Ilkka€Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa€3: …math.tkk.fi/opetus/sovtoda/luennot/toddj100.pdf · 2006-10-05 · pistetodennäköisyysfunktio 1/2 š Olkoon X...

TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1

Ilkka MellinTodennäköisyyslaskenta

Osa 3: TodennäköisyysjakaumiaDiskreettejä jakaumia

>> Diskreetti tasainen jakaumaBernoullijakaumaBinomijakaumaGeometrinen jakaumaNegatiivinen binomijakaumaHypergeometrinen jakaumaPoissonjakauma

Diskreettejä jakaumia

Diskreetti tasainen jakaumaDiskreetti tasainen jakauma ja senpistetodennäköisyysfunktio 1/2

• Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka mahdollisetarvot ovat

x1, x2, … , xn

• Oletetaan, että satunnaismuuttujan X mahdollisiin arvoihinx1, x2, … , xn liittyvät todennäköisyydet ovat yhtä suuria:

• Huomautus:Diskreetti tasainen jakauma liittyy sellaisiin otosavaruuksiin,joissa alkeistapaukset ovat symmetrisiä.

1Pr( ) , 1,2, ,kX x k nn

= = = K

Diskreetti tasainen jakaumaDiskreetti tasainen jakauma ja senpistetodennäköisyysfunktio 2/2

• Satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio on

• Sanomme, että satunnaismuuttuja X noudattaadiskreettiä tasaista jakaumaa.

• Huomautus:Funktio f(x) määrittelee todennäköisyysjakauman, koska

1( ) Pr( ) ,

1,2, ,

kf x X x x xn

= = = =

1( ) 1n

f x nn=

= ⋅ =∑

Diskreetti tasainen jakaumaOdotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama

• Diskreetin tasaisen jakauman odotusarvo:

• Diskreetin tasaisen jakauman varianssi:

• Diskreetin tasaisen jakauman standardipoikkeama:

1E( )n

X x xn

= = = ∑

1Var( ) D ( ) ( )n

X X x xn

= = = −∑

1D( ) ( )n

X x xn

= = −∑

Diskreetti tasainen jakaumaOdotusarvon ja varianssin johto

• Suoraan diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvon ja varianssinmääritelmistä saadaan:

Var( ) D ( )

( ) ( )

Diskreetti tasainen jakaumaOdotusarvon ominaisuuksia

• Diskreetin tasaisen jakauman odotusarvo

on satunnaismuuttujan X mahdollisten arvojenx1, x2, … , xn aritmeettinen keskiarvo.

1E( )n

X x xn

= = =∑

Diskreetti tasainen jakaumaOdotusarvon ja varianssin laskeminen:Esimerkki

• Olkoon satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktiof(k) = Pr(X = k) = pk = 1/6 , k = 1, 2, 3, 4, 5, 6

• Odotusarvo:

• Varianssi:

• Standardipoikkeama:

1E( ) ( )6

1 (1 2 3 4 5 6) 3.56

k kX k f k k

= + + + + + =

∑ ∑

D( ) 2.917 1.708X = ≈

6 62 2 2

1D ( ) ( E( )) ( ) ( E( ))6

1 35(1 3.5) (2 3.5) (6 3.5) 2.9176 12

k kX k x f k k x

= − = −

= − + − + + − = ≈

∑ ∑

Diskreetti tasainen jakaumaPistetodennäköisyysfunktion kuvaaja

1 2 3 4 5 6

Diskreetti tasainen jakauma• Kuva oikealla esittää diskreetintasaisen jakauman

pistetodennäköisyysfunktiota.• Jakauman odotusarvo:

1( ) , 1,2,3,4,5,66

f x x= =

1E( ) 3.56 k

= =∑

E(X) = 3.5

Diskreetti tasainen jakauma>> Bernoullijakauma

BinomijakaumaGeometrinen jakaumaNegatiivinen binomijakaumaHypergeometrinen jakaumaPoissonjakauma

BernoullijakaumaBernoullijakauma ja senpistetodennäköisyysfunktio 1/2

• Olkoon A otosavaruuden S tapahtuma ja Pr(A) = p.• Tällöin tapahtuman A komplementtitapahtuman Ac

todennäköisyys onPr(Ac) = 1 − Pr(A) = 1 − p = q

• Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja X:

• Tällöin satunnaismuuttujan X jakauma on

1, jos tapahtuma sattuu0, jos tapahtuma ei satu

Pr( 1)Pr( 0) 1

X pX p q

= == = − =

BernoullijakaumaBernoullijakauma ja senpistetodennäköisyysfunktio 2/2

• Sanomme, että satunnaismuuttuja X noudattaaBernoullijakaumaa parametrinaan p.

• Merkintä:X ∼ Bernoulli(p)

• Huomautus:Funktio f(x) määrittelee todennäköisyysjakauman, koska

1( ) Pr( ) , 0 1, 10,1

x xf x X x p q p q px

−= = = < < = −=

(0) (1) 1f f q p+ = + =

BernoullijakaumaKomplementtitapahtuman todennäköisyys

• OlkoonPr(A) = p

• TällöinPr(Ac)

= 1 − P(A)= 1 − p= q

BernoullijakaumaOdotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama

• OlkoonX ∼ Bernoulli(p)

• Odotusarvo:E(X) = p

• Varianssi ja standardipoikkeama:2Var( ) D ( )

X X pq

BernoullijakaumaOdotusarvon ja varianssin johto

• Suoraan diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvon ja varianssinmääritelmistä saadaan:

E( ) 1 Pr( 1) 0 Pr( 0)1 0

Var( ) E( ) [E( )]

X X Xp q

pX X X

X X Xp pp ppq

= × = + × == × + ×=

= −= −=

BernoullijakaumaOdotusarvon ja varianssin ominaisuuksia

• OlkoonX ∼ Bernoulli(p)

• Bernoullijakauman odotusarvoE(X) = p

yhtyy tapahtuman A todennäköisyyteen Pr(A) = p.• Bernoullijakauman varianssi

Var(X) = pq = p(1 –p) = p –p2

saavuttaa maksiminsa1/4

kun p = q = 1/2.

BernoullijakaumaPistetodennäköisyysfunktion kuvaaja

Bernoulli(0.8)• Kuva oikealla esittää Bernoullijakauman

Bernoulli(0.8)pistetodennäköisyysfunktiota

pisteissäx = 0, 1

• Jakauman odotusarvo:

1( )0.8 , 1

x xf x p qp q p

−== = −

E( ) 0.8X p= =E(X) = 0.8

BernoullijakaumaBernoullijakaumaa noudattaviensatunnaismuuttujien summan jakauma 1/2

• OlkootX1, X2, … , Xn

riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka noudattavatsamaa Bernoullijakaumaa parametrilla p:

X1, X2, … , Xn ⊥Xi ~ Bernoulli(p) , i = 1, 2, … , n

• Tällöin satunnaismuuttujien X1, X2, … , Xn summaY = X1 + X2 + ··· + Xn

noudattaa binomijakaumaa parametrilla (n , p):Y ~ Bin(n , p)

BernoullijakaumaBernoullijakaumaa noudattaviensatunnaismuuttujien summan jakauma 2/2

• Tulos perustellaan luvussa Satunnaismuuttujien muunnosten

jakaumat.• Huomautuksia:

– Kaikilla Bernoullijakaumilla on oltava sama tapahtuman Atodennäköisyyttä kuvaava parametri p.

– Tarkoitamme satunnaismuuttujien riippumattomuudella sitä,että yhdenkään satunnaismuuttujan saamat arvot eivät riipu siitä,mitä arvoja muut satunnaismuuttujat saavat; käsite täsmennetäänluvussa Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat.

BernoullijakaumaBernoullikokeet jadiskreetit todennäköisyysjakaumat 1/2

• Toistetaan toisistaan riippumatta samaa Bernoullikoettaja tarkastellaan tapahtuman A sattumista toistojen aikana:(i) Binomijakauma saadaan määräämällä

todennäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu x kertaa,kun koetta toistetaan n kertaa, jossa n on kiinteä,etukäteen päätetty luku.

(ii) Geometrinen jakauma saadaan määräämällätodennäköisyys sille, että tapahtuma A sattuuensimmäisen kerran x. koetoistossa.

(iii) Negatiivinen binomijakauma saadaan määräämällätodennäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu r.kerran x. koetoistossa.

BernoullijakaumaBernoullikokeet jadiskreetit todennäköisyysjakaumat 2/2

• Poissonjakauma voidaan johtaa binomijakauman rajaarvona, kun koetoistojen lukumäärän annetaan tiettyjenehtojen vallitessa kasvaa rajatta.Siten Poissonjakauma kuvaa harvinaisten tapahtumientodennäköisyyksiä pitkissä toistokoesarjoissa.

Diskreetti tasainen jakaumaBernoullijakauma

>> BinomijakaumaGeometrinen jakaumaNegatiivinen binomijakaumaHypergeometrinen jakaumaPoissonjakauma

BinomijakaumaBinomijakauma ja senpistetodennäköisyysfunktio 1/3

• Toistetaan samaa Bernoullikoetta n kertaa, jossa n onkiinteä, etukäteen päätetty luku.

• Oletetaan, että koetoistot ovat riippumattomia.• Tarkastellaan otosavaruuden S tapahtuman A sattumista

koetoistojen aikana.• Oletetaan, että

Pr(A) = pPr(Ac) = 1 − Pr(A) = 1 − p = q

• Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja X:X = Tapahtuman A esiintymisten lukumäärä

nkertaisessa Bernoullikokeessa

• Sanomme, että satunnaismuuttuja X noudattaabinomijakaumaa parametreinaan n ja p.

• Merkintä:X ∼ Bin(n, p)

( ) Pr( ) , 0 1, 1

0,1,2, ,

x n xnf x X x p q p q p

− = = = < < = −

• Huomautus:Funktio f(x) määrittelee todennäköisyysjakauman, koskabinomikaavan mukaan

Siten binomijakauman pistetodennäköisyydet

toteuttavat yhtälön

( ) , 0,1,2, ,x n xx

np f x p q x n

0 0( ) ( ) 1 1

n nx n x n n

nf x p q p q

= = + = =

∑ ∑

0 1 20

x n xn

np p p p p q

+ + + + = =

BinomijakaumaPistetodennäköisyysfunktion johto 1/2

• Toistetaan samaa Bernoullikoetta n kertaa.• Oletetaan, että koetoistot ovat riippumattomia ja tarkastellaan

tapahtuman A sattumista koetoistojen aikana.• Oletetaan, että toistokoesarjan tuloksena saadaan tapahtumajono

jossa on x kpl tapahtumia A ja (n − x) kpl tapahtumia Ac .• Koska

Pr(A) = pPr(Ac) = 1 − Pr(A) = 1 − p = q

tarkasteltavan tapahtumajonon todennäköisyydeksi saadaanriippumattomien tapahtumien tulosäännön nojalla

c cA A A A A AK

x n xppqpq p p q −=K

BinomijakaumaPistetodennäköisyysfunktion johto 2/2

• Erilaisia jonoja, joissa on x kpl tapahtumia A ja (n − x) kpl tapahtumiaAc, on

• Erilaiset tapahtumajonot ovat toisensa poissulkevia.• Toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön mukaan

todennäköisyys saada sellainen jono, jossa on x kpl tapahtumia A ja(n − x) kpl tapahtumia Ac saadaan laskemalla erilaisten tällaistenjonojen todennäköisyydet yhteen.

• Siten kysytyksi todennäköisyydeksi saadaan

( ) , 1

0,1,2, ,

x n xnf x p q q p

− = = −

BinomijakaumaOdotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama

• OlkoonX ∼ Bin(n, p)

• Odotusarvo:

• Varianssi ja standardipoikkeama:E( )X np=

2Var( ) D ( )

X X npq

BinomijakaumaOdotusarvon johto 1/2

• Tällöin

!E( ) ( ) (1 )!( )!

! (1 )!( )!

! (1 )( 1)!( )!

( 1)! (1 )( 1)!( )!

n nx n x

nx n x

nX xf x x p px n x

nx p px n x

n p px n x

nnp p px n x

− −

= = −−

= −−

= −− −

−= −

− −=

∑ ∑

BinomijakaumaOdotusarvon johto 2/2

• Kalvon 1/2 yhtälöketjun viimeinen yhtälö perustuu siihen, että

• Tämä seuraa siitä, että jälkimmäisessä summassa lasketaan yhteenkaikki binomijakauman

Bin(n –1, p)pistetodennäköisyydet

( 1)! (1 )( 1)!( )!

( 1)! (1 ) 1!( 1 )!

nx n x

n p px n x

− −

−− −

−−

− −

−= − =

− −

1( 1)!( ) (1 ) , 0,1,2, , 1!( 1 )!

x n xnf x p p x nx n x

− −−= − = −

− −K

BinomijakaumaOdotusarvon ja varianssin ominaisuuksia

• Binomijakauman odotusarvo

on suoraan verrannollinen sekä toistokeiden lukumääräänn että tapahtuman A todennäköisyyteen Pr(A) = p.

• Binomijakauman varianssiVar(X) = npq = np(1 –p)

saavuttaa maksiminsan/4

kun p = q = 1/2.

E( )X np=

BinomijakaumaPistetodennäköisyysfunktion kuvaaja

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

• Kuva oikealla esittää Binomijakauman

Bin(12, 1/3)pistetodennäköisyysfunktiota

pisteissäx = 0, 1, 2, … , 12

• Jakauman odotusarvo:E( ) 4X np= = E(X) = 4

Bin(12, 1/3)

12 , 1/ 3 , 1

x n xnf x p q

xn p q p

= = = −

BinomijakaumaPistetodennäköisyysfunktion kuvaaja:Tapaukset p < 1/2, p = 1/2, p > 1/2

• p < 1/2: Binomijakauma on vino oikealle.• p = 1/2: Binomijakauma on symmetrinen.• p > 1/2: Binomijakauma on vino vasemmalle.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Bin(12, 1/4) Bin(12, 1/2) Bin(12, 3/4)

BinomijakaumaBinomijakauma jaBernoullijakauma 1/3

• Toistetaan samaa Bernoullikoetta n kertaa, jossa n onkiinteä, etukäteen päätetty luku.

• Oletetaan, että koetoistot ovat riippumattomia jatarkastellaan tapahtuman A sattumista koetoistojen aikana.

• Oletetaan, ettäPr(A) = pPr(Ac) = 1 − p = q

• Määritellään diskreetit satunnaismuuttujatXi , i = 1, 2, … , n :

• TällöinXi ∼ Bernoulli(p), i = 1, 2, … , n.

• Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja X :X = Tapahtuman A esiintymisten lukumäärä

nkertaisessa Bernoullikokeessa• Tällöin

X ∼ Bin(n, p)

1, jos tapahtuu kokeessa0, jos ei tapahdu kokeessai

• Selvästi

koska luku 1 esiintyy summassa ∑ Xi täsmälleen yhtämonta kertaa kuin tapahtuma A sattuu n:n koetoistonaikana.

• Tämä merkitsee sitä, että binomijakautunut satunnaismuuttuja voidaan esittää riippumattomien Bernoullijakautuneiden satunnaismuuttujien summana.

• Huomautus:Binomi ja Bernoullijakauman yhteyttä voidaan käyttää apunabinomijakauman odotusarvon ja varianssin määräämisessä; ks. >.

BinomijakaumaBinomijakauman odotusarvon ja varianssin johtosekä Bernoullijakauma 1/2

• Olkoot Xi , i = 1,2, … , n riippumattomia satunnaismuuttujia, jotkanoudattavat samaa Bernoullijakaumaa parametrilla p:

X1 , X2 , … , Xn ⊥Xi ∼ Bernoulli(p), i = 1,2, … , n

• Olkoon

• TällöinX ∼ Bin(n, p)

• Huomautus:Tarkoitamme satunnaismuuttujien riippumattomuudella sitä,että yhdenkään satunnaismuuttujan saamat arvot eivät riipu siitä,mitä arvoja muut satunnaismuuttujat saavat; käsite täsmennetäänluvussa Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat.

BinomijakaumaBinomijakauman odotusarvon ja varianssin johtosekä Bernoullijakauma 2/2

• Satunnaismuuttujan X = ∑ Xi odotusarvo on

koska satunnaismuuttujien summan odotusarvo on satunnaismuuttujien odotusarvojen summa.

• Satunnaismuuttujan X = ∑ Xi varianssi on

koska riippumattomien satunnaismuuttujien summan varianssi onsatunnaismuuttujien varianssien summa.

1 1 1E( ) E E( )

i ii i i

X X X p np= = =

= = = = ∑ ∑ ∑

1 1 1D ( ) D D ( )

i ii i i

X X X pq npq= = =

= = = = ∑ ∑ ∑

BinomijakaumaBinomijakaumaa noudattavien satunnaismuuttujiensumman jakauma 1/2

• OlkootX1, X2, … , Xk

riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka noudattavatbinomijakaumia parametrein (n1 , p), (n2 , p), … , (nk , p):

X1, X2, … , Xk ⊥Xi ~ Bin(ni , p) , i = 1, 2, … , k

• Tällöin satunnaismuuttujien X1, X2, … , Xk summaY = X1 + X2 + ··· + Xk

noudattaa binomijakaumaa parametrein(n1 + n2 + ··· + nk , p):

Y ~ Bin(n1 + n2 + ··· + nk , p)

BinomijakaumaBinomijakaumaa noudattavien satunnaismuuttujiensumman jakauma 2/2

– Kaikilla binomijakaumilla on oltava sama tapahtuman A todennäköisyyttä kuvaava parametri p, mutta sen sijaan toistokokeidenlukumäärää kuvaava parametri saa vaihdella jakaumasta toiseen.

– Tarkoitamme satunnaismuuttujien riippumattomuudella sitä,että yhdenkään satunnaismuuttujan saamat arvot eivät riipu siitä,mitä arvoja muut satunnaismuuttujat saavat; käsite täsmennetäänluvussa Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat.

BinomijakaumaBinomijakauma jaotanta takaisinpanolla 1/5

• Olkoon perusjoukon S alkioiden lukumäärän(S) = N

• Poimitaan perusjoukosta S satunnaisesti osajoukko B,jonka alkioiden lukumäärä on

n(B) = nkäyttämällä poiminnassa otantaa takaisinpanolla.

• Otanta takaisinpanolla:(i) Perusjoukosta S poimitaan alkiot osajoukkoon B yksi

kerrallaan arpomalla.(ii) Jokainen poimittu alkio palautetaan ennen seuraavan

alkion arpomista takaisin perusjoukkoon S.(iii) Jokaisella perusjoukon S alkiolla on jokaisessa

arvonnassa sama todennäköisyys1/N

tulla poimituksi osajoukkoon B.• Osajoukko B muodostaa yksinkertaisen satunnais

otoksen perusjoukosta S.

• Otannassa takaisinpanolla arvonta voidaan toteuttaaseuraavalla tavalla:(1) Pannaan uurnaan jokaista perusjoukon S alkiota

vastaava arpalippu.(2) Sekoitetaan arvat huolellisesti.(3) Nostetaan uurnasta arpalippu, jota vastaava alkio

valitaan otokseen B.(4) Palautetaan nostettu arpalippu uurnaan.(5) Palataan vaiheeseen (2), kunnes haluttu otoskoko n

on saavutettu.

• Huomautuksia otannasta takaisinpanolla:(i) Jokaisen perusjoukon S alkion todennäköisyys tulla

valituksi otokseen säilyy samana koko poiminnanajan.

(ii) Jokaisella perusjoukon S samankokoisella osajoukollaon sama todennäköisyys tulla valituksi otokseksi.

(iii) Sama perusjoukon S alkio voi tulla valituksi useitakertoja otokseen.

• Olkoon A perusjoukon osajoukko, jonka alkioidenlukumäärä on

n(A) = r• Tällöin todennäköisyys poimia alkio joukosta A on

• Otannassa takaisinpanolla otokseen poimittujen Atyyppisten alkioiden lukumäärä X on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa binomijakaumaa parametreillan ja p:

X ∼ Bin(n, p)

Pr( ) rA pN

Diskreetti tasainen jakaumaBernoullijakaumaBinomijakauma

>> Geometrinen jakaumaNegatiivinen binomijakaumaHypergeometrinen jakaumaPoissonjakauma

Geometrinen jakaumaGeometrinen jakauma ja senpistetodennäköisyysfunktio 1/2

• Toistetaan samaa Bernoullikoetta.• Oletetaan, että koetoistot ovat riippumattomia.• Tarkastellaan otosavaruuden S tapahtuman A sattumista

Pr(A) = pPr(Ac) = 1 − Pr(A) = 1 − p = q

• Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja X:X = Tehtyjen Bernoullikokeiden lukumäärä,

kun A sattuu ensimmäisen kerran

Geometrinen jakaumaGeometrinen jakauma ja senpistetodennäköisyysfunktio 2/2

• Sanomme, että satunnaismuuttuja X noudattaageometrista jakaumaa parametrinaan p.

• Merkintä:X ∼ Geom(p)

• Huomautus:Funktio f(x) määrittelee todennäköisyysjakauman, koskageometrisen sarjan summan kaavan mukaan

1( ) Pr( ) , 0 1, 11,2,3,

xf x X x q p p q px

−= = = < < = −= K

1 1( ) 11

f x q p p q p pq p

∞ ∞ ∞−

= = = = =−∑ ∑ ∑

Geometrinen jakaumaPistetodennäköisyysfunktion johto 1/2

• Toistetaan samaa Bernoullikoetta.• Oletetaan, että koetoistot ovat riippumattomia ja tarkastellaan

tapahtuman A sattumista koetoistojen aikana.• Tarkastellaan toistokoesarjaa, jossa tapahtuma A sattuu ensimmäisen

kerran x:nnessä kokeessa.• Toistokoesarjan tuloksena on tällöin ollut tapahtumajono

jossa on (x − 1) kpl tapahtumia Ac ja jossa tapahtuma A on viimeisenä.

c c c cA A A A AK

Geometrinen jakaumaPistetodennäköisyysfunktion johto 2/2

• KoskaPr(A) = pPr(Ac) = 1 − Pr(A) = 1 − p = q

mikä on kysytty todennäköisyys.

1,2,3,

xqqq qp q px

Geometrinen jakaumaOdotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama

• OlkoonX ∼ Geom(p)

• Odotusarvo:

• Varianssi ja standardipoikkeama:

1E( )Xp

22Var( ) D ( )

Geometrinen jakaumaOdotusarvon johto 1/4

• Pistetodennäköisyyksien f(x) , x = 1, 2, 3, … summa on

• Satunnaismuuttujan X odotusarvo on

1( ) , 11,2,3,

xf x q p q px

−= = −= K

( ) ( ) (1 ) 1x

S p f x p p∞ ∞

= = − =∑ ∑

E( ) ( ) (1 )x

X xf x x p p∞ ∞

= = −∑ ∑

• Summan S(p) derivaatta muuttujan p suhteen on2 1

( ) ( 1)(1 ) (1 )

(1 ) (1 )

1 (1 )1

1 1(1 ) (1 )1

S p x p p pp

x p pp

p p p pp p

∞− −

=∞ ∞

− −

= =∞

=∞ ∞

− −

∂ = − − − + − ∂

= − −

+ − + −

= − −−

+ − + −−

∑ ∑

• Ottamalla huomioon yhtälöt

saadaan yhtälö( ) 1 1 1E( )

1 11 1E( )

1 (1 )0

S p Xp p p p

Xp p p

∂= − + +

∂ − −

= − +− −

(1 ) ( ) 1

(1 ) E( )

p p S p

x p p X

∞−

− = =

• Geometrisen jakauman odotusarvo E(x) toteuttaa siis yhtälön

• Siten geometrisen jakauman odotusarvo on1E( )Xp

1 1E( ) 01 (1 )

Xp p p

− + =− −

Geometrinen jakaumaOdotusarvon ominaisuuksia

• Geometrisen jakauman odotusarvo

on kääntäen verrannollinen tapahtuman A todennäköisyyteen Pr(A) = p.

• Siten tapahtumaa A saa odottaa keskimäärin sitä kauemminmitä pienempi on tapahtuman A todennäköisyys.

1E( )Xp

Geometrinen jakaumaPistetodennäköisyysfunktion kuvaaja

• Kuva oikealla esittäägeometrisen jakauman

Geom(1/3)pistetodennäköisyysfunktiota

pisteissäx = 1, 2, … , 12

• Jakauman odotusarvo:0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1( )1/ 3 , 1

xf x q pp q p

−== = −

1E( ) 3Xp

Geom(1/3)

E(X) = 3

Geometrinen jakaumaGeometrisen jakauman unohtamisominaisuus

• TällöinPr(X ≥ a + b | X ≥ a) = Pr(X ≥ 1 + b)

• Siten geometrisella jakaumalla on seuraava unohtamisominaisuus:Se, että tapahtuman A sattumista on jouduttu odottamaana koetoistoa, ei vaikuta todennäköisyyteen joutuaodottamaan b koetoistoa lisää.

Diskreetti tasainen jakaumaBernoullijakaumaBinomijakaumaGeometrinen jakauma

>> Negatiivinen binomijakaumaHypergeometrinen jakaumaPoissonjakauma

Negatiivinen binomijakaumaNegatiivinen binomijakauma ja senpistetodennäköisyysfunktio 1/2

• Toistetaan samaa Bernoullikoetta.• Oletetaan, että koetoistot ovat riippumattomia.• Tarkastellaan otosavaruuden S tapahtuman A sattumista

Pr(A) = pPr(Ac) = 1 − Pr(A) = 1 − p = q

• Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja X:X = Tehtyjen Bernoullikokeiden lukumäärä,

kun A sattuu r. kerran

Negatiivinen binomijakaumaNegatiivinen binomijakauma ja senpistetodennäköisyysfunktio 2/2

• Sanomme, että satunnaismuuttuja X noudattaanegatiivista binomijakaumaa parametreinaan r ja p.

• Merkintä:X ∼ NegBin(r, p)

1( ) Pr( ) , 0 1, 1

11,2,3, ; , 1, 2,

x r rxf x X x q p p q p

rr x r r r

−− = = = < < = − −

= = + +K K

Negatiivinen binomijakaumaPistetodennäköisyysfunktion johto 1/3

• Toistetaan samaa Bernoullikoetta.• Oletetaan, että koetoistot ovat riippumattomia ja tarkastellaan

tapahtuman A sattumista koetoistojen aikana.• Tarkastellaan toistokoesarjaa, jossa tapahtuma A sattuu r. kerran x.

kokeessa.• Olkoon toistokoesarjan tuloksena ollut tapahtumajono

jossa on r kpl tapahtumia A ja (x − r) kpl tapahtumia Ac ja jossatapahtuma A on viimeisenä.

c c cA A A A A A AK

• KoskaPr(A) = pPr(Ac) = 1 − Pr(A) = 1 − p = q

• Erilaisten sellaisten jonojen, joissa on r kpl tapahtumia A ja (x − r) kpltapahtumia Ac ja joissa A on viimeisenä, lukumäärä on

x r rppqpq qp q p−=L

− −

• Erilaiset tapahtumajonot ovat toisensa poissulkevia.• Toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön mukaan

todennäköisyys saada sellainen jono, jossa on r kpl tapahtumia A ja(x − r) kpl tapahtumia Ac ja jossa tapahtuma A on viimeisenä, saadaanlaskemalla erilaisten tällaisten jonojen todennäköisyydet yhteen.

• Koska ko. jonojen lukumäärä on

saadaan kysytyksi todennäköisyydeksi

− −

1( ) , 1

11,2,3, ; , 1, 2

x r rxf x q p q p

rr x r r r

−− = = − −

= = + +K K

Negatiivinen binomijakaumaOdotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama

• OlkoonX ∼ NegBin(r, p)

• Odotusarvo:

E( ) rXp

22Var( ) D ( )

rqX Xp

Negatiivinen binomijakaumaOdotusarvon johto 1/4

• Pistetodennäköisyyksien f(x) , x = r, r + 1, r + 2, … summa on

• Satunnaismuuttujan X odotusarvo on

1( ) ( ) (1 ) 1

1x r r

x r x r

xS p f x p p

∞ ∞−

− = = − = −

∑ ∑

1E( ) ( ) (1 )

1x r r

x r x r

xX xf x x p p

∞ ∞−

− = = − −

∑ ∑

1( ) , 1

1, 1, 2,

x r rxf x q p q p

rx r r r

−− = = − −

= + + K

• Summan S(p) derivaatta muuttujan p suhteen on

( ) ( )( )

( ) 1 1( ) (1 ) (1 )1 1

1 (1 )1

1 1(1 ) (1 )1 1

1 1 (1 )11

1 1(1 )11

x r r x r r

x r x r

S p x xx r p p r p pr rp

xx p pr

x xr p p r p pr r

xx p prpr rx xp pr rp p

∞− − − −

∞− −

∞ ∞− − − −

∞−

∂ − − = − − − + −− − ∂

−= − −−

− −+ − + −− −

−= − −−−

− −+ − +−−

∑ ∑

∑ ( )(1 )1x r r

x rp p

∞−

−−∑

• Ottamalla huomioon yhtälöt

saadaan yhtälö( ) 1 E( )

1 11 E( )

1 (1 )0

S p r rXp p p p

rXp p p

∂ = − + +∂ − −

= − +− −

( )( )

1 (1 ) ( ) 11

1 (1 ) E( )1

x p p S pr

xx p p Xr

∞−

− − = =−

− − =−

• Negatiivisen binomijakauman odotusarvo E(x) toteuttaa siis yhtälön

• Siten negatiivisen binomijakauman odotusarvo on

E( ) rXp

1 E( ) 01 (1 )

rXp p p

− + =− −

Negatiivinen binomijakaumaOdotusarvon ominaisuuksia

• Negatiivisen binomijakauman odotusarvo

on suoraan verrannollinen lukuun r ja kääntäenverrannollinen tapahtuman A todennäköisyyteenPr(A) = p.

• Siten r. tapahtumaa A saa odottaa keskimäärin sitäkauemmin mitä suurempi on r ja mitä pienempi ontapahtuman A todennäköisyys.

E( ) rXp

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Negatiivinen binomijakaumaPistetodennäköisyysfunktion kuvaaja

• Kuva oikealla esittäänegatiivisen binomijakauman

NegBin(3, 1/3)pistetodennäköisyysfunktiota

pisteissäx = 3, 4, … , 16

13 , 1/ 3 , 1

x r rxf x q p

rr p q p

−− = − = = = −

E( ) 9rXp

NegBin(3, 1/3)

E(X) = 9

Negatiivinen binomijakaumaNegatiivinen binomijakauma jageometrinen jakauma

• Jos r =1, niin satunnaismuuttuja X noudattaa geometristajakaumaa Geom(p):

X ∼ Geom(p)• Geometrinen jakauma on siten negatiivisen binomi

jakauman erikoistapaus.

Diskreetti tasainen jakaumaBernoullijakaumaBinomijakaumaGeometrinen jakaumaNegatiivinen binomijakauma

>> Hypergeometrinen jakaumaPoissonjakauma

Hypergeometrinen jakaumaHypergeometrinen jakauma ja senpistetodennäköisyysfunktio 1/3

• Tarkastellaan perusjoukon S ositusta joukkoihin A ja Ac .• Oletetaan, että joukossa A ⊂ S on

n(A) = ralkiota.

• Tällöin joukon A komplementissa Ac onn(Ac) = N − r

alkiota.

n(B) = nkäyttämällä poiminnassa otantaa ilman takaisinpanoa.

• Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja X:X = Osajoukkoon B tulleiden A:n alkioiden lukumäärä

• Sanomme, että satunnaismuuttuja X noudattaahypergeometrista jakaumaa parametreilla N, r ja n.

• Merkintä:X ∼ HyperGeom(N, r, n)

( ) Pr( )

max[0, ( )] min( , )

r N rx n xf x X x N

nn N r x n r

− − = = =

− − ≤ ≤

Hypergeometrinen jakaumaPistetodennäköisyysfunktion johto 1/4

• Olkoon S otosavaruus jan(S) = N

• Olkoon A ⊂ S• Tällöin {A, Ac} on otosavaruuden

S ositus.• Olkoon n(A) = r ja n(Ac) = N − r• Olkoon B ⊂ S ja n(B) = n• Otosavaruuden S ositus {A, Ac}

indusoi osituksen joukkoon B:B = (B∩A)∪(B∩Ac)

• Olkoonn(B∩A) = xn(B∩Ac) = n − x

B∩Ac

• N:n alkion joukosta S voidaanpoimia n:n alkion osajoukko B

eri tavalla.

• r:n alkion joukosta A voidaanpoimia x alkiota

eri tavalla.

• (N − r):n alkion joukosta Ac

voidaan poimia n − x alkiota

eri tavalla. S

B∩Ac

N rn x

− −

• r:n alkion joukosta A voidaanpoimia x alkiota riippumattasiitä, mitkä n − x alkiotapoimitaan (N − r):n alkionjoukosta Ac.

• Kertolaskuperiaatteen nojalla nalkiota voidaan poimia joukostaS niin, että saadaan r alkiotajoukosta A ja (N − r) alkiotajoukosta Ac

eri tavalla. S

B∩Ac

Br N rx n x

− −

• Soveltamalla klassisentodennäköisyyden määritelmääsaadaan:

B∩Ac

r N rx n xX x

− − = =

Hypergeometrinen jakaumaOdotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama

• OlkoonX ∼ HyperGeom(N, r, n)

• Odotusarvo:

E( ) rX nN

2Var( ) D ( ) 11

D( ) 11

r r N nX X nN N N

r r N nX nN N N

− = = − −

− = − −

Hypergeometrinen jakaumaOdotusarvon johto 1/3

• Koska

E( ) ( )n n n

r N r r N rx n x x n x

X xf x x rN Nn n

− − − − − − = = =

∑ ∑ ∑

1! ( 1)!1!( )! ( 1)!( )!

r rr rx x r rx xx r x x r x

− −= = = −− − −

• Koska

1! ( 1)!1!( )! ( 1)!( )!

N NN N N Nn nn N n n n N n n

− −= = ⋅ = −− − −

1 11 1

E( )1 11 1

r N r r N rx n x x n xnr nrX r

N NN NNn nn

− − − − − − − − = = =

− − − −

∑ ∑

• Kalvon 2/3 yhtälöketjun viimeinen yhtälö perustuu siihen, että

• Tämä seuraa siitä, että jälkimmäisessä summassa lasketaan yhteenkaikki hypergeometrisen jakauman

HyperGeom(N –1, r –1, n –1)pistetodennäköisyydet

1 11 1

11 11 1

r N r r N rx n x x n x

N Nn n

− − − − − − − − = =

− − − −

∑ ∑

( ) , 0,1,2, , 111

r N rx n x

f x x nNn

− − − − = = −

− −

Hypergeometrinen jakaumaOdotusarvon ja varianssin ominaisuuksia 1/3

• OlkoonX ∼ HyperGeom(N, r, n).

• Hypergeometrisen jakauman odotusarvo on

• Odotusarvo on suoraan verrannollinen sekä perusjoukonS osajoukon B (= otos) alkioiden lukumäärään (= n) ettätyypin A alkioiden lukumäärään perusjoukossa S (= r).

• Odotusarvo on kääntäen verrannollinen perusjoukon Salkioiden lukumäärään (= N).

E( ) rX nN

• Olkoon joukon A ⊂ S alkioiden lukumäärän(A) = r

• Poimitaan perusjoukosta S otannalla ilman takaisinpanoaosajoukko B, jonka alkioiden lukumäärä on

n(B) = n• Tällöin diskreetti satunnaismuuttuja

X = Osajoukkoon B tulleiden A:n alkioiden lukumääränoudattaa hypergeometrista jakaumaa parametreilla N, r, n:

X ∼ HyperGeom(N, r, n)

• Todennäköisyys poimia yksi alkio joukosta A on

• Hypergeometrisen jakauman odotusarvo voidaan kirjoittaatodennäköisyyden p avulla muotoon

• Hypergeometrisen jakauman varianssi voidaan kirjoittaatodennäköisyyden p avulla muotoon

E( )X np=

( )2D ( ) 11

N nX np pN

− = − −

( )Pr( )( )

n A rA pn S N

Hypergeometrinen jakaumaPistetodennäköisyysfunktion kuvaaja

• Kuva oikealla esittäähypergeometrisen jakauman

HyperGeom(100, 12, 20)pistetodennäköisyysfunktiota

pisteissäx = 0, 1, 2, … , 12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

100 , 12 , 20

r N rx n xf x

− − =

E( ) 2.4rX nN

HyperGeom(100, 12, 20)

E(X) = 2.4

Hypergeometrinen jakaumaHypergeometrinen jakauma jaotanta ilman takaisinpanoa 1/5

n(B) = nkäyttämällä poiminnassa otantaa ilman takaisinpanoa.

• Otanta ilman takaisinpanoa:(i) Perusjoukosta S poimitaan alkiot osajoukkoon B yksi

kerrallaan arpomalla.(ii) Poimittuja alkioita ei palauteta takaisin

perusjoukkoon S.(iii) Kun otokseen poimitaan alkiota k, k = 1, 2, … , n

jokaisella perusjoukossa S jäljellä olevalla alkiolla onsama todennäköisyys

1/(N –k + 1)tulla poimituksi osajoukkoon B.

• Osajoukko B muodostaa yksinkertaisen satunnaisotoksen perusjoukosta S.

• Otannassa ilman takaisinpanoa arvonta voidaan toteuttaaseuraavalla tavalla:(1) Pannaan uurnaan jokaista perusjoukon S alkiota

vastaava arpalippu.(2) Sekoitetaan arvat huolellisesti.(3) Nostetaan uurnasta arpalippu, jota vastaava alkio

valitaan otokseen B.(4) Ei palauteta nostettua arpalippua uurnaan.(5) Palataan vaiheeseen (3), kunnes haluttu otoskoko n

on saavutettu.

• Huomautuksia otannasta ilman takaisinpanoa:(i) Perusjoukon S alkion todennäköisyys tulla valituksi

otokseen muuttuu poiminnan aikana.(ii) Jokaisella perusjoukon S samankokoisella osajoukolla

on kuitenkin sama todennäköisyys tulla valituksiotokseksi.

(iii) Sama perusjoukon S alkio voi tulla valituksi vainkerran otokseen.

• Olkoon A perusjoukon S osajoukko, jonka alkioidenlukumäärä on

n(A) = r• Todennäköisyys poimia yksi alkio joukosta A on

• Otannassa takaisinpanolla otokseen, jonka koko on n,poimittujen Atyyppisten alkioiden lukumäärä X ondiskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa hypergeometristä jakaumaa parametreilla N, r, n:

X ∼ HyperGeom(N, r, n)

( )Pr( )( )

n A rA pn S N

Hypergeometrinen jakaumaHypergeometrinen jakauma vsbinomijakauma 1/3

• Hypergeometrisen jakauman todennäköisyydet ovatlähellä binomitodennäköisyyksiä, jos otantasuhde

• Otantasuhde ≈ 0, jos otoskoko n on pieni perusjoukonkokoon N nähden.

• Merkitään p = r/N, jolloin r = Np.• Siten

X ∼ HyperGeom(N, Np, n)• Annetaan N → +∞.• Tällöin hypergeometrisen jakauman HyperGeom(N, Np, n)

pistetodennäköisyydet lähestyvät binomijakaumanBin(n, p) pistetodennäköisyyksiä:

HyperGeom( , , ) Bin ( , )lim ( ) ( ) , 0,1,2, ,N Np n n pNf x f x x n

→+∞= = K

• Hypergeometrisen jakauman ja binomijakauman yhteysnäkyy myös siinä, että jakaumilla on sama odotusarvo javarianssit eroavat vain multiplikatiivisella tekijällä

jota sanotaan äärellisen perusjoukon korjaustekijäksi.• Korjaustekijä vaikuttaa hypergeometrisen jakauman

varianssiin sitä vähemmän mitä pienempi on otantasuhden/N:

−−

1 , jos 01

N n nN N

−≈ ≈

Hypergeometrinen jakaumaOtanta takaisinpanolla vsotanta ilman takaisinpanoa

• Binomijakauma muodostaa todennäköisyysmallinotannalle takaisinpanolla.

• Hypergeometrinen jakauma muodostaa todennäköisyysmallin otannalle ilman takaisinpanoa.

• Ero otannan takaisinpanolla ja otannan ilman takaisinpanoa välillä on merkityksetön, jos otantasuhde n/N onpieni tai perusjoukko on ääretön.

• Käytännössä otanta tehdään lähes aina ilman takaisinpanoa, mutta laskutoimituksissa käytetään silti useinkaavoja, jotka perustuvat otantaan takaisinpanolla.

• Edellä esitetyn mukaan tästä johtuva virhe on kuitenkinyleensä merkityksetön.

Diskreetti tasainen jakaumaBernoullijakaumaBinomijakaumaGeometrinen jakaumaNegatiivinen binomijakaumaHypergeometrinen jakauma

>> Poissonjakauma

PoissonjakaumaPoissonjakauma ja senpistetodennäköisyysfunktio 1/3

• Toistetaan samaa satunnaiskoetta.• Oletetaan, että toistot ovat toisistaan riippumattomia.• Tarkastellaan jonkin tapahtuman A sattumista toistojen

aikana.• Oletetaan, että Atapahtumien keskimääräinen lukumäärä

aika tai tilavuusyksikköä kohden on λ.• Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja X:

X = Tapahtuman A esiintymisten lukumääräaika tai tilavuusyksikköä kohden

• Jos tietyt oletukset pätevät (ks. >), satunnaismuuttujan Xpistetodennäköisyysfunktio on muotoa

• Sanomme, että satunnaismuuttuja X noudattaaPoissonjakaumaa parametrinaan λ.

• Merkintä:X ∼ Poisson(λ)

( ) Pr( ) , 0!

0,1,2,

xef x X xx

λλ λ−

= = = >

• Huomautus:Funktio f(x) määrittelee todennäköisyysjakauman, koskaeksponenttifunktion määritelmän mukaan

( ) 1! !

ef x e e ex x

λλ λ λλ λ−∞ ∞ ∞

− −

= = = =∑ ∑ ∑

PoissonjakaumaPistetodennäköisyysfunktion johto 1/3

• Tarkastellaan jonkin tapahtuman A sattumista saman satunnaiskokeentoistojen aikana.

• Oletukset:(1) Toistot ovat toisistaan riippumattomia.(2) Pr(Yksi tapahtuma A lyhyellä aikavälillä dt) = νdt(3) Aikaväli on dt on niin lyhyt, että todennäköisyys

Pr(k kpl tapahtumia A aikavälillä dt, k > 1)on häviävän pieni eli kertaluokkaa o(t).

• Merkitään:f(x; t) = Pr(x kpl tapahtumia A aikavälillä [0, t])

• Oletusten (1)(3) pätiessä aikavälillä[0, t + dt]

voi sattua x kpl tapahtumia A kahdella toisensa poissulkevalla tavalla(tn = todennäköisyys):(1) x kpl tapahtumia A ajanhetkeen t mennessä; tn = f(x; t)

Ei tapahtumia A aikavälillä dt; tn = 1 − νdtLisäksi nämä ovat tapahtumina toisistaan riippumattomia.

(2) (x − 1) kpl tapahtumia A ajanhetkeen t mennessä; tn = f(x − 1; t)Yksi tapahtuma A aikavälillä dt; tn = νdtLisäksi nämä ovat tapahtumina toisistaan riippumattomia.

• Riippumattomien tapahtumien tulosäännön ja toisensa poissulkevientapahtumien yhteenlaskusäännön mukaan

f(x; t + dt) = f(x; t)(1 − νdt) + f(x − 1; t)νdt• Järjestämällä termit uudelleen saadaan erotusosamäärä

• Antamalla dt → 0, saadaan (x:n suhteen) differenssiyhtälö

• Voidaan osoittaa, että tämän differenssiyhtälön ratkaisu on muotoa

• Merkitsemällä νt = λ saadaan Poissonjakauman pistetodennäköisyysfunktio.

[ ]( ; ) ( ; ) ( 1; ) ( ; )f x t dt f x t f x t f x tdt

ν+ −= − −

[ ]( ; ) ( 1; ) ( ; )df x t f x t f x tdt

ν= − −

( )( ) , 0,1,2,!

t xe tf x xx

ν ν−

PoissonjakaumaOdotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama

• OlkoonX ∼ Poisson(λ)

• Odotusarvo:

• Varianssi ja standardipoikkeama:E( )X λ=

2Var( ) D ( )

PoissonjakaumaOdotusarvon johto

• OlkoonX ∼ Poisson(λ)

• Siten

E( ) ( )!

eX xf x xx

−∞ ∞

∞−

−∞−

∑ ∑

PoissonjakaumaPistetodennäköisyysfunktion kuvaaja

• Kuva oikealla esittää Poissonjakauman

Poisson(5)pistetodennäköisyysfunktiota

pisteissäx = 0, 1, 2, … , 12

xef xx

E( ) 5x λ= =

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Poisson(5)

E(X) = 5

PoissonjakaumaPoissonjakaumaa noudattaviensatunnaismuuttujien summan jakauma 1/2

• OlkootX1, X2, … , Xk

riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka noudattavatPoissonjakaumia parametrein λ1 , λ2 , … , λk :

X1, X2, … , Xk ⊥Xi ~ Poisson(λi) , i = 1, 2, … , k

• Tällöin satunnaismuuttujien X1, X2, … , Xk summaY = X1 + X2 + ··· + Xk

noudattaa Poissonjakaumaa parametrillaλ1 + λ2 + ··· + λk :

Y ~ Poisson(λ1 + λ2 + ··· + λk)

PoissonjakaumaPoissonjakaumaa noudattaviensatunnaismuuttujien summan jakauma 2/2

– Jokaisella Poissonjakaumalla saa olla eri parametri.– Tarkoitamme satunnaismuuttujien riippumattomuudella sitä,

että yhdenkään satunnaismuuttujan saamat arvot eivät riipu siitä,mitä arvoja muut satunnaismuuttujat saavat; käsite täsmennetäänluvussa Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat.

PoissonjakaumaBinomijakauma jaPoissonjakauma 1/3

• Binomitodennäköisyydet ovat lähellä Poissontodennäköisyyksiä, jos n on suuri ja p on pieni.

• Siten Poissonjakauma kuvaa harvinaisten tapahtumientodennäköisyyksiä pitkissä toistokoesarjoissa.

• Olkoon p = λ/n, jolloin λ = np.• Annetaan n → +∞ ja p → 0 niin, että np = λ.• Tällöin binomijakauman Bin(n, p) pistetodennäköisyydet

lähestyvät Poissonjakauman Poisson(λ) pistetodennäköisyyksiä:

• Huomautus:Ehto np = λ voidaan korvata lievemmällä ehdolla np → λ.

Bin( , ) Poisson( )0

lim ( ) ( ) , 0,1,2,n pnpnp

f x f x xλ

→∞→=

• Poissonjakauman ja binomijakauman välinen yhteysnäkyy myös siinä, että jakaumien odotusarvot ovat lähellätoisiaan, jos n on suuri ja p on pieni:

• Tällöin myös jakaumien varianssit ovat lähellä toisiaan:

koskap ≈ 0 ⇒ q = 1 − p ≈ 1

E( )X npµ λ= = ≈

2D ( )X np npqµ λ= = = ≈

PoissonjakaumaBinomijakauma jaPoissonjakauma: Todistus 1/3

• Olkoon X ∼ Bin(n, p).• Tällöin

• Oletetaan, ettän → +∞

ja samaan aikaanp → 0

niin, ettänp = λ

jossa λ > 0 on vakio.

( ) , 1 , 0,1,2, ,x n xX

nf x p q q p x n

= = − =

• Ottamalla huomioon, että np = λ ja q = 1 − p, voimme kirjoittaa

( 1)( 2) ( 1) ( ) (1 )!

( 1)( 2) ( 1) (1 )! (1 )

1 2 1 (1 )1 1 1 1! (1 )

x n xX

x n xx

nf x p q

xn n n n x np p

n xn n n n x p

n x px p

n n n x p

− − − += −

− − − + −= ⋅ ⋅−

− − = − − − ⋅ ⋅ −

• Kirjoitetaan

• Luvun e määritelmän mukaan

• Lisäksi pätee:

• Yhdistämällä tulokset (1), (2) ja (3) saadaan haluttu lopputulos:

1/ 1/(1 ) [(1 ) ] [(1 ) ]n p np pp p p λ− − − −− = − = −

0(1) lim[(1 ) ]p

pp eλ λ− − −

→− =

1 2 1(2) lim 1 1 1 1

(3) lim(1 ) 1

xn n np

→∞

− − − − =

lim ( )!

→∞→=

PoissonjakaumaPoissonprosessi

• Tarkastellaan jonkin tapahtuman A sattumista jatkuvallaaikavälillä, jonka pituus on t aikayksikköä.

• Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja X:X = Niiden tapahtumien lukumäärä, jotka sattuvat

aikavälillä [0, t]• Sopivin oletuksin (ks. edellä) satunnaismuuttuja X

noudattaa Poissonjakaumaa parametrinaan νt:X ∼ Poisson(νt)

• Parametri νt kuvaa tapahtumaintensiteettiä elitapahtumien keskimääräistä lukumäärää aikavälillä, jonkapituus on t aikayksikköä.

PoissonjakaumaPoissonprosessi ja eksponenttijakauma

• OlkoonX ∼ Poisson(νt)

• Määritellään jatkuva satunnaismuuttuja Y:Y = Ensimmäisen tapahtuman sattumisaika

= Tapahtumien väliaika• Satunnaismuuttuja Y noudattaa eksponenttijakaumaa

parametrinaan ν.Ks. tarkemmin lukua Jatkuvia jakaumia.

PoissonjakaumaPoissonprosessi:Esimerkki

• Tarkastellaan radioaktiivista hajoamista.• Olkoon satunnaismuuttuja

X = aikavälillä [0, t] hajoavien atomien lukumäärä• Tällöin

X ∼ Poisson(νt)jossa ν on alkuainekohtainen parametri, joka kuvaa keskimäärinaikayksikköä kohden hajoavien atomien lukumäärää.

Ilkka€Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa€3: …math.tkk.fi/opetus/sovtoda/luennot/toddj100.pdf · 2006-10-05 · pistetodennäköisyysfunktio 1/2 š Olkoon X...

Documents

SELF-IMPROVING PHENOMENA IN THE CALCULUS OF VARIATIONS ON...

Todennäköisyyslaskenta II, syksy 2016V ah an sarjaoppia A....

AB - math.tkk.fi fileHelsinki University of Technology,...

Todennäköisyyslaskenta II, syksy 2016 · Ykf:a tarvitaan....

DISKREETTI MATEMATIIKKA -...

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1:...

Special Course in Functional Analysis: (Non-)Commutative...

Todennäköisyyslaskenta: Liitteet

031021P Tilastomatematiikka (5 op) Kurssi-info ja lukion...

Integraalilaskenta...

Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 2 ... · 1...

Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 4 ... ·.....

REGULARITY FOR DEGENERATE NONLINEAR PARABOLIC PARTIAL...

Todennäköisyyslaskenta:...

Todennäköisyyslaskenta I -...

Ilkka€Mellin Tilastolliset€menetelmät Osa€4:...