Estadística Espacial Como Herramienta Para el Análisis de Datos ... · ’60 en el area de miner a y geolog a Se conoce tambi en como Teor a de Variables Regionalizadas. Departamento
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Prediccion espacial Introduccion Geoestadıstica
Prediccion Espacial
1 Introduccion
2 Geoestadıstica
Departamento de Probabilidad y Estadıstica IIMAS, UNAM
Estadıstica Espacial
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Prediccion espacial Introduccion Geoestadıstica
Prediccion Espacial
1 Introduccion
2 Geoestadıstica
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Prediccion espacial Introduccion Geoestadıstica
Geoestadıstica.
En geoestadıstica consideramos fenomenos aleatorios{Z(s) : s ∈ D ⊂ Rd
}con ındice contınuo.
Ejemplos: pH del suelo, presion barometrica, cantidad de metalrecuperable en un mineral, concentracion de PM2.5 en la ZMVM.
D ⊂ RRd es conocida como la region de estudio.
Usualmente d ∈ {1, 2, 3} aunque formalmente se pueden considerarespacios de dimensiones mayores
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Geoestadıstica.
En geoestadıstica consideramos fenomenos aleatorios{Z(s) : s ∈ D ⊂ Rd
}con ındice contınuo.
Ejemplos: pH del suelo, presion barometrica, cantidad de metalrecuperable en un mineral, concentracion de PM2.5 en la ZMVM.
D ⊂ RRd es conocida como la region de estudio.
Usualmente d ∈ {1, 2, 3} aunque formalmente se pueden considerarespacios de dimensiones mayores
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Geoestadıstica.
En geoestadıstica consideramos fenomenos aleatorios{Z(s) : s ∈ D ⊂ Rd
}con ındice contınuo.
Ejemplos: pH del suelo, presion barometrica, cantidad de metalrecuperable en un mineral, concentracion de PM2.5 en la ZMVM.
D ⊂ RRd es conocida como la region de estudio.
Usualmente d ∈ {1, 2, 3} aunque formalmente se pueden considerarespacios de dimensiones mayores
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Geoestadıstica.
En geoestadıstica consideramos fenomenos aleatorios{Z(s) : s ∈ D ⊂ Rd
}con ındice contınuo.
Ejemplos: pH del suelo, presion barometrica, cantidad de metalrecuperable en un mineral, concentracion de PM2.5 en la ZMVM.
D ⊂ RRd es conocida como la region de estudio.
Usualmente d ∈ {1, 2, 3} aunque formalmente se pueden considerarespacios de dimensiones mayores
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Geoestadıstica.
Las observaciones las hacemos en un conjunto de puntos colocados demanera regular o irregular
0 2 4 6 8 10
02
46
810
este
norte
0 2 4 6 8
02
46
8
este
norte
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Geoestadıstica.
La fuente de nuestras observaciones {z(s1), . . . , z(sn)} es una realizacionincompleta de un campo aleatorio (conocida como variableregionalizada).
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Existen dos formas de analizar un Campo Aleatorio:
Modelo Determinıstico
Modelo estocastico
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El objetivo principal del analisis espacial es la construccion de mapas quemuestren la variabilidad geografica de Z.
Como podemos hacer esto a partir de una muestra incompleta de unasola realizacion del campo aleatorio Z(s)?
La respuesta es la prediccion de Z en una gran cantidad de sitios dondeno se hizo medicion z(s).
0 2 4 6 8 10
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este
norte
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Prediccion Espacial.
Idealmente queremos que nuestras predicciones:
esten basadas en informacion local y que haya una medida de suincertidumbre
sean las mejores en su tipo (insesgadas y de varianza mınima)
permitan detectar zonas donde Z(s) > τ
permitan calcular∫D Z(u)du
produzcan mapas suavizados
Las predicciones las haremos con combinaciones lineales de los datos, esdecir, si Z(s0) es el valor a predecir,
Z∗(s0) =
n∑i=1
Z(si);n∑
i=1
λi = 1
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Mapas determinısticos: Distancia inversa
Supongamos que s0 es el sitio que queremos predecir, usando los datosmuestrales
La prediccion bajo este metodo se basa en una media ponderada por elinverso de las distancias elevado a alguna potencia,
Z∗(s0) =1∑n
i=1 λi
n∑i=1
λiZ(si); λi =1
dpi0
Si definimos wi = λi/∑n
i=1 λi, entonces∑wi = 1 y
Z∗(s0) =∑n
i=1 wiz(si)
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Dependiendo de la distancia a s0 y del valor de p es el peso que recibeuna observacion
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¿Como podemos escoger el valor de p?. Lo mas sencillo es mediantevalidacion cruzada
Dado un valor de p, este metodo consiste en eliminar una dato a la vez ypredecirlo utilizando el resto.
Se busca el valor de p que minimice el estimador del Error CuadraticoMedio
ˆECM =1
n
∑[Z(p)(si)− z(si)]2
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Ejemplo: Abundancia de Lohmaniella sp en la laguna de Chautengo, Gro.
0 10 20 30 40
010
2030
40
lohmagrid$long
lohm
agrid
$lat
0 10 20 30 40
010
2030
40
lohmagrid$long
lohm
agrid
$lat
10200 12200 9800 16200 11800
9400 880012200 11600 740019000 1080016000 11800
10200 11800 88009200 9400 182005800
11400 1380011600 20200 2320014000 2140015400 13200
10200 10400 12000 8600 9000
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Prediccion Espacial.
Usamos la biblioteca ”spatstat”de R para convertir los datos a un patronde puntos con marcas Una vez hecho esto, usamos la funcion ıdw”, para
obtener
x
y
lohmaidw
lohmaidw
x
y
lohmaidw
lohmaidw
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Analisis geoestadıstico
La geoestadıstica es un area que comenzo formalmente a principios de los’60 en el area de minerıa y geologıa
Se conoce tambien como Teorıa de Variables Regionalizadas.
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Analisis geoestadıstico
Las aplicaciones de la geoestadıstica abarcan areas como pesquerıas,ecologıa, y contaminacion ambiental entre otras.
El proposito principal en la mayorıa de los casos es el mapeo de lavariable de interes y la estimacion del total de Z en un area dada.
La caracterıstica distintiva de los datos geoestadısticos es que el indiceespacial s es contınuo, es decir, en la notacion Z(s) s puede ser cualquierpunto en D ⊂ Rd.
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Analisis geoestadıstico
Supongan que Z denota una propiedad de interes, Esta propiedadpresenta variabilidad en el espacio.El analisis geoestadıstico comienza con la obtencion de n mediciones deZ en n localidades {s1, . . . , sn}Si s = (x, y), el resultando es una tabla
x y zx1 y1 z(s1)...
......
xn yn z(sn)
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Geoestadıstica.
El supuesto de existencia de un mecanismo aleatorio le da sentido alhablar de momentos de Z(s), como:
E[Z(s)] = m(s)
o la covarianza centrada
σuv = E {[Z(u)−m(u)][Z(v)−m(v)]}
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El supuesto de existencia de un mecanismo aleatorio le da sentido alhablar de momentos de Z(s), como:
E[Z(s)] = m(s)
o la covarianza centrada
σuv = E {[Z(u)−m(u)][Z(v)−m(v)]}
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El supuesto de existencia de un mecanismo aleatorio le da sentido alhablar de momentos de Z(s), como:
E[Z(s)] = m(s)
o la covarianza centrada
σuv = E {[Z(u)−m(u)][Z(v)−m(v)]}
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El supuesto de existencia de un mecanismo aleatorio le da sentido alhablar de momentos de Z(s), como:
E[Z(s)] = m(s)
o la covarianza centrada
σuv = E {[Z(u)−m(u)][Z(v)−m(v)]}
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Geoestadıstica.
La geoestadıstica ataca diferentes tipos de problemas, por ejemplo:
Prediccion del valor de Z en un punto no visitado s0 o en unvolumen V centrado en s0
Modelado de la asociacion entre Z y factores externos (Clima,entorno biologico, etc)
Delimitacion de areas crıticas (Z > Zc)
Todo esto ya sea en el caso uni o multivariado.
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La geoestadıstica ataca diferentes tipos de problemas, por ejemplo:
Prediccion del valor de Z en un punto no visitado s0 o en unvolumen V centrado en s0
Modelado de la asociacion entre Z y factores externos (Clima,entorno biologico, etc)
Delimitacion de areas crıticas (Z > Zc)
Todo esto ya sea en el caso uni o multivariado.
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La geoestadıstica ataca diferentes tipos de problemas, por ejemplo:
Prediccion del valor de Z en un punto no visitado s0 o en unvolumen V centrado en s0
Modelado de la asociacion entre Z y factores externos (Clima,entorno biologico, etc)
Delimitacion de areas crıticas (Z > Zc)
Todo esto ya sea en el caso uni o multivariado.
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La geoestadıstica ataca diferentes tipos de problemas, por ejemplo:
Prediccion del valor de Z en un punto no visitado s0 o en unvolumen V centrado en s0
Modelado de la asociacion entre Z y factores externos (Clima,entorno biologico, etc)
Delimitacion de areas crıticas (Z > Zc)
Todo esto ya sea en el caso uni o multivariado.
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La geoestadıstica ataca diferentes tipos de problemas, por ejemplo:
Prediccion del valor de Z en un punto no visitado s0 o en unvolumen V centrado en s0
Modelado de la asociacion entre Z y factores externos (Clima,entorno biologico, etc)
Delimitacion de areas crıticas (Z > Zc)
Todo esto ya sea en el caso uni o multivariado.
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El primer paso por supuesto es ubicar las localidades en un mapa
-116 -114 -112 -110 -108 -106
2426
2830
32
Estaciones meteorologicas
longitud
Latitud
Una vez con la base de datos, podemos proceder al analisisgeoestadıstico.
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Como hacer inferencias con una sola realizacion de un proceso?
Necesitamos hacer supuestos de homogeneidad.
Estos supuestos nos permitiran suponer que lo observado es valido hastacierto rango y por lo tanto podremos hacer inferencias locales.
Los supuestos de homogeneidad que haremos se conocen como supuestosde estacionariedad.
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Como hacer inferencias con una sola realizacion de un proceso?
Necesitamos hacer supuestos de homogeneidad.
Estos supuestos nos permitiran suponer que lo observado es valido hastacierto rango y por lo tanto podremos hacer inferencias locales.
Los supuestos de homogeneidad que haremos se conocen como supuestosde estacionariedad.
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Como hacer inferencias con una sola realizacion de un proceso?
Necesitamos hacer supuestos de homogeneidad.
Estos supuestos nos permitiran suponer que lo observado es valido hastacierto rango y por lo tanto podremos hacer inferencias locales.
Los supuestos de homogeneidad que haremos se conocen como supuestosde estacionariedad.
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Como hacer inferencias con una sola realizacion de un proceso?
Necesitamos hacer supuestos de homogeneidad.
Estos supuestos nos permitiran suponer que lo observado es valido hastacierto rango y por lo tanto podremos hacer inferencias locales.
Los supuestos de homogeneidad que haremos se conocen como supuestosde estacionariedad.
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Definition
Un proceso estocastico Z(s) se dice Estrictamente Estacionario si y solosi sus distribuciones de dimension finitas son invariantes antetranslaciones, es decir,
{Z(s1), . . . , Z(sn)} = {Z(s1 + h), . . . , Z(sn + h)}
La estacionariedad estricta es difıcil que se cumpla, por lo que se puederelajar
Definition
Un proceso estocastico Z(s) se dice estacionario de segundo orden si ysolo sıE[Z(s)] = m y ademas Cov[Z(s), Z(s+ h)] = C(||h||)
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Definition
Un proceso estocastico Z(s) se dice Estrictamente Estacionario si y solosi sus distribuciones de dimension finitas son invariantes antetranslaciones, es decir,
{Z(s1), . . . , Z(sn)} = {Z(s1 + h), . . . , Z(sn + h)}
La estacionariedad estricta es difıcil que se cumpla, por lo que se puederelajar
Definition
Un proceso estocastico Z(s) se dice estacionario de segundo orden si ysolo sıE[Z(s)] = m y ademas Cov[Z(s), Z(s+ h)] = C(||h||)
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Geoestadıstica.
Definition
Un proceso estocastico Z(s) se dice Estrictamente Estacionario si y solosi sus distribuciones de dimension finitas son invariantes antetranslaciones, es decir,
{Z(s1), . . . , Z(sn)} = {Z(s1 + h), . . . , Z(sn + h)}
La estacionariedad estricta es difıcil que se cumpla, por lo que se puederelajar
Definition
Un proceso estocastico Z(s) se dice estacionario de segundo orden si ysolo sıE[Z(s)] = m y ademas Cov[Z(s), Z(s+ h)] = C(||h||)
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Proceso Estacionario y No estaconario
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Geoestadıstica.
Cuatro realizaciones de un proceso Gaussiano
0 1 2 3 4 5
01
23
45
grid$x
-3
-2
-1
0
1
2
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