Magia Matematica_de Pacioli a Gardner_Fernando Blasco
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MAGIA MATEMATICA:
DE PACIOLIA GARDNER
por Fernando Blasco
XLV Olimpiada Matematica Espanola
Sant Feliu de Guixols
26-28 marzo 2009
1
Los inicios de la relacion existente entre magia y ciencia se remonta a un pasa-
do que ya nos queda bastante lejano, pero que se mantiene hasta nuestros dıas. La
magia ha aparecido mezclada con la ciencia, en algunas ocasiones acompanandola
y en otras oponiendose a ella. La RAE define la magia como arte o ciencia oculta
con que se pretende producir, valiendose de ciertos actos o palabras, o con la intervencion
de seres imaginables, resultados contrarios a las leyes naturales. Si al nombre “ma-
gia” le ponemos el apellido “blanca” se define ahora como la que por medios nat-
urales obra efectos que parecen sobrenaturales. Para muchos de nuestros estudiantes
las matematicas se presentan como algo magico en el sentido de cabalıstico, o de
hechicerıa, pero aquı, como cientıficos, nos preocuparemos por los medios natu-
rales (mas concretamente medios matematicos) que pueden producir efectos que
realmente parecen sobrenaturales.
El interes por la magia que han demostrado personajes historicos nos hara hablar
de Cardano, Leonardo Da Vinci o Luca Pacioli. Seneca tambien muestra interes,
como espectador, por los juegos de magia: en su cuadragesimo quinta carta a Lu-
cilio describe que habıa visto un fascinante truco en el que unas bolas aparecıan
y desaparecıan bajo unos cubiletes, pero que al conocer como se hacıa el juego,
este perdio todo su interes. Seneca nos da la pista de por que los juegos de magia
nunca deben explicarse (aunque en este libro nos saltaremos un poco esa norma).
Otro filosofo que describe juegos de magia es Roger Bacon y a el se debe la frase
“la mano es mas rapida que la vista”, utilizada frecuentemente al referirse a los
magos prestidigitadores que, como el nombre indica, son los que tienen velocidad
en los dedos.
Uno de los primeros matematicos capaces de hacer magia fue Heron de Alejan-
drıa, que en su Pneumatica incluıa un sistema automatico de apertura de puertas
en un templo. Hoy puede parecernos un sistema muy atrasado, comparado con
el de apretar la tecla de un mando a distancia que funciona por infrarrojos y que,
dicho sea de paso, a mı sigue pareciendome magia.2
FIGURA 1. Sistema de apertura de puertas
En esta documentacion no vamos a explicar muchos juegos matematicos, ya
que preferimos que primero se vean los juegos y se disfruten. Esto provocara que
nos preguntemos por que es posible que eso ocurra y sera mucho mas facil intro-
ducir algun concepto matematico. En estas notas solo queremos dar unas pince-
ladas que permitan ver las posibilidades que encierra esta disciplina y mostrar
como la matematica puede ser muy divertida. En el curso se veran diferentes
juegos de magia matematica.
Algunos juegos matematicos
Como en estas notas el termino “magia” lo utilizaremos como sinonimo de
ilusionismo no nos puede faltar como referencia la cartomagia y el uso de las3
matematicas en esta parcela de la magia. Girolamo Cardano desempena un pa-
pel muy importante en la historia de las matematicas, puesto que es el autor del
primer libro impreso en el que se hace mencion a un nuego de magia con cartas.
Cardano era aficionado a las “artes oscuras”, y es sabido que fue excomulgado
por elaborar la carta astral de Jesucristo. Nosotros no vamos a llegar hasta ese
punto con el primer juego que vamos a describir, pero va a tener que ver con el
horoscopo. Necesitaremos 14 cartas: dos series completas de las cartas del 1 al 7
(de palos diferentes) .
1. Ordena uno de los conjuntos de 7 cartas del As al 7 (identificaremos esos
naipes con los dıas de la semana: lunes a domingo). Situa sobre la mesa
esas cartas, ordenadas, de izquierda a derecha.
2. Ordena el otro conjunto de cartas tambien del As al 7, de modo que cuando
la baraja esta dorso arriba la primera de las cartas sea el As y la de abajo
del monton el 7.
3. Ahora haremos operaciones para alterar el orden de las cartas. Comienza
cortando en dos partes y completando el corte.
4. Reparte en dos montones, alternativamente a derecha e izquierda y dorso
arriba, las siete cartas.
5. Coloca un monton sobre el otro, en el orden que quieras. Si quieres corta
el mazo y completa el corte.
6. Para desordenar un poco mas las cartas vuelve a repartirlas en dos mon-
tones a derecha e izquierda.
7. Pon uno de los montones sobre el otro. Corta y completa el corte, si quieres.
8. Vuelve a repartir una vez mas en dos montones. Pon un monton sobre el
otro.
9. Ya habremos desordenado bastante la baraja. Levanta la carta de arriba
del mazo y mira cual es su valor (si estas siguiendo estas instrucciones
con otra persona veras que habeis llegado a valores distintos, la suerte es
la que ha decidido que carta se ha situado arriba).
10. Pasa, de una en una, tantas cartas de arriba a abajo como indica el valor
del naipe que has visto, contandole (e.g. si era un dos debes pasar, de una
en una, las dos primeras cartas del mazo de arriba a abajo).4
11. ¿Preparado para la suerte? Vas a situar las cartas en una fila paralela a
las que ya tienes sobre la mesa. Para ello das la vuelta al mazo de forma
que se vean las caras y la primera carta que salga la situas debajo del As
(correspondiente al lunes), la segunda debajo del 2, ... y la ultima debajo
del 7, correspondiente al domingo.
12. Lectura del horoscopo: si no coincide el valor de ninguna de las cartas de la
segunda fila con la que se encuentra encima de ella vas a tener una semana
horrible. Si coincide una carta la semana sera un poco mejor. Si coinciden
las siete sera una semana fantastica (sin animo comercial). ¿Como te ha
ido?
Ese primer ejemplo muestra la idea de lo que es un juego con cartas en el que
intervienen las matematicas. Normalmente a estos juegos se les llama en magia
“juegos automaticos”.
Ya hemos mencionado que la primera mencion a un juego de cartomagia que
aparece en prensa fue hecha por Cardano, pero la matematica recreativa ha estado
presente en los libros de matematicas desde antes de que Gutenberg inventara la
imprenta. La descripcion del primer juego de magia del que se tiene constancia
escrita aparece en un manucrito del que son coautores Luca Pacioli y Leonardo
da Vinci: De Viribus Quantitatis, donde mencionan juegos de magia numerica.
Libros posteriores aunan matematicas, fısica, quımica y magia, siendo destacado
el titulado Recreations Mathematiques et Phisiques, escrito por Jacques Ozanam. En
su primera edicion, ademas de juegos cientıficos incluye juegos de magia tales
como la cuerda rota y recompuesta, la cinta infinita que sale de la boca o la carta
que viaja desde una baraja al interior de un sombrero, juegos que hoy siguen
divirtiendo al publico.
Pacioli, ademas de mencionar juegos de magia con cartas plantea como prob-
lema algo que puede pensarse como puzzle matematico o como juego de magia,
dependiendo del modo en el que se presente.
La situacion inicial es la descrita en la figura 2: un aro y un anillo de cuerda (una
cuerda con los extremos pegados o anudados) de forma que el anillo de cuerda
cuerda pase por el interior del aro. La cuerda se tensa y queda sujeta entre los
pulgares de una persona que nos ayude (esta vez su unica mision consistira en5
sostener la cuerda) o, en su defecto, en el respaldo de una silla. Va a convenir
que el anillo de cuerda quede paralelo al suelo. Lo sencillo consistirıa en liberar
la cuerda por uno de los pulgares y sacar entonces el anillo. Ese movimiento no
esta permitido, no pueden sacarse bucles de cuerda por encima del pulgar.
FIGURA 2. Posicion inicial
El procedimiento es magico y complicado. Se puede seguir la descripcion con
ayuda de la figura 3.
1. El mago se pone frente al espectador. Situa el ındice de su mano izquierda
en el punto A del esquema 1 por la parte exterior de la cuerda. Hace que un
bucle pase por encima del trozo de cuerda que esta mas cercano a nosotros.
A continuacion, situando el ındice de la mano derecha en el punto B hace
que pase un bucle, siempre por encima del otro lado de la cuerda, hacia
donde se encuentra nuestro ayudante. El resultado debe ser similar al que
se muestra en el esquema 2.
2. El bucle que habıamos arrastrado con el ındice de la mano izquierda (la
zona que aparece sombreada en el esquema 2) se lleva hacia el pulgar
izquierdo del espectador, para que quede sujeto por este, del modo como
se representa en el esquema 3.
3. Cogiendo ahora la cuerda con el ındice izquierdo por el punto senalado
con una flecha en el esquema 3 formamos un bucle que debe insertarse
en el pulgar izquierdo del espectador. Para que se muestre que la cuerda
no escapa por ahı dejamos nuestro ındice sobre el pulgar del espectador,
tocandolo. En el esquema 4 hemos difuminado todos los trazos correspon-
dientes a movimientos anteriores y hemos dejado en trazo visible este ulti-
mo paso. Al crear ese bucle y hacer ese movimiento el anillo insertado en
la cuerda se desplaza hacia nuestra derecha.6
4. Liberamos ahora el ındice de nuestra mano derecha y aflojamos la tension
de la cuerda. Volviendo a tensar la cuerda, mediante una separacion de las
manos del espectador, el anillo queda liberado y la cuerda insertada entre
los dos pulgares. ¡Magico!
Dejando un poco de lado la ciencia recreativa en general para centrarnos en
la magia matematica, debemos hablar de Martin Gardner. Su libro Mathematics,
Magic and Mystery es el primer libro dedicado ıntegramente a la magia matematica,
segun dice este autor en el prologo al libro de William Simon Mathematical Magic,
que resulta ser el segundo libro de magia matematica. Posteriormente han apare-
cido muchos mas libros en los que se describe la matematica que interviene en
algunos juegos de magia. No solo se escriben libros sobre magia matematica, sino
tambien artıculos en revistas cientıficas matematicas y en revistas de educacion
matematica. Gardner no era matematico, sino un periodista muy bien asesorado
por grandes matematicos, pero ademas era un gran mago, creador de numerosos
efectos, y esto se nota en todos sus libros de matematica recreativa.
En el lado opuesto a Martin Gardner nos encontramos con Harry Houdini, que
incluye en su libro Paper Magic una demostracion del teorema de Pitagoras, en-
tendida como juego de magia: con dos cuadrados formar uno solo. Este juego
tambien estarıa en la frontera de la magia, las matematicas y los puzzles: partien-
do de la figura 4 y recortando los triangulos sombreados para despues colocar
las tres piezas resultantes de modo que quede un cuadrado, habremos demostra-
do el teorema de Pitagoras: el lado del cuadrado que se obtiene coincide con la
hipotenusa del triangulo sombreado que aparece en la figura y los lados de los
cuadrados originales eran, respectivamente, los catetos de los triangulos som-
breados que hemos utilizado en el puzzle.
7
FIGURA 3. Liberacion del aro
Cartomagia matematica8
FIGURA 4. Teorema de Pitagoras
Persi Diaconis es un matematico que trabaja en Stanford (“la fabrica de ge-
nios”). Ser profesor en esa Universidad implica excelencia como matematico. Lo
curioso es que el llego a las matematicas, y a la estadıstica, gracias a la magia.
En su juventud viajo acompanando al mago Dai Vernon, que fue quien cambio
el concepto de la magia de salon a la magia de cerca, hecha a escasos centımetros
del espectador. Diaconis descubrio lo utiles que pueden ser las matematicas en la
magia. Quizas mas conocido que Diaconis es Raymond Smullyan, autor de mu-
chos libros de divulgacion de matematica y logica. Pues bien, el tambien es mago.
La relacion de las matematicas y la magia continua.
Diaconis ha probado que la maxima entropıa en una baraja se alcanza cuan-
do esta se mezcla, por hojeo, 7 veces. La mezcla por hojeo, o mezcla americana
consiste en dividir el mazo en dos montones mas o menos iguales, enfrentarlos y,
con la ayuda de los pulgares de ambas manos ir liberando cartas poco a poco de
modo que se intercalen las de los dos paquetes (ver figura 5).
FIGURA 5. Mezcla americana9
Esa mezcla es la que se ve en muchas pelıculas y que hoy tambien hace mucha
gente en Espana. Es una mezcla mas elegante que la tıpica mezcla por arrastre que
se usa en el tute o el mus pero ... ¿es mejor mezcla?
Podemos simular una mezcla americana (figura 6) dividiendo el mazo en dos
montones mas o menos iguales dejandolos sobre la mesa, para seguir apretando
uno de los montones hacia abajo al mismo tiempo que giramos la muneca (co-
mo si estuviesemos cerrando una llave de paso o apretando una tuerca con las
manos) de modo que consigamos en el monton una estructura con una forma
similar a la de una escalera de caracol. A continuacion hacemos lo mismo con el
otro monton. El siguiente paso que hay que hacer es acercar los montones, y jun-
tarlos en uno solo llevando las manos perpendiculares a la mesa. De este modo
queda un revoltijo que estructuralmente es una mezcla americana. Solo nos resta
cuadrar la baraja para poder operar con ella.
FIGURA 6. Variante de la mezcla americana
Dicho esto, propongo hacer el siguiente experimento:
Toma una baraja de 52 cartas y separa las 26 cartas rojas de las 26 cartas negras.
1. Situa las 26 cartas rojas sobre las 26 negras. Te quedaran las cartas de cora-
zones y rombos en la parte superior y las de picas y treboles en la inferior.
2. Reparte 4 cartas sobre la mesa, como si fueran los cuatro vertices de un
cuadrado.10
3. Lo que vamos a hacer ahora es repartir el resto del mazo echando cartas
de una en una sobre las cuatro primeras que tenıamos sobre la mesa. No es
necesario repartir el mazo en orden: puedes seguir un orden, luego inver-
tirlo, dar cartas en diagonal, etc. Lo importante es que los cuatro montones
tengan mas o menos el mismo numero de cartas.
4. Elige dos de los montones, los que tu quieras, y mezclalos a la americana.
5. Mezcla, tambien a la americana, los otros dos montones que te quedan
sobre la mesa.
6. Ahora debes mezclar a la americana los dos montones grandes que te han
quedado.
7. Tienes en este momento la baraja mezclada (y bien mezclada). Reparte las
16 cartas superiores encima de la mesa, una tras otra, dejandolas con el
dorso hacia arriba.
8. Reparte del mismo modo las 20 cartas siguientes formando otro monton,
a la derecha del anterior.
9. Deposita el monton de 16 cartas que te quedan en la mano a la derecha de
los otros dos.
10. Coge el monton central y viendo las caras separa las cartas rojas de las
negras. Comprueba que de las 20 cartas 10 son rojas y 10 son negras.
11. Recuerda que has mezclado la baraja tres veces. Voltea el monton de la
izquierda y comprueba que esta formado solamente por cartas negras.
12. Voltea el de la derecha y, si puedes, extiende las cartas sobre la mesa.
¿Crees que habıas mezclado la baraja suficientemente a fondo?
Alex Elmsley no era matematico, pero estaba muy proximo: era informatico y
descubrio una relacion entre las mezclas perfectas (denominadas mezclas faro) y
el sistema binario. Elmsley tambien es creador de diferentes tecnicas manuales
utilizadas por los cartomagos profesionales, por ello no podemos referirnos a el
como un simple “aficionado” (la palabra amateur serıa mas correcta, dado que nos
estamos refieriendo a un no profesional pero de mas nivel que muchos magos que
se dedican profesionalmente al ilusionismo). En Espana Ramon Rioboo es uno de
estos “grandes aficionados” (profesionalmente se dedicaba a algo que no tenıa
nada que ver con la magia) que empezo en el ilusionismo siendo bastante mayor y
que ha creado muchos efectos basados, directa o indirectamente, en propiedades11
matematicas. Otro mago espanol que utiliza muchas propiedades matematicas
en sus juegos es Woody Aragon.
La mezcla faro es la mezcla “perfecta”: la que se consigue dividiendo la baraja
en dos mitades iguales (de 26 cartas cada una si utilizamos una baraja france-
sa) y en la al mezclar se intercalana las cartas proviniendo una de cada monton.
Hacer correctamente esta mezcla requiere entrenamiento, pero es posible hacerla.
Veremos algunos juegos donde aparecera. Elmsley hacıa mezclas faro interiores
(In-shuffle) y mezclas faro exteriores (Out-shuffle), dependiendo de como comen-
zaba a intercalar las cartas: se fijaba si la primera carta del nuevo monton provenıa
de la mitad inferior o de la mitad superior. Pues bien, escribiendo OIIOO para de-
notar la secuencia de mezclas que habıa hecho comprobo que la primera carta del
mazo iba a parar a la posicion representada por el numero binario 01100. ¿No es
magico y sorprendente?
El cursillo de magia matematicaTambien encontramos un hecho paradojico en la magia matematica. A los es-
tudiantes no les gusta conocer la prueba de los resultados matematicos. Suelen
decir que ellos se lo creen. Sin embargo quieren saber en que se basan las proezas
magicas. Como elemento didactico la matemagia es interesante puesto que per-
mite preguntar el porque de algunos resultados.
Otros divulgadores de la matematica de gran exito, Rob Eastaway y Jeremy
Windham, en su libro Why do buses come in threes? hacen el comentario siguiente:
“La mas matematicas estan llenas de curiosidades que pueden utilizarse co-
mo base para juegos. Quizas esto explica por que tantos magos son tambien afi-
cionados a las matematicas, y no es una coincidencia que Lewis Carroll, el gran
matematico y autor infantil, tambien amara la magia y los puzzles. Quizas de-
berıa haber mas profesores de matematicas que se convirtieran en magos”
Y estos dos autores, hacia el final de su libro escriben:
“Hemos dejado el capıtulo sobre magia matematica para el final por una razon.
Los trucos de magia demuestran una de las aplicaciones mas practicas de la
matematica, que es hacer la vida mas divertida”12
A menudo nosotros, nuestros estudiantes y tambien el publico en general pen-
samos que las matematicas son algo serio, difıcil y cuya utilizacion practica no
se ve. De este modo, desde los niveles educativos de menor edad (que no son los
niveles educativos inferiores) puede mostrarse una aplicacion practica sencilla de
la matematica y evitar con ello el rechazo inicial que supone para muchos.
Los contenidos que se pueden presentar mediante juegos de magia son muchos
y variados:
Probabilidad
Estadıstica
Teoremas de punto fijo
Bases en espacios vectoriales
Sistema de numeracion decimal
Sistema de numeracion binario
Teorema de Pitagoras
Teorema de Thales
Matrices
Determinantes
Aritmetica Modular
Combinatoria
Ecuaciones
Calculo mental
Topologıa
(Razonamiento)
(Algorıtmica)
(Causalidad)
(Resolucion de problemas)
No queremos aquı hacer una descripcion exhaustiva de las posibilidades, porque
ademas serıa imposible. Creemos que casi cualquier concepto matematico puede
introducirse utilizando algun juego de magia. Dada la limitacion que suponen 8
horas no van a poder tocarse todos los temas, y serıa bueno para el desarrollo
de las clases que los participantes pensasen que temas concretos prefieren que
desarrollemos.13
Hemos dejado para el final el comentario de otro divulgador de la ciencia y
conocido escritor de clasicos de la ciencia ficcion, siendo el mas conocido 2001,
una odisea del espacio. Arthur C. Clarke estudio matematicas y fısica en el presti-
gioso Imperial College de Londres. Nos dejo tres leyes que relacionan la ciencia, la
ficcion y la ciencia-ficcion. En particular son aplicables a la matematica, y tambien
a la magia:
1. Cuando un viejo y distinguido cientıfico determina que algo es posible,
probablemente esta en lo correcto. Cuando determina que algo es imposi-
ble, probablemente esta equivocado.
2. La unica manera de descubrir los lımites de lo posible es aventurarse hacia
lo imposible.
3. Cualquier tecnologıa suficientemente avanzada es indistinguible de la ma-
gia.
Referencias
En el curso mencionaremos algunos libros o artıculos en los que se tratan temas
relacionados con la magia matematica.
La referencia principal, porque en ella expongo “casi todo” lo que se es:
- Blasco, Fernando. Matemagia. Temas de Hoy. Madrid, 2007.
Libros que tratan sobre los inicios de la matematica recreativa, la magia y la
fısica recreativa, y que mencionaremos en algun momento del curso.
- Pacioli, Luca. De Viribus Quantitatis. Codice 250 de la Biblioteca Universitaria
de Bolonia. Compilado entre 1496 y 1508. Disponible en
http://www.uriland.it/matematica/DeViribus/Pagine/index.html
- Cardano, Girolamo. De Subtilitate. La primera edicion del libro data de 1550.
La edicion de 1663 esta disponible en http://archimedes.mpiwg-berlin.mpg.de
- Aurel, Marco. Libro Primero de Arithmetica Algebratica, J. Mey, Valencia,
1552.
- Bachet, Claude Gaspar. Problemes Plaisants et Delectables qui se font par les
nombres. Parıs, 1612.14
- Ozanam, Jacques. Recreations mathematiques et physiques. El libro fue es-
crito en 1694. La edicion de 1778, realizada por Jean Ettiene Montuela, esta disponible
en http://cnum.cnam.fr/fSYN/8PY9.html
El mayor divulgador de la matematica del siglo XX y mago aficionado merece
un apartado para el solo. Es autor de muchos otros libros y, en casi todos, hay
algun capıtulo en los que habla de magia matematica. He aquı una seleccion de
los mismos:
- Gardner, Martin. Mathematics, magic and mystery. Dover. 1956.
- Gardner, Martin. Nuevos pasatiempos matematicos. Alianza Editorial, 1980.
- Gardner, Martin. Carnaval matematico. Alianza Editorial, 1980.
- Gardner, Martin. Circo matematico. Alianza Editorial, 1983.
- Gardner, Martin. Festival magico-matematico. Alianza Editorial, 1983.
Otros textos dedicados a la magia matematica:
- Simon, William. Mathematical magic. Dover. 1964.
- Heath, Royal V. Mathemagic: Magic, Puzzles and Games with Numbers. Dover.
1953.
- Munoz Santonja, Jose. Ernesto el aprendiz de matemago. Nivola. 2003.
- Alvarez, Venancio, Fernandez, Pablo y Marquez, M. Auxiliadora. Cartomagia
matematica y cartoteoremas magicos en la Gaceta de la Real Sociedad Matematica
Espanola. Vol 5 (3), 2002, 711-735.
- Estalella, Jose. Ciencia Recreativa. Ajuntament de Barcelona. 2008.
Historia de la matematica.
- Boyer, Carl B. Historia de la matematica. Alianza Editorial. 1986.
- Karlson, Paul. La magia de los numeros. Labor. 1960.
- Gonzalez Urbaneja, Pedro Miguel. Pitagoras. El filosofo del numero. Nivola
2001.
Historia de la magia. Los dos unicos libros que comentamos nos muestran una
historia ilustrada de la magia. En el de Melbourne Christopher aparecen muchas
ilustraciones de la epoca, incluyendo los carteles de presentacion de los magos.
El de Angel Idıgoras tiene caricaturas de ilusionistas.15
- Christopher, Milbourne. Magic: a Picture history. Dover. 1992.
- Idıgoras, Angel. Aventuras de 51 magos y un fakir de cuenca. Paginas. 1999.
Magia general. En este listado aparecen tanto algunos de los libros a los que
nos hemos referido en el texto como otras referencias muy buenas para empezar
con juegos de magia no necesariamente matematicos.
- Giobbi, Roberto. Gran Escuela Cartomagica (5 volumenes). Paginas. 2004.
- Ciuro, Wenceslao. Juegos de mano de bolsillo (6 volumenes). Paginas. 2002.
- Blass, Jorge. Magia para no dejar de sonar. Martınez Roca. 2003.
- Tamariz, Juan. El mundo magico de Tamariz. Ediciones del Prado. 1995.
- Canuto, Vicente. Cartomagia fundamental. ICASA. 2003.
- Houdini, Harry. Paper Magic. Originalmente publicado en 1922 existe una
reimpresion hecha por Kessinger Publishing. 2003.
Creo interesante incluir tambien las referencias a algunos de los videos que se
van a ver, o comentar, en el curso:
Jerry Andrus (ilusiones opticas)
http://es.youtube.com/watch?v=Frm6sfswiGo
Crecen y encogen http://es.youtube.com/watch?v=6oEJ10fnZXk
Ilusiones de Bill Nye
http://es.youtube.com/watch?v=WvVfcyVCdNA
Jerry Andrus (caja)
http://es.youtube.com/watch?v=SErHThEGTDc
Dragon moviendose
http://es.youtube.com/watch?v=YoufjevVGZ0
El pdf con el dragon
http://www.grand-illusions.com/images/articles/opticalillusions/dragon illusion/dragon.pdf
Ilusion castillo colores
http://es.youtube.com/watch?v=417UqoEqNmY
Ilusion optica de la casa
http://es.youtube.com/watch?v=jIpdajUHVtI
Los que se pasan la pelota de baloncesto
http://es.youtube.com/watch?v=7-rUBENnVaE16
Estos son enlaces a videos de un minuto y medio, de una entrevista en la revista
Quo. La magia y la explicacion estan en videos separados. Puede que os sirva
para recordar algunas de las cosas que estudiaremos.
http://es.youtube.com/view play list?p=A7F8255C56413D50
Entrevista en ”Vive la ciencia”. Aquı se grabo el juego de aro y cuerda de Pacioli
descrito en estas notas, por si se os olvida algun movimiento.
http://es.youtube.com/watch?v=i46dVfcfqOQ
Entrevista en Tres14 (tve2)
http://www.tres14.rtve.es/vids/PGM24-entrevista.flv
Conferencia en el Creamat, del Departamento de Educacion de la Generalitat
(16.10.08)
http://video.xtec.cat:8080/ramgen/creamat/creamatconf161008.rm
Otros enlaces interesantes:
La pagina de divulgacion de la Real Sociedad Matematica Espanola. Hay una
seccion de Magia Matematica conducida por Pedro Alegrıa, profesor de la Uni-
versidad del Paıs Vasco.
http://www.divulgamat.net
Ciencia en Accion, donde hay mucho material para utilizar en clase. Os animo
a que participeis en la proxima edicion. De algun modo Ciencia en Accion y Rosa
M. Ros (su directora) tienen la culpa de que mi aficion por la magia matematica
no me la guarde para mı solo...
http://www.cienciaenaccion.org/
La seccion Card Colm en la web de la Mathematical Association of America,
conducida por Colm Mulcahy, del Spellman College en Atlanta.
http://www.maa.org/columns/colm/cardcolm.html
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