Ecuaciones de Maxwell - Facultad de Ingeniería

ecuaciones de Maxwell resumen

Ecuaciones de Maxwell

Jana Rodriguez HertzCálculo 3

2 de junio de 2011

introducción

ecuaciones de Maxwell

ecuaciones de Maxwellconjunto de ecuaciones en derivadas parciales que describenlos fenómenos electromagnéticos a nivel macroscópico

elementos

las cantidades dependen de (t , x , y , z)~E campo eléctrico

ρ densidad de carga eléctrica~H densidad de flujo magnético o inducción magnética~J densidad de corriente

elementos

las cantidades dependen de (t , x , y , z)~E campo eléctricoρ densidad de carga eléctrica

~H densidad de flujo magnético o inducción magnética~J densidad de corriente

elementos

las cantidades dependen de (t , x , y , z)~E campo eléctricoρ densidad de carga eléctrica~H densidad de flujo magnético o inducción magnética

~J densidad de corriente

elementos

las cantidades dependen de (t , x , y , z)~E campo eléctricoρ densidad de carga eléctrica~H densidad de flujo magnético o inducción magnética~J densidad de corriente

elementos

observación

observaciónlas ecuaciones que veremos pueden variar en algunasconstantes, de acuerdo a las unidades de medida que se usen

ley de Gauss

div ~E = ρ

ley de Gauss

ley de Gaussrelación entre el campo eléctrico y las cargas eléctricasque lo generan

el campo eléctrico se aleja de las cargas positivas y sedirige hacia las cargas negativas

ley de Gauss

ley de Gaussrelación entre el campo eléctrico y las cargas eléctricasque lo generanel campo eléctrico se aleja de las cargas positivas y sedirige hacia las cargas negativas

ley de Gauss

forma integral

∫∫∂V

~E .N dS =

∫∫∫V

div ~E dV =

∫∫∫VρdV

forma integralflujo del campo eléctrico a través de una superficie=cargaencerrada por la superficie

ley de Gauss

forma integral∫∫∂V

~E .N dS =

∫∫∫V

div ~E dV =

∫∫∫VρdV

ley de Gauss

forma integral∫∫∂V

~E .N dS =

∫∫∫V

div ~E dV =

∫∫∫VρdV

ley de Gauss para magnetismo

ley de Gauss para campos magnéticos

div ~H = 0

ley de Gauss para campos magnéticosno existen monopolos magnéticos

ley de Gauss para campos magnéticos

div ~H = 0

ley de Gauss para campos magnéticosno existen monopolos magnéticos

forma integral de la ley de Gauss para magnetismo

forma integral

∫∫S

~H.N dS =

∫∫∫V

div ~H dV = 0

no existencia de pozos o fuentesninguna superficie encierra un pozo o fuente

forma integral∫∫S

~H.N dS =

∫∫∫V

div ~H dV = 0

forma integral∫∫S

~H.N dS =

∫∫∫V

div ~H dV = 0

no existe el equivalente magnético a una carga eléctrica

la unidad magnética más pequeña es el dipolo magnético

no existe el equivalente magnético a una carga eléctricala unidad magnética más pequeña es el dipolo magnético

observar que div ~H ≡ 0

⇒ ~H solenoidal⇒ ~H tiene un potencial vector~H = rot ~A

observar que div ~H ≡ 0⇒ ~H solenoidal

⇒ ~H tiene un potencial vector~H = rot ~A

observar que div ~H ≡ 0⇒ ~H solenoidal⇒ ~H tiene un potencial vector

~H = rot ~A

observar que div ~H ≡ 0⇒ ~H solenoidal⇒ ~H tiene un potencial vector~H = rot ~A

~H = rot ~A

~A no es únicopara cualquier función f (t , x , y , z) en C2

~A +∇f también es potencial vector de ~Hgauge freedom

~H = rot ~A~A no es único

para cualquier función f (t , x , y , z) en C2

~H = rot ~A~A no es únicopara cualquier función f (t , x , y , z) en C2

~A +∇f también es potencial vector de ~H

gauge freedom

ley de Faraday

rot ~E = −∂~H∂t

interpretaciónel sentido de la corriente inducida compensa la variación deflujo magnético

ley de Faraday

rot ~E = −∂~H∂t

interpretaciónel sentido de la corriente inducida compensa la variación deflujo magnético

ley de Faraday

forma integral de la ley de Faraday

forma integral

∫∂S

~E .N ds =

∫∫S

rot ~E dS = − ∂

∫∫S

interpretaciónel voltaje inducido en un circuito cerrado es proporcional a larapidez con que cambia en el tiempo el flujo magnético através de una superficie bordeada por el circuito

ley de Faraday

forma integral∫∂S

~E .N ds =

∫∫S

rot ~E dS = − ∂

∫∫S

ley de Faraday

forma integral∫∂S

~E .N ds =

∫∫S

rot ~E dS = − ∂

∫∫S

ley de Faraday

observación

observaciónla existencia de un campo magnético que varía en el tiempoimplica la existencia de un campo eléctrico

ley de Faraday

observación

si el campo magnético no depende del tiempo

entonces rot ~E = ~0⇒ ~E es conservativotiene un potencial~E = ∇f

ley de Faraday

observación

si el campo magnético no depende del tiempoentonces rot ~E = ~0

⇒ ~E es conservativotiene un potencial~E = ∇f

ley de Faraday

observación

si el campo magnético no depende del tiempoentonces rot ~E = ~0⇒ ~E es conservativo

tiene un potencial~E = ∇f

ley de Faraday

observación

si el campo magnético no depende del tiempoentonces rot ~E = ~0⇒ ~E es conservativotiene un potencial

~E = ∇f

ley de Faraday

observación

si el campo magnético no depende del tiempoentonces rot ~E = ~0⇒ ~E es conservativotiene un potencial~E = ∇f

ley de Ampère

rot ~H =∂~E∂t

interpretaciónlos campos magnéticos pueden ser generados de dosmaneras:

1 por corriente eléctrica (ley de Ampère original)2 por variación temporal en el campo eléctrico (corrección

de Maxwell)

ley de Ampère

rot ~H =∂~E∂t

de Maxwell)

ley de Ampère

rot ~H =∂~E∂t

1 por corriente eléctrica (ley de Ampère original)

2 por variación temporal en el campo eléctrico (correcciónde Maxwell)

ley de Ampère

rot ~H =∂~E∂t

de Maxwell)

ley de Ampère

forma integral

forma integral de la ley de Ampère∫∂S

~Hds =∂

∫∫S

~E .N dS +

∫∫S

~J.N dS

ecuaciones de Maxwell1 Ley de Gauss: div ~E = ρ

2 Ley de Gauss para magnetismo: div ~H = 03 Ley de Faraday: rot ~E = −∂~H

4 Ley de Ampère: rot ~H = −∂~E∂t + ~J

2 Ley de Gauss para magnetismo: div ~H = 0

3 Ley de Faraday: rot ~E = −∂~H∂t

ecuaciones de Maxwell en el vacío

en el vacío:

ρ = 0 carga eléctrica~J = ~0 densidad de corriente

en el vacío:ρ = 0 carga eléctrica

~J = ~0 densidad de corriente

en el vacío:ρ = 0 carga eléctrica~J = ~0 densidad de corriente

Ley de Gauss: div ~E = 0

Ley de Gauss para magnetismo: div ~H = 0

Ley de Faraday: rot ~E = −∂~H∂t

Ley de Ampère: rot ~H = ∂~E∂t

Ley de Gauss: div ~E = 0Ley de Gauss para magnetismo: div ~H = 0

observación

observaciónun cambio en el campo magnético genera un campoeléctrico

un cambio en el campo eléctrico genera un campomagnético

observación

observaciónun cambio en el campo magnético genera un campoeléctricoun cambio en el campo eléctrico genera un campomagnético

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