連続体力学と地盤力学 - Nagoya Institute of Technologyzhang.web.nitech.ac.jp/lecture/2015-nakai-Text(haifu...連続体力学と地盤力学 (2015年版) (株)地域 地盤
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連続体力学と地盤力学 (2015 年版)
(株)地域 地盤 環境研究所 中井 照夫
Islamic University of Technology
Hossain Md. Shahin
-1-
1. 地盤力学の基礎2. ベクトルとテンソルの基礎3. 連続体力学基礎(微少変形)4. 連続体力学と土質力学5. 有効応力6. 透水(1次元および2次元)7. 1次元変形(1次元圧密)
教科書:「地盤力学」 柴田徹編著、東京電機大学出版局
参考書:「連続体力学入門」 田村 武著、朝倉書店
「土質力学」 山口栢樹著、技報堂出版
地盤力学
-2-
• 地球の表層材料の力学特性の解明と工学への応用を扱う学問
• 力学、 材料力学
• 工学(Engineering):我々の生活に役立つ
経験則 → その理由を定性的・定量的に説明 → 普遍的な法則自己満足な学問ではない(社会のニーズ)
地盤力学(土質力学)Geotechnics (Soil Mechanics)
鉄、水はわりあい判っている。 均質
しかし土は・・・・
共通ー数学の知識(線形代数、微積分・・・)
地盤力学・地盤解析学・地盤工学とは
-3-地球の内部
-4-
• 地盤防災工学– 液状化、地滑り、地盤沈下、etc
• 基礎工学– 支持力、ダム、トンネル、山留め掘削、地盤の補強、埋立、etc
• 地盤環境工学– 地下水汚染、拡散 → リハビリ、再生
いかに安全に、経済的に
地盤力学・地盤工学で扱う内容
-5-
• 三相混合体土粒子+水+空気
• 密度によって液体から固体まで• 粒状体としての性質• 不均質
固体 液体 気体
土の組成と性質
-6-土の単位体積重量
substance
water
air
volume weight
1
e
Gsw
0
Gsw・w
eSr・weSr
wGseSe
GeeGewG
eeSG
r
ws
d
ws
sat
ws
wrs
t
1
1
1)1(
1
een
1
-7-
コロイド 粘土 シルト 砂 礫 石
粒度:小 粒度:大
0.001 0.005 0.075 2.000 75.000 (mm)
100
6050
30
100
通過重量百分率
粒径 (log scale)D10 D30 D50
D60
(%)
50
60
10
302
1030
60 10 60
30
c
c
DDUD
DDDU
D D DD
(平均粒径)
(均等係数)
(曲率係数)
10 & 1 3 :c cU U ~ 良配合
土の粒度
-8-粘土と砂の違い
砂 粘土
土粒子比重 大略2.5~2.7 同じ
粒径 大 小
間隙比通常0.5~1.0程度
幅があるが砂よりは通常大
透水性 大 小
水分の影響
(界面活性)小 大
-9-土のコンシステンシー
半個体 可塑体 液体固体
Sw Pw Lwパサパサ
(チーズ)
カチカチ
(ビスケット)
ベトベト
(バター)
ドロドロ
(コンソメ)
:w 大:w 小
1
P L P
n PL
P
C L
I w ww wI
II I
(塑性指数)
(液性指数)
(コンシステンシー指数)
含水イヒ(w) よる土の性質の違い
-10-ベクトル
x1(e1)
x1*(e1*)
x2(e2)x2*(e2*)
P
O
cossin
sincos
21*2
21*1
pppppp
(2)
(scalar)AA
cossinsincos
(vector)
*
*
T
pTp (3)
(4)
(5)
*2
*1
2
1
pp
pp
OPp(1)
p *p
-11-ベクトルの内積
**** )()()()( iiiiiiiiiiii bbaa eebeea
iii
ijjiji
jijiji
jjjiii
ba
ba
ba
ba
)(
)(
)(
)()()(
ee
eeab
)()( baabbaab TT
iiia
aa
BN
ea )(
..
2
1
-12-テンソル(1)
x1(e1)
x1*(e1*)
x2(e2)x2*(e2*)
P
O
pTp
*
2
1*2
*1
cossinsincos
pp
pp
R
rTr
*
2
1*
2
*1
cossinsincos
rr
rr
*** pQrpQrQrp
を考える。を作る行列に作用してベクトルここで、ベクトル
-13-テンソル(2)
をテンソルと定義するる行列のように座標変換され
したがって、
QTQTTQTQ
QTTQ
pTQpQrpQTrTr
T*
*
****
*
1
)2:(
)()(
*
*
*
orderndtensorQTTQ
vectorpTpscalarAA
kljlikij
jiji
T*
*
TQTQ
pTp
-14-テンソル(3)
acbe
e
e
e
eee
eeecba
)(
)(
)(
)()(
iijj
iiijjj
jkkjkjiii
jkikjikji
kjikjikji
kkkjjjiii
acb
acb
cba
cba
cba
cba
2212
211121
2
1 )(
)(
babababa
bbaa
baba jijijijjjiii eeeeba
-15-応力テンソル(1)
x1 (e1)
x2 (e2)
1211
22
21
111221
22
a
b Aa
均一な応力場にある要素(あるいは応力の場所的違いが無視できる大きさの要素)を考え、要素の各面に働く単位面積あたりの垂直力およびせん断力を左図のように定義する。ここに、xi を法線とする面と-xi を法線とする面に作用する力は作用反作用の法則より向きが逆で大きさが等しくなる。これを行列表示して、
ij
あるいは
2221
1211σ
A点まわりモーメントのつり合いより
2112
2112 22)(2
2)(
よりbaab
したがって、 T=
-16-応力テンソル(2)均一な応力場にある三角形要素の面の法線
方向の単位ベクトルをn とし、その面の単位面積に作用する力(応力ベクトル)を t とする。ここに、BC:AC:AB=1: cos: sin=1:n1:n2 より次のつり合い式が成り立つ
jijji
T
jjijiT
nt
nt
nntnnt
)(
)(
, 22211222211111
あるいは
よりまた、
あるいは
すなわち
nσtσσ
nσt
したがって、 (ij) はテンソル(対称テンソル)の性質を持っていることがわかる。
x2 (e2)
x1 (e1)
22
21
1211
A B
C
2
1
tt
t
sincos
2
1
nn
n
-17-運動と変形(1)
dX
dx
dx
dx
Xx dd
Xx dd
Xx dd j
iij
jj
iji
XxFor
dXXxdx
or
dd
XxF
XXxx
)(
-18-運動と変形(2)
XICXXXXCX
XXXFFXXXXFXF
XXxxXx
dddddd
dddddddd
dddddd
T
TT
TTT
TT
TT
)(
)()(
22
ここに、
指標とする。を変形したかどうかの)(21 ICE
ijj
k
i
kij
TT
Xx
XxE
or
21
21)(
21 I
Xx
XxIFFE
-19-運動と変形(3)
(微少変形)
とすれば
i
j
j
iij
T
TT
T
T
Xu
Xu
or
21
21
21
21
21
εXu
Xu
Xu
Xu
Xu
Xu
IIXuI
Xu
IXx
XxE
Xux
-20-運動と変形(4)Taylor展開
22
11
21
2121
22
222
22
121
2
22
11
21
2211
),,(
!312
!21),,(
),,(
dxxfdx
xfxxf
dxdxxxfdx
xfdx
xfdx
xfdx
xfxxf
dxxdxxf
22
21
221
22
11
21
2211
11
21
211
21
2121
),(
),(|
),(
),(|
),(
),(|),(|
),(),(
dxxuxxu
dxxxuu
dxxudx
xuxxu
dxxdxxuu
dxxuxxu
xdxxuuxxuu
xxxxu
ii
iDi
iii
iCi
ii
iBi
iAi
i u
x1 (e1)
x2 (e2)
A (x1, x2) B
CD
A’B’
C’
D’
1
2
xu
2
1
xu
dx1
dx2
-21-運動と変形(5)
2
222
1
1
1
1111
112
||2
||
xu
xu
dx
uuuu DACB
同様に
i
j
j
iij x
uxu
xu
xu
DBCA
21
21
,(
1212
1
2
2
112
としてるためにテンソルとして表現す
の増加でも同じ)の減少、 の減少量を考える
-22-運動と変形(6)
x=0 x=l0: u=ulo
1次元変形
0
110
1
0
0
0
0
lnln
..
)(
lll
ldl
BNlu
dxdu
xlubaxxu
lu
ll
l
l
lo
lo
lo
: u=0
x=l1
単純せん断
x1
x2
1212 2
-23-運動と変形(7)
x1
x2
A (x1A, x2A)B (x1B, x2B)
C(x1C, x2C)D (x1D, x2D)
uD=(u1D, u2D)
uA=(u1A, u2A)uB=(u1B, u2B)
uC=(u1C, u2C)
222122
121111
212,1 )(
cxbxaucxbxau
cxbxaxxu iiii
•△ABCおよび△ACDのひずみは?
•□ABCDのひずみは?・・・ △ABCとACDのひずみを面積比で平均化
-24-つり合い式(1)応力が場所的に滑らかに変化する応力場=ij(x1, x2)を考え、単位volume あたりの物体力をF=Fi (x1, x2)とする.ここで、(x1, x2)でn=niを法線とする面に作用する応力ベクトルをt=tiとすれば
x1 (e1)
x2 (e2)
jiij
kikjij
kkijij
jjii
T
nn
nnt
ee
eeet
nσt
)(
)()(
)()(
2221212
2221212
2121111
2121111
eeteneeten
eeteneeten
では
では
では
では
したがって
111e212e
)( 212 e
)( 111 e
-25-
x1(e1)
x2(e2)
A(x1,x2)
22
2
111
1
1111
dxx
dxx
22
2
121
1
1212
dxx
dxx
21
1
2222
dxx
21
1
2121
dxx
22
2
1212
dxx
22
2
1111
dxx
22
211
1
2121 2
dxx
dxx
22
221
1
2222 2
dxx
dxx
B(x1+dx1,x2)
C(x1+dx1,x2+dx2)D(x1,x2+dx2)
dx1
dx2(F1,F2)
点Aでの応力を として要素ABCDに働く応力ベクトルと物体
力ベクトルの大きさと方向を示すと
2221
1211
σ
つり合い式(2)
-26-つり合い式(3)
0)(
0
0
022
22
22
22
1
12
2
12
21
1
11
211
11
1
212112
2
211
1
2121
22
2
11112
2
2
111
1
1111
1
ji
ij
iF
x
Fxx
x
Fxx
dxdxF
dxdxx
dxdxx
dxx
dxdxx
dxdxx
dxx
x
両式をまとめれば
方向のつり合いは同様に
方向のつり合いは
-27-つり合い式(4)
z=z+dz
0
0)()(
dzd
dzdzdzd eee
)(
:
zlWlWz
lzatWconditionboundary
cz
dzd
z=zz(e)
)( e
e)( dzdzd
e
1
eW
z=l
1次元問題
-28-つり合い式(5)圧縮を正とする場合(e.g.土質力学)
x1 (e1)
x2 (e2)
)( 212 e
212e
111e
応力ベクトルの向きを逆に考えればよいから
)(
)())((
))((
)()()(
2221
1211
22112
1
jiij
ikkjij
kkijij
jiij
ii
nn
n
ttttt
ee
eeet
eeσ
eeet
図のようにijの各成分の方向を引張りを正とする場合の逆に考えればよい。
)( 111 e
-29-
z=zz(e)
e
))(( e dzdzd
e
1
eW
z=H
z=z+dz
z=0
つり合い式(6)1次元問題(圧縮を正)
0
0))((
dzd
dzdzdzd eee
WzzatW
conditionboundarycz
dzd
0:
-30-有効応力(1)-1次元1
Pzz
0z
000
w
B
A
pWW
B
A
-31-
P
0z
zz
有効応力(2)-1次元
01
1
w
twrs
B
twrs
A
p
zzeeSGW
zzeeSGW
z
1
B
A
-32-有効応力(3)-1次元
P
0z
zz
z
1
B
A
zpz
ze
G
ze
ze
GW
ze
V
zzeeGW
ww
wsat
ws
wws
B
s
satws
A
)(1
11
11
11
1
-33-有効応力(4)-1次元
P
0z
zz
z
1
B
A
)()(
11
11
1
1
www
wsat
ws
wws
B
wwsat
wwws
A
hzpz
ze
G
ze
ze
GW
hz
hzeeGW
wh wh
-34-有効応力(5)-1次元
P
0z
zz
z
1
B
A
qzpz
ze
G
ze
ze
GW
qzqzeeGW
ww
wsat
ws
wws
B
satws
A
)(1
11
11
1
q q
0t
-35-有効応力(6)-1次元
P
0z
zz
z
1
B
A
zpqz
qze
G
qze
ze
GW
qzqzeeGW
ww
wsat
ws
wws
B
satws
A
)(1
11
11
1
q q
t
-36-有効応力(7)WA= と考えられるので, WB=’ とすれば常に
wp 'WB=’ (有効応力)は土を連続体としてみたときの土粒子間に働く力を平
均化したものであり、土の変形や破壊が土粒子間の相対変位により起こるとすれば土の変形・強度特性がこの有効応力に支配されるのがわかる。
ここでは一次元で有効応力式の説明をしたが、多次元であっても垂直応力成分について成り立つことは明らかである。また、間隙水が静止あるいゆっくりした動きしかしないときは等方圧となるので、せん断応力成分については
' したがって、多次元では
ijwijijw porp '' Iσσ
また、水圧 pwは
esw uup 静水圧 過剰間隙水圧
変位と混同しないかぎり、pwのかわりに水圧としてu を使うこともある
-37-有効応力(8)
+
2相混合体
土(連続体) 水(連続体)
のように考える。つまり土の変形も水の流れもそれぞれ空間的に連続と考える(1つの場所が2つのスクリーンを持っていると考えればよい)。そして土の変形・強度は‘で水の動きはuによって決められる。
実際の土
-38-1次元透水問題(1)
)1(0 F
つり合い式(応力は引張りを正)
)3(sin
sin
)2(
wsc
wsc
avFFF
FavF
u
v
)( vv n
土粒子間を流れる水は土粒子との粘性抵抗により流れの反対方向に抵抗力を受ける。この抵抗力は速度に比例する(ニュートン粘性)。これを空間的に連続な水の動き(連続体としての速度 v )に置き換えると単位体積あたりの抵抗力(これは物体力の一つ)Fは
avF c
水圧uは圧縮を正として、単位体積あたりの物体力をFとすれば
x1
x2
v
-39-1次元透水問題(2)
t
w
w
w
w
w
w
hk
Cxua
Cua
ua
v
avu
2sin
sin1
0sin
(1),(2),(3)式より
k ph eh
iept hhh
Darcy 則
:
: (total head): (pressure head): (elevation head)
t
p
e
k
hhh
透水係数
全水頭
圧力水頭
位置水頭
-40-
x1
x2
v
vv d
d
( )
0 .
v v
v d A d A
dvd
dv v constd
要素からの流出量は
湧き出しや蒸発がなければ、
2
20 0t t
t
dh d hdv d kd d d d
h a b
1次元透水問題(3)
A
-41-
0 (1)F
有効応力式
圧縮応力(全応力)を正とすれば、つり合い式(土粒子部分+間隙水)
' (2)u
間隙水圧
2( sin ) ( ) (3)w t w w t wu h c h x c 動水勾配
(4)thi
(1), (2)式より
' 0u F
x1(e1)
x2(e2)( ) e
d
d
1次元透水問題(4)
-42-
' sin 0
sin
tw w
sat
h F
where F
(3)式を代入してかきくだすと
(4)式を用いてまとめると
' ( ) sin 0
' ( )sin 0
tw sat w
w sat w
h
i
1次元透水問題(5)
-43-1次元透水問題(6)
z(e)
z=0
下向きにz軸をとる鉛直方向の1次元問題では として
idzd
idzd
wwsat
wwsat
)('
)(' eee
'')'(' cziw
より0':0 uz
ziw )'('
したがって
piping)(0'' uiw
の時
90
-44-2次元透水問題(1)1 2
11
22
1 1
2 2
1
2
( 2
00 (1)
0
0
(2)
w
w
u u x xu Fx uoru Fx
v avv av
avav
c s
c s
Fx
v F F
F F F
間隙水圧を , )とした時の 次元でのつり合い式は
v
)( vv n
土粒子間を流れる水は土粒子との粘性抵抗により流れの反対方向に抵抗力を受ける。この抵抗力は速度に比例する(ニュートン粘性)。これを空間的に連続な水の動き(連続体としての速度 v )に置き換えると単位体積あたりの抵抗力(これは物体力の一つ)Fcは
a cF v
x1 (e1)
x2 (e2) v
-45-2次元透水問題(2)
ix
v khkorxhkCxu
xav
Cxuxax
ua
v
Cxuxa
Cuxax
ua
v
avxu
avxu
t
i
t
wi
wi
w
ww
w
w
w
w
w
2
222
2
21
111
1
22
11
1
1
0
0
(1),(2) 式より
k ph eh iiept hhh
Darcy 則
2
1)(
xhxh
hhgradxh
t
t
tti
t
-46-2次元透水問題(3)
x1 (e1)
x2 (e2)
),( 21 xxvv
A B
CD
1dx2dx
BCからの流出量:
),( 21 xx
22
2
11
1
112
2
21
1 22dxdx
xvdx
xvvdxdx
xdx
x
1evvv
ADからの流出量:
22
2
112
2
2 2)(
2dxdx
xvvdxdx
x
1evv
DCからの流出量:
122
21
1
2212
2
1
1 22dxdx
xvdx
xvvdxdx
xdx
x
2evvv
ABからの流出量:
11
1
221
1
1 2)(
2dxdx
xvvdxdx
x
2evv
境界からの流出量の総和が要素からの湧出量になるので、単位時間に単位体積から湧出する量を とすると、
-e1
e2
e1
-e2
21212
2
1
1 dxdxdxdxxv
xv
-47-2次元透水問題(4)水を非圧縮と考え、蒸発や湧きだしがないとすれば =0 より
002
2
1
1
i
i
xvor
xv
xv
2
2
1
1
2
1
21
2
121
xv
xvdiv
xv
x
xxx
vv
vvv
T
i
i
i
vv
ee
eev
21
21
連続式
00
)(,0
ttT
tT
tT
hhhk
hk よりvv
Laplaceの式
022
2
21
2
xh
xhor tt
1次元では: .0 constvdzdv
連続式 Darcy則
1次元では: bazhdz
hdt
t 022
-48-
33
2121
ee
eeee
vv
012
2
21
22121
xxh
xxhk
xh
xh
xxk
hkhkrot
tt
tt
tt
したがってDarcy則にしたがう流れは渦のない流れ
0eeeeeeeeee
e
eeeev
2211
312321
3
2121
,,
)2(2
1
1
2
2121
Dxv
xv
vvxx
rot
e1
e2
e3
2次元透水問題(5)
-49-2次元透水問題(6)
x1 (e1)
x2 (e2)cht
),( 21 xx
),( 2211 dxxdxx
2
1
dxdx
2
1
xhxh
t
t
cdxxhdx
xhxxhdxxdxxh
cxxh
tttt
t
22
11
212211
21
),(),(
),(
0,
0
2
1
21
22
11
dxdx
xh
xh
dxxhdx
xh
tt
tt
kv
Darcy則にしたがう流れ(流線)は等ポテンシャル線に直交する方向
-50-2次元透水問題(7)
x1 (e1)
x2 (e2)
dd
d’
d’
d”d”
h2
h1
Q
Q’
Q”
正方形flow net の性質
22
11
""
"""
"
hkddhkdvQ
hkddhkvdQQQ
21 hh
Q
hkddhkQ
11 ''
'
したがって、全体での流量は
d
ftt
d
ttff N
Nhhkd
dNhh
kNQNQ )1()2()1()2(
-51-2次元透水問題(8)
x1 (e1)
x2 (e2)
0
j
i
ij Fx
ijは圧縮を正とすると
)1(00
j
i
ijj
i
ij Fx
Fx
有効応力式
つり合い式(土粒子部分+間隙水)
)2(' ijijij u
間隙水圧
)3()( 2 cxhu wtw 動水勾配
)4(i
ti x
hi
(1), (2)式より
0'
jij
ii
ij Fxu
x
-52-
0''
0''
222
22
1
12
112
21
1
11
Fxh
xx
Fxh
xx
wt
w
tw
2次元透水問題(9)(3)式を代入してかきくだすと
(4)式を用いてまとめると
jwj
i
ij iFx
*'
0
-sat
wsat
0
2
1
xhxh
t
t
-53-2次元透水問題(10)
x1 (e1)
x2 (e2)
x1’(e1)
x2 (e2)
jijj
tijii
i
ti ikx
hkvkixhkv
等方性 異方性
2
1
2221
1211
2
1
ii
kkkk
vv
異方性の軸の方向を(x1, x2)方向にとり、
k11=k1, k22=k2とすれば
222
111
xhkv
xhkv
t
t
軸を変換すればのようにここで 111
21' xxk
kx
1dx
2dx
'1dx
2dx
-54-2次元透水問題(11)
''
'' 1
2111
21
1
1
11
111 x
hkkxh
kkk
xx
xhk
xhkv tttt
連続式より
212
2
1
1
1
121
2
2
1
1 ''
dxdxxv
xx
xvdxdx
xv
xv
1
2
kk
0''' 2122
2
21
2
212122
2
21
2
2
dxdxxh
xhkkdxdx
xh
xhk tttt
て考えられる。の等方性透水問題とし
の座標に変換すれば、異方性透水問題では、
21
211
21 ),'(
kkk
xxkkx
-55-
l
W
kW
l
A 2l
A2
0 2/0 2/0
ElAW
lE
AW
E
弾性体-1次元(1)
-56-
u
kS
SW
uW
1k
2k
21
21
222
111
u
WSS
kSkS
1
1S
2
2S
S
k x
弾性体-1次元(2)
-57-
1k
2k
3k
1nk
nk
1W
2W
3W
2nW
1nW
1u
2u
3u
2nu
1nu
111 kS
222 kS
333 kS
111 nnn kS
nnn kS
δkS
nnn
iii
k
k
S
SnikS
111
000000
),,1(バネの特性式:
弾性体-1次元(3)
-58-
WSA
1
2
1
1
2
1
11
232
121
1100110
0110011
nn
n
nnn
W
WW
SS
SS
WSS
WSSWSS
つり合い式:
弾性体-1次元(4)
-59-
δuB
n
nn
nn
nnn
u
uu
uuu
uuu
1
2
1
1
2
1
1
112
221
11
1011010
0101101
変位の適合条件式:
TBA
弾性体-1次元(5)
-60-
δkSδuB
WSBSA T
WukBB TK
WKu 1
δSBuSuSBuW ,,,, T外部仕事 内部仕事
),()()()(),( yxAyxAyAxAyxAyx TTTTT
cf
弾性体-1次元(6)
-61-I
I
II II
I
I
II II
III
II
E
E
1
IIII
III
E
E
1
IIIII
IIII
EE
EE
1
1
)
弾性体-2次元(1)
-62-
s
0
t
2III 11
12
22 2
v
2
0
2d
2III 11
212
12
22
tGE
sKE
IIIIIId
IIIIIIv
12
)1(2
12
)1(2
弾性体-2次元(2)
-63-
0
t
2IsIIs 11s
12s
22s s
2
0
2d
2III' 11'
2' 1212
22' '
ijv
ijijkk
ijij
ijijijkk
ijij ss
22'
2
ijij
vkkkk
GsKsorK
'22
ijkkijijkkij G
21
21
21
ijkkijijkkijij EEKGG
141
41
21
テンソル表示
弾性体-2次元(3)
-64-
IIIIIIIII
IIIIIIII
IIIIIII
EEE
EEE
EEE
1
1
1
3D弾性式:
21,
21
21
2)1(2
13
)21(3
IIIIIIII
IIIIIIIIII
IIIIIIIII
IIIIIIIIIIIIv
GG
GE
pK
E
弾性体-3次元(1)
-65-
ijv
ijijkk
ijij
ijijijkk
ijij ps
33'
3
ijij
vkkkk
kkkk
Gs
KKporK
'23
3
3D弾性式(テンソル表示):
ijkkijijkkijij EEKGG
191
61
21
ijijkkij GGK 232
弾性体-3次元(2)
-66-地盤の 1 次元変形(1)-材料特性
0e
1
0'0'
e1
''' 0 e
0
0
0 11 eee
ee
virginal loading
unloading & reloading
'
e
0e
0'
virginal loading
unloading & reloading
'ln
e
0e
0'
1
1
A
D
CB
A
B
C
D
地盤の材料特性
-67-地盤の 1 次元変形(2)-材料特性
)434.0(''ln
11 000cCee
e
:)('ln loadingvirginalundere の直線関係より
''
11 0
de
d
増分形になおすと
により変化(非線形)はもしくはまた、
に相当もしくは多次元ので1次元の
'
11
KEKE
mv
virginal loading
unloading & reloading
ce
c
pec
ddd
dddd
:)0or( reloading & unloading
:)0&( loading virginal
(a)
(b)
''
11
,''
11 00
de
dde
d pe
ではここに、土(1次元)
(弾塑性)
-68-地盤の 1 次元変形(3)-境界値問題
z=zz(e)
e
))(( e
dzz
e
1
z=H
z=z+dz
z=0 )1(0
0))((
dzd
dzdzdzd eee
つり合い式:応力、ひずみは圧縮を正とする
)2(
dzduEE
み~変位関係より:応力・ひずみ式とひず
eq
eu
e
dzzuu
)3(0
)2(),1(
2
2
2
2
Edzud
dzudE
式より:
積分定数
式を解いて:
:,
)4(21
)3(
2
ba
bazzE
u
-69-地盤の 1 次元変形(4)-境界値問題例題(1)
)(0:(:0
境界
境界)
DirichletuHzNeumannqz
HqHbbaHHE
uHz
qaaqqz
22
21
2100:
:0
より
より
qzEEqz
Eqz
Edzdu
HqHzqzE
u
22
21
21
-70-地盤の 1 次元変形(5)-境界値問題
0:0:0
uHzuz
例題(2)
HaaHHuHz
buz
210
210:
00:0
2
より
より
z0z
Hz
2
2
221 2
HzE
HzEdz
du
zHzE
u
-71-地盤の 1 次元変形(6)-有限要素解析
12
・・・・・
①
②
i
jK
m N
0z
)(izz
)( jzz
Hz
)(izz
)( jzz
i
j
i
j
KL
vuuvuvuvvuuv '''')'(
0
,)(
)(
)(
)(
)()(
)(
)(
jz
izjz
izjziz
jz
izdzudz
dzududz
dzdu
u
つり合い式より:を仮想変位として
z
iq
jq
z
1
-72-地盤の 1 次元変形(7)-有限要素解析
)(
)(
)(
)()()()()(
)(
)(
)(
)(
)()(
jz
izj
iji
jz
iziijj
jz
izjz
izjziz
dzuqq
dzuuu
dzuudz
( ) ( )
( ) ( )( )
,
( ) 1
1 1
j ii i j j
K
j i i i T Tii i
jK K K
j i T Ti
jK K K
u az b
az b az b aL
z z z zu z z
L L Ldudz L L L
N δ δ N
B δ δ B
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
jz
izTTT
jz
izjz
izTTjz
iz
dz
dzEdzEdz
Nδqδ
δΒBδ
jq iqTδ q
-73-地盤の 1 次元変形(8)-有限要素解析
tq
NδBB
2
2
2
2
2
2
11
0
2
2
0)(
)()(
)(
)(
)(
)(
)(
Kj
Ki
K
K
j
i
KL
K
K
j
i
KL
K
K
j
ijz
iz
K
i
K
i
j
iTjz
izj
ijz
izT
Lq
Lq
L
L
qq
LL
LLL
qq
dL
LLLL
qq
dz
Lzz
Lzz
qq
dzqq
dzE
δK
δBB
KT LE
tqδK
jt
it
j
i
KK
KK
K
KK
T
qq
LEL
LLE
L
LLE
tqδ
BBK
,
111111
1
1
)(
ここに:
( )iz z L
-74-地盤の 1 次元変形(9)-有限要素解析
mt
jt
it
t
m
j
i
LE
LE
LE
LE
LE
LE
LE
LE
q
qq
q
mji
KKKK
KKKK
11
11
11
1
12
i
j
m
K̂ δ̂ tq̂t1 qKδ ˆˆˆ Bδ E
とすればよい
行)はの行(で既知変位とするとそなお、
*1*
ll
ll l
-75-1次元圧密(1)
H
q
z
1
0z
Hz
zz
dzzz
0eu
0
zue
iiv
ijwijijw
i
j
j
iij
klijklij
ji
ij
i
i
w
e
w
s
w
w
w
wept
i
ti
t
pp
xu
xu
zu
DE
Fxz
xv
zv
uupcxphhh
xhkv
zhkv
)8(')7('
21)6(
)5('
0)4(0
)3(
)2(
)1(
2
1x
2x
)(
)(0
2
2
cxzu
cxzz
wws
したがって、
と、を水頭の基準面とする
-76-1次元圧密(2)
の圧密方程式)(
より、瞬間載荷では
式より、したがって
式より、
式より、
式より、では
TerzaghizuEku
qconstq
qzuEku
Eu
Eq
Ep
EE
zuk
zh
zk
zv
qconst
e
we
e
we
ew
e
w
t
2
2
2
2
2
2
)0(.
)8()7(
')5(
)2()1(
)3()4(.
vwv
cm
k
-77-1次元圧密(3)
(三笠の圧密方程式)
式より、したがって
式
式
式より、
式より、 では
2
2
2
2
)8(
)5(
)7('
)2()1(
)3()4(.
zc
zEk
zEk
z
zzk
z
zzpk
z
zupk
z
zuk
zzhk
zzv
qzconst
v
w
ww
ww
ww
w
sw
w
e
w
t
-78-1次元圧密(4)
H
q
z
0z
Hz
0eu
0
zue
0
1
0eu
0
eu
vv cc 1vc
1
q
2
2
zuc
tu e
ve
2
2
e
v
e uTu
2
2
22
2
2
2
1
,
evev
ev
ev
v
evv
v
ee
vv
uHcu
Hzc
zu
zc
zuc
Tu
Hc
tT
Tu
tu
HtcT
Hz
とおけば
-79-1次元圧密(5)qu
uu e
e
e 0
00
1
1
0vT
vv TT
1
1 10
0
duu
U ee
qHe
CHe
S cf
0
010
000
''''log
1''ln
1
fSUS
cf. 教科書p.35 図2-9
cf. 教科書p.36 図2-10 &表2-3
2, H
tcTHz v
v
-80-1次元圧密(6)-有限要素解析
###
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()(0
)(),(
)()(
)(
'
qδK
qδC
CK
C
δBδB
CKqBδBB
BδδBBδ
Bδ
qδNδqδ
t
t
t
cdVu
ba
bLdzdzdV
auLLE
dzudzE
dzu
dzdz
eT
T
Kjz
izjz
iz
eKT
KT
jz
iz eTTjz
izTT
jz
iz eTT
Tjz
izTTTjz
iz
式をまとめて、
の増分は、一方、要素の体積変化
したがって、
左辺
考える増分形で仮想仕事式を
12
・・・・・
①
②
i
jK
m N
0z
)(izz
)( jzz
Hz
z
1
K-1
K+1
q
-81-1次元圧密(7)-有限要素解析
)(Keu
)1( Keu
)1( Keu
i
jK
1K
1K
KL
1KL
1KL
1
)(
0)(
*,*
*12
*12
*1
*12
2*
22*
2
)(
11
111
1
)1(1
)1(1
)(11
1
)1()(
1
)1()(
d
dV
LkkLL
kkL
utLL
k
utLL
k
utLLLL
k
tLLuu
LLuukdV
DarcyKt
KK
KKK
K
KK
KeKKw
K
KeKKw
K
KeKKKKw
K
KK
KeKe
KK
KeKe
w
K
排水条件ではまた、瞬間載荷時や非
ここに、
則より、
の体積変化の増分はにおける要素時間間隔
-82-1次元圧密(8)-有限要素解析
)(
&0*0/)1(
0&0*0)1(
)(
)()1(1
)1(1 e
uuLzuKK
uLuKK
d
KeKeK
e
KeK
e
き、の非排水境界とするとの境界がと要素要素
、の排水境界とするときの境界がと要素要素
件の与え方:式における水理境界条
011
1
1
0
)(
#
#
KK
KK
TLE
LE
LE
LE
c
CCKK
K を書き下すと、式の
行i
)( fj行
行K
列i
列j
列K
-83-1次元圧密(9)-有限要素解析
###
#
qΔδΔK
K
KqΔ
KK
ˆˆˆ
)(
)(
)(
ˆ
ˆˆ
ˆ
1
1
)(
)1(
1
#
#
##
g
dV
dVq
q
u
u
N
mt
t
Ne
e
m
を設定する。をつくるとともにせてまた、境界条件に合わ
を作るックスより全体の剛性マトリをたし合わせることに各要素の
.)(*1
)(*)(
とすればよい
行)を式のその行(、ではが与えられる節点既知変位増分なお、
hlgl
ll
ll
-84-1次元圧密(10)-有限要素解析
の入力・設定の解析条件および
初期条件、境界条件等要素分割、
t
をつくる ## KK̂
を設定をつくるとともに、
、水理)から境界条件(変位、荷重## KqΔ ˆˆ
の計算### qΔKδΔ ˆˆˆ 1
を計算各要素の ',
を求める
時の各節点、各要素の
'Δ|'|',Δ||Δ||,||
tttttt
etettettt
εεεuuu
ttΔδδδ
間隔で増分計算t
非線形:E
線形:E
終了
-85-1次元圧密(11)-圧密挙動'ln
e
構造を持った自然堆積粘土
練返し正規圧密粘土
過圧密粘土
理論
実際
理論
実際
t
s
s
tln
yp
-86-1次元圧密(12)-圧密挙動まとめ
•現状は最終沈下量はe~ln pの直線関係とpyを使って、沈下速度はcvを一定とするTerzaghiの圧密式で決めている。
•この場合の問題点と限界は・・・・・・・。
漸増載荷
応力・ひずみ関係の非線形性
多層地盤
その他
•有限要素解析(土・水連成解析)を行えば、上述の問題点を解消するともに、沈下量と速度は同一の考え方から決められる。
•今後の課題は、理想粘土(練返し粘土)と構造を持った自然体積粘土の応力・ひずみ挙動の差と多次元の圧密問題 - 地盤工学で解説。
•いずれにせよ圧密問題も、つり合い式、ひずみの適合条件(連続式)、応力・ひずみ式を考え境界値問題として解くことは他の問題と同じ。
-87-
1. 多次元での地盤材料(粘土、砂)の変形・強度特性2. 弾性論と弾塑性論3. 弾塑性論の地盤工学への適用4. 多次元での地盤の変形解析5. 地盤の変形と破壊6. 地盤工学の・・・・・
教科書:「地盤力学」 柴田徹編著、山海堂
参考書:「土質力学」 山口栢樹著、技報堂出版
「地盤の支持力」 柴田徹,関口秀雄著、鹿島出版会
地盤解析学・地盤工学
-88-応力およびひずみパラメータ(1)2次元
I
IIO
),(P III )(
..
III
DS
N
)(21NP
21
)(21ON
21
III
III
t
s
I
II
I
IIO'
),(P' III )( III
N'
IIId
IIIv
P'N'2
N'O'2
-89-応力およびひずみパラメータ(2)3次元
I
IIIIIO
),,(P IIIIII
)(..
IIIIII
DS
N
(comp)
)()()(2
1NP23
(comp))2(31
)(31ON
31
222
IIII
IIIIIIIIIIII
IIII
IIIIII
q
p
I
III IIIcomp
I
IIIIIO'
),,(P' IIIIII
)( IIIIII
N'
(comp))(32
)()()(32P'N'
32
(comp)2N'O'3
222
IIII
IIIIIIIIIIIId
IIII
IIIIIIv
-90-弾性体(1)-2次元
s
0
t
2III 11
12
22 2
v
2
0
2d
2III 11
212
12
22
IIIII
IIII
EE
EE
1
1
tGE
sKE
IIIIIId
IIIIIIv
12
)1(2
12
)1(2
-91-
IIIIIIIII
IIIIIIII
IIIIIII
EEE
EEE
EEE
1
1
1弾性体(2)-3次元
qGG
GG
GE
pK
E
IIIIIIIIIIII
IIIIIIIIIIIId
IIIIIIII
IIIIIIIIII
IIIIIIIII
IIIIIIIIIIIIv
131)()()(
21
32
)()()(32
21,
21
21
2)1(2
13
)21(3
222
222
-92-地盤材料の変形・強度特性(1)-砂
2/0.2 cmkgfp 2/0.2 cmkgfⅢⅠ
ⅢⅢ
0 5 10 15
-2
0
2
4 Ⅰ-
Ⅲ
d(%)
v(%
)
0
-8
-4
dense(e196=0.66) loose(e196=0.83)
0 5 10 15
-5
0
5
10
Ⅰ-
Ⅲ
d(%)
v(%
)
0
-8
-4
dense(e196=0.66) loose(e196=0.83)
0 5 10 15
-1
0
1
2
q/p
d(%)
v(%
0
-8
-4
dense(e196=0.66) loose(e196=0.83)
0 5 10 15
-1
0
1
2
q/p
d(%)
v(%
0
-8
-4
dense(e196=0.66) loose(e196=0.83)
p
q f.l.
p
q f.l.
CSL
NCL
lnp
e
CSL
NCL
lnp
e
lnp
e
-93-地盤材料の変形・強度特性(2)-正規圧密粘土(OCR=1.0)
-5
0
5
10 -10
-5
0
50 5 10 15
p=2.0 Kgf/cm2
p=4.0 Kgf/cm2
p=6.0 Kgf/cm2
d (%)
Fig: Effect of confining pressure (OCR=1.0)
-1
0
1
2 -10
-5
0
50 5 10 15
p=2.0 Kgf/cm2
p=4.0 Kgf/cm2
p=6.0 Kgf/cm2
d (%)
Fig: Effect of confining pressure (OCR=1.0)
p
qCS
L
p
qCS
L
CSL
NCL
lnp
e
CSL
NCL
lnp
e
lnp
e
-94-地盤材料の変形・強度特性(3)-OCR=2.0
-3
0
3
6 -10
-5
0
50 5 10 15
p=1 pmax
=2p=2 p
max=4
p=4 pmax
=8
d (%)
OCR=2.0
-1
0
1
2 -10
-5
0
50 5 10 15
p=1 pmax
=2p=2 p
max=4
p=4 pmax
=8
d (%)
OCR=2.0
CSL
NCL
lnp
e
CSL
NCL
lnp
e
lnp
eq
p
-95-地盤材料の変形・強度特性(4)-OCR=4.0
-2
0
2
4 -10
-5
0
50 5 10 15
p=1 pmax
= 4p=2 p
max=8
d (%)
Fig: Effect of confining pressure (OCR=4.0)
-1
0
1
2 -10
-5
0
50 5 10 15
p=1 pmax
=4p=2 p
max=8
d (%)
Fig: Effect of confining pressure (OCR=4.0)
p
qCS
L
p
qCS
L
CSL
NCL
lnp
e
CSL
NCL
lnp
e
lnp
e
-96-地盤材料の変形・強度特性(5)-OCR=1.0, 2.0 &4.0 ; p’=2.0kg/cm2
-2
0
2
4 -10
-5
0
50 5 10 15
OCR=1OCR=2OCR=4
d (%)
Fig: Effect of Overconsolidation (p=2.0 kgf/cm2)
-1
0
1
2 -10
-5
0
50 5 10 15
OCR=1OCR=2OCR=4
d (%)
Fig: Effect of Overconsolidation (p=2.0 kgf/cm2)
p
qCS
L
p
qCS
L
CSL
NCL
lnp
e
CSL
NCL
lnp
e
lnp
e
-97-地盤材料の変形・強度特性(6)-OCR=2.0, 4.0 & 8.0 ; py=8.0kgf/cm2
-3
0
3
6 -10
-5
0
50 5 10 15p=4 OCR=2p=2 OCR=4p=1 OCR=8
d (%)
Fig: Preconsolidation pressure = 8.0 Kgf/cm2
-1
0
1
2 -10
-5
0
50 5 10 15p=4 OCR=2p=2 OCR=4p=1 OCR=8
d (%)
Fig: Preconsolidation pressure = 8.0 Kgf/cm2
p
qCS
L
p
qCS
L
CSL
NCL
lnp
e
CSL
NCL
lnp
e
lnp
e
-98-地盤材料の変形・強度特性(7)-正規圧密粘土
)'constant under '
increasingfor ('
1
)'
constant under ' incresingfor (''ln
:clay edconsolidatnormally
0
0
0
sst
stD
ee
sts
ss
eee
v
'st
0
v
d
'st
e
e
'ln s
M
-99-地盤材料の変形・強度特性(8)-正規圧密粘土
Desseee
orst
Dss
eee
v
)1(''ln
)'/(''ln
11
00
0
000
wGeS sr
t
's
I
II
ev 1 volumespecific where
-100-地盤材料の変形・強度特性(9)-正規圧密粘土
's
's
t
e
e
'ln s
)CSL( M
NCL
CSLNCL
NCLCSL
t
's
MDe )1( 0
'st
01 ee
v
DM
DM
e
0)( line ionconsolidat normal :NCL)
'( line state critical :CSL
M
st
'constant under s(1963) tcoefficiendilatancy sShibata':D
0
const.e
const.
const.
1
-101-地盤材料の変形・強度特性(10)-正規圧密土
soil edconsolidatnormally for '
2D)for ( 3D)for ( where
2:sin11
2
2'
comp:sin3
sin6213
32'
CS
CSII
I
CSIII
ICS
CSCS
CS
III
III
CS
CS
CS
CS
CS
IIII
IIII
CS
R
DRR
st
RR
pqM
's
t'
III0
s's
M tan'sin
-102-地盤材料の変形・強度特性(11)-正規圧密土
testconstant and test 'constant under of variationand paths stress IIIpe
-103-地盤材料の変形・強度特性(12)-正規および過圧密土stresses confiningdifferent under soil OC and soil NC ofbehavior strain-stress
)ln()(''
ln)(0 OCRpp
d y
-104-地盤材料の変形・強度特性(13)-正規および過圧密土ratio voidinitialdifferent withsoils ofbehavior strain-stess
-105-地盤材料の変形・強度特性(14)-正規および過圧密土pressure confining initialdifferent with and ratio void initialdifferent with soils of paths stress undrained
-106-多次元での有効応力
qqupp
tt
usus
uu
uuu
DDuu
IIIIII
IIIIII
IIIIII
IIII
II
ijijij
''
:3D
)(21)''(
21'
)(21)''(
21'
:D2
00
''''
:2D in expressionmatrix
'''
3&2:'D1:'
2221
1211
2221
1211
's
tmo
III'0
s's
2D)at (tan'
sin st
mo
s
t
s
I'II
u
u
-107-弾塑性論(1)-1次元
c
c
y
dE
dorE
11:near)elastic(li
rigid-plastic:0 ( 0 or 0)
( 0 & 0)
c
pcp
d f dfdd d f dfh
elasto(linear)-perfectly plastic:1 ( 0 or 0)
1 ( 0 & 0)
ec
e pcp
d d d f dfE
dd d d d f dfE h
y y
elasto-strain hardening (softening) plastic:1 ( 0 or 0)
1 1 ( 0 & 0)
where ( )
ey
ye pyp p
p p pp p
d d d f dfE
d dd d d d d f dfE h E h
H HH d d h
-108-
yA
B
condition) yield(
or0
荷基準これを判定するのが負
とすれば、つまり、時がある。は発生する時としない塑性ひずみ増分
はいつも発生するが、弾性ひずみ増分
弾塑性論では
p
p
p
e
pe
hd
dd
Edd
ddd
弾塑性論(2)-1次元
O
A (strain hardening)0 (if 0 or 0)
(if 0 & 0)
(strain softening) 0
py
pyp
d f dfdd f dfh
d
点のようにひずみ硬化時 は
と判断できるが、B点のようにひずみ軟化時 では弾性域でも弾塑性域でも となるので
ひずみ硬化時の基準では判断できない。
そこで、ひずみ軟化時にも適用可能な負荷基準として次の基準を設
0 (if 0 or 0)
(if 0 & 0)
( 0) 0 0( 0) 0 0
py
pyp
p
p
d fdd fh
h dh d
ける。
つまりひずみ硬化時 は なので
ひずみ軟化時 は なので
-109-
( )( ) (1)( ) 0 (2)
(2)
0 (3)
e p
p
pp
d E d E d dE d
f H
Hdf d d
式より
弾塑性論(3)-1次元
ph
)4(
)()(
p
p
p
hEdE
dEhEhdE
弾塑性式の陽な表示
dhE
hE
dhE
EE
dhE
EdEd
p
p
p
p
)1(
)(
)4(),1( 式より
-110-弾塑性論(4)-1次元
0
0
0 11 eee
ee
e
p
= +
1ph
ln
ln
e
ln
p0 0 0
粘土の1次元圧密
=+ 11
01 e
01 e
01 e
1
1E
ln
e
0
0e
-111-弾塑性論(5)-2次元
ij
( ) 0( )
( , ) 0
ijp
ij
f F HH H
f F s t H
3D (2D) 1D
0( )
yp
y
fH
ij
pijd
0f
pij
ij ij
pv
pd
f Fd
FdsFdt
pij
eijij ddd
pe ddd
pd
-112-弾塑性論(6)-2次元 1D
dtE
d
dsE
d
dE
dE
d
ed
ev
ijkkijeij
)1(2
)1(2
1
dE
d e 1
3D (2D)
( ) 0
( )
( )
( ) 0
0
ij
ij ij
ij ijij
pij ij ijp
ij ij
pij ijp
ij ij
ij
ij ijij ij
p p
pklkl
pv
f F H
f df F d H dHFF d H dH
F HF d H d
F Hdf d d
F
F Fd ddF
H F h h
F Fds dts t
H
p p
pd
F Fds dt dFs tF H F h hs t
0
( )
0
y
p
pp
p
p
f
H
Hdf d d
d dH h
-113-弾塑性論(7)-2次元
( )
,
( ) ( )
loading condition:
0 ( 0
p
p
pp
p
d d d dF dFdh
F F F fh d d d d
F Fd d
F F hh
FFd d
F Fh
d f or
e e e p
p
e p e
e
e
e
e
e
p
σ D ε D ε ε
σσε
σ
σ D ε ε D εσ σ σ σ
D ε σσ σ
Dσ σ
Dσσ D I ε
σ Dσ σ
ε 0)
( 0 0)Fd f and
pε
σ
GK
or
EorD
oror
oror
tsoror
where
eijkl
ij
d
vij
ij
00
2)1(000101
1
1001
100010001
',
2
12
22
11
12
22
11
eD
I
ε
σ
弾塑性式の陽な表示
-114-弾塑性論の土への適用(1)-2次元正規圧密粘土
0 0.5 10
0.1
0.2
0.3
s'
tCSL
0f 0
0.1'0.22.01.04.0
0
0
0
pv
seD
0 00 0
0 0
0 0
0
0
0
'ln ( ' ' & 0)1 ' '
'ln1 '
'ln1 ' '
elastic components:1 2(1 ) 1' ' '
1 '1 2(1 ) 1 1
1 ' 12(1 )(1 ) '
2(1 )
pla
v
ev
pv
ev
ed
s tD e e at s s te s s
se s
s tDe s s
d ds ds dsK E e s
d dt dt dtG E e s
e sE K
0 0
stic components:yield function
'( ', ) ln 01 ' '
pv
s tf F s t H De s s
-115-弾塑性論の土への適用(2)-2次元正規圧密粘土
20 0
20
1 1' 1 ' ' 1 ''
1'
1 , 0
' ' '' ' '
' '
1 1' 1 ' '
p pv d
p p
p pv d
p
F t tD Ds e s s e ssF Dt sH H
F F F F F Fds dt ds dt ds dt dFs t s t s tH F H F F h h
s t s
F th Ds e s s
0 0
0
0
0 0
1' 1 (1 ) '
where, 1
1 1' '' ' ' 1 '
' 1 1'
' 1 1
pv
p p p pd v v v
Ds e e s
De
F F Fd ds dt D ds D dts s t s e s
F Fds dtF F Ds td d d dft t Ds e e D
CSL pdpv dd ,
0f F H
pddt ,
pvds ,'
M
-116-
20 0 0
0 0
1 1 1' 1 ' ' 1 (1 ) ''
''
1 1(1 ) ' (1 ) '
pvp
d
p
p
dd
F th D Ds e s s e e ssF F Fds dt d dFs t
he s e s
σσ
弾塑性論の土への適用(3)-2次元正規圧密粘土
'st
0
v
d
M
01 e
e
0)NCL(
)(CSL
DMe )1( 0
const.
1
'lns
'st
pd
pv
dd
11
M
-117-弾塑性論の土への適用(4)-2次元過圧密粘土
( )
0
NC clay:
1(1 ) '
pNC
dF dFh
e s
( )
0
OC clay:
1 ( )(1 ) '
pOC
dF dFh G d
e s
e
1
'ln s
1
NCe
ed
's 'cs eedtssee
stDe
ssee
adadG
ddG
ssd
NC
NC
c
)0,'',NC('
)1(''ln
)0()(
)0(0)(
OCR''ln)(
00
00
0
状態においてここに、
一例として
単調増加関数
'0s
0e
0)(NCL
-118-弾塑性論の土への適用(5)-2次元過圧密粘土
)1('
01')1(
)(1')1(
peak
00)(
adst
adse
dGse
hh
ff
pOC
p
したがって
強度では
0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0( ) ( )
0
0
00
0
1 1(1 ) (1 ) (1 )'
1 1 1(1 )'1 1
(1 ) '1(1 )
(11 1(1 ) '
p pv OC v NC v OC v NC p p
OC NC
d
Fd e d d e d d e dFsh h
Fe dFsad
e sade dF
eade s
の増分
0
0
1) '
(1 ) ( 0)1
s
ade dFad
d d d
また
'st
0
v
d
M
NC
OC
-119-
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.5
1
1.5
s'
tCSLλ=0.4κ=0.1
M*=0.5υ=0.0e0=2.0d=0
0.5 1 5 10
0.5
1
1.5
2
ln s'
e
NCL
CSL
d=0.0 s'=1.0kgf/cm2σ2'=1.0kgf/cm
2
undrained
20 40 60 80 1000
0.5
1
0.10.20.30.4
0.6
εd (%)
η* =
t s'
εv (
%) 5.0
10.0
0.70.80.9
d=0.0
15.020.0
CSL
弾塑性論の土への適用(6)-2次元正規圧密土
-120-
0.5 1 5 10
0.5
1
1.5
2
ln s'
e
NCL
CSL
a=3.0 & d0=1.0
s'=1.0kgf/cm2σ2'=1.0kgf/cm
2
undrained
弾塑性論の土への適用(7)-2次元過圧密土
0 1 2 3 4 5 6
1
2
3t
CSL
λ=0.4κ=0.1M*=0.5υ=0.0e0=2.0d0=1.0
20 40 60 80 1000
0.5
1
0.10.20.30.4
0.6
εd (%)
η* =
t s'
εv (
%) 5.0
10.0
0.70.80.9 a=3.0 & d0=1.0
15.020.0
CSL
-121-
20 40 60 80 1000
0.5
1
0.10.20.30.4
0.6
εd (%)
η* =
t s'
εv (
%) 5.0
10.0
0.70.80.9
15.020.0
CSL
弾塑性論の土への適用(8)-2次元正規圧密土および過圧密土
0.5 1 5 10
0.5
1
1.5
2
ln s'
e
NCLCSL
a=3.0 & d0=1.0
s'=1.0kgf/cm2(d=0.0)σ2'=1.0kgf/cm
2(d=0.0) undrained(d=0.0) s'=1.0kgf/cm2(d0=1.0)σ2'=1.0kgf/cm
2(d0=1.0) undrained(d0=1.0)
d=0.0
-122-
仮想仕事式
0)3(0)1(
)4()()3()(
)2(21
)1(0..
*
*
dSunT
dVuFx
uuSnTS
xu
xu
Fx
jS iijj
jV ji
ij
iiu
iijj
i
j
j
iij
ji
ij
式より
式より
では変位境界
では応力境界
変位式ひずみ
つり合い式
V
S
uS
uSSS
1x
2x
3x
V jjS jjjS jV ijij
S S jjjS jS S ijijijijijij
V ijijijV Vj
i
i
jij
i
jij
V V jjji
ij
V V S ijiji
jijj
i
ij
i
jij
dVuFdSuTdSuTdV
dSuTdSuTdSnudSnudSnu
dVdVxu
xu
dVxu
dVuFdVux
dSnudVxu
ux
dVxu
u
uu
***
****
****
**
**
**
symetric):(21
Gauss
以上より
ここに
の発散定理より
多次元での地盤の応力・変形解析(1)
(ここでも 圧縮応力、圧縮ひずみを正とする)
-123-多次元での地盤の応力・変形解析(2)
Gaussの発散定理
dxxdFxf
aFbFdxxfba
)()(
)()()(
ここに、
)(xF
a bx
.2
)()()()(
1
1112
12
12
2211
立つについても同様に成り
したがって、
で考える
i
dlAndlnAdlnAdxAAdlndldx
dlndldx
dxAAdxdxxA
i
dlAndSxA
bl al laaabbbab
aaaa
bbbb
ab
l iSi
1a
1b
enen
S iVi
dSAndVxA
2dx
)(1 1ex
lS
bn
an bdladl
2x)( 2e
1D
2D
3D
a b
-124-多次元での地盤の応力・変形解析(3)
12
22
11
333231
232221
131211
12
22
11
''
)2('
DDDDDDDDD
D klijklijεDσ'
応力・ひずみ式:
土・水連成有限要素解析
i j
kl
i j
k
e
e
の関数
の
変位関数
),()62()82(:
::
),(),(
)3(:
21
)(2
)(1
)(2
)(1
)(2
)(1
)(2
)(1
212
211
xxmatrixor
or
xxuxxu
k
k
i
i
l
l
i
i
N
δ
u
δNuN
の一次式は
される。
の1次関数で表そこでの変位増分
点の節点座標とは
。その結果、つの関係式が得られる
となるので点では
要素
),(
,,,,,,,6
,,),(
CST..
21
212121
21
222122
121111
xx
kjiccbbaa
kjiuucxbxau
cxbxauge
N
δ
δu
1x
2x
011
''
)1(
'
12
22
11
12
22
11
w
w
ijwijij
p
pp
Iσ'pσ'σ w
有効応力式:
(ここでも 圧縮応力、圧縮ひずみを正とし、増分形で表す)
-125-多次元での地盤の応力・変形解析(4)
土・水連成有限要素解析
δB
ε
δBεB
)(
)4(
1221
22
11
12
22
11
xuxuxuxu
matrix
:ひずみ・節点変位
一定
要素
:
)(
CST..
12
2
1
B
δBεba
ba
ge
)5()( )()(
)()(
qδqqδ
qδqδ
FuTuTuσε
T*
T*
T*T*
T*TT*T*
VS
VS
V S S VudVdSdSdV
仮想仕事式:
V VV
σSSS
l
l
i
i
dVdV
dSdS
qq
qq
qδFNδΔFu
qδTNδTu
q
u
T*TT*T*
T*TT*T*
等価節点力の増分
ここに、
::
00
)(2
)(1
)(2
)(1
-126-多次元での地盤の応力・変形解析(5)
土・水連成有限要素解析
)6(
w
wV
T
V
T
V wT
V
T
V wT
V
T
V
TT
V
TT
Δp
ΔpdVdV
dVΔpdVdVΔpdV
dVdV
CΔδK
IBΔδDBB
IBDΔBIσBσBq
σBδσεqδ ***
qδK
qδK
qδC
CK
ΔδCΔδBI
ΔδBIεI
水条件下では間隙水圧を考えない排
式をまとめて、
の体積圧縮量の増分はしたがって要素
の体積ひずみ増分は一方、要素
###
2211
)9()(0
)8(),6(
)8()(
)7(
dVΔp
dVdVΔεdV
eΔεΔεΔε
e
wT
T
V
T
V v
TTv
-127-多次元での地盤の応力・変形解析(6)
土・水連成有限要素解析
4
1
4
1)()(
4
1
4
1
)()(
,
0
jj
j
j
w
ej
jjwjew
jj j jw
jwewejeje
satk
pp
taspp
ktaikdV)Δ(
dV)Δ(
ここに、
圧密排水時:
非排水条件下:
e j
el jl
js
A
B
jkek
wjwej
ww
ewjw
jj
eej
ppls
pp
pp
lkkls
)(
)()(
&
AB
AB
の排水境界のとき:が
が非排水境界のとき:
るとき:要素の透水係数が異な
)(ewp)3(wp
)4(wp
)1(wp
)2(wp
1s
2s
3s4s
1a
2a
4a
3a e 1
2
3
4
-128-
###
#
qΔδΔK
K
KqΔ
KK
ˆˆˆ
)(:
)(
:
:
:
ˆ
,,1ˆˆ
ˆ
1
)(2
)(1
)1(2
)1(1
)(
)1(
)(2
)(1
)1(2
)1(1
#
#
##
N
m
m
Nw
w
m
m
dV
dVqq
qq
p
p
Nm
としたとき要素数が節点数が
次元のときと同じ)。を設定する(をつくるとともに境界条件に合わせて
を作る。ックスより全体の剛性マトリをたし合わせることに各要素の
.1
))1(2)(
)()(
)()(
とすればよい
を行(上式のその行、ではが与えられる節点既知変位増分なお、
lili
lili ill
多次元での地盤の応力・変形解析(7)
土・水連成有限要素解析
Nm 2
Nm 2
-129-地盤の応力・変形解析例(1)
盛土基礎地盤の解析
弾性1次元圧密解析によるcheck
盛土基礎地盤の断面図
盛土の施工過程 要素分割
-130-地盤の応力・変形解析例(2)
盛土基礎地盤の解析
構成モデルの特徴 粘土・砂の材料パラメーター
粘土・砂の要素試験結果と計算曲線
-131-地盤の応力・変形解析例(3)
盛土基礎地盤の解析
沈下量の経時変化の実測値と解析結果
地表面沈下および側方変位の実測値と解析結果
-132-地盤の応力・変形解析例(4)
盛土基礎地盤の解析
間隙水圧の実測値と解析結果
鉛直変位・水平変位関係の解析結果
有効応力経路の解析結果
-133-極限解析(1)
最大塑性仕事の原理
ij
0f F H
O
ijij
PQ
pijd
.)(
)(
)(
する次式が成り立つと仮定
態だけで決まり、の影響を受けず応力状あるいは応力速度方向増分方向
は応力度方向あるいは塑性ひずみ速増分方向を考える。塑性ひずみ
)の応力と弾性域(降伏曲面内)の応力塑性状態(降伏曲面上
が与えられたとき、度あるいは塑性ひずみ速塑性ひずみ増分
ijij
pij
pijd
)1(or pijijp
ijijp
ijijp
ijij dd
0)(or 0)( pijijijp
ijijij d
or (p pij ijij ij
F Fd
降伏曲面は凸
関連流れ則)
参考書:「地盤の支持力」柴田徹・関口秀雄著 (鹿島出版会)
-134-極限解析(2)応力場・速度場における仮想仕事式
(速度の不連続面を有する場合)
sx
nxsp
np
Rnv
Rsv
1
1
RssRnn
RssRnn
nRs
sRn
nnssnnD
vpvp
vpvp
dxvpvpdxppW
)(100
)2(
)(
)(
**
***
***
***
***
V jjS jjS j
RssRnnV ijij
RssRnnV ijij
DV ijijV ijij
V jjS jjjS jV ijij
dVuFdSuTdSuT
dSvpvpdV
dSvpvpdV
dSWdVdV
dVuFdSuTdSuTdV
u
u
:るときの仮想仕事式は速度の不連続面を有す
率はここに左辺の内部仕事
度場):仮想仕事式(応力・速
V
uSS
-135-極限解析(3)下界定理
):,0:(
(
pεεε 塑性域剛性域構成関係:剛塑性体
するとは限らない)速度の適合条件を満足
を仮定可容応力場と構成関係
ε
f
H
0
ことを意味する極限荷重の正解に近い
っともめた荷重の最大値がも定した許容応力場で求、このことは勝手に仮正解を越えない。また
はに仮定して求めた荷重で、可容応力場を勝手は正解の極限荷重なのしたがって、
を与えるとすれば、な条件で境界変位速度ここで
より、最大塑性仕事の原理
式より、と
使う。応力場で仮想仕事式をとし、それぞれの可容仮定した応力場を
するように側でつり合い式を満足降伏曲面上あるいは内力場を剛塑性問題の正解の応
uu
u u
u
u
u
u
S jS j
S S jj
j
Sjjj
RsssRnnnp
ijijij
S jjjRsssRnnnV
pijijij
jj
V jjS jjjS jRssRnnV
pijij
V jjS jjjS jRssRnnV
pijij
ij
ij
dSTdST
dSTdSTconstu
dSuTT
vppvpp
dSuTTdSvppvppdV
TT
dVuFdSuTdSuTdSvpvpdV
dVuFdSuTdSuTdSvpvpdV
)6(.
)5(0)(
0)()(and0)(
)()()()(
)4(),3(
)4()(
)3()(
,
***
***
*****
*****
-136-極限解析(4)上界定理
):,0:(
(
pεεε 塑性域剛性域構成関係:剛塑性体
足するとは限らない)応力はつり合い式を満
を仮定可容速度場と構成関係
に近い。の極限載荷時の仕事率最小値がもっとも正解から得られる仕事率の
い)を満足するとは限らなする応力(つり合い式場を仮定しそれに対応なる。つまり仮想速度
よりも必ず大きくは正解のられた仕事率に対応する応力から得速度場を仮定してそれ
いるので、任意にる仮想仕事率を表しては正解の応力場におけは、上式の意味するところ
式と仮想仕事式から
事の原理から、とすれば、最大塑性仕、正解の応力場をから求められる。一方
は構成関係に対応する応力場およびひずみ速度可容速度場で仮定した
DDD
DdVuFdSuTdSuT
dSvpvpdV
dSvpvpdVD
dSvppvpp
dV
vv
K
V jjS jjjS j
RssRnnV ijij
RsKsRn
KnV
pij
Kij
K
RssKsRnn
Kn
V
pijij
Kij
ij
KijRsRn
pij
u
)9(
)(
)()8(),7(
)8(0)()(
)7(0)(
),(
**
***
***
**
*
***
-137-極限解析(5)下界・上界定理の適用例
uc
0
uc2 uc4
III
a
d
b c
e f
0
uc2uc2
uc4
q
III II
自重のないTresca剛塑性体の支持力
0u
02u
0u
0u02u
qb
下界法
a b c
上界法
ucq 4
uK
uK
uuK
cqbcbq
ubcubcubq
66
2222 000
))2(:(64 uuu cqcqc 正解
d0 uctF
-138-
RssRnn
RssRnn
nRs
sRn
nnssnnD
vpvp
vpvp
dxvpvpdxppW
)(1
00
極限解析(6)Mohr-Coulomb 剛塑性体の塑性仕事率
sx
nxsp
np
Rnv
Rsv
1
1
sp
np
s
n
c
tan c
c
0 0np
sp
n
2
2s
tan
s
n
RsD
RsRssRssRssRnnD
n
s
s
n
Rs
Rn
cvW
cvvpvpcvpvpW
ppc
vv
塑性体でもすなわち
したがって、
Tresca0)(
tan
tanns pcp
-139-極限解析(7)擁壁土圧(主働)への適用
1x
2x11
22
)1(0
)()(
12
211
222
qxHK
qxHII
I
H
c
0
cotc
tan c
III
)2(sin)(cos2:Coulomb-Mohr
IIIIII c 規準
主働土圧
式より
Rankine)245tan(2)245(tan2
)(
sin1cos
)(2
sin1sin1
cos2sin)1())(1()1())(1()2(),1(
22
0 022211
2
22
cHqHH
dxqxHKdxP
qxHcK
cKqxHKKqxHK
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