteventuelles forces drsquoinertie Cetterelation peut srsquoappliquer tout aussi bien agrave la masse m1 qursquoagrave la masse m2 Nous avons donc
m1minusrarra M1Rlowast = m1
d2 minusminusrarrGM1
d t2
)Rlowast
=summinusrarr
F ext =minusrarrF M2rarrM1 =
minusrarrF 1
m2minusrarra M2Rlowast = m2
d2 minusminusrarrGM2
d t2
)Rlowast
=summinusrarr
F ext =minusrarrF M1rarrM2 =
minusrarrF 2
G
Rm1
m2
1Frarr
2Frarr
M2
M1
Figure 93 bull Interaction entre deux masses m1 et m2
Les deux masses eacutetant en interaction les actions mutuelles qursquoelles subissent sont oppo-seacutees ce qui conduit agrave
m1d2 minusrarrr 1
d t2
)Rlowast
=minusrarrF 1 m2
d2 minusrarrr 2
d t2
)Rlowast
=minusrarrF 2 = minusminusrarr
F 1
avec minusrarrr 1 =minusminusrarrGM1 et minusrarrr 2 =
minusminusrarrGM2
Nous obtenons ainsi deux eacutequations diffeacuterentielles du mouvement de ces deux massesNous allons voir dans le paragraphe suivant que ces deux eacutequations peuvent se combinerentre elles pour conduire agrave une eacutequation unique faisant intervenir la masse reacuteduite dusystegraveme
32 Eacutequation maicirctresseLes deux eacutequations que nous venons drsquoeacutecrire peuvent ecirctre soit additionneacutees soit sous-traites Par addition nous obtenons la relation suivante
m1d2 minusrarrr 1
d t2+ m2
d2 minusrarrr 2
d t2=
minusrarr0 rArr d2(m1
minusrarrr 1 + m2minusrarrr 2)
d t2=
minusrarr0
Cette eacutequation est valide en particulier dans le reacutefeacuterentiel barycentrique et plus geacuteneacutera-lement dans tout reacutefeacuterentiel galileacuteen En inteacutegrant une premiegravere fois cette relation nous
Systegravemes agrave deux corps 233
aboutissons agrave
m1dminusrarrr 1
d t+ m2
dminusrarrr 2
d t= minusrarrcste (94)
ce qui montre en utilisant (91) que le centre de masse a un mouvement rectiligne uni-forme par rapport au reacutefeacuterentiel drsquoeacutetude Si lrsquoon fait le choix explicite (comme nous lefaisons ici) de se placer dans le reacutefeacuterentiel barycentrique la constante est nulle puisqueminusrarrv GRlowast =
minusrarr0 On retouve bien alors le fait que dans Rlowast la quantiteacute de mouvement de la
masse m1 est opposeacutee agrave celle de la masse m2 Une nouvelle inteacutegration conduit ensuite agravela relation de deacutefinition du centre de masse agrave savoir
m1minusrarrr 1 + m2
minusrarrr 2 =minusrarr0 rArr m1
minusrarrr 1 = minusm2minusrarrr 2
GM1
M2
M1rsquo
M1rsquorsquo
M2rsquorsquo
M2rsquo
Figure 94 bull Trajectoire des centres drsquoinerties M1 et M2
Remarquons que par le biais de cette relation la connaissance de la position de la masse m1entraicircne ipso facto celle de la position de m2 On dit que les masses deacutecrivent des trajectoireshomotheacutetiques de rapport m1m2 ce que montre la figure 94
Par multiplication de chaque eacutequation de la relation fondamentale de la dynamique parla masse de lrsquoautre objet et soustraction des deux eacutequations nous obtenons
m1m2d2minusrarrr 2
dt2minus m1m2
d2minusrarrr 1
dt2= m2
minusrarrF 2 minus m1
minusrarrF 1
Or drsquoapregraves le principe des actions reacuteciproquesminusrarrF 1 = minusminusrarr
F 2 ce qui conduit agrave
m1m2d2(minusrarrr 2 minusminusrarrr 1)
dt2= m2
minusrarrF 2 + m1
minusrarrF 2 = (m1 + m2)
minusrarrF 2
Il srsquoensuit que
m1m2d2(
minusminusrarrGM2 minus
minusminusrarrGM1)
dt2= m1m2
d2minusminusminusrarrM1M2
dt2= (m1 + m2)
minusrarrF 2
ce qui conduit apregraves introduction de la variable minusrarrr =minusminusminusrarrM1M2 et de la masse reacuteduite m du
systegraveme agrave
md2minusrarrrdt2
=minusrarrF 2
Cette eacutequation est lrsquoeacutequation maicirctresse du mouvement
234 Meacutecanique du point
33 Conservation du moment cineacutetique
Lrsquoeacutequation fondamentale de la dynamique est geacuteneacuteralement utiliseacutee pour traduire le mou-vement de translation du systegraveme Une grandeur tregraves utile pour appreacutehender le mouve-ment de rotation est le moment cineacutetique Nous avons vu en (92) que dans Rlowast lrsquoexpres-sion du moment cineacutetique est donneacutee par
Llowast = mminusrarrr and minusrarrv
La deacuteriveacutee du moment cineacutetique du systegraveme srsquoeacutecrit dans Rlowast
dminusrarrLlowast
dt= m
dminusrarrrdt
and minusrarrv + mminusrarrr and dminusrarrvdt
= mminusrarrv and minusrarrv + mminusrarrr and dminusrarrvdt
M1
M2
m1
m2
2F21MMr =
Figure 95 bull Illustration drsquouneforce centrale le vecteur force est
colineacuteaire au rayon vecteurminusminusminusrarrM1M2
On obtient ainsi
dminusrarrLlowast
dt= mminusrarrr and dminusrarrv
dt
ce qui apregraves utilisation de lrsquoeacutequation maicirctresseconduit agrave
dminusrarrLlowast
dt= minusrarrr and m
dminusrarrvdt
= minusrarrr and minusrarrF 2
La force est la force drsquointeraction en prove-nance de M1 qui agit sur M2 Sa droite drsquoac-tion a donc pour support le vecteur
minusminusminusrarrM1M2 ce
qui montre que la force est colineacuteaire agrave minusrarrr Ondit que la force est centrale
a) Deacutefinition
On appelle force centrale une force dont la droite drsquoaction passe par lrsquoorigine du rayon vecteur minusrarrr
Il en reacutesulte que la deacuteriveacutee du moment cineacutetique du systegraveme dminusrarrLlowast
dt = minusrarrr andminusrarrF 2 est nulle dans
Rlowast ce qui montre que le moment cineacutetique du systegraveme est constant au cours du temps
b) Theacuteoregraveme de la force centrale
Dans un mouvement agrave force centrale il y a conservation du moment cineacutetique
La conservation du moment cineacutetique est tregraves importante car elle conditionne la naturede la trajectoire du systegraveme En effet le moment cineacutetique est un vecteur qui est agrave la foisperpendiculaire agrave minusrarrr et agrave minusrarrv crsquoest-agrave-dire perpendiculaire au plan deacutefini par les vecteurs minusrarrret minusrarrv Or ce vecteur est constant crsquoest-agrave-dire qursquoil conserve au cours du mouvement unedirection un sens et un module fixes Il en reacutesulte que quel que soit lrsquoinstant t consideacutereacuteles vecteurs minusrarrr et minusrarrv qui sont coplanaires sont perpendiculaires agrave une direction constantecelle du moment cineacutetique Or les vecteurs minusrarrr et minusrarrv deacutefinissent la trajectoire des points M1et M2 On en conclut donc que
Systegravemes agrave deux corps 235
Pour un mouvement agrave force centrale la trajectoire est contenue dans un plan per-pendiculaire au vecteur moment cineacutetique constant
G M1
M2
M1rsquo
M2rsquo
x
y
zL
(R)
Figure 96 bull La trajectoire de M1 et M2 est dans un plan perpendiculaireau moment cineacutetique L exprimeacute dans le reacutefeacuterentiel barycentrique
34 Reacuteduction du systegraveme agrave 2 corps masse reacuteduite ou masse fictiveNous avons vu que le mouvement des deux masses est un mouvement plan pour lequel ily a conservation du moment cineacutetique Le mouvement est caracteacuteriseacute dans le reacutefeacuterentielbarycentrique par les eacuteleacutements cineacutetiques suivants
minusrarrp lowast
2 = mminusrarrv = minusminusrarrp lowast
1minusrarrLlowast = mminusrarrr and minusrarrv
md2minusrarrrdt2
= minusminusrarrF 1 =
minusrarrF 2
ElowastC =
12
mv2
Le mouvement des deux masses M1 et M2 dans le reacutefeacuterentiel barycentrique est deacuteter-mineacute par la connaissance en fonction du temps des vecteurs positions minusrarrr 1 =
minusminusrarrGM1 et
minusrarrr 2 =minusminusrarrGM2 Pour cela il suffit de deacuteterminer le vecteur minusrarrr =
minusminusminusrarrM1M2 On constate alors que
le problegraveme se reacutesume agrave lrsquoeacutetude du mouvement drsquoun point mateacuteriel fictif M de masse m re-peacutereacute dans un reacutefeacuterentiel galileacuteen (muni drsquoune origine O) par le vecteur position minusrarrr =
minusrarrOM
se deacuteplaccedilant agrave la vitesse dminusrarrrdt = minusrarrv et subissant une force centrale
minusrarrf =
minusrarrF 2 Cela signifie
que le problegraveme agrave deux corps a eacuteteacute reacuteduit agrave un problegraveme agrave un seul corps de masse m appeleacutemasse reacuteduite du systegraveme(figure 97)
M1
M2
G
( R )
x
y
z
r2 r1
2F L
2FF
=
r m
M
y
z
O x
L
v
21MMr ==
OM
Figure 97 bull Systegraveme agrave deux corps eacutequivalent agrave un systegraveme agrave un corpsde masse m soumis agrave une force centrale
236 Meacutecanique du point
Remarques
bull Le fait que le point fictif M soit soumis agrave la forceminusrarrF 2 vient du choix des grandeurs
relatives minusrarrr = minusrarrr 2 minus minusrarrr 1 et minusrarrv = minusrarrv 2 minus minusrarrv 1(vitesse de M2 par rapport agrave M1) Le choixcontraire (minusrarrr = minusrarrr 1 minus minusrarrr 2) neacutecessiterait lrsquoapplication de la force
minusrarrF 1 sur la particule
fictive M Il faut donc bien preacuteciser les notations choisiesbull Pour connaicirctre la trajectoire des deux masses reacuteelles m1 et m2 il suffit drsquoappliquer les
homotheacuteties suivantes minusrarrr 1 = minusmminusrarrr m1 et minusrarrr 2 = mminusrarrr m2bull Lorsque le systegraveme est constitueacute de deux masses de mecircme ordre de grandeur il est
impeacuteratif drsquoutiliser le formalisme preacuteceacutedent pour eacutetudier le mouvement bull Lorsque lrsquoune des deux masses est beaucoup plus grande que lrsquoautre (m1 m2) le
barycentre du systegraveme se trouve au centre de la masse la plus grande ce qui conduit agraver1 = 0 et r2 = r La plus grosse masse est alors immobile et le systegraveme se reacuteduit agrave lamasse la plus faible (m = m2)
Exemples
bull Eacutetude drsquoun satellite de la Terre m1 = MT m2 = msatellite Le centre drsquoinertie dusystegraveme Terre satellite est au centre de la Terre Dans le reacutefeacuterentiel barycentrique(qui correspond donc au reacutefeacuterentiel geacuteocentrique) la Terre est immobile et le satelliteest en mouvement par rapport agrave la Terre La masse reacuteduite est la masse du satellite etla force est la force de gravitation qursquoexerce la Terre sur le satellite
bull Eacutetoiles doubles cas ougrave 2 eacutetoiles sont suffisamment proches pour interagir Leur masseeacutetant eacutequivalente il faut utiliser le formalisme de la masse reacuteduite On constate alorsque les deux astres tourne autour de leur centre drsquoinertie
4 PROPRIEacuteTEacuteS DU MOUVEMENT
41 Loi des aires
La conservation du moment cineacutetique des deux masses permet de deacutefinir une proprieacuteteacutenouvelle du mouvement Nous eacutetudions maintenant le mouvement du point mateacuteriel fictifM affecteacute de la masse m dans le reacutefeacuterentiel galileacuteen R(O x y z t) avec comme base drsquoeacutetudela base mobile (minusrarru r
minusrarru uminusrarru z) comme lrsquoindique la figure 98
θ
x
y
z
csteL =
ru
θu
FμO
M
r
rarr
rarrrarr
rarr
Figure 98 bull Mouvement de la masse reacuteduite dans le reacutefeacuterentiel galileacuteen (O x y z t)
Systegravemes agrave deux corps 237
En appliquant le theacuteoregraveme du vecteur unitaire tournant il est facile de voir que la vitessedu point M est donneacutee par
minusrarrv =dminusminusminusrarrM1M2
d t=
d rminusrarru r
d t= rminusrarru r + ruminusrarru u (95)
Le moment cineacutetique du systegraveme est donc eacutegal agrave minusrarrL = minusrarrr and mminusrarrv M2M1 = rminusrarru r and m(rminusrarru r + ruminusrarru u)minusrarrL = mr2u
minusrarrk
Nous avons montreacute que ce moment est constant ce qui entraicircne que la quantiteacute
r2u =Lm
= C
est constante La constante C est appeleacutee constante des aires En effet elle a une signi-fication geacuteomeacutetrique lieacutee agrave lrsquoaire balayeacutee par le point M au cours de son mouvement Lafigure 99 met en eacutevidence que cette quantiteacute repreacutesente deux fois lrsquoaire balayeacutee par uniteacutede temps par le point M entre les instants t et t + d t On a ainsi
C = r2 d u
d t= 2
d Ad t
M(t)
M prime
(t+dt)
rθd
rdθ
O
Trajectoire
H
Figure 99 bull Lrsquoaire eacuteleacutementaire dA balayeacutee par le rayon OM pendant la dureacuteedt est assimilable agrave lrsquoaire du triangle OMMprime qui est eacutegale agrave
12 (OMprime)(MH) = 1
2 (r + dr)rdu Au premier ordre par rapport aux infinimentpetits dr et du (grossis volontairement sur le scheacutema) on obtient 1
2 r2du Celarevient agrave neacutegliger la surface du triangle HMMprime devant celle du triangle OMH
Lrsquoaire eacuteleacutementaire d Ad t balayeacutee par le point M est constante au cours du temps lrsquoairetotale balayeacutee par le point M varie donc lineacuteairement dans le temps
42 Eacutenergie meacutecaniqueNous avons deacutefini au chapitre 7 lrsquoeacutenergie potentielle de deux masses m2 et m1 en interac-tion gravitationnelle Lorsque le zeacutero de lrsquoeacutenergie potentielle est pris agrave lrsquoinfini lrsquoexpressionde lrsquoeacutenergie potentielle est donneacutee par
EP = minusGm1m2
r
238 Meacutecanique du point
Nous avons vu en (93) que lrsquoeacutenergie cineacutetique totale du systegraveme est EC = 12 mv2 Lrsquoeacutenergie
meacutecanique E du systegraveme des deux masses en interaction est donc
E = EC + EP =12
mv2 minus Gm1m2
rLa vitesse du point M2 est eacutegale agrave minusrarrv = rminusrarru r + ruminusrarru u (95) ce qui conduit agrave v2 = r2 + r2u2
Il en reacutesulte que lrsquoeacutenergie meacutecanique du systegraveme srsquoeacutecrit
E = EC + EP =12
m(r2 + r2u2) minus Gm1m2
rLe mouvement est reacutegi par la loi des aires En utilisant la relation C = ru2 on obtientlrsquoexpression suivante
E = EC + EP =12
mr2 +12
mC2
r2 minus Gm1m2
rLe systegraveme est meacutecaniquement isoleacute ce qui impose que lrsquoeacutenergie meacutecanique du systegravemesoit constante Nous avons donc
E =12
mr2 +12
mC2
r2 minus Gm1m2
r=
12
mr2 + EPeff
Nous venons de faire apparaicirctre dans lrsquoexpression de lrsquoeacutenergie meacutecanique une eacutenergiepotentielle dite eacutenergie potentielle effective qui ne deacutepend que de r et qui srsquoeacutecrit
EPeff =12
mC2
r2 minus Gm1m2
rCette eacutenergie dont une partie provient de lrsquoeacutenergie cineacutetique possegravede des proprieacuteteacutesremarquables quant agrave lrsquointerpreacutetation du mouvement du systegraveme
43 Eacutetude de lrsquoeacutenergie potentielle effectiveLrsquoeacutenergie potentielle effective est constitueacutee de la somme de deux termes de signes op-poseacutes Le premier terme positif domine aux petits r alors que le second neacutegatif dominelorsque r devient grand La somme de ces deux termes antagonistes est repreacutesenteacutee sur lafigure 910 On peut voir que lrsquoeacutenergie potentielle effective passe par un minimum qui cor-respond agrave lrsquoannulation de la deacuteriveacutee de lrsquoeacutenergie potentielle effective pour r = r0 = mC2
Gm1m2
000 002 004 006 008 010 012 014-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
E=2r2
mC2
m1m2
rE=
EPeff
Ene
rgie
r
-G
Figure 910 bull Diagramme drsquoeacutenergie pour un systegraveme de deux masses en interaction
Systegravemes agrave deux corps 239
44 Eacutetats lieacutes et eacutetats de diffusion
Lrsquoeacutenergie potentielle effective est un excellent outil pour appreacutehender la nature de la tra-jectoire des deux objets En effet le systegraveme est conservatif ce qui signifie que son eacutenergiemeacutecanique E est constante Or lrsquoeacutenergie meacutecanique est la somme de lrsquoeacutenergie potentielleeffective et drsquoun terme relatif agrave lrsquoeacutenergie cineacutetique de la masse m qui doit neacutecessairementecirctre positif On peut traduire cette condition de la faccedilon suivante
12
mr2 = E minus EPeff gt 0
Il en reacutesulte que lrsquoeacutenergie meacutecanique du systegraveme doit rester supeacuterieure agrave son eacutenergie po-tentielle effective Cette condition deacutefinit les eacutetats possibles du systegraveme La figure 911 re-preacutesente lrsquoallure de lrsquoenergie potentielle effective et deux valeurs de lrsquoeacutenergie meacutecaniqueElle fait apparaicirctre que trois cas sont agrave distinguer selon la valeur prise par E (valeur quine deacutepend que des conditions initiales du mouvement)
bull E gt 0 le systegraveme peut se deacuteplacer entre une valeur limite rmin et lrsquoinfini On dit quelrsquoon a affaire agrave un eacutetat de diffusion car le systegraveme nrsquoa qursquoune limite imposeacutee
bull E lt 0 le systegraveme est astreint pour maintenir la condition E gt EPeff agrave se deacuteplacerentre deux positions rmin et rmax On dit pour cette raison que lrsquoeacutetat du systegraveme est uneacutetat lieacute Quand E = EPeff (r = r0) r ne peut prendre que la valeur r0 La masse m deacutecritdonc un cercle
bull E = 0 crsquoest un eacutetat intermeacutediaire entre les deux eacutetats preacuteceacutedents Il correspond agrave lacondition de passage entre lrsquoeacutetat lieacute et lrsquoeacutetat de diffusion et donc agrave la libeacuteration de lrsquoeacutetatlieacute
000 003 006 009 012
-4
-2
0
2
4
6
8
Eacutetat lieacute
rmin
Egt0
Eacutetat de diffusion
Ene
rgie
effe
ctiv
e
000 003 006 009 012
-4
-2
0
2
4
Elt0
rmin
r
rmax
Figure 911 bull Eacutetat de diffusion et eacutetat lieacute
240 Meacutecanique du point
Encart 91 Eacutetats lieacutes et vitesse de libeacuterationLrsquoeacutetude preacuteceacutedente est particuliegraverement utile en meacutecanique ceacuteleste car elle montreque selon lrsquoeacutenergie du systegraveme le comportement de deux masses en interaction gra-vitationnelle peut ecirctre tregraves diffeacuterent En effet consideacuterons le cas drsquoune masse m eninteraction avec une masse M m Si lrsquoeacutenergie du systegraveme est positive (figure 912)lrsquoeacutenergie cineacutetique preacutedomine sur lrsquoeacutenergie potentielle et la masse m qui approche deM ne pourra ecirctre que deacutevieacutee par le champ de gravitation de cette derniegravere Apregraves deacute-viation de la trajectoire au voisinage de M la masse m va continuer son chemin danslrsquoespace interstellaire Crsquoest le cas de lrsquoeacutetat de diffusion
m Frarr
vrarr
vrarr
vrarr
Frarr
Frarr
M
Figure 912 bull E gt 0 Lrsquoeacutenergie cineacutetique de la masse m est suffisante pourqursquoelle puisse quitter lrsquoattraction de la masse M Sa trajectoire est incurveacutee par
lrsquoaction de M
Si lrsquoeacutenergie est neacutegative (figure 913) cela signifie que lrsquoeacutenergie cineacutetique ne preacutedo-mine pas La masse m est pieacutegeacutee par son eacutenergie potentielle Elle est alors contraintede se maintenir en orbite autour de M
M
m
vrarr
Frarr
Figure 913 bull E lt 0 La masse m est pieacutegeacutee par son eacutenergie potentielle
Le cas E = 0 est aussi particuliegraverement inteacuteressant Consideacuterons une fuseacutee agrave laquelleon communique de lrsquoeacutenergie cineacutetique Ec au deacutecollage Selon la valeur de Ec la fuseacuteepourra quitter agrave jamais lrsquoattraction de la Terre ou bien rester indeacutefiniment en orbiteautour de cette derniegravere Le cas limite est E = 0 crsquoest-agrave-dire Ec + Ep = 0 On a alors
12
mv2l minus
GmMT
RT= 0
La vitesse limite vl qui permet de quitter lrsquoattraction terrestre est
vl = 2
radic2GMT
RT
Cette vitesse limite est appeleacutee vitesse de libeacuteration
Application numeacuterique vl = 11 kmsminus1