Johdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op) - Sovellettu ja …s-mat-pcs.oulu.fi/~jukemppa/Johdatus_luennot2011_2... · 2011-08-31 · Olkoot X ja Y epätyhjiä joukkoja. Funktiolla

Johdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko(2 op)

Jukka Kemppainen

Mathematics Division

Yhtälöt ja epäyhtälöt

Jokainen osaa ratkaista ensimmäisen asteen yhtälönax + by + c = 0. Millä parametrien a, b ja c arvoilla yhtälö onratkeava?

Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 30

Esim. 1

Ratkaise yhtälöpari{

x − y + 1 = 0,

2x + y − 4 = 0

kahdella tavalla. Mitä yhtälöparin ratkaiseminen tarkoittaageometrisesti?

Esim. 1

Ratkaise yhtälöpari{

x − y + 1 = 0,

2x + y − 4 = 0

kahdella tavalla. Mitä yhtälöparin ratkaiseminen tarkoittaageometrisesti?

Ratkaisumenetelmää, jossa eliminoidaan jompi kumpi muuttujistax tai y , sanotaan eliminoimismenetelmäksi.

Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Esim. 2

Sovella eliminoimismenetelmää yhtälöpariin

ax + by = 0,

cx + dy = 0.

Millä parametrien a, b, c ja d arvoilla yhtälöpari on yksikäsitteisestiratkeava?

Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Esim. 3

Pohdi miten eliminoimismenetelmää voidaan käyttää kolmenmuuttujan yhtälöryhmän

x − y + 2z = 7,

3x + y − z = 4,

6x + 2y + 2z = 20

ratkaisemiseen. Mitä yhtälöryhmän ratkaiseminen tarkoittaageometrisesti?

Yhtälön ratkaiseminen

Palataan takaisin yhden reaalimuuttujan yhtälön ratkaisemiseen.Ensimmäiseksi on selvitettävä yhtälön määrittelyjoukko, joka onlaajin reaalilukujen joukko, jossa yhtälössä esiintyvät lausekkeet onmääritelty.

Palataan takaisin yhden reaalimuuttujan yhtälön ratkaisemiseen.Ensimmäiseksi on selvitettävä yhtälön määrittelyjoukko, joka onlaajin reaalilukujen joukko, jossa yhtälössä esiintyvät lausekkeet onmääritelty.Kuten ongelmanratkaisuosiossa mainittiin, on joskus kannattavaa(ja jopa välttämätöntä) saattaa ongelma johonkin toiseenmuotoon. Tarkastellaan esimerkkiä

Esim. 4 (DIA-yhteisvalinta 2011, tehtävä 1)

Ratkaise yhtälöt

(a) x − 10

(b) 4 · 2x + 2 · 2−x = 9;

(c) sin x = 1 − cos2 x , 0 ≤ x ≤ π.

Trigonometrisissä yhtälöissä pääsee pitkälle hallitsemallayksikköympyrän ja koululaisen kolmioiden käytön.

Trigonometrisissä yhtälöissä pääsee pitkälle hallitsemallayksikköympyrän ja koululaisen kolmioiden käytön.Itseisarvoyhtälöt kannattaa ratkaista merkkikaavion avulla ja sitäkautta tarkastella eri tapaukset.

Esim. 5

Ratkaise yhtälöt

◮ cos(2x) = 1

◮ sin(2x) = cos(x);

◮ |x − 2| = |x + 1|.Mitä jälkimmäisen yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa geometrisesti?

Epäyhtälöt

Epäyhtälöitä voidaan käsitellä samaan tapaan kuin yhtälöitä.Määrittelyjoukko määritellään samalla tavalla kuin yhtälöidentapauksessa. Epäyhtälöön voidaan puolittain lisätä ja vähentäätermejä ilman, että epäyhtälön ratkaisu muuttuu.

Epäyhtälöt

Epäyhtälöitä voidaan käsitellä samaan tapaan kuin yhtälöitä.Määrittelyjoukko määritellään samalla tavalla kuin yhtälöidentapauksessa. Epäyhtälöön voidaan puolittain lisätä ja vähentäätermejä ilman, että epäyhtälön ratkaisu muuttuu.Myös positiivisella luvulla kertominen puolittain säilyttääepäyhtälön ratkaisut samana. Sen sijaan huomion arvoista on, ettänegatiivisella luvulla kertominen kääntää epäyhtälön

suunnan. Esimerkiksi kertomalla epäyhtälö −2x < 4 puolittainluvulla −1

2saadaan yhtäpitävä epäyhtälö x > −2, joka on siis

alkuperäisen epäyhtälön ratkaisu.

Epäyhtälöt

Epäyhtälöitä voidaan käsitellä samaan tapaan kuin yhtälöitä.Määrittelyjoukko määritellään samalla tavalla kuin yhtälöidentapauksessa. Epäyhtälöön voidaan puolittain lisätä ja vähentäätermejä ilman, että epäyhtälön ratkaisu muuttuu.Myös positiivisella luvulla kertominen puolittain säilyttääepäyhtälön ratkaisut samana. Sen sijaan huomion arvoista on, ettänegatiivisella luvulla kertominen kääntää epäyhtälön

suunnan. Esimerkiksi kertomalla epäyhtälö −2x < 4 puolittainluvulla −1

2saadaan yhtäpitävä epäyhtälö x > −2, joka on siis

alkuperäisen epäyhtälön ratkaisu.Tyypillisiä epäyhtälöitä ovat polynomiepäyhtälöt,rationaaliepäyhtälöt, trigonometriset epäyhtälöt jaitseisarvoepäyhtälöt. Tarkastellaan näitä esimerkkien avulla.

Esimerkkejä

Esim. 6

Ratkaise itseisarvoepäyhtälöt

(a) |x |+ |x + 1| < 2;

(b)∣

∣1 + 1

∣ < 1;

(c) |x + 1| < x .

Esim. 7

Olkoot A = {x ∈ R| 1

1+x< 1 + x} ja B = {x ∈ R| x ≥ −2}.

Osoita, että A ⊂ B .

Esim. 8

Ratkaise epäyhtälöt (a) cos(2x) > 1

2ja (b) sin(3x) < − 1√

Epäyhtälöiden käyttöä

Matematiikassa on hyödyllistä käyttää epäyhtälöitä erilaistenarvioiden tekemiseen ennen kuin lähtee härkäpäisesti ratkaisemaanjotain ongelmaa.

Esim. 9

Osoita, että jos n ∈ Z+, niin

n + 1+ · · ·+ 1

2n − 1< 1.

Edellisestä epäyhtälöstä itse asiassa seuraa, että sarja1 + 1

3+ . . . ei suppene.

Esimerkkejä

Esim. 10

(a) Osoita, että x + 1

x≥ 2 aina, kun x > 0.

(b) Osoita, että (a + b + c)(1

c) ≥ 9 aina, kun a, b, c > 0

(Vihje: Käytä (a)-kohtaa).

Kolmioepäyhtälö

Matematiikan eräs tärkeimpiä epäyhtälöitä on seuraavakolmioepäyhtälö.

Lause 1 (Kolmioepäyhtälö)

Kaikille x, y ∈ R on voimassa

|x ± y | ≤ |x |+ |y |.

Kolmioepäyhtälö

Matematiikan eräs tärkeimpiä epäyhtälöitä on seuraavakolmioepäyhtälö.

Lause 1 (Kolmioepäyhtälö)

Kaikille x, y ∈ R on voimassa

|x ± y | ≤ |x |+ |y |.

Kolmioepäyhtälöllä on tärkeä seuraus

Seuraus 1

Kaikilla x, y ∈ R pätee

∣|x | − |y |∣

∣ ≤∣

∣x ± y∣

KolmioepäyhtälöYhdistämällä edelliset tulokset saadaan epäyhtälö

∣|x | − |y |∣

∣ ≤ |x ± y | ≤ |x | + |y |.

KolmioepäyhtälöYhdistämällä edelliset tulokset saadaan epäyhtälö

∣|x | − |y |∣

∣ ≤ |x ± y | ≤ |x | + |y |.

Esim. 11

(a) Osoita kolmioepäyhtälön seuraus.

(b) Osoita kolmioepäyhtälön avulla, että

|x − y | ≤ |x − z |+ |z − y | kaikilla x , y , z ∈ R

(c) Olkoon |x | ≤ 1. Määrää kolmioepäyhtälön avulla ylärajalausekkeelle |3x − 2|. Mikä on pienin mahdollinen yläraja?

(d) Olkoot a > 0, |x − 1| ≤ a ja |y − 1| ≤ a. Osoita, että|x − y | ≤ 2a. Tulkitse saatu tulos geometrisesti.

Funktioista

Määr. 1

Olkoot X ja Y epätyhjiä joukkoja. Funktiolla f joukosta Xjoukkoon Y tarkoitetaan sääntöä f : X → Y , joka liittää jokaiseenjoukon X alkioon x täsmälleen yhden joukon Y alkion y , jamerkitään f (x) = y . Sanotaan, että y on funktion f arvo

pisteessä x (tai x :n kuva). Joukkoa X sanotaan funktion fmäärittelyjoukoksi, jolle käytetään myös merkintää Mf . JoukkoaY sanotaan funktion f maalijoukoksi.

Funktioista

Määr. 1

Funktion f arvojen joukkoa

Kf = {f (x)|x ∈ Mf }

sanotaan arvojoukoksi (tai kuvajoukoksi).

Funktioista

Määr. 1

Funktion f arvojen joukkoa

Kf = {f (x)|x ∈ Mf }

sanotaan arvojoukoksi (tai kuvajoukoksi).Funktiot f ja g ovat samat, jos niillä on sama määrittelyjoukko jamaalijoukko ja jos f (x) = g(x) kaikilla määritysjoukon alkioilla x .

Esimerkkejä

Esim. 12

Esimerkkejä erityyppisistä funktioista:

X = {tason ympyrät}, Y = R, f (x) =′′ x :n säde′′;

X = {tason ympyrät}, Y = R,

f (x) =′′ x :n sisään jäävän alueen pinta-ala′′;

X = N, Y = {0, 1, 2},f (x) =′′ jakojäännös, kun x jaetaan 3:lla′′;

X = R, Y = Z,

f (x) =′′ suurin kokonaisluku ≤ x ′′.

Esimerkkejä

Esim. 13

Määrää funktion f määritysjoukko Mf , piirrä kuvaaja sekä ilmoitaarvojoukko Kf , kun

(a) f (x) = |x |, (b) f (x) =√

x2 − 1,

(c) f (x) =2x

1 − x2, (d) f (x) = ln(ln(x)).

KäänteisfunktioEsim. 14

Ratkaise yhtälöistä (a) y = ax + b, missä a 6= 0, ja (b) y = x2

muuttuja x y :n avulla. Onko x y :n funktio?

Olkoon f : X → Y funktio. Jos jokaista y ∈ Y kohti on olemassatäsmälleen yksi x ∈ X siten, että y = f (x), niin funktiotag : Y → X , jolle g(y) = x , sanotaan funktion fkäänteisfunktioksi ja merkitään g = f −1.

Olkoon f : X → Y funktio. Jos jokaista y ∈ Y kohti on olemassatäsmälleen yksi x ∈ X siten, että y = f (x), niin funktiotag : Y → X , jolle g(y) = x , sanotaan funktion fkäänteisfunktioksi ja merkitään g = f −1.Edellisessä esimerkissä funktiolla f (x) = ax + b on olemassakäänteisfunktio, mutta funktiolla f (x) = x2 ei.

Olkoon f : X → Y funktio. Jos jokaista y ∈ Y kohti on olemassatäsmälleen yksi x ∈ X siten, että y = f (x), niin funktiotag : Y → X , jolle g(y) = x , sanotaan funktion fkäänteisfunktioksi ja merkitään g = f −1.Edellisessä esimerkissä funktiolla f (x) = ax + b on olemassakäänteisfunktio, mutta funktiolla f (x) = x2 ei. Huomaa kuitenkin,että käänteisfunktion olemassaolo riippuu joukkojen X ja Ymäärittelystä. Esimerkiksi funktiollaf : R+ = {x ∈ R| x > 0} → R+, jolle f (x) = x2 on olemassakäänteisfunktio, sillä jokaista y ∈ R+ vastaa täsmälleen yksix ∈ R+ siten, että f (x) = y . Nimittäin, x =

√y ∈ R+ on

kyseinen x . Näin ollen tässä tapauksessa f −1(x) =√

x .Jukka Kemppainen Mathematics Division 16 / 30

Käänteisfunktio

Käänteisfunktio voidaan määrätä (mikäli mahdollista)ratkaisemalla y x :n funktiona yhtälöstä f (x) = y .

Esim. 15

Olkoot X = [−2,∞[ ja Y = [1,∞[. Osoita, että funktiollaf : X → Y , f (x) = x2 + 4x + 5, on olemassa käänteisfunktio.

Käänteisfunktio

Esim. 15

Edellä olemme perustelleet käänteisfunktion olemassaolonlaskemalla käänteisfunktion lausekkeen. Tämä ei kuitenkaan ainaole mahdollista eikä edes kannattavaa, vaikka se olisi periaatteessamahdollista.

Käänteisfunktio

Esim. 15

Edellä olemme perustelleet käänteisfunktion olemassaolonlaskemalla käänteisfunktion lausekkeen. Tämä ei kuitenkaan ainaole mahdollista eikä edes kannattavaa, vaikka se olisi periaatteessamahdollista. Jos funktiolla on riittävästi ”hyviä ominaisuuksia”,voidaan käänteisfunktion olemassaolo perustella käyttämällä ko.ominaisuuksia ilman, että määrätään käänteisfunktion lauseke,mikä –kuten edellä tuli todettua– ei aina edes ole mahdollista.Mutta tästä asiasta kerrotaan enemmän yliopiston kursseilla.

Funktion raja-arvo

Eräs keskeisimpiä käsitteitä funktioiden ominaisuuksientutkimisessa on funktion raja-arvon käsite:

Määr. 2

Funktion f : X → Y raja-arvo pisteessä x0 on y0, jos jokaistapositiivista lukua ǫ kohti on olemassa sellainen positiivinen luku δ,että

|f (x)− y0| < ǫ aina, kun 0 < |x − x0| < δ.

Tällöin merkitään limx→x0 f (x) = y0.

Funktion raja-arvo

Eräs keskeisimpiä käsitteitä funktioiden ominaisuuksientutkimisessa on funktion raja-arvon käsite:

Määr. 2

Funktion f : X → Y raja-arvo pisteessä x0 on y0, jos jokaistapositiivista lukua ǫ kohti on olemassa sellainen positiivinen luku δ,että

|f (x)− y0| < ǫ aina, kun 0 < |x − x0| < δ.

Tällöin merkitään limx→x0 f (x) = y0.

Määritelmän voi ymmärtää niin, että funktion arvot ”kasautuvat”pisteen y0 lähelle, kun x lähestyy pistettä x0. Luku δ > 0luonnollisesti riippuu luvun ǫ > 0 valinnasta, mutta oleellista onse, että tällainen δ löytyy olipa ǫ kuinka pieni tahansa.

Esimerkkejä

Esim. 16

Olkoon f (x) = 2x + 1. Määritä sellainen väli, johon piste x0 = 1sisältyy ja jossa on voimassa

|f (x) − 3| < ǫ,

kun (a) ǫ = 1, (b) ǫ = 0.1 ja (c) ǫ = 0.01.

Esimerkkejä

Esim. 16

Olkoon f (x) = 2x + 1. Määritä sellainen väli, johon piste x0 = 1sisältyy ja jossa on voimassa

|f (x) − 3| < ǫ,

kun (a) ǫ = 1, (b) ǫ = 0.1 ja (c) ǫ = 0.01.

Huomaa, että funktion f ei välttämättä tarvitse olla määriteltypisteessä x0.

Esim. 17

Olkoot f (x) = x2−x−2

x−2, 2 6= x ∈ R, ja ǫ > 0. Tarkastellaan

löytyykö sellaista lukua δ > 0, että |f (x)− 3| < ǫ, kun0 < |x − 2| < δ. Osoita, että luvuksi δ voidaan valita δ = ǫ.

Raja-arvon ominaisuuksia

Usein kannattaa hyödyntää funktion raja-arvon seuraaviaominaisuuksia

Lause 2

Oletetaan, että limx→x0 f (x) ja limx→x0 g(x) ovat olemassa.Tällöin

◮ limx→x0(f (x) + g(x)) = limx→x0 f (x) + limx→x0 g(x);

Lause 2

◮ limx→x0 λf (x) = λ · limx→x0 f (x) kaikilla vakioilla λ;

Lause 2

◮ limx→x0 f (x)g(x) = limx→x0 f (x) · limx→x0 g(x);

Lause 2

◮ limx→x0 f (x)g(x) = limx→x0 f (x) · limx→x0 g(x);

◮ limx→x0

f (x)g(x) =

limx→x0 f (x)

limx→x0 g(x) , jos limx→x0 g(x) 6= 0.

Raja-arvo äärettömyydessä

Raja-arvo äärettömyydessä voidaan määritellä samalla tavalla kuinedellä.

Määr. 3

Olkoon f : R → R funktio. Funktion raja-arvo ±∞:ssä on y0, josjokaista ǫ > 0 kohti on olemassa luku M > 0 siten, että

|f (x)− y0| < ǫ aina, kun ±x > M.

Raja-arvo äärettömyydessä

Raja-arvo äärettömyydessä voidaan määritellä samalla tavalla kuinedellä.

Määr. 3

Olkoon f : R → R funktio. Funktion raja-arvo ±∞:ssä on y0, josjokaista ǫ > 0 kohti on olemassa luku M > 0 siten, että

|f (x)− y0| < ǫ aina, kun ±x > M.

Raja-arvoa laskettaessa voi esiintyä määrittelemättömiä muotoja

0, 0 · ±∞, ∞−∞,

±∞±∞ ,

±∞0

, ∞0, 00, 0∞, 1∞,

joista on päästävä eroon esim. supistamalla tai laventamallasopivalla lausekkeella.

Esimerkkejä

Esim. 18

Laske raja-arvot

(a) limx→2

x2 − 4x − 4

x2 − x − 2, (b) lim

x3 + x− 1

(c) limx→∞

2x2 + 3

x2 − 3x + 1, (d) lim

x→∞(2x −

4x2 + 1).

Funktion jatkuvuusNyt kun funktion raja-arvo määritelty, voidaan jatkuvuusmääritellä seuraavasti

Määr. 4

Funktio f : R → R on jatkuva pisteessä x0 ∈ R, joslimx→x0 f (x) = f (x0). Funktio on jatkuva joukossa S ⊂ R, jos seon jatkuva jokaisessa joukon S pisteessä.

Määr. 4

Funktio on siis jatkuva pisteessä x0 täsmälleen silloin, kun senraja-arvo pisteessä x0 on sama kuin funktion arvo kyseisessäpisteessä.

Määr. 4

Funktio on siis jatkuva pisteessä x0 täsmälleen silloin, kun senraja-arvo pisteessä x0 on sama kuin funktion arvo kyseisessäpisteessä.Tutkittaessa funktion jatkuvuutta seuraava tulos on hyödyllinen

Lause 3

Funktio f : R → R on jatkuva pisteessä x0 täsmälleen silloin, kunlimx→x0− f (x) = limx→x0+ f (x) = f (x0).

Funktion jatkuvuus

Funktio on siis jatkuva jos ja vain jos toispuoleiset raja-arvotyhtyvät funktion arvoon kyseisessä pisteessä.

Funktion jatkuvuus

Funktio on siis jatkuva jos ja vain jos toispuoleiset raja-arvotyhtyvät funktion arvoon kyseisessä pisteessä.Suoraan raja-arvon ominaisuuksista seuraa, että jatkuvuus säilyyfunktioiden yhteen-, kerto- ja jakolaskussa sekä vakiollakertomisessa:

Lause 4

Jos funktiot f ja g ovat jatkuvia pisteessä x0, niin myös funktiotf + g, λ · f (λ vakio) ja fg ovat jatkuvia pisteessä x0. Jos lisäksig(x0) 6= 0, niin f /g on jatkuva pisteessä x0.

Esimerkkejä

Esim. 19

Osoita raja-arvon määritelmään nojautuen tarkasti, että funktiof (x) = 3x − 1 on jatkuva pisteessä x0 = 5.

Esim. 20

Määrää vakiot a, b ja c siten, että funktio

f (x) =

x2, x < 0,

a, x = 0,

bx + c , x > 0,

on jatkuva kaikilla x ∈ R.

Funktion derivaatta

Funktion derivaatan käsite on differentiaalilaskennan tärkeinperuskäsite ja määritelmä lienee kaikille tuttu.

Määr. 5

Olkoon f määritelty pisteen x0 ympäristössä. Joserotusosamäärällä

f (x)− f (x0)

x − x0

on raja-arvo, kun x → x0, niin raja-arvoa sanotaan funktion fderivaataksi pisteessä x0 ja merkitään

f ′(x0) = limx→x0

f (x) − f (x0)

x − x0

Funktiota f sanotaan tällöin derivoituvaksi pisteessä x0.

Funktion derivaatta

Derivaatalle käytetään usein myös seuraavia merkintöjä

f ′(x0) = Df (x0) =df

dx(x0).

Funktion derivaatta

f ′(x0) = Df (x0) =df

dx(x0).

Funktio on derivoituva joukossa S , jos se on derivoituva jokaisessajoukon S pisteessä.

Funktion derivaatta

f ′(x0) = Df (x0) =df

dx(x0).

Funktio on derivoituva joukossa S , jos se on derivoituva jokaisessajoukon S pisteessä.

Esim. 21

Tarkastellaan derivaatan geometrista tulkintaa. Olkoon f (x) = x2.Piirretään käyrälle y = f (x) pisteiden (0, 0) ja (x , f (x)) kauttakulkeva sekantti ja tarkastellaan mitä tapahtuu, kun x → 0.Animaatio(Klikkaa tästä)

Funktion derivaattaDerivaatta voidaan kirjoittaa myös muodossa

f ′(x0) = limh→0

f (x0 + h)− f (x0)

Funktion derivaattaDerivaatta voidaan kirjoittaa myös muodossa

f ′(x0) = limh→0

f (x0 + h)− f (x0)

Esim. 22

Laske määritelmän perusteella funktion f derivaatta, kun

(a) f (x) = kx + b;

(b) f (x) = x2;

(c) f (x) = ex ja tiedetään, että limh→0eh−1

(d) f (x) = cos x ja tiedetään, että limh→0sin hh

= 1 (Vihje: Käytäcos:n yhteenlaskukaavaa, minkä jälkeen lavenna (cos h − 1):nsisältävä termi (cos h+ 1):llä ja käytä edellä mainittua kaavaasin:lle).

Derivaatan ominaisuuksiaSuoraan raja-arvojen vastaavista ominaisuuksista seuraa

Lause 5

Jos funktiot f ja g ovat derivoituvia pisteessä x0, niin