Matrice determinanti sisteme liniare
Post on 07-Jul-2015
387 Views
Preview:
DESCRIPTION
Transcript
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
1 MatriceAdunarea matricelorÎnmultirea cu scalar. Produsul
2 DeterminantiProprietati ale determinantilorRangul unei matrice
3 Sisteme liniareSisteme liniare neomogeneSisteme liniare omogeneMetoda lui Gauss (Metoda eliminarii)
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Adunarea matricelorÎnmultirea cu scalar. Produsul
Notiunea de matrice
Fie Γ corpul comutativ al numerelor reale Γ = R sau complexeΓ = C .
DefinitieNumim matrice cu elemente din Γ cu m linii si n, coloane(m,n ∈ N) tabelul
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n· · · · · · · · · · · ·am1 am2 · · · amn
= (aij), i = 1,m j = 1,n.
Notam multimea matricelor cuMm,n(Γ). Daca m = n notamMn(Γ)
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Adunarea matricelorÎnmultirea cu scalar. Produsul
Matrice particulare
Matrice linieA = ( a11 a12 · · · a1n ).
Vom nota A ∈M1,n(Γ).Matrice coloana.
A =
a11a21· · ·am1
.
Vom nota A ∈Mm,1(Γ).
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Adunarea matricelorÎnmultirea cu scalar. Produsul
A ∈Mn(Γ) este diagonala daca are forma:
A =
a11 0 · · · 00 a22 · · · 0· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · ann
= diag (a11,a22, · · · ,ann).
A ∈Mn(Γ) este triunghiulara inferior sau superior daca areforma:
A =
a11 0 · · · 0a21 a22 · · · 0· · · · · · · · · · · ·an1 an1 · · · ann
A =
a11 a12 · · · a1n0 a22 · · · a21· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · ann
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Adunarea matricelorÎnmultirea cu scalar. Produsul
Egalitate si suma de matrice
Definitie
Matricele A = (aij),B = (bij) ∈Mmn(Γ), i = 1,m j = 1,n senumesc egale daca
aij = bij , i = 1,m j = 1,n
Definitie
Date matricele A = (aij),B = (bij) ∈Mmn(Γ), i = 1,m j = 1,nnumim suma, matricea A + B ∈Mmn(Γ) de forma
A + B = (aij + bij), i = 1,m j = 1,n
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Adunarea matricelorÎnmultirea cu scalar. Produsul
GrupulMmn(Γ)
MultimeaMmn(Γ) formeaza grup comutativ fata de adunare,adica satisface axiomele
1 ∀A,B ∈Mmn(Γ), A + B ∈Mmn(Γ)
2 ∀A,B,C ∈Mmn(Γ), (A + B) + C = A + (B + C)
3 ∃Omn ∈Mmn(Γ) astfel caA + Omn = Omn + A = A, ∀A ∈Mmn(Γ)
4 ∀A ∈Mmn(Γ), ∃ − A ∈Mmn(Γ) astfel caA + (−A) = (−A) + A = Omn
5 ∀A,B ∈Mmn(Γ), A + B = B + A
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Adunarea matricelorÎnmultirea cu scalar. Produsul
Înmultirea cu scalar. Produsul.
Definitie
Daca A = (aij), i = 1,m j = 1,n este o matrice si α ∈ Γ,matricea α · A ∈Mmn(Γ) este prin definitie
α · A = (α · aij), i = 1,m j = 1,n.
Definitie
Daca A ∈Mmn(Γ),B ∈Mnp(Γ) atunci prin definitie produsuleste matricea A · B ∈Mmp
A · B = (n∑
k=1
aikbkj), i = 1,m, j = 1,p.
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Adunarea matricelorÎnmultirea cu scalar. Produsul
Structura de inel
Multimea matricelor patraticeMn(Γ),n ≥ 2 formeaza inel cuunitate necomutativ, adica
1 Mn(Γ) este grup aditiv comutativ2 ∀A,B,C ∈Mn(Γ), (A · B) · C = A · (B · C)
3 înmultirea este distributiva fata de adunare
A · (B + C) = A · B + A · C
(A + B) · C = A · C + B · C4 exista In element fata de înmultire
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Adunarea matricelorÎnmultirea cu scalar. Produsul
Element neutru
Definitie
Elementul In ∈Mn(Γ) se numeste element neutru fata deînmultire daca ∀A ∈Mn(Γ) are loc
A · In = In · A = A.
Elementul neutru are forma
In =
1 0 · · · 00 1 · · · 0· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · 1
.
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Adunarea matricelorÎnmultirea cu scalar. Produsul
Inversa unei matrice
Definitie
Matricea A ∈Mn(Γ), se numeste inversabila daca existaA−1 ∈Mn(Γ) astfel ca
A · A−1 = A−1 · A = In
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Adunarea matricelorÎnmultirea cu scalar. Produsul
Transpusa unei matrice
Definitie
Fie A = (aij), i = 1,m j = 1,n o matrice. Numim transpusamatricei A
At = (aji), i = 1,m j = 1,n
Obervam ca daca A ∈Mmn(Γ) atunci At ∈Mnm(Γ)Au loc
1 (A + B)t = At + Bt
2 (AB)t = BtAt
3 (At )t = A
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Proprietati ale determinantilorRangul unei matrice
Definitia generala
Fie A ∈Mn(Γ).
Definitie
Numim determinant al matricei A numarul∣∣∣∣∣∣a11 · · · a1n· · · · · · · · ·an1 · · · ann
∣∣∣∣∣∣ =∑σ∈Pn
(−1)Inv(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n)
unde Pn este grupul permutarilor unei multimi cu n elemente,iar Inv(σ) este numarul inversiunilor permutarii σ.
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Proprietati ale determinantilorRangul unei matrice
Cazuri particulare
Determinant de ordin 2∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21
Determinant de ordin 3∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ =
= a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33.
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Proprietati ale determinantilorRangul unei matrice
Proprietati ale determinantilor
1 det(αA) = αndet(A), ∀A ∈Mn(Γ), α ∈ Γ
2 det(A · B) = det(A)det(B), ∀A,B ∈Mn(Γ)
3 daca schimbam doua linii sau doua coloane între ele,atunci determinantul îsi schimba semnul
4 daca la o linie (coloana) adunam o alta linie (coloana)înmultita cu un scalar valoarea determinantului nu seschimba
5 det(A) = det(At )
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Proprietati ale determinantilorRangul unei matrice
Minori
Fie A ∈Mn(Γ) o matrice si 1 ≤ p ≤ n, un numar natural.
DefinitieNumim minor de ordinul p al matricei A determinantul matriceide ordinul p format cu elementele situate la intersectia a p liniisi p coloane ale matricei A.
DefinitieNumim minor complementar al minorului M de ordin p almatricei A determinantul Mc de ordinul n − p al matricei extrasedin A prin suprimarea celor p linii si p coloane corespunzatoarelui M.
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Proprietati ale determinantilorRangul unei matrice
DefinitieNumim complement algebric al minorului M al matricei Aelementul din Γ definit de C = (−1)sMc , undes = (i1 + i2 + . . .+ ip) + ( j1 + j2 + . . .+ jp), adica suma indicilorliniilor si coloanelor matricei A utilizate în M.
Teorema(Teorema lui Laplace) Determinantul matricei A este egal cusuma produselor minorilor de ordinul p ce se pot construi cuelementele a p linii (coloane) fixate ale matricei A princomplementii lor algebrici.
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Proprietati ale determinantilorRangul unei matrice
Calculul inversei unei matrice
TeoremaMatricea A ∈Mn(Γ) este inversabila daca si numai dacadet(A) 6= 0.
TeoremaInversa matricei A este
A−1 =1
det(A)A∗
unde A∗ este matricea adjuncta.
Matricea adjuncta A∗ se obtine înlocuind elementele matricei At
prin complementii algebrici.
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Proprietati ale determinantilorRangul unei matrice
Rangul unei matrice
Definitie
Matricea nenula A ∈Mm,n(Γ) are rangul r daca exista în A celputin un minor de ordinul r diferit de zero si toti minorii de ordinmai mare decât r , daca exista, sunt egali cu zero. Notamrang(A) = r .
Pentru matricea nula, convenim ca rang(0m,n) = 0.rang A ≤ min(m,n).
TeoremaRangul produsului a doua matrice este mai mic sau egal decâtrangul fiecarei matrice.
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Sisteme liniare neomogeneSisteme liniare omogeneMetoda lui Gauss (Metoda eliminarii)
Sisteme liniare neomogene
Forma generala estea11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
· · · · · · · · · · · ·am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n· · · · · · · · · · · ·am1 am2 · · · amn
, X =
x1x2· · ·xn
B =
b1b2· · ·bm
Sistemul se scrie
AX = B.
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Sisteme liniare neomogeneSisteme liniare omogeneMetoda lui Gauss (Metoda eliminarii)
Matricea
A =
a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2· · · · · · · · · · · ·am1 am2 · · · amn bm
se numeste matrice largita (extinsa).
Teorema(Teorema Kronecker -Capelli) Sistemul este compatibil daca sinumai daca
rang A = rang A
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Sisteme liniare neomogeneSisteme liniare omogeneMetoda lui Gauss (Metoda eliminarii)
Consecinte
1. Sistemul este compatibil unic determinat daca si numaidaca rangul matricei coincide cu rangul matricei largite si cunumarul de necunoscute, adica
rang A = rang A = n
2. Daca rang A = rang A < n sistemul este compatibilnedeterminat.
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Sisteme liniare neomogeneSisteme liniare omogeneMetoda lui Gauss (Metoda eliminarii)
Presupunem ca matricea A are rangul r si fie ∆ 6= 0 un minorde ordin r .
DefinitieNumim determinant caracteristic, un determinant obtinut prinbordarea lui ∆ cu coloana termenilor liberi si cu una dintreliniile ramase.
Teorema(Teorema lui Rouche) Sistemul este compatibil daca si numaidaca toti determinantii caracteristici sunt nuli.
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Sisteme liniare neomogeneSisteme liniare omogeneMetoda lui Gauss (Metoda eliminarii)
Regula lui Cramer
Daca m = n si rang A = rang A = n necunoscutele se potdetermina cu formulele
xi =∆i
∆
unde ∆ este determinantul sistemului, iar ∆i determinantulobtinut prin înlocuirea coloanei i cu coloana termenilor liberi.
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Sisteme liniare neomogeneSisteme liniare omogeneMetoda lui Gauss (Metoda eliminarii)
Sisteme liniare omogene
Daca bi = 0, i = 1,n sistemul se numeste omogen. Deci formagenerala este
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0
· · · · · · · · · · · ·am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0
Un sistem omogen este totdeauna compatibil.
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Sisteme liniare neomogeneSisteme liniare omogeneMetoda lui Gauss (Metoda eliminarii)
Consecinte
1. Sistemul omogen este compatibil unic determinat daca sinumai daca rangul matricei coincide cu numarul denecunoscute, adica
rang A = n
2. Daca rang A < n sistemul este compatibil nedeterminat.3. Daca m = n obtinem:i. Sistemul este compatibil unic determinat daca si numai daca
det(A) 6= 0
ii. Sistemul este compatibil nedeterminat daca si numai daca
det(A) = 0
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Sisteme liniare neomogeneSisteme liniare omogeneMetoda lui Gauss (Metoda eliminarii)
Metoda lui Gauss
Consideam sistemul liniara11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
· · · · · · · · · · · ·am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
Pas I. Daca toti aij = 0 analizam b1, · · · bm.I.1 Daca b1 = · · · = bm = 0 sistemul este compatibil
nedeterminatI.2. Daca exista bi 6= 0 sistemul este incompatibil
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Sisteme liniare neomogeneSisteme liniare omogeneMetoda lui Gauss (Metoda eliminarii)
Pas II Daca exista aij 6= 0Pas II.1 Alegem max
i=1,m;j=1,n|aij |. Aducem elementul pe linia
1 si coloana 1Pas II.2 Înmultim linia 1 cu −ak1
a11si adunam la linia
k = 2, · · · ,m. Sistemul devinea11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a′22x2 + · · ·+ a′2nxn = b′2· · · · · · · · · · · ·
a′m2x2 + · · ·+ a′mnxn = b′m
Pas II.3 Reluam pasul I pentru sistemula′22x2 + · · ·+ a′2nxn = b′2
· · · · · · · · · · · ·a′m2x2 + · · ·+ a′mnxn = b′m
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
MatriceDeterminanti
Sisteme liniare
Sisteme liniare neomogeneSisteme liniare omogeneMetoda lui Gauss (Metoda eliminarii)
Dupa un numar finit de pasi se ajunge la un sistem de forma
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a′22x2 + · · ·+ a′2nxn = b′2
· · · · · · · · · · · ·a′rr xr + · · ·+ a′rnxn = b′r
0 = b′r+1· · ·
0 = b′m
I Daca cel putin unul dintre b′r+1, · · · ,b′m 6= 0 sistemul esteincompatibilII. Daca toti b′r+1 = · · · = b′m = 0 sistemul este compatibil.
II.1 Daca r = n sistemul este unic determinatII.2 Daca r < n sistemul este compatibil nedeterminat
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
top related