MCÁLCULO - eadcampus.spo.ifsp.edu.breadcampus.spo.ifsp.edu.br/pluginfile.php/36725/mod_resource/... · 5-6 Esboce a região cuja área é dada pela integral e ... em termos da altura
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930M||||MCÁLCULO
1-4 Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar
coordenadas polares ou retangulares e escreva hhR f (x, y) dA
como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contí-
nua em R.
1. 2.
3. 4.
5-6 Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a
5. hp
2ph4
7r dr du 6. h
0
p/2h0
4 cos ur dr du
7-14 Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
7. hhD xy dA, onde D é o disco com centro na origem e raio 3
8. hhR (x y) dA, onde R é a região que está à esquerda do eixo y
e entre as circunferências x2 y2
� 1 e x2 y2
� 4
9. hhR cos(x2 y2) dA, onde R é a região acima do eixo x e dentro
da circunferência x2 y2
� 9
10. hhR
√–––––4 � x2 � y2––––
dA, onde R � {(x, y)� x2 y2
� 4, x � 0}
11. hhD e�x2�y2
dA, onde D é a região delimitada pelo semicírculo
x � √–––––4 � y2 e o eixo y
12. hhR yex dA, onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo
círculo x2 y2
� 25
13. hhR
arctg (y/x) dA, onde R � {(x, y)�1 � x2 y2
� 4, 0 � y � x}
14. hhD
x dA, onde D é a região do primeiro quadrante compreendida
entre os círculos x2 y2
� 4 e x2 y2
� 2x
15-18 Utilize a integral dupla para determinar a área da região.
15. Um laço da rosácea r � cos 3u
16. A região delimitada pela curva r � 4 3 cos u
17. A região interior a ambos os círculos r � cos u e r � sen u
18. A região dentro do círculos r � 1 cos u e fora do círculo
r � 3 cos u
19-27 Utilize coordenadas polares para determinar o volume do só-
lido dado.
19. Abaixo do cone z � √–––––x2 y2– e acima do disco x2 y2
� 4
20. Abaixo do paraboloide z � 18 � 2x2 � 2y2 e acima do plano xy
21. Delimitado pelo hiperboloide �x2 � y2
z2 � 1 e pelo plano
z � 2
22. Dentro da esfera x2 y2
z2 � 16 e fora do cilindro
x2 y2
� 4
23. Uma esfera de raio a
24. Limitado pelo paraboloide z � 1 2x2 2y2 e pelo plano
z � 7 no primeiro octante
25. Acima do cone z � √–––––x2 y2– e abaixo da esfera x2
y2 z2
� 1
26. Limitada pelos paraboloides z � 3x2 3y2 e z � 4 � x2
� y2
27. Dentro do cilindro x2 y2
� 4 e do elipsoide
4x2 4y2
z2 � 64
28. (a) Uma broca cilíndrica de raio r1 é usada para fazer um furo
que passa pelo centro de uma esfera de raio r2. Determine o
volume do sólido em formato de anel resultante.
(b) Expresse o volume da parte (a) em termos da altura h do
anel. Observe que o volume depende somente de h e não de
r1 ou r2.
29-32 Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordena-
das polares.
29. h3�3 h
0
√–––––9 � x2
sen(x2 y2) dy dx 30. ha
0 h0
�√–––––a2 � y2– x2y dx dy
31. h10 h
y
√–––––2 � y2
(x y) dx dy 32. h20 h
0
√–––––2x � x2
–
√–––––x2 y2– dy dx
33. Uma piscina circular tem diâmetro de 10 metros. A profundi-
dade é constante ao longo das retas de leste para oeste e cresce
linearmente de 1 metro na extremidade sul para dois metros na
extremidade norte. Encontre o volume de água da piscina.
34. Um pulverizador agrícola distribui água em um padrão circular
de 50 m de raio. Ele fornece água até uma profundidade de e�r
metros por hora a uma distância de r metros do pulverizador.
(a) Se 0 � R � 100, qual a quantidade total de água fornecida
por hora para a região dentro do círculo de raio R centrada
no pulverizador?
(b) Determine uma expressão para a quantidade média de água
por hora por metro quadrado fornecida à região dentro do
círculo de raio R.
0
y
x
6
3
0
y
x�1 1
1
0
y
x�1 1
1 y�1�x2
0 4
4
y
x
EXERCÍCIOS 15.4
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INTEGRAIS MÚLTIPLASM||||M931
35. Utilize coordenadas polares para combinar a soma
h11/√
–2 hx
√–––––1 � x2
xy dy dx h1
√–2hx
0xy dy dx h2
√–2 h
0
√–––––4 � x2
xy dy dx
em uma única integral dupla. Em seguida calcule essa inte-
gral dupla.
36. (a) Definimos a integral imprópria (sobre todo o plano �2)
I � h�2
h e�(x2y2) dA � h∞�∞h∞
�∞e�(x2y2) dy dx
� limam∞ hDa
h e�(x2y2) dA
onde Da
é o disco com raio a e centro na origem. Mostre que
h∞�∞h∞
�∞e�(x2y2) dA � p
(b) Uma definição equivalente da integral imprópria da par-
te (a) é
h�2
h e�(x2y2) dA � limam∞ hSa
h e�(x2y2) dA
onde Sa é o quadrado com vértices (�a, �a). Use esse re-
sultado para mostrar que
h∞�∞
e�x2
dx h∞�∞
e�y2
dy � p
(c) Deduza que
h∞�∞
e�x2
dx � √–p
(d) Fazendo a mudança de variável t � √–2 x, mostre que
h∞�∞
e�x2/2dx � √–––2p
(Esse é um resultado fundamental em probabilidade e
estatística.)
37. Utilize o resultado do Exercício 36, parte (c), para calcular as
seguintes integrais:
(a) h∞0
x2e�x2
dx (b) h∞0
√–x e�x dx
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DUPLAS
Já vimos uma aplicação da integral dupla: o cálculo de volumes. Outra aplicação geométricaimportante é a determinação de áreas de superfícies, o que será feito na Seção 16.6. Nestaseção, vamos explorar as aplicações físicas, tais como cálculo de massa, carga elétrica, cen-tro de massa e momento de inércia. Veremos que essas ideias físicas também são importan-tes quando aplicadas a funções densidade de probabilidade de duas variáveis aleatórias.
DENSIDADE E MASSA
Na Seção 8.3, no Volume I, calculamos momentos e centro de massa de placas finas oulâminas de densidade constante, usando as integrais unidimensionais. Agora, com auxí-lio das integrais duplas, temos condições de considerar as lâminas com densidade variá-vel. Suponha que uma lâmina ocupe uma região D do plano xy e que sua densidade (emunidades de massa por unidade de área) no ponto (x, y) em D é dada por r(x, y), onde ré uma função contínua em D. Isso significa que
r(x, y) � lim
onde Δ m e Δ A são a massa e a área de um pequeno retângulo que contém (x, y) e toma-mos o limite quando as dimensões do retângulo se aproximam de 0 (veja a Figura 1).
Para determinar a massa total m da lâmina, dividimos o retângulo R contendo D emsub-retângulos R
ij, todos do mesmo tamanho (como na Figura 2), e consideramos r(x, y) como 0 fora de D. Se escolhermos um ponto (x*
ij, y*
ij) em R
ij, então a massa da parte
da lâmina que ocupa Rijé aproximadamente r(x*
ij, y*
ij)Δ A, onde Δ A é a área de R
ij. Se so-
marmos todas essas massas, obteremos uma aproximação do valor da massa total:
m � ∑k
i�1∑
l
j�1r(x*ij, y*ij)Δ A
Δ mΔ A
15.5
FIGURA 1
0 x
y
D
(x,�y)
FIGURA 2
Rijy
0 x
(xij,�yij)* *
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990M||||MCÁLCULO
1-16 Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
1. hC y3 ds,MMC: x � t3,My � t,M0 � t � 2
2. hC xy ds,MMC: x � t2,My � 2t,M0 � t � 1
3. hC xy4 ds,MMC é a metade direita do círculo x2 � y2
� 16.
4. hC
x sen y ds,MMC é o segmento de reta que liga (0, 3) a (4, 6).
5. hC
(x2y3 � √–x) dy,
C é o arco da curva y � √–x de (1, 1) a (4, 2).
6. hC
sen x dx,
C é o arco da curva x � y4 de (1, �1) a (1, 1).
7. hC xy dx � (x � y) dy,MMC consiste nos segmentos de reta de
(0, 0) a (2, 0) e de (2, 0) a (3, 2).
8. hC x √–y dx � 2y √
–x dy,MMC consiste na metade superior da cir-
cunferência x2 � y2
� 1 de (1, 0) a (1, 0) e no segmento de reta
de (1, 0) a (4, 3).
9. hC xy3 ds,MMC: x � 4 sen t,My � 4 cos t,Mz � 3t,M0 � t �p/2
10. hC xyz2 ds,MMC é o segmento de reta de (�1, 5, 0) a (1, 6, 4).
11. hC xeyz ds,MMC é o segmento de reta de (0, 0, 0) a (1, 2, 3).
12. hC (2x � 9z) ds,MMC: x � t,My � t2,Mz � t3,M0 � t � 1
13. hC x2 y√–z dz,MMC: x � t3,My � t,Mz � t2,M0 � t � 1
14. hC z dx � x dy � ydz,MMC: x � t2,My � t3,Mz � t2,M0 � t � 1
15. hC
(x � yz) dx � 2x dy � xyz dz,MMC consiste nos segmentos
de reta de (1, 0, 1) a (2, 3, 1) e de (2, 3, 1) a (2, 5, 2).
16. hC x2 dx � y2 dy � z2 dz,MMC consiste nos segmentos de reta de
(0, 0, 0) a (1, 2, �1) e de (1, 2, �1) a (3, 2, 0).
17. Seja F o campo vetorial mostrado na figura.
(a) Se C1 é o segmento de reta vertical de (�3, �3) a (�3, 3),
determine se hC1F � dr é positiva, negativa ou zero.
(b) Se C2 é o círculo de raio 3 e centro na origem percorrido no
sentido anti-horário, determine se hC2F � dr é positiva, ne-
gativa ou zero.
18. A figura mostra um campo vetorial F e duas curvas, C1 e C2. As
integrais de linha de F sobre C1 e C2 são positivas, negativas ou
nulas? Explique.
19-22 Calcule a integral de linha hC
F � dr, onde C é dada pela fun-
ção vetorial r(t).
19. F(x, y) � xy i � 3y2 j,Mr(t) � 11t4 i � t3 j,M0 � t � 1
20. F(x, y, z) � (x � y) i � (y � z) j � z2 k,M
r(t) � t2 i � t3 j � t2 k,M0 � t � 1
21. F(x, y, z) � sen x i � cos y j � xz k, M
r(t) � t3 i � t2 j � t k, M0 � t � 1
22. F(x, y, z) � zi � y j � x k,Mr(t) � t i � sen t j � cos t k,
0 � t � p
23-26 Use uma calculadora ou um SCA para calcular a integral de
linha correta até a quarta casa decimal.
23. hC
F � dr, onde F(x, y) � xy i � sen y j e r(t) � et i � e�t2 j, 1 �
t � 2
24. hC F � dr, onde F(x, y, z) � y sen z i � z sen x j � x sen y k e
r(t) � cos t i � sen t j � sen 5t k, 0 � t � p
25. hC x sen( y � z) ds, onde C tem equações paramétricas x � t2,
y � t 3, z � t4, 0 � t � 5
26. hC
ze�xy ds, onde C tem equações paramétricas x � t, y � t 2,
z � e�t , 0 � t � 1
27-28 Use um gráfico do campo vetorial F e a curva C para dizer se
a integral de linha de F ao longo de C é positiva, negativa ou nula. Em
seguida, calcule a integral.
27. F(x, y) � (x � y) i � xy j , C é o arco de círculo x2 � y2
� 4 per-
corrido no sentido anti-horário de (2, 0) a (0, �2) .
28. F(x, y) � i � j,
C é a parábola y � 1 � x2 de (�1, 2) a (1, 2).
29. (a) Calcule a integral de linha hC
F � dr, onde
F(x, y) � ex�1 i � xy j e C é dada por r(t) � t2 i � t3 j,
0 � t � 1.
y�√
–––––x2 � y2–
x�√
–––––x2 � y2–
y
x
C1
C2
y
x0 1
1
2 3
2
3
�3 �2 �1
�3
�2
�1
EXERCÍCIOS 16.2
SCA
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CÁLCULO VETORIALM||||M991
(b) Ilustre a parte (a) utilizando uma calculadora gráfica ou um
computador para desenhar C e os vetores do campo vetorial
correspondentes a t � 0, 1/√–2 e 1 (como na Figura 13).
30. (a) Calcule a integral de linha hC F � dr, onde
F(x, y, z) � x i � zj � y k e C é dado por
r(t) � 2t i � 3t j � t2 k, �1 � t � 1.
(b) Ilustre a parte (a) utilizando um computador para desenhar C
e os vetores do campo vetorial correspondentes a t � �1 e
� 12– (como na Figura 13).
31. Encontre o valor exato de hC x3y2z ds, onde C é a curva com equa-
ções paramétricas x � e�t cos 4 t, y � e�t sen 4 t, z � e�t ,
0 � t � 2p.
32. (a) Determine o trabalho realizado pelo campo de força
F(x, y) � x2 i � xy j sobre uma partícula que dá uma volta no
círculo x2 � y2
� 4 no sentido anti-horário.
(b) Utilize um sistema de computação algébrica para desenhar o
campo de força e o círculo na mesma tela. Use essa figura
para explicar sua resposta para a parte (a).
33. Um arame fino é entortado no formato da semicircunferência
x2 � y2
� 4, x 0. Se a densidade linear for uma constante k, de-
termine a massa e o centro de massa do arame.
34. Um arame fino tem a forma da parte que está no primeiro qua-
drante da circunferência com centro na origem e raio a. Se a fun-
ção densidade for r(x, y) � kxy, encontre a massa e o centro de
massa do arame.
35. (a) Escreva fórmulas semelhantes à Equação 4 para o centro de
massa (x–, y–, z– ) de um arame fino com função densidade
r(x, y, z) e forma da curva espacial C.
(b) Determine o centro de massa de um arame com formato da
hélice x � 2 sen t, y � 2 cos t, z � 3t, 0 � t � 2p, se a den-
sidade for uma constante k.
36. Determine a massa e o centro de massa de um arame com for-
mato da hélice x � t, y � cos t, z � sen t, 0 � t � 2p, se a den-
sidade em qualquer ponto for igual ao quadrado da sua distância
do ponto à origem.
37. Se um arame com densidade linear r(x, y) está sobre uma curva
plana C, seus momentos de inércia em relação aos eixos x e y
são definidos por
Ix � hC y2
r(x, y) dsMMMMIy � hC x2r(x, y) ds
Determine os momentos de inércia do arame do Exemplo 3.
38. Se um arame com densidade linear r(x, y, z) está sobre uma
curva espacial C, seus momentos de inércia em relação aos
eixos x, y e z são definidos por
Ix
� hC
(y2 � z2)r(x, y, z) ds
Iy
� hC
(x2 � z2)r(x, y, z) ds
Iz � hC (x2
� y2)r(x, y, z) ds
Determine os momentos de inércia do arame do Exercício 35.
39. Determine o trabalho realizado pelo campo de força
F(x, y) � x i � (y � 2) j sobre um objeto que se move sobre um
arco da cicloide r(t) � (t � sen t) i � (1 � cos t) j, 0 � t � 2p.
40. Determine o trabalho realizado pelo campo de força
F(x, y) � x sen y i � y j em uma partícula que se move sobre a
parábola y � x 2 de (�1, 1) a (2, 4).
41. Determine o trabalho realizado pelo campo de força
F(x, y, z) � ky � z, x � z, x � yl sobre uma partícula que se
move ao longo do segmento de reta (1, 0, 0) a (3, 4, 2).
42. A força exercida pela carga elétrica colocada na origem sobre
uma partícula carregada em um ponto (x, y, z) com vetor posi-
ção r � kx, y, zl é F(r) � Kr/�r�3, onde K é uma constante (veja
o Exemplo 5 da Seção 16.1). Determine o trabalho realizado
quando a partícula se move sobre o segmento de reta de (2, 0, 0)
a (2, 1, 5).
43. Um homem pesando 160 lb carrega uma lata de tinta de 25 lb por
uma escada helicoidal em torno de um silo com raio de 20 pés. Se
o silo tem 90 pés de altura e o homem dá três voltas completas em
torno do silo, quanto trabalho é realizado pelo homem contra a
gravidade para subir ao topo?
44. Suponha que exista um furo na lata de tinta do Exercício 43 e
9 lb de tinta vazam da lata de modo contínuo e uniforme durante
a subida do homem. Quanto trabalho é realizado?
45. (a) Mostre que um campo de força constante realiza trabalho
nulo sobre uma partícula que dá uma única volta completa
uniformemente na circunferência x2 � y2
� 1.
(b) Isso também é verdadeiro para um campo de força
F(x) � kx, onde k é uma constante e x � kx, yl?
46. A base de uma cerca circular de raio 10 m é dada por
x � 10 cos t, y � 10 sen t. A altura da cerca na posição (x, y) é
dada pela função h(x, y) � 4 � 0,01(x2 � y2), portanto a altura
varia de 3 m a 5 m. Suponha que 1 L de tinta permita pintar
100 m2. Faça um esboço da cerca e determine quanto de tinta
você precisará para pintar os dois lados da cerca.
47. Um objeto se move sobre a curva C, mostrada na figura, de
(1, 2) a (9, 8). Os comprimentos dos vetores do campo de força
F são medidos em newtons pela escala nos eixos. Estime o tra-
balho realizado por F sobre o objeto.
0 1
1
y(metros)
x(metros)
C
C
;
;
SCA
SCA
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CÁLCULO VETORIALM||||M999
1. A figura mostra uma curva C e um mapa de contorno de uma
função f cujo gradiente é contínuo. Determine hC f � dr.
2. É dada uma tabela de valores de uma função f com gradiente con-
tínuo. Determine hC f � dr, onde C tem equações paramétricas
x � t2 � 1,MMMy � t3
� t,MMM0 � t � 1.
3-10 Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se
for, determine uma função f tal que F � f .
3. F(x, y) � (2x � 3y) i � (�3x � 4y � 8) j
4. F(x, y) � ex cos y i � ex sen y j
5. F(x, y) � ex sen y i � e cos y j
6. F(x, y) � (3x2 � 2y2) i � (4 xy � 3) j
7. F(x, y) � (yex � sen y) i � (ex � x cos y) j
8. F(x, y) � (xy cos xy � sen xy) i � (x2 cos xy) j
9. F(x, y) � (ln y � 2xy3) i � (3x2y2 � x/y) j
10. F(x, y) � (xy cosh xy � senh xy) i � (x2 cosh xy) j
11. A figura mostra o campo vetorial F(x, y) � k2xy, x2l e três cur-
vas que começam em (1, 2) e terminam em (3, 2).
(a) Explique por que hC
F � dr tem o mesmo valor para as
três curvas.
(b) Qual é esse valor comum?
12-18 (a) Determine uma função f tal que F � f e (b) use a parte
(a) para calcular hC F � dr sobre a curva C dada.
12. F(x, y) � x2 i � y2 j, C é o arco da parábola y � 2x2 de (�1, 2)
a (2, 8)
13. F(x, y) � xy2 i � x2y j,
C: r(t) � kt � sen 12–pt, t � cos 12–ptl, 0 � t � 1
14. F(x, y) � i � 2y arctg x j,
C: r(t) � t2 i � 2t j, 0 � t � 1
15. F(x, y, z) � yz i � xz j � (xy � 2z) k, C é o segmento de reta de
(1, 0, �2) a (4, 6, 3)
16. F(x, y, z) � (2xz �y2) i � 2 xy j � (x2 � 3z2) k,
C: x � t2, y � t � 1, z � 2t � 1, 0 � t � 1
17. F(x, y, z) � y2 cos z i � 2 xy cos z j � xy2 sen z k,
C: r(t) � t2 i � sen t j � t k, 0 � t � p
18. F(x, y, z) � ey i � xe y j � (z � 1)ez k,
C: r(t) � t i � t2 j � t3 k, 0 � t � 1
y2
�1 � x2
y
x0 3
3
2
1
21
1
3
8
6
5
2
4
7
9
xy
0
1
2
0 1 2
y
x0
10
2030
4050
60
C
nida como P(x, y, z) � �f (x, y, z), e temos F � �P. Então, pelo Teorema 2, temos
W � hC
F � dr � �hC
P � dr � �[P(r(b)) � P(r(a))] � P(A) � P(B)
Comparando essa equação com a Equação 16, vemos que
P(A) � K(A) � P(B) � K(B)
que diz que, se um objeto se move de um ponto A para outro B sob a influência de umcampo de forças conservativo, então a soma de sua energia potencial e sua energia ciné-tica permanece constante. Essa é a chamada Lei de Conservação de Energia e é a razãopela qual o campo vetorial é denominado conservativo.
EXERCÍCIOS 16.3
Cal_16v2:Layout 1 04.08.09 18:38 Page 999
1000M||||MCÁLCULO
19-20 Mostre que a integral de linha é independente do caminho e
calcule a integral.
19. hC 2x sen y dx � (x2 cos y � 3y2) dy,
C é qualquer caminho de (�1, 0) a (5, 1)
20. hC (2y2 � 12x3y3) dx � (4xy � 9x4y2) dy,
C é qualquer caminho de (1, 1) a (3, 2)
21-22 Determine o trabalho realizado pelo campo de força F ao
mover um objeto de P a Q.
21. F(x, y) � 2y3/2 i � 3x√–y j;MMP(1, 1), Q(2, 4)
22. F(x, y) � e�y i � xe�y j;MMP(1, 1), Q(2, 0)
23-24 A partir do gráfico de F você diria que o campo é conserva-
tivo? Explique.
23. 24.
25. Se F(x, y) � sen y i � (1 � x cos y) j, use um gráfico para con-
jecturar se F é conservativo. Então, determine se sua conjectura
estava correta.
26. Seja F � f, onde f (x, y) � sen(x � 2y). Determine curvas C1
e C2 que não sejam fechadas e satisfaçam a equação.
(a) hC1F � dr � 0 (b) hC2
F � dr � 1
27. Mostre que, se um campo vetorial F � P i � Q j � R k é con-
servativo e P, Q, R têm derivadas parciais de primeira ordem
contínuas, então
� MMM
� MMM
�
28. Use o Exercício 27 para mostrar que a integral de linha
hC y dx � x dy � xyz dz não é independente do caminho.
29-32 Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo
e (c) simplesmente conexo.
29. {(x, y)�x � 0, y � 0} 30. {(x, y)�x � 0}
31. {(x, y)�1 x2 � y2
4}
32. {(x, y)�x2 � y2
� 1 ou 4 � x2 � y2
� 9}
33. Seja F(x, y) � .
(a) Mostre que ∂P/∂y � ∂Q/∂x.
(b) Mostre que hC
F � dr não é independente do caminho. [Su-
gestão: calcule hC1
F � dr e hC2
F � dr, onde C1 e C2 são as meta-
des superior e inferior do círculo x2 � y2
� 1 de (1, 0) a
(�1, 0).] Isso contraria o Teorema 6?
34. (a) Suponha que F seja um campo vetorial inverso do quadrado,
ou seja,
F(r) �
para alguma constante c, onde r � x i � y j � zk. Determine
o trabalho realizado por F ao mover um objeto de um ponto
P1 por um caminho para um ponto P2 em termos da distância
d1e d2 desses pontos à origem.
(b) Um exemplo de um campo inverso do quadrado é o campo
gravitacional F � �(mMG)r/�r�3 discutido no Exemplo 4
da Seção 16.1. Use a parte (a) para determinar o trabalho rea-
lizado pelo campo gravitacional quando a Terra se move do
afélio (em uma distância máxima de 1,52 � 108 km do Sol )
ao periélio (em uma distância mínima de 1,47 � 108 km).
(Use os valores m � 5,97 � 1024 kg, M � 1,99 � 1030 kg e
G � 6,67 � 10�11 N�m2/kg2.)
(c) Outro exemplo de campo inverso do quadrado é o campo
elétrico F � eqQr/�r�3 discutido no Exemplo 5 da Seção
16.1. Suponha que um elétron com carga de �1,6 � 10�19 C
esteja localizado na origem. Uma carga positiva unitária é
colocada à distância de 10�12 m do elétron e se move para
uma posição que está à metade da distância original do elé-
tron. Use a parte (a) para determinar o trabalho realizado pelo
campo elétrico. (Use o valor e� 8,985 � 109.)
cr��r�3
�y i � x j�
x2� y2
∂R�∂y
∂Q�∂z
∂R�∂x
∂P�∂z
∂Q�∂x
∂P�∂y
y
x
y
x
16.4 TEOREMA DE GREEN
O Teorema de Green fornece a relação entre uma integral de linha em torno de uma curvafechada simples C e uma integral dupla na região D do plano delimitada por C (veja a Fi-gura 1. Vamos supor que D consista em todos os pontos dentro de C, bem como nos pontossobre C). Para enunciar o Teorema de Green, usaremos a convenção de que a orientação po-sitiva de uma curva fechada simples C se refere a percorrer C no sentido anti-horário umaúnica vez. Assim, se C for dada como uma função vetorial r(t), a � t � b, então a região Destá sempre à esquerda quando o ponto r(t) percorrer C (veja a Figura 2).
y
x0
D
C
FIGURA 1
SCA
Cal_16v2:Layout 1 04.08.09 18:38 Page 1000
1006M||||MCÁLCULO
1-4 Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e
(b) utilizando o Teorema de Green.
1. ∮C (x � y)dx � (x � y)dy, C é o círculo com centro na origem e
raio 2
2. ∮C xy dx � x2 dy, C é o retângulo com vértices (0,0), (3, 0),
(3, 1) e (0, 1)
3. ∮C
xy dx � x2y3 dy, C é o triângulo com vértices (0, 0), (1, 0) e
(1, 2)
4. ∮C
x dx � y dy, C consiste nos segmentos de reta de (0, 1) a (0, 0)
e de (0, 0) a (1, 0) e na parábola y � 1 � x2 de (1, 0) a (0, 1)
5-10 Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao
longo da curva dada com orientação positiva.
5. hC ey dx � 2xey dy, C é o quadrado de lados x � 0, x � 1,
y � 0 e y � 1
6. hC x2y2 dx � 4 xy3 dy, C é o triângulo com vértices (0, 0), (1, 3),
e (0, 3)
7. hC (y � e√–x ) dx � (2x � cos y2 ) dy, C é a fronteira da região en-
globada pelas parábolas y � x2 e x � y2
8. hC xe�2x dx � (x4 � 2x2 y2) dy, C é a fronteira da região entre os
círculos x2 � y2
� 1 e x2 � y2
� 4
9. hC y3 dx � x3 dy, C é o círculo x2 � y2 � 4
10. hC sen y dx � x cos y dy, C é a elipse x2 � xy � y2
� 1
11-14 Use o teorema de Green para calcular hC F � dr . (Verifique a
orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
11. F(x, y) � k√–x � y3, x2
� √–yl,
C consiste no arco da curva y � sen x de (0, 0) a (p, 0) e no seg-
mento de reta (p, 0) a (0, 0)
12. F(x, y) � ky2 cos x, x2 � 2y sen xl,
C é o triângulo de (0, 0) a (2, 6) a (2, 0) a (0, 0)
13. F(x, y) � kex � x2 y, ey
� xy2l, C é a circunferência x2
� y2 � 25, orientada no sentido horário
14. F(x, y) � ky � ln(x2 � y2), 2 tg�1 (y/x)l,
C é a circunferência (x � 2)2 � (y � 3)2
� 1, orientada no sen-
tido anti-horário
15-16 Verifique o Teorema de Green, usando um sistema de com-
putação algébrica para calcular tanto a integral de linha como a inte-
gral dupla.
15. P(x, y) � y2ex,MMQ(x, y) � x2ey,
C consiste no segmento de reta de (�1, 1) a (1, 1) seguido pelo
arco da parábola y � 2 � x2 de (1,1) a (�1, 1)
16. P(x, y) � 2x � x3y5,MMQ(x, y) � x3y8,
C é a elipse 4x2� y2
� 4
17. Use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado pela
força F(x, y) � x(x �y) i � xy2j ao mover uma partícula da
origem ao longo do eixo x até (1, 0), em seguida ao longo de um
segmento de reta até (0, 1), e então de volta à origem ao longo
do eixo y.
18. Uma partícula inicialmente no ponto (�2, 0) se move ao longo
do eixo x até (2, 0) e então ao longo da semicircunferência
y � √–––––4 � x2 até o ponto inicial. Utilize o Teorema de Green para
determinar o trabalho realizado nessa partícula pelo campo de
força F(x, y) � kx, x3 � 3xy2l.
19. Use uma das fórmulas em (5) para achar a área sob um arco da
cicloide x � t � sen t, y � 1 � cos t.
20. Se uma circunferência C de raio 1 rola ao longo do interior
da circunferência x2 � y2
� 16, um ponto fixo P de C descreve
uma curva chamada epicicloide, com equações paramétricas
x � 5 cos t �cos 5t, y � 5 sen t � sen 5t. Faça o gráfico da epi-
cicloide e use (5) para calcular a área da região que ela envolve.
21. (a) Se C é o segmento de reta ligando o ponto (x1, y1) ao ponto
(x2, y2), mostre que
hC x dy � y dx � x1y2 � x2y1
(b) Se os vértices de um polígono, na ordem anti-horária, são
(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), mostre que a área do polígono é
A � 12– [(x1y2 � x2y1) � (x2y3 � x3y2) � . . .
� (xn�1yn � xnyn�1) � (xny1 � x1yn)]
(c) Determine a área do pentágono com vértices (0, 0), (2, 1),
(1, 3), (0, 2) e (�1, 1).
22. Seja D a região limitada por um caminho fechado simples C no
plano xy. Utilize o Teorema de Green para demonstrar que as
coordenadas do centroide (x–, y–) de D são
x– � ∮C
x2 dyMMMMy– � � ∮C
y2 dx
onde A é a área de D.
23. Use o Exercício 22 para encontrar o centroide de um quarto de
uma região circular de raio a.
24. Use o Exercício 22 para encontrar o centroide da região trian-
gular de vértices (0, 0), (a, 0) e (a, b), onde a � 0 e b � 0.
25. Uma lâmina plana com densidade constante r(x, y) � r ocupa
uma região do plano xy limitada por um caminho fechado sim-
ples C. Mostre que seus momentos de inércia em relação aos
eixos são
Ix
� � ∮C
y3 dxMMMMIy
� ∮C
x3 dyr�3
r�3
1�2A
1�2A
EXERCÍCIOS 16.4
;
SCA
Cal_16v2:Layout 1 04.08.09 18:38 Page 1006
CÁLCULO VETORIALM||||M1007
26. Utilize o Exercício 25 para achar o momento de inércia de um cír-
culo de raio a com densidade constante em relação a um diâmetro
(compare com o Exemplo 4 da Seção 15.5).
27. Se F é o campo vetorial do Exemplo 5, mostre que hC F � dr � 0
para todo caminho fechado simples que não passe pela origem e
nem a circunde.
28. Complete a demonstração do Teorema de Green demonstrando
a Equação 3.
29. Utilize o Teorema de Green para demonstrar a fórmula de mu-
dança de variáveis para as integrais duplas (Fórmula 15.9.9) para
o caso onde f (x, y) � 1:
hhR
dx dy � hS
h� �du dv
Aqui, R é a região do plano xy que corresponde à região S do
plano uv sob a transformação dada por x � t(u, v), y � h(u, v).
[Sugestão: observe que o lado esquerdo é A(R) e aplique a
primeira parte da Equação 5. Converta a integral de linha sobre
∂R para uma integral sobre ∂S e aplique o Teorema de Green no
plano uv.]
∂(x, y)�∂(u, v)
ROTACIONAL E DIVERGENTE
Nesta seção, definiremos duas operações que podem ser realizadas com campos vetoriaise que são essenciais nas aplicações de cálculo vetorial em mecânica dos fluidos e em ele-tricidade e magnetismo. Cada operação lembra uma derivação, mas uma produz um campovetorial enquanto a outra gera um campo escalar.
ROTACIONAL
Se F � P i � Q j � R k é um campo vetorial em �3 e as derivadas parciais de P, Q e R exis-tem, então o rotacional de F é o campo vetorial em �3 definido por
rot F � ( � ) i � ( � ) j � ( � )k
Para auxiliar na memorização, vamos reescrever a Equação 1 usando notação de ope-radores. Introduziremos o operador diferencial vetorial (“del”) como
� i � j � k
Quando ele opera sobre uma função escalar, produz o gradiente de f :
f � i � j � k � i � j � k
Se pensarmos em como um vetor de componentes ∂/∂x, ∂/∂y e ∂/∂z, podemos tambémconsiderar o produto vetorial formal de pelo campo vetorial F, como segue:
i j k
� F � � �P Q R
� ( � ) i � ( � ) j � ( � )k
� rot F
∂R��∂y
∂Q��∂z
∂P��∂z
∂R��∂x
∂Q��∂x
∂P��∂y
∂��∂z
∂��∂y
∂��∂x
∂f��∂z
∂f��∂y
∂f��∂x
∂f��∂z
∂f��∂y
∂f��∂x
∂��∂z
∂��∂y
∂��∂x
∂P��∂y
∂Q��∂x
∂R��∂x
∂P��∂z
∂Q��∂z
∂R��∂y
1
16.5
Cal_16v2:Layout 1 04.08.09 18:39 Page 1007
CÁLCULO VETORIALM||||M1013
1-8 Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.
1. F(x, y, z) � xyz i � x2y k
2. F(x, y, z) � x2 yz i � xy2z j � xyz2 k
3. F(x, y, z) � ex sen y i � ex cos y j � zk
4. F(x, y, z) � xey j � yez k
5. F(x, y, z) � (x i � y j � zk)
6. F(x, y, z) � exy sen z j � y tg�1(x/z) k
7. F(x, y, z) � kln x, ln(xy), ln(xyz)l
8. F(x, y, z) � kex, exy, exyzl
9-11 O campo vetorial F é mostrado no plano xy e é o mesmo em
todos os planos horizontais (em outras palavras, F é independente de
z e sua componente z é 0).
(a) O div F será positivo, negativo ou nulo? Explique.
(b) Determine se o rot F � 0. Se não, em que direção rot F aponta?
9. 10.
11.
12. Seja f um campo escalar e F um campo vetorial. Diga se cada ex-
pressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê.
Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
(a) rot f (b) grad f
(c) div F (d) rot(grad f )
(e) grad F (f) grad(div F)
(g) div(grad f ) (h) grad(div f)
(i) rot(rot F) (j) div(div F)
(k) (grad f ) � (div F) (l) div(rot(grad f ))
13-18 Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for
conservativo, determine uma função f tal que F � f.
13. F(x, y, z) � y2z3 i � 2xyz3 j � 3xy2z2 k
14. F(x, y, z) � xyz2 i � x2yz2 j � x2y2z k
15. F(x, y, z) � 2xy i � (x2 � 2yz) j � y2 k
16. F(x, y, z) � ez i � j � xez k
17. F(x, y, z) � ye�x i � e�x j � 2z k
18. F(x, y, z) � y cos xy i � x cos xy j � sen zk
19. Existe um campo vetorial G em �3 tal que
rot G � kx sen y, cos y, z � xyl? Explique.
20. Existe um campo vetorial G em �3 tal que
rot G � kxyz, �y2z, yz2l? Explique.
21. Mostre que qualquer campo vetorial da forma
F(x, y, z) � f (x) i � t(y) j � h(z) k
onde f, t e h são diferenciáveis, é irrotacional.
22. Mostre que qualquer campo vetorial da forma
F(x, y, z) � f (y, z) i �t(x, z) j � h(x, y) k
é incompressível.
23-29 Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais
apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F, G
forem campos vetoriais, então f F, F � G e F � G serão definidos por
( f F)(x, y, z) � f (x, y, z) F(x, y, z)
(F � G)(x, y, z) � F(x, y, z) � G(x, y, z)
(F � G)(x, y, z) � F(x, y, z) � G(x, y, z)
23. div(F � G) � div F � div G
24. rot(F � G) � rot F � rot G
25. div ( f F) � f div F � F � f
26. rot ( f F) � f rot F � (f ) � F
27. div(F �G) � G � rot F � F � rot G
28. div( f � t) � 0
29. rot (rot F) � grad(div F) � 2F
30-32 Seja r � x i � y j � z k e r � �r�.
30. Verifique as identidades.
(a) � r � 3 (b) � (rr) � 4r
(c) 2r3 � 12r
y
x0
y
x0
y
x0
1���√
–––––x2 � y2 �
––––z2
EXERCÍCIOS 16.5
Cal_16v2:Layout 1 04.08.09 18:39 Page 1013
1014M||||MCÁLCULO
31. Verifique as identidades.
(a) r � r/r (b) � r � 0
(c) (1/r) � �r/r3 (d) ln r � r/r2
32. Se F � r/r p, ache div F. Existe um valor de p para o qual
div F � 0?
33. Use o Teorema de Green na forma da Equação 13 para de-
monstrar a primeira identidade de Green:
hD
h f 2t dA � ∮C f (t) � n ds � h
D
h f � tdA
onde D e C satisfazem as hipóteses do Teorema de Green e as
derivadas parciais apropriadas de f e t existem e são contínuas.
(A quantidade t � n � Dnt aparece na integral de linha. Essa é
a derivada direcional na direção do vetor normal n e é chamada
derivada normal de t.)
34. Use a primeira identidade de Green (Exercício 33) para de-
monstrar a segunda identidade de Green:
hD
h ( f 2t � t
2f ) dA � ∮C
( f t � t f ) � n ds
onde D e C satisfazem as hipóteses do Teorema de Green e as
derivadas parciais apropriadas de f e t existem e são contínuas.
35. Lembre-se, da Seção 14.3, que uma função t é dita harmônica
em D quando satisfaz a equação de Laplace, ou seja, 2t � 0 em
D. Use a primeira identidade de Green (com as mesmas hipóte-
ses que no Exercício 33) para mostrar que se t for harmônica
em D, então ∮C Dn t ds � 0. Aqui, Dnt é a derivada normal de t
definida no Exercício 33.
36. Use a primeira identidade de Grenn para mostrar que se f for
harmônica em D, e se f (x, y) � 0 na curva fronteira C, então
hhD �f �2 dA � 0. (Suponha que são válidas as mesmas hipóte-
ses que no Exercício 33.)
37. Este exercício ilustra a relação entre vetor rotacional e rotações.
Seja B um corpo rígido girando em torno do eixo z. A rotação
pode ser descrita pelo vetor w � �k, onde � é a velocidade an-
gular de B, ou seja, a velocidade tangencial de qualquer ponto P
em B dividido pela distância d do eixo de rotação. Seja
r � kx, y, zl o vetor posição de P.
(a) Considerando o ângulo u da figura, mostre que o campo de
velocidade de B é dado por v � w � r.
(b) Mostre que v � ��y i � �x j.
(c) Mostre que rot v � 2w.
38. As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico E e o
campo magnético H, quando eles variam com o tempo em uma
região que não contenha carga nem corrente, como segue:
div E � 0 div H � 0
rot E �� rot H �
onde c é a velocidade da luz. Use essas equações para demons-
trar o seguinte:
(a) � ( � E) �
(b) � ( � H) � �
(c) 2E � [Sugestão: Use o Exercício 29.]
(d) 2H �
39. Vimos que todos os campos vetoriais da forma F � t satisfa-
zem a equação rot F � 0 e que todos os campos vetoriais da forma
F � rot G satisfazem a equação div F � 0 (supondo a continui-
dade das correspondentes derivadas parciais). Isso sugere a per-
gunta: existe alguma equação que todas as funções da forma
f � div G devam satisfazer? Mostre que a resposta para essa per-
gunta é “não”, demonstrando que toda função contínua f em �3 é
o divergente de algum campo de vetores. [Sugestão: Tome
G(x, y, z) � kt(x, y, z), 0, 0l, onde t(x, y, z) � h0x f (t, y, z) dt.]
∂2H�∂t2
1�c2
∂2E�∂t2
1�c2
∂2H�∂t2
1�c2
∂2E�∂t2
1�c2
∂E�∂t
1�c
∂H�∂t
1�c
0
u
P
dB
w
v
z
y
x
Cal_16v2:Layout 1 04.08.09 18:39 Page 1014
A86M||||MCÁLCULO
23.
25. 47,5 27. 16627–– 29. 2 31. 64
3–
33. 21e � 57
35. 65–
37. O Teorema de Fubini não se aplica. O integrando tem uma
descontinuidade infinita na origem.
EXERCÍCIOS 15.3 PÁGINA 924
1. 920– 3. 3
10– 5. e � 1 7. 256
21–– 9. p 11. 1
2– e16
� 172–
13. 12– (1 � cos 1) 15. 147
20–– 17. 0 19. 6
35– 21. 31
8–
33.
35. 13,984,735,616/14,549,535 37. p/2
39. h0
2 h4y2 f (x, y) dx dy 41. h3
�3h
0
√–––––9�x2
f (x, y) dy dx
43. h0
ln 2 h2ey x2 f (x, y) dx dy
45. 16–(e9
� 1) 47. 13– ln 9 49. 1
3–(2√
–2 � 1) 51. 1
53. (p/16)e�1/16� hhQ e
�(x2�y2)2
dA � p/16 55. 34–
59. 8p 61. 2p/3
EXERCÍCIOS 15.4 PÁGINA 930
1. h0
3p/2 h0
4 f (r cos u)r dr du 3. h1
�1h
0
(x�1)/2 f (x, y) dy dx
5. 33p/2
7. 0 9. 12– p sen 9 11. (p/2)(1 � e�4) 13. 3
64–p2
15. p/12 17. 18–(p � 2) 19. 16
3–p 21. 4
3–p
23. 43–pa3 25. (2p/3)[1 � (1/√
–2)]
27. (8p/3)(64 � 24√–3)
29. 12– p (1 � cos 9) 31. 2√
–2/3
33. 37,5pm3 35. 1516– 37. (a)√
–p/4MMM(b)√
–p/2
EXERCÍCIOS 15.5 PÁGINA 939
1. 643– C 3. 4
3–, ( 4
3–, 0) 5. 6, ( 3
4– , 3
2–)
7. 14–(e2
� 1), ( , )9. L/4, (L/2, 16/(9p)) 11. ( 3
8–, 3p/16) 13. (0, 45/(14p))
15. (2a/5, 2a/5) se o vértice for (0, 0) e os lados estiverem nos eixos
positivos
17. 116– (e4
� 1), 18– (e2
� 1), 116– (e4
� 2e2 � 3)
19. 7ka6/180, 7ka6/180, 7ka6/90 se o vértice for (0, 0) e os lados es-
tiverem nos eixos positivos
21. m � p2/8 (x–, y–) � ( � , ) Ix � 3p2/64
Iy �1
16– (p4
� 3p2), I0 � p4/16 � 9p2/64
23. rbh3/3, rb3h/3; b/√–3 h/√
–3
25. ra4/16, ra4/16; a/2, a/2
27. (a) 12– MM(b) 0,375 MM(c) 5
48– � 0,1042
29. (b) (i) e�0,2 � 0,8187
(ii) 1 � e�1,8 � e�0,8
� e�1 � 0,3481MM(c) 2, 5
31. (a) � 0,500 (b) � 0,632
33. (a) hhD
(k/20)[20 � √–––––(x � x0)
2–––––� (y �
––––––y0)
2–] dA, onde D é o disco
de raio 10 km centrado no centro da cidade
(b) 200pk/3 � 209k, 200(p/2 � 89–)k � 136k, na periferia
EXERCÍCIOS 15.6 PÁGINA 948
1. 274– 3. 1 5. 1
3– (e3
� 1) 7. � 13– 9. 4 11. 65
28–
13. 8/(3e) 15. 160– 17. 16p/3 19. 16
3– 21. 8
15–
23. (a) h0
1 h0
xh0
√––––1�y2
dz dy dxMMM(b) 14–p �
13–
25. 60,533
x�2
y�0
y
x0
2ln
1 2
y � ln x ou x � ey
2p�3
1�p
16�9p
e2� 1
�2(e2
� 1)
4(e3� 1)
�9(e2
� 1)
y
0 x
4 7
R
x=4
y�0
y�√x
y
x0
2
4
–x2�y2�9
y�0
y
x0
3
3�3
0
z
y
x
(0,�0,�1)
(1,�0,�0)
(0,�1,�0)
2
0
y1
0
x10
z
z
yx
0
1
1
4
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APÊNDICESM||||MA89
7. 9.
11. II 13. I 15. IV 17. III
19. A reta y � 2x
21. �f (x, y) � i � j
23. �f (x, y) � i � j
� k
25. �f (x, y) � 2x i � j
27.
29. III 31. II 33. (2,04, 1,03)
35. (a) (b) y � 1/x, x 0
y � C/x
EXERCÍCIOS 16.2 PÁGINA 990
1. 154– (1453/2
� 1) 3. 1638,4 5. 2438– 7. 17
3– 9. 320
11. 112– √
––14 (e6
� 1) 13. 15– 15. 97
3–
17. (a) Positivo (b) Negativo
19. 45 21. 65– � cos 1 � sen 1 23. 1,9633 25. 15,0074
27. 3p �23–
29. (a) 118– � 1/e (b)
31. 172,7045,632,705––––– √
–2(1 � e�14p) 33. 2pk, (4/p, 0)
35. (a) –x� (1/m) hC xr(x, y, z) ds,
y– � (1/m) hC yr(x, y, z) ds,–z � (1/m) hC zr(x, y, z) ds, onde m � hC r(x, y, z) ds
(b) (0, 0, 3p)
37. Ix � k ( 12– � �
43–), Iy � k ( 1
2– � �
23– )
39. 2p2 41. 26 43. 1,67 � 104 pés-lb
45. (b) Sim 47. �22 J
EXERCÍCIOS 16.3 PÁGINA 999
1. 40 3. f (x, y) � x2 � 3xy � 2y2
� 8y � K
5. f (x, y) � ex sen y � K 7. f (x, y) � yex� x sen y � K
9. f (x, y) � x ln y � x2y3 � K
11. (b) 16 13. (a) f (x, y) � 12– x2y2MMM(b) 2
15. (a) f (x, y, z) � xyz � z2MMM(b) 77
17. (a) f (x, y, z) � xy2 cos zMMM(b) 0
19. 25 sen 1 � 1 21. 30 23. Não 25. Conservativo
29. (a) SimMMM(b) SimMMM(c) Sim
31. (a) SimMMM(b) SimMMM(c) Não
EXERCÍCIOS 16.4 PÁGINA 1006
1. 8p 3. 23– 5. e � 1 7. 1
3– 9. �24p 11. 4
3– � 2p
13. 6252
––p 15. �8e � 48e�1 17. � 1
12– 19. 3p 21. (c) 92–
23. (4a/3p, 4a/3p) se a região for a parte do disco x2 � y2
� a2no
primeiro quadrante
1,6
�0,2
0 1
F(r(1))
F(r(0))
F (r ( )1√2
1,6
–
2,5
�2,5
�2,5 2 0,5
y
x0
6
6�6
�6
0�2�4�6 4 6 x
y
�2
2
z����√
–––––x2 � y2––––
� z2–
x����√
–––––x2 � y2––––
� z2–y
����√
–––––x2 � y2––––
� z2–
1�x � 2y
2�x � 2y
4,5
�4,5
�4,5 4,5
z
yx
z
y
x
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A90M||||MCÁLCULO
EXERCÍCIOS 16.5 PÁGINA 1013
1. (a) �x2 i � 3xy j � xz kMM(b) yz
3. (a) 0MM(b) 1
5. (a) 0MM(b) 2/√–––––x2 � y2 �
–––––z2
7. (a) k1/y, �1/x, 1/xl (b) 1/x � 1/y � 1/z
9. (a) NegativoMMM(b) rot F � 0
11. (a) ZeroMMM(b) rot F aponta na direção de z negativo
13. f (x, y, z) � xy2z3 � K 15. f (x, y, z) � x2y � y2z � K
17. Não conservativo 19. Não
EXERCÍCIOS 16.6 PÁGINA 1023
1. P: não; Q: sim
3. Plano por (0, 3, 1) contendo os vetores k1, 0, 4l, k1, �1, 5l5. Cilindro circular com eixo no eixo x
7.
9.
11.
13. IV 15. II 17. III
19. x � 1 � u � v, y � 2 � u � v, z � �3 � u � v
21. x � x, z � z, y � √–––––1 � x2 � z2–––––
23. x � 2 sen f cos u, y � 2 sen f sen u,
z � 2 cos f, 0 � f � p/4, 0 � f � 2p
[ou x � x, y � y, z � √–––––4 � x2 �
––––y2, x2
� y2 � 2]
25. x � x, y � e�x cos u, z � 4 sen u, 0 � x � 5, 0 � u � 2p
29. x � x, y � e�x cos u,
z � e�x sen u, 0 � x � 3
0 � u � 2p
31. (a) Inverte o sentidoMMM(b) O número de voltas dobra
33. 3x � y � 3z � 3 35. �x � 2z � 1 37. 3√––14
39. 415– (35/2
� 27/2 � 1) 41. (2p/3)(2 √
–2 � 1)
43. (p/6)(17 √––17 � 5√
–5)
45. 12– √
––21 � 17
4–[ln(2 � √
––21) � ln √
––17] 47. 4
49. 13.9783
51. (a) 24.2055 (b) 24.2476
53. 458– √
––14 � 15
16– ln[(11√
–5 � 3√
––70)/(3√
–5 � √
––70)]
55. (b)
(c) h0
2ph0
p√
–––––36 sen4u
–––––cos2v �
–––––9–––––sen4u sen2v
–––––�
–––––4 cos2u
–––––sen2u––––
du dv
57. 4p 59. 2a2(p � 2)
EXERCÍCIOS 16.7 PÁGINA 1034
1. 49,09 3. 900p 5. 171√––14 7. √
–3/24
9. 5√–5/48 � 1/240 11. 364√
–2/3p
13. (p/60)(391√––17 � 1) 15. 16p 17. 12
19. 713180–– 21. � 1
6– 23. 108p 25. 0 27. 48
29. 2p �83– 31. 0,1642 33. 3,4895
35. hhS F dS � hhD[P(�h/�x) � Q � R(�h/�z)]dA, onde
D � projeção de S no plano xz
37. (0, 0, a/2)
39. (a) Iz� hh
S(x2
� y2)r(x, y, z) dSMMM(b) 4.329√–2/5
41. 0 kg/s 43. 83–pa3e0 45. 1.248p
EXERCÍCIOS 16.8 PÁGINA 1039
3. 0 5. 0 7. 1 9. 80p
11. (a) 81p/2 (b)
�2
5
0
�5
z
0y
2�2 2
0x
2
0
�2
�2 �10 2 1 0
z
y x
20�101�1
0
1
y
z
x
�10
x1
�1
0y
1
�1
0z
1
v constante
u constante
�1
0x
1
�10
y
z
u constante
v constante
�1
0
1
1
2
0
�2
2
1
0
2
1,5
1
xy
z
u constante
v constante
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