Mathématiques SN Les CONIQUES Réalisé par : Sébastien Lachance.
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Mathématiques Mathématiques SNSN
Les Les CONIQUESCONIQUES
Réalisé par :Réalisé par : Sébastien Lachance Sébastien Lachance
Les 4 coniquesLes 4 coniques
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les - Les CONIQUESCONIQUES --
CercleCercle
EllipseEllipse
ParaboleParabole
HyperboleHyperbole
Proviennent de la Proviennent de la coupecoupe du du cônecône..
C’est la forme de la C’est la forme de la sectionsection..
Le cercleLe cercle
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les - Les CONIQUESCONIQUES --
A) DéfinitionA) Définition
Lieu d’un point Lieu d’un point situé à une même distancesitué à une même distance (r)(r) d’un autre point fixe d’un autre point fixe (O)(O), , appelé appelé centrecentre..
OO
rrrrrrrrrr
rr
rrrr rr
rr
rrrr
rr
B) ÉquationB) Équation
OO
rr
(x, y)(x, y)
x x
y y
xx22 ++ yy22 = r = r22
Par Pythagore :Par Pythagore :
C) InéquationsC) Inéquations
rr
xx22 ++ yy2 2 rr22
rr
xx22 ++ yy2 2 rr22
C) InéquationsC) Inéquations
rr
xx22 ++ yy22 rr2 2
rr
xx22 ++ yy2 2 rr2 2
D) Recherche de l’équationD) Recherche de l’équation
Ex. #1 :Ex. #1 : Trouver l’équation d’un cercle centré à l’origine dont le point Trouver l’équation d’un cercle centré à l’origine dont le point A(-2, -3)A(-2, -3) appartient au cercle.appartient au cercle.
A(-2, -3)A(-2, -3)
xx22 ++ yy22 = r = r22
(-2)(-2)22 ++ (-3)(-3)22 = r = r22
44 ++ 9 = r9 = r22
13 = r13 = r22
xx22 ++ yy22 = 13 = 13
D) Recherche de l’équationD) Recherche de l’équation
Ex. #2 :Ex. #2 : a) Quelle est l’équation d’un cercle centré à l’origine dont le a) Quelle est l’équation d’un cercle centré à l’origine dont le diamètrediamètre est de est de 16 unités16 unités ? ?
Le rayon est de Le rayon est de 8 unités8 unités..
xx22 ++ yy22 = 8 = 822
xx22 ++ yy22 = 64 = 64
b) Est-ce que le point b) Est-ce que le point P(5, 7)P(5, 7) fait partie de la région fait partie de la région intérieureintérieure de ce de ce cercle ?cercle ?
Il faut que l’inégalité Il faut que l’inégalité 5522 + 7 + 722 64 64 soit VRAIE. soit VRAIE.
2525 ++ 49 49 64 64
74 74 64 64
Le point Le point P(5, 7)P(5, 7) ne fait pas partie de la région ne fait pas partie de la région intérieure de ce cercle.intérieure de ce cercle.
FAUX !FAUX !
E) Équation de la tangenteE) Équation de la tangente
Ex. :Ex. : L’équation d’un cercle est L’équation d’un cercle est xx22 + y + y22 = 289 = 289 . Si une droite est . Si une droite est tangentetangente à à ce cercle au point ce cercle au point P(15, 8)P(15, 8), quelle est l’équation de cette droite ?, quelle est l’équation de cette droite ?
P(15, 8)P(15, 8)
Pente du Pente du rayonrayon : :
rr
y y
x x
mmrayonrayon = =
OO
= = 8 – 0 8 – 0
15 – 0 15 – 0
= = 8 8
1515
Équation de la Équation de la tangentetangente : :
mmtangentetangente = = -15 -15
88
y = x + by = x + b-15 -15
88
88 = ( = (1515) + b) + b-15 -15
88
avec le point (avec le point (1515,, 8 8))
= + b= + b-225 -225
88
6464
88
b = b = 289289
88Réponse :Réponse : y = x +y = x + 289289
88
-15 -15
88
L’ellipseL’ellipse
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les - Les CONIQUESCONIQUES --
A) DéfinitionA) Définition
Lieu d’un point dont la Lieu d’un point dont la somme des distancessomme des distances à deux points fixes à deux points fixes ((foyers F foyers F etet F’ F’) est ) est constante constante ((kk).).
L’ellipseL’ellipse
A) DéfinitionA) Définition
Lieu d’un point dont la Lieu d’un point dont la somme des distancessomme des distances à deux points fixes à deux points fixes ((foyers F foyers F etet F’ F’) est ) est constante constante ((kk).).
PP
F’F’
dd(P, (P, FF) + ) + dd(P, (P, F’F’) = ) = kk
FFPP
PP
PPPP
PP
L’ellipseL’ellipse
A) DéfinitionA) Définition
Lieu d’un point dont la Lieu d’un point dont la somme des distancessomme des distances à deux points fixes à deux points fixes ((foyers F foyers F etet F’ F’) est ) est constante constante ((kk).).
SommetSommet SommetSommet
SommetSommet
SommetSommet
Petit axePetit axe
Grand axeGrand axe
CentreCentreFoyer (F’)Foyer (F’) Foyer (F)Foyer (F)
Distance Distance focalefocale
B) Relations entre B) Relations entre aa, , bb et et cc..
(-a, 0)(-a, 0) (a, 0)(a, 0)
(0, b)(0, b)
(0, -b)(0, -b)
bb
aa
Avec Avec aa bb
cc
aa : distance entre le centre et un sommet : distance entre le centre et un sommet horizontalhorizontal..
bb : distance entre le centre et un sommet : distance entre le centre et un sommet verticalvertical..
cc : distance entre le centre et un : distance entre le centre et un foyerfoyer..
(c, 0)(c, 0)(-c, 0)(-c, 0)
aa22 = = bb22 + + cc22
B) Relations entre B) Relations entre aa, , bb et et cc..
(-a, 0)(-a, 0) (a, 0)(a, 0)
(0, b)(0, b)
(0, -b)(0, -b)
bb
aa
Avec Avec bb aa
cc
aa : distance entre le centre et un sommet : distance entre le centre et un sommet horizontalhorizontal..
bb : distance entre le centre et un sommet : distance entre le centre et un sommet verticalvertical..
cc : distance entre le centre et un : distance entre le centre et un foyerfoyer..
(0, c)(0, c)
(0, -c)(0, -c)
bb22 = = aa22 + + cc22
Ex. :Ex. : Le grand axe d’une ellipse mesure 24 unités et le petit axe 10 unités. Quelle Le grand axe d’une ellipse mesure 24 unités et le petit axe 10 unités. Quelle est la est la distance focaledistance focale ? ?
(-12, 0)(-12, 0) (12, 0)(12, 0)
(0, 5)(0, 5)
(0, -5)(0, -5)
10 unités10 unités
24 unités24 unités
Distance Distance focale = 2cfocale = 2c (c, 0)(c, 0)(-c, 0)(-c, 0)
aa
a = 12a = 12
bb
b = 5b = 5aa22 = = bb22 + + cc22
121222 = = 5522 + + cc22
10,910,9 ≈≈ cc
Réponse :Réponse : La La distance focaledistance focale est d’environ est d’environ 21,8 21,8 unités.unités.
C) ÉquationC) Équation
xx22
aa22++
yy22
bb22== 11
D) InéquationsD) Inéquations
xx22
aa22++
yy22
bb22 11
xx22
aa22++
yy22
bb22 11
C) ÉquationC) Équation
xx22
aa22++
yy22
bb22== 11
D) InéquationsD) Inéquations
xx22
aa22++
yy22
bb22 11
xx22
aa22++
yy22
bb22 11
L’hyperboleL’hyperbole
A) DéfinitionA) Définition
Lieu d’un point dont la Lieu d’un point dont la différence des distancesdifférence des distances (en valeur absolue)(en valeur absolue) à à deux points fixes (deux points fixes (foyers F foyers F etet F’ F’) est ) est constante constante ((kk).).
FFF’F’
|| d d(P, (P, FF) – ) – dd(P, (P, F’F’) | = ) | = kk
PPPP
PP
PP
PP
L’hyperboleL’hyperbole
A) DéfinitionA) Définition
Lieu d’un point dont la Lieu d’un point dont la différence des distancesdifférence des distances (en valeur absolue)(en valeur absolue) à à deux points fixes (deux points fixes (foyers F foyers F etet F’ F’) est ) est constante constante ((kk).).
Foyer (F)Foyer (F)Foyer (F’)Foyer (F’)
CentreCentre
SommetSommetSommetSommet
Asymptote
AsymptoteAsymptote
Asymptote
B) Équations et relations entre B) Équations et relations entre aa, , bb et et cc..
Axe focal Axe focal horizontalhorizontal
cc22 = = aa22 + + bb22
(-a, (-a, 0)0)
(a, 0)(a, 0)
aacc
(c, 0)(c, 0)(-c, 0)(-c, 0)
(0, b)(0, b)
bb
(0, -b)(0, -b)
xx22
aa22––
yy22
bb22== 11
B) Équations et relations entre B) Équations et relations entre aa, , bb et et cc..
Axe focal Axe focal horizontalhorizontal
cc22 = = aa22 + + bb22
aa
bb
(a, b)(a, b)
(0, 0)(0, 0)
Équation de l’Équation de l’asymptoteasymptote : : PentePente a = a = y y
xx
= = bb
aa
Ordonnée à l’origine (b) = 0Ordonnée à l’origine (b) = 0
B) Équations et relations entre B) Équations et relations entre aa, , bb et et cc..
Axe focal Axe focal horizontalhorizontal
cc22 = = aa22 + + bb22
Équation de l’Équation de l’asymptoteasymptote : : y = y = bb x x
y = y = bb x x
aa
y = y = -- bb x x
aa
aa
B) Équations et relations entre B) Équations et relations entre aa, , bb et et cc..
Axe focal Axe focal verticalvertical
cc22 = = aa22 + + bb22
(-a, (-a, 0)0)
(a, 0)(a, 0)
aa
cc
(0, c)(0, c)
(0, -c)(0, -c)
(0, b)(0, b)
bb
(0, -b)(0, -b)
xx22
aa22––
yy22
bb22== - 1- 1
C) InéquationsC) Inéquations
xx22
aa22––
yy22
bb22 11
xx22
aa22––
yy22
bb22 11
C) InéquationsC) Inéquations
xx22
aa22––
yy22
bb22 -1-1
xx22
aa22––
yy22
bb22 -1-1
C) InéquationsC) Inéquations
xx22
aa22––
yy22
bb22 -1-1
xx22
aa22––
yy22
bb22 -1-1
xx22
aa22––
yy22
bb22 11
xx22
aa22––
yy22
bb22 11
Même ensembles-solutions Même ensembles-solutions que précédemment, mais que précédemment, mais avec des hyperboles formées avec des hyperboles formées de de lignes pointilléeslignes pointillées..
C) InéquationsC) Inéquations
Ex. :Ex. : La distance entre La distance entre deux sommetsdeux sommets d’une hyperbole est de d’une hyperbole est de 12 unités12 unités et l’un et l’un de ses de ses foyersfoyers a pour coordonnées a pour coordonnées (0, 9(0, 9)).. Le point Le point P(10, 8)P(10, 8) fait-il partie de fait-il partie de la région la région extérieureextérieure de cette hyperbole ? de cette hyperbole ?
(0, 9)(0, 9)FF
F’F’
xx22
aa22––
yy22
bb22== - 1- 1
12 unités12 unités
(0, 6)(0, 6)
bbcc
cc22 = = aa22 + + bb22
9922 = = aa22 + + 6622
4545 = = aa22
ÉquationÉquation : :
xx22
4545––
yy22
3636== - 1- 1
C) InéquationsC) Inéquations
Ex. :Ex. : La distance entre La distance entre deux sommetsdeux sommets d’une hyperbole est de d’une hyperbole est de 12 unités12 unités et l’un et l’un de ses de ses foyersfoyers a pour coordonnées a pour coordonnées (0, 9(0, 9)).. Le point Le point P(10, 8)P(10, 8) fait-il partie de fait-il partie de la région la région extérieureextérieure de cette hyperbole ? de cette hyperbole ?
(0, 9)(0, 9)FF
F’F’
12 unités12 unités
(0, 6)(0, 6)
bbcc
Est-ce que Est-ce que P(10, 8)P(10, 8) fait partie de la fait partie de la région région extérieureextérieure ? ?
xx22
aa22––
yy22
bb22 -1-1
Il faut que :Il faut que :
101022
4545––
8822
3636 - 1- 1
44
99 - 1- 1
VRAIVRAIRéponse :Réponse : Le point Le point P(10, 8)P(10, 8) fait partie de la fait partie de la
région région extérieureextérieure de l’hyperbole. de l’hyperbole.
La paraboleLa parabole (centrée à l’origine)(centrée à l’origine)
A) DéfinitionA) Définition
Lieu d’un point situé à une Lieu d’un point situé à une mêmemême distancedistance d’un point fixe ( d’un point fixe (foyer Ffoyer F) et ) et d’une droite fixe, appelé d’une droite fixe, appelé directricedirectrice ((dd).).
Foyer (F)Foyer (F)
SommetSommet
Directrice Directrice (d)(d)
PP
PP
PP
PP
dd(P, (P, FF) = ) = dd(P, (P, dd))
cc(0, c)(0, c)
B) Équations B) Équations (centrées à l’origine)(centrées à l’origine)
ddxx22 = 4 = 4ccyy
dd
xx22 = - 4 = - 4ccyy
B) Équations B) Équations (centrées à l’origine)(centrées à l’origine)
dd
yy22 = 4 = 4ccxx
dd
yy22 = - 4 = - 4ccxx
B) Équations B) Équations (centrées à l’origine)(centrées à l’origine)
Ex. :Ex. : Une parabole centrée à l’origine a pour foyer le point Une parabole centrée à l’origine a pour foyer le point F(0, -6)F(0, -6). Cette . Cette parabole passe-t-elle par le point parabole passe-t-elle par le point P(-12, -6)P(-12, -6) ? ?
dd
(0, -6)(0, -6)
cc
xx22 = - 4 = - 4ccyy
ÉquationÉquation : :
xx22 = - 4 = - 4(6)(6)yy
xx22 = - 24y = - 24y
Est-ce que la parabole passe par le Est-ce que la parabole passe par le point point P(-12, -6) P(-12, -6) ??
(-12)(-12)22 = - 24(-6) = - 24(-6)
144 = 144144 = 144
VRAIVRAI
Réponse :Réponse :
La parabole passe par La parabole passe par le point le point P(-12, -6)P(-12, -6)..
C) Inéquations C) Inéquations (centrées à l’origine)(centrées à l’origine)
ddxx22 4 4ccyy
dd
xx22 - 4 - 4ccyy
C) Inéquations C) Inéquations (centrées à l’origine)(centrées à l’origine)
ddxx22 4 4ccyy
dd
xx22 - 4 - 4ccyy
C) Inéquations C) Inéquations (centrées à l’origine)(centrées à l’origine)
dd
yy22 4 4ccxx
dd
yy22 - 4 - 4ccxx
C) Inéquations C) Inéquations (centrées à l’origine)(centrées à l’origine)
dd
yy22 4 4ccxx
dd
yy22 - 4 - 4ccxx
C) Inéquations C) Inéquations (centrées à l’origine)(centrées à l’origine)
En résumé…En résumé…
yy22 … …
xx22 … …
ou ou Ensemble-solutions à l’Ensemble-solutions à l’intérieurintérieur de la parabole de la parabole
yy22 … …
xx22 … …
ou ou Ensemble-solutions à l’Ensemble-solutions à l’extérieurextérieur de la parabole de la parabole
yy22 … …
xx22 … …
ou ou
yy22 … …
xx22 … …
ou ou
Même ensemble-solutions que ci-haut, mais la Même ensemble-solutions que ci-haut, mais la parabole est parabole est pointilléepointillée (ne fait pas partie de l’ens.-solutions)(ne fait pas partie de l’ens.-solutions)ouou
(x – (x – hh))22 = 4 = 4cc(y – (y – kk))
FF
(0, 0)(0, 0)
dd
dd
((hh, , kk))
xx22 = 4 = 4ccyy
Centrée à l’origine :Centrée à l’origine : Translatée :Translatée :
D) Équations D) Équations translatéestranslatées
FF
(0, 0)(0, 0)
dd
dd
((44, , -2-2))
Ex. :Ex. :
(x – (x – hh))22 = 4 = 4cc(y – (y – kk)) (x – (x – 44))22 = 4 = 4cc(y + (y + 22))
D) Équations D) Équations translatéestranslatées
dd
(x – (x – hh))22 = 4 = 4cc(y – (y – kk))
dd
((hh, , kk))
(x – (x – hh))22 = -4 = -4cc(y – (y – kk))
((hh, , kk))
D) Équations D) Équations translatéestranslatées
dd
dd
((hh, , kk))
((hh, , kk))
(y – (y – kk))22 = 4 = 4cc(x – (x – hh))
(y – (y – kk))22 = -4 = -4cc(x – (x – hh))
D) Équations D) Équations translatéestranslatées
Ex. #1 :Ex. #1 : Résoudre le système d’équations suivant :Résoudre le système d’équations suivant :
xx22
99++
yy22
44== 11
y – x = 0y – x = 0
Représentation graphiqueReprésentation graphique : :
xx22
99++
yy22
44== 11
y – x = 0y – x = 0 Droite y = xDroite y = x
Ellipse où a Ellipse où a b b
((xx11, , yy11))
((xx22, , yy22))
Intersection de coniquesIntersection de coniques
Résolution pour trouver Résolution pour trouver (x(x11, y, y11)) et et (x(x22, y, y22)) : :
xx22
99++
yy22
44== 11
y = xy = x (1)(1)
(2)(2)
(1) dans (2) :(1) dans (2) : xx22
99++
xx22
44== 11
4x4x22
3636++
9x9x22
3636== 11
13x13x22
3636== 11
xx22 ≈≈ 2,772,77
xx11 ≈≈ 1,661,66
xx22 ≈≈ - 1,66- 1,66
(3)(3)
(4)(4)
(3) dans (1) :(3) dans (1) : yy11 ≈≈ 1,66 1,66
(4) dans (1) :(4) dans (1) : yy22 ≈≈ - 1,66 - 1,66
Réponse :Réponse : (1,66 ; 1,66)(1,66 ; 1,66)
etet
(-1,66 ; -1,66)(-1,66 ; -1,66)
Ex. #2 :Ex. #2 : Résoudre le système d’équations suivant :Résoudre le système d’équations suivant :
yy22 = -16(x – 7) = -16(x – 7)
xx22 + y + y22 = 25 = 25
Représentation graphiqueReprésentation graphique : :
Cercle de rayon 5Cercle de rayon 5
Parabole de sommet (Parabole de sommet (77, , 00))yy22 = -16(x – 7) = -16(x – 7)
xx22 + y + y22 = 25 = 25
dd
((77, , 00))
Résolution pour trouver Résolution pour trouver (x(x11, y, y11)) et et (x(x22, y, y22)) : :
(1)(1)
(2)(2)
(2) dans (1) :(2) dans (1) :
yy22 = -16(x – 7) = -16(x – 7)
xx22 + y + y22 = 25 = 25
xx22 + + -16(x – 7)-16(x – 7) = 25 = 25
xx22 – 16x + 112 = 25 – 16x + 112 = 25
xx22 -16x + 87 = 0 -16x + 87 = 0
x x
Réponse :Réponse : Il n'y a aucun solution.Il n'y a aucun solution.
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