Displacement is the change of position of a point
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• Displacement is the change of position of a point
P2
P1 A
位移與向量 (Displacement and Vector)
The displacement form point P1 to P2 is vector A
位置的描述 座標系統 (coordinate)
直角座標 x, y, z
圓柱座標 r, θ, z
球座標 r, θ, φ
R
A
B
Ax Bx
Rx
By
AyRy
向量相加
2 2
x x x
y x y
x y
R A B
R A B
A A A
加法的交換律 (commutative law)a+b = b+a
加法的結合律 (associative law)(a+b)+c = a+(b+c)
向量乘法 (一 )• Dot product
θ
B
A
4
7
3 5
2
假若 的質量為 M
求施力 之大小
恰好維持該球體不動。( 斜面無摩擦力 )
例題一 :
求 (一 )該球體下滑加速度之大小與方向 ? (m/s-2)
A. (4.3, -2.5) B. (5,-8.5) C. (2.1 -1.3) D. (2.3, - 3.9)
4
7
3 5
2
假若 的質量為 M
求施力 之大小
恰好維持該球體不動。( 斜面無摩擦力 )
例題一 :
( 二 )施力之大小 ? Mg
A. 0.8 B. 1 C. 1.3 D. 1.6 E. 2
• Vector Product
θA
B
A×B
x y z
x y z
i j k
A B A A A
B B B
向量乘法 (二 )
sin
)()()(
BA
kBABAjBABAiBABA xyyxzxxzyzZy
Right hand rule
例題 : 向量 A=(3, 4, 5) B=(-2, 1, 6) 求其內積與外積
內積 A• B =3·( -2)+ 4 ·1+ 5 · 6=28內積 AB =(24-5, -10-18,3+8)
=(19, -28, 11)
A. 40 & (-19, 28, -11) B. 28 & (-19, 28, -11)
C. 28 & (19, -28, 11) D. 40 & (19, -28, 11)
(2,3)
(5,1)
作業 : 求下列二向量所圍面積之大小
平均速率 (average speed)
t
y
t
x
tt
yy
tt
xx
ttt
,,12
12
12
12
12
12 rrr
22
t
y
t
xv
平均速度 (average velocity)
速度本身也是向量,單位是 m/s 。
速度與加速度 (Velocity and Acceleration)
[ 瞬時 ] 速度 ([instantaneous] velocity) v速度是位移對時間之一次微分。
yxdt
dy
dt
dx
t
y
t
x
t
tt
yy
tt
xx
ttttttdt
d
tt
,,,0Δ
,0Δ
lim
limlimlim12
12
12
12
1212
12
12
rrr
rr
加速度本身也是向量,單位是 m/s2 。
a
t
v
t
v
tt
vv
tt
vv
ttt
yxyyxx ,,12
12
12
12
12
12 vvv
平均加速度 (average acceleration)
加速度是速度對時間之一次微分,是位移之二次微分。
rrr
vvv
vv
2
2
12
12
12
,,,0Δ0Δ
limlimlim
dt
d
dt
d
dt
d
vvdt
dv
dt
dv
t
v
t
v
tttttdt
d
ttyx
yxyx
[ 瞬時 ]加速度 ([instantaneous] acceleration) a
一維運動 (one-dimensional motion)
cdt
dvtahct
dt
dxtvshtcttx 2)(,2)(,)( 2
cconstahvsx 2.,)0(,)0(
等加速度運動 (constant-acceleration motion)
)0()0(2
)( 2 xtvta
tx
dt
tdh
dt
tdg
dt
tdfthtgtf
)()()()()()(
dt
tdhtgth
dt
tdg
dt
tdfthtgtf
)()()(
)()()()()(
dt
tdh
dh
thdg
dt
tdfthgtf
)())(()())(()(
)()()(
),()(
2
2
tfdt
tfd
dt
tdf
dt
dtf
dt
tdf
基本微分計算法則
** 記號
加法法則
Chain rule 法則
乘法法則
1)()( nn qnt
dt
tdfqttf
xdx
xdx
dx
xdsin
cos,cos
sin
基本函數微分計算
tdt
tdae
dt
de atat 1ln
多項式
指數對數函數
三角函數
二維及三維運動 (two- and three-dimensional motions)
角頻率 (angular frequency) 單位rad/s
T=2T 週週 (periodf=1/T=/2 頻率 (frequency) x
y
v
r(t)
t
O
)sin,(cos)sin,cos())(),(()( 000 ttrtrtrtytxt r
20
22 ryx
等速率圓周運動 (uniform circular motion)
路徑或軌跡 (path)
Q: 求於時間 t之瞬間速度與加速度
constant-speed motion
constant-acceleration motion
b.
yg ˆg
)2
1,())(),(()( 00
200 ytvgtxtvtytxt yx r
000000 sin,cos vvvv yx
拋物運動 (projectile motion)
Q: 求於時間 t之瞬間速度與加速度
加分題 : 求下列函數之微分
))42cos(exp(sin
))sin(ln(
)6cos()53(
23
2
xxx
xx
xx
)()()()( xfxFdxxfxFx
a
)()()( aFbFdxxfb
a
積分基本定理
)()( xfxF
1)()( nn qnt
dt
tdfqttf
b
a
nb
at
n
qdttf 1
1)(
( 一 )多項式
xdx
xdx
dx
xdsin
cos,cos
sin
xxdxxxdx sincoscossin
( 二 )三角函數
a
edteae
dt
de atatat
at
tdtttdt
tdln
11ln
( 三 )指數對數函數
dxbax )sin(
)cos(cossin)sin( 111 baxydyydxbax aaa
dyadxybax )( 令
例題 :( 一 )
(1) - cos(ax+b) (2) -a·cos(ax+b) (3) - cos(ax)
(4) -a·cos(ax) (5) - cos(ax+b) / a
Hint:
dxbax
x2
adyxdxdyaxdxybax 2/2)( 2
)ln(2
1ln
2
11
2
1 22
baxa
ya
dyyabax
xdx
Hint: 令 ax2+b = y
例題 :( 二 )
(1) tan(ax2+b) (2) tan(ax2+b) /2a (3) ln(ax2+b)/2a
(4) 2a·ln(ax2+b)
例題 :求下列物體之體積 (一 )半徑為 r的圓球體(二 )底面半徑為 r,高為 h的圓錐體
作業 : 根據牛頓冷卻定律,在系統與環境間的溫差不大,而系統處於自然冷卻的情況下,系統的冷卻速率
其中T 是系統表面的溫度 是環境溫度
與系統的表面狀況及熱容有關的常數
若時間 t=0 時,系統表面溫度為 To ,求時間為 t時,系統的溫度為何 ?
)( Tdt
dTu
dt
tdhtgth
dt
tdg
dt
tdfthtgtf
)()()(
)()()()()(
hghgtdgthtdhtgthtgdtdf )()()()())()(()(
dttgthdtthtgtfdttf )()()()()()(
dtthtgthtgdtthtg )()()()()()(
xdxxxxdxx sinsincos
xxhxxg cos)(&)( 令
Partial Integrals
xdxxcosexample
作業 :求下列函數之積分
dxbax
x
2
)(n
ndx
bax
x
dxbxa 222 -
1
dxxx sin2
dxx3sin
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