Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
Post on 06-Apr-2018
244 Views
Preview:
Transcript
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 1/48
1
1. KONTROL SİSTEMLER İNİN BLOK DİYAGRAMLARI, İŞARET
AKIŞ DİYAGRAMLARI VE TRANSFER FONKSİYONLARI
1.1. Giriş
Blok diyagramlar ı ile işaret ak ış diyagramlar ının, fiziksel sistemlerin matematik
modellerinin giriş ve çık ış işaretlerini içeren bilimsel bir gösterimi vardır. Bu diyagramlarda,
kontrol sisteminin tüm giriş ve çık ış işaretleri yanında bir alt sistemin ya da elemanın giriş ve
çık ış işaretleri de gösterilir.
Bu projede, blok diyagramlar ı ve işaret ak ış diyagramlar ının özellikleri ayr ıntılı biçimde
incelenecek; diyagramlar ın indirgenmesinde kullanılan yöntemler ve ilgili teoremler ayr ıntılı
bir biçimde verilecektir. Blok diyagramlar ı ya da işaret ak ış diyagramlar ı, sistemlerin
matematik modelleri kurulduktan sonra çizilir.
1.2. Blok Diyagramlarında Temel Tanımlar
Bir blok diyagramında bloklar, toplama noktalar ı , işaret alınma noktalar ı ve oklar
bulunur.
1.2.1. Bloklar
Kontrol sistemlerinde bloklar, giriş ve çık ışlar ı belirtilen ve alt sistemleri tanımlayandikdörtgen ya da kare biçiminde olan şekillerdir. Bu bloklar lineer, lineer olmayan ve zamanla
değişen sistemler için gösterilebilir. Zamanla değişmeyen sistemler ya da elemanlar için
bloklar, lineer halde hem zaman domeninde hem de S domeninde gösterilirler. Çoğunlukla
zaman domeninde giriş ve çık ış işaretleri için küçük harfler, s domeninde ise büyük harfler
kullanılır. Lineer ve zamanla değişmeyen eleman ya da sistemlerin bloklar ı içine S
domeninde transfer fonksiyonu, zaman domeninde ise bu elemanın girişi u(t) birim basamak
biçiminde değiştiğinde çı
k ı
şı
nı
n zamanla değişimi gösterilir. Şimdi kabul edelim ki, lineer olan bir doğru ak ım motorunun rotor gerilimine etkiyerek hız ya da konum kontrolü
yapılmaktadır. Bu etkime işlemi türev alan ve orantılı bir işlemsel kuvvetlendirici ile
yapılmaktadır. Şekil 1’de türevli ve orantılı işlemsel kuvvetlendirici ile motorun blok
diyagramlar ı s domeninde gösterilmiş, transfer fonksiyonlar ı bunlar ın içine yazılmış ve giriş-
çık ış işaretlerinin Laplace dönüşümleri gösterilmiştir.
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 2/48
2
Ş ekil 1 – Orant ıl ı ve türevli i şlemsel kuvvetlendiricinin bir do ğ ru ak ım motoruna kumandaetmesi halinde blok diyagramının S domeninde gösterili şi
Şekil 1’ de gösterilen blok diyagramında her blok’a giren işaret basamak biçiminde
değiştiğinde çık ış işaretinin zamana göre değişimi blok içinde yazılmak, motorun çık ışını
W(t) almak koşulu kullanılırsa (t) domenindeki blok diyagramı yine aynı sistem için Şekil
2’de gösterildiği gibi verilir.
Ş ekil 2 – Zaman domeninde Ş ekil 1 blok diyagramının motor çık ı şının θ yerine W(t) al ınması halinde gösterili şi; G(s)S, θ yerine w al ınması nedeni ile gelmi ştir.
Lineer olmayan bir elemanın blok diyagramı çoğunlukla t domeninde gösterilir ve bu
elemanın giriş çık ış bağıntısı gösteren eğri, blok içine çizilir. Şekil 3’de lineer olmayan
elemana lineer olan bir elemanın (t) domeninde blok diyagramı verilmiştir. Bu halde lineer
olan elemanın blok’u içine durum modeline ilişkin denklemlerin yazılması zorunludur. Çünkü
blok diyagramının bir k ısmının (t) domeninde, diğer bir k ısmının (s) domeninde verilmesi
olanaksızdır. Bununla beraber literatürde aynı bir blok diyagramının bazı lineer olmayan alt
bloklar ının (t) domeninde, diğeri s domeninde verilir. Şekil 3 a’da bir ölü zamanı bulunan
lineer olmayan bir elemanla, durum modeli ile (t) domeninde tanımlanmış lineer olmayan
blok diyagramı gösterilmiştir. Lineer sistemin durum denkleminde yalnız bir çık ıştan geri
besleme alınmıştır. Şekil 3 b’de ise literatürde gösterildiği gibi aynı blok diyagramının yar ısı t
domeninde ve yar ısının s domeninde gösteriliş biçimi verilmiştir.
Ş ekil 3 a - Ölü zamanı T olan lineer olmayan bir elemanlalineer elemanın t domeninde blok diyagramı
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 3/48
3
Ş ekil 3 b - Ölü zamanı bulunan lineer olmayan bir elemanla lineer elemanın aynı zamanda t ve s domeninde) gösterili şi
Burada hemen şunu açıklayayım ki Şekil 3 b’deki blok diyagramı sistemin belli bir matematik modeline (örneğin, t domeni ya da s domeni) kar şı düşmez.
1.2.2. Toplama Noktaları
Blok diyagramlar ında toplama ya da kar şılaştırma noktasında toplama, çıkarma; hem
toplama hem çıkarma yapılabilir. Kar şılaştırma elemanı olarak endüktif ve omik gerilim
bölücüleri ( Potansiyometreler ) , senkronlar, fark kuvvetlendiriciler, işlemsel
kuvvetlendiricilerin özel bağlantı biçimleri, çarpım devreleri, zener diyotlar, özel köprü
bağlantılar ı v.b. kullanılır. Burada toplama noktasında cebirsel toplama yapıldığı
anlaşılacaktır. Şekil 4 a, b, c ve d’de kar şılaştırma ya da toplama noktasında yapılan işlemler
ayr ı ayr ı gösterilmiştir.
Ş ekil 4 a - Blok diyagramında toplama i şlemib - Blok diyagramında çıkarma i şlemi
c - Blok diyagramında hem toplama hem çıkarma i şlemid - Blok diyagramında cebirsel çarpma i şlemi
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 4/48
4
1.2.3. İşaret Alınma Noktaları
İşaret Alınma Noktalar ı sadece işaretin alındığı yere (.) biçiminde bir dolu nokta olarak
belirtilir.
1.2.4. Blok Diyagramlarında Oklar
Blok diyagramında oklar işaretlerin ak ış yönünü gösterir.
Şekil 5’de blok diyagramının yukar ıda açıklanan önemli elemanlar ı gösterilmiştir. Blok
diyagramı t domeninde çizilmiştir.
Ş ekil 5 – Blok diyagramının ba şl ıca elemanlar ı
S domeninde bir giriş ve bir çık ışlı kontrol sisteminin blok diyagramının en basit gösteriliş
biçimi Şekil 6’da verilmiştir. Laplace domeninde çoğunlukla ileri yolda bulunan transfer
fonksiyonlar ı G1, G2, ..... Gn ile, geri besleme yolu üzerinde bulunan bloklara ilişkin blok
diyagramlar ı ise H1, H2, ..... Hn ile gösterilir.
Ş ekil 6 – Bir giri ş ve bir çık ı şl ı sistemlerde basit blok diyagramı;diyagram s domeninde çizilmi ştir.
Birbirleri ardından bağlanmış ve transfer fonksiyonlar ı G1(s), G2(s), ..... Gn(s) olan n tane
blok’un birbirini yüklememek koşulu altında, eş değer bloku G(s)
dır. Bu çarpımda bloklar ın yerleri değiştirilebilir. Başka bir deyimle, transfer fonksiyonlar ının
çarpımlar ı, bloklar birbirlerini yüklememek koşulu altında komutatiftir.
Örnek 1.2.1. Şekil 7’de G1(s), G2(s), G3(s) bloklar ı birbirlerini yüklemeksizin ard arda bağlanmışlardır. Eş değer bloku bulunuz.
.....(1.1)n
1i(s)G(s)G.....(s)G,(s)G,(s)GG(s) 1n321 ∏
===
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 5/48
5
Ş ekil 7 – Birbirlerini yüklemeksizin ard ı şık olarak ba ğ lanmı ş olan
bloklar ın e şde ğ er bloku G(s)’un belirlenmesi
Çözüm: Bloklar birbirini yüklemediğindenE(s) G1(s) = V(s)V(s) G2(s) = U(s) .................... (1.2)U(s) G3(s) = C(s)
ya da yukar ıdaki eşitliklerde V(s) ikinci denklemde, U(s) üçüncü denklemde kullanılarak E(s) G1(s) G2(s) G3(s) = C(s) .................... (1.3) olarak bulunur. Buradan
elde edilir.
1.3. Bir Giriş Ve Çık ışlı Kontrol Düzenin En Basit Blok Diyagramı
Bundan önceki bölümde Şekil 6’da ileri yol bloklar ı ile geri yol bloklar ı ardışık bağlı
olduğundan bir blok halinde gösterilebilir. Bu koşul altında bir giriş ve bir çık ışlı kontrol
düzeninin en basit blok diyagramı Şekil 8’de gösterilen biçime girer. Bu blok diyagramında
aşağıdaki tanımlar yapılır.
G(s) = İleri yol toplam transfer fonksiyonu
H(s) = Geri besleme toplam transfer fonksiyonu
G(s) H(s) = Açık çevrim transfer fonksiyonu
Şekil 8’deki blok diyagramındanC(s) = E(s) G(s)B(s) = C(s) H(s)E(s) = R(s) – B(s) yazılır.
Ş ekil 8 – Bir giri ş ve çık ı şl ı kapal ı çevrim kontrol sisteminin en basit blok diyagramı.
Bu eşitliklerden C(s) ile R(s) ve E(s) ile R(s) arasındaki oranı belirleme olanağı vardır:
(s)G (s)G (s)G E(s)
C(s)
G(s) 321==
fonksiyonutransfer çevrimKapalıE(s)C(s)
=
fonksiyonutransfer işaretikontroldayaSapmaR(s)E(s)
=
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 6/48
6
C(s) = [R(s) – B(s)] G(s) = [R(s) – C(s) H(s)] G(s)
C(s) [1 + GH] = R(s) G(s)
ya da, kapalı çevrim transfer fonksiyonu için
ve hata transfer fonksiyonu
Örnek 1.3.1. Bir giriş ve bir çık ışlı geri beslemeli kontrol sisteminde toplam ileri yol
transfer fonksiyonu
olarak veriliyor.a) Açık çevrim toplam transfer fonksiyonu ,
b) Kapalı çevrim transfer fonksiyonunu,c) Hata transfer fonksiyonunu bulunuz.d) Karakteristik fonksiyon ve karakteristik denklemi yazınız.
Çözüm:a) Açık çevrim toplam transfer fonksiyonu :
b) Kapalı çevrim transfer fonksiyonu :
.....(1.4)H(s)G(s)1 G(s)R(s)C(s) +=
H(s).H(s)G(s)1
G(s) -1
R(s)
H(s)C(s) -1
R(s)B(s)
-1R(s)
B(s)-R(s)R(s)E(s)
+====
(1.5).....H(s)G(s)1
1
R(s)
E(s)
+=
c) b)(ss(sa)K(s
G(s)++
+=
ds
K H(s)
h
+=
ds
K .
c) b)(ss(sa)K(s
H(s)G(s)h
++++
=
d)sc)( b)(ss(s a)(s.K K.1H(s)G(s)1 h+++
++=+
d)sc)( b)(ss(sa)(s.K K.d)sc)( b)(ss(s
1H(s)G(s)1h
++++++++
+=+
a)(sK K d)sc)( b)(ss(sd)sc)( b)(ss(s
c) b)(ss(s
a)K(s
H(s)G(s)1
G(s)R(s)C(s)
h ++++++++
+++
=+
=
a)(sK K d)sc)( b)(ss(s
a)K(sR(s)C(s)
h ++++++
=
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 7/48
7
c) Hata transfer fonksiyonu :
d) Karakteristik fonksiyon ve karakteristik denklem :
olarak bulunur.
Karakteristik fonksiyonu: 1+G(s) H(s) fonksiyonuna karakteristik fonksiyon denir. ∆(s) ile
gösterilir.
Karakteristik denklem: 1+G(s) H(s) = 0 denklemine karakteristik denklem denir.
Bu tanımlamalar ın daha iyi anlaşılabilmesi için aşağıdaki örneği inceleyebilirsiniz.
1.4. Çok Giriş ve Çok Çık ışlı Kontrol Düzeninin En Basit Blok Diyagramı
Blok diyagramı s domeninde verilecek ve çok girişli çok çık ışlı sistemin ileri yol transfer
matrisi G(s), geri yol transfer matrisi H(s), referans giriş R(s), çık ış C(s) olduğu kabul
edilecektir. Şekil 9’da en basit blok diyagramı s domeninde gösterilmiştir.
Ş ekil 9 – Çok giri şli ve çok çık ı şl ı sistemin s domeninde blok diyagramı
Matris işlemlerini kullanarak Şekil 9 dan,
C(s) = G(s) E(s)
E(s) = R(s) – B(s) ........... (1.6)
B(s) = H(s) C(s)
yazılır. Yukar ıdaki denklemlerden birincisindeki E(s) yerine ikinci denklemden değeri yazılır
ve bundan sonra B(s) yerine üçüncü denklemden eşitliği konursa C(s) için
C(s) = G(s) R(s) – G(s) H(s) C(s) ) ........... (1.7)
Bulunur. Bu denklemden C(s) çözülürse
C(s) = [ I + G(s) H(s) ]-1 G(s) R(s) ) ........... (1.8)
a)(sK K d)sc)( b)(ss(sd)sc)( b)(ss(s
H(s)G(s)1R(s)
E(s)h +++++
+++=
+= 1
d)sc)( b)(ss(sa)(sK K d)sc)( b)(ss(s
H(s)G(s)1(s)h
+++
+++++=+=∆
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 8/48
8
Bulunur. Burada I + G(s) H(s) matrisinin singüler (tekil) olmadığı kabul edilmiştir. O halde,
Şekil 9’da verilen çok giriş ve çok çık ışlı sistemin C(s) çık ış vektörü transformu ile R(s) giriş
transformu arasındaki, transfer matrisi F(s) için
F(s) = [ I + G(s) H(s)]-1 G(s) ) ........... (1.9)
olur. Şimdi çok giriş ve çok çık ışlı sistemin transfer matrisi üzerine bir örnek verelim,
Örnek 1.4.1. İki giriş ve iki çık ışlı olan bir sistemde
olduğuna göre F(s) transfer matrisini bulunuz.
Çözüm: Önce ( I + G(s) H(s) ) belirlenir; sonra bunun tersi alınır.
]H(s)G(s)IAdj[H(s)]G(s)[I
26ss3)(ss
2)6s(s1)(s2s
26ss1s
2)6s(s3)(s4)(s1)(ss
22
221-
=
∆
+=+
+++
+++
+++
+++++
−
s
2
1s
4s
s
3s
4s
1s
3s
1s3s 2
s1 3s
s
H(s)]G(s)[Idet ++
+=+
+
+
+
+
++
++
=
=∆=+
−
24
H(s)]G(s)[IAdj
1s3s 2
s1 3s
s
=+
++
++
−
4
H(s)]G(s)[I
3s4s s
1
1ss
T
=+
++
++
−
23
1)(ss26s2s
+
++=∆
=+
++
++
−
3s 4s 2
s1 1s
s
H(s)G(s)I3
=
+
=+
+
+
+
+ −−
3s11 2
s1 1s
21
3s1 2
s1 1s
2
1 0
0 1 H(s)G(s)I
=
=
+
−+
+
−+
3s1 2
s1
1s2
1 0
0 1
3s1 2
s1
1s2
H(s)G(s)
=
=
+
−+
1 0
0 1
3s1 2
s1
1s2
H(s) G(s)
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 9/48
9
olur.
Örnek 1.4.2.
x = A x +B U
y = C x + D U matematik modeli ile tanımlanan çok giriş ve çok çık ışlı bir sistemin t
domeninde blok diyagramını çiziniz.
Çözüm: Blok diyagramı integral alıcı eleman kullanılarak:
Ş ekil 10 – Çok giri ş ve çok çık ı şl ı sistemin durum modeli blok diyagramının t domeninde gösterili şi
Şekil 10’daki blok diyagramı
t domeninde elde edilmiş olur. Sistem zamanla değişmeyen bir sistem olduğu taktirde aynı blok diyagramı s domeninde de verilebilir.
Örnek 1. 4. 3. İki giriş ve iki çık ışı olan bir kontrol sisteminin diferansiyel denklemleri
olarak verilir. İntegratorlar kullanılarak (t) domeninde blok diyagramını veriniz. R 1 ve R 2 giriş
alınız.
Çözüm: Yukar ıdaki denklemleri
biçiminde yazarak Şekil 11’deki blok diyagramı
2
2
2
1021
2
2202
12222
2
2
1
2
2222
2
2111
11121
2
λ
1R
λ
1r α- dt
r dα-r β-
dtdr
λ - (t)c(t)f dtr d
a
1R
a
1r k -
dtr d
b-r k - dtdr
a - (t)c(t)f dt
r d
]
]
−==
−==
[
[
(1.11).....(t)cr αdt
r dαr β
dtdr
λdt
r d λR
(1.10).....(t)cr k dt
r d br k
dtdr
adt
r daR
21021
2
2202
122
2
22
12222
2
2111
121
2
21
=++++++
=++++++
G(s)H(s)]G(s)[I F(s) -1+=
=
++ +++
+
+++
+++++
26ss 3s 2)6s(s1)(s2s
26ss1s-
2)6s(s3)(s 16s4s
22
22
2
F(S)
2
6
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 10/48
10
Ş ekil 11 – İ ntegratorler kullanılarak elde olunan örnek 1.4.3’e ili şkin çok giri şli çok çık ı şl ı sistemin blok diyagramı ( t domeninde çizilmi ştir )
Aynı diferansiyel denklem sistemi durum uzayında birinci türevler bulunacak biçimde
yazılır ve başka bir blok diyagramı elde edilir. Türev alıcılar kullanılarak da daha basit blok
diyagramı elde edilir. Bu açıklanan iki yol ile blok diyagramının elde olunuşu bir alıştırma
olmak üzere öğrenciye bırak ılmıştır.
1. 5. Blok Diyagramının İndirgenmesi
Karmaşık blok diyagramlar ı aşağıda verilecek indirgeme yöntemleri ile en basit blok
diyagramı biçimine örneğin Şekil 8 ya da Şekil 9’da gösterilen biçime getirilebilir. Blok
diyagramlar ının indirgenmesini bir çizelge ile açıklayacağız. Çizelge 3.5.1’de indirgeme
işlemi, blok diyagramı denklemi ve ilgili blok ve indirgenmiş blok gösterilmiştir.
1.6. Çok Girişli Lineer Sistemlerin Blok Diyagramları ve İndirgenmesi
Lineer zamanla değişmeyen çok girişli ve bir çık ışlı sistemlerin blok diyagramlar ından,
çık ış büyüklüğünün belirlenmesi süperpozisyon ( üst üste bindirme ) ilkesi ile yapılır. İki
girişi ve bir çık ışı olan bir blok diyagramı Şekil 12’de gösterilmiştir. Bu diyagramda giriş
büyüklükleri R 1, U1 ve çık ış büyüklüğü ise C dir. S domeninde verilen bu blok diyagramında,
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 11/48
11
Çizelge 1.5.1 Blok diyagramlar ının indirgenmesi
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 12/48
12
alışılmış tanım uyar ınca R 1’e giriş, U1 girişine de bozucu giriş ya da gürültü denir. R1 ve U
girişine kar şılık C çık ış büyüklüğü şöyle belirlenir:
1) U1 = 0 alınır ve R 1 girişi için CR1 çık ışı bulunur.
2) R 1 = 0 alınır ve yalnız U1’e kar şı düşen Cu1 çık ışı saptanır. Süperpozisyon ilkesine göre (R 1
, U1)’in aynı zamanda etkimesi halinde ise toplam çık ışı CR1 + CU1 olarak bulunur.
Yalnız bir çık ışı bulunan ve n girişi olan lineer bir sistemde çık ış aynı yol izlenerek
bulunur. (n-1) giriş sıf ır alınır ve bir girişe kar şı çık ış bulunur. Bu kural her giriş için
tekrarlanır ve elde edilen çık ışlar ın toplamı alınır. Böylece lineer sistem için n girişe ilişkin C
çık ışı
C k = (k)’inci girişe ilişkin çık ış; k’inci giriş dışındaki (n-1) giriş sıf ır alınarak belirlenir.
Ş ekil 12 - İ ki giri ş R1(s), U 1(s) ve bir çık ı şl ı lineer sistemin blok diyagramı
Şimdi Şekil 12’de R 1 , U1 girişlerinin birlikte olmak halinde C çık ışını bulalım:
1) U1 = 0 alınarak R 1 giriş CR1 çık ışı arasında (1.4) bağıntısından
bulunur. Buradan
yazılır.
2) R 1 = 0 alınarak U1 ile CU1 (s) arasındaki transfer fonksiyonu
Olarak bulunur. R 1 = 0 olduğunda Şekil 12’de H blokunun çık ışı (-) olduğunda bu işaret
G1(s)’in çık ışındaki işareti de (-) yapar. Süperpozisyon ilkesi ile (1.12a) ve (1.13)’ün
toplamından
(1.13).....UHGG1
G C 1
21
2U1 +=
a)(1.12.....R HGG1
GG C 1
21
21R1
+=
(1.12).....HGG1
GG
R
C
21
21
1
R1
+=
a)(1.12.....nk 21
n
1ii C ...... C...... CCCC +++++==∑
=
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 13/48
13
ya da
bulunur.
Şimdi blok diyagramlar ının indirgenmesi üzerine örnekler verelim. Bu örneklerde, Blok
diyagramının matematik model yardımı ile çizilmiş olduğu varsayılacak ve bu diyagramlar ın
indirgenme işlemleri örneklenecektir.
Örnek 1.5.1. Şekil 13’de verilen bir giriş ve bir çık ışlı blok diyagramını en basit blok
diyagramı biçimine (Şekil 8’deki biçim) indirgeyiniz.
Ş ekil 13 – Örnek 1.5.1’e ili şkin bir giri ş ve bir çık ı şl ı sistemin blok diyagramı
Çözüm: Blok diyagramı indirgendikten sonra R çık ışı C olacak ve bir ileri yol transfer
fonksiyonu ile geri besleme transfer fonksiyonundan oluşacaktır. Şekil 13’de G4 ve G5
bloklar ı paralel bağlıdır. Çizelge 1.5.1’de 2. kurala göre eşdeğer diyagramı G4 + G5 dir.Benzer biçimde G2, G3, H1 bloklar ından oluşan geri besleme çevrimi Çizelge 1.5.1’de 3.
kurala göre, eşdeğer olarak
transfer fonksiyonu ile gösterilebilir. Şekil 14’de bu işlemlerden elde edilen blok diyagramı
gösterilmiştir.
Ş ekil 14 – Örnek 1.5.1’in Ş ekil 13 blok diyagramının indirgenmesi
Şekil 14’de ileri yol üzerinde bulunan ve ardışık bağlı bloklar yerine yalnız bir blok
kullanılırsa, Şekil 8’de gösterilen en basit blok diyagramı elde edilir. Bu blok diyagramı daŞekil 16’da gösterilmiştir. Şekil 16’dan toplam transfer fonksiyonu C(s)/R(s) için
132
32
HGG1
GG
+
(1.14).....]UGR GG[HGG1
1
HGG1
UG R GG
C 121212121
12121 ++
=+
+=
1
21
21
21
21U1R1 U
HGG1
G R
HGG1
GG CC C
++
+=+=
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 14/48
14
Ş ekil 16 – İ ndirgenmesi örneklenen Ş ekil 13’deki blok diyagramınınen basit kapal ı çevrim biçimi
Şekil 17’de ise 3.15 bağıntısı kapalı çevrim kaldır ılmış olduğu halde gösterilmiştir.
Ş ekil 17 – Ş ekil 13’deki blok diyagramının bir blok ile gösterili şi
Örnek 1.5.2. Şekil 18’de verilen blok diyagramını en basit hale getiriniz. Blok
diyagramında giriş R, çık ış C’dir ve indirgenmeden sonra aynı giriş ve çık ış büyüklükleri
kullanılacaktır.
Ş ekil 18 – Örnek 1.5.2’ye ili şkin blok diyagramı
Çözüm: Önce (1) işaret alma noktası G3 blokunun arkasına götürülür, bu işlem noktalı
işaretli olarak gösterilmiştir. Bu halde (1) işaret alma noktası kalkar. (1) noktası (1ı) noktasına
kaydır ılınca G2G3 – H3 kapalı çevrimi basit bir geri besleme oluşturulur. Bu halde Şekil 18
blok diyagramının içinde iki adet geri besleme kapalı çevrimi vardır. Bunlardan (i) ile
belirlenen kapalı çevrimi yerine eş değer transfer fonksiyonu
dır. Bu transfer fonksiyonu G1 bloku ile birleştirilirse Şekil 20’deki blok diyagramı elde edilir.
(H1/G3) blokunun G3 transfer fonksiyonu Şekil 21’de görülen eş değer blok yardımı ile geri
(1.15).....HHGG1
)GG (GGG1 (
HGG1
)GG (GGG
R(s)
C(s)2
132
54321
132
54321 )+
++
=
3
2
332
32
332
32
GH
HGG1
GG1
HGG1
GG
.+
+
+
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 15/48
15
besleme yolu üzerinden kaldır ılabilir. Böylece geri besleme yolu üzerinde sadece H1 bloku
kalır.
Ş ekil 19 – Örnek 1.5.2’ye ili şkin blok diyagramının indirgenmesi
Ş ekil 20 – Ş ekil 19’un daha da sadele ştirilmesi
Ş ekil 21 – Örnek 1.5.2’nin en basit blok diyagramı
Sistemin toplam transfer fonksiyonu
ya da
Örnek 1.5.3. Şekil 22’de verilen R, U1, U2, U3 gibi dört girişi olan ve C gibi bir çık ışı olan
s domeni blok diyagramının toplam çık ışını bulunuz. Sistem lineer olarak alınacaktır.
3
1
33222
21
33222
21
G
HHGGHG1
GG1
HGGHG1
GG
R
C
.++
+
++=
(1.16).....HGGHGGHG1
GGG
R
C
12133222
321
+++=
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 16/48
16
Ş ekil 22 – Örnek 1.5.3’e ili şkin blok diyagramı. Blok diyagramında U 1 , U 2 , U 3 ve R giri ş , C çık ı şt ır .
Çözüm: Sistem lineer olduğundan 3.12’a daki bağıntı yardımı ile U1, U2, U3 sıf ır iken R
girişine ilişkin CR çık ışı ve benzer biçimde diğer çık ışlar
olarak bulunur. Bu ifadeleri süperpozisyon ilkesine göre üst üste bindirerek, toplam çık ış
olarak elde edilir.
Şekil 22’de U1, U2, U3 girişlerini G1 blokunun önüne getirme olanağı vardır. U1 girişini
G1’in önüne alınca U1, G1 ile bölünür. U2 girişini G1 ve G2 gibi iki blok atlayarak G1’in önüne
getirince U2’yi G1 , G2 ile bölmek ve U3’ü ise G3 , G2, G1 bloklar ını atlayarak G1’in önüne
alırsak G1 , G2 , G3 ile bölmek lazımdır. Bu halde Şekil 22’deki blok diyagramı
Şekil 23’de gösterilen blok diyagramı biçimine girer. Bu blok diyagramında giriş
büyüklüğü 1 toplama noktasına dört tanedir.
0U,U,R : U.HGGG1
1 C
0U, R ,U: U.HGGG1
G C
).....(1.17
0 R ,U,U: U.HGGG1
GG C
0U,U,U: R .HGGG1
GGG C
213
1321
U3
132
1321
3U2
321
1321
32U1
321
1321
321R
=+
=
=+
=
=+
=
=+
=
3
1321
2
1321
31
1321
32
1321
321
U3U2U1R
U.HGGG1
1 U.
HGGG1
G U.
HGGG1
GG R .
HGGG1
GGG
(1.18)..... CCCCC
++
++
++
+=
+++=
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 17/48
17
Ş ekil 23 - U 1 , U 2 , U 3 giri şlerinin Ş ekil 22’deki blok diyagramında G1 blokunun önündekitoplama noktasına al ınması
(1.19) ile verilen giriş ifadesi sistemi R ile C giriş çı
k ı
ş büyüklükleri arası
ndaki transfer fonksiyonu ile çarpıldığında R U1, U2, U3 girişlerine ilişkin toplam çık ış büyüklüğü elde
edilmiş olunur: (G1, G2, G3 ) / ( 1+ G1, G2, G3 H1 ) toplam transfer fonksiyonu olduğundan
bağıntısı bulunur. Bu bağıntı, başka bir yoldan elde edilen ve (1.18) ile verilen toplam çık ış
büyüklüğü ile aynıdır.
Örnek 1.5.4. Şekil 24’te verilen blok diyagramını R girişi ve C çık ışı arasında yalnız bir
blok biçiminde gösteriniz.
Ş ekil 24 – Örnek 1.5.4 için blok diyagramı
Çözüm: Önce 2 işaret alma noktasını G3’ün arkasına (3 noktasına) götürelim. Bu koşul
altında H1 blokunun önüne 1/G3 bloku gelir. H1 ile G3 birleştirilirse (3) noktasından H1/G3
bloku 1 işaret alma noktasına gelir. (3) noktasından hem (a) ve hem de (b) toplama noktasına
H1/G3 üzerinden geri besleme olduğundan bu geri besleme iki k ısma ayr ılır. Bu düşüncelerle
elde edilen yeni blok diyagramı Şekil 25’te gösterilmiştir.
(b) toplama noktası ile (3) işaret alma noktası arasındaki geri besleme işaretleri paralel bağlı
olduğundan, bu iki nokta arasında G2, G3 ileri yol transfer fonksiyonu ve (H1/G3 + H2) geri
yol transfer fonksiyonu olan bir basit kapalı çevrim vardır; bu çevrimin toplam
(1.19).....GGG
U
GG
U
G
U R Giriş
321
3
21
2
1
1 +++=
(1.20).....GGG
U
GG
U
G
U R (
HGGG1
GGG C(s)
321
3
21
2
1
1
1321
321 )++++
=
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 18/48
18
Ş ekil 25 – Örnek 1.5.4’e ili şkin diyagramın indirgenmesi
transfer fonksiyonu
olur. Buradan (3) ile (b) arasındaki bu transfer fonksiyonunu kullanarak Şekil 26 elde edilir.
(3) ve (a) arasındaki basit geri besleme bloku, geri beslemenin pozitif olduğuna dikkat ederek,
Ş ekil 26 – Blok diyagramının indirgenmesi
transfer fonksiyonu ile gösterilebilir. O halde basitleştirilmiş blok diyagramı Şekil 27’de
gösterilmiştir. Bu blok diyagramından
Ş ekil 27 – Örnek 1.5.4’e ili şkin basit blok diyagramı
)3
1232
32
G
H(HGG1
GG
++
12123212
321
3
1
23212
321
23212
321
HGGHGGHG1
GGG
G
H
HGGHG1
GGGHGGHG1
GGG
−++=
+++
++
.1
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 19/48
19
elde edilir. (1.20) G(s) ile gösterilirse
Ş ekil 28 – Örnek 1.5.4’e ili şkin toplam transfer fonksiyonunu gösteren blok
Örnek 1.5.4. a) Aşağıda verilen lineer bir kontrol sisteminin blok diyagramını R(s) ile
C(s) arasında bir bloktan oluşacak biçimde indirgeyiniz.
Ş ekil 28 a - Örnek 1.5.4.a’ya ili şkin şekil.
Çözüm: (2) toplama noktasından G4’ü (1) toplama noktasına alırsak G4’ün ilettiği işaretin
aynı kalması için bu blokun transfer fonksiyonu G4/G2 olmalıdır. Bu halde G1(s) ve
G4(s)/G2(s) paralel blok olur. Şekil 28 b’de yeni blok diyagramı çizilmiştir.
Ş ekil 28 b, c ,d – Örnek 1.5.4.a’ya ili şkin blok diyagramının indirgenmesi
Örnek 1.5.5. İki giriş ve iki çık ışı bulunan bir kontrol sisteminin s domeninde denklemleri
C1(s) = R 1(s) G1(s) - G1(s) G3(s) C2(s)
C2(s) = R 2(s) G4(s) - G2(s) G4(s) C1(s) ..... (1.21)
(1.20).....HGGHGHGG1
HGGGHGGHGGGGGGG
R
CG(s)
GHGGHGHGG1
GGG
R
C
23212121
243214214214321
4
23212121
321
++−
++−+==
+++−
=
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 20/48
20
olarak veriliyor. (1.21) denklemlerine ilişkin blok diyagramını çiziniz.C1(s), C2(s)’i R ve G ler
türünden bulunuz.
Ş ekil 29 – Örnek 1.5.5’e ili şkin blok diyagramı
Çözüm: Blok diyagramını kullanmadan (1.21) denklemlerinden
C1=f 1(R 1, R 2, G1, G2, G3, G4 )
C2=f 2(R 1, R 2, G1, G2, G3, G4 ) olarak bulunabilir. Bu yol izlenerek bulunacak çözümün
belirlenmesi kişinin kendisine bırak ılmıştır. Örnekte verilen (1.21) denklemlerine ilişkin
denklemler Şekil 29’da gösterilmiştir. Sistem lineer olduğundan R 1 giriş ve C1 çık ışından
başka bütün giriş ve çık ışlar ı sıf ır alalım: R 2 = 0 , C2 = 0 için C1R1 Şekil 30’daki blok
diyagramından bulunur.
Ş ekil 30 a – Ş ekil 29 blok diyagramında R2 = 0 , C 2 = 0 için çık ı şın belirlenmesib- (a) şıkk ındaki blok diyagramının sade biçimi
elde edilir.
C2 = 0, R 1 = 0 için C1R2 Şekil 31’deki diyagramdan
Ş ekil 31 – C 2 = 0 , R1 = 0 için Ş ekil 29 blok diyagramı
(1.22).....R GGGG1
G C 1
4321
11R1
−=
(1.23).....R GGGG1
GGG C 2
4321
4311R2
−=
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 21/48
21
elde edilir. (1.23) ve (1.22)’nin toplanması ile C1 birinci çık ışı için
elde edilir.
Benzer yoldan giderek C2 bulunur. Ancak simetriden dolayı
C1 C2 , R 1 R 2 , G1 G4, G3 G2 konarak aynı sonuç elde edilebilir:
Örnek 1.5.6. İki giriş ve iki çık ışlı bir sistemin matrisler denklemi aşağıda (1.25) ifadesi
ile verilmiştir. Bu ifadeye ilişkin blok diyagramını çiziniz. Denklemlerden görüldüğü gibi C1
ve C2 çık ışlar ı hem R 1 hem de R 2 girişine bağlıdır. Klasik kontrol teorisinde, bir giriş ve bir
çık ışlı sistemlerin incelenmesinde alışılmış yöntemler vardır. Bu nedenle ele almış olduğumuz
bu örnekte C1 çık ışının yalnız R 1’e ve C2 çık ışının da yalnız R 2 ‘ye bağlı olması amacı ile C2
çık ışından (1) toplama noktasına h12 üzerinden ve C1 çık ışından da ikinci toplama noktasına
h21 üzerinden geri besleme yapılarak h12(s) ve h21(s) o biçimde belirlenir ki C1 yalnız R 1
girişine ve C2 de yalnız R 2 girişine bağlı olsun. Bu koşulu sağlayacak h12(s) ve h21(s)’i
bulunuz.
Çözüm: 1.25 bağıntılar ı yardımı ile Şekil 32’de gösterilmiştir. Noktalı çizgilerle gösterilen
sistemin yeni denklemleri
Ş ekil 32 – Örnek 1.5.6’ya ili şkin blok diyagramı. Noktal ı çizgiler C 1 ile C 2 arasındaki
ba ğ l ıl ı ğ ı kald ırmak içi sonradan ilave edilmi ştir.
(1.24).....R GGGG1
GGG R
GGGG1
G CCC 2
4321
4311
4321
11R21R11
−−=+= -
(1.24).....R GGGG1
GGG R
GGGG1
G CCC 1
4321
4212
4321
42R12R22
−−=+= -
(1.25)..... R gR gCR gR gC daya
R R
gg
gg
CC
2221212
2121111
2
1
22
12
21
11
2
1
+=+=
=
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 22/48
22
C1 = G11 ( R 1 + h12 C2 ) + g12 ( R 2 + h21 C1 )
C2 = G21 ( R 1 + h12 C2 ) + g22 ( R 2 + h21 C1 ) ..... (1.26)
olur. (1.26) denklemlerinde sol tarafa C1 ve C2'leri oluşturan terimleri alalım ve sağ tarafta da
R 1 ve R 2'leri bırakarak
C1 (1-g12 h21) - g11 h12 C2 = g11 R 1 + g12 + R 2 ..... (1.27)
-g22 h21 C1 + (1-g21 h12 ) C2 = g21 R 1 + g22 R 2
biçiminde yazalım. Buradan C1 ve C2 çözülürse
olur. (1.28) ifadelerinden
bulunur. C1’in yalnız R 1’e, C2’nin yalnız R 2’ye bağlı olması için, C1’de R 2’li terimlerin, C2’de
ise R 1’li terimlerin sıf ır olması gerekir.
R 2 ( g12 – g12 g21 h12 + g11 g22 h12 ) = 0
R 1 ( g21 – g12 g21 h21 + g22 g11 h21 ) = 0 ..... (1.30)
Buradan geri besleme elemanlar ı h12, h21 için
bulunur. O halde
1221
1211
2122
2121
222121
212111
1211
1221
2
1221
1211
222121
212111
1
hg
hg
hg
hg
).....(1.28 R gR gR gR g
hghg
C
hg
hg
R gR g
R gR g
C
−
−
−
−=∆
∆
++
−−
=
∆
−
−
+
+
=
1
1
1
1
(1.29).....R hggR hgghR ggR hggR gR g
C
R hggR hgghR gghgR gR gR gC
22122121211122212221212121122221212
21222111122111122211212211112121111
∆
++−−+=
∆
++−−+=
(1.31).....gggg
g-h
gggg
gh
21122211
2121
21122211
1212
−=
−=
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 23/48
23
elde edilir. g11 = k 11 g11 ′ ve g22 = k 22 g22
′ olarak yazılırsa, C1 ve C2 , k 11 ve k 22 ‘nin
değiştirilmesi ile saptanabilir.
1.7. İşaret Ak ış Diyagramları
Değişkenlerin, örneğin ( xi , x j ) küçük noktalarla gösterildiğini ve bunlara düğüm
dendiğini, bir düğümden diğer düğüme iletilen işaretin iletim fonksiyonunun ai j ile işaretlenen
ve yönü okla belirtilen bir dal ile gösterildiğini açıklamıştık. Şimdi bu özellikleri k ısaca
sıralayalım:
1. Düğümler değişkenleri göstermek için kullanılır.
2. Bu diyagramlar hem t ve hem de s domeninde verilebilir.
3. İşaretler dallarda, dalın okunun yönünde akabilir.
4. Xi düğümünden x j düğümüne yönelmiş bir dal, işaretin xi’den x j’ye aktığını belirtir. İşaret
x j’den xi’ye akamaz.
5. Xi düğümünden x j düğümüne okla yönelmiş bir dalın iletim fonksiyonu (dal transmitansı)
a ji ise x j=a ji xi dir. Eğer x j düğüm ya da işaretinden xi düğümüne aij iletim fonksiyonu
üzerinden ak ış olursa xi = aij x j yazılır.
Ş ekil 32 – İşaret ak ı ş diyagramında dü ğ üm, dal, iletim fonksiyonu
6. Giriş düğümü, yalnız çık ış dallar ı bulunan ve hiçbir giriş dalı bulunmayan düğümdür. Budüğüme bazen kaynak düğümü de denir.
7. Çık ış düğümü, bütün dallar ı giriş dalı olan ve hiçbir çık ış dalı olmayan düğümdür. Bu
düğüme son düğüm de denir.
8. Bir düğümden iki kez geçmeksizin arka arkaya sıralanmış sürekli ve bir yönlü dal ya da
dallardan oluşan çizgiye yol denir.
9. Giriş düğümünden çık ış düğümüne giden yola ileri yol denir.
10. Geri besleme yolu ya da geri besleme çevrimi, ayn
ı
bir düğümde başlayan ve biten yoladenir.
(1.33).....R hgghggg
C
(1.32)..... R hgghggg
C
221221221221222
2
112211112211111
1
∆
+−=
∆
+−=
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 24/48
24
11. Yalnız bir daldan oluşan ve aynı düğümden çıkan ve aynı düğüme sonuçlanan yola öz
çevre denir.
12. Bir düğüm değişkeninin değeri, bu düğüme gelen bütün işaretlerin toplamıdır.
13. Bir düğümden çıkan dallar ın taşıdığı işaretler o düğüm değişkeni ile dal transmitans ya da
iletim fonksiyonlar ının çarpımıdır.
14. Ardışık bağlı dallar ya da bir yolun toplam iletim fonksiyonu, dallar ın iletim fonksiyonlar ı
çarpımına eşittir.
Şimdi bu tanımlar ı açıklamak amacı ile bir örnek verelim.
Örnek 1.7.1. Aşağıda verilen denklemlere ilişkin işaret ak ış diyagramını çiziniz ve
yukar ıda tanımlanan ak ış diyagramı elemanlar ını bu şekil üzerinde gösteriniz.
x2 = a21 x2 + a23 x3
x3 = a33 x3 + a32 x2 a34 x4 ..... (1.34)
x4 = a43 x3 + a42 x2
x5 = a54 x4
Çözüm: Denklemlerden x1, x2, x3, x4, x5 gibi beş değişken olduğu anlaşılır. Bu değişkenler
aynı adlı düğümlerle gösterilir. Sonra (1.34) uyar ınca dallar oluşturularak işaret ak ış
diyagramı çizilir. Şekil 33’de elde edilen işaret ak ış diyagramı gösterilmiştir. Diyagramın elde
edilişinde önce birinci denklem, sonra ikinci denklem ve en sonda da üçüncü denklemdiyagramlar ı çizilir ve tam işaret ak ışı diyagramı elde edilir.
Ş ekil 33 – Örnek 1.7.1’in (1.34) denklemlerine ili şkin i şaret ak ı ş diyagramı
çizgisi x2 = a21 x1 + a23 x3 denklemini gösterir.
çizgisi x3 = a33 x3 + a32 x2 + a34 x4 denklemini gösterir.
çizgisi x4 = a43 x3 + a42 x2 denklemini gösterir.
çizgisi x5 = a54 x4 denklemini gösterir.
x1 : Giriş düğümü ya da kaynak
x5 : Çı
k ı
ş düğümü ya da son düğüm
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 25/48
25
Yol : a21, a32, a43, a54 dallar ından her biri, ardışık birkaçı ya da tümü. Benzer biçimde a21, a42,
a42, a54, a34, a23 ...
İleri yol : ( a21, a32, a43, a54 ) giriş ve çık ış düğümü arasındaki yol.
( a21, a42, a54 ) giriş ve çık ış düğümü arasındaki yol
Geri besleme yolu : Düğümler ( x2-x3-x2 ) dallar ı ( a32, a33 )
Düğümler ( x3-x4-x3 ) dallar ı ( a43, a34 )
Öz çevre : x3-x3 düğümlerinde a33 dal iletim fonksiyonu olan çevredir.
x1, x2, x3, x4, x5 düğümlerinden geçen yol bir ileri yoldur. Bu yolun toplam iletim
fonksiyonu a21, a32, a43, a54 dür. x2-x3-x2 düğümlerinden geçen geri besleme çevrimi ya da
yolunun toplam iletim fonksiyonu a32 a23 ‘tür.
Örnek 1.7.2. Şekil 34’te gösterilen ak ış diyagramının denklemlerini yazınız.
Ş ekil 34 a - Örnek 1.7.2’ye ili şkin i şaret ak ı ş diyagramı
Çözüm: a) x1 = a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 ( x1 düğümüne gelen işaretlerin toplamı )
x7 = a71 x1 ( x1 düğümünden çıkan x7’ye gelen işaret )
x6 = a61 x1 + a65 x5
x2 = a26 x6
x5 = a51 x1
b) x2 = a21 x1 x3 = a31 x1 ..... xn = an1 x1
c) x1 = a12 x2 + a13 x3 + ..... + a1n-1 xn-1 + a1n xn
Örnek 1.7. 3. Şekil 35’de gösterilen paralel dallar ı bir dala indirgeyiniz.
Ş ekil 35 – Örnek 1.7.3’e ili şkin şekil
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 26/48
26
Çözüm: x2 ve x3 düğümleri arasında paralel bağlı olan ve aynı yönlü olan a32 , b32 ve c32
toplanır.
Örnek 1.7. 4. x1 ile x5 düğümleri arasında aynı yönlü dallardan oluşan yolun toplam iletim
fonksiyonunu bulunuz.
Ş ekil 36 – Ard ı şık ba ğ l ı ve aynı yönlü dallar ın e ş de ğ erine ili şkin örnek
Çözüm: x2 = a21 x1 x3 = a32 x2 x4 = a43 x3 x5 = a54 x4 olduğundan x5 = ( a22 a32 a43 a54 )
x1 olur.
1.8. Ak ış Diyagramlarının İndirgenmesiKarmaşık blok diyagramlar ında olduğu gibi işaret ak ış diyagramlar ı da indirgenebilir.
Burada basit bir iki kural vermede yarar vardır. Ancak, bugün ak ış diyagramlar ının
indirgenmesinden daha çok Mason formülü ile toplam ya da k ısmi iletim fonksiyonlar ı
belirlenmektedir.
1.8.1. Bir Düğümün Kaldırılması
Şekil 37’deki diyagramı göz önüne alalım x3 düğümünü kaldıralım.
Ş ekil 37 – x3 dü ğ ümünün kald ır ılması.
1.8.2. Bir Dalı Bir Düğüm Arkaya Kaydırmak
Şekil 38’de bir işaret ak ı
ş diyagramı
verilmiştir. Bu diyagramda x6 düğümü ile x2 düğümüarasındaki a26 iletim fonksiyonu olan dalı x3 düğümüne kaydıralım. Burada şuna dikkat
edelim ki a26, x6 düğümünden x2 düğümüne yöneliktir.
Ş ekil 38 – a26 dal ının x2 dü ğ ümünden x3 dü ğ ümüne kayd ır ılması. a26 ’nın sonuçland ı ğ ı dü ğ ümden x3’e kayd ır ıl ı yor.
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 27/48
27
Şekilde x6 değişkeninin diğer değişkenlere olan etkileri noktalı çizgilerle gösterilmiştir.
Buradan x6’dan x2’ye diğer düğümlere giden işaretleri şu biçimde yazabiliriz:
x2, 6 = a26 x6
x5, 6 = a52 x2,6 = a52 a26 x6
x3,6 = a32 x2,6 = a3,2 a26 x6
x4,6 = ( a26 x6 ) a42
x4,6 = ( a26 a24 ) x4 ..... (1.35)
Ş ekil 39 – a26 ’nın x3’e kayd ır ılması
Bağıntılar ının bulunduğu görülür. O halde a26 dalını x2 düğümünden x3 düğümüne kaydır ırken
noktalı çizgi ile gösterilen ve (1.35) bağıntısı ile verilen eşitliklerin de korunması gerekir. Bu
koşullar ın sağlanması ile Şekil 39’daki diyagram elde edilir. burada şunu açıklayalım ki,
diyagram üzerindeki indirgemeler ilgili denklemler üzerindeki işlemler sonucunda da elde
edilir.
1.8.3. Bir Dalın Başlangıç Noktasını Başka Bir Düğüme Kaydırmak
Şekil 40’daki işaret ak ış diyagramını göz önüne alalım
Ş ekil 40 – x2 dü ğ ümünde ba şlayan ve x5 dü ğ ümünde sonuçlanana52 dal ının x1 dü ğ ümüne al ınması.
Şekil 40’da gösterilen noktalı çizgili yollara ilişkin bağıntılar ı düşünelim. Çünkü, a52 dalı
x1 düğümüne taşınınca, bu bağıntılar ın korunması gerekir.
x51 = a21 a52 x1 x5 değişkenine 1’in gönderdiği işaret
x55 = a25 a52 x5 x5 değişkenine 5’in gönderdiği işaret
x53 = a32 a52 x3 x5 değişkenine 3’ün gönderdiği işaret
x45 = a24 a52 x4 x5 değişkenine 4’ün gönderdiği işaret ..... (1.36)
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 28/48
28
(1.36) bağıntılar ını koruyarak x5 düğümüne x2 düğümünden gelen a52 dalını x1 düğümüne
taşırsak Şekil 41’deki diyagram elde edilir.
Ş ekil 41 – Bir dal ın, Ş ekil 40’daki a52 dal ının, x1 dü ğ ümüne ta şınması
1.9. Geri Beslemeli Kontrol Sistemlerinin İşaret Ak ış Diyagramı
1.9.1. Bir Giriş ve Bir Çık ışlı Sistemlerin İşaret Ak ış Diyagramı
Bir giriş ve bir çık ışlı kontrol sistemlerinin en basit halde blok diyagramı ve bu diyagrama
ilişkin denklemler Şekil 8 ve (1.4) bağıntısı ile verilmişti. Bu bağıntıya ilişkin işaret ak ış
diyagramı Şekil 42’de verilmiştir. (1.4) bağıntısını tekrar yazalım.
içler, dışlar çarpımı yaptığımızda
C = RG1G2 - G1G2HC .......... (1.37)
elde edilir. (1.6)’nın işaret ak ış diyagramı ise Şekil 42’de gösterildiği gibidir. Eğer x3 düğümü
ile x2 düğümü arasındaki dalın ucu x3 düğümüne kaydırmak istersek;
Ş ekil 42 – Bir giri ş ve bir çık ı şl ı geri beslemeli sistemin i şaret ak ı ş diyagramı
x2,3 = - H(S)x3
x3,2 = G1(S) G2(S) x2,3 = G1(S) G2(S) [- H(S)] x3
bağıntılar ını korumak ve bir öz çevre oluşturmak gerekeceğinden Şekil 42, Şekil 43’de
gösterilen biçimi alır.
Eğer - H(S) dalı x4 düğümü etraf ında bir öz çevre oluşturacak biçimde kaldır ılırsa, Şekil42’de H(S) dalının kaldır ılması ile
HGG1
GG
R
C
21
21
+=
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 29/48
29
Ş ekil 43 – Bir giri ş ve bir çık ı şl ı geri beslemeli sistemi en basit ak ı ş diyagramının ba şka bir şekli. Diyagramda yalnı z giri ş ve çık ı ş gösterilmi ştir.
X4,4 = [ G2 (-H) G1] x4
bağıntısının korunması gerektir. Bu koşul ile, eşdeğer ak ış diyagramı Şekil 44’de gösterildiği
biçimde elde edilir.
Ş ekil 44 – En basit, bir giri ş ve bir çık ı şl ı sistemin e şde ğ er i şaret ak ı ş diyagramının ba şka bir biçimi. Diyagramda x4 dü ğ ümü de gösterilmi ştir.
Bütün eşdeğer işaret ak ış diyagramlar ında C(s)/R(s) toplam transfer fonksiyonu aynıdır.
Nihayet Şekil 42’deki işaret ak ış diyagramının bir kez de x2 düğümü etraf ında bir öz çevre
oluşacak biçimde bir eşdeğer diyagramını çizebiliriz. Bu diyagram Şekil 45 a’dagösterilmiştir.
Ş ekil 45 a – İşaret ak ı ş diyagramının ba şka bir e şde ğ eri. Diyagramda giri ş , çık ı ş dü ğ ümünden ba şka E(s) dü ğ ümü de gösterilmi ştir.
Geri beslemeli kontrol sistemlerinin durum uzayında matematik modelin,
x = A . x + B . u s . X(s) = A . X(s) + B . U(s)
y = C . x + D . u Y(s) = C . X(s) + D . U(s)
biçiminde yazıldığını biliyoruz. Bu modeli işaret ak ış diyagramı ile göstermek olanağı vardır.
Bu Şekil 45’de gösterilmiştir.
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 30/48
30
Ş ekil 45 - Geri Beslemeli Kontrol Sistemlerinin Durum Uzayı Matematik Modelinin
a - s domeninde i şaret ak ı ş diyagramı b - t domeninde i şaret ak ı ş diyagramı
1.9.2. Çok Giriş ve Çok Çık ışlı Sistemlerin İşaret Ak ış Diyagramı
Çok giriş ve çok çık ışlı bir kontrol sisteminin matris bağıntılar ı ile verilmiş denklemleri
E(S) = Im R(S) – H(S) Y(S)
U(S) = G1(S) E(S)
Y(S) = G2(S) U(S) Y(S) = C(S) = Çık ışın Laplace’ı olarak yazılabilir. Burada;
R(S) : Giriş’in Laplace Dönüşümü : (mx j) boyutunda (Referansın dönüşüm matrisi)
Im : mxm boyutunda birim matris
E(S) : (mx j) boyutunda hata (yapma) ya da kontrol işareti. Dönüşüm matrisi
U(S) : Etkiyen işaret matrisi Laplace dönüşümü r x1 boyutunda
G1(S) : (r xm) boyutunda kontrol organı transfer fonksiyonu matrisi
G2(S) : Kontrol edilen düzenin transfer fonksiyonu matrisi (mxr) boyutunda
H(S) : mxm boyutunda transfer fonksiyonu matrisi
Y(S) : r x1 boyutunda çık ışlar ın Laplace dönüşümü matrisidir.
(1.37) bağıntılar ı yardımı ile çok giriş ve çok çık ışlı sistemlerin s domenindeki Laplace
Dönüşümü için Şekil 46 elde edilir.
Ş ekil 46 – Çok giri ş ve çok çık ı şl ı lineer zamanla de ğ i şmeyen bir sistemin S domenindekii şaret ak ı ş diyagramı
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 31/48
31
Yukar ıda Şekil 46’da verilen işaret ak ış diyagramı değişik ve öz çevre oluşacak biçimde üç
türden gösterebiliriz. Bir giriş ve bir çık ışlı sistemlere benzer ve fakat dal iletim matris
fonksiyonlar ının boyutlar ını gözüne alarak bu gösterimler Şekil 47 a,b ve c’de gösterilmiştir.
Ş ekil 47- Toplam transfer fonksiyonu matrisi aynı kalma ko şulu alt ındaa - Sadece giri ş ve çık ı ş dü ğ ümlerine göre diyagramb - Giri ş , Ç ık ı ş ve etkiyen i şareti de içeren diyagram
c - Giri ş-Ç ık ı ş ve Hata dü ğ ümlerini de gösteren diyagram
öte yandan Rosenbrock göstermiştir ki, herhangi lineer zamanla değişmeyen çok giriş ve çok
çık ışlı bir sistemin denklemleri s domeninde;
F(s) d(s) = U(s) u(s) + n(s)
Y(s) = V(s) d(s) + W(s) u(s) .......... (1.38)
biçiminde yazılabilir. Burada, F(S), U(S), V(S) ve W(S) polinom matrisleridir. Bu biçimde S
domeninde verilen denklemleri kullanarak bir işaret ak ış diyagramı çizebiliriz. Gene bura da;
U(s) : Giriş operatör matrisidir; boyutu r xlV(s) : Çık ış operatör matrisidir; boyutu mxr
W(s) : Doğrudan doğruya iletim matrisidir; boyutu mxl
F(s) : r xr boyutunda matris
u(s) : Giriş işaret vektörünün dönüşümü; boyutu l
Y(s) : Çık ış vektörünün dönüşümü; boyutu m
d(s) : Sistemin durum değişkenleri vektörü; boyutu r
n(s) : Bozucu etki ya da gürültü vektörü; boyutu r’ dir.(1.38) denklemin birincisinin sol yanına d ekleyelim ve d çıkaralım.
d(s) – d(s) + F(s) d(s) = U(s) +n(s)
d(s) = U(s) u(s) + [ 1-F(s) ] d(s)
1 – F(s) = T(s) dersek;
d(s) = U(s) u(s) + T(s) d(s) + n(s) .......... (1.39)
elde edilir. Şimdi (1.39) denklemini ve (1.38) denklemini ve (1.38)’in de ikincisini tekrar
yazalım,
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 32/48
32
d(s) = U(s) u(s) + T(s) + n(s)
Y(s) = V(s) d(s) + W(s) u(s) .......... (1.40)
bulunur. Bu denklemlerden Şekil 48’de görülen işaret ak ış diyagramı elde edilir.
Ş ekil 48 – Çok giri ş ve çok çı
k ı
şl ı
bir sistemin (Lineer-zamanla de ğ i şmeyen) s domeninde genel i şaret ak ı ş diyagramı
1.10. İşaret Ak ış Diyagramlarının İndirgenmesi Üzerine Bir Örnek
Şekil 49’da verilen işaret diyagramı x1 ile x3 düğümleri arasında basit bir dal transmitansı
ya da dal iletim fonksiyonu biçimine getirilecektir.
Ş ekil 49 – x1 dü ğ ümü ile x3 dü ğ ümü arasında bir dala indirgenmesi isteneni şaret ak ı ş diyagramı
Çözüm: Önce a22 öz çevresini kaldırmaya çalışalım, x2 düğümüne ilişkin denklemi
yazalım:
olur. O halde, a22 öz çevresi kaldır ılırsa (1.41) bağıntısının korunması gerektir.
Şekil 50’de a22 öz çevriminin kalkması ile elde edilen diyagram gösterilmiştir. Şekilde
noktalı çizgilerin oluşturduğu yollar ın iletim fonksiyonlar ı
(1.41)..... xa
a x
a
a x
xaxaxax
4
22
241
22
212
2224241212
−+
−=
++=
11
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 33/48
33
Ş ekil 50 – Örnek 1.10.1’e ili şkin diyagramın indirgenmesi
dir. Bu iletim fonksiyonlar ını da göz önüne alarak Şekil 51 elde edilir. x1 ile x3 düğümleri
arasındaki toplam iletim fonksiyonu:
olur.
1.11 Genel İletim Fonksiyonunun Belirlenmesi ( Mason Formülü )
Bilgi-işlerin kontrol sistemlerinde giderek yaygın bir biçimde kullanılması,ü işaret ak ış
diyagramlar ının incelenmesinin de bilgi işler’e uygun bir yol izlenerek yapılmasını zorunlu
hale getirmiştir. İşaret ak ış diyagramlar ının indirgenmesi üzerine daha ayr ıntılı kurallar ve
değişik türden örnekler verme olanağı vardır. Ancak, amaç belli iki düğüm arasındaki iletim
fonksiyonunun bulunması olduğuna göre, bu bağıntıyı verecek genel bir formülü vermek ve
gerektiğinde bu formülü bilgisayarda kullanarak iletim fonksiyonunun parametrelerini sayısalolarak saptamak daha uygun olur. Bu formül Mason taraf ından gerçekleştirilmiştir. Mason
formülünü burada tanıtılmasını vermeden açıklamaya çalışacağım. Bu formül , c(s) çık ış
büyüklüğünün, R(s) giriş büyüklüğünün Laplace dönüşümünü gösterdiğine göre
olarak verilir. Burada;
T(s) : Sistemin girişi R(s) ile çık ışı C(s) arasındaki toplam transfer fonksiyonudur.C(s) : Çık ış düğümü değişkeninin Laplace dönüşümü
3432
22
24
3132
22
21
41
22
4221
xxaa
a
xxaa
a
xxa
aa
=−
=−
=−
1
1
1
(1.42)..... aa
a a()
a
aa a(
a1
aa aAAAA 32
22
2434
22
422141
22
422131344131 )
11 −+
−++
−+=+=
(1.43)..... P
R(s)
C(s) T(s)
N
1k
k k ∑= ∆
∆==
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 34/48
34
R(s) : Giriş düğümü değişkeninin Laplace dönüşümü
N : Toplam ileri yol sayısı
Pk : Giriş ile Çık ış arasındaki var olan ileri yollardan k. sının iletim fonksiyonu
1-(Bütün farklı kaplı çevrimlerin iletim fonksiyonlar ının toplamı) + (Birbirine dokunmayan kapalı çevrimleriniletim fonksiyonlar ının ikişer ikişer çarpımının toplamı) – (Birbirine dokunmayan kapalı çevrimlerin üçer üçer çarpımının toplamı) + .....
NOT: Birbirine dokunmayan kapalı çevrimler ortak düğümleri olmayan kapalı çevrelerdir.
∆ k : k. ileri yolun kaldır ılması ile elde edilen diyagramın ∆ sı ya da Pk ’nın kofaktörü.
Mason toplam iletim fonksiyonunu iyi anlamak bak ımından birkaç örnek verelim.Örnek 1.11.1. Şekil 52’de gösterilen işaret ak ış diyagramında Mason formülü kullanarak
giriş ile çık ış arasındaki toplam iletim fonksiyonunu bulunuz.
Ş ekil 52 – Örnek 1.11.1’e ili şkin ve C(s) ile R(s) arasındaki toplam iletim fonksiyonunubulacak i şaret ak ı ş diyagramı
Çözüm: R(s) girişini C(s) çık ışına bağlayan iki ileri yol vardır. O halde N=2’dir. Bu yollar
1. yol P1 = G1 G2 G3 G4
2. yol P2 = G5 G6 G7 G8
dir. Buna kar şılık dört adet farklı kapalı çevrim vardır. Bu kapalı çevrimlerin iletim
fonksiyonlar ı;
L1 =G2 H2 L2 =G3 H3 L3 =G6 H6 L4 =G7 H7
dir. Bunlardan G2 H2 kapalı çevrimi G6 H6 ve G7 H7’ye, aynı düşünce ile G3 H3 kapalı çevrimi
de G6 H6 ve G7 H7’ye dokunmadığından, ∆’ye belirlemek amacı ile
a) Bütün farklı kapalı çevrimlerin iletim fonksiyonlar ı: G2 H2 + G3 H3 + G6 H6 + G7 H7
∑∑∑ ++=∆=
== .....LLL-LLL-1 ts p
MQ
1q
1mqm
K
1nn
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 35/48
35
b) Birbirine dokunmayan kapalı çevrimlerin iletim fonksiyonlar ının ikişer ikişer çarpımlar ı
toplamı: G2 H2 G6 H6 + G2 H2 G7 H7 + G3 H3 G6 H6 + G3 H3 G7 H7
c) Birbirine dokunmayan üçlü kapalı çevrim olmadığından 3 ve bundan sonraki toplamlar
yapılmayacaktır.
d) G1 G2 G3 G4 ileri yolunu kaldırdığımızda, sadece iki kapalı çevrim kalır;
G6 H6 , G7 H7 o halde ∆1 = 1 – ( G6 H6 + G7 H7 ); P1 = G1 G2 G3 G4
e) G5 G6 G7 G8 ileri yolunu kaldırdığımızda iki kapalı çevrim kalır.
G2 H2 , G3 H3 o halde ∆2 = 1 – ( G2 H2 + G3 H3 ); P2 = G5 G6 G7 G8
f) a, b, c bağıntılar ından ∆ için
∆ = 1 – ( G2 H2 + G3 H3 + G6 H6 + G7 H7 ) + ( G2 H2 G6 H6 + G2 H2 G7 H7 + G3 H3 G6 H6 +
G3 H3 G7 H7 )
bulunur. O halde Mason formülü, toplam transfer fonksiyonu için;
bağıntısını verir.
∆ = 1 – ( - G2 H2 - G4 H4 - G1 G2 G3 G4 H5 - G1 G2 H3 G4 H5 – H6 H5 ) + (G2 H2 G4 H4 + G2
H2 H6 H5 ) dir.
Örnek 1.11.2. Şekil 53’de verilen işaret ak ış diyagramının giriş çık ış arasındaki toplam
transfer fonksiyonunu bulunuz.
Ş ekil 53 – Örnek 1.11.2’ye ili şkin i şaret ak ı ş diyagramı
Çözüm:
a) Önce ileri yollar ı saptayalım: Üç yol vardır,
1 – H6 – 1 = H6 iletim fonksiyonu
1 – G1 G2 G3 G4 – 1 = G1 G2 G3 G4 iletim fonksiyonu
1 – G1 G2 H3 G4 – 1 = G1 G2 H3 G4
b) Şimdi ∆ ‘yı
belirleyelim;
(1.44)..... ∆
HGHG(-1[GGGG
∆
HGHG(-1[GGGG
∆
∆P∆P
R(s)
C(s) T(s)
3322876577664321
2211
)])] ++
+=
+==
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 36/48
36
∆ = 1-(Bütün farklı kaplı çevrimlerin iletim fonksiyonlar ının toplamı) + (Birbirine değmeyen kapalı çevrimleriniletim fonksiyonlar ının ikişer ikişer çarpımının toplamı ) – (Birbirine dokunmayan kapalı çevrimlerin üçer üçer çarpımının toplamı) + .....
Kapalı Çevreler ( iletim fonksiyonlar ı ) : - G2 H2 , - G4 H4 , - G1 G2 G3 G4 (-H5)
G1 G2 H3 G4 (-H5) , H6 (-H5 )
Birbirine dokunmayan çevrelerin ikişer ikişer iletim fonksiyonlar ının çarpımı:
- ( G2 H2 ) ( - G4 H4 ) , ( G2 H2 ) ( -H6 H5 )
Birbirine dokunmayan üç kapalı çevrim olmadığından ∆’nın hesabı, bu terimlerle
yapılabilir:
c) Şekil 53’deki diyagramda üç ileri yol olduğundan bunlardan 1-H6 = 1 yolu kaldır ılırsa elde
edilen graf ın
∆ 1 = 1 – ( - G2 H2 - G4 H4 - G1 G2 G3 G4 H5 - G1 G2 H3 G4 H5 ) + (G2 H2 G4 H4 )
P1 = - H5
G1 G2 G3 G4 ileri yolu kaldır ılırsa, geri kalan devrede sadece bir kapalı çevrim kalır. O da
(-H6) (-H5) dir.
O halde;
P2 = G1 G2 G3 G4 ∆ 2 = 1 – (H5 H6)
elde edilir. Buradan toplam iletim fonksiyonu
İşaret ak ı
ş diyagramı
nda her hangi iki düğüm arası
ndaki toplam iletim fonksiyonunu belirlemek için başka bir bağıntı da verilebilir. Bunun için xi giriş x j çık ış düğümleri
arasındaki toplam iletim fonksiyonu
olarak verilir. Burada ∆ orijinal sistemin determinantı, ∆′ ise xi ve x j arasında iletim
fonksiyonu bire eşit olan bir dalın eklenmesi ile elde edilen ve eleman sayısı bir arttır ılmış
yeni işaret ak ış diyagramının determinantıdır.
562244225654321543214422
6543321654321543215432144226
321
HHHGHGHGHHHGHGGHGGGGHGH(G1
HH-(1GHGGGHH-(1GGGGHGHGGHGGGGHGHG1[H-
(1.45)..... PPP
R(s)
C(s) T(s)
++++++
++++++=
∆
∆+∆+∆==
)
)])
321
(1.46)..... T ji∆
∆′−∆=
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 37/48
37
1.12. Durum Uzayı Diyagramı
1.12.1. Kaynak Ya Da Giriş Fonksiyonunun Türevinin Olmaması Hali
Lineer zamanla değişmeyen bir sistemin diferansiyel denkleminin
biçiminde olduğunu var sayalım. Bu diferansiyel denklemden bir durum modeli elde etmeye
çalışacak ve sonra bu modelden s domeninde bir durum diyagramı elde edilecektir.
Diferansiyel denklemde çık ış y, daha önce kullanılan C yerine ve giriş u ise r yerine
kullanılmaktadır. Şimdi;
yazalım. x 1 , x2 , x3 ..... xn ile tanımlanan yeni değişkenlere durum değişkenleri denir. Laplace
dönüşümü alınırsa, birinci ve ikinci eşitlikleri;
yazılır. (1.49) bağıntısı genelleştirilirse
elde edilir. Şimdi (1.47) bağıntısını;
olarak yazdıktan ve sağ yandaki türev terimleri yerine (1.48) eşitliğindeki tanım bağıntılar ı
kullanılırsa;
ve Laplace dönüşümünü alarak
(1.47).....uadtdya.....
dtyda
dtyda
dtyd oy12-n
2-n
2-n1-n
1-n
1-nn
n
=+++++
(1.48)..... dt
xd
dt
(yd ,xy.....xxy,xxy,xy n
1-n
n
1-n2
31
21=======
••••• )
(1.49)..... s
(0)x
s
(s)X (s)X
(s)X(0)x-(s)SX
(s)X Y(0)-SY(s) (s)YY(s)
121
211
21
+=
=
==
(1.50) ..... s
(0)x
s
(s)X (s)X
: s
(0)x
s
(s)X (s)X
1-nn1-n
232
+=
+=
(1.51).....ua-dtdy a- ..... -dt yd a-dt yd a-dtyd oy12-n
2-n
2-n1-n
1-n
1-nn
n
+=
(1.52).....uxa-xa-.....-xa-xa-dt
yd )(y
dt
d10211-n2-nn1-nn
n1-n +==
(1.53)..... xuxa-xa-.....-(s)xa-(s)x-a(s)SX n10211-n2-nn1-nn )0(++=
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 38/48
38
bulunur. Şimdi, önce (1.49) ve (1.50) eşitliklerini göstermek üzere x1(s) , x2(s) ..... xn(s)
düğümlerini alalım ve sonra bu eşitliklere göre diyagramlar ı çizelim.
Ş ekil 54 – (1.47) diferansiyel denkleminin durum diyagramı , diyagram S domenindeverilmi ştir. Diyagramda x1 , x2..... xn durum de ğ i şkenlerinin Laplace dönü şümüdür.
Diyagram (1.49) ve (1.50) eşitlikleri için çizildikten sonra (1.53) için çizilir ve Şekil54’teki diyagram elde edilir.
Şimdi Y(s) / U(s) yada C(s) / R(s) toplam transfer fonksiyonunu bulmak için (1.43) Mason
formülünü kullanalım: Bir ileri yol vardır ve iletim fonksiyonu s-n dir.
öte yandan bütün gözler birbirine dokunmaktadır. İleri yol s-n
kaldır ılınca hiçbir gözkalmamaktadır. Bu düşüncelerle Mason bağıntısı uygulanınca (1.54 a) elde edilir. (1.54 a)
başka bir biçimde
olarak yazılır.
Öte yandan, (1.52) bağı
ntı
sı
nı
tekrar göz önüne alalı
m.
olur. (1.48) denklemleri ile (1.52) denklemini bir arada düşünerek (1.47) diferansiyel
denkleminin (t) domeninde durum modeli elde edilmiş olur. Şimdi;
a)(1.54..... sasasasa
s
(s)
s
R(s)
C(s)
U(s)
Y(s) T(s)
n-0
1)(n-1
2-2-n
1-1-n
-n-n
++++++=
∆===
+.....1
(1.55)..... asasa.....sas
1 T(s)
012
21-n
1-nn +++++
=
(1.52).....uxa-xa-xa-xa-.....-xa-xa-xadt
dx )(y
dt
d102132432-n3-n1-n2-nn1-n
n1-n +==
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 39/48
39
olarak tanımlayalım. Bu tanımla, (1.53) ve (1.52) denklemleri bulunur.
(1.54) matris-denklemi, (1.47) denklemi ile verilen n inci mertebeden diferansiyel denklemindurum modelidir. A matrisinin biçimi bu halde özellik göstermektedir. Bu özel durumu
nedeni ile A matrisine companion matrisi denir
b) Kaynak fonksiyonlar ının türevlerinin bulunması hali : Şimdi giriş r(t) yerine u(t) ve çık ış
c(t) yerine de y olarak, giriş işaretinin türevlerinin de bulunduğu bir diferansiyel denklem göz
önüne alalım:
Bu denklem sisteminin çık ış büyüklüğünün n mertebeden, ve u giriş büyüklüğünün ise m
mertebeden türevi vardır. Bütün ilk koşullar ı şimdilik göz önüne almayalım: Bu varsayım ile
(1.56) denklemi;
biçiminde yazılır. Buradan;
(1.53).....
x
x
:
x
x
x
x
x
x
x
x
y
y
y
y
y
x
x
:
x
x
x
x
n
1-n
4
3
2
1-n
2n
1)-(n
2)-(n
n
1-n
3
2
1
−
∆
∆
•
•
•
•
•
••
•
−:
:
3
2
1
C
x) ... 0 0 1 (xCy
B A
(1.54).....u.
1
0:
0
0
0
x
x:
x
x
x
a-a-a-a-a
0
0
0
x
x
x
x
x
n
1-n
3
2
1
1-n2-n210n
1n
==
+
=
•
•
•
•
•
−
...
000000:::
00...00
00...10
00...01
:
3
2
1
(1.56).....u bdt
du b.....
dt
ud b
dt
ud ba
dt
dy a .....
dt
yd a
dt
yd a
dt
yd011-m
1-m
1-mm
m
moy12-n
2-n
2-n1-n
1-n
1-nn
n
++++=+++++
(1.57).....u bs bs bs(bY(s))asasasa(s 011-m
1-mm
m012-n
2-n1-n
1-nn ).......... ++++=+++++
(1.58)..... asasasas
bs bs bs b
U(s)
Y(s)
T(s) 012-n
2-n1-n
1-nn
011-m
1-mm
m
+++++
++++==
.....
.....
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 40/48
40
transfer fonksiyonu elde edilir. (1.57) denklemini aşağıdaki biçimde denklem ile
gösterebiliriz:
Y(s) = ( bm s m + bm-1 s m-1 + ..... + b1 s + b0 ) x1(s) ..... (1.59)
U(s) = ( s n + an-1 s n-1 + an-2 s n-2 + ..... + a1 s + a0 ) x1(s) ..... (1.59 a)
(1.59) ve (1.60) denkleminde;
sx1 = x2(s) x1 = x2
s2x1 = s(sx1) = x3(s) x2 = x3
s3x1 = s(s2x1) = x4(s) x3 = x4 durum (1.60) değişkenleri. .
. .
. .
snx1 = s(sn-1x1) = sxn(s) xn-1 = xn
olduğunu düşünürsek. (1.59 a ) denklemini
U(s) = sxn(s) + an-1xn(s) + an-2xn-1(s) + ..... + a1x2(s) + a0x1(s)
ya da
sxn(s) = U(s) - an-1xn(s) - an-2xn-1(s) - ..... - a1x2(s) – a0x1(s) .....(1.61) olur.
Benzer biçimde (1.59) denklemi; m = n olabileceğini düşünerek ve m = n olarak
Y(s) = sbxn(s) + bn-1xn(s) + ..... + b1x2(s) + b0x1(s) .....(1.62)
elde edilir. Şimdi, kaynaklar ın ya da giriş fonksiyonunun da türevlerinin bulunduğu n inci
mertebeden bir diferansiyel denklemin durum uzayı modelini verebiliriz. (1.61) diferansiyel
denklemi (1.59), (1.59a) eşitlikleri ve (1.60) ile tanımlanan durum değişkenlerinin
kullanılması ile (1.61) ve (1.62) gibi iki denkleme ayr ılmıştır. (1.61) ve (1.62)’ye ilişkin işaret
ak ış diyagramı Şekil 55’te gösterilmiştir.
Ş ekil 55 – Giri ş fonksiyonunun da türevleri bulunan n. mertebeden sabit katsayıl ı bir diferansiyel denklemin durum modeli diyagramı. Üst yollar (1.62) denklemine, alt geri
besleme yollar ı (1.61) denklemine ili şkin dallar ı gösterir.Transfer fonksiyonlar ında m < n oldu ğ undan genel hal olarak m = n al ınmı şt ır.
İ lk ko şullar diyagrama sonradan ilave edilmi ştir.
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 41/48
41
Şekil 55’de bütün ilk koşullar sıf ır alınarak Mason formülü ile toplam transfer fonksiyonu
y(s) / u(s) belirlenebilir; bu ifade (1.58)’de m=n yazılarak elde edilecek ifade ile aynıdır. İlk
koşullar (1.49) , (1.50) eşitlikleri ve (1.54) diyagramına benzer biçimde diyagrama
eklenmiştir.
Şimdi Şekil 55 diyagramından ve (1.60) , (1.61) eşitliklerinden durum denklemlerini
yazabiliriz. Burada şunu açıklayalım ki, işaret ak ış diyagramlar ı da indirgenebildiğine göre,
başka başka diyagramlar ın bu denklemi gösterebileceği açıkça bellidir. Durum denklemleri;
olur. (1.63) denklemleri genellikle lineer sabit katsayılı sistemin minimum gerçekleşmesi
değildir. Başka bir deyimle (A) matrisinin singüler olduğu her denklem için söylenemez.
Mason bağıntısı ile (1.58) in elde edilişi kişinin kendisine bırak ılmıştır. Şekil 55’te xn sxn
düğümü kolayca kaldır ılabilir. Böylece xn+1 durum değişkeni kaldır ılabilir.
Şimdi, belli olan diferansiyel denklemden, durum denklemlerinin elde ediliş ve durum
diyagramlar ı üzerine birkaç örnek verelim.
Örnek 1.12.1. Lineer zamanla değişmeyen bir sisteme ilişkin diferansiyel denklem;
dir.
a) sistemin durum diyagramı b) transfer fonksiyonunu
(1.63) .....u.
1
0
:0
0
0
x
x
:x
x
x
aaaaa
x
x
:x
x
x
)A(
n
1-n
3
2
1
1-n2-n210n
1-n
3
2
1
+
=
−−−−− ...
10...000
:...::00...000
00...100
00...010
u b
x
x:
x
x
x
b b... b b b(y n
n
1-n
3
2
1
1-n2-n210+
=)
(1.64)..... yc
ur 5u4y
dt
dy3
dt
yd2
dt
yd2
2
3
3
=
==+++
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 42/48
42
c) durum denklemlerini alışılmış standart biçiminde veriniz.
Çözüm:
ya da Laplace dönüşümü
olarak yazılır. Sistemin durum diyagramı Şekil 56’da gösterilmiştir. Diyagramı çizerken U(s)
,sx(s) , x3(s) , x2(s) , x1(s) , Y(s) düğümleri ardışık olarak çizilir.
Ş ekil 56 - Örnek 1.12.1’e ili şkin durum diyagramı. İ lk ko şullar sonradan eklenmi ştir.
b) Transfer fonksiyonu iki yoldan bulunabilir: Şekil 56’daki işaret ak ış diyagramında Mason
formülünü kullanalım. Diyagramın ∆ determinantı bütün gözler ( kapalı çevrimler ) birbirine
dokunduğundan;
diyagramda sadece bir ileri yol vardır:
P1 = (5) (1/s) (1/s) (1/s)
∆1 = 1 : ( bu ileri yol kalk ınca hiçbir göz kalmamaktadır)
O halde
3
032
1
221
1
x5u4yyy2-y
a xxy
(1.64)..... a a 3n xxy
edenklemind(3.47)vexy a)
••••••
•••
••
=+−−=
===
=====
=
3
3
32
a)(1.64..... 5u4xxx2-sx
x5u4xxx2-y
1233
3123
+−−=
=+−−=
••••
3
3
(1.65)..... s
43s2ss )4/s-3/s-2/s-(-1∆ 3
2332 +++
==
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 43/48
43
ya da (1.64) diferansiyel denkleminden, bütün ilk koşullar ı sıf ır alarak Laplace dönüşümü
alınırsa;
(s3 + 2s2 + 3s + 4) Y(s) = 5U(s)
ya da
olur.
c) Durum denklemleri (1.54) genel denkleminden ya da (1.64) bağıntılar ından x1, x2 , x3 gibi
üç durum değişkeni olduğundan;
Örnek 1.12.2. Giriş fonksiyonunun da türevlerinin bulunduğu bir diferansiyel denklem;
olarak veriliyor.
a) Durum diyagramını bulunuz
b) Transfer fonksiyonunu belirleyiniz
c) Durum denklemlerinin standart biçimini veriniz.
Çözüm:
a) Diferansiyel denklemin sol yanı (1.64) denklemi ile aynıdır. Şekil 56 işaret ak ış diyagramı
bu sol yana ilişkin diyagramdır. (1.59) ve (1.59 a) genel denklemlerine benzer yol ile m = 2, n
=3 olduğundan;
43s2ss
5
s
43s2sss
5
R(s)
C(s) T(s)
23
3
23
3
+++=
+++==
43s2ss
5
U(s)
Y(s) T(s)
23 +++==
][
C
0D
x
xx
101xy
(1.66)..... DuCxcy
u
5
0
0
x
x
x
2
1
0
3
0
1
4
0
0
x
x
x
3
2
1
1
3
2
1
3
2
1
=
==
+==
+
=
−−−
(1.67)..... dt
ud7
dt
du65u4y
dt
dy 3
dt
yd 2
dt
yd2
2
2
2
3
3
++=+++
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 44/48
44
Y(s) = ( 7s2 + 6s + 5 ) x1 (s) ..... (1.68)
U(s) = ( s3 + 2s2 + 3s + 4 ) x1 (s) ..... (1.69)
yazlılır. Şimdi durum değişkenleri olarak :
yazılırsa bu yeni değişkenlerle (1.69)
ve (1.68)
y(s) = 7x3(s) + 6x2(s) + 5x1(s) ..... (1.71)
olur. (1.70) ve (1.71)’e ilişkin işaret ak ış diyagramı Şekil 57’de gösterilmiştir. Diyagramı
çizerken yine sırası ile u , sx3 , x3 , x2 , x1 , y düğümleri alınır ; bundan sonra (1.70) ve (1.71)
denklemleri uyar ınca Şekil 55’e benzer diyagram çizilir. m = 2 ve n= 3’tür.
Ş ekil 57 – Örnek 1.12.2’ye ili şkin i şaret ak ı ş diyagramı
b) Transfer fonksiyonu işaret ak ış diyagramından, bütün kapalı çevrimler bir birine
dokunduğundan, örnek 1.12.1’inki ile aynıdır.
Diyagramda üç ileri yol vardır. Fakat bu ileri yollar kaldır ıldığında kapalı çevrim kalmaz. Bu
nedenle ∆1 , ∆ 2 , ∆ 3 = 1’dir. P’ler ise;
P1 = 7/s P2 = ( 1/s2 ) . 6 P3 = 5/s3 ‘tür. O halde
232
21
1
xy xxy
xxy
xy
•••••••
••
===
==
=
(1.70)..... xU(s)4x-3x-2x-sx 31233
•
→+=
(1.65)..... s
43s2ss )4/s-3/s-2/s(--1
3
2332 +++==∆
3
23
32
n
s43s2ss
5/s6/s7/s
U(s)
Y(s)T
+++++
==
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 45/48
45
olarak bulunur. Aynı transfer fonksiyonu (1.58) de m = 2 , n = 3 , a 0 = 4 , a 1 = 3 , a 2 = 2 , b 0
= 5 , b 1 = 6 , b 2 = 7 yazarak elde edilebileceği gibi, (1.67) diferansiyel denkleminden deLaplace dönüşümü olarak elde edilebilir.
c) Durum denklemleri, (1.63) denklemlerinden elde edilir. hemen söyleyebiliriz ki (A) matrisi
yukar ıdaki örnekte verilmiş olan (A) matrisi ile aynıdır.
elde edilir.
Örnek 1.12.3. Lineer zamanla değişmeyen bir sistemin durum denklemleri:
ya da
olarak veriliyor.
a) Bu denklem sisteminin, ilk koşullar ı sıf ır alarak, Laplace dönüşümünü bulunuz ve durum
diyagramını çiziniz.
b) Sistemin u ile x1 arasındaki transfer fonksiyonunu bulunuz.
c) Sistemin üçüncü mertebeden olan diferansiyel denklemini (x1)’e bağımlı değişken ve t’yi
bağımsız değişken olarak tanımlayabiliriz.
Cçık ışx
girişuu bxa-x
(1.74)..... u bxxa-x
u bxxa-x
1
0103
13112
22121
==
=+=
++=
++=
•
•
•
(1.72)..... 43s2ss
56s7s (s)T
23
2
n+++
++=
)0()D(
x
x
x
)7 6 5(y
DUCXcy
(1.73).....u
0
x
x
x
2-3-4-
100
010
x
x
x
3
2
1
3
2
1
3
2
1
=
=
+==
+
•
•
•
1
0
u.
b
b b
x
xx
00a-
10a-01a-
x
xx
0
1
2
3
2
1
0
1
2
3
2
1
+
•
•
•
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 46/48
46
Çözüm:
yi düğüm alalım. Bundan sonra (1.74)’ün Laplace dönüşümleri;
Ş ekil 58 – Örnek 1.12.3 için durum diyagramı
elde edilir. Bu denklemlerden kolayca Şekil 58’deki durum diyagramı elde edilir.
b) Üç ileri yol ve birbirine değen gözler bulunduğundan;
olur.
(1.76)..... asasas
bs bs b T(s)
s
asasas s
bs bs b
T(s)
s
asasas
s
b P
/sa-/sa-/s(-a-1 s
b P
1 1 1 s
b P
PPP T(s)
012
23
012
2
301
22
3
301
22
301
22
32
3
02
13
021
2
32130
1
332211
+++
++=
+++
++
=
+++=∆=
=∆=
=∆=∆=∆=
∆ ∆+∆+∆=
)
U(s) b(s)xa-(s)x
(1.75)..... U(s) b(s)x(s)xa-(s)x
U(s) b(s)x(s)xa-(s)x
0103
13112
22121
+=
++=
++=
•
•
•
C(s)Y(s)veR(s)u(s),(s)x,(s)x,(s)x,(s)x,(s)x,(s)xa) 332211 ==•••
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 47/48
47
c) x1’e göre diferansiyel denklemi elde etmek için (1.74) denklemlerini göz önüne alal ım.
Birinciden x2’yi çözelim ve ikincide yerine koyalım. Sonra x3’ü çözüp üçüncüde yerine
koyalım.
ya da
elde edilir.
1.13. Paralel Durum Diyagramı ( Jordan Diyagramı )
Bir giriş ve bir çık ışlı sistemin zaman domeninde, giriş işaretinin türevlerinin de bulunması
halinde en genel denklemi (1.56) ile verilmiştir. Aynı sistemin transfer fonksiyonu ise (1.58)
ifadesi ile;
olarak verilmiştir. Yukar ıdaki ifadenin paydasının köklerinin hepsinin de basit kökler
olduğunu kabul edelim. O halde Şekil 55’ten başka biçimde bir durum diyagramı vermek ve
yeni durum değişkenleri tanımlama olanağı vardır. Üstelik, bu halde durum değişkenlerinin
bir birini etkilemediği ve (A) durum matrisinin diagonal ( köşegenel ) matris olduğu
gösterilecektir. Eğer m = n alınırsa, basit köklerin olması halinde basit kesirlere ayırarak;
yazılabilir. Çık ış büyüklüğünün Laplace dönüşümü Y(s) , (1.78) kullanılarak;
ya da durum değişkenlerinin Laplace dönüşümlerini
c)(1.78..... λ-s
U(s)k .....
λ-s
U(s)k
λ-s
U(s)k U(s)k Y(s)
n
n
2
2
1
10 ++++=
b)(1.78..... (s)Gk λ-s
k .....
λ-s
k
λ-s
k k T(s)
n
1k i0
n
n
2
2
1
10 ∑
=
+=++++=
a)(1.78..... asa.....sasas
bs b.....s bs b
U(s)
Y(s) T(s)
012-n
2-n1-n
1-nn
011-m
1-mm
m
+++++
++++==
(1.77)..... dt
ud bdtdu bu bxa
dtdxa
dtxda
dtxd 2
2
210101
121
2
231
3
++=+++
10012111213
11121213
131121212
21212
xau bu bu bxaxaxx
u bxau bxaxx
u bxxa-u bxaxx
u bxaxx
den(1.)'
++−−++=
−+−+=
++=−+=
−+=
••••••••
••••
•••••
•
8/2/2019 Kontrol Sistemlerinin Blok Diyagramlari Isaret Akis Diyagramlari Ve Transfer Fonksiyonlari
http://slidepdf.com/reader/full/kontrol-sistemlerinin-blok-diyagramlari-isaret-akis-diyagramlari-ve-transfer 48/48
olarak tanımlarsak çık ışın Laplace dönüşü için
Y(s) = k 0 U(s) + k 1x1(s) + k 2x2(s) + .... + k nxn(s) ..... (1.78 e)
yazılır. Burada n. terimi göz önüne alalım. Bu terimi n. durum değişkeninin Laplace
dönüşümü olarak tanımlayalım:
olur. (1.79) denklemini durum değişkeni cinsinden t domeninde
biçiminde yazabiliriz. Bütün λ1 , λ2 , ..... ler için bu işlem yapılırsa (1.78 a)’nın durum modeli;
olarak bulunur. Buradan (A)’nı
n diagonal olduğu ve
kanonik biçimde yazılan durum modelinde;
dır. Şekil 59’da sistemin paralel durum diyagramı gösterilmiştir.
=
=
=
n
2
1
n
2
1
x
:
x
x
X
1
:
1
1
B
λ.....00
::
0..... λ0
0.....0 λ
A
UBXA X +=•
U
1
:
1
1
x
:
x
x
λ.....00
::
0..... λ0
0.....0 λ
x
:
x
x
n
2
1
n
2
1
n
2
1
+
=
•
•
•
a) (1.80..... (s)X λ U(s)(s)X nnn +=
•
(1.79)..... U(s) λ(s)X-(s)sX daya λ-s
U(s)k (s)X nnn
n
nn ==
d)(1.78..... λ-s
U(s) (s)X..........
λ-s
U(s) (s)X
λ-s
U(s) (s)X
n
n
2
2
1
1 ===
top related