FIZYKA dr Danuta Piwowarska BUDOWNICTWO INŻYNIER ...dana.zut.edu.pl/fileadmin/zadania/2019/w1_Fizyka__WBiA...dr Danuta Piwowarska FIZYKA 2 Literatura podstawowa: 1. D. Halliday, R.
Post on 21-Oct-2020
1 Views
Preview:
Transcript
1 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Prowadząca wykłady: dr Danuta Piwowarska
Kierunki : BUDOWNICTWO , INŻYNIER EUROPEJSKI
Forma zaliczenia: Kolokwium zaliczeniowe z wykładów
Kierunek : INŻYNIERIA ŚRODOWISKA , TRANSPORT
Forma zaliczenia: Egzamin
Liczba godzin wykładów: 30
Konsultacje:
wtorek, godz. 15:00-15:45
środa, godz. 12:00-12:45 pok. 612 I.F.
WARUNKI ZALICZENIA PRZEDMIOTU:
• zaliczenie na ocenę pozytywną laboratorium (warunki podaje prowadzący na zajęciach);
• zaliczenie na ocenę pozytywną egzaminu/ kolokwium zaliczeniowego z wykładów z Fizyki.
FIZYKA
2 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Literatura podstawowa:
1. D. Halliday, R. Resnick, J.Walker: Podstawy Fizyki, T. 1- 4, Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa 2006.
2. J. Masalski, M. Masalska, Fizyka dla inżynierów, cz. I i II, Wydawnictwa Naukowo-
Techniczne, Warszawa 1980.
3. Cz. Bobrowski, Fizyka - krótki kurs, WNT, Warszawa 2003.
4. I.W. Sawieliew, Wykłady z Fizyki T. 1 i 2 , Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2003.
5. K.Jezierski, B.Kołodka, K.Sierański, Zadania z rozwiązaniami, Oficyna Wydawnicza Scripta,
Wrocław 2000.
FIZYKA - GŁÓWNE CZĘŚCI
Część I – MECHANIKA
Część II – ELEMENTY FIZYKI CIAŁA STAŁEGO
Część III – ELEMENTY SZCZEGÓLNEJ
TEORII WZGLĘDNOŚCI
Część IV – ELEKTRYCZNOŚĆ
Materiały z wykładów: dana.zut.edu.pl
3 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
CZYM JEST FIZYKA ?
Fizyka to nauka eksperymentalna
Galileusz zrzucający kule
z krzywej wieży w Pizie
Przykład:
Arystoteles (384-322 pne.), filozof grecki, twierdził, że ciało spada na ziemię tym szybciej im jest cięższe. Było to bardzo popularne aż do późnych lat XVI w.
Dopiero Galileusz -włoski astronom, astrolog, fizyk i filozof, twórca podstaw
nowożytnej mechaniki i astrofizyki. Przeciwstawił się temu twierdzeniu w dość
spektakularny sposób: W tym samym czasie upuścił z wieży 2 kule:
- ciężką kulę armatnią o wadze 80 kg
- i lżejszą kulkę muszkietową o wadze 200 g.
Oba ciała (które miały podobną formę) dosięgły ziemi w tym samym
momencie. Udowodnił, więc, że czas ich opadania jest dokładnie taki sam
(przy zaniedbaniu nieznacznego w tym przypadku efektu wynikłego z tarcia
powietrza).
Dowód ten stanowi jedną z podwalin mechaniki klasycznej.
WN.: W nauce wyniki eksperymentu są zawsze ważniejsze niż autorytet
nawet najbardziej uznawanego i poważanego człowieka.
Galileo Galilei (1564-1642)
Źródłem informacji w fizyce są obserwacje i pomiary.
Fizycy (i inni obserwatorzy) formułują prawa i zasady opisujące przebieg
zjawisk i związki zachodzące pomiędzy mierzonymi wielkościami.
4 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
RELACJE W PRZYRODZIE
Prawom ruchu drogowego podlegają wszyscy kierowcy.
Bywa jednak, że któryś z kierowców praw tych nie przestrzega.
Prawu karnemu podlegają wszyscy przestępcy.
Niekiedy jednak przestępcy udaje się uniknąć wymiaru sprawiedliwości.
Prawom fizyki podlegamy wszyscy - zarówno my sami, jak i cała przyroda.
Praw tych nie da się nie przestrzegać, ani uniknąć. Zmiany systemów ekonomicznych
i społecznych nie mają na nie żadnego wpływu.
Wiemy, że prawa i zasady formułują też organizacje międzynarodowe i rządowe, prawnicy,
politycy, ekonomiści...
5 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
NIEPRZESTRZEGANIE LUB IGNOROWANIE PRAW FIZYKI- PRZYKŁADY
Wypadek drogowy - nie uwzględnienie:
siły odśrodkowej na zakręcie,
zmiany współczynnika tarcia na mokrej nawierzchni,
zależności energii kinetycznej od kwadratu prędkości,
związku przebytej drogi z prędkością i czasem reakcji,
dodawania się prędkości przy zbliżaniu się pojazdów,
itd..
Mikser - ignorowanie:
Konstruktor zapomniał, że moment siły, to iloczyn siły razy
ramię i kiedy ramię jest małe, to siła może być - ogromna.
Plastykowa rączka nie miała szans obracać cienkiej osi
z mocną sprężyną i po kilkakrotnym użyciu przestała działać.
Wiele innych
Za najważniejsze można uznać te prawa:
których zasięg w świecie jest największy,
które muszą być najściślej przestrzegane.
6 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
FIZYKA A ZJAWISKA W PRZYRODZIE – WYJAŚNIJ DLACZEGO…
Dlaczego rower nie przewraca się kiedy
jedzie, a przewraca się - kiedy stoi?
Dlaczego niebo jest niebieskie? Dlaczego woda wrze?
Co sprawia, że samolot wznosi się? Co jest powodem „tęczy"
na płycie kompaktowej?
Czy reaktor jądrowy może wybuchnąć
na podobieństwo „bomby atomowej"?
7 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Według Nowej encyklopedii powszechnej PWN fizyka to nauka przyrodnicza zajmująca się
badaniem ogólnych własności materii i zachodzących zjawisk, a także wykrywaniem ogólnych
praw, którym te zjawiska podlegają.
Fizyka jest podstawową nauką przyrodniczą, której zadaniem jest badanie obiektywnych
własności otaczającego nas świata materialnego i zachodzących w nim zjawisk, gromadzenie
faktów, a przede wszystkim odnajdywanie ich wzajemnej zależności.
Czym zatem jest nauka ?
Czy starożytni Egipcjanie, twórcy piramid byli naukowcami?
Egipskie piramidy Chefrena, Cheopsa i Mykerionosa (patrząc od lewej)
.
CZYM JEST FIZYKA ?
8 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Czym zatem jest nauka …?
Kiedy można mówić o nauce?
Według Henriego Poincarego (1854-1912), naukę tworzy się z faktów, tak jak dom buduje się z
kamieni, ale zbiór faktów nie jest nauką, tak jak stos kamieni nie jest domem. To znaczy, że należy
jeszcze znaleźć powiązania (związki) między faktami.
Dzisiaj mianem nauki określa się gromadzoną przez pokolenia wiedzę o rzeczywistości, spełniającą
warunki prawdziwości, czyli na przykład w naukach przyrodniczych, potwierdzoną doświadczalnie
lub obserwacyjnie. Nauka jest więc efektem zbiorowego wysiłku ludzkości.
Tym między innymi różni się ona od sztuki.
• Gdyby Ludwig van Beethoven nie skomponował swojej
V symfonii, to nie powstałaby ona nigdy.
•Gdyby Albert Einstein nie sformułował teorii
względności, z pewnością uczyniłby to jakiś inny
naukowiec (wzory transformacyjne opracował
Lorentz; H. Poincare był bliski sformułowania STW).
9 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
FIZYKA – wokół nas
Już w XVI wieku Galileusz i Francis Bacon stworzyli model//schemat postępowania dający
podstawę metodzie naukowej (rys.). Te schematy nazywamy teoriami fizycznymi.
10 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
FIZYKA A ROZWÓJ NAUKI I TECHNIKI
Badania fizyczne
Metoda indukcyjna polega na tym, że wyniki badań poszczególnych zjawisk uogólnia się
stopniowo, przechodząc do sformułowania praw fizycznych. Metodę tę stosuje się głównie w fizyce
doświadczalnej.
Metoda dedukcyjna stosowana jest głównie w fizyce teoretycznej. Punktem wyjścia są pewne
ogólne prawa i zasady. Analiza tych zasad umożliwia przewidywanie nowych zdarzeń i faktów,
pozwala stworzyć nową teorię.
Żadna teoria fizyczna nie może być uznana za ostateczną, dlatego że każda z nich została
potwierdzona tylko w skończonej liczbie doświadczeń. ,
Isaak Newton przewidywał, na podstawie znanych sobie
praw fizyki, że możliwy jest ruch satelitów wokół Ziemi.
Hipotezę tę potwierdzono w XX wieku, gdy w roku 1957
wystrzelono pierwszego sztucznego satelitę Ziemi (rys.).
Teoretycy przewidują możliwość istnienia nowych,
nieznanych dotychczas zjawisk, wskazując
eksperymentatorom kierunki badań. Eksperymentatorzy
zaś dostarczają teoretykom materiału doświadczalnego
do opracowania. Pierwszy sztuczny satelita Ziemi: Sputnik 1
11 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
FIZYKA A ROZWÓJ NAUKI I TECHNIKI
Teoria względności
Teorię względności tworzą: szczególna teoria względności,
ogłoszona w 1905 roku, oraz ogólna teoria względności,
ogłoszona w 1916 roku.
Szczególna teoria względności wiąże wyniki pomiarów
położenia i czasu przeprowadzonych w różnych
(inercjalnych) układach odniesienia.
Ogólna teoria względności to relatywistyczna teoria oddziaływań
grawitacyjnych, według której grawitacyjne przyspieszenie ciał jest
spowodowane zakrzywieniem czasoprzestrzeni.
Zgodnie z ogólną teorią względności masa powoduje odkształcenie
czasoprzestrzeni, a odkształcona czasoprzestrzeń wyznacza ruch
poruszających się w niej mas. W konsekwencji w pobliżu masywnych
obiektów przestrzeń się zakrzywia a czas płynie wolniej.
Ugięcie promieni świetlnych
w pobliżu ciała o dużej masie
zakrzywiającego czasoprzestrzeń
12 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Czy teoria względności ma jakieś praktyczne zastosowanie?
• System GPS pozwala na określenie z dokładnością do kilku metrów położenia odbiornika
na powierzchni Ziemi uwzględnia poprawkę relatywistyczną związaną z tym, że czas odmierzany
przez zegary na satelitach tego systemu jest inny niż czas odmierzany przez zegary na Ziemi.
• Aplikacja mobilna pozwala na wyznaczenie trasy podroży pomiędzy dwoma punktami w oparciu o
położenie początkowe i końcowe (z systemu GPS) oraz zapisaną w aplikacji mapę terenu.
Przykładowy iPhone , rodzaj smartfona z funkcją GPS.
13 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Fizyka kwantowa
Laser - nazywany światłem XX wieku – został również odkryty dzięki
pracom w dziedzinie fizyki kwantowej. Podstawą działania każdego lasera
jest zjawisko wymuszonej emisji promieniowania. Teoretyczne podstawy
zjawiska emisji wymuszonej promieniowania
sformułował w latach dwudziestych Einstein. Dopiero w 1960 r.
przewidywania zastosowano w praktyce i uruchomiono pierwszy laser -
rubinowy . Niedługo potem uruchomiono lasery gazowe (np.helowo-
neonowe), a potem półprzewodnikowe (bardzo ważne w telekomunikacji). W mechanice kwantowej
Cząstkę lokalizujemy z określo-
nym prawdopodobieństwem
Laser ekscimerowy (UV) umożliwia usunięcie
tkanki z dokładnością do 0,25 mikrometra
(dla porównania - włos ludzki ma grubość
około 50 mikrometrów).
Fizyka a rozwój nauki i techniki
14 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Fizyka a rozwój nauki i techniki
Odkrycie jądra atomowego i jego własności
Ernest Rutherford, odkrywa w 1911 roku jądro
atomowe.
Podczas reakcji rozszczepienia jąder masa
produktów rozpadu jest mniejsza niż masa
składników przed rozpadem. Różnica mas Δm
może być wyzwolona w postaci energii o wartości:
E = Δmc2
1939 roku Enrico Fermi rozpoczął konstrukcję
pierwszego reaktora jądrowego.
Pierwszą kontrolowaną reakcję rozszczepienia jąder
atomowych przeprowadzono w tym reaktorze
2 grudnia 1942 roku.
W bombie atomowej, zachodzi niekontrolowana
łańcuchowa reakcja rozszczepiania jąder uranu 235U
(lub plutonu).
Korzystając z energii zamkniętej w jądrze atomowym
budujemy elektrownie jądrowe, w których reaktorach
występują kontrolowane reakcje łańcuchowe.
Technika jądrowa to również zastosowanie izotopów
promieniotwórczych w technice (np. wykrywacze dymu) i
medycynie (do diagnostyki i terapii; rezonans
magnetyczny, tomograf komputerowy). Próbny wybuch jądrowy
15 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Laboratoria i narzędzia fizyki współczesnej - CERN
CERN - Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire, czyli Europejski Ośrodek Badań Jądrowych
16 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
FIZYKA a rozwój nauki i techniki
World Wide Web (WWW), z którego korzysta cały świat - „narodził się" w CERN
Rozwój fizyki:
ustawiczne poszukiwania niekonwencjonalnych rozwiązań,
pokonywanie wciąż nowych barier technologicznych: w elektronice, informatyce, mechanice,
technice wysokiej próżni, niskich temperatur, wysokich ciśnień itd...
17 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
1. JEDNOSTKI PODSTAWOWE I UZUPEŁNIAJĄCE UKŁĄDU SI
(ᶩ )
(m )
(t)
( I)
(termodynamiczna)
(T)
18 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
DEFINICJE WYBRANYCH JEDNOSTEK FIZYCZNYCH
JEDNOSTKA DŁUGOŚCI – METR
Tab. źródło: D.Halliday, R.Resnick, J.Walker, Podstawy fizyki (PWN)
Zdj. Porównanie rozmiarów Ziemi i Jowisza,
Żr. https://pl.wikipedia.org
Jest to długość drogi, którą światło
przebywa w próżni w czasie równym
1/299792458 sekundy.
W 1791 była to 1/10 000 000 poniższej długości
https://pl.wikipedia.org/wiki/Jowisz
19 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
DEFINICJE WYBRANYCH JEDNOSTEK FIZYCZNYCH
JEDNOSTKA MASY – KILOGRAM [kg]
Jest to masa wzorca wykonanego ze stopu platyny i irydu.
*1 kg w przybliżeniu jest to masa jednego litra czystej wody w temperaturze 4°C
Rys. Repliki wzorca znajdują się w rożnych miejscach na świecie, np. (rys) w Narodowym Instytucie
Standaryzacji i Technologii (NIST).
* Na stronie NIST: (https://openstaxcollege.org/l/21redefkilo) zobaczyć propozycje nowych definicji.
https://openstaxcollege.org/l/21redefkilo
20 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
JEDNOSTKA CZASU – SEKUNDA (od 1967r.)
Wiele lat (1889 – 1967) sekunda - 1/86400 średniej doby słonecznej.
Od 1967 roku 1 sekunda - czas trwania 9 192 631 770 drgań
atomu cezu 133Cs – tzw. zegar atomowy
Rysunek . Tzw. fontanna atomowa widoczna na zdjęciu ma długość prawie 9 m.
Dzięki zliczaniu drgań atomu cezu zegar atomowy odmierza czas z
dokładnością wyższą niż jedna mikrosekunda na rok
(Źrodło: Steve Jurvetson)
21 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
2. MATEMATYCZNY ELEMENTARZ FIZYKA
2.1 Wektory
2.2. Funkcje
2.3. Rachunek różniczkowy
2.4. Całki
22 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Wielkości fizyczne ze względu na ich własności matematyczne:
Rys.Masa młotka jest skalarem, ale jego
prędkość jest wektorem
Rys. źr. Fizyka dla szkół wyższych S. Ling, J.Sanny, W. Moebs
1) Skalarne- mają jedynie wartość, nie zależą od wyboru
układu współrzędnych. Przykłady: masa, objętość, czas,
ładunek, temperatura, praca.
2) Wielkości wektorowe posiadają wartość, kierunek,
zwrot i punkt przyłożenia. Przykłady: prędkość,
przyspieszenie, siła, pęd, natężenie pola, .
Cechy wektora:
1) punkt przyłożenia,
2) wyróżnia pewien kierunek w przestrzeni, (kierunek
prostej, do której wektor jest równoległy),
3) zwrot,
4) wartość bezwzględną (długość wektora, jego wartość
liczbowa, moduł).
Spośród kilku używanych sposobów sygnalizowania, że dany symbol jest wektorem, wybierzemy
jeden - rysowanie strzałki nad symbolem, na przykład p, v, F. Wartość bezwzględną (moduł)
wektora F oznaczamy symbolem |F| albo F .
23 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
RACHUNEK WEKTOROWY
3) Tensor , to wielkość do opisania której podajemy macierz współczynników. W
przestrzennym układzie współrzędnych (3–wym.) tensor to 9 liczb nazywanych
współczynnikami.
Rys. źródło: www.slideshare.net/panisson/exploring-temporal-graph-data-with-python-a-study-on-
tensor-decomposition-of-wearable-sensor-data
24 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Rys. Wektor r i jego składowe rx, ry, rz w
trójwymiarowym prostokątnym układzie
współrzędnych
2.1.1. Składowe i współrzędne wektora
W przestrzeni fizycznej, położenie punktu w zadanym układzie odniesienia wyznaczają trzy
współrzędne. Te trzy liczby, oznaczane zazwyczaj x, y i z nazywamy współrzędnymi kartezjańskimi.
=(x, y, z)
i
j k
W podobny sposób możemy określić dowolny wektor r.
zyx rrrr
Wektory składowe możemy przedstawić w postaci liczb
rx, ry, rz i wektorów jednostkowych ( ). 1 kjizyx
rrr
,,
kji
,,
krrjrrirr zzyyxx
,,
(1.1)
(1.2)
Podstawiając te związki do wzoru (1.1) otrzymujemy:
krjrirr zyx
(1.3)
Znając współrzędne wektora r ,w układzie prostokątnym, jego długość (moduł) obliczymy
ze wzoru: zyx rrr ,,
222
zyx rrrr
(1.4)
RACHUNEK WEKTOROWY
25 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
2.1.2. Mnożenie wektora przez skalar
Składowe wektora wyznaczamy umieszczając początek wektora w początku układu współrzędnych
i rzutując koniec wektora na poszczególne osie wybranego układu współrzędnych:
W wybranym układzie współrzędnych wektor jest definiowany przez podanie jego współrzędnych, np.:
Zwróćmy w tym miejscu uwagę na przyjętą konwencję. Wszystkie wektory wyróżnione są w
tekście czcionką wytłuszczoną. Iloczynem wektora a przez liczbę k R nazywamy
wektor c o długości |c|·= |a|·|k| o kierunku zgodnym z
kierunkiem wektora dla k > 0 lub zgodnym z wektorem
a lecz o zwrocie przeciwnym do zwrotu a dla k < 0
(rys).
Rys. Mnożenie wektora przez skalar
Przykład: a = [3; 6; 8], k =2 a⋅k = [3⋅2; 6⋅2; 8⋅2]= [6; 12; 16].
Zwróćmy uwagę, że gdy k = 0, to c = a⋅k = 0 (wektor zerowy)
a nie c = a⋅k = 0 (liczba zero).
RACHUNEK WEKTOROWY
26 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Sumą dwóch wektorów a+b jest nowy wektor c
o współrzędnych:
a+b = c; c = [cx ,cy, cz] = [ax+bx, ay+by, az+bz].
Przykład: a = [3, 6, 8]; b = [1, 4, 5] c = [4, 10, 13].
Rys. Geometryczna suma i różnica wektorów
Różnicą dwóch wektorów a-b jest nowy wektor c
o współrzędnych:
a-b = c; c = [cx, cy, cz] = [ax-bx, ay-by, az-bz].
Przykład: a = [3, 6, 8]; b = [1, 4, 5] c = [2, 2, 3].
Dodawanie i odejmowanie wektorów
Geometrycznie jest to przekątna równoległoboku zbudowanego na tych wektorach.
Różnicę dwóch wektorów przedstawia druga przekątna (rys. prawy).
Reguła równoległoboku
27 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Niech dane są dwa wektory niezerowe: i ,
iloczyn skalarny wektorów ( ), to liczba. Można ją otrzymać : ba
Cbabababa
baba
zzyyxx
cos (1.6)
WŁASNOŚCI ILOCZYNU SKALARNEGO:
a) (jest przemienny),
b) =0 , wtedy a b ,
c) .
abba
ba
2aaa
Przykład 1 ( tablica)
Iloczyn skalarny jest często stosowany do opisu wielkości fizycznych.
Przykładem wielkości fizycznej, którą można przedstawić jako iloczyn skalarny dwóch wielkości
wektorowych jest praca :
2.1.4. ILOCZYN SKALARNY DWÓCH WEKTORÓW
]1[]1[ mNJ
rFW
28 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
2.1.5. Jeżeli i , to iloczyn wektorowy ( ) tych wektorów jest
wektorem takim, że:
(1.7)
Długość wektora :
(1.8)
Rys. Iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest wektorem
Wektor jest prostopadły do płaszczyzny
wyznaczonej przez wektory i .
Kierunek jest określony regułą śruby
prawoskrętnej lub regułą prawej ręki (rys).
Przykład (tablica).
Własności iloczynu wektorowego:
a) (nie jest przemienny),
b) jeżeli i różne od zera, a
)( abba
bIIaba
0
ILOCZYN WEKTOROWY
29 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Rys. Wykres funkcji jednej zmiennej y = f(x)
Niech X i Y będą dowolnymi niepustymi zbiorami. Jeżeli każdemu elementowi zbioru X
zostanie przyporządkowany jeden i tylko jeden element zbioru Y, to takie odwzorowanie
(przekształcenie) nazywamy funkcją f odwzorowującą (przekształcającą) zbiór X w zbiór Y.
Będziemy to zapisywać w postaci: f: X Y lub y = f(x)
• Każdy element x (zbioru X )nazywamy zmienną niezależną albo argumentem funkcji,
• zaś y (element zbioru Y)- zmienną zależną albo wartością funkcji.
Funkcje mogą być wyrażone:
1) analitycznie, np. y = ax; y=lnx,
2) graficznie, w postaci wykresu,
3) numerycznie, w postaci tablic.
(1.9)
FUNKCJE
Taka krzywa (rys.), może przedstawiać dane
obserwacyjne lub zależność algebraiczną (równanie).
Przykładem pierwszej sytuacji (dane obserwacyjne)
byłby wykres temperatury w pewnym miejscu i czasie
jako funkcja wysokości. Wtedy x oznacza wysokość
ponad powierzchnią Ziemi, powiedzmy w metrach,
a y temperaturę, na przykład w stopniach Celsjusza.
Jeśli dwie zmienne niezależne oznaczymy x i y,
a zmienną zależną - z, zależność funkcyjną zapiszemy
jako z = f(x,y).
Np. temperatura powietrza w danym miejscu zależy nie tylko od
wysokości, ale także od czasu; w czerwcu temperatura będzie
inna niż w styczniu, a w południe inna niż o północy.
30 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
Podstawowy cel rachunku różniczkowego to opis zmian wartości funkcji pod wpływem ciągłej zmiany
jej argumentu.
POCHODNA FUNKCJI
Niech dwóm argumentom odpowiadają dwie wartości funkcji .
Oznaczmy i .
Niech będzie przedziałem otwartym i funkcja ; .
Jeśli dla pewnego istnieje skończona granica ilorazu różnicowego ( )
dx
dy
xx
xfxfxf
xx
0
00
0
lim'
0xix 0yiy
xxx 0 yyy 0
x
y
)lim'(lub0 x
yy
x
(1.10)
xfy
to mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie . . Wartość powyższej granicy
nazywamy pochodną funkcji f(x) w punkcie i oznaczamy symbolem .
xfy 0x
Wyrażenie , nazywa się różniczką funkcji , zaś dx różniczką argumentu x.
Obliczanie pochodnej nazywamy różniczkowaniem.
dxxfdy 0'
0x
xfy
31 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji :
(1.11)
Pochodna – granica ilorazu różnicowego. Tangens konta pomiędzy styczną do wykresu funkcji
w punkcie , f(x0) z osią OX. 0x
POCHODNA FUNKCJI
xfy
tgdx
dy
x
y
x
0lim
dy
y
dx
styczna
dy
dx = tg
f(x0)
x0+dx x0 x
y
f(x0+dx)
A
B
Sieczna
AB
32 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
POCHODNE FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Funkcja Pochodna Uwagi
C 0
xn nxn-1
sinx cosx
cosx -sinx
tgx
ctgx
lnx x > 0
ex ex
ax axlna a > 0
2
1
cos x
2
1
sin x
1
x
33 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
PODSTAWOWE WZORY RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO
34 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Przykłady zastosowań w fizyce.
Jeśli funkcja wyraża położenie w zależności od czasu, to jej pochodna jest prędkością chwilową.
Druga pochodna położenia (pierwsza pochodna prędkości) jest przyspieszeniem, trzecia
natomiast to zryw.
Przypuśćmy teraz, że mamy daną funkcję f(x) i jej pochodną f'(x). Możemy powtórzyć opisaną
procedurę i obliczyć pochodną funkcji f'(x). Tę nową funkcję nazywamy drugą pochodną i
oznaczamy f"(x). Podobnie określa się trzecią pochodną oraz kolejne. Ze względu na czytelność
zapisu apostrofami oznacza się jedynie pochodne do trzeciej włącznie (czasem tylko do drugiej).
Dalsze pochodne oznacza się liczbami rzymskimi:
DRUGA I DALSZE POCHODNE FUNKCJI
35 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Całkę nieoznaczoną zapisujemy symbolicznie:
Całką nieoznaczoną lub funkcją pierwotną funkcji nazywamy taką
funkcję F(x), której pochodna jest równa danej funkcji , czyli:
xfy xf
)()(')(
xfxFdx
xdF (1.12)
(1.13)
PODSTAWOWE WZORY:
Całka (ang. integral) to termin wieloznaczny i wymagający bliższego określenia, takiego jak całka
nieoznaczona, całka oznaczona, całka niewłaściwa czy całka równania różniczkowego.
Jeśli mówimy po prostu "całka", to zazwyczaj mamy na myśli całkę nieoznaczoną.
2.4.1. Funkcja pierwotna
2.4. RACHUNEK CAŁKOWY ( dodatkowo dla chętnych:)
36 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
2.4.2. PODSTAWOWE WZORY RACHUNKU CAŁKOWEGO
2.4.3. CAŁKA OZNACZONA
37 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
POMIARY I WIELKOŚCI FIZYCZNE
Rozwiązywanie problemów fizycznych – metodologia.
1.Zidentyfikowanie problemu – znalezienie zasad fizycznych
2.Opisanie problemu – szkice, równania
3.Rozwiązanie – matematyczne
4.Sprawdzenie wyniku pod kątem fizycznym
38 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Eksperyment fizyczny wymaga pomiarów, których wynik opisujemy zwykle
liczbami – wielkości fizyczne (np. waga, wzrost).
Niektóre wielkości fizyczne są tak podstawowe, że możemy tylko opisać jak je
mierzyć, np. pomiar : długości, czasu
Inne wielkości zależą od wielkości podstawowych, np. prędkość.
Aby pomiar był wiarygodny, niezbędne jest aby był powtarzalny niezależnie od
miejsca pomiaru.
Pomiary i wielkości fizyczne
39 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Obecnie przy opracowywaniu wyników pomiarów należy stosować się
do zaleceń Międzynarodowej Normy Oceny Niepewności Pomiaru
uzgodnionej w 1995 r. i przyjętej ustawowo w Polsce w 1999 r.
Użyteczne informacje
Niepewności Pomiarowe: http://labor.zut.edu.pl/
"Analiza niepewności pomiarowych",
NIEPEWNOŚCI POMIAROWE
http://labor.zut.edu.pl/fileadmin/niepewnosci_new.pdf
40 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Pomiar – przyporządkowanie danej wielkości fizycznej określonej
wartości liczbowej. Porównanie wielkości fizycznej ze
ściśle określoną wielkością porównawczą tego samego
rodzaju, przyjętą umownie za jednostkę.
POMIARY WIELKOŚCI FIZYCZNYCH
Wynik pomiaru:
9,5 0,1 cm
wartość liczbowa niepewności jednostka
41 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Pomiar bezpośredni – porównanie danej wielkości fizycznej z
odpowiednią miarą wzorcową.
Pomiar pośredni – wartość badanej wielkości wyznaczana jest
na podstawie pomiarów bezpośrednich innych wielkości
fizycznych, które są z nią związane znanym prawem fizycznym.
POMIARY WIELKOŚCI FIZYCZNYCH
42 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Błąd pomiaru – różnica pomiędzy wynikiem pomiaru, a rzeczywistą wartością mierzonej
wielkości.
Posługiwanie się w praktyce pojęciem błędu pomiaru nie jest wygodne, ponieważ nigdy
nie znamy rzeczywistej wartości mierzonej wielkości.
l =45,88(0,02) mm;
43 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Przykład 1
Zmierzono suwmiarką (d = 0.1 mm) średnicę pręta. Pomiar
powtórzono 3 razy uzyskując wyniki: d1 = 10.1 mm, d2 = 10.2 mm,
d3 = 9.9 mm. Wyznacz wynik pomiaru i jego niepewność.
d1 10.1
d2 10.2
d3 9.9
średnia 10.0667
uA(d) 0.08819
uB(d) 0.05774
u(d) 0.10541
U(d) 0.21
Wynik pomiaru (bezpośredniego): d = 10.07 (0.11) mm
)1()( 1
2
nn
XX
Xu
n
i
i
A
3)(
XXuB
Niepewność całkowita u(d) powinna uwzględniać
zarówno niepewność typu A jak i niepewność typu B:
2 2
A Bu( d ) u ( d ) u ( d )
• Niepewność standardowa: ocena typu B (pomiary bezpośrednie)
• Niepewność standardowa: ocena typu A (pomiary bezpośrednie)
(odchylenie standardowe dla wartości średniej)
44 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Wybór najważniejszych elementów Międzynarodowej Normy
Oceny Niepewności Pomiarowej
(źródło: http://labor.zut.edu.pl/fileadmin/niepewnosci_new.pdf)
Wielkość Symbol i sposób obliczania
Niepewność
standardowa:
ocena typu A
(pomiary bezpośrednie)
Podstawa: statystyczna analiza serii pomiarów.
Dla serii n równoważnych pomiarów:
, gdzie
Niepewność
standardowa:
ocena typu B
(pomiary bezpośrednie)
Podstawa: naukowy osąd eksperymentatora
(gdy znana jest niepewność maksymalna X)
Niepewność złożona
(pomiary pośrednie)
Dla wielkości
(gdy wszystkie wielkości Xi są nieskorelowane)
Niepewność
rozszerzona
lub
gdzie współczynnik rozszerzenia
)1()( 1
2
nn
XX
Xu
n
i
i
A
n
i
iXn
XX1
1
3)(
XXuB
),...,,( 21 kXXXfY
k
j
jk
j
c XuXXXX
fYu
1
2
2
21 ,...,,)(
)()( XkuXU )()( XkuXU cc
2k
45 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Zlecany zapis wyników pomiaru
Niepewność standardowa:
• g = 9.781 m/s2, uc(g) = 0.076 m/s2
• g = 9.781 (0.076) m/s2
Niepewność rozszerzona:
• g = 9.78 m/s2, Uc(g) = 0.15 m/s2
• g = (9.78 ± 0.15) m/s2
Obowiązuje zasada podawania dwu cyfr
znaczących w niepewności.
46 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Cyfry znaczące i zaokrąglanie
I. Odczytywanie i zapisywanie wyników pomiarów
Cyframi znaczącymi (pewnymi) nazywamy wszystkie cyfry przybliżonej liczby,
z wyjątkiem zer położonych na lewo od pierwszej różnej od zera cyfry.
Wynik pomiaru zapisujemy z dokładnością do określonej liczby cyfr znaczących
(stosujemy przybliżenie liczby). Do cyfr znaczących należą: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i w
niektórych przypadkach 0.
Zero nie jest cyfrą znaczącą w sytuacji, gdy stosujemy je dla określenia rzędu
wielkości danej liczby (czyli 0 nie jest cyfrą znaczącą w liczbie 0,194 natomiast jest nią
w liczbach 1,03 i 1,30).
47 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Cyfry znaczące i zaokrąglanie
Przykład 1. Określanie liczby cyfr znaczących
Aby określić liczbę cyfr znaczących należy zacząć odczytywać liczbę od lewej strony
do momentu, aż natrafimy na pierwszą cyfrę różną od zera. Ta cyfra i każda następna
są cyframi znaczącymi.
48 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Cyfry znaczące i zaokrąglanie
Przykład 2.
49 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
• m =100,0214 g nieprawidłowo
• m = 100,021(0,0035) g nieprawidłowo
• m = 100,021 kg 3 g nieprawidłowo
• m = 100,02147(0,00352) g prawidłowo
Liczbowa wartość wielkości i jej odchyłki powinny być
wyrażone w jednakowych jednostkach
50 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Przykład 2
Wyznaczono masę i średnicę metalowej tarczy otrzymując następujące
wyniki: m = 80.55 g (m = 0.1 g) i d = 90.1 mm (d = 0.1 mm).
Oblicz moment bezwładności tarczy i jego niepewność.
Wynik pomiaru (pośredniego):
I = 9.143(11)∙10-5 kg∙m2
g kg
m 80.55 0.08055
uB(m) 0.057735 5.7735E-05
mm m
d 90.1 0.0901
uB(d) 0.057735 5.7735E-05
R 45.05 0.04505
uB(R) 0.028868 2.8868E-05
uB(m)/m 0.00071676
uB(R)/R 0.00064079
kg m2
I 9.1429E-05
uc(I) 1.0564E-07
Moment bezwładności tarcz ze wzoru
teoretycznego:
51 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
• Wykres wykonuje się ręcznie na papierze milimetrowym, lub przy
pomocy odpowiedniego programu graficznego.
• Na każdej z osi wybieramy taki zakres wartości mierzonej
wielkości, w którym zostały wykonane pomiary. Nie musimy
umieszczać na osiach punktów zerowych.
• Skalę na każdej z osi wybiera się niezależnie a więc nie muszą
być jednakowe. Dążymy do tego, aby wszystkie uzyskane
przez nas punkty pomiarowe zostały umieszczone na
rysunku i były rozmieszczone na całej powierzchni rysunku.
Skalę na osiach układu nanosimy w postaci równo
oddalonych liczb.
• Osie wykresu muszą być opisane (wielkość fizyczna i
jednostka). Rysunek powinien być podpisany.
Zasady sporządzania wykresów (I)
52 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
• Punkty na wykresie muszą być wyraźnie widoczne (nie kropki !)
Gdy na jednym wykresie musi być kilka krzywych, punkty na każdej
z nich zaznacza się innym symbolem lub kolorem. Punkty
pomiarowe lub krzywe powinny być podpisane (legenda).
• Na wykres należy nanieść niepewności pomiarowe w postaci
prostokątów lub odcinków.
• Jeśli punkty układają się na linii prostej należy obliczyć jej
parametry metodą regresji liniowej, a następnie ją narysować. Jeśli
punkty nie układają się na linii prostej wykreślamy ciągłą krzywą,
bez nagłych załamań (nie musi ona przebiegać dokładnie przez
wszystkie punkty pomiarowe, bo są one obarczone
niepewnościami). Nie należy łączyć punktów pomiarowych linią
łamaną!
Zasady sporządzania wykresów (II)
53 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Przykłady wykresów
Dobrze Źle
op
ór
ele
ktr
yczn
y
54 dr Danuta Piwowarska FIZYKA
Dziękuję za uwagę !
top related