Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 1 I sistemi di riferimento.
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Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy 1
I sistemi di riferimento
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Il moto ed i sistemi di riferimento
• Consideriamo il moto di un punto materiale riferito ad un sistema cartesiano S...
• che chiameremo “fisso” o “assoluto”
• …e ad un sistema S’• che chiameremo “mobile” o “relativo”
• Il sistema S’ si può muovere• perché si muove la sua origine
• perché i suoi versori fondamentali cambiano di direzione
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Il moto ed i sistemi di riferimento
• Esempio: un aeroplanino che fa le acrobazie, ed una mosca che si muove dentro la sua carlinga:– Sistema S: la torre di controllo– Sistema S’: la carlinga– Il moto della mosca può essere descritto
• Dalla torre di controllo
• Dal pilota nella carlinga
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Il moto ed i sistemi di riferimento
• Usiamo il FORMALISMO VETTORIALE…
• …sfruttando la sua INDIPENDENZA DAL SISTEMA DI RIFERIMENTO...
• …ma facendo l’ipotesi che la geometria su cui si basa (euclidea) valga nel nostro Universo
– siamo sicuri che la cosa funzioni?
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Il moto ed i sistemi di riferimento
• Con la descrizione vettoriale del vettore posizione del punto otteniamo
• Abbiamo già fatto implicitamente l’ipotesi che nei due sistemi valga la geometria euclidea
• In particolare con le stesse unità di misura– Cosa non ovvia: nella relatività speciale questa ipotesi viene a questa ipotesi viene a
caderecadere
OP OO' O'P
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Il moto ed i sistemi di riferimento
• Esplicitamente
Attenzione alle funzioni del tempo
ed alle costanti!
' ' '
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' 'O O O
x y z
x y z
x y z
x y z
x z
x
y
y z
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La composizione delle velocità
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Il moto ed i sistemi di riferimentoil teorema di composizione delle velocità
• DERIVIAMO!
' ' '
ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' '
ˆ ˆ ˆ' ' ' '
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
' '
ˆO O O
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y
x y z
x
z
y z
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Il moto ed i sistemi di riferimentoil teorema di composizione delle velocità
– È la velocità nel sistema “fisso”• Velocità “assoluta”
– È la velocità nel sistema“mobile”• Velocità “relativa”
ˆ ˆ ˆax y z x y z V
ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' ' rx y z x y z V
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Il moto ed i sistemi di riferimentoil teorema di composizione delle velocità
• Se la velocità relativa è nulla, la velocità assoluta è uguale a
– È la velocità di trascinamento
' ' 'ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' 'O O O tx y z x y z x y z x y z V
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Il moto ed i sistemi di riferimentoil teorema di composizione delle velocità
• Otteniamo così il
TEOREMA DI
COMPOSIZIONE DELLE VELOCITÀ
a r t V V V
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Il moto ed i sistemi di riferimentoil teorema di composizione delle velocità
• In realtà, al crescere delle velocità, questo teorema va sempre più in crisi
• occorre la relatività speciale!
• Sostanzialmente il teorema è falso
• Quindi– O non si può applicare allo spazio la geometria euclidea (somma dei
vettori con unità di misure uguali nei due sistemi)
– O non si può trattare il tempo come un parametro indipendente
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Il moto ed i sistemi di riferimentoil teorema di composizione delle velocità
• Velocità di trascinamento– Si dimostra che (formule di Poisson)
– Il vettore è il vettore velocità angolare• Il modulo è pari al valore della velocità angolare
• La direzione è ortogonale al piano di rotazione
• Il verso è tale da vedere la rotazione avvenire in senso antiorario
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' ' x x y y z z
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Il moto ed i sistemi di riferimentoil teorema di composizione delle velocità
• Dimostrate le formule di Poisson!• Tenete presente che la derivata di un versore dev’essere a
questo perpendicolare– Quindi potete esprimerle come prodotti esterni...
• La somma dei versori fondamentali più i loro incrementi infinitesimi dev’essere ancora una terna ortogonale
– Quindi i loro prodotti scalari debbono essere nulli a coppie
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Il moto ed i sistemi di riferimentoil teorema di composizione delle velocità
• Con questo
• Il moto di trascinamento è una sovrapposizione– Di una traslazione– Di una rotazione
• Quindi è un moto ELICOIDALE
't O V V O'P
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La composizione delle accelerazioni
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Il moto ed i sistemi di riferimento la composizione delle accelerazioni
• Deriviamo di nuovo!
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ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' '
ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' '
ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' '
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' '
O O O
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
x
x y z
x
z
y
y
z
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Il moto ed i sistemi di riferimento la composizione delle accelerazioni
• Anche qui abbiamo– Accelerazione assoluta
– Accelerazione relativa
– Accelerazione di trascinamento• ciò che resta se il punto è fermo nel sistema S’
ˆ ˆ ˆax y z x y az
ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' ' rx y z x y z a
' ' 'ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' 'O O tOx y z x y z x y z x y z a
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Il moto ed i sistemi di riferimento la composizione delle accelerazioni
• Ed a questo punto avanza un pezzo!
– È l’accelerazione complementare o di Coriolis– Ed alla fine otteniamo il...
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ' ' ' ' ' ' 2 ' ' ' ' ' '
2 r c
x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
x y z x z
V a
y
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Il moto ed i sistemi di riferimento la composizione delle accelerazioni
TEOREMA DI COMPOSIZIONE DELLE ACCELERAZIONI
2a r t
r
c
c
a a a a
a V
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Le forze apparenti
Dette anche “forze fittizie”
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Il moto ed i sistemi di riferimentole forze apparenti
• Dalla relazione
otteniamo
SE NEL SISTEMA FISSO VALE LA II LEGGE DELLA DINAMICA...
a r t c a a a a
a r t cM M M M a a a a
ra t cMM M M aF a aa
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Il moto ed i sistemi di riferimentole forze apparenti
• … e quindi nel sistema mobile vale la relazione...
... IN GENERALE IN QUESTO SISTEMA LA II LEGGE DELLA DINAMICA!
NON VALE
r t cM M M a F a a
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Il moto ed i sistemi di riferimentole forze apparenti
…a meno che non si introducano ad hoc, per far tornare i conti,
delle “forze fittizie”
t cM M a a
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Il moto ed i sistemi di riferimentole forze apparenti
• Attenzione: queste NON hanno la controparte di reazione!
• Tutto però nel sistema S’ avviene come se esistessero davvero– Sono in realtà una manifestazione del principio
d’inerzia
app t cM M F a a
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Il moto ed i sistemi di riferimentole forze apparenti
In generale, se vogliamo usare le leggi della dinamica dovremo
aggiungere alle forze reali anche le forze apparenti
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Il moto ed i sistemi di riferimentole forze apparenti
• Un sistema nel quale valga la II legge della dinamica si dice un
SISTEMA INERZIALE• Se un sistema è inerziale, anche uno che si muova
con velocità angolare nulla e moto rettilineo uniforme rispetto ad esso è inerziale
0t c a a
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Il moto ed i sistemi di riferimentole forze apparenti
• Si verifica che un sistema legato alle stelle è inerziale• Quindi ogni sistema con e velocità uniforme
rispetto a questo è inerziale• Quindi in tutti questi sistemi funziona la dinamica• Quindi nessuno di questi sistemi può essere privilegiato
È LA RELATIVITÀ GALILEIANA
0ω
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Il moto ed i sistemi di riferimentole forze apparenti
• Si possono misurare le forze apparenti (nelle 3 componenti)...
• ...e quindi riportare il nostro moto ad un sistema inerziale
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Forze apparenti notevoli
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Il moto ed i sistemi di riferimentole forze apparenti
• Ecco le forze apparenti in accelerata o frenata
• Sistema S inerziale fisso
Sistema S’ non inerziale
mobile
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Il moto ed i sistemi di riferimentole forze apparenti
• Ecco la situazione per la caduta di un grave in un vagone in moto non uniforme
• Le interpretazioni dei due osservatori sono diverse
• Nel sistema mobile occorre introdurre delle forze apparenti
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Il moto ed i sistemi di riferimentole forze apparenti
• Ecco la situazione della forza centrifuga apparente
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Il moto ed i sistemi di riferimentole forze apparenti
• Ma esiste una forza centrifuga reale?
– Certo, ma è applicata all’asse, non al corpo...
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Il moto ed i sistemi di riferimentole forze apparenti
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Il moto ed i sistemi di riferimentole forze apparenti
• Proprietà della forza di Coriolis– È nulla se è
_– Il moto di trascinamento è solo traslatorio
_ – Il punto è fermo nel sistema mobile
_– La velocità relativa è parallela all’asse di rotazione
0
0rV
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Il moto ed i sistemi di riferimentole forze apparenti
• Esempi sulla Terra di forze apparenti: – forza centrifuga
• si somma vettorialmente alla forza peso
– deviazione dei gravi verso E• deriva dalla forza di Coriolis
– cicloni ed anticicloni• deriva dalla forza di Coriolis
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Il moto ed i sistemi di riferimentole forze apparenti
• Ecco le interpretazioni diverse di un moto rettilineo uniforme su una piattaforma rotante con velocità angolare uniforme
• L’osservatore mobile deve introdurre una forza perpendicolare alla velocità
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Il moto ed i sistemi di riferimentole forze apparenti
• Ecco la forza di Coriolis applicata a zone di bassa pressione nell’atmosfera terrestre– L’aria si trova a passare su zone della Terra con
velocità periferiche diverse– Noi vediamo apparire una forza perpendicolare al
vettore velocità
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Il moto ed i sistemi di riferimentole forze apparenti
• Ed ecco un ciclone reale, visto da un satellite
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