Transcript
8/9/2019 Epsilon No1
1/154
8/9/2019 Epsilon No1
2/154
d
2
8/9/2019 Epsilon No1
3/154
Tp chí online ca cng đng nhng ngưi yêu Toán
EPSILONCh biên: TRN NAM DŨNG
Biên tp viên: VÕ QUC BÁ CNBiên tp viên: LÊ PHÚC L
S 1, ngày 13 tháng 02 năm 2015
8/9/2019 Epsilon No1
4/154
d
4
8/9/2019 Epsilon No1
5/154
LI NGBan biên tp Epsilon
Epsilon, tc là rt nh, nhưng không bng 0. Và nhiu epsiloncng li có th tr thành nhng cái đáng k. Có th là 1, là 2, cóth là vô cùng. Điu quan trng là ta có bit cách kt hp các
epsilon khác nhau li hay không. Epsilon là t báo ca cngđng, dành cho cng đng. Nó là mt s khi đu. Còn tip ninhư th nào s hoàn toàn ph thuc vào s đón nhn, ng h,tr giúp, tham gia ca cng đng. Đ có đưc s xut hin đuđn, đúng hn, Epsilon s không có bt c mt gii hn v strang ca mt kỳ, s trang ca mt bài, và cũng không gii hnch đ, không bt buc phi có mc này, mc kia.
Ch đ ca Epsilon đa dng nhưng s ch yu là v toán và các vn đ liên quan, mc đ thưng thc ph thông, truyn
bá toán hc.Epsilon luôn mong mun nhn đưc s đóng góp t phía cácnhà toán hc, các nhà khoa hc, các thy cô giáo, các bn sinh
viên, các bn hc sinh và tt c nhng ngưi yêu toán và nhngngưi yêu nhng ngưi yêu toán. Đ nâng cao cht lưng tpchí, chúng tôi xin đưc phép s trao đi vi tng tác gi, cùng
biên tp li các bài báo phù hp.
S báo mà các bn đang đc là s 1 ca tp chí. Trong s này,chúng tôi có tng cng 9 bài vit. Bên cnh các bài liên quan
đn kỳ thi HSG cp quc gia (VMO) 2015 va qua, chúng tôicũng gii thiu mt s bài vit thưng thc, lý thuyt Toán cđin và hin đi.
Epsilon s c gng ra đu đn 2 tháng 1 ln, vào các ngày 13ca các tháng chn. Chn ngày 13 đ th hin s quyt tâm.
Vn s khi đu nan. Chúng ta hãy c gng khi đu. Và cgng đi tip. Đi nhiu ngưi, bn s đi rt xa. . .
5
8/9/2019 Epsilon No1
6/154
d
6
8/9/2019 Epsilon No1
7/154
MC LC
1 Li ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 5
2 S phc và đa thcTrn Nam Dũng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 9
3 Thut toán phc hi s hu tNguyn Hùng Sơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Toán hc gii trí và các bài toán đi nónĐng Nguyn Đc Tin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5 V bài hình hc thi VMO 2015Trn Quang Hùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47
6 V bài bt đng thc trong đ thi VMO 2015Võ Quc Bá Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 57
7 Phân tích và m rng trong các bài toán t hpLê Phúc L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 101
8 Các vn đ c đin và hin điTrn Nam Dũng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9 Bài toán chuyn xe BusLê T Đăng Khoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10 Nhn xét v kỳ thi VMO 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7
8/9/2019 Epsilon No1
8/154
d
8
8/9/2019 Epsilon No1
9/154
S PHC VÀ ĐA THC Trn Nam Dũng (ĐHKHTN, ĐHQG Tp HCM )
Tóm tt
Trong kỳ thi chn hc sinh gii Toán Quc gia năm hc2014-2015 va qua, có 2 bài toán có th gii rt hiu qu
và ngn gn nu dùng đn s phc. Th nhưng, s hcsinh nm vng s phc đ s dng mt cách hiu qu likhông nhiu, và các bn đã rt vt v gii các bài toán đã cho bng các phương pháp khác.
Trong bài vit nh này, chúng tôi mun gii thiu trưc ht là các ng dng ca s phc trong bài toán v đa thc,sau đó là ng dng ca s phc và đa thc trong các bàitoán t hp đm.
1. S phc trong các bài toán v đa thcNghim ca đa thc đóng vai trò quan trng trong vic xácđnh mt đa thc. C th nu đa thc P(x) bc n có n nghimx1, x2, . . . , xn thì P(x) có dng P(x) = c(x − x1)(x − x2) · · · (x − xn).
Tuy nhiên, nu ch xét các nghim thc thì trong nhiu trưnghp s không có đ s nghim.
Hơn na, trong các bài toán phương trình hàm đa thc, nu ch xét các nghim thc thì li gii s là không hoàn chnh. Đnh
lý cơ bn ca đi s vì vy đóng mt vai trò ht sc quan trngtrong dng toán này. Và ta s dng cách phát biu đơn ginnht ca nó: mt đa thc vi h s phc (thc) luôn có ít nht mt nghim phc. Dưi đây ta xem xét mt s áp dng.
Bài toán 1. Tìm tt c các đa thc P(x) khác hng sao cho:
P(x) · P(x + 1) = P(x2 + x + 1). (1)
9
8/9/2019 Epsilon No1
10/154
8/9/2019 Epsilon No1
11/154
Li gii. Gi s α là nghim ca P(x) = 0. Khi đó t phươngtrình suy ra α 2, α 4, α 8, . . . cũng là nghim ca P(x) = 0. T đây
suy ra rng |α | = 0 hoc |α | = 1, vì nu ngưc li ta s thuđưc dãy vô hn các nghim ca P(x). Tương t, bng cách thay x = α − 1, ta suy ra (α − 1)2 cũng là nghim ca P(x). Bng cáclý lun tương t, ta cũng đưc
(α − 1)2 = 0 hoc (α − 1)2 = 1.Gi s rng |α | = 1 và
(α − 1)2 = 1. Vit α = cosϕ + i · sinϕ, ta có1 − α = (1 − cosϕ) − i · sinϕ
= 2 · sin2 ϕ2
− 2i · sinϕ2 · cosϕ
2
= 2 · sinϕ
2 ·
sinϕ
2 − i · cosϕ
2
nên (1 − α )2 = −4 · sin2ϕ2 · (cosϕ + i · sinϕ), suy ra
(1 − α )2 = 4 · sin2 ϕ2
= 2 − 2 · cosϕ.
Do (1 − α )2 = 1 nên 2 · cosϕ = 1. T đây suy ra cosϕ = 1
2, ta tính
đưc ϕ = π3 hoc 5π
3 . Gi s ϕ = π
3.
Xét α 2 cũng là nghim ca P(x) = 0. Như vy (α 2 − 1)2 cũng là
nghim ca P(x) = 0 và
(α 2
− 1)2
= 2 − 2 · cos2π3 = 3. Mâu thun vì mi nghim ca P(x) = 0 có mô-đun bng 0 hoc 1. Tương t
vi trưng hp ϕ = 5π3
.
Như vy, ta có th kt lun rng α = 0, hoc α − 1 = 0. T đây P(x) có dng cxm(1 − x)n, vi c là mt hng s khác 0 nào đó và m , n là các s nguyên không âm không đng thi bng 0.
Thay vào phương trình đã cho, ta d dàng kim tra đưc rngc = 1 và m = n. Như vy lp các đa thc tho mãn điu kin đã cho là P(x) = xm(1 − x)m trong đó m là mt s t nhiên.
Nghim phc ca đa thc vi h s nguyên, trong nhiu trưnghp là chìa khoá đ chng minh tính bt kh quy (trên Z và Q)ca đa thc đó. Chúng ta tìm hiu các lý lun mu trong vnđ này thông qua các ví d sau:
Bài toán 3 (IMO, 1993). Chng minh rng vi mi n > 1, đa thc xn + 5xn−1 + 3 không th phân tích thành tích ca hai đa thc có bc không nh hơn 1 vi h s nguyên.
11
8/9/2019 Epsilon No1
12/154
Li gii. Gi s x1, x2, . . . , xn là tt c các nghim ca P(x). Khiđó ta có P(x) = (x−x1)(x−x2)
· · ·(x−xn). Suy ra 3 = (−1)nx1x2
· · ·xn.
Ta có vi mi i thì xni + 5xn−1i + 3 = 0, suy ra 3 = |xi|
n−1 · |xi + 5|, i = 1, 2, . . . , n. (1)Gi s ngưc li rng đa thc P(x) kh quy, tc là P(x) = Q(x) ·S(x) vi Q(x), S(x) là các đa thc không hng vi h s nguyên.
Th thì rõ ràng Q(x) s là tích ca mt s tha s x − xi và S(x)là tích ca các tha s còn li.
Không mt tính tng quát, gi s:
Q(x) = (x − x1)
· · ·(x − xk), S(x) = (x − xk+1)
· · ·(x − xn).
Suy ra |x1x2 · · · xk| và |xk+1 · · · xn| là các s nguyên có tích là 3.Như vy mt s bng 1 và mt s bng 3. Không mt tính tngquát, gi s |x1x2 · · · xk| = 3 và |xk+1 · · · xn| = 1.
Trong (1) cho i chy t 1 đn k ri nhân v theo v, ta đưc
3k = |x1 · · · xk|n−1 ·(x1 + 5) · · · (xk + 5) = 3n−1Q(−5).
Suy ra k n − 1. Như vy S(x) là nh thc bc nht, suy ra P(x)có nghim nguyên. Nhưng nghim nguyên ca P(x) ch có thlà −1, 1, −3, 3. Kim tra li thì chúng đu không là nghim ca P(x). Mâu thun. Điu này chng t điu gi s là sai, tc là đa thc P(x) bt kh quy.
Bài toán 4 (Nht Bn, 1999). Chng minh rng đa thc:
f(x) = (x2 + 12)(x2 + 22) · · · (x2 + n2) + 1không th phân tích thành tích ca hai đa thc h s nguyên bc ln hơn hay bng 1.
Li gii. Gi s ngưc li f(x) = g(x) · h (x) vi g(x), h (x) là các
đa thc vi h s nguyên có bc ln hơn hay bng 1. Khi đó, đ ý rng f(±ki) = 1 vi k = 1, 2, . . . , n, ta có1 = g(ki) · h (ki), k = ±1, ±2, . . . , ±n.
Chú ý rng 1 ch có 4 cách phân tích thành tích ca các snguyên trong Z[i ] là 1 · 1, (−1) · (−1), i · (−i) và (−i) · i nên ta có
vi mi k ∈ {±1, ±2, . . . , ±n} thìg(ki), h (ki)
∈ (1, 1), (−1, −1), (i, −i), (−i, i).12
8/9/2019 Epsilon No1
13/154
Như vy trong mi trưng hp ta đu có g(ki) = h (ki) = h (−ki).Như th đa thc g(x) − h (−x) có 2n nghim phân bit, trong khi
bc ca nó nh hơn 2n. Vy ta phi có g(x) − h (−x) là đa thchng 0, tc là g(x) = h (−x). T đó deg(g) = deg(h ) = n.
Vì f(x) là đa thc đơn khi nên ta có th gi s g(x), h (x) đơnkhi. Khi đó đa thc g2(x) − h 2(x) có bc nh hơn 2n. Đa thcnày có ít nht 2n nghim ki vi k ∈ {±1, ±2, . . . , ±n}. Suy ra g2(x) − h 2(x) = 0. Ta không th có g(x) = −h (x) vì g và h đơnkhi. Vy ta phi có g(x) = h (x). Như th f(x) = g2(x).
T đây suy ra g2(0) = f(0) = (n!)2 + 1. Điu này là không th vì
g(0) là s nguyên và n 1.Bài toán 5. Chng minh rng nu đa thc P(x) = (x2−7x+6)2n+13có th phân tích thành tích ca hai đa thc Q(x), S(x) vi h s nguyên thì Q(x) và S(x) đu có bc 2n.
Li gii. Tht vy, gi s P(x) = Q(x) · S(x). Gi x1, x2, . . . , x4nlà các nghim phc ca P(x) thì Q(x) và S(x) s là tích ca cáctha s (x − xi). Đánh s li nu cn, ta gi s:
Q(x) = (x − x1)(x − x2) · · · (x − xk) vi 1 k
8/9/2019 Epsilon No1
14/154
Nu đa thc P(x) chia ht cho đa thc Q(x) thì mi nghim ca Q(x) đu là nghim ca P(x). Tính cht đơn gin này là chìa
khoá đ gii nhiu bài toán v s chia ht ca đa thc. Chúngta xem xét mt s ví d.
Bài toán 7. Vi giá tr nào ca n thì đa thc x2n + xn + 1 chia ht cho đa thc x2 + x + 1?
Li gii. Ta có ε = −12
+ i√ 3
2 = cos 2π
3 + i · sin2π
3 là nghim ca đa
thc Q(x) = x2 + x + 1. Vì đa thc x2 + x + 1 là bt kh quy nên đa thc P(x) = x2n + xn + 1 chia ht cho Q(x) khi và ch khi P(ε) = 0.Điu này tương đương vi
cos4nπ
3 + i · sin4nπ
3 + cos
2nπ
3 + i · sin2nπ
3 + 1 = 0,
hay
cos2nπ
3 ·
2 · cos 2nπ 3
+ 1
= 0
sin2nπ
3 ·
2 · cos2nπ 3
+ 1
= 0
T h phương trình trên, ta d dàng suy ra 2 · cos 2nπ3
+ 1 = 0,
tc n phi là s không chia ht cho 3. Vy vi n = 3k + 1 hocn = 3k + 2 thì P(x) chia ht cho Q(x).
Trong ví d dưi đây, mt ln na, căn ca đơn v li đóng vaitrò then cht trong vic đi đn li gii.
Bài toán 8 (USAMO, 1976). Cho P(x), Q(x), R(x), S(x) là các đa thc sao cho
P(x5) + x · Q(x5) + x2 · R(x5) = (x4 + x3 + x2 + x + 1) · S(x). (1)Chng minh rng P(x) chia ht cho x − 1.
Li gii. Đt ω = e 2πi5 thì ω5 = 1. Thay x ln lưt bng ω, ω2, ω3,ω4, ta đưc các phương trình:
P(1) + ω · Q(1) + ω2 · R(1) = 0,P(1) + ω2 · Q(1) + ω4 · R(1) = 0,P(1) + ω3 · Q(1) + ω6 · R(1) = 0,P(1) + ω4 · Q(1) + ω8 · R(1) = 0.
14
8/9/2019 Epsilon No1
15/154
Nhân các phương trình t 1 đn 4 ln lưt vi −ω, −ω2, −ω3,−ω4, ta đưc các phương trình sau:
− ω · P(1) − ω2 · Q(1) − ω3 · R(1) = 0,− ω2 · P(1) − ω4 · Q(1) − ω · R(1) = 0,− ω3 · P(1) − ω · Q(1) − ω4 · R(1) = 0,− ω4 · P(1) − ω3 · Q(1) − ω2 · R(1) = 0.
Cng tt c 8 phương trình li theo v và s dng tính cht ca ω là 1 +ω+ω2 +ω3 +ω4 = 0, ta đưc 5 ·P(1) = 0, tc x −1 |P(x).Bài toán 9 (VMO, 2015). Cho dãy đa thc fn(x) đưc xác đnh
bi f0(x) = 2, f1(x) = 3x, fn(x) = 3x · fn−1(x) + (1 − x − 2x2
)fn−2(x)vi mi n 2. Tìm tt c các giá tr n đ đa thc fn(x) chia ht cho đa thc x3 − x2 + x.
Li gii. Vi mi x c đnh, ta xét dãy s ai = fi(x), khi đó ta có a0 = 2, a1 = 3x, an = 3xan−1 + (1 − x − 2x2)an−2 vi mi n 2.
Xét phương trình đc trưng X2 − 3xX + 2x2 − x − 1 = 0 có hainghim là x + 1 và 2x − 1. T đó ta có dng tng quát ca (an)là an = c1(x + 1)n + c2(2x − 1)n. T các điu kin ban đu ta suy ra c1 = c2 = 1, tc là an = (x + 1)n + (2x − 1)n. Điu này đúng vi
mi giá tr ca x, do đó ta có fn(x) = (x + 1)n
+ (2x − 1)n
.
Bây gi, ta tìm n sao cho fn(x) = (x + 1)n + (2x − 1)n chia ht chođa thc Q(x) = x3 − x2 + x. Vì 0 và α = 1+i
√ 3
2 là nghim ca Q(x)
nên điu này xy ra khi và ch khi 0 và α là nghim ca fn(x).Đ có điu này ta phi có:
i) 1n + (−1)n = 0, suy ra nl.
‘ ii)
3+i√
3
2
n+
i√
3n
= 0, tc √
3+i2
n+ in = 0. Chuyn các s
phc sang dng lưng giác và dùng công thc lũy tha, ta
đưc cosnπ6 + i · sinnπ6 + cosnπ2 + i · sinnπ2 = 0, tc n phi là s chia ht cho 3.Kt hp hai điu kin i) và ii), ta suy ra điu kin cn và đ đfn(x) chia ht cho Q(x) là n = 6m +3 vi m nguyên không âm.
15
8/9/2019 Epsilon No1
16/154
2. S phc và đa thc trong bài toán đmS phc có nhng ng dng rt hiu qu trong các bài toánđm. Và vai trò trung tâm trong k thut ng dng s phc vàocác bài toán đm tip tc là căn nguyên thu ca đơn v. Chú
ý là nu ε là căn nguyên thu bc n ca đơn v thì ta có
i) 1 + ε + · · · + εn−1 = 0.ii) 1 + εk + · · · + εk(n−1) = 0 vi (k , n) = 1.
Đây chính là tính cht quan trng ca căn nguyên thu thưngđưc s dng trong gii toán.
Bài toán 10 (Chn đi tuyn PTNK, 2009). Tìm s tt c các s có n ch s lp t các ch s 3, 4, 5, 6 và chia ht cho 3.
Li gii. Gi cn là s các s có n ch s lp t các ch s3, 4, 5, 6 và chia ht cho 3. Gi α là mt nghim ca phươngtrình α 2 + α + 1 = 0. Khi đó α 3 = 1 và α 2k + α k + 1 nhn giá tr = 0nu k không chia ht cho 3 và = 3 nu k chia ht cho 3.
Xét đa thc P(x) = (x3 + x4 + x5 + x6)n. D thy cn chính là bngtng các h s ca các s mũ chia ht cho 3 trong khai trinca P(x). Nói cách khác, nu P(x) = 6nk=0 akxk thì cn = 2nk=0 a3k.Mt khác ta có
P(1) + P(α ) + P(α 2) =
6nk=0
ak(1 + α + α 2) = 3
2nk=0
a3k.
Cui cùng, do P(1) = 4n, P(α ) = P(α 2) = 1 nên ta có
cn =
2n
k=0a3k =
4n + 2
3 .
Bài toán 11 (VMO, 2015). Cho K ∈ N ∗. Tìm s các s t nhiên nkhông vưt quá 10K tha mãn đng thi các điu kin sau:
i) n chia ht cho 3.
ii) Tt c các ch s trong biu din thp phân ca n đu thuc tp hp A = {2, 0, 1, 5}.
16
8/9/2019 Epsilon No1
17/154
Li gii. Vì 10K không chia ht cho 3 nên ta ch cn xét các st 0 cho đn 99
· · ·9 (K ch s 9). B sung các ch s 0 vào trưc
nu cn thit, ta đưa v xét các s có dng a1a2 · · · aK vi aithuc {2, 0, 1, 5}. Ta cn đm các s như vy và chia ht cho 3.
Chú ý là a1 · · · aK chia ht cho 3 khi và ch khi a1+· · ·+aK chia ht cho 3, ta đưa bài toán v vic đm s các b (a1, a2, . . . , aK) ∈ AKsao cho a1 + a2 + · · · + aK chia ht cho 3.
Tip theo, hoàn toàn tương t như bài trên, xét đa thc:
P(x) = (x2 + 1 + x + x5)K.
Ta có
P(x) = (x2 + x + 1 + x5)k =
(a1,a2, ...,aK)∈Akxa1+a2+···+aK .
Tng các h s ca P(x) bng s các b (a1, . . . , aK) ∈ AK và bng4K. Hơn na s các b (a1, . . . , aK) ∈ AK sao cho a1 + a2 + · · · + aK
bng tng các h s ca các s mũ chia ht cho 3 trong P(x).
Đt P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + · · · . Ta cn tính:
S = a0 + a3 + a6 + · · · .
Gi ε là nghim ca phương trình x2 + x + 1 = 0 thì ta có ε3 = 1. T đó d dàng suy ra 1 + εk + ε2k nhn giá tr bng 0 vi mi k không chia ht cho 3 và bng 3 vi k chia ht cho 3. (∗)
Ta cóP(1) = a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + · · · ,P(ε) = a0 + a1ε + a2ε
2 + a3ε3 + a4ε
4 + · · · ,
P(ε
2
) = a0 + a1ε
2
+ a2ε
4
+ a3ε
6
+ a4ε
8
+ · · · . Áp dng tính cht (∗), ta suy ra
P(1) + P(ε) + P(ε2) = 3a0 + 3a3 + 3a6 + · · ·
Suy ra S = P(1)+P(ε)+P(ε2)
3 = 4
k+ε2K+ε4K
3 . Cui cùng, li áp dng
tính cht (∗), ta suy ra S = 4K−13
nu K không chia ht cho 3 và S = 4
K+23
nu K chia ht cho 3.
17
8/9/2019 Epsilon No1
18/154
Khi ta làm vic vi các tp con, tc là các t hp không lp thìmô hình nhng đa thc trên đây không s dng đưc na. Vi
các bài toán này, ta cn đn mt mô hình khác.
Bài toán 12. Cho X = {0, 1, . . . , 25}. Tìm s các tp con 7 phn t có tng các phn t chia ht cho 19.
Li gii. Vi mi tp con A ⊂ X, gi S(A) là tng các phn tca A. Ta cũng quy ưc S(∅) = 0. Vi mi i = 0, 1, .. . , 18, đt:
P(i) =
A ⊂ X | |A| = 7 và S(A) ≡ i (mod 19). Ta cn tính P
(0). Gi a là căn nguyên thy bc
19 ca
1. Khi đó1 + a + a2 + · · · + a18 = 0 và x19 − 1 = (x − 1)(x − a) · · · (x − a18).
Xét đa thc Q(x) = (x − 1)(x − a)(x − a2) · · · (x − a25). Ta tính h sca x19 trong Q(x) bng 2 cách. Mt mt, nu khai trin Q(x) ra thì đ đưc x19, ta cn ly x t 19 du ngoc, còn 7 du ngockhác s ly các s có dng ak vi k thuc {0, 1, . . . , 25}. Như th,ta s có tng các s có dng aS(A) vi A chy qua tt c các tpcon 7 phn t ca X. Chú ý rng aS(A) ch ph thuc vào s dưkhi chia S(A) cho 19 (đó là lý do ti sao ta ly căn bc 19 ca đơn v) nên t đây d dàng suy ra tng nói trên bng:
−P(0) + P(1) · a + · · · + P(18) · a18.
Mt khác, P(x) = (x19 − 1)(x − 1)(x − a) · · · (x − a6). Suy ra h sca x19 bng −1 · a · a2 · · · a6 = −a2. T đây suy ra P(0) + P(1)a + P(2) − 1a2 + · · · + P(18)a18 = 0.Điu này đúng vi mi a là nghim ca phương trình:
1 + x + x2 +· · ·
+ x18 = 0.
Suy ra đa thc P(0) + P(1)x + P(2) − 1x2 + · · · + P(18)x18 t
l vi đa thc 1 + x + · · · + x18 và vì th:P(0) = P(1) = P(2) − 1 = · · · = P(18).Như vy, tt c các
P(i), i = 2, bng nhau và bng C719−119
. Riêng
|P(2)| ln hơn đúng 1 đơn v! Vy đáp s là C719−1
19 .
18
8/9/2019 Epsilon No1
19/154
Cui cùng, ta áp dng hiu qu phương pháp trên đây vào mt bài toán thi vô đch Quc t, mt bài toán đp ca IMO 1995.
Bài toán 13 (IMO, 1995). Cho p là mt s nguyên t l. Tìm s các tp con A ca tp hp {1, 2, . . . , 2 p}, bit rng:
i) A cha đúng p phn t;
ii) Tng các phn t ca A chia ht cho p.
Li gii. Xét đa thc P(x) = xp−1 + xp−2 + · · · + x + 1. Đa thc này có p − 1 nghim phc phân bit. Gi α là mt nghim bt kỳ ca P(x). Chú ý rng α , α 2, . . . , α p−1 là p − 1 nghim phân bit ca P(x) và α p = 1. Do đó, theo đnh lý Vieta:
xp − 1 = (x − 1)(x − α )(x − α 2) · · · (x − α p−1). Xét đa thc Q(x) = (x − α )(x − α 2) · · · (x − α 2p) và gi:
H =
A ⊂ {1, 2, . . . , 2 p} | |A| = p.Gi s Q(x) =
2pi=0 aix
i. Khi đó:
ap = −A∈H
α S(A), S(A) =x∈A
x.
Vì nu S(A) ≡
i (mod p) thì α S(A) = α i nên
ap = −
p−1i=0
niα i,
trong đó ni là s các A ∈ H sao cho S(A) ≡ i (mod p). Mt khác,Q(x) = (xp − 1)2, suy ra ap = −2. Thành th:
p−1i=0
niα i = 2. (∗)
Xét đa thc R(x) = p−1i=1 nixi + n0 − 2. T đng thc (∗) suy ra α là mt nghim ca R(x). Vì degP = degR và α là mt nghim bt kỳ ca P(x) nên P(x) và R(x) ch sai khác nhau hng s nhân.
T đó np−1 = np−2 = · · · = n1 = n0 − 2, suy ra
n0 − 2 = np−1 + np−2 + · · · + n1 + n0 − 2
p =
Cp2p − 2
p .
Vy đáp s ca bài toán là n0 = 2 + C
p2p−2
p .
19
8/9/2019 Epsilon No1
20/154
3. Bài tp
Bài toán 1. Tìm tt c các đa thc P(x) tha mãn điu kin:
P(x) · P(x + 1) = P(x2 + 1).
Bài toán 2. Cho n là s nguyên dương. Chng minh rng đa thc xn + 4 kh quy khi và ch khi n chia ht cho 4.
Bài toán 3. Chng minh rng đa thc (x2 − 7x + 6)2n + 13 bt kh quy vi mi n nguyên dương. (Chú ý rng bài này mi chlà gi thit, bn đc có th ph đnh bài toán nu kt qu sai.)
Bài toán 4. Vi giá tr nào ca n thì đa thc (x + 1)n + xn + 1chia ht cho đa thc x2 + x + 1?
Bài toán 5. Có bao nhiêu tp con ca X = {1, 2, ..., 2015} cótng các phn t chia ht cho 3?
Bài toán 6 (IMO 2014 Training Camp). Có bao nhiêu s tnhiên có 9 ch s không cha ch s 0 và chia ht cho 11?
Bài toán 7. Cho ba s nguyên dương m , n, p, trong đó m > 1 và n + 2 ≡ 0 (mod m ). Tìm s b (x1, x2, . . . , xp) gm p s nguyêndương sao cho tng (x1 + x2 + · · · + xp) chia ht cho m , trong đómi s x1, x2, . . . , xp đu không ln hơn m .
20
8/9/2019 Epsilon No1
21/154
THUT TOÁNPHC HI S HU T
Nguyn Hùng Sơn (University of Warsaw )
1. M đuCách đây không lâu tôi có đ các bn tr mt bài toán đ nh,nhưng mang tính thc t, như sau:
Mt v giáo sư toán-tin rt cn thn nhưng đãng trí. Cách đâyvài hôm ngân hàng gi ông mt bc thư thông báo mt khuca th tín dng. Mt khu là mt s có 6 ch s: abcdef. Ôngkhông mun gi li bc thư vì s nó có th lt vào tay k gian.Vì vy ông đã dùng 1 chic máy tính xách tay đơn gin (gm 4phép tính +.−,
×,
÷ và 10 ch s) đ tính t s abc
÷def. Ông
đã nhn đưc kt qu gn đúng là 0, 195323246 và ghi nh lilên mt t giy.
Làm th nào đ v giáo sư có th tìm li đưc mt khu trongthi gian ngn nht nu ông ch có trong tay chic máy tínhxách tay đơn gin và mt khu là gì?
Thc ra bài toán này liên quan đn mt s ng dng ca thut toán Euclid và lý thuyt v phân s chui trong s hc. Sau đây chúng ta s ln lưt tìm hiu các lý thuyt liên quan, li giica bài toán trên, và th làm các bài tp tương t.
2. Thut toán EuclidĐây là mt trong các phương pháp tìm ưc s chung ln nht ƯSCLN(a, b) ca hai s t nhiên. Khong 300 năm trưc CôngNguyên, Euclid – nhà toán hc c ngưi Hy lp – đã mô t thut toán này trong cun ”cơ s” (Elements ).
21
8/9/2019 Epsilon No1
22/154
Ý tưng chính ca thut toán này là:
Nu k , r là hai s nguyên sao cho a = kb + r thì:ƯSCLN(a, b) = ƯSCLN(r, b).
Trong thut toán Euclid, ta s chn k là phn nguyên ca phépchia a cho b (k = a/b), còn r là phn dư khi chia a cho b(r = a − a/b · b). Thut toán này đưc mô t dng biu đ Hình 3.1. Ví d nu mun tìm ƯSCLN ca 2 s 324 và 918 thìcác bưc ca thut toán s như sau:
STT a b
a/b
r = a mod b d
1. 324 918 0 5762. 918 324 2 270
3. 324 270 1 54
4. 270 54 5 0
5. 54 0 54
a, b
b = 0?
r := a mod b
a := b
b := r
d := a
d
b = 0
b = 0
Hình 3.1: Thut toán Euclid đ tìm ưc s chung ln nht ca hai s t nhiên a, b.
22
8/9/2019 Epsilon No1
23/154
3. Liên phân sLiên phân s hu hn là mt biu thc có dng:
a0 +1
a1 +1
a2 +1
· · · + 1an
trong đó a0 ∈ Z, a1, . . . , an là các s nguyên dương và an > 1.Liên phân s trên đưc ký hiu là [a0 : a1, a2, . . . , an ], trong đó
n chính là đ dài ca liên phân s.Như ta đã bit mi s hu t đu có th đưc vit dưi dng a
b,
trong đó a ∈ Z là s nguyên còn b ∈ N − {0} là s nguyên dương.
Mt phân s có th chuyn thành liên phân s theo phươngpháp lp đi lp li 2 bưc (1) và (2) sau đây: (1) tách ra phnnguyên, (2) nghich đo phn phân s.
Ví d phân s 1517
1073 có th chuyn thành liên phân s như sau:
1517
1073 = 1 +
444
1073 = 1 +
1
2 +185
444
= 1 +1
2 +1
2 + 74185
= 1 +1
2 +1
2 + 12+37
74
= 1 +1
2 +1
2 + 12+1
2
Như vây ta đã chuyn 15171073
thành liên phân s [1 : 2, 2, 2, 2, 2 ].
23
8/9/2019 Epsilon No1
24/154
Bn đc tinh ý có th thy nhiu đim tương t gia phươngpháp tìm liên phân s và thut toán Euclid. Thc vy, nu ta
áp dng thut toán Euclid cho hai s 1517 và 1073 thì quá trìnhtính toán s như sau:
STT a b a/b r = a mod b d1. 1517 1073 1 444
2. 1073 444 2 185
3. 444 185 2 74
4. 185 74 2 37
5. 74 37 2 0
6. 37 0 37
D dàng nhân ra s trùng hp gia liên phân s [1 : 2, 2, 2, 2, 2 ] và ct a/b ca thut toán Euclid. Như vy nu áp dng thut toán Euclid cho a và b, nhưng trong mi bưc ta vit ra giá trca a/b thì ta s đưc khai trin ca phân s a
b thành dng
liên phân s.
a, b
n := 0;
b = 0?
k := a/br := a − kb
a := b
b := r
an = k
n := n + 1;
b = 0
b = 0
x ∈ R
a0 := x;r := x − a0;n := 0;
an n := n + 1;
r = 0?
an := 1/r;r := 1/r − an;
r = 0
r = 0
Hình 3.2: Thut toán Euclid tìm liên phân s cho phân s ab
(trái) và cho s thc x ∈ R (phi).
24
8/9/2019 Epsilon No1
25/154
Thut toán trên đưc mô t Hình 3.2.a (trái). Da vào thut toán đó ta có th chng minh đnh lý sau:
Mi s hu t đu có th khai trin dưi dng mt liên phân s hu hn [a0 : a1, a2, . . . , an ], đây a0 là phn nguyên ca s hu t đã cho.
Liên phân s đã đưc các nhà toán hc như Rafael Bombelli (1572), Pietro Catldi (1613), Daniel Schwenter (1625), Wallis (1695)hoc nhà thiên văn hc Christian Huygens (1698) bit đn tth k XVI và XVII.
Tuy nhiên phi đn th k XVIII nhà toán hc Leonhard Euler
(1707-1783) mi bt đu nghiên cu mt cách h thng liênphân s. Euler không ch đưa ra thut toán mà còn tìm ra rt nhiu liên phân s.
Thc ra thut toán ca Euler là trưng hp tng quát ca thut toán chuyn s hu t thành liên phân s. Nó có th áp dngcho mt s thc x bt kỳ (xem Hình 3.2.b (phi)). Áp dng thut toán này cho x =
√ 2 ta s có:
√ 2 = 1 +
√ 2 − 1 = 1 +
1√ 2 + 1
= 1 + 1
2 +√
2 − 1= 1 +
1
2 + 1
√ 2+1
= 1 + 1
2 + 12+
√ 2−1
= · · · = 1 + 12 + 1
2+ 12+···
.
Như vy s √
2 có th biu din dưi dng liên phân s vô hntun hoàn = [1 : 2, 2, 2, . . . ] = [1 : 2 ].
Euler đã phát hin ra rng nu mt s có th biu din dưidng liên phân s vô hn tun hoàn (t mt v trí nào đó) thì sđó phi có dng a + b
√ c, a, b, c ∈ Q (hay còn gi là s đi s bc
hai). Ví d t l vàng φ =
√ 5−12 có th biu din dng liên phâns gm toàn s 1 (xem bài tp 2).
Hoc nu x = [2 : 2, 2, 2, . . . ] = [2 : 2 ], thì ta có x = 2 + 1x
t đósuy ra x = 1 +
√ 2. Nhưng phi 20 năm sau đch lý đo mi đưc
chng minh bi Lagrange (1768):
Mi s đi s bc 2 đu có th khai trin thành liên phân s tun hoàn (bt đu t mt v trí nào đó ).
25
8/9/2019 Epsilon No1
26/154
Chúng ta va nhn ra rng khai trin liên phân s ca các shu t và c các s vô t trông có v như tin li hơn khai trin
thp phân. Mt câu hi có tính trit lý và lch s đưc đt ra là:ti sao trong trưng ph thông chúng ta s dng s thp phânnhưng li không dùng liên phân s? Câu tr li có l là do phépcng và nhân các liên phân s không h d dàng gì. Mà cũngcó th thiu các phương pháp (thiu các thut toán hu hiu)là do các nhà toán hc (tin hc) chưa tìm kĩ. Ta ch có th kt lun rng hình nh ca toán hc ngày nay không phi là duy nht, và nó hoàn toàn đã có th chuyn sang hưng khác.
4. Phc hi s hu t4.1. Ví d minh ha
Chúng ta hãy quay li bài toán ban đu. V giáo sư có th kimtra tt c các phân s dng abc÷def cho đn khi tìm đưc phâns có giá tr như yêu cu. Tuy nhiên phương pháp này khônghiu qu vì mt quá nhiu thi gian.
Trưc ht chúng ta có th chú ý rng nu pq
và rs
là hai phâns có t s và mu s đu là các s có ba ch s và hai phâns đó ging nhau ít nht là đn ch s th 6 sau du phy thìpq
− rs
< 10−6. T đó suy ra | ps − qr| qs · 10−6
8/9/2019 Epsilon No1
27/154
S dng thut toán Hình 3.2.b (phi) ta ln lưt có:
a0 = 0 r = 0, 195323246 x0 = 0
a1 = 5 r = 0, 119718315 x1 =1
5
a2 = 8 r = 0, 352940538 x2 =1
5 + 18
=8
41
a3 = 2 r = 0, 833338458 x3 =1
5 + 18+1
2
=17
87
a4 = 1 r = 0, 199992620 x4 =1
5 + 18+ 1
2+ 11
=25
128
a5 = 5 r = 0, 000184506 x5 =1
5 + 18+ 1
2+ 1
1+15
= 142727
Kim tra li ta thy rng 142727
= 0.195323246 . . . Vy mã s v giáosư cn tìm là 142727 .
4.2. Trưng hp tng quátĐ tng quát hóa bài toán trên chúng ta xét vn đ sau đây:
VN Đ PHC HI S HU T: Cho hai s nguyên dương K, Mhãy tìm hai s nguyên dương u , v sao cho:
DK1 : 0 u , v < N (N là s nguyên dương cho trưc) (1)
DK2 :
u v − KM 1M (2 phân s u v , KM gn bng nhau) (2)
Paul Wang đã nghiên cu vn đ phc hi s hu t trong
trưng hp N = M
2 . Vi la chn này ta có th chng minhrng nu tn ti li gii cho vn đ phc hi s hu t thì ligii này là duy nht.
Thc vy, gi s tn ti 2 li gii ( u 1, v1) và ( u 2, v2) tha mãncác điu kin (1) và (2). Ta có: u 1 v1 −
u 2
v2
u 1 v1 −
K
M
+ u 1 v1 −
K
M
2M ,27
8/9/2019 Epsilon No1
28/154
t đó suy ra
| u 1 v2 − u 2 v1|
2 v1 v2
M <
2N2
M .
Trong trưng hp N =
M2
, ta có | u 1 v2 − u 2 v1| < 1. Ngoài ra, do
| u 1 v2 − u 2 v1| là s nguyên nên ta suy ra rng u 1 v2 − u 2 v1 = 0 hay u1v1
= u2v2
. Hơn na, t điu kin (2) suy ra
|Mu − Kv| v < N ⇔ −N < r = Mu − Kv < N.
T đó suy ra nu hai phân s uv
, KM
gn bng nhau thì tn timt s nguyên r sao cho |r| < N và r ≡ Kv mod M. Lúc đó Kđưc gi là đng dư vi phân s r
v
modulo M và đưc ký hiu là rv ≡ K mod M. Như vy vn đ phc hi s hu t có th phát
biu mt cách tương đương như sau:
VN Đ PHC HI S HU T (bin th): Cho trưc hai snguyên dương K, M, hãy tìm cp s nguyên (r, v) tha mãn đngthi hai điu kin sau đây:
DK3 : 0 |r| <
M/2 và 0 < v <
M/2 (3)DK4 : r ≡ Kv (mod M) (4)
K,M
r1 := M ; v1 := 0;r2 := K ; v2 := 1;
r1, r2
v1, v2
v2 ≥ M/2?
(0, 0);
Q := r1/r2;r1 := r1 − Qr2;v1 := v1 − Qv2;
r2 < M/2?
v2
|v2| · r2, |v2|
Hình 3.3: Thut toán phc hi s hu t RATCONVERT.
28
8/9/2019 Epsilon No1
29/154
D thy rng nu tn ti cp s (r, v) tha mãn hai điu kin(3) và (4) thì cp s ( u , v), trong đó u = Kv−r
M cũng s tha mãn
c hai điu kin (1) và (2).
P. Wang (1981) còn đã đ xut mt thut toán gii quyt vn đphc hi s hu t trong trưng hp li gii tn ti. Thut toánnày da vào ý tưng ca thut toán Euclid và đưc mang tênRATCONVERT (xem Hình 3.3).
Bng 1.1 đưc trình bày trang sau minh ha thut toán RAT-CONVERT qua ví d chương 1.
5. Mt s bài tp tham khoBài toán 1. Chng minh rng mi s hu t đu có th biudin bng đúng hai cách khác nhau dưi dng liên phân shu hn.
Bài toán 2. Chng minh rng [1 : 1 ] =√ 5−12
.
Bài toán 3. Vi a là s nguyên dương hãy tìm khai trin liênphân s ca s
√ a2 + 1.
Bài toán 4. Hãy kim chng rng phương pháp phc hi shu t (c hai phương pháp trình bày chương 4.1 và 4.2) vnhiu qu khi ta ch dùng 6 ch s sau du phy (tc là 0, 195323)nhưng nu ch dùng năm ch s (0, 19532) thì s không th phchi đưc mã s ban đu.
Bài toán 5. Áp dng thut toán phc hi s hu t đ tìm xp x hu t p
q ca s
√ 2 1, 414213562373 sao cho
pq − √ 2 < 0, 001.
29
8/9/2019 Epsilon No1
30/154
M
=
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
K
=
1 9 5 3 2 3 2 4 6
M / 2 =
2 2 3
6 0 ,
7
L ư t
B t đ u
1
2
3
4
5
6
Q
5
8
2
1
5
r 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 9 5 3 2 3 2 4 6
2 3 3 8
3 7 7 0
8 2 5 3 0 8 6
6 8 7 7 5 9 8
1
3 7 5 4 8 8
X u
t
r 2
1 9 5 3 2 3 2 4 6
2 3 3 8 3 7 7 0
8 2 5
3 0 8 6
6 8 7 7 5 9 8
1 3 7 5 4 8 8
1 5 8
( − 1 5 8 ,
7 2 7 ) ;
v 1
0
1
− 5
4 1
− 8 7
1 2 8
v 2
1
− 5
4 1
− 8 7
1 2 8
− 7 2 7
S T O P ;
r =
− 1 5 8
v
=
7 2 7
u =
K v −
r
M
=
1 4 2
B n g 1 . 1
: V í d m i n h h
a c h o t h u t t o á n R A T C O
N V E R T .
30
8/9/2019 Epsilon No1
31/154
TOÁN HC GII TRÍ VÀ CÁC BÀI TOÁN ĐI NÓN
Đng Nguyn Đc Tin (Trento, Italy )
1. Toán hc gii trí Toán hc gii trí (Recreational Mathematics) là mt thut ngchung cho nhng vn đ toán hc mà mc đích ch yu dùngđ gii trí. Đôi khi nhng bài toán gii trí này đưc xut hindưi dng giai thoi hay nhng ch đ có liên quan đn nghthut và toán, nhưng ph bin nht là dưi dng nhng câu đmà li gii đa phn ch cn nhng kin thc toán hc sơ cp.
Tuy không phi là mt ngành nghiên cu nghiêm túc, nhưng xuyên sut chiu dài phát trin ca toán hc, ta luôn thy ssong hành ca nhng bài toán gii trí đi cùng vi nhng phát
minh ca toán hc, đôi khi mt bài toán đ cũng có th là đ bài m đu cho c mt lĩnh vc nghiên cu.
Nhng ví d tiêu biu có th k đn bài toán đoán tui ca Đi-ô-phăng (Diophantus, nhà toán hc Hi Lp, th k th 3 saucông nguyên) và s ra đi ca phương trình nghim nguyên;hay bài toán đm th ca Leonardo Bonacci cùng mi liên h
vi dãy s mang tên ông: Fibonacci; ri mt trưng hp khác là bài toán by cây cu K ̈onigsberg (hay còn đưc gi là by cây cu Euler) vi lý thuyt đ th; và rt nhiu ví d khác.
Ngun gc tuy đã t xa xưa như th, nhưng toán hc gii trí chtht s đưc h thng và ph bin vào khong cui th k 19nh công ca nhng ngưi tiên phong như Charles LutwidgeDodgson (1832-1898), nhà văn, nhà toán hc, nhà thn hc,nhip nh gia ngưi Anh đưc rt nhiu ngưi bit đn vi bút danh Lewis Carroll, tác gi ca “Alice lc vào x thn tiên”; ritip theo là Yakov Perelman (1882-1942), nhà toán hc Xô-Vit,tác gi ca các b sách “Toán hc vui” hay “Vt lý vui” rt quen
31
8/9/2019 Epsilon No1
32/154
thuc vi đc gi Vit Nam; hay bi Samuel Loyd (1841-1911),nhà toán hc, kỳ th c vua ngưi M, đã có công tp hp
và sáng to hơn 5000 bài toán gii trí; và cui cùng thì khôngth không nhc đn Martin Gardner (1914-2010), nhà toán hcngưi M có công đóng góp có th nói là quan trng nht tronglch s phát trin ca toán hc gii trí.
Hình 4.1: Tháp Hà Ni, mt trong nhng bài toán kinh đinca toán hc gii trí, ln đu tiên đưc đăng bi nhà toán
hc ngưi Pháp François-Édouard-Anatole Lucas (1842-1894),trong “Toán hc gii trí” (Récréatión Mathématiques).
2. Các bài toán đi nón Toán hc gii trí xut hin rng khp các nhánh ca toán hc, và c trong các ngành khoa hc khác. Trong chuyên mc mđu này, chúng tôi gii thiu vi đc gi mt nhóm bài toán
kinh đin, thưng đưc gi là nhóm “Bài toán đi nón”.Dng thc chung ca các bài toán đi nón như sau: mt sngưi s đưc đi mt hoc mt s nón. Các nón này có màutrong mt tp hp các màu cho trưc. Cá nhân mi ngưi không
bit màu nón ca mình, nhưng có th thy đưc nón ca cácngưi khác. Nhim v ca h là phi đoán đưc màu nón ca mình, và không đưc trao đi thông tin sau khi nón đã đưc đi.Bài toán đôi khi xut hin dưi dng trò chơi trên truyn hình
32
8/9/2019 Epsilon No1
33/154
vi ngưi dn trò và ngưi tham gia trò chơi; có khi xut hindưi dng bài toán v nhng nhà logic; có khi là cai ngc và
tù nhân. . . nhưng ct lõi bài toán là tìm chin lưc cho nhngngưi này trưc khi đưc đi nón, sao cho khi nhìn thy màunón ca nhng ngưi trong nhóm thì h s có chin thut đđoán đúng càng nhiu màu nón càng tt.
Có rt nhiu cơ s cho thy rng bài toán đã đưc lưu truyntrong dân gian t rt lâu, nhưng k t năm 1961 nhóm bài toánđi nón mi đưc chính thc ghi nhn bi Martin Gardner. Bàitoán sau đó đưc phát trin vi rt nhiu bin th, vi các kt qu và phương pháp gii rt khác nhau. Mt trong nhng phiên
bn kinh đin ca bài toán đưc đ xut bi Konstantin Knoptrong kỳ thi Olympic toán toàn quc Nga ln th 23, năm1997. Sau đó, bài toán đưc kho sát chi tit trong lun án tinsĩ ca Todd Ebert vào năm 1998.
Đn năm 2001, bài toán đưc đăng li bi cây bút Sara Robin-son trong chuyên mc Khoa hc ca thi báo New York s ngày 10 tháng 4. Đn năm 2009, mt ln na mt m rng ca bàitoán đưc đăng li cũng thi báo New York, s ngày 23 tháng3. Cho đn năm 2011, Lionel Levine làm mi bài toán vi trưnghp vô hn nón, thu hút đưc nhiu phương pháp gii mi l.
Gn đây nht, vào năm 2013, trong mt kỳ thi toán ti Nga, mt ln na bài toán đưc làm mi vi mt phiên bn tuyt đp ca Konstantin Knop. Đây cũng là phiên bn m rng cui cùng mà chúng tôi ghi nhn đưc tính đn thi đim vit bài này.
Vi nhng phát biu vn khá khô khan, như mt trò chơi trêntruyn hình, hay thm chí phi lý như th thách gia cai ngc
và tù nhân, vì sao các bài toán gii trí v đi nón li thu hút squan tâm ca các nhà toán hc đn như vy? Vì s hp dn,tính sáng to ca bn thân bài toán cũng như li gii? Hay vìkt qu ca bài toán dn đn nhng ng dng quan trng, đc
bit là trong lý thuyt mã hóa? Chúng tôi xin mi đc gi hãy cùng tìm ra câu tr li bng mt cuc du ngon qua nhng bàitoán đi nón này.
2.1. Bài toán đi nón s 1: Hai chàng r Đây có l là phiên bn c nht trong s các bài toán đi nón. đây, chúng tôi gii thiu mt d bn như sau: Ngày xưa có nhà
33
8/9/2019 Epsilon No1
34/154
đi gia kén r cho hai cô con gái. Kén chn mãi đưc hai chàngtun tú văn hay ch tt. Ngưi cha mt ln na mun th tài
trí ca hai chàng r tương lai bèn bày ra thách đ.
Ông cho mi ngưi mt chic nón. Mi ngưi không đưc nhìnthy nón ca mình mà ch nhìn thy nón ca ngưi còn li. Sauđó cùng lúc c hai phi vit ra màu nón ca mình cho ngưicha xem. Nu ít nht có mt ngưi đoán đúng, ông s chn c hai chàng r, nu c hai đu đoán sai thì phi ra v không.
Bit là nón có hai màu, trng hoc đen.
Hai chàng trai tr vn là bn ca nhau. Trưc khi thách đ bt đu, h ngm ngm trao đi chin thut và cui cùng cưi đưchai nàng tiu thư xinh đp.
Theo đc gi, hai chàng trai đã nói gì vi nhau?
2.2. Bài toán đi nón s 2: Bách niên thưng thBài toán s 2 là mt dng m rng ca bài toán s 1, có mt d bn như sau:Vào năm mng thưng th trăm tui ca nhà
vua, ngài mi đn mt trăm ngưi khách, phát cho mi ngưi
mt chic nón có màu trng hoc đen và bày mt trò chơi vinón. Mi ngưi ch thy màu ca 99 ngưi khác nhưng khôngthy đưc màu nón ca mình. Cùng lúc h phi đoán màu nónca mình và không đưc có bt kỳ trao đi gì vi nhau. Ai đoántrúng s đưc ban bng lc.
Bng lc ca nhà vua rt ln nên có mt ngưi khách l ma mãnh nhanh chóng nm bt thi cơ. Hn r tai nhng ngưikhách khác rng ch cn làm theo cách ca hn thì s ngưi
34
8/9/2019 Epsilon No1
35/154
giành đưc phn thưng s là cao nht. Và mi k nhn thưngphi chia mt phn tin cho K L đó.
Cách ca hn là gì đ có đưc món li to nht? Bn đc hãy cùng đoán th xem.
2.3. Bài toán đi nón s 3: Mt n cưi ca qu Trong rng sâu có mt con qu d năm nào cũng bt v mưilinh hn sng. Nó gom ht đám linh hn li vi nhau, đeo chomi linh hn mt chic mt n cưi màu sc rc r. Luôn cómưi màu, nhưng s lưng các màu thì thay đi theo tng năm.Có năm mưi cái mt n có mưi màu, có năm li xen k, cónăm li hoàn toàn ging nhau. Đó là nhng chic mt n dànhcho trò chơi ca qu.
Trò chơi quy đnh k đeo mt n chng th nhìn thy màu mt n ca mình mà ch có th nhìn thy màu mt n ca nhnglinh hn xung quanh. Và th là tt c cùng bt đu trò phngđoán. Cùng mt lúc các linh hn phi nói lên màu mt n ca mình. Ch cn duy nht mt k đoán đúng thì tt c đưc tha,
bng không tt c nhng linh hn đó mãi mãi phi tr thànhnô l cho qu d.
Mt năm n, có mt nhóm linh hn thông minh, trưc khi tròchơi bt đu, h đã nói vi nhau. . .
Và ri nhng linh hn đã thng.
Chin thut ca h là gì? Bn đoán đưc không?
2.4. Bài toán đi nón s 4: Th thách 3 chic nónĐây là mt phiên bn rt ni ting ca nhóm bài toán này.
đây chúng tôi gii thiu vi đc gi phiên bn trên thi báo New York ngày 10 tháng 4 năm 2001: Có 3 ngưi tham gia mt tròchơi, trong đó mi ngưi đưc đi ngu nhiên mt nón có màuđ hoc xanh dương. H nhìn thy màu nón ca 2 bn mìnhnhưng không bit màu ca mình. Mi ngưi cn phi đoán ra màu nón ca mình, hoc chn b qua nu không đoán đưc.
Nu ít nht mt ngưi đoán đúng màu nón và nhng ngưi cònli không đoán sai, h thng trò chơi. H s thua nu có ngưi
35
8/9/2019 Epsilon No1
36/154
đoán sai hoc c 3 cùng chn b qua. H đưc trao đi chinthut vi nhau trưc khi chơi nhưng trong khi tham gia thì
không đưc trao đi bt c thông tin gì. Tìm chin thut có xácsut thng cao nht.
2.5. Bài toán đi nón s 5: Bài ca ca 15 gã sayBài toán s 5 là mt trưng hp tng quát ca bài toán s 4 vimt d bn như sau: Quanh mt chic hòm cưp bin, có mưilăm gã say rưu đi nón ngi cưi. Mt gã va cưi va hát vmàu nón ca nhng k k bên. Bài hát như sau:
Trng và đen hay im lng
Này nhng gã say
Hoc nói hoc câm lng
Ngoài bin khơi kho báu qu đang ch.
Truyn thuyt nói đó là mt bài hát và cũng là mt câu đ. Mingưi ch thy nón ca 14 ngưi khác và không thy nón ca mình và có ba la chn đ nói lên màu nón ca mình, trnghoc đen, hoc b qua. Ch cn tt c các gã nói trúng màunón ca mình thì chic hòm cưp bin s m ra.
Hãy tìm chin thut tt nht cho mưi lăm tên say.
36
8/9/2019 Epsilon No1
37/154
2.6. Bài toán đi nón s 6: Ngưi dn trò chơi
“Xo quyt” bài toán này, chúng tôi mi đc gi cùng quay li bài toánđi nón s 4. Vi bài toán này, nu mt ngưi chn ngu nhiênmàu nón bt kỳ và 2 ngưi còn li chn b qua, h s thng vi
xác sut 12
. Tuy nhiên, lun án ca Ebert đã trình bày mt ligii tt hơn, trong đó nu mt ngưi thy 2 bn mình đi nónkhác màu nhau, s chn b qua và nu 2 bn đi cùng màunón, ngưi này s chn màu còn li. Vi chin thut này, xácsut thng trò là 3
4.
Li gii trên đã khi ngun cho bài toán đi nón s 5: sau nhiuln chơi đi chơi li, ngưi dn trò láu cá hơn và thy rng ngưichơi s thua nu c 3 đi nón cùng màu, do vy ngưi dn tròchn cách đi nón không tht s ngu nhiên na. Liu rngcó chin thut nào đ ngưi chơi vn gi đưc kh năng chinthng là 3
4 trong tình hung này?
C 6 bài toán đi nón đưc gii thiu trên đu có cùng điukin là mi ngưi chơi đu thy đưc màu nón ca tt c nhngngưi chơi khác, do vy, nhóm bài toán này còn hay đưc phát
biu dưi dng ngưi chơi xp thành vòng tròn. Bài toán hin
vn còn đưc phát trin và các li gii đp hin ch xut hin các trưng hp đc bit, ví d trưng hp bài toán đi nón s 5.Các trưng hp tng quát vi n ngưi chơi và m màu nón hinch dng mc xác đnh chn trên ca kh năng chin thng.
Tip theo đây là ba bài toán đi nón mà đó, ngưi chơi chđưc thy nón ca mt s ngưi khác, thông thưng là nhngngưi đng trưc mình khi xp thành hàng.
2.7. Bài toán đi nón s 7: Bài toán 100 ngưiBài toán này vi trưng hp 2 màu và 3 màu ln đu tiên đưcđưa ra bi Konstantin Knop kỳ thi Olympic toán toàn quc Nga ln th 23, năm 1997. Phát biu ca bài toán như sau:
Có 100 ngưi đưc xp thành mt hàng, mi ngưi đưc đimt nón có màu trng hoc đen. Mi ngưi ch nhìn thy màunón ca nhng ngưi đng trưc mình mà không thy nón ca mình và nhng ngưi đng sau. Ln lưt mi ngưi s phi
37
8/9/2019 Epsilon No1
38/154
đoán màu nón ca mình và hô to cho nhng ngưi khác nghe.Ngưi đng cui cùng (là ngưi thy màu nón ca toàn b 99
ngưi trưc) là ngưi bt đu phi đoán.
Ngưi chơi không đưc trao đi bt kỳ thông tin gì vi nhaungoi tr lng nghe màu nón t ngưi đoán trưc. Đúng saicũng ch đưc bit khi ngưi cui cùng đã đoán xong. Hãy tìmchin chut sao cho s ngưi đoán sai là ít nht.
Hãy gii bài toán vi trưng hp 100 ngưi chơi, 3 màu nón. Liucó th tng quát lên vi N ngưi chơi và M < N màu nón?
2.8. Bài toán đi nón s 8: Vào cng thiên đàngmi thiên thn đu phi cài hoa!
Tương t vi bài toán đi nón s 6, nhưng bài toán này có mt tích chuyn khá thú v vi mưi thiên thn xp hàng vào cngthiên đàng. Mi thiên thn đu cài trên tóc mt đoá hoa trnghoc đ và ch nhng thiên thn đng sau mi nhìn thy màuhoa trên tóc nhng thiên thn đng trưc. Đ th thách lòngnhn nhn và tính đoàn kt ca các thiên thn, nhà Tri ra lnhcho h ln lưt đoán màu hoa trên tóc ca mình theo th tt sau ra trưc. Tuy nhiên các thiên thn vn có quyn khôngđoán mà chn b qua. Tt c s đưc vào cng thiên đàn nukhông có ai đoán sai và ít nht mt thiên thn đoán đúng. Trongquá trình đoán màu các thiên thn không đưc trao đi bt cthông tin gì vi nhau. Nhng thiên thn này đã qua cng nhà
Tri bng phương thc nào?
38
8/9/2019 Epsilon No1
39/154
2.9. Bài toán đi nón s 9: Bài toán 101 màu
16 năm sau khi bài toán đi nón vi 100 ngưi và 2 màu nón(bài toán đi nón s 7) ra đi, Konstantin Knop li làm mi bàitoán vi 101 màu, phát biu như sau:
Có 100 ngưi xp thành hàng, mi ngưi đưc đi mt nón trongs 101 nón khác màu nhau. Mi ngưi ch thy nón ca nhngngưi đng trưc mình và không thy nón ca mình cũng nhưnhng ngưi đng sau. Ln lưt mi ngưi t sau ra trưc phiđoán màu nón ca mình và hô to cho mi ngưi cùng nghe.Màu nào đã hô ri s không đưc hô li na. Ngưi chơi không
đưc trao đi thông tin vi nhau. Tìm chin thut sao cho kh năng tt c đu đoán đúng là cao nht.
Trong 9 bài toán đi nón trưc, ngưi chơi đu tham gia vi vaitrò h tr cho nhau. Tip theo, dưi đây chúng tôi xin gii thiumt dng khác ca bài toán, mà đó ngưi chơi s phi cnhtranh vi nhau.
2.10. Bài toán đi nón s 10: Kho báu nhà vua Bài toán đưc ghi nhn t rt sm bi Martin Gardner vào năm1961. Mt d bn ca bài toán đưc thut li như sau: Ba ngưiđào m đưc thn cht bt mt dn vào vào mt hm m ti.
Trên đu mi ngưi đưc qun mt băng đ hoc băng đen.
Cui đưng hm là kho báu ca nhà vua.
39
8/9/2019 Epsilon No1
40/154
Thn cht cho phép ba tên trm m m mt ra. Khi m mt bn chúng ch thy đưc màu khăn ca hai đng bn và không
thy màu ca mình. Thn cht nói k nào đoán đúng sm nht màu khăn ca mình s giành đưc kho tàng. Bng không s bgit. Lut chơi ca thn cht còn quy đnh nu có k nào thy khăn bt đu ca hai tên đng bn có màu đen thì phi giơ tay lên. Theo bn có tên trm m nào có th ly đưc kho báu ca nhà vua không?
2.11. Bài toán đi nón s 11: Qua i t thnCó 20 t tù đưc nhn mt cơ hi đ cùng sng sót như sau: 20
ngưi này đưc xp thành vòng tròn, b che mt và mi ngưiđưc đi nón trng hoc đen. T tù ch đưc bit có ít nht mt nón đen trong s 20 nón đã đưc đi. Sau khi m mt, mingưi thy đưc màu nón ca 19 ngưi còn li. Sau mi phút,nu có ngưi nghim ra đưc màu nón ca mình thì ngưi này s đưc phép đoán. Nu sau 20 phút, nu không ai đoán ra,toàn b s b x t. Nu như trong 20 phút có ngưi đoán sai,h cũng b x t. H ch đưc t do nu như trong 20 phút phicó ngưi đoán, và tt c các ngưi đoán đu phi đoán đúng.Hãy tìm chin thut sao cho tt c đu sng sót.
hai bài toán đi nón tip theo, chúng tôi gii thiu các trưnghp m rng mà đó s lưng hoc ngưi chơi, hoc s nónđưc nâng lên vô hn (đm đưc).
2.12. Bài toán đi nón s 12: Vô hn ngưi chơiCó vô hn (đm đưc) ngưi chơi xp thành mt hàng, trong đómi ngưi đưc đi mt nón có màu trng hoc đen và ngưiđng sau thy đưc toàn b nón ca nhng ngưi đng trưc.Ln lưt mi ngưi t sau ra trưc s nói lên màu nón ca mình. Hãy tìm chin thut đ s ngưi đoán đúng là cao nht.Lưu ý, đ có li gii cho bài toán này, đc gi cn phi s dngtiên đ chn.
2.13. Bài toán đi nón s 13: Vô hn nónBài toán này đưc đ ra bi Lionel Levine (đi hc Cornell) vàonăm 2011 như sau: Bn ngưi cùng tham gia mt trò chơi đoán
40
8/9/2019 Epsilon No1
41/154
nón như sau: Ngưi dn trò s đi vô hn các nón có màu trnghoc đen lên đu mi ngưi vi xác sut nón trng và đen là
như nhau và bng 12 . Các nón ca mi ngưi đưc đánh s lnlưt 1, 2, .. . Mi ngưi chơi ch thy đưc toàn b nón ca 3ngưi khác nhưng nón ca mình thì h không thy.
Mi ngưi s đưc phát mt t giy và h đưc phép ghi vào đómt con s, ng vi ch s ca nón ca h mà h đoán là màuđen. Sau khi nhn đ tr li, ngưi dn trò s kim tra s đưcghi trên giy ca mi ngưi.
Nu c 4 ngưi cùng đoán đúng (tc là 4 ngưi đu ghi đưc cons ng vi nón màu đen ca mình), h thng trò chơi, ngưc li,ch cn mt ngưi đoán không đúng, h thua. Bn ngưi đưctho lun trưc chin thut trưc khi chơi và không có bt kỳ
trao đi nào sau đó. H cũng không bit đưc thi đim mà nhng ngưi khác đưa giy cho ngưi dn trò. Hãy tìm chinthut đ xác sut thng là cao nht.
Ví d: h đu ghi s 2015 vào các mnh giy. Khi đó, cơ hi chinthng s là 1
16 vì xác sut nón th 2015 ca mi ngưi là 1
2.
Tng quát hóa cho N ngưi liu cách gii có khác?
Nhng bài toán đi nón khác: Trong nhng bài trưc, tt c đu liên quan đn vic đoán màu ca nón, trong nhóm bài cuicùng này chúng tôi gii thiu vi đc gi mt vài dng khác ca
bài toán đi nón.
2.14. Bài toán đi nón s 14: Bài toán 3 chic nónBa ngưi chơi, mi ngưi đưc đi mi chic nón, trên mi chicnón có ghi mt s nguyên dương. Mi ngưi ch thy 2 s ca 2ngưi chơi khác mà không bit s ca mình. H đưc cho bit
41
8/9/2019 Epsilon No1
42/154
là 1 trong 3 s là tng ca 2 s còn li. Ln lưt tng ngưi,hoc đoán ra con s ca mình, hoc chn b qua. Sau đây là
đon đoán s ca h:
• Ngưi 1: b qua.
• Ngưi 2: b qua.
• Ngưi 3: b qua.
• Ngưi 1: b qua.
• Ngưi 2: b qua.• Ngưi 3: b qua.
• Ngưi 1: b qua.
• Ngưi 2: b qua.
• Ngưi 3: s ca tôi là 60.
Hi rng con s trên 2 nón còn li có th là bao nhiêu?
2.15. Bài toán đi nón s 15: Xp hàngCó 10 ngưi tham gia trò chơi như sau: mi ngưi s đưc đimt chic nón, trên đó có mt con s nguyên dương. Ngưi chơikhông đưc cho bit gii hn ca các s, h ch bit 10 s này phân bit vi nhau. Mi ngưi không bit s ca mình nhưngthy đưc s ca 9 ngưi còn li. Sau khi quan sát xong các sca nhng ngưi khác, mi ngưi s phi chn nón ca mình
là màu trng hoc đen. Vic chn màu này cũng không đưccho các ngưi chơi khác bit.
Sau khi chn xong màu nón, nhng ngưi chơi s đưc vxpthành mt hàng, theo th t tăng dn ca giá tr con s trênnón. Nu như h có th xp thành mt hàng trng/đen xen knhau, h chin thng trò chơi, ngưc li h tht bi. Hãy tìmchin thut đ xác sut chin thng là cao nht.
42
8/9/2019 Epsilon No1
43/154
3. Li ktBài toán đi nón th 15 trên cũng đã kt thúc chuyên mckỳ này. Chúng tôi hi vng rng sau cuc du ngon xuyên sut hơn na th k phát trin ca nhng bài toán đi nón, tp chíca chúng tôi đã có th gii thiu đưc vi đc gi v đp và shp dn ca nhóm bài toán này. Bn thân mi bài toán đi nónthưng là nhng th thách toán hc hàng tun, nên đ tránhlàm mt đi cm xúc ca nhng đc gi mong mun th sc,chúng tôi ch chn đăng gi ý hoc đáp án vn tt ca mi bài
và s trình bày li gii chi tit vào nhng s tip theo.
Chúng tôi tin rng vi phn li gii, đc gi s đưc tip tcchuyn hành trình kỳ thú cùng nhng ng dng thc t tnhóm bài toán gii trí này. Chúng tôi cũng rt hoan nghênhmi đóng góp ca quý v đc gi v li gii cũng như nhngphiên bn khác ca nhóm bài toán đi nón.
Đ thêm phn thú v cho mt s bài toán, chúng tôi đã đt liphn ln tình tit đ bài nhưng vn gi nguyên bn cht toánhc. Đ tin tra cu và tham kho, đc gi có th truy tìm lingun gc ca tng bài thông qua nhng tài liu sau:
1) A Dozen Hat Problems: Cho các bài 1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 11.
2) Colored Hats and Logic Puzzles: Cho các bài 1, 2, 3, 4, 5,6, 8, 10 và 11.
3) A Line of Sages: Cho các bài 7 và 9.
4) An introduction to infinite hat problems: Cho bài 12, 13.
5) Problem of the week 1179 : Cho bài 13.
6) The Three-Hat Problem: Cho bài 14.
7) Another black and white hats puzzle: Cho bài 15.
43
8/9/2019 Epsilon No1
44/154
4. Gi ý li gii
Bài 1. Ngưi 1 chn màu ngưc li vi màu nón ca ngưi 2;Ngưi 2 chn màu ca ngưi 1.
Bài 2. Ghép thành tng cp và áp dng bài 1.
Bài 3. Gán s các màu t 0 đn 9 và tng linh hn t 0 đn 9.Khi đó linh hn th k s đoán màu sao cho màu đó và tng 9màu khác bng k (mod 10).
Bài 4. Đáp án phát biu t bài 6.
Bài 5. Da trên t tưng t bài 3, liên kt vi mã Hamming.Bài 6. Có 8 trưng hp cho 3 ngưi vi 2 màu nón, khi đó chinthut hin ti s tht bi 2 trưng hp các nón cùng màu Đ-Đ-Đ hoc Xanh-Xanh-Xanh và thành công 6 trưng hpcòn li. Liu có chin thut luôn tht bi cp trưng hp
Xanh-Đ-Đ và Đ-Xanh-Xanh nhưng thành công 6 trưnghp còn li? Vi 2 cp còn li (Xanh-Đ-Xanh, Đ-Xanh-Đ) và (Xanh-Xanh-Đ, Đ-Đ-Xanh), liu có chin thut tương ng?Khi đó, nu ta ngu nhiên chn chin thut xut phát thì vicchn giá tr ban đu không ngu nhiên s gp tht bi. Xácsut thành công đưc bo toàn là 75%.
Bài 7. Cho trưng hp 2 màu: ngưi cui s nói màu đen nus nón đen anh ta thy là s l và nói trng nu s nón đen là chn. Nhng ngưi khác, căn c vào đó s đoán đưc.
Vi trưng hp M < N màu, ngưi cui s chn màu là tng(mod N) nhng màu anh ta quan sát đưc.
Bài 8. Vi la chn b qua, kh năng thng lên đn 10231024
. Ch saikhi tt c nón đu cùng màu trng (hoc đen).
Bài 9. S dng t hp thay vì modulo. Chúng tôi s phân tích b ba bài 7, 8 và 9 này trong nhng s tip theo.
Bài 10. Nu tt c đu nón trng, s không có tên nào giơ tay, và bn chúng s suy ra đưc nón mình màu trng.
Nu ch có mt nón đen, c hai tên đi nón trng s cùng lúc bit nón mình màu trng vì tên còn li không giơ tay.
44
8/9/2019 Epsilon No1
45/154
Nu có hai nón đen, c ba tên s cùng giơ tay. Lúc này, nhngtên đi nón đen s cùng bit mình đi nón đen, vì chúng s suy
lun: “nu nón mình màu trng, thì tên đi nón đen kia khôngth giơ tay”.
Tình hung không th đoán đưc ngay lp tc là khi c 3 đuđi nón đen. Nhưng sau s chn ch ca c 3, c 3 s cùngđoán đưc tt c đu đi nón đen.
Bài 11. Nu mt ngưi thy k nón trng, anh ta s đoán nónmình màu đen phút th (20 − k ). Sau khi đã có ngưi đoánthì không ai đoán na.
Bài 12, 13. Chúng tôi s phân tích chi tit vào các s tip theo.
Bài 14. Các đáp án có th có là:
[25, 35, 60 ], [35, 25, 60 ], [42, 18, 60 ], [18, 42, 60 ]
[10, 50, 60 ], [50, 10, 60 ], [44, 16, 60 ], [16, 44, 60 ].
Bài 15. Tn ti chin thut luôn luôn thng. Hãy th vi nhngtrưng hp nh.
45
8/9/2019 Epsilon No1
46/154
d
46
8/9/2019 Epsilon No1
47/154
V BÀI HÌNH HC THI VMO 2015 Trn Quang Hùng (Trưng THPT Chuyên KHTN, ĐHQG Hà Ni )
Tóm ttBài vit s xoay quanh khai thác bài hình hc thi quc gia
Vit Nam ngày đu tiên.
Kỳ thi hc sinh gii quc gia Vit Nam năm 2015 có bài toánhình hc như sau:
Bài toán 1. Cho đưng tròn (O) và hai đim B, C c đnh trên (O) vi BC không là đưng kính. Mt đim A thay đi trên (O)sao cho tam giác ABC nhn. Gi E, F ln lưt là chân đưng cao k t B, C ca tam giác ABC. (I) là đưng tròn thay đi đi qua các đim E, F và có tâm là I.
a) Gi s (I) tip xúc BC ti D. Chng minh rng DBDC
= cotBcotC
.
b) Gi s (I) ct cnh BC ti M, N. Gi H là trc tâm tam giác ABC và P, Q là giao đim ca (I) vi đưng tròn ngoi tip tam giác HBC. Đưng tròn (K) đi qua P, Q tip xúc (O) ti T vi T , A cùng phía BC. Chng minh rng phân giác trong ca góc ∠MT N luôn đi qua đim c đnh.
Nhn xét. Đây là bài toán v trí s 4 là bài đưc đánh giá là khó. Hai ý ca bài toán không liên quan nhiu ti nhau, chúngtôi s gii và phân tích tng ý. Vi ý b) ca bài toán thc cht các yu t v trc tâm và chân đưng cao là không cn thit.
Chúng tôi xin đưa ra mt bài toán tng quát hơn và thc ra vmt cu hình s đơn gin hơn đng thi phát biu li cho thy ý nghĩa thc ca nó.
Bài toán 2. Cho BC là dây cung ca đưng tròn (O). Đưng tròn (K) bt kỳ qua B, C. P, Q là hai đim thuc (K) và trong (O).Đưng tròn (L) qua P, Q tip xúc trong (O) ti A sao cho A, Kkhác phía BC. Đưng tròn (S) qua P, Q ct BC ti M, N. Chng minh rng ∠BAM = ∠CAN.
47
8/9/2019 Epsilon No1
48/154
Li gii. Theo tính cht tâm đng phương d thy tip tuynchung ti A ca (O) và (L), PQ và BC đng quy ti T .
O
B
C
K
P Q
L
S
A
T M N
T đó d có T A2 = T P.T Q = T M.T N. T đó d suy ra đưng trònngoi tip tam giác AMN cũng tip xúc (O). T đây, ta d dàngsuy ra ∠BAM = ∠CAN (điu phi chng minh).
Nhn xét. Bài toán là áp dng trc tip ca các tính cht v
phương tích và trc đng phương. Bài toán có th thay th điukin tip xúc thành ct nhau như sau
Bài toán 3. Cho XY là dây cung ca đưng tròn (O). Đưng tròn (K) bt kỳ qua X, Y . Đưng tròn (L) ct (O) ti Z, T và ct (K) ti P, Q. Đưng tròn (S) qua P, Q ct BC ti M, N. Chng minh rng
∠XZM = ∠YT N.
48
8/9/2019 Epsilon No1
49/154
Li gii. Ta cũng d thy XY , ZT , PQ đng quy ti R. Suy ra
RM · RN = RP · RQ = RZ · RT .
O
X Y
K
P Q
T
L
R
S
Z
M N
Kt qu này chng t t giác ZTMN ni tip. T đó, ta có
∠XZM = ∠RZM − ∠RZZ = ∠T NM − ∠T YM = ∠YT N.
Ta có điu phi chng minh.
Nhn xét. Bài toán m rng tip theo này xem ra còn đơn ginhơn c trưng hp tip xúc. Thc ra điu chúng tôi mun nói nhng bài toán sau này là khi tng quát bài toán thì đó cũnglà mt cách hay cho chúng ta tìm ra li gii đơn gin hơn là cáctrưng hp riêng. Khi nhìn qua cái nhìn tng quát b bt cácd kin không cn thit bài toán tr nên không khó na. Ta cóth vit li bài toán theo cách khác mang tính đi xng hơn:
49
8/9/2019 Epsilon No1
50/154
Bài toán 4. Cho đưng tròn (K) và (L) ct nhau ti A, B. Mt đưng tròn bt kỳ ct (K) ti M, N ct (L) ti P, Q và ct AB ti S, T . Mt đưng tròn qua M, N ct (L) ti E, F. Mt đưng tròn qua P, Q ct (K) ti G, H.
a) Chng minh rng E, F, G, H cùng thuc mt đưng tròn.
b) Chng minh rng ∠SEA = ∠T FB và ∠SGA = ∠T HB.
c) Gi s G, E, M, P, S, A cùng phía vi KL. Chng minh rng ∠HBF + ∠GAE = ∠HT F + ∠GSE.
S
K L
T
M
N
E
F
A
B
P
Q
G
H
Li gii đơn gin ch áp dng bài tp trên. Chúng tôi nhn thy bài toán này ý nghĩa nm nhiu câu a). Tuy rng theo đánhgiá thì ý a) là ý dùng đ g đim nhưng thc ra n sau nó cónhiu yu t thú v. Chúng ta thy là vic phát biu kt lun
bng mt biu thc lưng giác không đp. Ta hoàn toàn có th
thay th biu thc lưng giác
cotB
cotC =
KB
KC vi AK đưng cao tA, như vy ta cn chng minh DB2
DC2 = KB
KC. Đn đây ta có th đ
xut bài tng quát hơn như sau:
Bài toán 5. Cho tam giác ABC. Mt đưng tròn (K) qua B, C ct CA, AB ti E, F. BE ct CF ti H. AH ct BC ti D. Mt đưng tròn qua E, F tip xúc đon BC ti T . Chng minh rng
T B2
T C2 =
DB
DC.
50
8/9/2019 Epsilon No1
51/154
Li gii 1. Gi đưng tròn ngoi tip tam giác DEF ct CA, ABti M, N khác E, F.
A
B C
F
E
N M
T
H
D
Ta có ∠EMN = ∠EFN = ∠ECB, suy ra MN BC. T đó:
T B2
T C2 =
BF · BNCE · CM
= BF
CE · AN
AM =
BF
CE · AE
AF =
DB
DC.
Ta có điu phi chng minh.
A
B C
K
F
E
H
G T S D
51
8/9/2019 Epsilon No1
52/154
8/9/2019 Epsilon No1
53/154
Li gii. Các ý a) và b) đã có các bài trên, ta tp trung chngminh ý c) là ý thú v nht ca bài toán này. Theo tính cht tip
tuyn d thy EF ct BC ti G là trung đim X1X2. Gi M là trungđim BC chú ý E, F, D, M cùng nm trên đưng tròn Euler ca tam giác ABC nên ta có GX21 = GX
22 = GE · GF = GD · GM. T đó
hàng (X1X2, DM) = −1. Ta cũng có hàng (BC, DG) = −1. Suy ra
DH · DA = DB · DC = DG · DM = DX1 · DX2.
A
B C
H
D
F
E
Z 2
X 2
X 1
Z 1
P
Q
M
K
G
T đó H là trc tâm tam giác AX1X2 nên X2H vuông góc AX1 tiK. Gi Q là hình chiu ca X2 lên PH, t kt qu trên, ta có
HP · HQ = HK · HX2 = HD · HA = HB · HE = HC · HF = k . T đây, bng cách chng minh tương t, ta có hình chiu ca Y 2, Z2 lên PH cũng là Q. Như vy PH vuông góc d ti Q.
53
8/9/2019 Epsilon No1
54/154
8/9/2019 Epsilon No1
55/154
A
B C
K
F
E
H
G T D
L
S
Như th, ta có (BC, DG) = −1 mà AD, BE, CF đng quy nên suy ra EF đi qua G. T đó GE · GF = GS2 = GB · GC suy ra E, F, B, Cthuc mt đưng tròn. Ta có điu phi chng minh.
T bài toán tng quát trên, ta li có th tng quát bài toán đngquy hơn na như sau:
Bài toán 10. Cho tam giác ABC các đim K, L, N ln lưt thuc trung trc BC, CA, AB sao cho AK, BL, CN đng quy. Đưng tròn (K) qua B, C ct đon CA, AB ti Ab, Ac. Đưng tròn qua Ab, Actip xúc cnh BC ti Aa. Tương t có Bb, Cc. Chng minh rng AAa, BBb, CCc đng quy.
Nu thay các yu t tip xúc thành ct nhau, ta cũng có mt s bài toán tương t, các bn hãy làm như các bài luyn tp:
Bài toán 11. Cho tam giác ABC có E, F ln lưt thuc đon CA, AB. BE ct CF ti H. AH ct BC ti D. S là mt đim trên đon BC. Đưng tròn ngoi tip tam giác SEF ct BC ti T khác S.Chng minh rng BS·BT CS·CT =
DBDC khi và ch khi B, C, E, F cùng thuc
mt đưng tròn.
55
8/9/2019 Epsilon No1
56/154
Bài toán 12. Cho tam giác ABC nhn có đưng cao AD, BE, CFđng quy ti H. Các đim X, Y , Z thuc đon BC, CA, AB sao cho AX, BY , CZ đng quy. Đưng tròn ngoi tip tam giác XEF ct BCti U khác X. Tương t có các đim V , W . Chng minh rng:
a) AU, BV , CW đng quy ti P.
b) YZ, ZX, XY ln lưt ct BC, CA, AB theo ba đim thuc mt đưng thng vuông góc vi PH.
Tài liu tham kho[1] Đ thi VMO năm 2015.
[2] Các bài vit ca Buratinogigle:
artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=620287
56
8/9/2019 Epsilon No1
57/154
V BÀI BT ĐNG THC TRONG Đ THI VMO 2015
Võ Quc Bá Cn (Hà Ni )
Tóm tt
Trong kỳ thi chn hc sinh gii Quc gia môn Toán năm2015, đ thi ngày th nht có bài toán bt đng thc sau:
Bài toán 1. Cho a, b, c 0. Chng minh rng
3(a2 + b2 + c2) P (a + b + c)2,
vi P = (a+b+c)√
ab+√
bc+√
ca
+(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2.
Bài vit này chúng tôi trình bày các ý kin ca mình v bàitoán cũng như nêu ra các hưng tip cn khác nhau đ điđn li gii. Bên cnh các phân tích bình lun, chúng tôi
cũng s đ xut mt s bài toán vi ý tưng tương t chotng hưng tip cn đ bn đc có th t rèn luyn thêm.
cui bài vit, chúng tôi s gii thiu ngun gc, phát biu và gii bài toán tng quát ca bài VMO nói trên.
1. Nhn xét chung Vi ý kin ch quan ca mình, chúng tôi cho rng đây là mt bài toán khá hp lý tương xng vi v trí ca nó trong đ thi.
Trong thi gian 180 phút, các thí sinh phi làm 4 bài toán vicác th loi: Gii tích, Đi s, T hp và Hình hc .
S lưng câu hi khá nhiu nhưng thi gian làm bài li hnch, th nên các bài toán đu tiên không th ra quá khó vì nhưth s to áp lc cho thí sinh.
Bài toán này mc đ trung bình, không d cũng không khó.Hình thc phát biu cũng gn gàng, đơn gin ch không cng
57
8/9/2019 Epsilon No1
58/154
knh phc tp so vi đ VMO năm 2014. Ngoài ra, bài toán này cũng có khá nhiu hưng đ tip cn ch không mo mc phc
tp như đ thi năm ngoái. Chính vì th, vic chn nó làm bàis 2 là khá phù hp.
Tuy nhiên, điu đó không có nghĩa là bài toán này thc s tt. Ý tưng ca nó không mi nu không mun nói là đã khá quenthuc vi các em hc sinh. Vì vy, do quen dng nên nhiu em“trúng t” có th nhìn vào ngay và gii mà không cn phi nghĩ suy nhiu. Rõ ràng điu này s khin cho vic đánh giá cht lưng cũng như kt qu s không đưc khách quan. S tht tuyt nu đ thi là nhng bài toán vi ý tưng mi m nhưng
li nh nhàng, tinh t và không mo mc. Mong rng các đ VMO sp ti s đáp ng đưc điu này.
2. Các hưng tip cn cho bài toán V trái ca bt đng thc khá đơn gin. Dng phát biu ca nó vi tng các bình phương gi cho ta nghĩ đn đng nht thc Lagrange – mt hng đng thc quen thuc đưc dùng đchng minh bt đng thc Cauchy-Schwarz:
ni=1
a2i n
i=1
b2i
− n
i=1
aibi2
= 1i
8/9/2019 Epsilon No1
59/154
Ngoài ra, ta cũng thy rng ch khó ca bài toán chính là cáccăn thc. Nu ta có th phá đưc du căn đưa bt đng thc
v dng đơn gin hơn thì chc chn bài toán cũng s tr nênsáng sa hơn. Đn đây, có hai ý tưng chính như sau:
1. Đt n ph đ kh căn: Đây là mt hưng đi khá t nhiên vì các căn thc đây cũng đơn gin, các biu thc dưidu căn ch có dng bc mt. Do đó, ch cn mt ln đt n ph x =
√ a, y =
√ b, z =
√ c là ta có th kh đưc ht
các căn thc và đưa v xét mt bt đng thc thun nht bc 4 đi vi x, y, z . Bc ca bt đng thc mi cũng khôngquá cao nên đây là hưng đi hoàn toàn kh thi.
2. S dng đánh giá đ kh căn: Đây là ý tưng thưng thy khi x lý các bài toán có căn. Vn đ đưc đt ra đây là ta phi la chn đánh giá đ cht sao cho các điu kindu bng phi đưc đm bo.
Các hưng tip cn đưc trình bày dưi đây hu ht đu sdng hai ý tưng trên làm tư tưng ch đo:
2.1. Hưng 1: Khai trin trc tip
Đây có l là hưng đi t nhiên nht cho bài toán này. Ta ch vic đt x = √ a, y = √ b, z = √ c ri nhân tung ht ra. Khi đó, bt đng thc cn chng minh có th đưc vit li dưi dng:
x4 + xyz
x +
xy(x2 + y2) 4
x2 y2. (1)
Đn đây, nu bn nào có tìm hiu s nghĩ ngay đn bt đngthc Schur bc 4:
x2(x − y)(x − z ) + y2( y − z )( y − x) + z 2(z − x)(z − y) 0.
Dng khai trin ca nó chính là:x4 + xyz
x
xy(x2 + y2). (2)
S tương đng gia hai bt đng thc (1) và (2) gi cho ta nghĩ đn vic dùng (2) đ đánh giá cho (1). Ngoài ra, (2) cũng có du
bng ti x = y = z và x = y, z = 0 (cùng các hoán v) tương ng vi trưng hp đng thc ca (1). Do đó, đây s là mt đánh giá
59
8/9/2019 Epsilon No1
60/154
khá n và ta có th yên tâm v đ an toàn ca nó. Tht vy, saukhi đánh giá, ta ch cn xét bt đng thc:
2
xy(x2 + y2) 4
x2 y2 ⇔ xy(x2 + y2) 2 x2 y2 và nó ch là mt h qu trc tip ca bt đng thc AM-GM:
xy(x2 + y2)
(xy · 2xy) = 2
x2 y2.
Li bình. Đt n ph là mt trong nhng k năng cơ bn cncó trong bt đng thc. Nhiu bài toán có hình thc cng knhphc tp, tuy nhiên sau nhng bưc đt n ph đơn gin, ta có th đưa bài toán tr v dng mi mà đó nhiu ý tưng (mà
trong đó cũng có th là gc ca bài toán) s đưc phơi bày ra.Có nhiu kiu đt n ph, trong đó có ba kiu sau rt thôngdng: Đt n ph đ làm đơn gin hình thc bài toán, đt nph đ thun nht hóa hoc đi xng hóa, và đt n ph lưnggiác da vào du hiu t điu kin gi thit.
Dưi đây là mt s ví d:
Bài toán 2. Cho x, y, z là các s thc dương. Chng minh rng
(x + y)(x + z ) x + y + z + 3(xy + yz + zx).Li gii. Đt a = √ y + z , b = √ z + x và c = √ x + y. Khi đó, ta dthy a, b, c là ba cnh ca mt tam giác và:
x = b2 + c2 − a2
2 , y =
c2 + a2 − b2
2 , z =
a2 + b2 − c2
2 .
Thay vào, ta vit đưc bt đng thc dưi dng:
2
ab −
a2
3
2
a2b2 −
a4
,
hay 2
ab −
a2
3(a + b + c)(b + c − a)(c + a − b)(a + b − c).
Đn đây, ta li đt a = n+ p, b = p+m và c = m +n vi m , n, p > 0.Bt đng thc đưc vit li thành:
mn + np + pm
3mnp(m + n + p).
Mt kt qu đã quá quen thuc.
60
8/9/2019 Epsilon No1
61/154
Bài toán 3 (IMO, 2001). Cho a, b, c > 0. Chng minh rng
a√ a2 + 8bc
+ b√ b2 + 8ca
+ c√ c2 + 8ab
1.
Li gii. Đt x = a√ a2+8bc
, y = b√ b2+8ca
và z = c√ c2+8ab
. Khi đó, bng các bin đi đơn gin, ta d thy 0 < x, y, z
( y + z )
(2x + y + z )
.
Bng cách s dng bt đng thc quen thuc:
(m + n)(n + p)( p + m ) 8mnp, ∀m , n, p > 0ln lưt cho các b (x, y, z ) và (x + y, y + z , z + x), ta có
(2x + y + z ) 8
(x + y) 64xyz .
T đó suy ra
( y + z )(2x + y + z ) 8xyz · 64xyz = 512x2 y2z 2.
Mâu thun nhn đưc cho ta kt qu bài toán.
Bài toán 4. Cho a, b, c là các s thc tha mãn điu kin abc = 1.Chng minh rng
1
1 + a + a2 +
1
1 + b + b2 +
1
1 + c + c2 1.
61
8/9/2019 Epsilon No1
62/154
Li gii. Do abc = 1 nên ta có th chng minh đưc tn ti cács thc x, y, z tha mãn a = yz
x2, b = zx
y2 và c = xy
z2 (chng hn, ta
có th chn x = 13√ a , y = 13√ b
, z = 1√ 3c ). Khi đó, bt đng thc cn
chng minh có th đưc vit li thành:
x4
x4 + x2 yz + y2z 2 +
y4
y4 + y2zx + z 2x2 +
z 4
z 4 + z 2xy + x2 y2 1.
Đn đây, bng cách s dng bt đng thc Cauchy-Schwarz:
VT (x2 + y2 + z 2)2
(x4 + y4 + z 4) + xyz (x + y + z ) + (x2 y2 + y2z 2 + z 2x2),
ta đưa đưc bài toán v xét mt kt qu đã quá thuc:x2 y2 + y2z 2 + z 2x2 xyz (x + y + z ).
Bài toán 5. Cho x, y, z là các s thc dương tha mãn điu kin xy + yz + zx + 2xyz = 1. Gi s z = max {x, y, z }, chng minh rng
1
x +
1
y +
1
z − 4(x + y + z )
(2z − 1)2
z (2z + 1).
Li gii. Gi thit xy + yz + zx+ 2xyz = 1 có th đưc vit li dưi
dng 1
x+1 + 1
y+1 + 1
z+1 = 2. T đó, ta d dàng chng minh đưctn ti các s dương a, b, c sao cho:
x = a
b + c, y =
b
c + a, z =
c
a + b.
Ngoài ra, do z = max {x, y, z } nên ta có c = max {a, b, c}. Bt đngthc cn chng minh đưc vit li thành:
b + c
a +
c + a
b +
a + b
c − 4
ab + c
+ b
c + a +
c
a + b
(2c − a − b)2
c(2c + a + b).
Do ab + ac − 4ab+c =
a(b−c)2
bc(b+c) nên bt đng thc tương đương vi:
a(c − b)2
bc(b + c) +
b(c − a)2
ca(c + a) +
c(a − b)2
ab(a + b)
(2c − a − b)2
c(2c + a + b).
Và ta s chng minh bt đng thc mnh hơn là:
a(c − b)2
bc(b + c) +
b(c − a)2
ca(c + a)
(2c − a − b)2
c(2c + a + b),
62
8/9/2019 Epsilon No1
63/154
hay a(c − b)2
b(b + c) +
b(c − a)2
a(c + a)
(2c − a − b)2
2c + a + b .
S dng bt đng thc Cauchy-Schwarz dng cng mu, ta có
VT
ab
(c − b) +
ba
(c − a)2
2c + a + b .
T đó, bài toán đưc đưa v chng minh a
b(c − b) +
b
a(c − a) 2c − a − b,
hay a
b +
b
a − 2
c + a + b − 2
√ ab 0.
Bt đng thc này hin nhiên đúng theo AM-GM.
Bài toán 6 (Vit Nam TST, 2001). Cho x, y, z là các s thc dương tha mãn 2x + 4 y + 7z = 2xyz . Tìm giá tr nh nht ca:
P = x + y + z .
Li gii. Đt x = √ 7a, y = √ 72 b, z = 2√ 77 c, ta có a + b + c = abc và:
P =
√ 7
14 (14a + 7b + 4c).
Do a, b, c > 0 và a + b + c = abc nên tn ti A, B, C ∈ 0, π2
tha
mãn A + B + C = π và a = tanA, b = tanB, c = tanC, suy ra
P =
√ 7
14 (14 tanA + 7 tanB + 4 tanC).
Biu thc P có dng tng hàm. Điu này gi cho ta nh đn bt đng thc tip tuyn như sau: Nu hàm s f(x) kh vi bc hai và li trên khong (a, b) thì vi mi x, y ∈ (a, b), ta đu có
f(x) f( y) + f ( y) · (x − y).Do hàm s f(x) = tanx kh vi bc hai và li trên
0, π
2
nên theo
bt đng thc trên, vi mi x, y ∈ 0, π2
, ta có
tanx tany + (tany)(x − y) = tan y + (tan2 y + 1)(x − y).
63
8/9/2019 Epsilon No1
64/154
Trong bt đng thc trên, ln lưt thay cp s (x, y) bi các cp
A, arctan 3√ 7, B, arctan 5√ 7 và C, arctan√
7, ta thu đưctanA
3√ 7
+ 16
7
A − arctan
3√ 7
,
tanB 5√
7+
32
7
B − arctan
5√ 7
,
tanC √
7 + 8
C − arctan√
7
.
T đó suy ra (chú ý rng arctan 3√ 7
+ arctan 5√ 7
+ arctan√
7 = π ):
P √ 714
15√ 7 + 32
A − arctan 3√
7− arctan 5√
7− arctan√ 7
=
√ 7
14
15
√ 7 + 32(A + B + C − π )
=
15
2 .
Đng thc xy ra khi và ch khi x = 3, y = 52
, z = 2.
Nhn xét. Bt đng thc tip tuyn là mt trong nhng kt qu quan trng ca hàm li. Nó là mu cht đ xây dng nên bt đng thc Karamata, mt công c rt mnh đ x lý các bt
đng thc dng tng hàm. Bn đc có th tìm đc thêm v haikt qu thú v này trong bài vit chuyên đ ca chúng tôi Tài liu Chuyên Toán, Gii tích 12 (Nhà xut bn Giáo Dc, 2011).
Các s arctan 3√ 7
, arctan 5√ 7
, arctan√
7 đưc s dng trên khôngphi là nhng s ngu nhiên “mò” đưc. Vì yêu cu bài toán là tìm min nên ta cn phi đánh giá P ln hơn hoc bng mt hng s nào đó. Do đó, khi s dng bt đng thc tip tuynđ đánh giá, ta cn chn các hng s thích hp sao cho h sca A, B, C phi bng nhau đ có th tn dng đưc gi thit A + B + C = π và bin đi v
top related