DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇAO DE MANOBRAS DE ENSAIOS …
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Tese apresentada à Divisão de Pós-graduação do Instituto Tecnológico de
Aeronáutica como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em
Ciência no Curso de Engenharia Aeronáutica e Mecânica, Área de Mecânicado Vôo.
Nei Salis Brasil Neto
DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇAO DEMANOBRAS DE ENSAIOS EM VÔO PARA
ESTIMAÇAO DE DERIVADAS DE ESTABILIDADEE CONTROLE DE AERONAVES
Tese aprovada em sua versão final pelos abaixo assinados:
Orientador
Prof. Dr. Homero Santiago Maciel
Chefe da Divisão de Pós-graduação
Campo Montenegro
São José dos Campos, SP - Brasil
2005
Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP)
Divisão Biblioteca Central do ITA/CTAI
Salis Brasil Neto, NeiDesenvolvimento e Otimização de Manobras de Ensaios em Vôo Para Estimação de Derivadas
de Estabilidade e Controle de Aeronaves / Nei Salis Brasil Neto.São José dos Campos, 2005.
173f.
Tese de Mestrado - Curso de Engenharia Aeronáutica e Mecânica - Área de Mecânica do Vôo,2005. Orientador: Prof. Dr. Luiz Carlos Sandoval Góes. .
1. Manobras de Ensaios em Vôo, Estimação de Parâmetros, Derivadas de Estabilidade eControle, Algoritmo Genético. I. Centro Técnico Aeroespacial. Instituto Tecnológico deAeronáutica. Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica. 11.Título.
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
SALIS BRASIL NETO, Nei. Desenvolvimento e Otimização de Manobras deEnsaios em Vôo Para Estimação de Derivadas de Estabilidade e Controle deAeronaves. 2005. 173f. Tese de Mestrado - Instituto Tecnológicode Aeronáutica, SãoJosé dos Campos.
CESSÃO DE DIREITOS
NOMEDOAUTOR:Nei Salis Brasil NetoTITULODOTRABALHO:Desenvolvimento e Otimização de Manobras de Ensaios em VôoPara Estimação de Derivadas de Estabilidade e Controle de Aeronaves.TIPO DO TRABALHO/ANO: Tese / 2005
É concedida ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica permissão para reproduzir cópiasdesta tese e para emprestar ou vender cópias somente para propósitos acadêmicos ecientíficos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta tesepode ser reproduzida sem a autgrfuftção do autor.
DESENVOLVIMENTO E OTIMIZACAO DE
MANOBRAS DE ENSAIOS EM VOO PARA
ESTIMACAO DE DERIVADAS DE
ESTABILIDADE E CONTROLE DE AERONAVES
Nei Salis Brasil Neto
Composicao da Banca Examinadora:
Prof. Dr. Pedro Paglione Presidente - ITA
Prof. Dr. Luiz Carlos Sandoval Goes Orientador - ITA
Prof. Dr. Maj. Paulo Cesar Pellanda Membro Externo - IME
Prof. Dr. Joao Carlos Ceschini Hoff Membro Externo - EMBRAER
Prof. Dr. Elder Moreira Hemerly Membro - ITA
ITA
Dedico inteiramente esta con-
quista a meus pais, pelo ex-
tremo apoio dado em minhas
decisoes, pelos interminaveis
conselhos, e pela magnıfica ded-
icacao dada a seus filhos!
Dedico este trabalho, tambem,
a minha namorada, Helen,
pela sua infindavel compreen-
sao pela privacao do con-
vıvio durante longos perıodo
de tempo, pelo apoio sempre
demonstrado nas mais difıceis
horas e por sua dedicacao!
Agradecimentos
Ao meu orientador, Prof. Dr. Luiz Calor Saondoval Goes, pelo integral apoio
desprendido e total confianca depositada em minha capacidade.
Ao Prof. Dr. Elder Moreira Hemerly, por suas contribuicoes e sugestoes, as quais
certamente ajudaram a estabelecer os caminhos que guiaram este trabalho.
A Fundacao de Amparo a Pesquisa do Estado de Sao Paulo, a EMBRAER e a Fundacao
Casimiro Montenegro Filho por possibilitarem e apoiarem as atividades de pesquisa e de
ensaios em voo que viabilizaram o presente trabalho.
Ao Prof. Dr. Paulo Henriques Iscold Andrade de Oliveira e ao Centro de Estudos
Aeronauticos da Universidade Federal de Minas Gerais por participarem das atividades
de pesquisa, disponibilizando as aeronaves e a estrutura para ensaios em voo.
“... Assinalou para sempre o seculo vinte,
O heroi que assombrou o mundo inteiro:
Mais alto do que as nuvens, quase Deus,
E Santos-Dumont - Um brasileiro.
— Eduardo Neves
Resumo
Este trabalho trata da aplicacao de tecnicas de otimizacao via algoritmos geneticospara o desenvolvimento de manobras de ensaios em voo para estimacao de parametrosaerodinamicos de aeronaves. As manobras otimizadas sao necessarias para aumentar aeficiencia dos algoritmos de estimacao parametrica, respeitando o envelope operacionaldas aeronaves quanto a seguranca de voo e quanto as limitacoes matematicas dos modelosassumidos. Neste trabalho e feita a comparacao entre a eficiencia do procedimento deestimacao com a aplicacao de manobras convencionais e a eficiencia do procedimento deestimacao com a aplicacao das manobras otimizadas. Em ambos os casos, o aumentoda eficiencia do algoritmos de estimacao busca a maximizacao da sensitividade das va-riaveis de saıda aos parametros do modelo. Para as manobras convencionais, os sinaissao especificados de maneira indireta, atraves da maximizacao de suas densidades es-pectrais de potencia nas frequencias proximas dos modos naturais do sistema dinamico.A tecnica de otimizacao, entretanto, baseada no conteudo de informacao dos dados deensaios em voo, diretamente utiliza-se dos conceitos de matriz de informacao e limitantesde Cramer-Rao para compor os criterios de otimizacao e gerar sinais globalmente oti-mos atraves de algoritmos geneticos que minimizem as incertezas relacionadas com asestimativas dos parametros aerodinamicos. A presente abordagem considera problemascom multi-objetivos, multi-entradas e para o mınimo tempo, tratando os resıduos colori-dos nas variaveis de medida. Varios estudos de caso sao discutidos com a utilizacao dosmodelos dinamicos de perıodo curto e oscilatorio em derrapagem, incluindo resultadosde ensaios em voo de uma aeronave de pequeno porte. As vantagens e desvantagens dastecnicas propostas sao apresentadas, enfatizando a facilidade de implementacao dos sinaisotimos resultantes. Por fim, consideracoes e recomendacoes a respeito da importanciadas manobras de ensaios em voo para os procedimentos de estimacao de derivadas deestabilidade e controle de aeronaves sao feitas.
Abstract
This work deals with the application of genetic optimization techniques to the deter-mination of aircraft flight test input maneuvers for aircraft aerodynamic parameter es-timation. The optimum flight test maneuvers are necessary to increase the efficiency ofaircraft identification and parameter estimation algorithms, respecting operational restri-ctions related to flight safety and limits of the assumed mathematical models. In this workwe compare the effectiveness of identification processes obtained with conventional aircraftmaneuvers and maneuvers defined by a special optimization procedure. In both cases, theincrease of the efficiency of the estimation algorithms uses the maximization of sensitivityof output equations to the parameters of the model. For the conventional maneuver sig-nals, however, this is made in an indirect form, by shaping the input signals in a way toincrease the power spectral density of the signals in the range of the natural frequencies ofthe dynamic system of interest. The optimization technique, on the other hand, is basedon the concept of flight test data information content, where the sensitivity matrix andCramer-Rao lower bounds are used to compose the optimization criteria and to generatean optimal signal that minimizes the uncertainties related with the estimation of the aero-dynamic parameters. This approach regards multi-objective, multi-input and minimumtime problems concerning colored residuals on the measurement variables. Several casestudies are discussed with the use of the short period and the dutch-roll dynamic models,including real flight testing analysis and applications. The advantages and disadvantagesof the proposed maneuvers are presented, stressing how easy is the implementation of thesignals and the strong improvement made possible with the application of the optimizedmaneuver signals. Considerations and recommendations are made regarding the impor-tance of parameter estimation flight test maneuvers to the identification of aerodynamicstability and control derivatives of aircrafts.
Sumario
Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii
Lista de Tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
Lista de Sımbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviii
1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3 Historico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Organizacao do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Estimacao de Parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Estimador por Maxima Verossimilhanca . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Acuidade das Estimativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1 Julgamento de Engenharia no Processo de Estimacao Derivadas Aerod-
inamicas de Aeronaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.2 Erros de Polarizacao das Estimativas Parametricas . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.3 Erros de Dispersao das Estimativas Parametricas . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.4 Desigualdade de Cramer-Rao e Matriz de Informacao de Fisher . . . . . . . 41
SUMARIO x
2.3.5 Correcao do Calculo das Covariancias para a Presenca de Ruıdo Colorido
nas Variaveis de Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 Manobras de Ensaios em Voo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Formulacao do Problema e Criterio de Otimizacao . . . . . . . . . . . 51
3.2.1 Consideracao de resıduos coloridos no modelo de conhecimento a priori do
sistema de aquisicao de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.2 Composicao da Funcao de Aptidao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.3 Restricoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 Abordagem Para Especificacao de Sinais de Excitacao no Domınio
da Frequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Algoritmo Genetico de Otimizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4.1 Populacao Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4.2 Novas Geracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4.3 Implementacao de Restricoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4 Resultados Experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 Dados Sinteticos e Simulacoes de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.2 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.3 Exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3 Dados Experimentais de Ensaios em Voo . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3.1 Aeronave Ensaiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3.2 Sistema de Aquisicao de Dados de Ensaios em Voo . . . . . . . . . . . . . 106
4.3.3 Manobras Convencionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
SUMARIO xi
4.3.4 Manobras Otimizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3.5 Analise dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Referencias Bibliograficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Apendice A – Modelos para as Equacoes de Estado e de
Saıda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
A.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
A.2 Equacoes de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
A.2.1 Sistemas de Referencia e Orientacao da Aeronave em Relacao ao Referencial
Inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
A.2.2 Equacoes de Estado para o Movimento Completo (6-DOF) . . . . . . . . . 146
A.2.3 Modelo Aerodinamico e Analise das Derivadas de Estabilidade e Controle
Adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
A.2.4 Equacoes de Estado Desacopladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
A.2.5 Equacoes de Estado Linearizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Anexo A – Analise de Riscos dos Voos da Campanha de
Ensaios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Anexo B – Principais Caracterısticas do Curumim CEA
205 CB.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Anexo C – Fluxograma de Processos Basicos do Algo-
rıtmo de Otimizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Lista de Figuras
Figura 1.1 Esquema de interacao entre o processo de desenvolvimento de manobras
e o processo de estimacao parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Figura 2.1 Diagrama do Processo de Estimacao Parametrica (Output-Error) . . . 33
Figura 3.1 Sinal de excitacao tipo duble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Figura 3.2 PSD para dubles com diferentes valores de δt . . . . . . . . . . . . . . 58
Figura 3.3 Sinal de excitacao a ser otimizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Figura 3.4 Exemplo de Indivıduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Figura 3.5 Populacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Figura 3.6 Dupla de parentes selecionados para reproducao . . . . . . . . . . . . . 66
Figura 3.7 Vetor binario utilizado para o cruzamento . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Figura 3.8 Cruzamento escalonado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Figura 3.9 Instrumentos de Reproducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Figura 4.1 Exemplo 1 - Sinal otimizado por Mehra . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Figura 4.2 Exemplo 1 - Sinal otimizado por Chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Figura 4.3 Exemplo 1 - Sinal otimizado por Morelli (Chen) . . . . . . . . . . . . . 78
Figura 4.4 Exemplo 1 - Sinal otimizado por Morelli (Mehra) . . . . . . . . . . . . 79
Figura 4.5 Exemplo 1 - Sinal Otimizado 1 - Amplitude Maxima igual a 8.792 graus 80
Figura 4.6 Exemplo 1 - Sinal Otimizado 2 - Amplitude Maxima igual a 12.5 graus 81
LISTA DE FIGURAS xiii
Figura 4.7 Exemplo 1/Sinal 1 - Evolucao da populacao em relacao a funcao de
aptidao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Figura 4.8 Exemplo 1/Sinal 1 - Evolucao da populacao em relacao ao objetivo geral 82
Figura 4.9 Exemplo 1/Sinal 1 - Evolucao da populacao em relacao ao tempo de
execucao da manobra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Figura 4.10 Exemplo 1/Sinal 1 - Evolucao da populacao em relacao ao parametro Zα 82
Figura 4.11 Exemplo 1/Sinal 1 - Evolucao da populacao em relacao ao parametro
Zδe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Figura 4.12 Exemplo 1/Sinal 1 - Evolucao da populacao em relacao ao parametro
Mα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Figura 4.13 Exemplo 1/Sinal 1 - Evolucao da populacao em relacao ao parametro
Mq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Figura 4.14 Exemplo 1/Sinal 1 - Evolucao da populacao em relacao ao parametro
Mδe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Figura 4.15 Exemplo 1/Sinal 2 - Evolucao da populacao em relacao a funcao de
aptidao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Figura 4.16 Exemplo 1/Sinal 2 - Evolucao da populacao em relacao ao objetivo geral 83
Figura 4.17 Exemplo 1/Sinal 2 - Evolucao da populacao em relacao ao tempo de
execucao da manobra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Figura 4.18 Exemplo 1/Sinal 2 - Evolucao da populacao em relacao ao parametro Zα 83
Figura 4.19 Exemplo 1/Sinal 2 - Evolucao da populacao em relacao ao parametro
Zδe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Figura 4.20 Exemplo 1/Sinal 2 - Evolucao da populacao em relacao ao parametro
Mα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Figura 4.21 Exemplo 1/Sinal 2 - Evolucao da populacao em relacao ao parametro
Mq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Figura 4.22 Exemplo 1/Sinal 2 - Evolucao da populacao em relacao ao parametro
Mδe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
LISTA DE FIGURAS xiv
Figura 4.23 Exemplo 2 - Sinal Otimizado por Morelli . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Figura 4.24 Exemplo 2 - Sinal Otimo para Multi-Entradas . . . . . . . . . . . . . . 89
Figura 4.25 Exemplo 2 - Evolucao da populacao em relacao a funcao de aptidao . . 90
Figura 4.26 Exemplo 2 - Evolucao da populacao em relacao ao objetivo geral . . . 90
Figura 4.27 Exemplo 2 - Evolucao da populacao em relacao ao parametro Yβ . . . 90
Figura 4.28 Exemplo 2 - Evolucao da populacao em relacao ao parametro Lβ . . . 90
Figura 4.29 Exemplo 2 - Evolucao da populacao em relacao ao parametro Yp . . . . 90
Figura 4.30 Exemplo 2 - Evolucao da populacao em relacao ao parametro Yr . . . . 90
Figura 4.31 Exemplo 2 - Evolucao da populacao em relacao ao parametro Nβ . . . 91
Figura 4.32 Exemplo 2 - Evolucao da populacao em relacao ao parametro Np . . . 91
Figura 4.33 Exemplo 2 - Evolucao da populacao em relacao ao parametro Nr . . . 91
Figura 4.34 Exemplo 2 - Evolucao da populacao em relacao ao parametro Yδr . . . 91
Figura 4.35 Exemplo 2 - Evolucao da populacao em relacao ao parametro Lδa . . . 91
Figura 4.36 Exemplo 2 - Evolucao da populacao em relacao ao parametro Lδr . . . 91
Figura 4.37 Exemplo 2 - Evolucao da populacao em relacao ao parametro Nδa . . . 92
Figura 4.38 Exemplo 2 - Evolucao da populacao em relacao ao parametro Nδr . . . 92
Figura 4.39 Sinal otimizado levando em consideracao R e Ruu . . . . . . . . . . . . 95
Figura 4.40 Sinal otimizado levando em consideracao apenas R . . . . . . . . . . . 95
Figura 4.41 Densidade Espectral de Potencia e Funcao de Autocorrelacao do Resı-
duo do Sensor de α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Figura 4.42 Densidade Espectral de Potencia e Funcao de Autocorrelacao do Resı-
duo do Sensor de q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Figura 4.43 Densidade Espectral de Potencia e Funcao de Autocorrelacao do Resı-
duo do Sensor Az . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Figura 4.44 Exemplo 3 - Resultados da estimacao de Zα . . . . . . . . . . . . . . . 97
Figura 4.45 Exemplo 3 - Resultados da estimacao de Zq . . . . . . . . . . . . . . . 98
LISTA DE FIGURAS xv
Figura 4.46 Exemplo 3 - Resultados da estimacao de Zδe . . . . . . . . . . . . . . . 99
Figura 4.47 Exemplo 3 - Resultados da estimacao de Mα . . . . . . . . . . . . . . . 100
Figura 4.48 Exemplo 3 - Resultados da estimacao de Mδe . . . . . . . . . . . . . . 101
Figura 4.49 Exemplo 3 - Resultados da estimacao de Mq . . . . . . . . . . . . . . . 102
Figura 4.50 Tres vistas do CEA-205 CB.9 Curumim . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Figura 4.51 Componentes principais do sistema de aquisicao de dados . . . . . . . 107
Figura 4.52 Instalacao dos principais componentes do sistema de aquisicao de dados
na aeronave Curumim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Figura 4.53 Grafico de Calibracao dos Sensores de Angulo de Ataque . . . . . . . . 112
Figura 4.54 Grafico de Calibracao do Sensor de Velocidade de Arfagem . . . . . . . 112
Figura 4.55 Grafico de Calibracao do Sensor de Aceleracao Vertical . . . . . . . . . 113
Figura 4.56 Grafico de Calibracao do Sensor de Velocidade Verdadeira . . . . . . . 113
Figura 4.57 Densidade Espectral de Potencia e Funcao de Autocorrelacao do Resı-
duo do Sensor de α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Figura 4.58 Densidade Espectral de Potencia e Funcao de Autocorrelacao do Resı-
duo do Sensor de q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Figura 4.59 Densidade Espectral de Potencia e Funcao de Autocorrelacao do Resı-
duo do Sensor Az . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Figura 4.60 Densidade Espectral de Potencia e Funcao de Autocorrelacao do Resı-
duo do Sensor Az . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Figura 4.61 Simulacao de Planejamento Para o Sinal Doublet . . . . . . . . . . . . 119
Figura 4.62 Simulacao de Planejamento Para o Sinal 2-1-1 . . . . . . . . . . . . . . 120
Figura 4.63 Simulacao de Planejamento Para o Sinal 3-2-1-1 . . . . . . . . . . . . . 120
Figura 4.64 Resposta temporal da aeronave para as 15 melhores corridas do Doublet121
Figura 4.65 Resposta temporal da aeronave para as 15 melhores corridas do 2-1-1 . 121
Figura 4.66 Resposta temporal da aeronave para as 15 melhores corridas do 3-2-1-1 122
Figura 4.67 Simulacao de Planejamento Para o Sinal Otimizado . . . . . . . . . . . 122
LISTA DE FIGURAS xvi
Figura 4.68 Resposta temporal da aeronave para as 15 melhores corridas do sinal
otimizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Figura 4.69 Densidade Espectral de Potencia dos Sinais Estudados . . . . . . . . . 123
Figura 4.70 Comparacao das Manobras - Resultados da estimacao de Zα . . . . . . 124
Figura 4.71 Comparacao das Manobras - Resultados da estimacao de Zq . . . . . . 125
Figura 4.72 Comparacao das Manobras - Resultados da estimacao de Zδe . . . . . 126
Figura 4.73 Comparacao das Manobras - Resultados da estimacao de Mα . . . . . 127
Figura 4.74 Comparacao das Manobras - Resultados da estimacao de Mq . . . . . . 128
Figura 4.75 Comparacao das Manobras - Resultados da estimacao de Mδe . . . . . 129
Figura A.1 Orientacao do Eixo do Corpo em Relacao ao Referencial Inercial . . . 144
Figura A.2 Eixo do Vento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Lista de Tabelas
Tabela 4.1 Exemplo 1 - Valores dos parametros do modelo de perıodo curto . . . 73
Tabela 4.2 Exemplo 1 - Limites de Cramer-Rao (relativos) . . . . . . . . . . . . . 75
Tabela 4.3 Exemplo 2 - Valores dos parametros do modelo oscilatorio em derrapagem 86
Tabela 4.4 Exemplo 2 - Limites de Cramer-Rao (relativos) . . . . . . . . . . . . . 92
Tabela 4.5 Exemplo 3 - Objetivos para otimizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Tabela 4.6 Exemplo 3 - Resultados da Otimizacao dos Sinais e da Simulacao de
Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Tabela 4.7 Fatores de Escala e Erros Sistematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Tabela 4.8 Covariancias dos resıduos de medida (α,q,Az) . . . . . . . . . . . . . . 114
Tabela 4.9 Limites inferiores dos desvios-padrao relativos para as sinais de exci-
tacao estudados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Lista de Sımbolos
Xb, Yb, Zb Eixos X, Y e Z do sistema fixo ao corpo
Jxy, Jyz, Jxz Produtos de inercia da aeronave
Ix, Iy, Iz Momentos de inercia da aeronave
φ Angulo de rolamento
θ Angulo de arfagem
ψ Angulo de guinda (proa verdadeira)
α Angulo de ataque
β Angulo de derrapagem
u, v, w Componentes x, y e z da velocidade verdadeira
descritas no sistema do corpo
Vtas Velocidade verdadeira
p, q, r Componentes x, y e z da velocidade angular
do sistema do corpo em relacao ao referencial inercial
q Pressao Dinamica: q = 12ρV 2
tas
S Area da asa
ls Comprimento de referencia para o movimento latero-direcional:
normalmente e a envergadura da asa
lu Comprimento de referencia para o movimento longitudinal:
normalmente e a corda da asa
e Fator de Oswald
Λ Alongamento da asa
FT Tracao propulsiva
V0 Velocidade de referencia
CD Coeficiente de arrasto
CY Coeficiente de forca lateral
LISTA DE SIMBOLOS xix
CL Coeficiente de sustentacao
Cl Coeficiente de momento de rolamento
Cm Coeficiente de momento de arfagem
Cn Coeficiente de momento de guinada
CX Coeficiente de forca aerodinamica no eixo x do corpo
CZ Coeficiente de forca aerodinamica no eixo z do corpo
CD0 Coeficiente de arrasto para sustentacao nula
CL0 Coeficiente de sustentacao para angulo de ataque nulo
CYβCoeficiente de forca lateral em funcao do angulo de derrapagem
CYp Coeficiente de forca lateral em funcao da velocidade de rolamento
CYr Coeficiente de forca lateral em funcao da velocidade de guinada
CYδa Coeficiente de forca lateral em funcao da deflexao do aileron
CYδr Coeficiente de forca lateral em funcao da deflexao do leme de direcao
CLα Inclinacao da curva do coeficiente de sustentacao
em funcao do angulo de ataque
CLq Coeficiente de sustentacao em funcao da velocidade de arfagem
CLαCoeficiente de sustentacao em funcao da
taxa da variacao temporal do angulo de ataque
CLδe Coeficiente de sustentacao em funcao da deflexao do profundor
CLδih Coeficiente de sustentacao em funcao da deflexao do estabilizador horizontal
Clβ Coeficiente de momento de rolamento em funcao do angulo de derrapagem
Clp Coeficiente de momento de rolamento em funcao da velocidade de rolamento
Clr Coeficiente de momento de rolamento em funcao da velocidade de guinada
Clδa Coeficiente de momento de rolamento em funcao da deflexao do aileron
Clδr Coeficiente de momento de rolamento em funcao da deflexao do leme
de direcao
Cmα Inclinacao da curva do coeficiente de momento de arfagem
em funcao do angulo de ataque
Cmq Coeficiente de momento de arfagem em funcao da velocidade de arfagem
CmαCoeficiente de momento de arfagem em funcao da
taxa da variacao temporal do angulo de ataque
Cmδe Coeficiente de momento de arfagem em funcao da deflexao do profundor
LISTA DE SIMBOLOS xx
Cmδih Coeficiente de momento de arfagem em funcao da deflexao do
estabilizador horizontal
CnβCoeficiente de momento de guinada em funcao do angulo de derrapagem
Cnp Coeficiente de momento de guinada em funcao da velocidade de rolamento
Cnr Coeficiente de momento de guinada em funcao da velocidade de guinada
Cnδa Coeficiente de momento de guinada em funcao da deflexao do aileron
Cnδr Coeficiente de momento de guinada em funcao da deflexao do
leme de direcao
CRPl Coeficiente de momento de rolamento em relacao ao
ponto de referencia aerodinamica
CRPm Coeficiente de momento de arfagem em relacao ao
ponto de referencia aerodinamica
CRPn Coeficiente de momento de guinada em relacao ao
ponto de referencia aerodinamica
Zα Coeficiente dimensional da forca no eixo Z em funcao do angulo
de ataque
Zq Coeficiente dimensional da forca no eixo Z em funcao da velocidade de
arfagem
Zδe Coeficiente dimensional da forca no eixo Z em funcao da deflexao do
profundor
Mα Coeficiente dimensional do momento de arfagem em funcao do angulo
de ataque
Mq Coeficiente dimensional do momento de arfagem em funcao da velocidade
de arfagem
Mδe Coeficiente dimensional do momento de arfagem em funcao da deflexao do
profundor
Yβ Coeficiente dimensional da forca no eixo y em funcao do angulo de
derrapagem
Yδa Coeficiente dimensional da forca no eixo y em funcao deflexao do
aileron
Yδr Coeficiente dimensional da forca no eixo y em funcao deflexao
do leme
LISTA DE SIMBOLOS xxi
Lβ Coeficiente dimensional do momento de rolamento em funcao do angulo
de derrapagem
Lp Coeficiente dimensional do momento de rolamento em funcao da velocidade
de rolamento
Lr Coeficiente dimensional do momento de rolamento em funcao da velocidade
de guinada
Lδa Coeficiente dimensional do momento de rolamento em funcao da
deflexao do aileron
Lδr Coeficiente dimensional do momento de rolamento em funcao da
deflexao do leme
Nβ Coeficiente dimensional do momento de guinada em funcao do angulo
de derrapagem
Np Coeficiente dimensional do momento de guinada em funcao da velocidade
de rolamento
Nr Coeficiente dimensional do momento de guinada em funcao da velocidade
de guinada
Nδa Coeficiente dimensional do momento de guinada em funcao da deflexao
do aileron
Nδr Coeficiente dimensional do momento de guinada em funcao da deflexao
do leme
xarp Coordenada ao longo do eixo x do corpo da posicao do
ponto de referencia aerodinamica em relacao ao cento de massa da aeronave
yarp Coordenada ao longo do eixo y do corpo da posicao do
ponto de referencia aerodinamica em relacao ao cento de massa da
aeronave
zarp Coordenada ao longo do eixo z do corpo da posicao do
ponto de referencia aerodinamica em relacao ao cento de massa da
aeronave
x Vetor de variaveis de estado
u Vetor de entradas de controle
y Vetor de variaveis de saıda
ym Vetor de variaveis de medida
LISTA DE SIMBOLOS xxii
ym Vetor de variaveis de medida
θ Vetor de parametros do modelo
θ Vetor de parametros estimados
υ Ruıdo de medida
E Operador de esperanca matematica
R Matriz de covariancia do ruıdo de medida
Ruu Matriz de correlacao dos resıduos de medida
M Matriz de Informacao de Fisher
D Matriz de dispersao: D = M−1
S Matriz de sensibilidade das equacoes de saıda aos parametros
do modelo
ε Energia maxima do sinal de excitacao
I Matriz identidade
∗ Operador para matriz e vetor transposto
∇θ Gradiente em funcao de θ:
equivalente a ∂∂θ
cov Operador para covariancia
µ Restricao de variavel de entrada
γ Restricao de variavel de saıda
ς Objetivo de otimizacao
Capıtulo 1
Introducao
1.1 Generalidades
A especificacao de manobras de ensaios em voo para estimacao de derivadas de esta-
bilidade e controle tem como objetivo aumentar a eficiencia dos algoritmos de estimacao,
diminuindo as incertezas associadas ao processo. Basicamente, o foco e colocado sobre
o conteudo de informacao dos dados de ensaios em voo, baseando-se no conceito de que
quanto maior for o nıvel de informacao contido nos dados, maior sera o nıvel de identifi-
cabilidade dos parametros e menores serao as incertezas associadas as suas estimativas.
Em contra partida, a execucao de ensaios em voo requer a especificacao de manobras
que nao venham a exceder limites operacionais das aeronaves. Este ponto constitui uma
importante consideracao no que tange a seguranca de voo e ao sucesso das campanhas
de ensaios. Ainda no campo operacional, o sinal de excitacao especificado deve ser de
possıvel implementacao manual pelo piloto ou por sistemas automaticos. Tambem devem
ser levadas em conta as restricoes que dizem respeito aos limites impostos pelos modelos
matematicos assumidos nos algoritmos de estimacao.
A especificacao de uma manobra de ensaios em voo para estimacao parametrica, por-
tanto, deve ser uma solucao de compromisso entre a eficiencia dos algoritmos, atraves dos
nıveis de incerteza das estimativas, entre os limites operacionais, no que tange a seguranca
de voo e a implementabilidade dos sinais de excitacao, bem como entre os limites impostos
pelos modelos matematicos assumidos.
CAPITULO 1. INTRODUCAO 24
O conteudo de informacao dos dados de ensaios em voo pode ser acessado atraves
da chamada matriz de informacao, a qual teoricamente determina o quao confiavel sao
as estimativas parametricas. A matriz de informacao e calculada atraves da sensibilidade
das equacoes de saıda aos parametros do modelo, e leva em consideracao os nıveis de ruıdo
nas variaveis de medida. Mais adiante e visto que a sensibilidade das equacoes de saıda
aos parametros do modelo depende dos sinais de excitacao aplicados. A inversa da matriz
de informacao e chamada matriz de dispersao, tambem tida como matriz dos limitantes
inferiores de Cramer-Rao para a covariancia dos parametros. Esta propriedade da matriz
de dispersao e valida desde que o algoritmo de estimacao utilizado seja assintoticamente
nao polarizado e eficiente, tal qual o algoritmo de estimacao por maxima verossimilhanca.
Atraves dos elementos dessa matriz, sao calculados os desvios-padrao das estimativas de
cada parametro, bem como os ındices de correlacao estatıstica entre os mesmos.
Uma vez que este trabalho trata do desenvolvimento e especificacao de manobras de
ensaios em voo que maximizem a eficiencia dos algoritmos de estimacao atraves da mini-
mizacao das incertezas associadas as estimativas parametricas, pode-se assumir, portanto,
como criterio de desenvolvimento e otimizacao de sinais de excitacao alguma norma da
matriz de informacao ou da matriz de dispersao.
As restricoes de ordem operacional, no que tange a manutencao da seguranca de voo
para garantir o sucesso das campanhas de ensaios, as caracterısticas de implementabili-
dade, bem como as limitacoes oriundas dos modelos matematicos devem ser consideradas
paralelamente no processo de desenvolvimento e especificacao das manobras de ensaios
em voo para estimacao parametrica. Neste contexto, o principal ponto diz respeito a
amplitude de variacao das variaveis envolvidas no voo, tais como: angulo de ataque ou de
derrapagem, velocidade verdadeira, aceleracao vertical, entre outros. Algumas variaveis,
como as citadas acima, podem ser de grande importancia para a manutencao do voo dentro
de limites do envelope operacional, bem como para nao extrapolar limites matematicos.
E de suma importancia, portanto, que as tecnicas de desenvolvimento e de especificacao
de manobras de ensaios em voo para estimacao de parametros tenham mecanismos que
restrinjam a amplitude de variacao de variaveis de saıda para que nao sejam excedidos os
limites existentes. Este mecanismo deve fazer parte do algoritmo de desenvolvimento e
otimizacao de sinais de excitacao, garantindo assim que os resultados nao extrapolem as
restricoes impostas.
CAPITULO 1. INTRODUCAO 25
O desenvolvimento, otimizacao e especificacao de manobras de ensaios em voo para
estimacao parametrica deve ter uma interface interativa com o proprio processo de esti-
macao parametrica, de preferencia em tempo quase real, e em voo.
Os criterios de desenvolvimento dos sinais de excitacao levam em consideracao um
modelo a priori do sistema dinamico. Desta maneira, fica claro que quanto mais proximo
este modelo a priori esta da realidade, mais eficiente sera a otimizacao dos sinais de exci-
tacao. E levantado aqui um importante ponto a respeito das tecnicas de desenvolvimento
de experimentos para estimacao parametrica: as mesmas sao dependentes do modelo a
priori, e quanto melhor ele for, mais eficientemente o experimento sera desenvolvido.
Estas observacoes aumentam a necessidade de robustez para as tecnicas, no sentido
de possibilitar o adequado acesso as estimativas parametricas, mesmo que os modelos de
conhecimento a priori estejam defasados. Estas caracterısticas motivam a abordagem do
desenvolvimento, otimizacao e especificacao de manobras de ensaios em voo como um
processo interativo com a propria estimacao parametrica.
De acordo com o esquematizado na figura 1.1, verifica-se que o modelo a priori deve
ser composto pelas equacoes que regem a dinamica de aeronaves, por dados de geometria
e massa da aeronave, por dados do sistema de aquisicao de dados e pelos parametros
aerodinamicos, os quais sao os objetos do processo de estimacao parametrica. Estes
dados podem ser oriundos de ensaios em tunel de vento, ou de estimativas obtidas de
tabelas e de banco de dados aerodinamicos. Em contra partida, os objetivos especıficos
do processo de estimacao parametrica sao analisados, o que possibilita visualizar quais
sao os parametros de maior interesse e quais sao os nıveis de certeza aceitaveis para o
usuario final. Toda esta informacao deve ser levada em consideracao no desenvolvimento
e otimizacao do sinal de excitacao para as manobras de ensaios em voo.
No processo de otimizacao propriamente dito, sera gerado um sinal de excitacao que
maximize a acuidade das estimativas, levando em consideracao as informacoes obtidas
anteriormente. Este sinal deve ser avaliado, quanto a sua implementabilidade (atraves do
piloto ou de sistemas automaticos), e quanto a resposta da aeronave. Neste ponto e que
o respeito as restricoes necessarias deve ser confirmado. Caso houver necessidade, deve-se
voltar ao processo de otimizacao, e providenciar que o sinal de excitacao a ser gerado
respeite as restricoes e possua implementacao pratica. Feito isso, o ensaio em voo e a
CAPITULO 1. INTRODUCAO 26
Figura 1.1: Esquema de interacao entre o processo de desenvolvimento de manobras e oprocesso de estimacao parametrica
aquisicao dos dados deve ser realizada, seguido da propria estimacao parametrica.
A analise dos resultados da estimacao parametrica deve ser feita considerando os obje-
tivos e necessidades impostas pelo usuario final. Caso necessario, o feedback introduzido
pela atualizacao do modelo a priori possibilita que o experimento seja desenvolvido com
cada vez mais eficiencia e que os resultados convirjam mais facilmente para o objetivo.
1.2 Objetivo
O presente trabalho aborda o problema da especificacao de manobras de ensaios em
voo para estimacao de parametros aerodinamicos de aeronaves.
O principal objetivo e demonstrar a necessidade e viabilidade da aplicacao das tecnicas
apresentadas para o sucesso dos procedimentos de estimacao de parametros aplicados a
modelagem de aeronaves, deixando claro as vantagens quanto a confiabilidade do processo
como um todo e quanto a economia de recursos.
CAPITULO 1. INTRODUCAO 27
Alem disso, objetiva-se estabelecer uma abordagem pratica que envolva grande parte
dos fenomenos envolvidos no processo e que resulte em uma ferramenta que auxilie no
planejamento e execucao de campanhas de ensaios para modelagem aerodinamica de
aeronaves, fazendo a comunicacao entre as necessidades de engenharia e os aspectos ope-
racionais, principalmente, de seguranca de voo.
1.3 Historico
A analise de dados de ensaios em voo sob o ponto de vista de estabilidade e controle
deu seus primeiros passos no inıcio do seculo, nao muito tempo apos o primeiro voo do
mais pesado que o ar sob meios proprios, em 1906, realizado pelo brasileiro Alberto Santos
Dumont. Entre 1910 e 1920, alguns conceitos basicos a respeito de estabilidade e controle
de aeronaves forma estabelecidos, principalmente, por pesquisadores da Inglaterra e do
Massachusetts Institute of Technology (MIT, Estados Unidos da America). Nesta epoca,
tambem foram estabelecidos os conceitos de derivadas de estabilidade e realizados ensaios
em tuneis de vento, enfocando aspectos de dinamica e estabilidade de voo.
Poucos anos depois, pesquisadores do National Advisory Committee for Aeronautics
(NACA),(NORTON, 1923a) (NORTON, 1923b), vieram a publicar alguns dos primeiros tra-
balhos levando em consideracao equacoes aproximadas da dinamica de aeronaves para
analisar aspectos de estabilidade de voo atraves de dados de ensaios em voo. Estes anos
foram muito importantes para o desenvolvimento de sistemas de aquisicao de dados, das
tecnicas de ensaios em voo e dos metodos de analises de dados (NORTON; BROWN, 1923)
(NORTON; CARROLL, 1923). Posteriormente, foram utilizadas tecnicas manuais e de abor-
dagem grafica. Destacou-se neste contexto a tecnica chamada de Analog Matching, a qual
consistia em um ajuste manual da curva de saıda do modelo matematico aos dados ob-
servados em voo. Esta tarefa era realizada atraves de computadores analogicos, por meio
de tentativa e erro.
No inıcio dos anos 50, as analises de dados de ensaios em voo tomaram abordagens
proximas as teorias de Identificacao de Sistemas. O conceito de mınimos quadrados foi
utilizado por Greenberg (GREENBERG, 1951),e Shinbrot (SHINBROT, 1951), entre outros
pesquisadores. Neste perıodo, a tecnica de Analog Matching foi otimizada por Shinbrot
CAPITULO 1. INTRODUCAO 28
(SHINBROT, 1954), depois vindo a ser chamada de erro de saıda, ou Output-Error.
Os anos 60 foram marcados pelo desenvolvimento dos filtros lineares por Kalman.
Neste perıodo, Gerlach, na Universidade de Delft, Holanda, aplicou a estimacao de estados
a problemas de dinamica de aeronaves, chamando-a de reconstrucao da trajetoria de voo.
O entao chamado NASA Flight Research Center tambem estava fortemente engajado nas
campanhas de ensaio em voo da aeronave X-15 e das asas voadoras M2. Neste contexto, a
estimacao parametrica atraves da tecnica Analog Matching apresentou importante papel,
principalmente no que diz respeito a abertura do envelope operacional destas aeronaves
(MORELLI; KLEIN, 2005) (WANG; ILIFF, 2004).
No meio da decada de 60, pesquisadores do Dryden Flight Research Center observaram
a grande necessidade de incrementacao das tecnicas de identificacao de sistemas aplicadas
a analise de dados de ensaios em voo. O interesse estava principalmente voltado para o
metodo de maxima verossimilhanca . Nesta ocasiao, Taylor, Iliff e Balakrishnan (ILIFF;
TAYLOR, 1972) (BALAKRISHNAN, 1968) trabalharam juntos para o desenvolvimento de
tecnicas e programas de estimacao parametrica via maxima verossimilhanca.
No inıcio da decada de 70, Iliff e Maine (MAINE; ILIFF, 1985) (MAINE; ILIFF, 1986)
fizeram grandes avancos na aplicacao de algoritmos Output-Error com a aplicacao do
criterio de maxima verossimilhanca para a estimacao de derivadas de estabilidade e con-
trole de aeronaves. Esta abordagem, entretanto, nao suporta ruıdos de estado, o que
veio a incentivar o desenvolvimento de algoritmos hıbridos para a estimacao de estados
e de parametros. Estes algoritmos vieram a ser chamados de Filter-Error e sao uma
combinacao do Output-Error e do Filtro de Kalman.
Os anos 80 e 90 foram reservados a forte consolidacao dos algoritmos de Output-Error
e Filter-Error para a aplicacao das tecnicas de Identificacao de Sistemas em problemas de
dinamica de aeronaves e analises de dados de ensaios em voo, em destaque neste contexto
se encontram pesquisadores do instituto alemao DLR (JATEGAONKER; PLAESTSCHKE,
1989)(JATEGAONKAR; PLAETSCHKE, 1983)(JATEGAONKAR; PLAETSCHKE, 1987), onde
tem sido desenvolvida uma das principais ferramentas de identificacao de sistemas com
aplicacoes aeroespaciais (JATEGAONKAR, 2001). Nos dias de hoje, os algoritmos de
Output-Error aliados aos criterios de maxima verossimilhanca ainda sao bastante uti-
lizados para a estimacao de parametros aerodinamicos de aeronaves atraves de dados de
CAPITULO 1. INTRODUCAO 29
ensaios em voo. Estes algoritmos, geralmente, sao utilizados em conjunto com as tecnicas
de reconstrucao de trajetoria de voo e estimacao de estados.
Em ambito nacional, as tecnicas de identificacao de sistemas com aplicacoes na dinamica
de voo de aeronaves estao em pleno desenvolvimento. Iniciativas do setor aeroespacial
tem incentivado a formacao de pesquisadores nesta area e tem possibilitado a desenvolvi-
mento das tecnologias citadas acima (NETO; GOES, 2005)(MENDONCA; HEMERLY; GOES,
2005)(VASCONCELOS, 2002)(CURVO, 2000)(MACIEL; GOES; VASCONCELOS, 2004).
Quanto aos sinais de excitacao para manobras de ensaios em voo para estimacao
parametrica, especificamente, as preocupacoes vieram ja no final da decada de 60. Os
primeiros trabalhos relevantes que envolveram tecnicas para especificacao de sinais de exci-
tacao com aplicacoes aeronauticas sao do inıcio da decada de 70 (MEHRA, 1974a)(STEPNER;
MEHRA, 1973)(MEHRA, 1974b)(GUPTA; JR., 1975). Estes trabalhos preocupavam-se com a
minimizacao dos limitantes inferiores de Cramer-Rao para a estimativa dos parametros em
funcao do sinal de excitacao. Tambem foi observado a aplicacao de tecnicas no domınio
da frequencia (MARCHAND, 1977). Estas tecnicas sao de facil acesso e suas aplicacoes
persistem ate os dias de hoje. A ideia e, a partir de sinais de excitacao pre-estabelecidos,
maximizar a densidade espectral de potencia nas frequencias proximas aos modos naturais
do sistema em estudo.
Todos os trabalhos citados acima nao se preocuparam em introduzir nos criterios de
otimizacao o tempo de realizacao da manobra de ensaio. O tempo disponıvel era mantido
fixo, escolhido atraves da experiencia e do julgamento de engenharia. O primeiro a abordar
este problema e colocar o tempo de realizacao do sinal de excitacao na funcao custo, no
sentido de minimiza-lo, foi Chen (CHEN, 1975). Posteriormente, Morelli (MORELLI, 1990)
tambem buscou a otimizacao de manobras com o menor tempo possıvel. Neste caso, os
limitantes de Cramer-Rao sao minimizados ate um objetivo e o tempo de aplicacao e
reduzido ao maximo. Morelli tambem demonstrou extrema preocupacao com aplicacoes
praticas em ensaios em voo.
Em paralelo com as atividades e aplicacoes das tecnicas de identificacao de sistemas aos
problemas de modelagem da dinamica de aeronaves, sempre houve uma grande preocu-
pacao com o acesso a confiabilidade das estimativas parametricas (ILIFF; MAINE, 1976)
(ILIFF; MAINE, 1977) (MAINE; ILIFF, 1981a) (MAINE; ILIFF, 1981b). Grande desconforto
CAPITULO 1. INTRODUCAO 30
ocorria quando os calculo dos limitantes de Cramer-Rao para as estimativas eram muito
otimistas em comparacao com as dispersoes observadas nos experimentos. Os limitantes
de Cramer-Rao, calculados a partir da teoria da informacao (GOODWIN; PAYNE, 1977)
(BALAKRISHNAN, 1968), nao levam em conta ruıdos coloridos na variaveis de medida, o
que ocasionava tais discrepancias. Ja em (MORELLI; KLEIN, 1994), o autor propoe uma
tecnica para corrigir os calculos. Esta tecnica e baseada na autocorrelacao dos resıduos
de medida e se mostrou bastante eficiente.
Claramente, as tecnicas de estimacao de parametros aerodinamicos de aeronaves apresen-
taram um gargalo quanto a confiabilidade do processo, o que motivou o desenvolvimento
de tecnicas analıticas para o desenvolvimento e especificacao de sinais de excitacao para
os experimentos. A comprovacao da eficiencia destas tecnicas em ensaios em voo pode ser
verificada em (MORELLI, 1997) (MORELLI, 1998).
O presente trabalho procura a abordagem do problema de otimizacao de sinais de
excitacao para manobras de ensaios em voo de uma maneira bastante pratica, que envolva
os principais problemas encontrados pelos pesquisadores citados acima. Sao apresentados
alguns pontos de originalidade, principalmente no que diz respeito a consideracao de resı-
duos coloridos nas variaveis de medida e ao metodo de otimizacao utilizado. Os seguintes
pontos sao de maior relevancia:
• Restricoes de ordem pratica: o algorıtmo desenvolvido neste estudo possibilita
que as restricoes impostas ao procedimento de otimizacao de sinais de excitacao
sejam de ordem pratica, limitando diretamente as variaveis de saıda de interesse e
as variaveis de entrada. E possıvel que uma ou mais variaveis sejam restringidas
simultaneamente.
• Preocupacao com implementacao pratica: os sinais resultantes do procedi-
mento de otimizacao podem ser submetidos a restricoes que permitem garantir,
de antemao, que serao implementaveis, tanto pelo piloto, quanto por sistemas au-
tomaticos.
• Multi-objetividade e sinais com o mınimo de tempo: a funcao de aptidao do
procedimento de otimizacao pode ser formulada de maneira a atender um ou mais
objetivos e ainda otimizar o tempo de execucao da manobra.
CAPITULO 1. INTRODUCAO 31
• Consideracao de resıduos coloridos nas variaveis de medida: o calculo da
covariancia das estimativas pode ser corrigido para levar em consideracao a contami-
nacao das variaveis de medida com ruıdos coloridos.
• Ponderacao e selecao de parametros de interesse: a necessidade de desen-
volvimento de manobras de ensaios que possibilitem o acesso preferencial a deter-
minado parametro ou a determinado grupo de parametros pode ser suprida atraves
de uma matriz de ponderacao, ou atraves da selecao de parametros a serem levados
em consideracao no processo.
• Selecao de objetivos relativos: a funcao de aptidao pode levar em consideracao
as covariancias relativas das estimativas parametricas, o que pode substituir o uso
de matrizes de ponderacao.
• Solucoes globais: a ferramenta de desenvolvimento e otimizacao de manobras de
ensaios em voo apresentada neste estudo tende a alcancar solucoes globais, uma vez
que utiliza, para a minimizacao da funcao de aptidao, um algoritmo genetico.
1.4 Organizacao do Trabalho
No capıtulo 2, os principais aspectos do metodo de erro de saıda e do criterio de
estimacao por maxima verossimilhanca sao apresentados. Alem disso, sao abordados
os problemas que envolvem erros de estimacao parametrica, principalmente polarizacoes
e dispersoes. Em um segundo momento, alguns aspectos teoricos da desigualdade de
Cramer-Rao e da matriz de informacao de Fisher sao abordados, possibilitando o entendi-
mento dos criterios de otimizacao de sinais de excitacao para manobras de ensaios em voo
discutidos neste estudo.
No capıtulo 3, as principais caracterısticas da tecnica de otimizacao de sinais de excita-
cao sao mostradas. A formulacao do problema e os criterios de otimizacao propostos para
compor a funcao custo sao apresentados. Alem disso, e feita uma introducao ao algoritmo
genetico de otimizacao, o qual e utilizado para a resolucao do problema. Suas principais
virtudes e idealizacoes sao mostradas.
O capıtulo 4 e dedicado a analise de resultados. Cada exemplo mostrado neste capıtulo
CAPITULO 1. INTRODUCAO 32
possui um objetivo fundamental, o qual envolve a abordagem das principais virtudes das
tecnicas de especificacao de manobras de ensaios em voo para estimacao de parametros.
Primeiramente, sao mostrados estudos de caso com dados simulados, envolvendo com-
paracoes com resultados obtidos em trabalhos anteriores. Em um segundo momento, sao
apresentados resultados experimentais obtidos atraves de uma campanha de ensaios em
voo dedicada a analise das manobras de ensaios em voo.
O capıtulo 5 apresenta as conclusoes e comentarios a respeito dos principais pontos
do trabalho. Atraves da analise dos resultados mostrados no capıtulo 4, fica clara a
necessidade da utilizacao de sinais de excitacao otimizados para um acesso mais acurado
das estimativas parametricas. Alem de disso, torna-se, tambem, evidente , por parte do
algoritmo de otimizacao dos sinais de excitacao, a necessidade de consideracao de resıduos
coloridos nas variaveis de medida para acessar problemas praticos, principalmente os que
envolvem objetivos especıficos.
Capıtulo 2
Estimacao de Parametros
2.1 Introducao
Este estudo utiliza-se da estimacao de parametros de aeronaves atraves da aplicacao
do algoritmo Output-Error em conjunto com o criterio de maxima verossimilhanca. A
metodologia de abordagem deste processo, basicamente, pode ser dividida em cinco grandes
grupos: Manobras, Modelos, Medidas, Metodos e Validacao, de acordo com o mostrado
na figura 2.1.
Aeronave
Algorítmo de Estimação/Otimização
Modelo
Matemático
Resultante
Validação
Critério deEstimação
Sinal de Entrada
Otimizado
Modelos Matemáticos/Simulação
Sistema de Aquisição
Dados de Ensaiosem Vôo
Para Validação
+
-
ManobrasMMedidasM
MétodosM
ModelosMInformação
a priori
Valor dos parâmetros
Estrutura do Modelo
Sinal de excitação
Resposta simulada
Resposta em vôo
Atualização deParâmetros
Erro de saída
Figura 2.1: Diagrama do Processo de Estimacao Parametrica (Output-Error)
As manobras de ensaios em voo para estimacao parametrica sao o objeto deste estudo.
Basicamente, o que se busca no momento em que se especifica as manobras de ensaio
CAPITULO 2. ESTIMACAO DE PARAMETROS 34
para estimacao de parametros de aeronaves e o aumento da eficiencia dos algoritmos. No
capıtulo 3 deste trabalho, serao abordados maiores detalhes a respeito do desenvolvimento
sinais de excitacao otimizados para manobras de ensaios em voo dedicadas a estimacao
parametrica.
Os modelos sao as representacoes matematicas das dinamicas que estao sob analise.
Hoje em dia, os modelos matematicos que descrevem a dinamica de aeronaves estao bem
estabelecidos na literatura e e estao descritos no Apendice A deste trabalho. Sao utiliza-
dos em larga escala modelos nao lineares no espaco de estados, os quais podem descrever
os seis graus de liberdade das aeronaves, ou modelos desacoplados, os quais descrevem
dinamicas longitudinais e latero-direcionais em separado. Geralmente, tambem sao uti-
lizados modelos lineares para pequenas perturbacoes. Nestes modelos, encontram-se os
parametros a serem estimados. Geralmente, existe um conhecimento a priori a respeito
dos dados de geometria e massa do veıculo aereo em ensaio e a respeito de seus parametros
aerodinamicos. Este conhecimento pode ser oriundo de estimativas tabeladas, de ensaios
em tunel de vento, ou ate mesmo de ensaios em voo realizados previamente.
As medidas estao relacionadas com os modelos atraves das equacoes de saıda dos
mesmos. As equacoes de saıda descrevem variaveis que podem ser estados ou nao. As
mesmas podem ser medidas pelos sistemas de aquisicao de dados, os quais introduzem os
ruıdos de medida. As equacoes de saıda sao as ligacoes entre os parametros do modelo a
serem estimados e a resposta temporal da aeronave.
Os metodos dizem respeito ao processo de estimacao propriamente dito. Neste bloco,
devem ser definidos os criterios que compoe a funcao custo para o processo de otimizacao,
bem como os metodos de otimizacao. O presente estudo utiliza o criterio de maxima
verossimilhanca para compor a funcao custo atraves do erro de saıda, a qual e minimizada
atraves do metodo Gauss-Newton. A ideia basica do metodo Output-Error esta mostrada
no esquema da figura 2.1.
Um sinal de excitacao otimizado para a manobra de ensaio em voo e selecionado e
aplicado a aeronave. A resposta temporal da aeronave e o sinal de excitacao sao gravados
pelo sistema de aquisicao de dados. O mesmo sinal de excitacao e aplicado ao modelo
matematico, o que gera a resposta temporal simulada do conjunto de variaveis de saıda.
Esta historia temporal e comparada com as variaveis medidas em voo, o que gera o
CAPITULO 2. ESTIMACAO DE PARAMETROS 35
erro de saıda, ou Output-Error. Este erro de saıda deve ser minimizado pelo algoritmo
de estimacao em funcao dos parametros do modelo a serem estimados. Este processo
gera uma atualizacao para as estimativas iniciais dos parametros. O procedimento e
repetido interativamente, ate que algum criterio de parada seja atingido. E interessante
salientar que o metodo de Output-Error leva em consideracao apenas o ruıdo de medida,
diferentemente do metodo Filter-Error, que considera ruıdo de estado e de medida.
Pode-se dizer que a ultima etapa no processo e a validacao dos dados. Neste procedi-
mento, dados de entrada e de saıda que nao foram utilizados no processo de estimacao sao
utilizados para verificar se a resposta temporal do sistema com os parametros estimados
e adequada, e se realmente reproduz a resposta temporal da aeronave em voo.
Neste capıtulo, serao abordados alguns aspectos do estimador por maxima verossim-
ilhanca. Algumas propriedades estatısticas dos estimadores, tais como, polarizacao, efi-
ciencia, inequacao de Cramer-Rao, entre outras, tambem serao discutidos. Estes conceitos
sao de suma importancia para o entendimento do acesso a acuidade das estimativas, e
para o posterior entendimento das tecnicas de desenvolvimento e otimizacao de sinais de
excitacao para manobras de ensaios em voo utilizadas para estimacao parametrica.
2.2 Estimador por Maxima Verossimilhanca
A abordagem do estimador por maxima verossimilhanca em separado se faz necessaria
neste estudo, uma vez que este metodo possui propriedades bastante significativas no que
tange a confiabilidade das suas estimativas. Estas propriedades serao abordadas ao longo
do texto, principalmente durante a apresentacao da desigualdade de Cramer-Rao e da
Matriz de Informacao de Fisher.
A abordagem a respeito do estimador por maxima verossimilhanca feita neste estudo e
bastante sucinta, principalmente porque o metodo de estimacao nao e objeto da presente
dissertacao. Maiores detalhes do metodo sao abordados e podem ser encontrados em
(CRAMeR, 1946), (GOODWIN; PAYNE, 1977) e (LJUNG, 1987). Alem disso, as aplicacoes
do estimador por maxima verossimilhanca no meio aeronautico, mais especificamente no
que tange a estimacao de parametros aerodinamicos de aeronaves, podem ser encontrados
em (MAINE; ILIFF, 1986), (??) e (JATEGAONKAR; PLAETSCHKE, 1983).
CAPITULO 2. ESTIMACAO DE PARAMETROS 36
Os modelos dinamicos utilizados para estimacao parametrica podem, na maioria dos
casos, serem descritos pelas seguintes equacoes de estado:
x (t) = f (x (t) , u (t) , θ) (2.1)
Com x (0) = 0 e x sendo o vetor de estado, o qual possui dimensao nx. Alem disso u e o
vetor de variaveis de controle.
As estimativas parametricas nao sao oriundas diretamente das equacoes de estado, mas
sim das variaveis de saıda. Os parametros do modelo estao relacionados com as variaveis
de saıda atraves do vetor de equacoes de observacao:
y (t) = h (x (t) , u (t) , θ) (2.2)
onde y e o vetor de variaveis observadas, com dimensao ny.
Alem disso, e necessario considerar que as variaveis de observacao sao contaminadas
com ruıdo de medida, formando o vetor de variaveis de medida ym , que pode ser expresso
por:
ym (i) = y (i) + υ (i) (2.3)
onde i = 1, 2, 3, ..., N e N e a dimensao do vetor de medida. υ (i) e o ruıdo de medida. Na
formulacao do estimador por maxima verossimilhanca e assumido que o ruıdo de medida
e gaussiano, de media zero (ruıdo branco):
E {υ (i)} = 0 (2.4)
E {υ (i) υ∗ (j)} = R · δij (2.5)
onde i = j = 1, 2, 3, ..., N , R e a matriz de covariancia do ruıdo e E denota o operador de
esperanca matematica. A matriz R pode tambem ser estimada atraves de:
R =1
N
N∑i=1
[ym (i)− y (i)] [ym (i)− y (i)]∗ (2.6)
CAPITULO 2. ESTIMACAO DE PARAMETROS 37
A hipotese do ruıdo de medida ser branco implica que o erro preditivo nos diferentes
pontos da curva temporal nao sao correlacionados, ou seja, sao independentes.
Assim sendo, considerando a distribuicao do ruıdo de medida, e possıvel determinar a
funcao de densidade probabilidade da ocorrencia do vetor de variaveis de medida, condi-
cionada ao vetor de parametros do modelo, ou seja, p(Y |θ) , onde Y denota o conjunto
de variaveis de medida:
p (Y |θ) =[(2π)−
q2 |R|−
12
]N
exp
{−1
2
N∑i=1
[ym (i)− y (i)]∗R−1 [ym (i)− y (i)]
}(2.7)
A funcao p(Y |θ), chamada de funcao de verossimilhanca, descreve a densidade de
probabilidade para a ocorrencia do vetor de medida Y dado o vetor de parametros θ. O
metodo, portanto, e chamado de metodo por maxima verossimilhanca por tentar maxi-
mizar (2.7) em funcao de θ. Ou seja, o metodo de maxima verossimilhanca procura o vetor
de parametros θ que maximiza a probabilidade de ocorrencia das variaveis de medida do
sistema dinamico ensaiado.
Por motivos computacionais, e conveniente que os algoritmos de estimacao por maxima
verossimilhanca trabalhem no sentido de minimizar o logaritmo negativo de (2.7), o que
equivale a maximizar p(Y |θ). Desta maneira, a funcao custo fica:
J (θ) = −L (p (Y |θ)) =N
2ln [(2π)q |R|] +
1
2
N∑i=1
[ym (i)− y (i)]∗R−1 [ym (i)− y (i)] (2.8)
Por fim, assumindo que R e conhecida, o primeiro termo de (2.8) e uma constante, a
qual nao influencia no processo de minimizacao, podendo ser desconsiderada, assim sendo,
a funcao custo passa a ser:
J (θ) =1
2
N∑i=1
[ym (i)− y (i)]∗R−1 [ym (i)− y (i)] (2.9)
Tres sao as propriedades do estimador por maxima verossimilhanca de especial in-
teresse neste estudo. O estimador por maxima verossimilhanca e assintoticamente nao
CAPITULO 2. ESTIMACAO DE PARAMETROS 38
polarizado e eficiente, bem como apresenta a distribuicao de suas estimativas assintoti-
camente de forma normal. A importancia destas propriedades para o presente trabalho
ficara clara mais a frente, a medida que as mesmas forem abordadas com maiores detalhes.
2.3 Acuidade das Estimativas
A analise da acuidade das estimativas no processo de identificacao parametrica de
aeronaves e de fundamental importancia para acessar os nıveis de confiabilidade do pro-
cesso como um todo. As ferramentas de acesso aos nıveis de incerteza tem sido objetos
de intensa pesquisa e aperfeicoamento no campo da identificacao de sistemas aplicada
a extracao de derivadas de estabilidade e controle de aeronaves (MAINE; ILIFF, 1981b)
(MAINE; ILIFF, 1981a) (ILIFF; MAINE; MONTGOMERY, 1979) (MORELLI; KLEIN, 1994).
Neste estudo, serao tratadas algumas ferramentas que podem auxiliar na avaliacao
qualitativa das estimativas. Primeiramente, serao abordados os conceitos de julgamento
de engenharia, polarizacao e dispersao de estimativas. Em um segundo momento, sera
apresentada a desigualdade de Cramer-Rao e alguns aspectos a respeito da matriz de
informacao de Fisher. Os conceitos apresentados neste capıtulo sao de fundamental im-
portancia para o entendimento dos criterios de desenvolvimento e otimizacao de manobras
de ensaios em voo para estimacao parametrica apresentados no capıtulo 4. Alem disso,
considerando a utilizacao do estimador por maxima verossimilhanca, sera mostrada uma
tecnica de correcao do calculo das covariancias teoricas devido a presenca de ruıdo colorido
nas variaveis de medida.
Existem outros instrumentos de acesso teorico a confiabilidade das estimativas, tais
como a sensitividade, elipsoide de incerteza, correlacao parametrica e limites de Cramer-
Rao. Todos eles de alguma forma estao relacionados com o conceito de desigualdade de
Cramer-Rao, e nao serao objetos de analise neste estudo, uma vez que a analise da de-
sigualdade de Cramer-Rao e suficiente para a composicao dos criterios de desenvolvimento
e otimizacao propostos.
CAPITULO 2. ESTIMACAO DE PARAMETROS 39
2.3.1 Julgamento de Engenharia no Processo de Estimacao Derivadas
Aerodinamicas de Aeronaves
O julgamento de engenharia no processo de identificacao de sistemas e de fundamental
importancia, pois a analise dos resultados da estimacao parametrica contribui fortemente
para a qualidade do processo. Isso e justificado porque neste ponto algumas discrepancias
podem ser detectadas, fornecendo ajuda para que problemas sejam corrigidos a tempo,
antes que os resultados sejam utilizados em suas aplicacoes.
Em um primeiro momento, e interessante fazer referencia a modelagem dinamica do
sistema em estudo. Os erros contidos nos modelos matematicos acarretam incertezas
ao processo de estimacao parametrica e, principalmente, introduzem erros sistematicos
nos estimadores. E de suma importancia ter em mente que os modelos matematicos
empregados sempre haverao de ter limitacoes e que a representacao dos fenomenos fısicos
envolvidos e valida apenas quando as mesmas sao respeitadas. Neste ponto tambem pode-
se salientar que atraves do julgamento de engenharia podem ser detectadas dinamicas
que nao sao levadas em consideracao nos modelos de predicao, mas que podem estar
influenciando no processo. Atraves desta analise de engenharia, os erros ou hipoteses
assumidas podem ser corrigidos, bem como pode-se tomar cuidado para que dinamicas
nao modeladas nao sejam excitadas durante os experimentos.
O julgamento de engenharia a respeito da dispersao e da polarizacao de estimativas
tambem introduz um fator diferencial no que tange ao incremento da confiabilidade do
processo de identificacao de sistemas. Atraves do conhecimento a priori das caracterısticas
e dos fenomenos fısicos associados aos sistemas em estudo, pode-se verificar resultados das
estimativas parametricas que nao condizem com o significado fısico dos parametros em
questao. Estas caracterısticas podem apontar principalmente para erros de modelagem.
Alem disso, a analise da dispersao de estimativas, quando possıvel, e bastante significativa
no que tange ao acesso aos nıveis de incerteza associados ao processo. A alta dispersao
pode apontar para a nao adequacao dos dados experimentais utilizados para estimacao
parametrica e para a necessidade de desenvolvimento de novos experimentos.
CAPITULO 2. ESTIMACAO DE PARAMETROS 40
2.3.2 Erros de Polarizacao das Estimativas Parametricas
A polarizacao, ou bias, estatisticamente, pode ser definida como um erro sistematico
das estimativas parametricas (GOODWIN; PAYNE, 1977) (MAINE; ILIFF, 1981a). Vamos
considerar que as estimativas sejam feitas atraves de G, que e uma funcao das variaveis
de medida contidas no vetor Y , ou seja:
θ = G (Y ) (2.10)
onde θ denota o vetor de parametros estimados. Alem disso, Y e funcao da entrada de
controle, do vetor dos parametros do modelo, e do ruıdo de medida:
Y = Y (θ, u, υ) (2.11)
Assim sendo, a polarizacao e definida como:
b(θ) = E{θ − θ
}= E {G (Y, u, υ)} − θ (2.12)
Ou seja, a polarizacao das estimativas e a esperanca matematica da estimativa menos
o valor real dos parametros, ou melhor, e o erro sistematico da estimativa. Nota-se que a
polarizacao e funcao do vetor de parametros θ e do vetor de entradas u.
E interessante salientar que apos algumas hipoteses assumidas pode-se provar que o
estimador por maxima verossimilhanca e um estimador assintoticamente nao polarizado
(BALAKRISHNAN, 1968). Mesmo que esta propriedade indique que a polarizacao sera
nula apenas quando o tempo tender ao infinito, pode-se considerar que a mesma se torna
desprezıvel quando sao utilizadas curvas temporais contendo pelo menos alguns ciclos do
modo natural mais lento do sistema dinamico em questao.
2.3.3 Erros de Dispersao das Estimativas Parametricas
Considerando que seja possıvel realizar um experimento inumeras vezes nas mesmas
condicoes para estimar o mesmo parametro, a dispersao observada das estimativas pode
ser uma importante ferramenta para o acesso a eficiencia do processo como um todo.
CAPITULO 2. ESTIMACAO DE PARAMETROS 41
A dispersao observada possui grande vantagem sobre os metodos teoricos de calculo
de confiabilidade de estimativas, uma vez que apresenta, na pratica, os reais intervalos
de confianca das estimativas. A grande desvantagem desta abordagem, entretanto, e a
necessidade de um grande numero de estimativas para que a analise venha a ter valor
estatıstico.
Outro ponto interessante a salientar, e que a dispersao observada, por si so, nao pode
ser tida como o unico instrumento de analise, pois as estimativas podem possuir baixa
dispersao, demonstrando acuidade no processo, mas em torno de um valor polarizado, de-
vido, principalmente, a erros de modelagem. E importante, nestes casos, que o julgamento
de engenharia seja utilizado para analisar se os valores das estimativas, mesmo possuindo
baixa dispersao, possuem significado fısico e condizem com valores de conhecimento a
priori.
2.3.4 Desigualdade de Cramer-Rao e Matriz de Informacao de
Fisher
A desigualdade de Cramer-Rao, assumindo a existencia de p (Y |θ) e que o estimador
e assintoticamente nao polarizado, define como o limite inferior para covariancia das esti-
mativas parametricas a inversa da matriz de informacao (LJUNG, 1987) (BALAKRISHNAN,
1968) (GOODWIN; PAYNE, 1977) (MAINE; ILIFF, 1981a), ou seja:
cov(θ)≥M (θ)−1 (2.13)
onde M e a matriz de informacao que, por definicao, e:
M (θ) = E {[∇θ ln p (Y |θ)] [∇θ ln p (Y |θ)]∗ |θ} (2.14)
Para mostrar que a inequacao (2.13) e verdadeira, deve-se lancar mao do seguinte
Lema (MAINE; ILIFF, 1985): tendo x e y como dois vetores aleatorios, sabe-se que:
E {xx∗} ≥ E {xy∗} [E {yy∗}]−1E {yx∗} (2.15)
CAPITULO 2. ESTIMACAO DE PARAMETROS 42
A partir de (2.15), sabendo-se que θ e uma funcao de Y e fazendo-se com que:
x = θ(Y )− θ (2.16)
y = ∇θ ln p (Y |θ) (2.17)
Tem-se:
E {xy∗|θ} = E{(θ (Y )− θ
)[∇θ ln p (Y |θ)]∗ |θ
}(2.18)
E {xy∗|θ} =
∞∫−∞
(θ (Y )− θ
)[∇θ ln p (Y |θ)]∗p (Y |θ) dY (2.19)
Sabendo-se que:
∇θ ln p(Y |θ) =∇θp(Y |θ)p(Y |θ)
(2.20)
e que, da definicao de densidade de probabilidade,∞∫−∞
p (Y |θ) dY e igual a I, tem-se:
E {xy∗|θ} =
∞∫−∞
(θ(Y )− θ
) [∇θp(Y |θ)p(Y |θ)
]∗p(Y |θ)dY (2.21)
E {xy∗|θ} =
∞∫−∞
(θ(Y )− θ
)[∇∗
θp(Y |θ)] dY (2.22)
Fazendo-se a expansao da integral acima, chega-se a:
E {xy∗|θ} =
∞∫−∞
θ(Y ) [∇∗θp(Y |θ)] dY −
∞∫−∞
θ [∇∗θp(Y |θ)] dY (2.23)
Uma vez que θ e apenas funcao de Y , o primeiro termo da expressao acima fica:
∞∫−∞
θ(Y ) [∇∗θp(Y |θ)] dY = ∇∗
θ
∞∫−∞
θ(Y )p(Y |θ)dY = ∇∗θE
{θ(Y )|θ
}(2.24)
CAPITULO 2. ESTIMACAO DE PARAMETROS 43
Da definicao de polarizacao, onde b(θ) = E{θ(Y )|θ
}− θ, observa-se que:
θ + b(θ) = E{θ(Y )|θ
}(2.25)
e:
∇θ [θ + b(θ)] = ∇θ
[E
{θ(Y )|θ
}](2.26)
Logo:
∞∫−∞
θ(Y ) [∇∗θp(Y |θ)] dY = ∇∗
θ [θ + b(θ)] = I +∇∗θb(θ) (2.27)
Passando agora a analisar o segundo termo da equacao 2.23, tem-se:
−∞∫
−∞
θ [∇∗θp(Y |θ)] dY = −θ∇∗
θ
∞∫−∞
p(Y |θ)dY = −θ∇∗θI = 0 (2.28)
uma vez que θ nao e funcao de Y. Assim sendo, substituindo-se (2.27) e (2.28) na equacao
(2.23), tem-se:
E {xy∗|θ} = I +∇θb(θ) (2.29)
Por definicao, tem-se que a matriz de informacao e:
M(θ) ≡ E {(∇θ ln [p(Y |θ)]) (∇∗θ ln [p(Y |θ)]) |θ} (2.30)
Que, para este caso, equivale aE{yyT |θ
}. Alem disso, E
{xyT
}= E
{yxT
}. Substituindo-
se, portanto, (2.29) e (2.30) no lema (2.15), tem-se:
cov(θ)
= E{(θ − θ
) (θ − θ
)∗|θ
}≥ [I +∇θb (θ)]M (θ)−1 [I +∇θb (θ)]∗ (2.31)
A equacao acima denota a desigualdade de Cramer-Rao para estimadores com po-
CAPITULO 2. ESTIMACAO DE PARAMETROS 44
larizacao finita. Para estimadores assintoticamente nao polarizados, entretanto, pode-se
assumir que:
cov(θ)≥M (θ)−1 (2.32)
A desigualdade acima e verdadeira apenas para estimadores assintoticamente nao po-
larizados, tais como o estimador por maxima verossimilhanca. Alem disso, por definicao,
para que a igualdade em (2.32) exista, o estimador deve ser eficiente. Sao raros os
estimadores eficientes; e possıvel, entretanto, demonstrar que o estimador por maxima
verossimilhanca, para grandes perıodos de dados temporais, o e. E importante salientar
tambem que, para o sistema descrito em (2.1) - (2.5), considerando (2.10) e tendo em
mente que ym nao e funcao de θ , a matriz de informacao pode ser descrita por (MAINE;
ILIFF, 1981a)(MAINE; ILIFF, 1985)(MORELLI, 1990):
M =
[N∑
i=1
∂y (i)
∂θ
∗
R−1∂y (i)
∂θ
](2.33)
A matriz de informacao na forma (2.33) sera largamente utilizada neste estudo para
compor os criterios de desenvolvimento e otimizacao de manobras de ensaios em voo para
estimacao de derivadas de estabilidade e controle de aeronaves.
2.3.5 Correcao do Calculo das Covariancias para a Presenca de
Ruıdo Colorido nas Variaveis de Medida
O acesso aos nıveis de incerteza de estimativa por maxima verossimilhanca sao, tradi-
cionalmente, obtidos atraves da matriz de informacao de Fisher e da desigualdade de
Cramer-Rao, conforme discutido anteriormente.
Em trabalhos anteriores (ILIFF; MAINE, 1976), entretanto, nota-se grande desconforto
com estas abordagens, uma vez que os nıveis de incerteza de estimativas parametricas
oriundas de dados de ensaios em voo e calculados da forma tradicional se mostraram
muito otimistas, nao representando adequadamente a dispersao observada nas estimativas.
Propunha-se entao, sem abordagem formal, a utilizacao de um fator de correcao entre 5
e 10 que, quando aplicado ao limite de Cramer-Rao, dava acesso aos nıveis corrigidos de
CAPITULO 2. ESTIMACAO DE PARAMETROS 45
incerteza. Este fator era altamente dependente do julgamento de engenharia.
Iliff e Maine (ILIFF; MAINE, 1977) (MAINE; ILIFF, 1981a) (MAINE; ILIFF, 1981b), de-
pois de extensa discussao, chegaram a conclusao que a discrepancia entre a dispersao
observada nas estimativas e os nıveis de incerteza calculados atraves dos limites infe-
riores de Cramer-Rao e causada pela introducao de resıduos coloridos nas variaveis de
medida. Nesta oportunidade ja foram propostas metodologias formais de correcao do cal-
culo dos intervalos de confianca. Posteriormente, Morelli e Klein (MORELLI; KLEIN, 1994)
voltaram a abordar o assunto. Os autores propuseram uma abordagem para correcao
mais abrangente do que aquela proposta por Iliff e Maine. Esta abordagem sera utilizada
neste estudo e introduzida nas tecnicas de desenvolvimento e otimizacao de manobras de
ensaios em voo para estimacao parametrica.
Observa-se, basicamente, que a discrepancia e oriunda da natureza do estimador por
maxima verossimilhanca e da teoria que envolve a determinacao da matriz de informacao.
O estimador por maxima verossimilhanca definido anteriormente, por sua natureza, nao
leva em consideracao resıduos coloridos. Esta hipotese tambem e levada em consideracao
na teoria que envolve o calculo da matriz de informacao de Fisher e, por conseguinte,
dos limites inferiores de Cramer-Rao (GOODWIN; PAYNE, 1977) (BALAKRISHNAN, 1968).
Geralmente, os limites de Cramer-Rao levam a nıveis de incerteza muito otimistas quando
os dados de ensaios em voo contem resıduos coloridos.
A tecnica desenvolvida por Morelli e Klein propoe a introducao de um termo que
considera a correlacao temporal dos resıduos de medida. Considerando-se que, quando a
estimativa dos parametros estiver proxima dos valores reais, a saıda preditiva pode ser
linearizada em relacao ao vetor de parametros:
y(i) = y(i) + S(i)(θ − θ
)(2.34)
onde S(i) e a matriz de sensibilidade das equacoes de saıda ao parametros do sistema:
S(i) =∂y(i)
∂θ
∣∣∣∣θ=θ
(2.35)
e y(i) denota o vetor de saıdas computado a partir do vetor de parametros estimados, θ,
no instante (i− 1)∆t e i = 1, 2, 3, ..., N .
CAPITULO 2. ESTIMACAO DE PARAMETROS 46
Pode-se, aplicando-se a equacao (2.34) na equacao (2.9) e fazendo-se o gradiente da
funcao custo em relacao ao vetor de parametros igual a zero, chegar a:
∇θJ(θ) = −N∑
i=1
S(i)∗R−1[ym(i)− y(i)− S(i)
(θ − θ
)](2.36)
A equacao (2.36) pode ser escrita da seguinte maneira:
∇θJ(θ) = −N∑
i=1
S(i)∗R−1 [ym(i)− y(i)] +N∑
i=1
S(i)∗R−1S(i)(θ − θ
)(2.37)
Resolvendo a (2.37) para(θ − θ
), tem-se:
∆θ ≡ θ − θ =
[N∑
i=1
S(i)∗R−1S(i)
]−1 N∑i=1
S(i)∗R−1 [ym(i)− y(i)] (2.38)
onde o resıduo pode ser definido como υ(i) = ym(i)− y(i). A covariancia das estimativas
pode ser expressa utilizando a equacao (2.39):
cov(θ)
= E{(θ − θ
) (θ − θ
)∗}= E
{N∑
i=1
N∑j=1
DS(i)∗R−1υ(i)υ(j)∗R−1S(j)D
}(2.39)
A matriz de sensibilidade, a matriz de dispersao e a matriz de covariancia do ruıdo
na equacao (2.39) sao oriundas da formulacao convencional do estimador por maxima
verossimilhanca (MLE). Se for assumido que a dependencia destes termos as estimativas
do MLE for desprezıvel, (2.39) pode ser reescrita:
cov(θ)
= D
[N∑
i=1
N∑j=1
S(i)∗R−1E {υ(i)υ(j)∗}R−1S(j)
]D (2.40)
Nota-se que, se o resıduo for considerado como gaussiano de media zero, E {υ(i)υ(j)∗} =
R · δij e a equacao 2.40 e reduzida a matriz de dispersao D.
CAPITULO 2. ESTIMACAO DE PARAMETROS 47
Para resıduos coloridos, entretanto, E{υ(i)υ(j)T
}pode ser estimada atraves da matriz
de autocorrelacao dos resıduos, definida por (BENDAT; PIERSON, 2000):
Rvv(k) =1
N
N∑i=1
υ(i)υ(i+ k)∗ = Rvv(−k) (2.41)
Desta maneira, a covariancia das estimativas com ruıdo colorido pode ser determinada
atraves de (2.40), aplicando-se (2.41), ou seja:
cov(θ)
= D
[N∑
i=1
S(i)∗R−1
N∑j=1
Rvv(i− j)R−1S(j)
]D (2.42)
A equacao (2.42) e a aplicacao proposta em (MORELLI; KLEIN, 1994) para a correcao
do calculo dos intervalos de confianca quando ocorrer resıduos coloridos nos dados. Esta
tecnica pode ser aplicada no pos-processamento dos resultados das estimativas por maxi-
ma verossimilhanca, nao interferindo diretamente no algoritmo de estimacao.
A tecnica de desenvolvimento e otimizacao de manobras de ensaios em voo para esti-
macao parametrica apresentada neste estudo leva em consideracao resıduos coloridos. A
correcao nos criterios de otimizacao e feita atraves da inclusao da equacao 2.42 na funcao
custo, considerando que Rvv compoe o modelo de conhecimento a priori. Isto sera visto
com maiores detalhes no capıtulo 4.
Capıtulo 3
Manobras de Ensaios em Voo Para
Estimacao Parametrica
3.1 Introducao
A otimizacao dos sinais de excitacao para manobras de ensaios em voo para estimacao
parametrica assume que existe uma estrutura de modelo dinamico conhecida atraves da
fısica do processo. Esta estrutura deve conter os parametros estimados a priori e as
caracterısticas do modelo de medida. Tambem e conveniente assumir que a estimacao se
faz atraves de um estimador assintoticamente nao polarizado e eficiente.
A acuidade das estimacoes pode ser acessada atraves do desvio-padrao das mesmas.
De acordo com o demonstrado no capıtulo 2, o limite inferior teorico para o desvio padrao
das estimativas depende apenas do conteudo de informacao dos dados de ensaios em voo.
Estes limites sao chamados de limites inferiores de Cramer-Rao e sao independentes do
algoritmo de estimacao utilizado.
O criterio utilizado para otimizacao leva em conta, portanto, os limites inferiores
de Cramer-Rao. Desta maneira, sabe-se que o experimento esta sendo desenvolvido de
maneira que a acuidade das estimativas seja maximizada. Algumas abordagens indiretas
podem ser utilizadas para, de certa forma, encontrar sinais de excitacao que minimizem
os limites de Cramer-Rao, principalmente, no domınio da frequencia (MULDER; BREE-
MAN, 1994)(MARCHAND, 1977). Neste caso, a ideia e utilizar sinais de ondas quadradas
CAPITULO 3. MANOBRAS DE ENSAIOS EM VOO 49
pre-estabelecidos (doublet, 2-1-1, 3-2-1-1) e sintoniza-los de maneira a maximizar a densi-
dade espectral de potencia dos mesmos nas frequencias proximas aos modos naturais do
sistema dinamico em estudo. Desta maneira, espera-se aumentar os nıveis de excitacao
do sistema, o que vem a ocasionar o aumento da sensibilidade das equacoes de saıda aos
parametros do modelo e, indiretamente, reduzir os limites de Cramer-Rao.
Por outro lado, pode-se buscar diretamente a minimizacao dos limites de Cramer-Rao
em funcao do sinal de excitacao. Esta abordagem ja foi feita em trabalhos anteriores
(STEPNER; MEHRA, 1973) (GUPTA; JR., 1975) (MEHRA, 1974b) (MEHRA, 1974a) (MUL-
DER; BREEMAN, 1994). Nestas oportunidades, os autores geralmente utilizaram sistemas
lineares para pequenas perturbacoes. Para a composicao dos criterios de otimizacao, al-
guma norma da matriz de informacao, denotada por M , foi utilizada. Em alguns casos,
a maximizacao do traco de M , ou do determinante de M foram utilizados. Da mesma
forma, verifica-se a minimizacao do traco de M−1 ou do determinante de M−1, entre
outras normas. Independentemente da norma utilizada, todos os criterios buscavam a
minimizacao dos limites inferiores de Cramer-Rao para a estimativa dos parametros.
Geralmente se observa que em um sistema dinamico existem parametros ou grupos
de parametros de maior interesse, dependendo da aplicacao e das necessidades do usuario
final da estimacao parametrica. Neste sentido, tambem se observa a utilizacao de uma
matriz de ponderacao, a qual possibilita a otimizacao de um sinal de excitacao para
melhorar o acesso a parametros julgados de maior interesse.
Todos os trabalhos citados acima nao se preocuparam em introduzir nos criterios de
otimizacao o tempo de realizacao da manobra de ensaio. O tempo disponıvel era mantido
fixo, escolhido atraves da experiencia e do julgamento de engenharia. O primeiro a abordar
este problema e colocar o tempo de realizacao do sinal de excitacao na funcao custo, no
sentido de minimiza-lo, foi Chen (CHEN, 1975). Posteriormente, Morelli (MORELLI, 1990)
tambem buscou a otimizacao de manobras com o menor tempo possıvel. Neste caso, o
criterio de otimizacao e composto por valores objetivos para os limites de Cramer-Rao e
pelo tempo de aplicacao do sinal de excitacao. Ou seja, os limites de Cramer-Rao sao
minimizados ate um certo valor e o tempo de aplicacao e reduzido ao maximo. De certa
forma, esta abordagem elimina a necessidade da utilizacao de uma matriz de ponderacao,
pois especifica os objetivos para cada parametro. Estes objetivos devem ser determinados
CAPITULO 3. MANOBRAS DE ENSAIOS EM VOO 50
pelo usuario final da estimacao parametrica.
Quanto as restricoes impostas no processo de otimizacao, o mais encontrado nos tra-
balhos anteriores e a imposicao de restricoes a amplitude e a energia do sinal de excitacao.
Esta abordagem permite o acesso indireto a limitacao das variaveis de saıda. No trabalho
de Morelli, nota-se a preocupacao de restringir diretamente as variaveis de saıda, uma vez
que estas sao de fundamental importancia para a manutencao do experimento dentro dos
nıveis de seguranca e para o respeito as hipoteses assumidas no modelo matematico. A
imposicao de restricoes indiretas as variaveis de saıda atraves da limitacao da energia e
da amplitude do sinal de excitacao facilita consideravelmente o processo de otimizacao e
diminui o custo computacional do mesmo. Com esta abordagem, entretanto, o processo
se torna dependente da analise das saıdas a posteriori e consequente verificacao quanto
ao respeito das restricoes indiretas.
Outro ponto interessante de salientar e quanto ao tipo de sinais de excitacao leva-
dos em consideracao. Em alguns casos, os sinais de excitacao otimizados sao gerados
atraves de funcoes contınuas (MEHRA, 1974b) (STEPNER; MEHRA, 1973) (GUPTA; JR.,
1975), geralmente senoidais. Em outros trabalhos, os sinais otimizados sao compostos de
ondas quadradas (MORELLI, 1990). Os sinais de ondas quadradas apresentam vantagens
no que tange a facilidade de implementacao. Alem disso, sinais de ondas quadradas apre-
sentam espectros de frequencia mais abrangentes do que sinais senoidais, principalmente
considerando o tempo de aplicacao dos mesmos. Esta caracterıstica facilita a estimacao
parametrica, pois possibilita a excitacao mais abrangente de modos naturais dos sistemas
em estudo.
Quanto ao modelo de medida, todos os trabalhos anteriores assumem que o ruıdo que
contamina as variaveis medidas e Gaussiano de media zero e covariancia determinada por
uma matriz denotada, normalmente, por R. Nao foi verificado nenhum tipo de abordagem
para desenvolvimento e otimizacao de sinais de excitacao para experimentos objetivando
estimacao parametrica que levassem em consideracao resıduos coloridos nas variaveis de
medida. Sinais de excitacao gerados atraves de modelos que nao possuem resıduos colori-
dos nas variaveis de medida, podem ser ineficientes no acesso a problemas reais, os quais
frequentemente sao afetados por fenomenos que causam a contaminacao de variaveis de
medida com ruıdos coloridos. A desconsideracao de resıduos coloridos certamente oca-
CAPITULO 3. MANOBRAS DE ENSAIOS EM VOO 51
siona estimativas dos limites de Cramer-Rao demasiadamente otimistas, o que se torna
um problema, principalmente, quando a sinal de excitacao deve ser desenvolvido para
atender objetivos especıficos.
Nota-se, entre os trabalhos citados, que o trabalho de Morelli (MORELLI, 1990) apre-
senta caracterısticas de maior complexidade, abrangencia e aplicabilidade a problemas que
envolvem o desenvolvimento de sinais de excitacao para manobras de ensaios em voo para
estimacao parametrica. (A tecnica desenvolvida pelo referido autor acessa problemas de
desenvolvimento para multiplas entradas de excitacao, com a imposicao de restricoes as
variaveis de saıdas do sistema, para sistemas em malha fechada, no mınimo de tempo, se
preocupando com a implementabilidade dos sinais resultantes.) Alem disso, o algoritmo
de otimizacao implementado atraves de programacao dinamica permite solucoes globais.
Morelli, entretanto, nao considera resıduos coloridos nas variaveis de medida para o de-
senvolvimento de sinais de excitacao.
3.2 Formulacao do Problema e Criterio de Otimiza-
cao
Em geral, as tecnicas de desenvolvimento e otimizacao de manobras de ensaios em
voo para estimacao parametrica levam em consideracao sistemas lineares sob a teoria de
pequenas perturbacoes. Considera-se que os modelos dinamicos de aeronaves mostrados
nas equacoes (A.95-A.97) e (A.98-A.111) podem ser descritos por:
x = A (θ)x (t) +B (θ)u (t) (3.1)
x (0) = 0 (3.2)
y (t) = F (θ)x (t) +G (θ)u (t) (3.3)
ym = y (i) + υ (i) (3.4)
onde o vetor de estado x tem dimensao nx, o vetor de saıdas y tem dimensao ny, o vetor
de entradas u tem dimensao nu, e as matrizes A, B, F e G sao funcoes do vetor de
parametros do modelo, θ, de dimensao nθ.
CAPITULO 3. MANOBRAS DE ENSAIOS EM VOO 52
E assumido que o sistema de aquisicao de dados contamina o vetor de variaveis de
medida, ym, com o ruıdo Gaussiano υ (i), cuja media e zero e a covariancia determinada
pela matriz R, ou seja:
E {υ (i)} = 0 (3.5)
E {υ (i) υ (j)∗} = R · δij (3.6)
Onde i = 1, 2, 3, ..., N e j = 1, 2, 3, ..., N , com N sendo o numero de pontos do vetor de
variaveis de medida.
O criterio de desenvolvimento e otimizacao pode levar em consideracao a matriz de
dispersao, abordada no capıtulo 2, a qual e definida como:
D = M−1 (3.7)
onde:
M =N∑
i=1
S∗iR−1Si (3.8)
e:
Si =∂yl (i)
∂θk
(3.9)
Com l = 1, 2, 3, ..., ny e k = 1, 2, 3, ..., nθ.
A sensibilidade da n-esima saıda aos parametros do modelo esta na n-esima linha
da matriz S. Da mesma forma, a sensibilidade das saıdas ao n-esimo parametro aparece
na n-esima coluna de S. A matriz de sensibilidade e obtida atraves da diferenciacao das
equacoes de saıda em funcao dos parametros do modelo:
d
dt
[∂x
∂θk
]= A
∂x
∂θk
+∂A
∂θk
x+∂B
∂θk
u (3.10)
∂x
∂θk
(0) = 0 (3.11)
CAPITULO 3. MANOBRAS DE ENSAIOS EM VOO 53
[∂y
∂θk
]= F
∂x
∂θk
+∂F
∂θk
x+∂G
∂θk
u (3.12)
Onde k = 1, 2, 3, ..., nθ.
As equacoes (3.10) - (3.12) sao oriundas da diferenciacao parcial das equacoes (3.1) -
(3.3) em relacao ao vetor de parametros do modelo. Observa-se a partir de (3.10) - (3.12)
que a sensibilidade das equacoes de saıda aos parametros do modelo sao influenciadas
pelo vetor de entradas de controle, u, tanto diretamente, como funcao forcante das saıdas,
quanto indiretamente, atraves dos estados.
Os limites inferiores para a covariancia dos parametros sao computados a partir da
diagonal principal da matriz D da seguinte maneira:
covk = dkk (3.13)
onde k = 1, 2, 3, ..., nθ.
O desvio padrao para a estimativa de cada parametro e, portanto:
σk =√covk =
√dkk (3.14)
Onde d denota o elemento da matriz de dispersao.
Os limites inferiores para a covariancia das estimativas, ou para o desvio-padrao das
mesmas, podem ser minimizados em funcao dos sinais de excitacao. Conforme sera visto
mais a frente, isso pode ser feito diretamente, atraves da formulacao do problema de
otimizacao, ou indiretamente, atraves da analise dos sinais de excitacao no domınio da
frequencia.
3.2.1 Consideracao de resıduos coloridos no modelo de conhec-
imento a priori do sistema de aquisicao de dados
Conforme mostrado no capıtulo 2, os limites inferiores de Cramer-Rao calculados a
partir da matriz de informacao nao levam em conta resıduos coloridos nas variaveis de
medida. Geralmente, quando o problema de estimacao parametrica de aeronaves passa
CAPITULO 3. MANOBRAS DE ENSAIOS EM VOO 54
a ser tratado com dados reais de ensaios em voo, o calculo dos limites de Cramer-Rao,
desconsiderando resıduos coloridos nas variaveis de medida, e extremamente otimista no
acesso a confiabilidade das estimativas. Para o desenvolvimento de experimentos que pos-
suem necessidades e objetivos claros quanto aos limites de Cramer-Rao, e extremamente
importante que se tenha acesso direto a dispersao das estimativas que realmente se deve
esperar.
Nesta secao, sera mostrado como a tecnica proposta por Morelli e Klein (MORELLI;
KLEIN, 1994) para a correcao do calculo da covariancia quando houver resıduo colorido nas
variaveis de medida pode ser introduzida no algoritmo de desenvolvimento e otimizacao
de sinais de excitacao para manobras de ensaios em voo para estimacao parametrica.
De acordo com a equacao (2.42), a covariancia das estimativas parametricas levando
em consideracao a existencia de resıduos coloridos nas variaveis de medida e dada por:
cov(θ)
= Dcol = D
[N∑
i=1
S(i)∗R−1
N∑j=1
Rvv(i− j)R−1S(j)
]D (3.15)
Na equacao (3.15), a matriz de autocorrelacao dos resıduos de medida, Rvv, e tida
como parte do modelo de conhecimento a priori do sistema de aquisicao de dados, e deve
ser informada para o calculo da funcao custo.
3.2.2 Composicao da Funcao de Aptidao
A funcao custo para o procedimento de otimizacao dos sinais de excitacao para esti-
macao parametrica deve levar em consideracao a covariancia das estimativas parametricas.
Algumas normas da matriz D (ou Dcol) podem ser utilizadas. Em trabalhos anteriores ,
foram utilizadas, basicamente, normas contendo o traco ou o determinante da matriz de
covariancia. Neste estudo, o traco da matriz de covariancia foi uma das opcoes conside-
radas para selecao da funcao de aptidao:
J = tr[D] (3.16)
A funcao (3.16) leva em consideracao todos os parametros do modelo sem ponde-
racoes. E interessante, entretanto, considerar que em alguns casos existe a necessidade
CAPITULO 3. MANOBRAS DE ENSAIOS EM VOO 55
de otimizacao de sinais de excitacao para a estimacao de apenas um parametro, ou de
um grupo de parametros. Este problema pode ser acessado atraves da utilizacao de
uma matriz de ponderacao, W , a qual possibilita a atribuicao de maior peso a certos
parametros que, eventualmente, necessitem ou venham a ser de maior interesse no processo
de estimacao, 3.17.
J = tr[WD] (3.17)
Este instrumento e bastante importante para o desenvolvimento e otimizacao de manobras
de ensaios em voo para estimacao parametrica, pois nos modelos dinamicos de aeronaves
existem parametros aos quais as equacoes de saıda sao muito sensıveis, ao passo que
tambem existem parametros cuja sensibilidade das equacoes de saıda e extremamente
reduzida. Desta maneira, caso haja necessidade de acesso a parametros cuja influencia
nas equacoes de saıda seja reduzida, pode-se atribuir maior peso aos mesmos, sem que a
otimizacao do sinal de excitacao deixe de considerar o restante dos parametros do modelo.
O problema descrito acima pode ser agravado pelo fato de que a funcao de aptidao,
tanto da equacao (3.16), quanto na equacao (3.17), e formada pelas covariancias absolutas,
o que significa que se existir um parametro, consideravelmente, menor que outro, o mesmo
sera prejudicado, mesmo que seja de forte interesse. Para se amenizar este problema, pode-
se utilizar um valor relativo do desvio padrao da estimativa em funcao do valor de cada
parametro do modelo a priori:
J =
nθ∑k=1
σk
θk
(3.18)
A funcao de aptidao (3.18) pode ser utilizada em conjunto com a matriz de ponderacao
W . Desta maneira, a ponderacao recebe maior sentido, pois realmente consegue atuar
aumentando a importancia de parametros de maior interesse.
A minimizacao das funcoes (3.16), (3.17) e (3.18) configuram um problema de apenas
um objetivo: a maxima reducao das covariancias. Pode-se utilizar uma funcao multi-
objetivo, no entanto, que possibilite a selecao de objetivos diferentes para cada parametro
de interesse. Neste caso, a funcao custo implementada e:
CAPITULO 3. MANOBRAS DE ENSAIOS EM VOO 56
J =
nθ∑k=1
σk
θk
− ςk (3.19)
A utilizacao de multi-objetivos ganha especial importancia quando e de interesse mini-
mizar o tempo de execucao da manobra (MORELLI, 1990). Esta abordagem faz com que
o sinal otimizado seja aquele com o mınimo perıodo de execucao, T , e que atinge os
objetivos estabelecidos. Para isso, a funcao de aptidao (3.19) deve ser implementada em
conjunto com:
J = T (3.20)
quando σk
θk≤ ςk para todo k.
3.2.3 Restricoes
Trabalhos anteriores normalmente tratavam as restricoes para o procedimento de
otimizacao de sinais de excitacao para manobras de ensaios em voo atraves da limitacao
da energia do sinal de entrada:
T∫0
u(t)∗u(t)dt = ε (3.21)
onde T e o perıodo de aplicacao do sinal. O valor maximo da energia do sinal de entrada,
ε, normalmente era escolhido atraves de experiencias previas e por tentativa e erro.
A restricao imposta atraves de (3.21) e indireta, pois, na pratica, o que realmente
possui limitacoes operacionais e matematicas sao as amplitudes das entradas de controle
e das variaveis de saıda. Sendo, assim, mais interessante aplicar restricoes que levem em
consideracao, diretamente, os batentes das deflexoes das superfıcies de controle, as limi-
tacoes da malha de controle, as limitacoes do envelope operacional de voo, e as limitacoes
dos modelos matematicos assumidos nos algoritmos de estimacao de parametros. Estas
restricoes podem ser atendidas da seguinte maneira:
|uj(t)| ≤ µj (3.22)
CAPITULO 3. MANOBRAS DE ENSAIOS EM VOO 57
onde j = 1, 2, 3, ..., nu e:
|yl(t)| ≤ γl (3.23)
onde l = 1, 2, 3, ..., ny.
As restricoes colocadas nas formas (3.22) e (3.23) possibilitam o acesso direto a via-
bilidade e seguranca de execucao do ensaio resultante, pois garante que todas as entradas
e saıdas estarao dentro dos limites especificados.
Outra restricao muito importante a ser levada em consideracao e o tempo mınimo que
devera ser respeitado entre os instantes de comutacao. Principalmente quando o sinal
de excitacao sera aplicado manualmente pelo piloto, e necessario que o intervalo entre as
mudancas de tudo positivo para tudo negativo, ou vice-versa, seja adequado. A imple-
mentacao desta restricao sera tratada, mais detalhadamente, no decorrer da apresentacao
do algoritmo de otimizacao.
3.3 Abordagem Para Especificacao de Sinais de Ex-
citacao no Domınio da Frequencia
Sinais de excitacao para estimacao de parametros aerodinamicos podem ser especifica-
dos atraves de analises no domınio da frequencia (MULDER; BREEMAN, 1994)(MARCHAND,
1977). Esta abordagem e bastante simples e tira proveito de sinais com caracterısticas pre-
viamente estabelecidas, sinais tambem chamados nestes estudo de sinais convencionais. Os
sinais convencionais sao tradicionalmente conhecidos na literatura, como pulsos, doublets,
3-2-1-1. Estes sinais tem sido amplamente utilizados em experimentos de identificacao de
sistemas e possuem uma concepcao bastante simples. Considerando, por exemplo, que o
Doublet(1-1) possui um perıodo de 2δt, figura 3.1, os instantes de comutacao sao definidos
como segue: 1δt, 2δt. Assim sendo, verifica-se que os sinais convencionais sao definidos
por apenas duas variaveis: sua amplitude, e seu δt.
E atraves do valor de δt que os sinais de entrada convencionais devem ser sintonizados
para disponibilizarem o maximo de energia na frequencia natural da dinamica de interesse.
Esta analise deve ser feita atraves da densidade espectral de potencia dos sinais para
CAPITULO 3. MANOBRAS DE ENSAIOS EM VOO 58
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Am
plitu
de
tempo [δt]
δt
δt
Figura 3.1: Sinal de excitacao tipo duble
diferentes valores de δt.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
1
2
3
4
5
6
PS
D
Frequencia [rad/s]
δt = 0.5
δt = 0.9
δt = 1.3
δt = 1.7
δt = 2.1
δt = 2.5
Figura 3.2: PSD para dubles com diferentes valores de δt
No grafico acima, figura 3.2, estao mostradas seis curvas de densidade espectral de
CAPITULO 3. MANOBRAS DE ENSAIOS EM VOO 59
potencia para o sinal duble. Cada uma para um valor diferente de δt (entre 0.5 e 2.5
segundos). Claramente nota-se que a energia dos sinais passa a ser concentrada em uma
frequencia de pico. Para a especificacao de uma entrada de excitacao com esta abordagem,
o δt escolhido deve ser aquele que maximiza a densidade espectral do sinal convencional
na frequencia de interesse.
Caso a frequencia de interesse estiver em torno de 1.0 rad/s, por exemplo, o sinal
mais apropriado, ou que mais energia oferece, e o de δt = 2.5s. Em contra partida, se
a frequencia de interesse for 3.0 rad/s, o sinal mais indicado passa a ser o de δt = 0.9s.
Basicamente, esta e uma analise que pode ser feita para a especificacao de sinais de
excitacao convencionais. Vale salientar que esta sintonia e de suma importancia para
garantir a identificabilidade dos parametros envolvidos no processo.
Deve-se enfatizar que atraves desta abordagem os parametros que se encontram em
B,F e G nao sao levados em consideracao, uma vez que a frequencia natural do sistema
depende apenas de matriz A. Alem disso, as restricoes que eventualmente devem ser
impostas a especificacao do sinal de excitacao deverao ser verificadas a posteriori. Em um
procedimento iterativo que permita retornar a analise acima para especificar novos sinais
caso houver algum desrespeito das restricoes.
3.4 Algoritmo Genetico de Otimizacao
Nos anos 50 e 60, muitos pesquisadores se concentraram em simulacoes computacionais
de sistemas geneticos. Neste contexto, John Holland (HOLLAND, 1975) apresentou traba-
lhos de maior impacto, vindo a idealizar o algoritmo genetico na decada de 70, baseando-se
em princıpios da evolucao e selecao natural propostos por Charles Darwin no seculo 17
(DARWIN, 1859). Mais tarde, em meados da decada de 80, David Goldberg (GOLDBERG,
1989) aplicou com sucesso o algoritmo genetico em problemas de busca e otimizacao.
O algoritmo genetico utiliza conceitos trazidos das ciencias biologicas, tais como: popu-
lacao, indivıduo, adaptacao, migracao e aptidao ao meio, entre outros. O seu funciona-
mento baseia-se na evolucao e selecao natural das especies de acordo com a aptidao dos
indivıduos ao meio. Partindo-se de uma populacao pre-estabelecida, sao realizados casa-
mentos e cruzamentos, os quais geram novos indivıduos que irao compor uma nova geracao.
CAPITULO 3. MANOBRAS DE ENSAIOS EM VOO 60
A selecao dos indivıduos que permanecem ou nao, e que reproduzem ou nao, e feita de
acordo com sua aptidao ao meio. Isto e, os indivıduos que possuem maior aptidao pos-
suem maiores chances de permanecerem para novas geracoes e de reproduzirem, gerando
descendentes que carregarao suas cargas geneticas. Os novos indivıduos podem entao en-
trar em competicao natural com seus antepassados. Outro instrumento natural observado
e a mutacao, ou seja, os genes dos indivıduos de uma populacao podem sofrer alteracoes.
Basicamente, o algoritmo genetico trabalha no sentido de melhorar ao maximo a genetica
dos indivıduos que compoe a populacao, conduzindo, atraves de migracoes, cruzamentos
e mutacoes, as caracterısticas geneticas dos mesmos para aumentar sua aptidao ao meio.
A aptidao de um indivıduo pode ser calculada a partir de uma funcao objetivo. A
funcao objetivo pode representar o meio natural e os indivıduos mais aptos a sobreviver
e reproduzir seriam aqueles que a maximizassem ou a minimizassem. Cada indivıduo
representa um ponto no espaco de busca, e os seus genes representam cada variavel da
funcao custo incluıda no espaco de busca multi-dimensional.
O algoritmo genetico utiliza, alem de operadores logicos e determinısticos, operadores
estocasticos, os quais podem conduzir o processo de otimizacao por diferentes camin-
hos. Alem disso, o algoritmo genetico nao necessita de informacoes complementares para
realizar sua busca, tais como as derivadas da funcao objetivo.
Alguns conceitos e nomenclaturas utilizadas no algoritmo genetico devem ficar claros.
Normalmente, a funcao custo e chamada de funcao de aptidao. A funcao de aptidao e
a funcao que se quer minimizar. Outro conceito utilizado e o conceito de indivıduo. No
algoritmo genetico, indivıduo e qualquer ponto no espaco de busca em que a funcao custo e
avaliada. O indivıduo e um vetor, cuja dimensao e igual ao numero de variaveis da funcao
custo. Cada indivıduo possui um escore, o qual e o valor da funcao custo avaliada no
respectivo ponto. Em alguns casos, o indivıduo e chamado de genoma, e seus elementos
de genes. Os indivıduos compoem a populacao. A populacao e representada por uma
matriz, na qual cada indivıduo ocupa uma linha. Em alguns casos, subpopulacoes podem
ser utilizadas. Quando isso acontecer, os indivıduos das subpopulacoes podem migrar
entre as mesmas. A cada interacao, o algoritmo genetico realiza diversas operacoes na
populacao atual no sentido de produzir uma nova populacao. Cada nova populacao pode
ser chamada de nova geracao.
CAPITULO 3. MANOBRAS DE ENSAIOS EM VOO 61
Outro conceito muito importante e o conceito de diversidade. A diversidade em um
algoritmo genetico pode ser acessada atraves da distancia media entre os indivıduos de
uma mesma populacao. A diversidade e essencial em algoritmos geneticos, uma vez que
define a abrangencia do espaco de busca.
O escore de cada indivıduo de uma populacao e utilizado para selecionar os indivıduos
da populacao atual que irao proporcionar a composicao da nova geracao. Os indivıduos
selecionados sao chamadas de parentes e os indivıduos da nova geracao sao chamados de
indivıduos novos, ou children. Normalmente, os parentes sao aqueles que obtiveram os
melhores escores.
O funcionamento de um algoritmo genetico e interativo, ou seja, a solucao e buscada
atraves de diversas interacoes do mesmo processo. Neste caso, o processo pode ser dividido
em quatro etapas basicas:
• Populacao inicial: a populacao inicial deve ser criada com o auxılio de operadores
estocasticos. Deve-se levar em consideracao, entretanto, criterios de conhecimento a
priori do problema, os quais possibilitam que os indivıduos da populacao inicial nao
extrapolem, por exemplo, restricoes do problema. E importante se ter em mente
que o algoritmo genetico proporcionara uma busca tao global quanto diversa for a
populacao inicial;
• Avaliacao da aptidao dos indivıduos: depois de composta a populacao inicial,
a aptidao de seus indivıduos e avaliada segundo os criterios introduzidos na funcao
custo. Feito isso, sao atribuıdos escores a cada indivıduo;
• Migracao: caso houver sub-populacoes, os indivıduos mais aptos de uma sub-
populacao migram para outras sub-populacoes, tomando o lugar de indivıduos menos
aptos;
• Selecao dos parentes: a selecao dos parentes que passarao pelos processos de
reproducao e feita segundo criterios pre-definidos que levam em consideracao o escore
de cada indivıduo. Geralmente, os indivıduos com melhor escore possuem mais
condicoes de sobreviver e reproduzir;
• Reproducao: depois de selecionados os parentes, os mesmos sao submetidos aos
operadores de cruzamento e mutacao para que a nova populacao seja gerada. Alem
CAPITULO 3. MANOBRAS DE ENSAIOS EM VOO 62
disso, pode-se selecionar os parentes mais aptos para, automaticamente, sobre-
viverem para a proxima geracao.
A seguir serao mostrados os principais aspectos a respeito das etapas do funcionamento
do algoritmo genetico. Em paralelo, sera mostrado como a aplicacao deste algoritmo foi
feita para solucionar o problema de otimizacao de sinais de excitacao para manobras de
ensaios em voo para estimacao parametrica.
3.4.1 Populacao Inicial
No presente trabalho, considera-se que os sinais de excitacao sao ondas quadradas
do tipo bang-bang, ou seja, ou tudo positivo, ou tudo negativo, ou zero. Este tipo de
sinal pode ser completamente determinado atraves de uma amplitude e dos seus instantes
de comutacao. Os instantes de comutacao sao os instantes de tempo em que as trocas
entre tudo positivo, tudo negativo ou zero sao feitas. Estes sinais serao separados em
dois grupos: sinais convencionais ou previamente estabelecidos, e sinais otimizados. Os
sinais convencionais ja foram abordados anteriormente considerando a analise no domınio
da frequencia. A especificacao dos sinais convencionais pode ser colocada na forma do
problema de otimizacao proposto neste estudo ao inves de ser tratada no domınio da
frequencia. As variaveis de projeto, neste caso, seriam apenas duas: a amplitude do sinal,
e seu δt. Neste estudo, entretanto, sera enfatizado um tipo de sinal cujos instantes de
comutacao sao definidos explicitamente, o que ocasiona maior complexidade, mas tambem
maior flexibilidade para o tratamento de problemas mais complexos, figura 3.3.
O tratamento dos sinais convencionais atraves do problema de otimizacao colocado
anteriormente e bastante simples, pois basta a especificacao de duas variaveis. Esta abor-
dagem pode ter grande utilidade, principalmente, quando o custo computacional envolvido
no procedimento de otimizacao de sinais de excitacao para manobras de ensaios em voo
para estimacao parametrica e relevante, como em aplicacoes de estimacao em voo e em
tempo real.
A abordagem de sinais com instantes de comutacao explicitamente definidos pode
tornar o problema de otimizacao mais complexo, pois o numero de variaveis de projeto
e diretamente afetado pelo numero de instantes de comutacao escolhidos pelo usuario, o
CAPITULO 3. MANOBRAS DE ENSAIOS EM VOO 63
st_1 st_2 st_3 . . . st_n T
a
−a
tempo
ampl
itude
Sinal de ondas quadradas: definido pela amplitude e pelos switch times
Figura 3.3: Sinal de excitacao a ser otimizado
que acarreta maior custo computacional. Na otimizacao atraves do algoritmo genetico,
o primeiro passo seguido pelo algoritmo genetico e criar a populacao inicial. A geracao
da populacao inicial e feita utilizando-se operadores aleatorios, mas respeitando certas
restricoes e levando em consideracoes informacoes de conhecimento a priori. A populacao
inicial e de fundamental importancia para estabelecer a eficiencia do algoritmo genetico,
pois estabelece a diversidade do espaco de busca. Em primeiro lugar, deve-se definir
quantos indivıduos deverao ser incluıdos na populacao, ou em cada sub-populacao, caso
houver. A dimensao dos indivıduos e o numero de sub-populacoes deve ser definido. A
partir da populacao inicial, o algoritmo genetico trabalha no sentido de criar uma nova
geracao com o mesmo numero de indivıduos, os quais terao o mesmo numero de genes.
Os indivıduos, portanto, sao compostos pelos genes referentes a amplitude do sinal
e aos instantes de comutacao. Cada indivıduo da populacao e composto por (nst + 1)
genes, onde nst e o numero selecionado de switch times do sinal de excitacao. O primeiro
gene de cada indivıduo e a amplitude do sinal de excitacao e o restante sao os instantes de
comutacao. O i-esimo indivıduo da k-esima sub-populacao com nst instantes de comutacao
pode ser representado por:
Figura 3.4: Exemplo de Indivıduo
O numero de indivıduos que devem compor a populacao, ou cada sub-populacao,
CAPITULO 3. MANOBRAS DE ENSAIOS EM VOO 64
tambem deve ser selecionado. A populacao pode ser representada em um vetor multidi-
mensional, de dimensao nind × nst + 1× nsp, onde nind, nst e nsp correspondem, respecti-
vamente, ao numero de indivıduos, ao numero de instantes de comutacao e ao numero de
sub-populacoes. Vide figura 3.5.
Figura 3.5: Populacao
Inicialmente, os valores para a1,k, a2,k, a3,k, ..., anind,k sao gerados randomicamente res-
peitando o seguinte:
|ai,k| ≤ µ (3.24)
ou seja, os genes da populacao inicial referentes a amplitude do sinal devem respeitar as
restricoes.
Feito isso, sao gerados para cada indivıduo da populacao os genes referentes aos ins-
tantes de comutacao. Os instantes de comutacao da populacao inicial sao computados de
maneira que:
sti,1,k ≥ ∆st (3.25)
sti,j,k − sti,j−1,k ≥ ∆st (3.26)
As inequacoes (3.25) e (3.26) representam, de certa forma, uma restricao imposta a
CAPITULO 3. MANOBRAS DE ENSAIOS EM VOO 65
funcao de geracao da populacao inicial, pois, neste caso, ∆st determina a diferenca mınima
temporal entre os respectivos instantes de comutacao. O valor de ∆st deve ser selecionado
levando em consideracao a implementabilidade do sinal de excitacao resultante.
Existem outras duas restricoes que, quando necessarias, devem ser levadas em conside-
racao na funcao de geracao da populacao inicial, sao elas: variacao maxima das variaveis
de saıda, e tempo maximo de aplicacao do sinal de excitacao.
De acordo com (3.23), uma ou mais variaveis de saıda do sistema podem ser restringi-
das no processo de otimizacao dos sinais de excitacao. Estas restricoes devem ser levadas
em consideracao para a geracao da populacao inicial. Assim sendo, ha a necessidade de
integracao das equacoes dinamicas do modelo para cada sinal de entrada representados
por cada indivıduo.
Ao termino do processo de geracao da populacao inicial todos os indivıduos que serao
submetidos a avaliacao da funcao custo respeitam as restricoes impostas ao processo.
3.4.2 Novas Geracoes
Tendo criado a populacao inicial, o algoritmo genetico avalia os seus indivıduos em
relacao a funcao custo para determinar o escore individual. O escore e o valor numerico da
funcao custo atribuıdo para cada indivıduo. Os indivıduos que apresentarem os menores
escores demonstram maior aptidao a minimizar a funcao custo e terao maior probabilidade
de sobrevivencia e reproducao. O prosseguimento e dado com a substituicao de indivıduos
menos aptos de uma sub-populacao por indivıduos mais aptos de outra, operacao chamada
de migracao. Feito isso, os parentes sao selecionados e os criterios de reproducao sao
aplicados aos mesmos, criando uma nova populacao. Este processo e repetido ate que os
criterios de parada sejam atendidos.
A reproducao e, basicamente, feita atraves de tres instrumentos. O primeiro pode ser
chamado de elite. A elite e formada pelos indivıduos que apresentaram os melhores escores
dentro de uma populacao e que devem, automaticamente, sobreviver para a proxima
geracao, ou para a proxima populacao. O segundo instrumento pode ser tido como a
funcao de cruzamento. Esta funcao define como os parentes serao cruzados para gerar
novos indivıduos que irao compor a nova geracao. O terceiro instrumento e manifestado
CAPITULO 3. MANOBRAS DE ENSAIOS EM VOO 66
atraves da funcao de mutacao. Esta funcao aplica pequenas mudancas aos genes dos
parentes antes de gerar os novos indivıduos. E interessante ressaltar que todo o processo
de reproducao e realizado em cima dos parentes selecionadas de acordo com criterios que
levam em consideracao os escores individuais.
No presente trabalho, a elite representa entre 5 e 20% dos indivıduos mais aptos da
geracao atual. Estes indivıduos sao selecionados e automaticamente sobrevivem para a
proxima geracao. O restante dos indivıduos da nova geracao sao gerados a partir do
cruzamento dos parentes. O cruzamento dos parentes pode ser feito de varias formas.
Neste estudo, o cruzamento e realizado escalonadamente, ou a partir de um gene escolhido
randomicamente. No primeiro caso, a partir de um par de parentes:
Figura 3.6: Dupla de parentes selecionados para reproducao
e com o auxılio de um vetor binario criado randomicamente, como por exemplo:
Figura 3.7: Vetor binario utilizado para o cruzamento
o novo indivıduo e criado da seguinte forma:
Figura 3.8: Cruzamento escalonado
A operacao acima foi feita de maneira que os genes contendo o operador 1 no vetor
binario fossem associados com o primeiro pai e que os genes contendo o operador binario
0 fossem associados com o segundo pai. As combinacoes geneticas feitas entre os parentes
podem gerar novos descendentes mais bem adaptados ao meio. Esta melhora vem a
ser gradual com o passar das geracoes. O cruzamento, portanto, e um instrumento de
CAPITULO 3. MANOBRAS DE ENSAIOS EM VOO 67
aumento da aptidao da populacao ao meio, fazendo com que as futuras geracoes sejam mais
capazes de sobreviver e reproduzir. Este processo e semelhante ao processo de evolucao
biologica, cada vez mais os indivıduos se apresentam de forma mais adaptada ao meio.
Analogamente, os indivıduos sao cada vez mais capazes de reduzir a funcao custo.
Para o caso do cruzamento ser realizado a partir de um gene randomicamente sele-
cionado, tendo-se o par de parentes mostrado anteriormente, gera-se um numero randomico
que deve representar a posicao de um dos genes dos indivıduos (Desde que nao seja o
primeiro e nem o ultimo gene de cada indivıduo, para que nao seja configurada a opera-
cao de elite.). Este numero representa o numero do gene ate o qual o novo indivıduo sera
composto por genes do primeiro parente e a partir do qual o novo indivıduo sera composto
por genes do segundo indivıduo.
O terceiro instrumento de reproducao mencionado e a mutacao. As operacoes de
mutacao determinam pequenas mudancas geneticas nos indivıduos para prover diversidade
e possibilitar que o algoritmo genetico estabeleca um maior espaco amostral.
A estrategia de mutacao utilizada neste estudo adiciona valores aleatorios distribuı-
dos conforme uma distribuicao Gaussiana de media zero aos genes dos indivıduos. Esta
operacao e feita antes da reproducao de novos indivıduos, ou seja, ela e feita nos da-
dos geneticos dos parentes selecionados para reproducao. A covariancia da distribuicao
utilizada para mutacao e determinada da seguinte maneira:
cov =
[1−
(gen
ngen
)](3.27)
Onde gen denota a geracao atual e ngen e o numero de geracoes a serem estudadas.
Este artifıcio faz com que a mutacao genetica seja diminuıda ao longo das geracoes.
E atraves destes tres instrumentos de reproducao - cruzamento, mutacao e elite -,
portanto, que o algoritmo genetico utilizado neste estudo procura a evolucao da especie a
partir da populacao inicial, a ideia basica dos mesmos pode ser verificada na figura 3.9.
Por fim, deve-se abordar alguns aspectos a respeito das operacoes de migracao. A
migracao ocorre quando o numero definido de sub-populacoes for maior que um. Quando
ocorre, indivıduos menos aptos de uma sub-populacao sao substituıdos por indivıduos
mais aptos de outra sub-populacao. Este operacao e feita de maneira que os indivıduos
CAPITULO 3. MANOBRAS DE ENSAIOS EM VOO 68
mais aptos nao sejam excluıdos de suas sub-populacoes originais. Neste estudo, a migracao
foi realizada em uma unica direcao, isto e, os indivıduos mais aptos da sub-populacao k
migram para a sub-populacao k + 1, e assim por diante.
Tambem deve ser definido um intervalo de migracao e a fracao de indivıduos de cada
sub-populacao que deve migrar. Se o intervalo de migracao for ∆gen, as migracoes ocor-
rerao de ∆gen em ∆gen geracoes.
A reproducao sera aplicada ate que algum criterio de parada seja alcancado. O criterio
de parada mais utilizado neste estudo e o numero maximo de geracoes. Desta maneira, o
algoritmo genetico e finalizado apenas quando o numero maximo de geracoes definido e
avaliado.
Figura 3.9: Instrumentos de Reproducao
3.4.3 Implementacao de Restricoes
A implementacao das restricoes neste trabalho e realizada atraves de uma funcao
chamada pelo algoritmo genetico apos a avaliacao de todos os indivıduos da populacao
atual. As restricoes sao impostas ou indiretamente na forma de penalidades no escore, ou
diretamente nas operacoes de reproducao, nao permitindo o nascimento de indivıduos que
nao respeitam as restricoes. As restricoes impostas na forma de penalidades resultam na
diminuicao das chances do indivıduo ser selecionado como parente e participar do processo
CAPITULO 3. MANOBRAS DE ENSAIOS EM VOO 69
de reproducao. Consequentemente, os genes do indivıduo penalizado nao farao parte dos
indivıduos da nova geracao.
As restricoes que se fazem necessarias no processo de otimizacao de sinais de excitacao
para manobras de ensaios em voo sao as seguintes:
• Limites de variacao das saıdas: esta restricao garante que o sinal de excitacao
resultante do processo de otimizacao nao causara variacoes das variaveis de saıda
que ultrapassem valores pre-estabelecidos;
• Limites de variacao da(s) deflexao(oes) de controle: esta restricao garante
que a deflexao das superfıcies de controle nao ultrapasse limites pre-estabelecidos;
• Intervalo mınimo entre instantes de comutacao: esta restricao garante que o
instante de comutacao imediatamente posterior tenha pelo menos o intervalo tem-
poral especificado por ∆st em relacao ao seu instante de comutacao antecessor. Esta
caracterıstica e bastante importante no que tange a implementabilidade do sinal de
excitacao resultante, uma vez que pode levar em conta o atraso ou a velocidade de
aplicacao do sinal de controle por parte do piloto ou de sistemas automaticos;
• Tempo maximo de aplicacao do sinal de excitacao: esta restricao garante
que o sinal de excitacao resultante seja aplicado em um tempo menor ou igual ao
tempo maximo pre-definido, denotado por T ;
A restricao na variacao das variaveis de saıda ocasiona a necessidade de integracao
das equacoes do movimento a cada novo processo de reproducao. Este processo e feito
para cada indivıduo da populacao e deve respeitar a relacao (3.23). Da mesma maneira,
a restricao das variaveis de entrada e feita de acordo com (3.22).
A restricao quanto ao intervalo mınimo entre os instantes de comutacao e feita de
acordo com:
δsti,1,k = sti,1,k ≥ ∆st (3.28)
δsti,j,k = sti,j,k − sti,j−1,k ≥ ∆st (3.29)
CAPITULO 3. MANOBRAS DE ENSAIOS EM VOO 70
Onde j = 2, 3, 4, ..., nst.
Na equacao acima, ∆st e um valor pre-definido para o intervalo mınimo entre os
instantes de comutacao e deve ser respeitado por todos os indivıduos da populacao.
Por fim, a restricao que diz respeito ao tempo maximo de aplicacao do sinal de exci-
tacao. Esta restricao e imposta de forma que:
sti,nst,k ≤ T (3.30)
A expressao acima faz com que o ultimo instante de comutacao de cada indivıduo seja
igual ou menor ao tempo maximo disponıvel para o desenvolvimento do sinal de excitacao.
O valor de T deve ser selecionado previamente.
No caso da utilizacao de penalidades, as restricoes descritas acima sao impostas de
forma acumulativa. A cada restricao desrespeitada por um indivıduo, o escore do mesmo
sera multiplicado por um termo penalizador. Este termo penalizador e proporcional ao
valor excedido da respectiva restricao. Assim sendo, permite-se que um indivıduo que
tenha ferido de forma amena uma restricao seja menos penalizado que um indivıduo que
tenha ferido a mesma restricao de forma muito significativa.
Capıtulo 4
Resultados Experimentais
4.1 Introducao
Este capıtulo de resultados possui o objetivo de validar as tecnicas de otimizacao de
manobras de ensaios em voo e mostrar a necessidade e viabilidade de implementacao das
mesmas.
A primeira parte e dedicada a analise de casos simulados. O exemplo 1 trata de um
estudo da dinamica de perıodo curto ja realizado por diversos autores. O principal obje-
tivo e comparar os resultados obtidos neste trabalho com aqueles obtidos anteriormente,
no intuito de validar o algoritmo utilizado. O exemplo 2, da mesma forma, trata da
otimizacao de sinais de excitacao para a dinamica oscilatorio em derrapagem ja bordada
em (MORELLI, 1990). Neste caso, entretanto, o principal objetivo e demonstrar a capaci-
dade de tratamento de problemas com mais de uma entrada de controle e com varios
parametros. Por fim, ainda trabalhando com dados simulados, o exemplo 3 apresenta
uma simulacao de Monte Carlo do procedimento de estimacao parametrica. O principal
objetivo deste exemplo e demonstrar a necessidade de consideracao dos resıduos coloridos
nas variaveis de medida durante o procedimento de otimizacao de sinais de excitacao para
manobras de ensaios em voo.
Na segunda parte deste capıtulo, sao tratados dados experimentais oriundos de uma
campanha de ensaios em voo dedicada a analise de manobras de ensaios em voo para
estimacao parametrica. O planejamento dos voos e abordado, seguido de uma breve apre-
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 72
sentacao da aeronave ensaiada e dos sistemas de aquisicao de dados de ensaios em voo.
O principal objetivo deste estudo e a comparacao de sinais otimizados com sinais conven-
cionais para a excitacao do modo de perıodo curto. Sao abordados aspectos que tangem
a seguranca de voo e a implementabilidade do sinal otimizado, chegando a demonstrar
a viabilidade de utilizacao das tecnicas apresentadas neste estudo para o planejamento e
execucao de campanhas de ensaios em voo para estimacao de parametros de aeronaves.
E importante salientar que os modelos dinamicos utilizados neste capıtulo sao ex-
tremamente simplificados. Os mesmos foram utilizados para possibilitar a comparacao
com resultados anteriores existentes na literatura a respeito da otimizacao de manobras
de ensaios em voo para estimacao de parametros. Adotar modelos menos simplificados e
ate modelos nao-lineares pode ser de fundamental importancia para o sucesso da mode-
lagem dinamica de aeronaves.
4.2 Dados Sinteticos e Simulacoes de Monte Carlo
4.2.1 Exemplo 1
O primeiro exemplo da aplicacao da tecnica de otimizacao de manobras trata da
comparacao entre resultados obtidos com a aplicacao das tecnicas abordadas neste estudo
e resultados anteriores encontrados na literatura (CHEN, 1975)(MEHRA, 1974b)(MORELLI,
1990). O problema esta em desenvolver um sinal de excitacao para a estimacao dos
parametros da dinamica de perıodo curto, descrita nas equacoes (4.1)-(4.4), e deduzida
na Apendice A:
α
q
=
Zα 1
Mα Mq
α
q
+
Zδe
Mδe
δe (4.1)
onde α e o angulo de ataque e q e a velocidade de arfagem. Os valores nominais dos
parametros do modelo estao descritos na tabela 4.1.
As equacoes de saıda sao descritas por:
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 73
Tabela 4.1: Exemplo 1 - Valores dos parametros do modelo de perıodo curto
Parametro Valor Nominal
Zα -0.737Zδe 0.005Mα -0.562Mq -1.588Mδe -1.660
y1(t)
y2(t)
=
1 0
0 1
α
q
(4.2)
e o modelo de medida e:
ym1(i)
ym2(i)
=
1 0
0 1
y1(i)
y2(i)
+
υ1(i)
υ2(i)
, i = 1, 2, 3, ..., N (4.3)
onde N e o numero de pontos do vetor de saıda. E considerado que o ruıdo de medida
υ(i) e gaussiano de media zero com variancia definida por:
R =
2.0 0.0
0.0 1.0
(4.4)
Este problema foi primeiramente abordado por Mehra (MEHRA, 1974b). Nesta opor-
tunidade o autor desenvolveu um sinal de excitacao com tempo de voo fixo e maximizou
o traco da matriz de informacao, submetendo a otimizacao a restricao da energia maxima
do sinal. O sinal resultante e a resposta temporal simulada esta na figura 4.1. Chen
(CHEN, 1975) resolveu o mesmo problema aplicando a mesma restricao de energia maxi-
ma do sinal de excitacao. Este autor, entretanto, desenvolveu seu sinal de maneira a
minimizar o tempo de aplicacao com o objetivo de atingir os mesmos limites de Cramer-
rao atingidos por Mehra, o sinal utilizado foi do tipo bang-bang e os resultados podem
ser visualizados na figura 4.2. Posteriormente, Morelli (MORELLI, 1990) desenvolveu sua
tecnica de otimizacao de sinais de excitacao e a aplicou no mesmo problema. Nesta opor-
tunidade, foram desenvolvidos dois sinais, figuras 4.3 e 4.4, um com a mesma amplitude
maxima do sinal de Mehra e outro com a mesma amplitude maxima do sinal de Chen.
Os sinais eram ondas quadradas do tipo bang-bang, e foram desenvolvidos de maneira a
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 74
minimizar o tempo de aplicacao, atingindo objetivos quanto aos limites de Cramer-Rao
pre-estabelecidos.
Os limites de Cramer-Rao para os sinais citados foram recalculados utilizando o mesmo
algorıtmo do presente trabalho. Os resultados podem ser vistos na segunda, terceira,
quarta e quinta colunas da tabela 4.2.
As tecnicas abordadas no presente trabalho foram utilizadas para gerar novos sinais
otimizados para a estimacao dos parametros do modelo (4.1)-(4.4). Para prover adequada
comparacao, os dois sinais foram gerados de maneira semelhante a abordagem dada por
Morelli, o primeiro, com a amplitude maxima do sinal de Mehra (±12.5 graus), e o segundo
com a amplitude maxima do sinal de Chen (±8.792 graus). Para os dois casos a otimizacao
foi feita de maneira multi-objetiva para o mınimo tempo, ou seja, a funcao de aptidao
descrita em (??). Para o primeiro, os objetivos selecionadas foram os limites relativos de
Cramer-Rao obtidos com a aplicacao do sinal do Morelli com amplitude maxima ±12.5
graus. Para o segundo, os objetivos selecionados foram os limites relativos de Cramer-Rao
obtidos com a aplicacao do sinal do Morelli com a amplitude maxima ±8.792 graus.
As curvas temporais dos sinais resultantes e das respostas simuladas podem ser visuali-
zadas nas figuras 4.5 - 4.6.
Os resultados da otimizacao genetica podem ser verificados nas duas ultimas colunas
da tabela 4.2. Nas figuras 4.7 - 4.14, pode-se verificar a evolucao do algorıtmo genetico
em relacao a funcao de aptidao e em relacao as variancias relativas dos parametros para
o primeiro sinal otimizado (amplitude maxima igual a 8.792 graus). Da mesma maneira,
as figuras 4.15 - 4.22 mostram a evolucao da populacao para o segundo sinal otimizado
(amplitude maxima igual a 12.5 graus).
Observando a evolucao das populacoes para a funcao de aptidao e para o objetivo geral
(soma dos multi-objetivos), verifica-se que os indivıduos ao longo das geracoes convergi-
ram para uma solucao muito proxima dos objetivos. E interessante salientar que desde
as primeiras geracoes nota-se indivıduos abaixo do objetivo geral. A grande maioria,
entretanto, esta acima. Nota-se que, para o segundo sinal, os indivıduos tiveram maior
facilidade de evoluir para um resultado abaixo do objetivo geral. A evolucao da funcao
de aptidao, neste caso, mostra que a grande maioria dos indivıduos das ultimas geracoes
foram avaliados apenas em funcao do tempo de execucao. Do contrario aconteceu para
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 75
o primeiro sinal, onde todos os indivıduos das ultimas geracoes foram avaliados tambem
em funcao dos limites de Cramer-Rao. Os graficos mostram um degrau em cada geracao,
justamente, entre aqueles indivıduos que estao abaixo do objetivo e aqueles que estao
acima. Os indivıduos abaixo do degrau sao aqueles que estao sendo avaliados apenas em
funcao do tempo de execucao da manobra. No problema para o mınimo tempo, estes
indivıduos sao beneficiados ao longo das geracoes. A evolucao do tempo de execucao da
manobra indica que as populacoes evoluıram para o menor tempo possıvel que viabilizasse
o atendimento dos objetivos.
Analisando-se a tabela 4.2, nota-se que os resultados obtidos com a otimizacao genetica
sao muitos parecidos com aqueles obtidos por Morelli e por Chen, alem de ser, conside-
ravelmente, superior aqueles obtidos por Mehra, principalmente, no que tange ao tempo
de execucao.
Tabela 4.2: Exemplo 1 - Limites de Cramer-Rao (relativos)
Parametro Fig. 4.1 Fig. 4.2 Fig. 4.3 Fig. 4.4 Fig. 4.5 Fig. 4.6
Mehra Chen Morelli 1 Morelli 2 Sinal Otimo Sinal Otimo(Chen) (Mehra) (Chen) (Mehra)
Zα 0.038 0.049 0.050 0.038 0.050 0.037Zδe 0.028 0.026 0.029 0.023 0.030 0.023Mα 0.069 0.055 0.057 0.050 0.054 0.049Mq 0.164 0.075 0.069 0.063 0.063 0.064Mδe 0.097 0.049 0.047 0.042 0.044 0.042
Amp. 12.5 8.792 8.792 12.5 8.792 12.5Maxima (◦)Tempo 4.0 s 3.96 s 3.4 s 2.5 s 3.5 s 2.5 s
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 76
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
tempo [s]
[gra
us]
Deflexão do Profundor − δe
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
tempo [s]
[gra
us]
Ângulo de Ataque
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−2
0
2
4
6
8
10
tempo [s]
[gra
us/s
]
Velocidade de Arfagem
Figura 4.1: Exemplo 1 - Sinal otimizado por Mehra
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 77
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
tempo [s]
[gra
us]
Deflexão do Profundor − δe
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−4
−2
0
2
4
6
8
tempo [s]
[gra
us]
Ângulo de Ataque
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
tempo [s]
[gra
us/s
]
Velocidade de Arfagem
Figura 4.2: Exemplo 1 - Sinal otimizado por Chen
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 78
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
tempo [s]
[gra
us]
Deflexão do Profundor − δe
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−8
−6
−4
−2
0
2
4
tempo [s]
[gra
us]
Ângulo de Ataque
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
tempo [s]
[gra
us/s
]
Velocidade de Arfagem
Figura 4.3: Exemplo 1 - Sinal otimizado por Morelli (Chen)
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 79
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−15
−10
−5
0
5
10
15
tempo [s]
[gra
us]
Deflexão do Profundor − δe
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−2
0
2
4
6
8
10
tempo [s]
[gra
us]
Ângulo de Ataque
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
12
tempo [s]
[gra
us/s
]
Velocidade de Arfagem
Figura 4.4: Exemplo 1 - Sinal otimizado por Morelli (Mehra)
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 80
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
tempo [s]
[gra
us]
Deflexão do Profundor − δe
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−8
−6
−4
−2
0
2
4
tempo [s]
[gra
us]
Ângulo de Ataque
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
tempo [s]
[gra
us/s
]
Velocidade de Arfagem
Figura 4.5: Exemplo 1 - Sinal Otimizado 1 - Amplitude Maxima igual a 8.792 graus
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 81
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−15
−10
−5
0
5
10
15
tempo [s]
[gra
us]
Deflexão do Profundor − δe
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−10
−8
−6
−4
−2
0
2
tempo [s]
[gra
us]
Ângulo de Ataque
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
tempo [s]
[gra
us/s
]
Velocidade de Arfagem
Figura 4.6: Exemplo 1 - Sinal Otimizado 2 - Amplitude Maxima igual a 12.5 graus
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 82
050
100150
200010
2030
402
4
6
8
10
12
14
16
Indivíduos
Evoluçao da população para a função de aptidão
Geraçoes
Fun
çao
de A
ptid
ão
Figura 4.7: Exemplo 1/Sinal 1 - Evolucao dapopulacao em relacao a funcao de aptidao
0 50 100 150 2000 10 20 30 404
5
6
7
8
9
10
11
Indivíduos
Evoluçao da população para o objetivo geral
Geraçoes
Var
iânc
ia R
elat
iva
EvoluçaoObjetivo
Figura 4.8: Exemplo 1/Sinal 1 - Evolucao dapopulacao em relacao ao objetivo geral
0 50 100 150 2000 10 20 30 404
5
6
7
8
9
10
11
Indivíduos
Evoluçao da população para o objetivo geral
Geraçoes
Var
iânc
ia R
elat
iva
EvoluçaoObjetivo
Figura 4.9: Exemplo 1/Sinal 1 - Evolucao dapopulacao em relacao ao tempo de execucaoda manobra
0 50 100 150 2000 10 20 30 40
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
Indivíduos
Evoluçao da população para o parâmetro Zα
Geraçoes
Var
iânc
ia R
elat
iva
EvoluçaoObjetivo
Figura 4.10: Exemplo 1/Sinal 1 - Evolucaoda populacao em relacao ao parametro Zα
0 50 100 150 2000 10 20 30 404
5
6
7
8
9
10
Indivíduos
Evoluçao da população para o parâmetro Zδe
Geraçoes
Var
iânc
ia R
elat
iva
EvoluçaoObjetivo
Figura 4.11: Exemplo 1/Sinal 1 - Evolucaoda populacao em relacao ao parametro Zδe
0 50 100 150 2000 10 20 30 400.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0.22
Indivíduos
Evoluçao da população para o parâmetro Mα
Geraçoes
Var
iânc
ia R
elat
iva
EvoluçaoObjetivo
Figura 4.12: Exemplo 1/Sinal 1 - Evolucaoda populacao em relacao ao parametro Mα
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 83
050
100150
2000 10 20 30 40
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
Indivíduos
Evoluçao da população para o parâmetro Mq
Geraçoes
Var
iânc
ia R
elat
iva
EvoluçaoObjetivo
Figura 4.13: Exemplo 1/Sinal 1 - Evolucaoda populacao em relacao ao parametro Mq
050
100150
200010
2030
400.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
Indivíduos
Evoluçao da população para o parâmetro Mδe
Geraçoes
Var
iânc
ia R
elat
iva
EvoluçaoObjetivo
Figura 4.14: Exemplo 1/Sinal 1 - Evolucaoda populacao em relacao ao parametro Mδe
010
2030 0
10
20
300
5
10
15
20
Indivíduos
Evoluçao da população para a função de aptidão
Geraçoes
Fun
çao
de A
ptid
ão
Figura 4.15: Exemplo 1/Sinal 2 - Evolucaoda populacao em relacao a funcao de aptidao
010
2030 0
10
20
300
5
10
15
20
Indivíduos
Evoluçao da população para o objetivo geral
Geraçoes
Var
iânc
ia R
elat
iva
EvoluçaoObjetivo
Figura 4.16: Exemplo 1/Sinal 2 - Evolucaoda populacao em relacao ao objetivo geral
010
20300
10
20
30−1
0
1
2
3
4
5
Indivíduos
Evoluçao da população para o tempo de execução
Geraçoes
Tem
po [s
]
Figura 4.17: Exemplo 1/Sinal 2 - Evolucaoda populacao em relacao ao tempo de exe-cucao da manobra
010
20300
10
20
300
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Indivíduos
Evoluçao da população para o parâmetro Zα
Geraçoes
Var
iânc
ia R
elat
iva
EvoluçaoObjetivo
Figura 4.18: Exemplo 1/Sinal 2 - Evolucaoda populacao em relacao ao parametro Zα
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 84
0
10
20
30 0
10
20
302
4
6
8
10
12
14
16
Indivíduos
Evoluçao da população para o parâmetro Zδe
Geraçoes
Var
iânc
ia R
elat
iva
EvoluçaoObjetivo
Figura 4.19: Exemplo 1/Sinal 2 - Evolucaoda populacao em relacao ao parametro Zδe
0
10
20
300
10
20
300
0.1
0.2
0.3
0.4
Indivíduos
Evoluçao da população para o parâmetro Mα
Geraçoes
Var
iânc
ia R
elat
iva
EvoluçaoObjetivo
Figura 4.20: Exemplo 1/Sinal 2 - Evolucaoda populacao em relacao ao parametro Mα
010
20300
1020
300.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
Indivíduos
Evoluçao da população para o parâmetro Mq
Geraçoes
Var
iânc
ia R
elat
iva
EvoluçaoObjetivo
Figura 4.21: Exemplo 1/Sinal 2 - Evolucaoda populacao em relacao ao parametro Mq
0 5 10 15 20 25 300
10
20
300.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
Indivíduos
Evoluçao da população para o parâmetro Mδe
Geraçoes
Var
iânc
ia R
elat
iva
EvoluçaoObjetivo
Figura 4.22: Exemplo 1/Sinal 2 - Evolucaoda populacao em relacao ao parametro Mδe
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 85
4.2.2 Exemplo 2
Este exemplo tem como objetivo demonstrar a capacidade da tecnica de desenvolvi-
mento e otimizacao de manobras para acessar problemas que envolvem um numero elevado
de parametros, bem como exemplificar o seu uso para problemas que envolvem duas ou
mais entradas de controle. Este exemplo tambem demonstra a viabilidade das tecnicas
de otimizacao de sinais de excitacao levando em consideracao os modelos de atuacao na
malha de controle.
Trata-se de um problema, ja estudado em (MORELLI, 1990), para desenvolver sinais
otimos para aplicacao simultanea atraves da deflexao do leme de direcao e do aileron com
o intuito de excitar a dinamica oscilatoria de derrapagem. Nesta oportunidade, o referido
autor realizou, com sucesso, comparacoes do sinal otimizado com sinais convencionais,
demonstrando vantagens e desvantagens. O presente estudo aproveitou a analise ja feita,
e apenas compara o sinal otimizado por Morelli e o sinal otimizado atraves das tecnicas
hora abordadas.
O modelo latero-direcional deste exemplo esta descrito nas equacoes (4.5) e (4.8), e foi
desenvolvido no Apendice A. Trata-se da dinamica de uma aeronave de alta performance
mantendo uma velocidade de 179.7 m/s e voo nivelado a 10000 m. Assim como no estudo
de Morelli, foram introduzidos atuadores de primeira ordem com constantes de tempo
igual a 0.1 s nas superfıcies de controle. O sinal de excitacao neste exemplo, portanto,
nao e diretamente a deflexao da superfıcie aerodinamica.
∆β(t)
∆p(t)
∆r(t)
∆φ(t)
∆δa(t)
∆δr(t)
=
Yβ 0 −1 gV0
Yδa Yδr
L′
β L′p L
′r 0 L
′
δaL
′
δr
N′
β N′p N
′r 0 N
′
δaN
′
δr
0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 −10 0
0 0 0 0 0 −10
∆β(t)
∆p(t)
∆r(t)
∆φ(t)
∆δa(t)
∆δr(t)
+
0 0
0 0
0 0
0 0
10 0
0 10
ua
ur
(4.5)
O modelo de saıda e:
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 86
∆βy(t)
∆py(t)
∆ry(t)
∆φy(t)
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
∆β(t)
∆p(t)
∆r(t)
∆φ(t)
(4.6)
Os parametros do modelo estao descritos na tabela 4.3.
Tabela 4.3: Exemplo 2 - Valores dos parametros do modelo oscilatorio em derrapagem
Parametro Valor Nominal
Yβ -0.1095Lβ -14.4240Lp -1.2039Lr 0.9029Nβ 2.8640Np -0.0090Nr -0.2241Yδr 0.0219Lδa -16.8280Lδr 2.4040Nδa -0.3580Nδr -1.7900
Por fim, o modelo de medida e:
βm(i)
pm(i)
rm(i)
φm(i)
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
∆β(i)
∆p(i)
∆r(i)
∆φ(i)
+
υ1(i)
υ2(i)
υ3(i)
υ4(i)
, i = 1, 2, 3, ..., N (4.7)
onde υ(i) e o ruıdo de medida gaussiano, com media zero e matriz de covariancia definida
por:
R =
0.000361 0 0 0
0 0.04 0 0
0 0 0.0064 0
0 0 0 0.0059
(4.8)
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 87
Um dos sinais de excitacao desenvolvidos por Morelli para este problema esta ilustrado
na figura 4.23, a otimizacao foi feita para o tempo maximo de execucao fixo em 10 segundos
e a amplitude maxima, tanto para o aileron, quanto para o leme, em 0.07 rad. Os objetivos
para otimizacao foram selecionados em zero. Para a presente analise, os sinais para
excitacao atraves do leme de direcao e do aileron, figura 4.24, foram otimizados utilizando
a funcao de aptidao descrita por (3.18), selecionando os mesmos objetivos e restricoes
citadas anteriormente.
Os sinais mostrados neste exemplo se tornam bastante complexos do ponto de vista
de implementabilidade quando houver a necessidade de aplicacao simultanea. Em alguns
casos, a aplicacao dos mesmos pode vir a ser inviavel atraves do piloto. Conforme o caso,
pode haver a necessidade de impor ao algoritmo de otimizacao restricoes que facam com
que os sinais sejam aplicados em instantes diferentes.
A evolucao da otimizacao genetica esta ilustrada nas figuras 4.25-4.38. Nestes gra-
ficos, os indivıduos cujas covariancias possuem valores fora de escala foram omitidos.
Claramente, observa-se que ao longo das geracoes, enquanto a funcao de aptidao tende
a diminuir, em busca do objetivo, a evolucao de alguns parametros tende a nıveis mais
baixos, em detrimento da evolucao de outros, que tendem a nıveis mais altos. Essas
caracterısticas sao tıpicas de problemas com muitos parametros, nos quais e muito difıcil
chegar a solucoes otimas para todos.
Na tabela 4.4, os resultados da otimizacao genetica estao sintetizados em conjunto
com os resultados do sinal desenvolvido em (MORELLI, 1990). Os limites de Cramer-Rao
relativos para os doze parametros demonstram que a tecnica abordada no presente estudo
para o tratamento de problemas com numero elevado de parametros e com duas ou mais
entradas chegou a resultados bastante parecidos com aqueles encontrados por Morelli.
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 88
0 2 4 6 8 10−0.1
−0.05
0
0.05
0.1Sinal de excitaçao do aileron
tempo [s]
0 2 4 6 8 10−0.1
−0.05
0
0.05
0.1Sinal de excitaçao do leme
tempo [s]
0 2 4 6 8 10−0.1
−0.05
0
0.05
0.1Deflexão do aileron
tempo [s]
δ a
[rad
]0 2 4 6 8 10
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1Deflexão do leme
tempo [s]
δ r
[rad
]
0 2 4 6 8 10−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2Ângulo de derrapagem
tempo [s]
β [r
ad]
0 2 4 6 8 10−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1Velocidade de rolamento
tempo [s]
p [r
ad]
0 2 4 6 8 10−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3Velocidade de guinada
tempo [s]
r [r
ad]
0 2 4 6 8 10−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2Ângulo de rolamento
tempo [s]
φ [r
ad]
Figura 4.23: Exemplo 2 - Sinal Otimizado por Morelli
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 89
0 2 4 6 8 10 12−0.2
−0.1
0
0.1
0.2Sinal de excitaçao do aileron
tempo [s]
0 2 4 6 8 10 12−0.2
−0.1
0
0.1
0.2Sinal de excitaçao do leme
tempo [s]
0 2 4 6 8 10 12−0.2
−0.1
0
0.1
0.2Deflexão do aileron
tempo [s]
δ a
[rad
]0 2 4 6 8 10 12
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2Deflexão do leme
tempo [s]
δ r
[rad
]
0 2 4 6 8 10 12−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25Ângulo de derrapagem
tempo [s]
β [r
ad]
0 2 4 6 8 10 12−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5Velocidade de rolamento
tempo [s]
p [r
ad]
0 2 4 6 8 10 12−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4Velocidade de guinada
tempo [s]
r [r
ad]
0 2 4 6 8 10 12−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Ângulo de rolamento
tempo [s]
φ [r
ad]
Figura 4.24: Exemplo 2 - Sinal Otimo para Multi-Entradas
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 90
0
10
20
300
10
20
301.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
Indivíduos
Evoluçao da população para a função de aptidão
Geraçoes
Fun
çao
de A
ptid
ão
Figura 4.25: Exemplo 2 - Evolucao da popu-lacao em relacao a funcao de aptidao
0 5 10 15 20 25 300
10
20
301.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
Indivíduos
Evoluçao da população para o objetivo geral
Geraçoes
Var
iânc
ia R
elat
iva
Figura 4.26: Exemplo 2 - Evolucao da popu-lacao em relacao ao objetivo geral
010
20300
10
20
300.1
0.105
0.11
0.115
0.12
0.125
0.13
Indivíduos
Evoluçao da população para o parâmetro Yβ
Geraçoes
Var
iânc
ia R
elat
iva
Figura 4.27: Exemplo 2 - Evolucao da popu-lacao em relacao ao parametro Yβ
010
20300
10
20
300.016
0.018
0.02
0.022
0.024
0.026
0.028
Indivíduos
Evoluçao da população para o parâmetro Lβ
Geraçoes
Var
iânc
ia R
elat
iva
Figura 4.28: Exemplo 2 - Evolucao da popu-lacao em relacao ao parametro Lβ
010
20300
10
20
300.03
0.032
0.034
0.036
0.038
0.04
0.042
Indivíduos
Evoluçao da população para o parâmetro Lp
Geraçoes
Var
iânc
ia R
elat
iva
Figura 4.29: Exemplo 2 - Evolucao da popu-lacao em relacao ao parametro Yp
010
20300
10
20
300.11
0.12
0.13
0.14
0.15
0.16
0.17
Indivíduos
Evoluçao da população para o parâmetro Lr
Geraçoes
Var
iânc
ia R
elat
iva
Figura 4.30: Exemplo 2 - Evolucao da popu-lacao em relacao ao parametro Yr
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 91
010
20300
10
20
307.5
8
8.5
9
9.5
10
10.5
x 10−3
Indivíduos
Evoluçao da população para o parâmetro Nβ
Geraçoes
Var
iânc
ia R
elat
iva
Figura 4.31: Exemplo 2 - Evolucao da popu-lacao em relacao ao parametro Nβ
010
20300
1020
300.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
Indivíduos
Evoluçao da população para o parâmetro Np
Geraçoes
Var
iânc
ia R
elat
iva
Figura 4.32: Exemplo 2 - Evolucao da popu-lacao em relacao ao parametro Np
0
10
20
300
10
20
300.065
0.07
0.075
0.08
0.085
0.09
Indivíduos
Evoluçao da população para o parâmetro Nr
Geraçoes
Var
iânc
ia R
elat
iva
Figura 4.33: Exemplo 2 - Evolucao da popu-lacao em relacao ao parametro Nr
010
20300
10
20
300.5
0.55
0.6
0.65
0.7
Indivíduos
Evoluçao da população para o parâmetro Yδr
Geraçoes
Var
iânc
ia R
elat
iva
Figura 4.34: Exemplo 2 - Evolucao da popu-lacao em relacao ao parametro Yδr
010
20300
10
20
300.01
0.015
0.02
0.025
0.03
Indivíduos
Evoluçao da população para o parâmetro Lδa
Geraçoes
Var
iânc
ia R
elat
iva
Figura 4.35: Exemplo 2 - Evolucao da popu-lacao em relacao ao parametro Lδa
0
10
20
300
10
20
300.05
0.055
0.06
0.065
0.07
0.075
Indivíduos
Evoluçao da população para o parâmetro Lδr
Geraçoes
Var
iânc
ia R
elat
iva
Figura 4.36: Exemplo 2 - Evolucao da popu-lacao em relacao ao parametro Lδr
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 92
0
10
20
300
10
20
300.12
0.125
0.13
0.135
0.14
0.145
0.15
Indivíduos
Evoluçao da população para o parâmetro Nδa
Geraçoes
Var
iânc
ia R
elat
iva
Figura 4.37: Exemplo 2 - Evolucao da popu-lacao em relacao ao parametro Nδa
05
1015
2025
300
10
20
30
0.0125
0.013
0.0135
0.014
0.0145
0.015
0.0155
Indivíduos
Evoluçao da população para o parâmetro Nδr
Geraçoes
Var
iânc
ia R
elat
iva
Figura 4.38: Exemplo 2 - Evolucao da popu-lacao em relacao ao parametro Nδr
Tabela 4.4: Exemplo 2 - Limites de Cramer-Rao (relativos)
Figura 4.23 Figura 4.24
Parametro Morelli Sinal Otimo
Yβ 0.218 0.119Lβ 0.016 0.015Lp 0.019 0.030Lr 0.155 0.103Nβ 0.005 0.007Np 0.274 0.339Nr 0.131 0.083Yδr 0.793 0.529Lδa 0.026 0.015Lδr 0.110 0.053Nδa 0.177 0.122Nδr 0.018 0.013
Amplitude do sinal para o aileron 0.07 0.12Amplitude do sinal para o leme 0.07 0.10Tempo Total 10.0 s 8.72 s
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 93
4.2.3 Exemplo 3
O presente exemplo e uma analise introdutoria aos experimentos apresentadas a seguir
e envolve a consideracao de resıduos coloridos no modelo de medida para a otimizacao do
sinal de excitacao. A dinamica em estudo e o perıodo curto excitado atraves da deflexao
do profundor. O modelo utilizado esta descrito nas equacoes (4.9)-(4.10). O principal
objetivo e demonstrar a necessidade de considerar resıduos coloridos nas variaveis de
medida para a otimizacao dos sinais de excitacao, principalmente quando se trabalha com
multi-objetivos.
Primeiramente, foi desenvolvido um sinal de excitacao levando em consideracao apenas
a matriz de covariancia dos resıduos de medida, R. Em um segundo momento, foi gerado
um sinal de excitacao que levasse em conta, tambem, a matriz de autocorrelacao dos
mesmos, Ruu. A funcao de aptidao utilizada foi (3.18) e os objetivos selecionados para os
dois procedimentos foram os mesmos:
Tabela 4.5: Exemplo 3 - Objetivos para otimizacao
Parametro Objetivo
Zα 3 %Zq 12 %Zδe 14 %Mα 2 %Mq 6 %Mδe 3 %
Foram impostas duas restricoes:
• Amplitude maxima da deflexao do profundor = ±0.36 rad;
• Variacao maxima da aceleracao vertical = ±0.6 G.
As figuras 4.39 e 4.40 mostram os sinais de excitacao resultantes e a respectivas res-
postas simuladas.
Os resıduos coloridos foram gerados a partir de um filtro Chebychev de quinta ordem.
O objetivo foi representar as caracterısticas que geralmente se encontra nos sistemas de
aquisicao de dados de ensaios em voo. As caracterısticas espectrais dos mesmos estao
ilustradas nas figuras 4.41 - 4.43.
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 94
Como pode ser visto, a potencia dos resıduos esta concentrada nas baixas frequencias,
o que geralmente ocorre quando sao analisados dados reais de ensaios em voo. Para
a presente analise, foram preparadas cinquenta corridas, adicionando uma amostra dos
resıduos as variaveis de saıda para cada sinal de excitacao. Feito isso, uma simulacao
de Monte Carlo do procedimento de estimacao dos parametros listados na tabela 4.5 foi
realizada, disponibilizando a distribuicao das estimativas parametricas. Os histogramas,
as funcoes de densidade de probabilidade e as dispersoes resultantes para cada parametro
estao ilustradas nas figuras 4.44 - 4.49.
Verifica-se, para todos os parametros, que as estimativas oriundas da aplicacao do
sinal otimizado levando em consideracao resıduos coloridos nas variaveis de medida sao
menos dispersas, em especial, para os parametros Zα, Zδe e Zq. Analisando-se a tabela
4.6 nota-se que os dois sinais em estudo, praticamente, alcancaram os objetivos no que
tange aos limites de Cramer-Rao durante o procedimento de otimizacao. Os resultados
da otimizacao sem a consideracao de resıduos coloridos, entretanto, sao muito otimistas
e podem ser prejudicados quando as variaveis de medida sao contaminadas com este tipo
de ruıdo. Ja a otimizacao do sinal de excitacao levando em consideracao R e Ruu e mais
robusta e, realmente, chega em objetivos proximos aqueles observados na estimacao dos
parametros. Isso fica claro quando se tem acesso ao desvio padrao relativo das distribuicoes
das estimativas, tabela 4.6. Nota-se que os resultados da simulacao de Monte Carlo para
o sinal otimizado levando em consideracao os resıduos coloridos estao muito proximos dos
limites de Cramer-Rao esperados no desenvolvimento do sinal.
Tabela 4.6: Exemplo 3 - Resultados da Otimizacao dos Sinais e da Simulacao de MonteCarlo
Consideracao de R Consideracao de R e Ruu
Parametro Monte Carlo Otimizacao do Sinal Monte Carlo Otimizacao do Sinalσ observado σ teorico σ observado σ teorico
Zα 5.8% 2.2% 3.7% 3.1%Zq 34.0% 12.8% 19.1% 11.7%Zδe 23.6% 14.1% 11.1% 14.7%Mα 3.6% 1.5% 2.9% 2.1%Mq 10.2% 3.7% 8.2% 5.7%Mδe 4.4% 2.5% 3.4% 3.2%
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 95
0 2 4 6 8 10
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
tempo [s]
[rad
]
Deflexão do profundor − δ e
0 2 4 6 8 10−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
tempo [s]
[rad
]
Ângulo de ataque
0 2 4 6 8 10−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
tempo [s]
[rad
/s]
Velocidade de arfagem
0 2 4 6 8 10−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
tempo [s]
[g]
Aceleraçao vertical
Figura 4.39: Sinal otimizado levando em consideracao R e Ruu
0 2 4 6 8 10
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
tempo [s]
[rad
]
Deflexão do profundor − δ e
0 2 4 6 8 10−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
tempo [s]
[rad
]
Ângulo de ataque
0 2 4 6 8 10−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
tempo [s]
[rad
/s]
Velocidade de arfagem
0 2 4 6 8 10−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
tempo [s]
[g]
Aceleraçao vertical
Figura 4.40: Sinal otimizado levando em consideracao apenas R
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 96
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
frequencia [rad/s]
PSD do resíduo do sensor de ângulo de ataque
0 100 200 300 400 500−2
−1
0
1
2
3
4x 10
−4
τ
Ruu
(τ)
Autocorrelaçao do Resíduo do Sensor de AOA
Figura 4.41: Densidade Espectral de Potencia e Funcao de Autocorrelacao do Resıduo doSensor de α
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
frequência [rad/s]
PSD do resíduo da velocidade de arfagem
0 100 200 300 400 500−4
−2
0
2
4
6
8x 10
−4
τ
Ruu
(τ)
Autocorrelação do resíduo do sensor de q
Figura 4.42: Densidade Espectral de Potencia e Funcao de Autocorrelacao do Resıduo doSensor de q
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
frequência [rad/s]
PSD do resíduo da aceleração vertical
0 100 200 300 400 500−4
−2
0
2
4
6
8x 10
−4
τ
Ruu
(τ)
Autocorrelaçao do residuo do sensor de Az
Figura 4.43: Densidade Espectral de Potencia e Funcao de Autocorrelacao do Resıduo doSensor Az
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 97
−2 −1.9 −1.8 −1.7 −1.60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10Otimizaçao c/ R
Zα
Fre
quên
cia
de O
corr
ênci
a
−2 −1.9 −1.8 −1.7 −1.60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Otimizaçao c/ R e Ruu
ZαF
requ
ênci
a de
Oco
rrên
cia
0 10 20 30 40 50−2.1
−2
−1.9
−1.8
−1.7
−1.6
−1.5
−1.4
−1.3
Dispersão − Zα
Corrida de Monte Carlo
Val
or d
o P
arâm
etro
Otimizaçao c/ ROtimizaçao c/ R e R
uu
Média c/ RMédia c/ R e R
uu
−2.2 −2 −1.8 −1.6 −1.4 −1.20
1
2
3
4
5
6
Zα
Den
sida
de d
e P
roba
bilid
ade
PDF Zα
Otimizaçao c/ ROtimizaçao c/ R e R
uu
Valor a priori
Figura 4.44: Exemplo 3 - Resultados da estimacao de Zα
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 98
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11Otimizaçao c/ R
Zq
Fre
quên
cia
de O
corr
ênci
a
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Otimizaçao c/ R e Ruu
Zq
Fre
quên
cia
de O
corr
ênci
a
0 10 20 30 40 500
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
Dispersão − Zq
Corrida de Monte Carlo
Val
or d
o P
arâm
etro
Otimizaçao c/ ROtimizaçao c/ R e R
uu
Média c/ RMédia c/ R e R
uu
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.140
5
10
15
20
25
Zq
Den
sida
de d
e P
roba
bilid
ade
PDF Zq
Otimizaçao c/ ROtimizaçao c/ R e R
uu
Valor a priori
Figura 4.45: Exemplo 3 - Resultados da estimacao de Zq
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 99
−0.25 −0.2 −0.15 −0.10
2
4
6
8
10
12
14Otimizaçao c/ R
Zδe
Fre
quên
cia
de O
corr
ênci
a
−0.25 −0.2 −0.15 −0.10
2
4
6
8
10
12
14
Otimizaçao c/ R e Ruu
ZδeF
requ
ênci
a de
Oco
rrên
cia
0 10 20 30 40 50
−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
Dispersão − Zδe
Corrida de Monte Carlo
Val
or d
o P
arâm
etro
Otimizaçao c/ ROtimizaçao c/ R e R
uu
Média c/ RMédia c/ R e R
uu
−0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.050
5
10
15
20
25
Zδe
Den
sida
de d
e P
roba
bilid
ade
PDF Zδe
Otimizaçao c/ ROtimizaçao c/ R e R
uu
Valor a priori
Figura 4.46: Exemplo 3 - Resultados da estimacao de Zδe
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 100
−7.5 −7 −6.50
1
2
3
4
5
6
7
8Otimizaçao c/ R
Mα
Fre
quên
cia
de O
corr
ênci
a
−7.5 −7 −6.50
1
2
3
4
5
6
7
8
Otimizaçao c/ R e Ruu
MαF
requ
ênci
a de
Oco
rrên
cia
0 10 20 30 40 50−8
−7.5
−7
−6.5
−6
Dispersão − Mα
Corrida de Monte Carlo
Val
or d
o P
arâm
etro
Otimizaçao c/ ROtimizaçao c/ R e R
uu
Média c/ RMédia c/ R e R
uu
−9 −8.5 −8 −7.5 −7 −6.5 −6 −5.5 −50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Mα
Den
sida
de d
e P
roba
bilid
ade
PDF Mα
Otimizaçao c/ ROtimizaçao c/ R e R
uu
Valor a priori
Figura 4.47: Exemplo 3 - Resultados da estimacao de Mα
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 101
−2.4 −2.2 −2 −1.8 −1.60
1
2
3
4
5
6
7
8
9Otimizaçao c/ R
Mq
Fre
quên
cia
de O
corr
ênci
a
−2.4 −2.2 −2 −1.8 −1.60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Otimizaçao c/ R e Ruu
Mq
Fre
quên
cia
de O
corr
ênci
a
0 10 20 30 40 50−2.6
−2.4
−2.2
−2
−1.8
−1.6
−1.4
−1.2
Dispersão − Mq
Corrida de Monte Carlo
Val
or d
o P
arâm
etro
Otimizaçao c/ ROtimizaçao c/ R e R
uu
Média c/ RMédia c/ R e R
uu
−2.6 −2.4 −2.2 −2 −1.8 −1.6 −1.4 −1.20
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Mq
Den
sida
de d
e P
roba
bilid
ade
PDF Mq
Otimizaçao c/ ROtimizaçao c/ R e R
uu
Valor a priori
Figura 4.48: Exemplo 3 - Resultados da estimacao de Mδe
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 102
−9 −8.5 −8 −7.50
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10Otimizaçao c/ R
Mδe
Fre
quên
cia
de O
corr
ênci
a
−9 −8.5 −8 −7.50
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Otimizaçao c/ R e Ruu
MδeF
requ
ênci
a de
Oco
rrên
cia
0 10 20 30 40 50−9.5
−9
−8.5
−8
−7.5
−7
−6.5
Dispersão − Mδe
Corrida de Monte Carlo
Val
or d
o P
arâm
etro
Otimizaçao c/ ROtimizaçao c/ R e R
uu
Média c/ RMédia c/ R e R
uu
−10.5 −10 −9.5 −9 −8.5 −8 −7.5 −7 −6.5 −6 −5.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Mδe
Den
sida
de d
e P
roba
bilid
ade
PDF Mδe
Otimizaçao c/ ROtimizaçao c/ R e R
uu
Valor a priori
Figura 4.49: Exemplo 3 - Resultados da estimacao de Mq
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 103
4.3 Dados Experimentais de Ensaios em Voo
Os dados de ensaios em voo colhidos para este experimento sao oriundos de uma cam-
panha de ensaios em voo dedicada a analise das tecnicas de desenvolvimento de otimiza-
cao de manobras para estimacao de parametros. Nesta oportunidade, foram analisadas
manobras convencionais, especificadas em funcao da analise espectral dos sinais de exci-
tacao, e manobras otimizadas, desenvolvidas de acordo com as tecnicas de otimizacao em
funcao dos limites inferiores de Cramer-Rao. O objetivo e comparar as manobras conven-
cionais com as manobras otimizadas, e verificar vantagens e desvantagens das diferentes
abordagens.
Em um primeiro momento, na chamada pre-campanha de ensaios, foram realizados
voos para calibracao e modelagem dos ruıdos de medida dos sensores do sistema de
aquisicao de dados. Alem disso, este voo tambem serviu para abordagens iniciais no
que tange a estimacao dos parametros de interesse. Em suma, os voos iniciais foram
utilizados para gerar todo o modelo de conhecimento a priori necessario para o desen-
volvimento e otimizacao das manobras, incluindo modelo de medida (covariancias dos
resıduos e matriz de autocorrelacao dos mesmos) e estimativas iniciais dos parametros do
modelo dinamico (derivadas de estabilidade e controle). Em um segundo momento, apos
ter especificado manobras convencionais e manobras otimizadas em funcao do modelo a
priori, foram realizados os voos de avaliacao dos sinais de excitacao.
Para que este estudo fosse possıvel e uma abordagem estatıstica fosse viabilizada, foi
planejado que para cada manobra estudada seriam executadas trinta corridas de ensaio,
todas nas mesmas condicoes de voo:
• Altitude Pressao, h: 1371 m;
• Velocidade Verdadeira, Vtas: 31.3 m/s.
Das trinta corridas de ensaio executadas para cada manobra, foram escolhidas as
quinze melhores para a comparacao estatıstica. O criterio de escolha das quinze melhores
corridas foi estabelecido de maneira a descartar as corridas de ensaios que propiciaram
estimativas mais distantes das medias para cada parametro.
Os sinais de excitacao foram aplicados manualmente pelo mesmo piloto. A analise
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 104
dos efeitos causados pelas diferencas entre os sinais aplicados e os sinais especificados nao
e abordada nestes estudo. Foi estabelecido que o intervalo entre a aplicacao dos sinais
de excitacao deveria ser suficiente para estabelecer o equilıbrio de voo, principalmente,
porque os modelos utilizados neste estudo sao modelos lineares de pequenas perturbacoes.
Para cada manobra de ensaio, foi dedicado um voo. Dentro do possıvel, todos os
voos foram realizados com a mesma quantidade de combustıvel e com o mesmo peso em
equipamentos e tripulacao. Foi considerado que a variacao de massa devido ao consumo de
combustıvel entre a primeira e a ultima corrida de ensaio para cada manobra e desprezıvel
e que nao e suficiente para polarizar as estimativas parametricas.
No planejamento de cada voo de ensaio, foi realizada uma analise de riscos, nela foram
estabelecidos procedimentos de emergencia e de minimizacao de riscos. Em especial, como
pode ser visto no Anexo A, os procedimentos de minimizacao de riscos estao diretamente
ligados com as tecnicas de otimizacao, desenvolvimento e especificacao de manobras de
ensaios em voo atraves da imposicao de restricoes. As restricoes impostas ao procedimento
de otimizacao levaram em consideracao limites operacionais da aeronave ensaiada. No
presente estudo, a restricao operacional utilizada foi a variacao maxima da aceleracao
vertical, a qual deveria ficar entre ±0.6 G.
A seguir, sao feitas as descricoes da aeronave ensaiada, dos procedimentos de cali-
bracao dos sensores e dos procedimentos de especificacao das manobras de ensaios em voo
estudados nesta campanha.
4.3.1 Aeronave Ensaiada
A aeronave ensaiada e o CEA 205 CB.9 Curumim. Este equipamento e uma aeronave
leve, bi-place lado-a-lado, desenvolvida e fabricada pelo Centro de Estudos Aeronauticos
da Universidade Federal de Minas Gerais, (OLIVEIRA, 2004). As tres vistas do Curumim
podem ser visualizadas na figura 4.50. Algumas de suas principais caracterısticas estao
descritas no Anexo B.
A cadeia de controle entre o manche e a deflexao do leme de profundidade (profundor) e
mecanica, atraves de cabos e tubos. Neste estudo, nao esta sendo levado em consideracao
um modelo de atuacao. Foi considerado, portanto, que a deflexao angular do leme de
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 105
Figura 4.50: Tres vistas do CEA-205 CB.9 Curumim
profundidade e apenas uma funcao direta da deflexao angular do manche.
Considerando caracterısticas de projeto e ensaios anteriores de estimacao parametrica,
as estimativas iniciais das derivadas aerodinamicas dimensionais do modelo de perıodo
curto foram calculadas, respeitando as condicoes de voo citadas anteriormente:
• Zα = -1.768;
• Zq = 0.08;
• Zδe = -0.16;
• Mα = -7.394;
• Mq = -1.934;
• Mδe = -8.360.
Resultando no seguinte modelo de conhecimento a priori:
x =
α
q
=
−1.768 1 + 0.080
−7.394 −1.934
α
q
+
−0.160
−8.360
δe (4.9)
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 106
αm
qm
az
=
1 0
0 1
−1.76831.39.8
0.08031.39.8
α
q
+
0
0
−0.16031.39.8
δe (4.10)
O modelo descrito acima foi o utilizado para especificar e otimizar os sinais de exci-
tacao.
4.3.2 Sistema de Aquisicao de Dados de Ensaios em Voo
O sistema de aquisicao de dados de ensaios em voo utilizado na aeronave, basicamente,
e dividido em cinco componentes principais: a plataforma inercial, o sensor anemometrico,
o sensor de GPS, os sensores de posicao das colunas de controle e a unidade de aquisicao
e gravacao de dados, figura 4.51.
A unidade de aquisicao e gravacao de dados, basicamente, consiste em um computador
TRM/916 equipado com um teclado e com uma interface grafica que permite o acom-
panhamento do procedimento de aquisicao de dados em tempo real. Este dispositivo e
equipado com um cartao de memoria compact flash de 128MB de capacidade, o que
permite a gravacao dos dados a bordo. O sistema tambem possui uma interface para
rede com protocolo TCP/IP que permite o download dos dados. O sistema operacional
utilizado e o Linux em tempo real.
A plataforma inercial utilizada e uma Crossbow, modelo AHRS400CC. Esta central
inercial trabalha com acelerometros lineares, sensores de velocidade rotacional e magne-
tometros. Atraves da utilizacao de acelerometros e girometros nos tres eixos a dinamica
completa pode ser medida. Alem disso, atraves dos magnetometros, a proa magnetica
pode ser obtida. As principais caracterısticas deste equipamento estao listadas abaixo
(CROSSBOW, ):
1. Taxa de aquisicao: ate 60Hz;
2. Atitude
• Medida de angulo de rolamento e angulo de arfagem(◦): ±180, ±90;
• Acuracia Estatica(◦)/Dinamica(◦rms): ate ±0.5, ±2.0;
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 107
Figura 4.51: Componentes principais do sistema de aquisicao de dados
3. Proa Magnetica
• Faixa (◦): ±180;
• Medida de angulo de rolamento e angulo de arfagem(◦): ±180, ±90;
• Acuracia Estatica(◦)/Dinamica(◦rms): ate ±1.5, ±3.0;
4. Velocidade Angulares - Rolamento, Arfagem e Guinada
• Faixa (◦/s): ±100;
• Nao-linearidade (% FS): <0.3;
5. Aceleracoes Lineares - X, Y, Z
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 108
• Faixa (G): ±10;
• Nao-linearidade (% FS): <1.0;
6. Alimentacao
• Voltagem de entrada (V DC): 9.0− 30.0;
• Corrente (mA): ate 300;
• Consumo com 12 VDC(W ): ate 4.0;
7. Dimensoes
• Tamanho (cm): 7.63 x 9.53 x 10.42;
• Peso (kg): menor que 0.77;
• Consumo com 12 VDC(W ): ate 4.0.
O sensor anemometrico e desenvolvido pela ICASIM (ICASIM Smart Air Data Boom).
Este sensor e responsavel pelo fornecimento do angulo de ataque, do angulo de derra-
pagem, da velocidade de voo, da altitude de voo e da temperatura ambiente, atraves das
suas tomadas de pressao total e pressao estatica. Suas principais caracterısticas sao:
1. Taxa de aquisicao: ate 30Hz;
2. Pressao Estatica
• Faixa (mbar): 0 - 1034;
• Linearidade e Histerese (%): ±0.1;
3. Pressao Dinamica
• Faixa (mbar): 0 - 50;
• Linearidade e Histerese (%): ±0.1;
4. Temperatura
• Faixa (◦C): −40 - +70;
• Linearidade e Histerese (◦C): ±0.5;
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 109
5. Angulo de Ataque e Angulo de Derrapegem
• Faixa (◦): ±20;
• Linearidade e Histerese (%): ±0.1;
6. Limitacoes Operacionais
• Altitude: 0 - 8500m;
• Velocidade verdadeira (MSL): ate 325km/h;
• Velocidade verdadeira (2000 m): ate 358km/h;
• Velocidade verdadeira (2000 m): ate 398km/h;
• Velocidade verdadeira (2000 m): ate 440km/h;
• Velocidade verdadeira (2000 m): ate 497km/h;
7. Dimensoes
• Comprimento (cm): 0.52;
• Diametro (cm): 0.12/0.40;
• Peso (kg): menor que 0.490;
O receptor de GPS alem de prover os dados de navegacao, e o responsavel pela base
de tempo utilizada por todo o sistema de aquisicao. A taxa de aquisicao deste sensor e
de 1Hz. A principais variaveis adquiridas sao: posicao horizontal, velocidade em relacao
ao solo, trajetoria verdadeira, velocidade vertical e altitude.
Por fim, as posicoes angulares das superfıcies de controle foram obtidas atraves de
potenciometros lineares (GEFRAN PZ12). Estes potenciometros foram instalados nos
tubos e cabos entre as colunas de controle e as superfıcies de controle aerodinamico.
A instalacao dos sensores na aeronave Curumim foi feita de maneira a minimizar os
erros sistematicos e simplificar a analise dos dados, figura 4.52. Os aspectos mais impor-
tantes dizem respeito ao posicionamento do sensor anemometrico, ao posicionamento do
sensor inercial e ou posicionamento da antena do sensor de GPS. O sensor anemometrico
e muito suscetıvel aos efeitos aerodinamicos ao redor da asa (downwash, upwash,sidewash,
por exemplo), os quais podem ocasionar erros sistematicos, principalmente, nas medidas
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 110
do angulo de ataque e do angulo de derrapagem. Procurou-se, portanto, instalar o sensor
anemometrico de maneira a possibilitar o maior afastamento possıvel do fluxo aerodina-
mico influenciado pela asa, a melhor posicao encontrada foi a ponta da asa esquerda.
Quanto ao sensor inercial, para evitar a necessidade de grandes correcoes oriundas do
off-set entre a posicao de instalacao e o centro de gravidade da aeronave, procurou-se
instala-lo no centro de gravidade estimado. Ja quanto a antena do receptor de GPS,
procurou-se instala-la em uma posicao que evitasse interferencias eletromagneticas oriun-
das do motor da aeronave e dos equipamentos de cabine, alem de possibilitar uma melhor
linha de visada com a constelacao de satelites. A mesma foi instalada, portanto, externa-
mente, na extremidade superior da fuselagem, entre a cabine de comando e a empenagem.
Figura 4.52: Instalacao dos principais componentes do sistema de aquisicao de dados naaeronave Curumim
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 111
Tabela 4.7: Fatores de Escala e Erros SistematicosSensor Fator de Escala Erro Sistematicoα1 1.4672 -0.0470 radq1 1.1090 0.0047 rad/sAz1 1.0520 0.0483 GVtas1 1.0000 -2.2430 m/s
4.3.2.1 Calibracao dos Sensores Anemometricos e Sensores Inerciais via Com-
patibilizacao de Dados
A calibracao dos sensores foi feita atraves da aplicacao de tecnicas de compatibilizacao
de dados, ou Flight Path Reconstruction, (JATEGAONKAR, 2001)(MENDONCA; HEMERLY;
GOES, 2005). O modelo cinematico utilizado foi um modelo nao-linear completo, incluindo
as variaveis latero-direcionais. Os resultados mostrados aqui, entretanto, dizem respeito
as variaveis de interesse para este estudo, as quais influenciam no modelo de perıodo
curto utilizado. Maior enfase, portanto, e dada as seguintes variaveis: angulo de ataque,
velocidade de arfagem, aceleracao vertical e velocidade de voo. Os resultados da calibracao
dos sensores destas variaveis estao mostrados na tabela 4.7.
Os dados utilizados para este procedimento correspondem a trinta segundos de dados
selecionados de um dos voos da pre-campanha de ensaio. Nesta oportunidade foram apli-
cados sinais de excitacao que garantiram adequada excitacao das variaveis longitudinais,
principalmente daquelas correspondentes ao perıodo curto. Nas figuras 4.53 - 4.56 estao
ilustradas as curvas temporais dos dados medidos e dos dados preditos atraves da com-
patibilizacao. Os parametros da tabela 4.7 foram utilizados para a correcao dos dados de
medida na analise de manobras de ensaios em voo que se segue.
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 112
0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
tempo [s]
AO
A [r
ad]
Calibraçao de AOAAOA − sensor 1Prediçao do AOA
Figura 4.53: Grafico de Calibracao dos Sensores de Angulo de Ataque
0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
tempo [s]
q [r
ad/s
]
Calibraçao da Velocidade de Arfagemq − sensor 1Predição de q
Figura 4.54: Grafico de Calibracao do Sensor de Velocidade de Arfagem
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 113
0 5 10 15 20 25 30 35 40−1.5
−1
−0.5
0
tempo [s]
Az [g
]
Calibraçao da Aceleraçao VerticalA
z − sensor 1
Predição de Az
Figura 4.55: Grafico de Calibracao do Sensor de Aceleracao Vertical
0 5 10 15 20 25 30 35 4025
30
35
40
tempo [s]
Vta
s [m/s
]
Calibraçao da Velocidade Verdadeira
Vtas
− sensor 1
Prediçao de Vtas
Figura 4.56: Grafico de Calibracao do Sensor de Velocidade Verdadeira
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 114
4.3.2.2 Modelagem dos Resıduos de Medida do Sistema de Aquisicao de Da-
dos
Um componente importante do algoritmo de otimizacao de sinais de excitacao e o
modelo de medida. Neste modelo devem ser consideradas as covariancias a as funcoes de
autocorrelacao dos resıduos de medida. Os resıduos de medida considerados neste estudo
sao os referentes aos sensores de angulo de ataque, velocidade de arfagem e aceleracao
vertical, uma vez que sao apenas essas as variaveis consideradas no modelo de perıodo
curto adotado.
Os resıduos foram obtidos atraves do ajuste das curvas de saıda aplicando o procedi-
mento de estimacao parametrica. Os dados considerados correspondem a primeira metade
(15 s) dos dados utilizados para calibracao dos sensores. O modelo utilizado e o proprio
modelo adotado para analise de manobras, ou seja, o modelo de perıodo curto. Espera-se
incluir na modelagem dos resıduos de medida, entre outros efeitos, as nao-linearidades da
dinamica de voo, pois as mesmas nao estao modeladas e certamente irao influenciar no
calculo dos limites de Cramer-Rao. Em suma, a modelagem dos resıduos de medida sera
utilizada para avaliar e otimizar os sinais de excitacao em relacao do modelo linear de
perıodo curto; e desejavel, portanto, que os mesmos sejam obtidos levando em conside-
racao este modelo, pois, caso contrario, a otimizacao dos sinais de excitacao seria muito
otimista.
Na tabela 4.8, estao descritas as covariancias dos resıduos de medida dos sensores de
angulo de ataque, velocidade verdadeira e aceleracao vertical.
Tabela 4.8: Covariancias dos resıduos de medida (α,q,Az)Sensor Covarianciaα1 0.0010q 0.0013Az 0.0053
Nas figuras 4.57 - 4.59, estao descritos a densidade espectral de potencia e a funcao
de autocorrelacao dos mesmos sensores.
Nota-se que os resıduos possuem fortes caracterısticas de resıduos coloridos, princi-
palmente os resıduos de angulo de ataque e de aceleracao vertical. De acordo com o
mostrado nas densidades espectrais de potencia, grande parte da energia dos mesmos esta
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 115
0 5 10 15 200
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
frequencia [rad/s]
PSD do resíduo do sensor de ângulo de ataque
0 100 200 300 400 500 600 700−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10x 10
−4
τ
Ruu
(τ)
Autocorrelaçao do Resíduo do Sensor de AOA
Figura 4.57: Densidade Espectral de Potencia e Funcao de Autocorrelacao do Resıduo doSensor de α
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
frequencia [rad/s]
PSD do resíduo do sensor de velocidade de arfagem
0 100 200 300 400 500 600 700−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5x 10
−3
τ
Ruu
(τ)
Autocorrelação do resíduo do sensor de q
Figura 4.58: Densidade Espectral de Potencia e Funcao de Autocorrelacao do Resıduo doSensor de q
0 5 10 15 200
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5PSD do resíduo do sensor de aceleraçao vertival
frequencia [rad/s]0 100 200 300 400 500 600 700
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7x 10
−3
τ
Ruu
(τ)
Autocorrelaçao do residuo do sensor de Az
Figura 4.59: Densidade Espectral de Potencia e Funcao de Autocorrelacao do Resıduo doSensor Az
concentrada nas baixas frequencias. E interessante salientar que estas sao, realmente,
as caracterısticas dos resıduos que serao encontrados na analise dos dados neste estudo
e, portanto, e importante leva-las em consideracao no desenvolvimento e otimizacao dos
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 116
sinais de excitacao para que o algoritmo de calculo da dispersao das estimativas nao seja
demasiadamente otimista.
4.3.3 Manobras Convencionais
As manobras convencionais estudadas nesta oportunidade sao o Doublet(ou 1-1), o
2-1-1 e o 3-2-1-1. O ajuste destes sinais foi feito em funcao das suas densidades espectrais
de potencia. O objetivo e maximiza-las nas frequencias proximas a frequencia natural do
perıodo curto do Curumim, 3.31 rad/s, levando em consideracao o modelo de conheci-
mento a priori. A figura 4.60 mostra as densidades espectrais de potencia dos tres sinais
citados acima ja com suas amplitudes ajustadas.
Pode-se notar que o δt de 0.7s e adequado para concentrar a energia dos sinais de
excitacao nas frequencias proximas a 3.31 rad/s. O ajuste das amplitudes dos sinais foi
realizado por tentativa e erro, considerando o modelo de conhecimento a priori, de maneira
a manter a variacao da aceleracao vertical entre ±0.6G. Conforme pode ser visto nas
figuras 4.61 - 4.63, foi considerado que o Doublet deveria ser aplicado com uma amplitude
de 10 graus, que o 2-1-1 deveria ser aplicado com uma amplitude de 8 graus, e que o
3-2-1-1 deveria ser aplicado com uma amplitude de 7 graus.
Como ja foi dito, para cada manobra, foi dedicado um voo no qual foram realizadas
trinta corridas de ensaio. Foram selecionadas as quinze melhores corridas. A resposta tem-
poral do Curumim (em perıodo curto) para as quinze melhores corridas de cada manobra
estudada esta ilustrada nas figuras 4.64 - 4.66.
O procedimento de estimacao de parametros foi realizado para cada corrida de ensaio.
Os resultados estao mostrados em funcao dos histogramas e das funcao de densidade
de probabilidade das respectivas distribuicoes, figuras 4.70 - 4.75. Maiores detalhes a
respeito da analise dos resultados serao dados mais adiante, em conjunto com a analise
dos resultados das manobras otimizadas.
4.3.4 Manobras Otimizadas
Para avaliar as tecnicas de otimizacao de manobras abordadas neste estudo, foi de-
senvolvido um sinal de excitacao otimizado para estimar os seis parametros do modelo
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 117
de perıodo curto da aeronave Curumim. A funcao de aptidao utilizada foi (3.18). Assim
como para os sinais convencionais, a principal restricao do procedimento de otimizacao foi
a variacao maxima da aceleracao vertical, ±0.6 G. Outra restricao imposta diz respeito a
amplitude da deflexao do profundor, neste procedimento foi estabelecido que a variacao
do profundor deveria ser no maximo |10| graus. O perıodo maximo de duracao do sinal
foi de 15 segundos. Por fim, por questoes de implementabilidade por parte do piloto, foi
estabelecido que a mınima diferenca entre os switching times deveria ser de 0.5 segun-
dos e o numero selecionado de switching times foi 8. Os objetivos estabelecidos para a
otimizacao foram a minimizacao das covariancias individuais.
E interessante salientar que neste procedimento foram levados em consideracao os
resıduos coloridos dos sensores de medida do angulo de ataque, da velocidade de arfagem
e da aceleracao vertical, de acordo com o mostrado anteriormente, figuras 4.57 - 4.59. O
sinal resultante e a resposta temporal simulada estao mostrados na figura 4.67.
Na figura 4.68, estao os dados das quinze corridas de ensaio selecionadas para compara-
cao estatıstica. Pode-se observar o sinal de excitacao aplicado e as respostas temporais
da aeronave em angulo de ataque, velocidade de arfagem e aceleracao vertical.
Para se estabelecer comparacao entre o sinal otimizado e os sinais especificados em
funcao da densidade espectral de potencia, estes tambem foram avaliados em funcao dos
limites inferiores de Cramer-Rao levando em consideracao os resıduos coloridos dos sen-
sores, tabela 4.9. Em contra partida, a densidade espectral de potencia do sinal otimizado
tambem foi avaliada, figura 4.69.
4.3.5 Analise dos Resultados
Na tabela 4.9, pode-se verificar que o sinal otimizado realmente reduz a dispersao das
estimativas para todos os parametros do modelo de perıodo curto. Entre os sinais especi-
ficados em funcao da densidade espectral de potencia, nota-se que para os parametros Zα,
Mα, Mq e Mδe o 3-2-1-1 e superior, ja para Zq e Zδe o Doublet e superior.
Observando-se as densidade espectrais, figura 4.69, nota-se que o sinal otimizado ofe-
rece maior energia. Isso se da devido ao maior tempo de duracao do mesmo. E interessante
salientar que, mesmo com energia superior, o sinal otimizado respeita as restricoes im-
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 118
postas. A tendencia observada e que o sinal otimizado tende a aumentar a densidade
espectral de potencia em regioes espectrais bem definidas, mantendo suas bandas rela-
tivamente largas. O sinal otimizado concentra elevada densidade espectral de potencia
nao so nas frequencias proximas a 3.31 rad/s, mas tambem em frequencias entre 1 e 2
rad/s e entre 2 e 2.5 rad/s. Essa caracterıstica certamente ocasiona a maior excitacao
de frequencias pouco excitadas pelos sinais convencionais, o que pode propiciar melhores
resultados na estimacao parametrica.
As figuras 4.70 - 4.75 mostram os histogramas, as dispersoes e as funcoes de densi-
dade de probabilidade das estimativas parametricas para os seis parametros do modelo
de perıodo curto adotado. Estes resultados sao referentes as quinze melhores corridas
de ensaio de cada manobra estudada. A tendencia observada e que o sinal otimizado
melhorou consideravelmente a confiabilidade das estimativas, pois os resultados obtidos
com sua aplicacao tenderam a menores dispersoes e menores bias, principalmente quando
sao observados os parametros Zα, Zq, Zδe e Mq. Este resultado e o esperado, uma vez
que, claramente, o sinal otimizado minimiza os limites de Cramer-Rao e ainda apresenta
maior potencia nas frequencias de interesse. Alem disso, uma vez que a frequencia natu-
ral do sistema apenas depende dos parametros contidos na matriz A, o sinal especificado
em funcao da analise espectral nao considera as derivadas de controle e outros eventuais
parametros que venham a estar fora da mesma.
Outro aspecto a ser considerado e que o sinal otimizado possui maior complexidade
do que os sinais convencionais estudados. Essa maior complexidade pode prejudicar a
implementacao em voo, principalmente quando o sinal esta sendo aplicado manualmente,
como neste estudo. Este ponto e preocupante, pois os sinais com maior complexidade estao
mais sujeitos a nao serem implementados adequadamente. Embora o presente experimento
tenha demonstrado robustez quanto ao disposto acima, acredita-se que dispositivos para
aplicacao automatica dos sinais de excitacao sejam fundamentais em alguns casos.
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 119
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
PS
D
Frequência [rad/s]
Densidade Espectral de Potência dos Sinais Convencionais
Doublet: 0.7dt − a = 10 graus3−2−1−1: 0.7dt − a = 7 graus2−1−1: 0.7dt − a = 8 graus
Figura 4.60: Densidade Espectral de Potencia e Funcao de Autocorrelacao do Resıduo doSensor Az
0 1 2 3−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
tempo [s]
δ e [rad
]
0 1 2 3
−0.1−0.05
00.050.1
tempo [s]
α [r
ad]
0 1 2 3−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
tempo [s]
q [r
ad/s
]
0 1 2 3−1
−0.5
0
0.5
1
tempo [s]
a z [g]
Simulaçao de Planejamento − Doublet
Figura 4.61: Simulacao de Planejamento Para o Sinal Doublet
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 120
0 2 4−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
tempo [s]
δ e [rad
]
0 2 4
−0.1−0.05
00.050.1
tempo [s]
α [r
ad]
0 2 4−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
tempo [s]
q [r
ad/s
]
0 2 4−1
−0.5
0
0.5
1
tempo [s]
a z [g]
Simulaçao de Planejamento − 2−1−1
Figura 4.62: Simulacao de Planejamento Para o Sinal 2-1-1
0 2 4 6−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
tempo [s]
δ e [rad
]
0 2 4 6
−0.1−0.05
00.050.1
tempo [s]
α [r
ad]
0 2 4 6−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
tempo [s]
q [r
ad/s
]
0 2 4 6−1
−0.5
0
0.5
1
tempo [s]
a z [g]
Simulaçao de Planejamento − 3−2−1−1
Figura 4.63: Simulacao de Planejamento Para o Sinal 3-2-1-1
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 121
00.5
11.5
22.5
0
5
10
15
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
tempo [s]
Deflexao do Profundor
Corrida de Ensaio
δ e [rad
]
00.5
11.5
22.5
0
5
10
15
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
tempo [s]
AOA
Corrida de Ensaio
α [r
ad]
00.5
11.5
22.5
0
5
10
15
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
tempo [s]
Velocidade de Arfagem
Corrida de Ensaio
q [r
ad/s
]
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
5
10
15
−1
−0.5
0
0.5
1
tempo [s]
Aceleraçao Vertical
Corrida de Ensaio
a z [g]
Figura 4.64: Resposta temporal da aeronave para as 15 melhores corridas do Doublet
01
23
45
0
5
10
15
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
tempo [s]
Deflexao do Profundor
Corrida de Ensaio
δ e [rad
]
01
23
45
0
5
10
15
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
tempo [s]
AOA
Corrida de Ensaio
α [r
ad]
0 1 2 3 4 5
0
5
10
15
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
tempo [s]
Velocidade de Arfagem
Corrida de Ensaio
q [r
ad/s
]
01
23
45
0
5
10
15
−1
−0.5
0
0.5
1
tempo [s]
Aceleraçao Vertical
Corrida de Ensaio
a z [g]
Figura 4.65: Resposta temporal da aeronave para as 15 melhores corridas do 2-1-1
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 122
0 1 2 3 4 5 6
0
5
10
15
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
tempo [s]
Deflexao do Profundor
Corrida de Ensaio
δ e [rad
]
01
23
45
6
0
5
10
15
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
tempo [s]
AOA
Corrida de Ensaio
α [r
ad]
0 1 2 3 4 5 6
0
5
10
15
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
tempo [s]
Velocidade de Arfagem
Corrida de Ensaio
q [r
ad/s
]
0 1 2 3 4 5 6
0
5
10
15
−1
−0.5
0
0.5
1
tempo [s]
Aceleraçao Vertical
Corrida de Ensaio
a z [g]
Figura 4.66: Resposta temporal da aeronave para as 15 melhores corridas do 3-2-1-1
0 2 4 6 8 10 12 14
−0.1−0.05
00.050.1
tempo [s]
δ e [rad
]
0 2 4 6 8 10 12 14
−0.1−0.05
00.050.1
tempo [s]
α [r
ad]
0 2 4 6 8 10 12 14−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
tempo [s]
q [r
ad/s
]
0 2 4 6 8 10 12 14−0.5
0
0.5
tempo [s]
a z [g]
Simulaçao de Planejamento − Sinal Ótimo
Figura 4.67: Simulacao de Planejamento Para o Sinal Otimizado
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 123
0
5
10
15
0
5
10
15
−0.5
0
0.5
tempo [s]
Deflexao do Profundor
Corrida de Ensaio
δ e [rad
]
0
5
10
15
0
5
10
15
−0.5
0
0.5
tempo [s]
AOA
Corrida de Ensaio
α [r
ad]
02
46
810
1214
0
5
10
15−1
−0.5
0
0.5
tempo [s]
Velocidade de Arfagem
Corrida de Ensaio
q [r
ad/s
]
0
5
10
15
0
5
10
15−1
0
1
tempo [s]
Aceleraçao Vertical
Corrida de Ensaio
a z [g]
Figura 4.68: Resposta temporal da aeronave para as 15 melhores corridas do sinalotimizado
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
PS
D
Frequência [rad/s]
Comparação dos PSD’s para os sinais em estudo
Doublet: 0.7dt − a = 10 graus3−2−1−1: 0.7dt − a = 7 graus2−1−1: 0.7dt − a = 8 grausSinal Otimizado − a = 7.5 graus
Figura 4.69: Densidade Espectral de Potencia dos Sinais Estudados
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 124
−4 −3 −20
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Doublet
Zα
Fre
quên
cia
de O
corr
ênci
a
−4 −3 −20
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
42−1−1
Zα
Fre
quên
cia
de O
corr
ênci
a
−4 −3 −20
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
43−2−1−1
Zα
Fre
quên
cia
de O
corr
ênci
a
−4 −3 −20
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Otimizado
Zα
Abs
olut
e in
cide
nce
0 5 10 15−4.5
−4
−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
Dispersão − Zα
Corrida de Ensaio
Val
or d
o P
arâm
etro
Doublet2−1−13−2−1−1OtimizadoMédia DoubletMédia 2−1−1Média 3−2−1−1Média Otimizado
−4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Zα
Den
sida
de d
e P
roba
bilid
ade
PDF Zα
Doublet2−1−13−2−1−1OtimizadoValor a priori
Figura 4.70: Comparacao das Manobras - Resultados da estimacao de Zα
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 125
−0.5 0 0.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Doublet
Zq
Fre
quên
cia
de O
corr
ênci
a
−0.5 0 0.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
42−1−1
Zq
Fre
quên
cia
de O
corr
ênci
a
−0.5 0 0.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
43−2−1−1
Zq
Fre
quên
cia
de O
corr
ênci
a
−0.5 0 0.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Otimizado
Zq
Abs
olut
e in
cide
nce
0 5 10 15
−0.5
0
0.5
1
1.5
Dispersão − Zq
Corrida de Ensaio
Val
or d
o P
arâm
etro
Doublet2−1−13−2−1−1OtimizadoMédia DoubletMédia 2−1−1Média 3−2−1−1Média Otimizado
−0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.80
0.5
1
1.5
2
2.5
Zq
Den
sida
de d
e P
roba
bilid
ade
PDF Zq Doublet
2−1−13−2−1−1OtimizadoValor a priori
Figura 4.71: Comparacao das Manobras - Resultados da estimacao de Zq
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 126
0 5 10 15−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Dispersão − Zδe
Corrida de Ensaio
Val
or d
o P
arâm
etro
Doublet2−1−13−2−1−1OtimizadoMédia DoubletMédia 2−1−1Média 3−2−1−1Média Otimizado
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Zδe
Den
sida
de d
e P
roba
bilid
ade
PDF Zδe
Doublet2−1−13−2−1−1OtimizadoValor a priori
Figura 4.72: Comparacao das Manobras - Resultados da estimacao de Zδe
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 127
−10 −50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Doublet
Mα
Fre
quên
cia
de O
corr
ênci
a
−10 −50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
42−1−1
Mα
Fre
quên
cia
de O
corr
ênci
a
−10 −50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
43−2−1−1
Mα
Fre
quên
cia
de O
corr
ênci
a
−10 −50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Otimizado
Mα
Abs
olut
e in
cide
nce
0 5 10 15−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
Dispersão − Mα
Corrida de Ensaio
Val
or d
o P
arâm
etro
Doublet2−1−13−2−1−1OtimizadoMédia DoubletMédia 2−1−1Média 3−2−1−1Média Otimizado
−13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −30
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Mα
Den
sida
de d
e P
roba
bilid
ade
PDF Mα
Doublet2−1−13−2−1−1OtimizadoValor a priori
Figura 4.73: Comparacao das Manobras - Resultados da estimacao de Mα
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 128
−4 −2 00
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5Doublet
Mq
Fre
quên
cia
de O
corr
ênci
a
−4 −2 00
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
52−1−1
Mq
Fre
quên
cia
de O
corr
ênci
a
−4 −2 00
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
53−2−1−1
Mq
Fre
quên
cia
de O
corr
ênci
a
−4 −2 00
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5Otimizado
Mq
Abs
olut
e in
cide
nce
0 5 10 15−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
Dispersão − Mq
Corrida de Ensaio
Val
or d
o P
arâm
etro
Doublet2−1−13−2−1−1OtimizadoMédia DoubletMédia 2−1−1Média 3−2−1−1Média Otimizado
−5 −4 −3 −2 −1 0 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Mq
Den
sida
de d
e P
roba
bilid
ade
PDF Mq
Doublet2−1−13−2−1−1OtimizadoValor a priori
Figura 4.74: Comparacao das Manobras - Resultados da estimacao de Mq
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 129
−10 −50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Doublet
Mδe
Fre
quên
cia
de O
corr
ênci
a
−10 −50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
42−1−1
Mδe
Fre
quên
cia
de O
corr
ênci
a
−10 −50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
43−2−1−1
Mδe
Fre
quên
cia
de O
corr
ênci
a
−10 −50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4Otimizado
Mδe
Abs
olut
e in
cide
nce
0 5 10 15−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
Dispersão − Mδe
Corrida de Ensaio
Val
or d
o P
arâm
etro
Doublet2−1−13−2−1−1OtimizadoMédia DoubletMédia 2−1−1Média 3−2−1−1Média Otimizado
−14 −12 −10 −8 −6 −4 −20
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Mδe
Den
sida
de d
e P
roba
bilid
ade
PDF Mδe Doublet
2−1−13−2−1−1OtimizadoValor a priori
Figura 4.75: Comparacao das Manobras - Resultados da estimacao de Mδe
CAPITULO 4. RESULTADOS EXPERIMENTAIS 130
Tabela 4.9: Limites inferiores dos desvios-padrao relativos para as sinais de excitacaoestudados
Parametro Zα Zq Zδe Mα Mq Mδe
Sinal -1.768 0.080 -0.160 -7.394 -1.934 -8.360
Otimizado 8.08% 62.49% 71.45% 5.17% 7.31% 5.07%3-2-1-1 12.10% 91.25% 110.10% 9.54% 11.16% 7.43%2-1-1 16.38% 101.65% 95.84% 11.78% 11.39% 10.50%Doublet 14.03% 89.36% 79.53% 9.58% 12.44% 9.80%
Capıtulo 5
Conclusoes
Este estudo apresentou algumas tecnicas de desenvolvimento, otimizacao e especi-
ficacao de manobras de ensaios em voo para estimacao de derivadas de estabilidade e
controle de aeronaves. Resultados foram obtidos atraves da analise de dados sinteticos e
de dados reais. A conclusao mais clara que se pode tirar e que o processo de identificacao
e estimacao de derivadas de estabilidade e controle tem se mostrado um problema muito
mais abrangente do que apenas a especificacao de metodos e algoritmos de identificacao.
A eficiencia deste processo depende fortemente da manobra de ensaio em voo aplicada.
Alem disso, a viabilidade da aplicacao em problemas praticos e evidenciada na analise da
campanha de ensaios em voo da aeronave Curumim.
Os principais aspectos a respeito dos criterios de otimizacao dos sinais de excitacao
foram mostrados no capıtulo 2, onde os principais erros de estimacao de parametros foram
abordados em conjunto com os conceitos de limites inferiores de Cramer-Rao e Matriz
de Informacao de Fisher, os quais foram utilizados para a composicao dos criterios de
otimizacao. Foi apresentada uma tecnica de correcao do calculo das incertezas levando
em consideracao resıduos coloridos nas variaveis de medida, o que viabilizou o desenvolvi-
mento de manobras de maneira mais realıstica. Em um segundo momento foi formulado
o problema de otimizacao dos sinais de excitacao, apresentando tambem alguns aspectos
do algoritmo genetico utilizado para a solucao. Por fim, foram apresentados alguns resul-
tados que viabilizaram a comparacao entre os resultados obtidos atraves dos algoritmos
propostos neste estudo e resultados anteriores.
Os seguintes aspectos se tornaram mais relevantes:
CAPITULO 5. CONCLUSOES 132
1. Quanto a implementacao de restricoes de ordem pratica, foi verificada a grande
importancia do acesso direto as restricoes que dizem respeito as variaveis de entrada
e de saıda das dinamicas de voo de aeronaves. Estas restricoes permitem, de forma
eficiente, a especificacao de manobras de ensaios em voo otimizados que respeitam
os limites operacionais do envelope de voo, significando forte vantagem quanto a
seguranca do voo.
2. Quanto a preocupacao com implementacao pratica, ficou clara que as tecnicas abor-
dadas nestes estudo permitem o desenvolvimento de sinais de excitacao otimizados
passıveis de serem implementados manualmente pelo piloto.
3. Quanto a otimizacao multi-objetivo e no mınimo tempo, as principais conclusoes
dizem respeito a grande vantagem de utilizar objetivos explıcitos para os nıveis de
incerteza das estimativas parametricas para que as manobras de ensaios possam ser
otimizadas em funcao do tempo de execucao. Os resultados obtidos levam a crer
que os sinais otimizados para o mınimo tempo podem aumentar a produtividade
e eficiencia das campanhas de ensaio em voo para estimacao parametrica, princi-
palmente quando e considerada a necessidade de ensaios em multiplos pontos do
envelope de voo.
4. Quanto a consideracao de resıduos coloridos, corroborando com o disposto acima,
e clara a sua necessidade, pois so assim o planejamento das manobras de ensaios
em voo podera ter acesso realista aos objetivos estabelecidos no procedimento de
otimizacao, possibilitando adequada avaliacao dos sinais resultantes.
5. Quanto ao algoritmo genetico de otimizacao, verifica-se que suas solucoes tenderam
a ser globais, principalmente quando os resultados sao comparados com resultados
anteriores obtidos atraves de programacao dinamica. Este algoritmo possibilitou de
forma eficiente o acesso as diversas peculiaridades praticas que envolvem a otimiza-
cao de sinais de excitacao para manobras de ensaios em voo para estimacao de
parametros, com especial enfase para restricoes operacionais e de implementabili-
dade.
A principal contribuicao deste trabalho e a sua formulacao pratica, realista, e de direta
aplicacao para o planejamento e execucao de campanhas de ensaios em voo para estimacao
CAPITULO 5. CONCLUSOES 133
de parametros. Ficou evidenciada a sua necessidade, a sua viabilidade e, principalmente,
as vantagens de sua aplicacao. Sejam diretas, atraves da melhora nos nıveis de incerteza
associados aos procedimentos de estimacao de parametros e a diminuicao do tempo de
execucao das manobras, sejam indiretas, atraves da capacidade de apoiar o planejamento
das campanhas, principalmente, no que tange a seguranca de voo e aos procedimentos de
minimizacao de riscos.
Para futuros trabalhos, sao identificados diversos topicos, incluindo:
1. O estudo mais aprofundado a respeito das implementacoes manuais atraves do piloto
dos sinais otimizados, enfocando a aceitabilidade dos sinais otimizados em compara-
cao com sinais convencionais.
2. A formulacao de problemas de otimizacao que envolvam parametros dos sistemas
de aquisicao de dados, tais como: fatores de escala, erros sistematicos, atrasos de
transporte. Essa abordagem seria de fundamental importancia para o perfeito de-
senvolvimento das tecnicas de calibracao de sensores via reconstrucao de trajetoria
de voo.
3. A formulacao de problemas envolvendo outros criterios de otimizacao, tais como:
ındice de correlacao entre parametros, uma vez que estas informacoes sao de facil
acesso tambem atraves da matriz de informacao.
4. O estudo dos efeitos da robustez das tecnicas apresentadas neste trabalho em relacao
aos modelos de conhecimento a priori.
5. O desenvolvimento de sinais de excitacao para sistemas dinamicos em malha fechada
e para sistemas instaveis.
6. A consideracao de modelos dinamicos nao-lineares, que permitam realizar o plane-
jamento do voo de maneira mais completa e adequada.
7. A integracao de outras tecnicas naturais de otimizacao com o algoritmo genetico, tais
como, colonia de passaros, colonia de peixes, colonia de formigas. Estas algoritmos
em conjunto podem fornecer solucoes mais eficientes, principalmente no que tange
a busca global e ao custo computacional.
CAPITULO 5. CONCLUSOES 134
8. A implementacao de tecnicas de diferenciacao automatica, as quais permitem maior
eficiencia dos algoritmos que necessitam de diferenciacao numerica das equacoes do
movimento de aeronaves.
9. A implementacao do algoritmo de otimizacao de manobras em conjunto com o al-
goritmo de identificacao de sistemas em tempo real, englobando metodos de erro de
saıda e de erro filtrado, possibilitando a realizacao de abordagens em voo, princi-
palmente com o intuito de aumentar a produtividade das campanhas de ensaios.
Referencias Bibliograficas
BALAKRISHNAN, A. V. Communication Theory. New York,NY: McGraw-Hill Book
Co., 1968.
BENDAT, J. S.; PIERSON, A. G. Random Data Analysis and Measurement Pro-
cedures. Third edition. New York,NY: Wiley Inter-Science, 2000.
BLAKELOCK, J. H. Automatic Control of Aircraft and Missiles. New York,NY:
John Wiley and Sons, Inc., 1965.
BRYAN, G. H. Stability in Aviation. London: McMillan, 1911.
CHEN, R. T. N. Input design for aircraft parameter identification: Using time-optimal
control formulation. AGARD-CP-172, 1975.
CRAMeR, H. Mathematical Methods of Statistics. Princeton: Princeton University
Press, 1946.
CROSSBOW. AHRS400 Series User’s Manual. San Jose, CA.
CURVO, M. Estimation of aircraft aerodynamic derivatives using extended kalman filter.
Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences, v. 22, n. 2, p. 133–148,
2000. ISSN 0100-7386.
DARWIN, C. The Origin of Species. London: John Murray, 1859.
DUKE, E. L.; ANTONIEWICZ, R. F.; KRAMBEER, K. D. Derivation and Definition
of a Linear Aircraft Model. Edwards, Calif., USA, 1988.
ETKIN, B. Dynamis of Fliht: Stability and Control. New York: John Wiley and
Sons, Inc., 1965.
Referencias Bibliograficas 136
GOLDBERG, D. E. Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine
Learning. Reading, MA: Addison-Wesley Longman, Inc., 1989.
GOODWIN, G. C.; PAYNE, R. L. Dynamic System Identification: Experiment
Design and Data Analysis. New York: Academic Press Inc., 1977.
GREENBERG, H. A Survey of Methods For Determining Stability Parameters
of an Airplane From Dynamic Flight Measurements. Langley, 1951.
GUPTA, N. K.; JR., W. E. H. Input Design for Identification of Aircraft Stability
and Control Derivatives. Palo Alto, Calif., USA, 1975.
HOLLAND, J. H. Adaption in Nature and Artificial Systens, Ann Arbor. Michi-
gan: University of Michigan, 1975.
ILIFF, K. W.; MAINE, R. E. Practical Aspects of Using a Maximum Likelihood
Estimation Metohd to Extract Stability and Control Derivatives from Flight
Data. Edwards, Calif., USA, 1976.
ILIFF, K. W.; MAINE, R. E. Further observations on maximum likelihood estimates of
stability and control characteristics obtained from flight data. In: Atmospheric Flight
Mechanics Conference. Hollywood, Fla.: AIAA, 1977. p. 100–112.
ILIFF, K. W.; MAINE, R. E.; MONTGOMERY, T. D. Impotant Factors in the
Maximum Likelihood Analysis of Flight Test Maneuvers. Edward, Calif., USA,
April 1979.
ILIFF, K. W.; TAYLOR, L. W. Determination of Stability Derivatives From Flight
Data Using a Newton-Raphson Minimization Technique. Edwards, Calif., 1972.
JATEGAONKAR, R.; PLAETSCHKE, E. Maximum Likelihood Parameter Esti-
mation from Flight Test Data for General Non-Linear Systems. Braunschweig,
1983.
JATEGAONKAR, R.; PLAETSCHKE, E. Maximum Likelihood Estimation of Pa-
rameters in Linear Systems with Process and Measurement Noise. Braun-
schweig, 1987.
Referencias Bibliograficas 137
JATEGAONKAR, R. V. ESTIMA A Modular and Integrated Software Tool for
Parameter Estimation and Simulation of Dynamics Systems - User’s Manual,
Version 1.0. Brauschweig, 2001.
JATEGAONKER, R. V.; PLAESTSCHKE, E. Algorithms for aircraft estimation account-
ing for process and measurement noise. Journal of Aircraft, v. 26, n. 4, p. 360–372,
1989. ISSN 0021-8669.
LJUNG, L. System Identification: Theory for the User. Englewood Cliffs, NJ:
Prentice-Hall, Inc., 1987.
MACIEL, B. C. de O.; GOES, L. C. S.; VASCONCELOS, L. J. H. Identificacao
parametrica das derivadas de estabilidade e controle do movimento longitudinal da aeron-
ave xavante at-26. In: XV Congresso Brasileiro de Automatica. Gramado, RS: SBA,
2004.
MAINE, R. E.; ILIFF, K. W. The Theory and Practice of Estimating the Accuracy
of Dynamic Flight-Determined Coefficients. Edwards, Calif., USA, July 1981.
MAINE, R. E.; ILIFF, K. W. Use of cramer-rao bounds on flight data with colored
residuals. Journal of Guidance and Control, v. 4, n. 2, p. 207–213, 1981. ISSN 0731-
5090.
MAINE, R. E.; ILIFF, K. W. Identification of Dynamic System: Theory and
Formulation. Edwards, Calif., USA, February 1985.
MAINE, R. E.; ILIFF, K. W. Application of Parameter Estimation to Aircraft
Stability and Control: The Output-Error Approach. Edwards, Calif., USA, June
1986.
MARCHAND, M. Untersuchung der Bestimmbarkeit der Flugmechanischen
Derivative des CCV-Versuchstragers F-104 G. Braunschweig, 1977.
MCRUER, D.; ASHKENAS, I.; GRAHAM, D. Aircraft Dynamics and Automatic
Control. Princeton: Princeton University Press, 1973.
MEHRA, R. K. Optimal input signals for parameter estimation in dynamic systems -
survey and new results. IEEE Transactions on Automatic Control, AC-19, n. 6, p.
753–768, 1974. ISSN 0018-9286.
Referencias Bibliograficas 138
MEHRA, R. K. Optimal inputs for linear system identification. IEEE Transactions on
Automatic Control, AC-19, n. 3, p. 192–200, June 1974. ISSN 0018-9286.
MENDONCA, C. B. de; HEMERLY, E. M.; GOES, L. C. S. Noise influence on aircraft
state estimation using output error and extended kalman filter approach. In: 4.o Con-
gresso Tematico de Dinamica, Controle e Aplicacoes - DINCON. Bauru, SP:
SBMAC, 2005.
MORELLI, E. A. Practical Input Optimization for Aircraft Parameter Estima-
tion Experiments. Tese (Doutorado) — The George Washington University, Hampton,
Virginia, 1990.
MORELLI, E. A. Flight test of optimal inputs and comparison to conventional inputs.
Journal of Aircraft, Hampton, Virginia, USA, v. 36, n. 2, p. 389–397, 1997. ISSN
0021-8669.
MORELLI, E. A. Advances in experiment design for high performance aircraft. In: RTO
Meeting Proceedings on System Identification for Integrated Aircraft Devel-
opment and Flight Testing. Hampton, Virginia: RTO, 1998. p. 16.1–16.13.
MORELLI, E. A.; KLEIN, V. Determining the Accuracy of Maximum Likelihood
Parameter Estimates With Colored Residuals. Hampton, Virginia, USA, 1994.
MORELLI, E. A.; KLEIN, V. Application of system identification to aircraft at nasa
langley research center. Journal of Aircraft, v. 42, n. 1, p. 12–25, 2005. ISSN 0021-
8669.
MULDER, J. A.; BREEMAN, J. H. Identification of Dynamic Systems - Applica-
tions to Aircraft Part 2: Nonlinear Analysis and Manoeuvre Design. France,
May 1994.
NELSON, R. C. Flight Stability and Automatic Control. New York: McGraw-Hill,
Inc., 1989.
NETO, N. S. B.; GOES, L. C. S. Optimization of flight test maneuvers for aerodynamic
derivatives inverse problem. In: 6.o World Congress of Structural and Multidis-
ciplinary Optimization. Rio de Janeiro, RJ: International Society for Structural and
Multidisciplinary Optimization, 2005.
Referencias Bibliograficas 139
NORTON, F. H. The Measurement of the Damping in Roll on a JN4h in FLight.
Langley, 1923.
NORTON, F. H. A Study of Longitudinal Dynamic Stability in Flight. Langley,
1923.
NORTON, F. H.; BROWN, W. G. Complete Study of Longitudinal Oscillation of
a VE-7 Airplane. Langley, 1923.
NORTON, F. H.; CARROLL, T. The Vertical, Longitudinal, and Lateral Accel-
erations Experienced by an S. E. 5A Air-plane While Maneuvering. Langley,
1923.
OLIVEIRA, P. H. I. A. de. Manual de Operacao CEA205 CB.9 Curumim. Belo
Horizonte - MG, 2004.
ROSKAM, J. Airplane Flight Dynamics and Automatic Flight Controls - Part
I. Lawrence, KS: Roskam Aviation and Engineering Corporation, 1979.
SHINBROT, M. A Least Squares Curve Fitting Method With Applications to
the Calculation os Stability Coefficients from Transient-Response Data. Wash-
ington, DC, 1951.
SHINBROT, M. On the Analysis of Linear and Nonlinear Dynamic Systems
from Transient Response Data. Washington, DC, 1954.
STEPNER, D. E.; MEHRA, R. K. Maximum Likelihood Identification and Opti-
mal Input Design for Identifying Aircraft Stability and Control Derivatives.
Palo Alto, Calif., USA, 1973.
STEVENS, B. L.; LEWIS, F. L. Aircraft Control and Simulation. New York: John
Wiley and Sons, Inc., 1992.
VASCONCELOS, L. J. de H. Identificacao Parametrica de Derivadas de Estabil-
idade e Controle Longotudinais da Aeronave Xavante AT-26: uma aplicacao
do metodo da verossimilhanca. 2002. 189 f. Dissertacao (Mestrado em Engenharia
Aeronautica e Mecanica) — Instituto Tecnologico de Aeronautica, Sao Jose dos Campos
- SP - Brasil, 2002.
Referencias Bibliograficas 140
WANG, K. C.; ILIFF, K. W. Retrospective and recent examples of aircraft parameter
identification at nasa dryden flight research center. Journal of Aircraft, v. 41, n. 4, p.
752764, 2004. ISSN 0021-8669.
Apendice A
Modelos para as Equacoes de Estado
e de Saıda
A.1 Introducao
Os modelos matematicos utilizados para estimacao parametrica envolvem a dinamica
de voo das aeronaves e as equacoes de observacao.
A formulacao das equacoes que regem a dinamica de voo aeronaves e bem conhecida
na literatura. Basicamente, e aplicada a Segunda Lei de Newton para que um conjunto de
equacoes nao lineares de seis graus de liberdade seja deduzido. Este conjunto de equacoes e
suficiente para as analises de estabilidade e controle de aeronaves e para os procedimentos
de estimacao parametrica.
Nas equacoes da dinamica de aeronaves, aparecem termos que levam em consideracao
as forcas e momentos externos que agem sobre o processo. Estas forcas e momentos
podem ser divididos em tres famılias: gravitacionais, propulsivas, e aerodinamicas. As
forcas e momentos aerodinamicos sao de particular interesse para estimacao parametrica.
A modelagem dos mesmos e feita atraves dos coeficientes aerodinamicos de forca e de
momento. Estes coeficientes sao compostos pelas derivadas de estabilidade e controle, as
quais sao o objeto da estimacao parametrica no que tange a dinamica de aeronaves.
As equacoes de observacao sao a ligacao entre os parametros aerodinamicos a serem
estimados e a resposta temporal das aeronaves. Normalmente, o que se busca e a mini-
APENDICE A. MODELOS PARA AS EQUACOES DE ESTADO E DE SAIDA 142
mizacao do erro entre a resposta lida da aeronave em voo e as variaveis de saıda dos
modelos. Esta minimizacao deve ser feita em funcao dos parametros de interesse para o
procedimento de estimacao.
Neste capıtulo, serao apresentadas as equacoes de estado para o movimento de seis
graus de liberdade de aeronaves. O modelo aerodinamico considerado sera discutido
quanto ao problema de estimacao parametrica. Em seguida, serao aplicadas simplificacoes,
as quais possibilitam o desacoplamento do movimento completo em movimento longitudi-
nal e movimento latero-direcional, bem como serao apresentados os modelos linearizados
que serao utilizados neste estudo para o desenvolvimento e otimizacao de manobras de
ensaios em voo para estimacao parametrica.
As principais caracterısticas das equacoes de observacao serao mostradas. Algumas
peculiaridades do sistema de aquisicao de dados utilizado nos ensaios em voo tambem
serao discutidas. O objetivo e deixar clara a importancia de uma adequada modelagem
das equacoes de saıda para levar em consideracao erros sistematicos e fatores de escala
dos sensores.
A.2 Equacoes de Estado
As equacoes do movimento de uma aeronave podem ser derivadas da Segunda Lei
de Newton, que demonstra que a soma das forcas externas agindo sobre um corpo deve
ser igual a taxa de variacao temporal do seu momento linear, e a soma dos momentos
externos agindo sobre o corpo deve ser igual a taxa de variacao temporal do seu momento
angular. No caso de aeronaves, e frequente na literatura que as seguintes hipoteses sejam
assumidas:
•A massa da aeronave e constante: apesar de haver realmente variacao da massa,
principalmente pelo consumo de combustıvel, o perıodo temporal assumido para a
analise de estabilidade e controle de aeronaves e curto o bastante para que esta
hipotese seja viavel;
•A aeronave e um corpo rıgido: ao desconsiderar os efeitos aeroelasticos, este
trabalho assume que o movimento da aeronave e inteiramente regido pela translacao
APENDICE A. MODELOS PARA AS EQUACOES DE ESTADO E DE SAIDA 143
do centro de gravidade da aeronave e pela rotacao em torno do mesmo;
•A terra e o referencia inercial e a atmosfera e fixa em relacao a ela: embora
esta hipotese nao seja viavel para o estudo de movimentos de longa duracao, para
a aplicacao das tecnicas de identificacao de sistemas, controle e estabilidade de
aeronaves a mesma pode ser aplicada, uma vez que os analises se limitam a curtos
intervalos de tempo;
•O plano formado entre o eixo X e o eixo Z da aeronave e o seu proprio
plano de simetria: os produtos de inercia Jxy e Jyz , portanto, sao iguais a zero;
A deducao completa das equacoes da dinamica de aeronaves e feita por (STEVENS;
LEWIS, 1992), (BLAKELOCK, 1965), (NELSON, 1989) e (DUKE; ANTONIEWICZ; KRAMBEER,
1988), entre outros autores. Neste trabalho, entretanto, a mesma nao sera feita, uma vez
que este nao e o objeto desta dissertacao.
Em um primeiro momento serao mostrados os eixos de referencia utilizados neste es-
tudo. Logo apos serao abordadas as equacoes de estado para o movimento completo.
Partindo delas, serao feitas simplificacoes para se chegar a modelos desacoplados, os quais
podem ser utilizados para estimacao parametrica. Por fim, serao mostrados os modelos
dinamicos que serao utilizados neste estudo para demonstrar as tecnicas de desenvolvi-
mento e otimizacao de manobras de ensaios em voo e para estimacao parametrica.
A.2.1 Sistemas de Referencia e Orientacao da Aeronave em Re-
lacao ao Referencial Inercial
Para o entendimento das equacoes de estado utilizadas neste trabalho, sera necessaria
a abordagem de tres sistemas de referencia. Os primeiros dois, dizem respeito a orientacao
da aeronave em relacao a terra. Um terceiro sistema de eixos de referencia e utilizado
para descrever a direcao do vento relativo em relacao ao sistema fixo no corpo.
Para a determinacao da atitude da aeronave em relacao a terra sao utilizados um
sistema de eixos fixo ao corpo e outro sistema de eixos como referencia inercial. Ambos
sao representados por vetores ortogonais ao longo das direcoes x, y e z. O sistema de
referencia inercial e solidario a terra e seus vetores apontam para o norte, para o leste e
APENDICE A. MODELOS PARA AS EQUACOES DE ESTADO E DE SAIDA 144
para baixo, respectivamente. O sistema fixo ao corpo, chamado neste estudo de sistema
do corpo, possui seus vetores apontando para a frente da aeronave, Xb, para a asa direita,
Yb, e para baixo, Zb. A origem deste sistema e o centro de gravidade da aeronave.
Figura A.1: Orientacao do Eixo do Corpo em Relacao ao Referencial Inercial
Conforme pode ser visto na figura A.1, a orientacao da aeronave em relacao ao refe-
rencial inercial e descrita por tres rotacoes. A primeira e do angulo ψ em torno do eixo
Z1, a segunda e do angulo θ em torno do eixo Y2, a terceira rotacao e do angulo φ em
torno do eixo X3, o qual coincide com o eixo Xb.
Os tres angulos citados acima sao chamadas de angulos de Euler. As equacoes cine-
maticas que os descrevem sao obtidas ataves da projecao de ψ, θ e φ nos eixos X1, Y1 e
Z1, o que denota a velocidade angular do eixo do corpo em relacao ao referencial inercial.
Figura A.2: Eixo do Vento
APENDICE A. MODELOS PARA AS EQUACOES DE ESTADO E DE SAIDA 145
O terceiro sistema, chamado neste estudo como sistema do vento, descreve a direcao
em que o vento relativo atinge o sistema do corpo, figura A.2. Esta direcao e dada pelo
angulo de ataque,α, e pelo angulo de derrapagem, β.
Como pode ser visto, a velocidade verdadeira, a qual aponta para a trajetoria do voo,
e dada por:
Vtas =√u2 + v2 + w2 (A.1)
Alem disso:
α = tan−1(wu
)(A.2)
β = sin−1
(v
Vtas
)(A.3)
Tem-se, portanto, que:
u = Vtas cosα cos β (A.4)
v = Vtas sin β (A.5)
w = Vtas sinα cos β (A.6)
Alem disso:
Vtas =uu+ vv + ww
Vtas
(A.7)
α =uw − wu
u2 + w2(A.8)
APENDICE A. MODELOS PARA AS EQUACOES DE ESTADO E DE SAIDA 146
β =(u2 + w2) v − vww − vuu
v2√
(u2 + w2)(A.9)
As relacoes a respeito do sistema do vento mostradas nas equacoes A.1-A.9 sao im-
portantes e serao utilizadas na analise das equacoes de observacao para os modelos da
dinamica de aeronaves.
A.2.2 Equacoes de Estado para o Movimento Completo (6-DOF)
As equacoes de estado para o movimento completo de aeronaves (6-DOF) descritas no
sistema do corpo estao mostradas abaixo (BLAKELOCK, 1965),(NELSON, 1989), (STEVENS;
LEWIS, 1992).
p =−(−IyIz + I2
z + I2xz)qr + Iz(Ixzpq + qSluCl) + Ixz((Ix − Iy)pq + qSluCn
IxIz − I2xz
(A.10)
q =(−Ix + Iz)pr + Ixz(−p2 + r2) + qSlsCm
Iy(A.11)
r =Ixz(Ixzpq − (Ix − Iy + Iz)qr + qSluCl) + Ix((Ix − Iy)pq + qSluCn)
IxIz − I2xz
(A.12)
u = −g sin θ +qSCX + FT
m− wq + vr (A.13)
v = g sinφ cos θ +qSCY
m− ur + pw (A.14)
w = g cosφ cos θ +qSCZ
m− pv + qu (A.15)
φ = p+ tan θ (q sinφ+ r cosφ) (A.16)
APENDICE A. MODELOS PARA AS EQUACOES DE ESTADO E DE SAIDA 147
θ = q cosφ− r sinφ (A.17)
ψ =q sinφ+ r cosφ
cos θ(A.18)
Os coeficientes Cl, Cm e Cn nas equacoes A.10-A.18 sao todos relacionados ao centro
de massa da aeronave. Alem disso, e assumido que a tracao propulsiva passa pelo centro
de gravidade da aeronave e esta alinhada com o eixo Xb.
Em alguns casos, ha o interesse e a necessidade da utilizacao das equacoes do movi-
mento no sistema do vento, uma vez que as variaveis α, β e Vtas podem ser diretamente
medidas, o que nao acontece com u, v e w. Para isso, e necessario substituir as equacoes
A.13, A.14 e A.15 pelas relacoes A.7, A.8 e A.9. Desta maneira, os estados referentes as
velocidades lineares u, v e w sao substituidos pelas variaveis no sistema do vento α, β e
Vtas. As equacoes de estado para estas variaveis ficam:
Vtas = g (cosφ cos θ sinα cos β + sinφ cos θ sin β − sin θ cosα cos β)
+FT
mcosα cos β − qS
mCDWIND
(A.19)
α = − qS
mVtas cos βCL + q − tan β (p cosα + r sinα)
+g
Vtas cos β(cosφ cos θ cosα+ sin θ sinα)− FT sinα
mVtas cos β(A.20)
β =qS
mVtas
CYWIND+ p sinα− r cosα+
g
Vtas
cos β sinφ cos θ
+sin β
Vtas
(g cosα sin θ − g sinα cosφ cos θ +
FT
mcosα
)(A.21)
Onde:
APENDICE A. MODELOS PARA AS EQUACOES DE ESTADO E DE SAIDA 148
CL = −CZ cosα+ CX sinα (A.22)
CD = −CX cosα− CZ sinα (A.23)
Alem disso, para simplificar as equacoes, sao aplicadas as seguintes relacoes:
CDWIND= CD cos β − CY sin β (A.24)
CYWIND= CY cos β + CD sin β (A.25)
A proxima secao sera dedicada a descricao do modelo aerodinamico considerado neste
estudo para compor os coeficientes CD, CY , CL, Cl, Cm e Cn. Alem disso, sera feita
uma analise das derivadas de estabilidade e controle que nele aparecem no que tange
a influencia e importancia das mesmas para as equacoes de observacao dos respectivos
modelos. Esta analise traz consigo o conceito de sensibilidade das equacoes de saıda
as derivadas de estabilidade e controle, o qual sera discutido mais detalhadamente no
decorrer deste trabalho.
A.2.3 Modelo Aerodinamico e Analise das Derivadas de Esta-
bilidade e Controle Adimensionais
O modelo aerodinamico descrito tem como objetivo expandir os coeficientes CD, CY ,
CL, Cl, Cm e Cn em suas componentes. A composicao dos coeficiente aerodinami-
cos sera feita atraves do conceito de derivadas de estabilidade e controle, o qual esta
bem estabelecido na literatura (ETKIN, 1965) (ROSKAM, 1979) (STEVENS; LEWIS, 1992)
(MCRUER; ASHKENAS; GRAHAM, 1973). As derivadas de estabilidade e controle tambem
sao chamadas, neste estudo, de parametros aerodinamicos. Os parametros aerodinami-
cos sao objetos da estimacao parametrica e compoem o chamado vetor de parametros do
modelo e vetor de parametros a serem estimados, os quais serao abordados mais a frente.
O modelo aerodinamico mostrado nas equacoes A.26 - A.31 traz consigo apenas os
APENDICE A. MODELOS PARA AS EQUACOES DE ESTADO E DE SAIDA 149
termos considerados neste estudo. Podem ser incluıdos termos de maior ordem, ter-
mos cruzados e termos que modelem, por exemplo, efeitos do numero de mach e efeitos
aeroelasticos.
E assumido que a composicao dos coeficientes aerodinamicos pode ser modelada por:
CD = CD0 +1
πeΛC2
L (A.26)
CY = CY0 + CYββ + CYp
plSV0
+ CYr
rlSV0
+ CYδaδa + CYδr
δr (A.27)
CL = CL0 + CLαα+ CLq
qlµV0
+ CLδeδe (A.28)
CRPl = Cl0 + Clββ + Clp
plSV0
+ Clr
rlSV0
+ Clδaδa + Clδr
δ (A.29)
CRPm = Cm0 + Cmαα+ Cmq
qlµV0
+ Cmδeδe (A.30)
CRPn = Cn0 + Cnβ
β + Cnp
plSV0
+ Cnr
rlSV0
+ Cnδaδa + Cnδr
δr (A.31)
A equacao A.26 e a chamada polar de arrasto, a qual e uma equacao parabolica em
funcao do coeficiente de sustentacao.O primeiro termo de A.26 e o coeficiente de arrasto
para sustentacao nula. O segundo termo e o coeficiente de arrasto induzido, o qual e
a parcela do coeficiente de arrasto introduzido pela sustentacao. Este termo leva em
consideracao o alongamento da asa, denotado por Λ, e o Fator de Oswald, denotado por
e.
Os coeficientes relacionados com o movimento latero-direcional, CY , CRPl e CRP
n , levam
em consideracao o angulo de derrapagem, as velocidades de rolamento e de guinada e a
deflexao das superfıcies de controle. As superfıcies de controle neste caso sao, tradicional-
mente, os ailerons e o leme de direcao. E introduzida, porem, uma terceira deflexao de
superfıcie para o movimento latero-direcional, a qual pode modelar a influencia de alguma
APENDICE A. MODELOS PARA AS EQUACOES DE ESTADO E DE SAIDA 150
outra deflexao de interesse, como, por exemplo, a deflexao dos spoilers.
Alem disso, os coeficientes CY0 , Cl0 e Cn0 modelam uma parcela independente das
variaveis β, p, r, δa, δr e δ3lat para o coeficiente de forca lateral, para o coeficiente de
momento de rolamento e para o coeficiente de momento de guinada, respectivamente.
Os coeficientes CL e CRPm sao relacionados com o movimento longitudinal. Os mesmos
levam em consideracao para sua composicao o angulo de ataque, a taxa de variacao
temporal do angulo de ataque, a velocidade de arfagem e as deflexoes das superfıcies
de controle. As superfıcies de controle, neste caso, sao tradicionalmente o profundor e
o estabilizador horizontal. Alem disso, podem ser modeladas como δ3lon a deflexao de
superfıcies, tais como, flaps ou freios aerodinamicos.
Nas equacoes A.28 e A.30, os coeficientes CL0 e Cm0 modelam o coeficiente de susten-
tacao e o coeficiente de momento de arfagem para angulo de ataque nulo.
Os coeficiente de momento de rolamento, momento de arfagem e momento de guinada
estao descritos em relacao ao ponto de referencia aerodinamica. Para que estes coeficientes
sejam utilizados nas equacoes de estado, A.10-A.18, e necessaria a tranposicao dos mesmos
para o centro de gravidade da aeronave:
Cl = CRPl − CY
zarp
ls+ CZ
yarp
ls(A.32)
Cm = CRPm + CX
zarp
lµ− CZ
xarp
lµ(A.33)
Cn = CRPn − CX
yarp
ls+ CY
xarp
ls(A.34)
Na analise que segue abaixo, as derivadas de estabilidade e controle serao analisadas in-
dividualmente. A importancia de cada uma na composicao das coeficientes aerodinamicos
e a facilidade de extracao das mesmas atraves das tecnicas de estimacao parametrica serao
abordadas. A analise e bastante sucinta, mencionando apenas o nıvel de sensibilidade que
normalmente ocorre das equacoes de saıda dos respectivos modelos aos parametros em
analise. Sera visto mais adiante que a sensibilidade das equacoes de saıda as derivadas de
estabilidade e controle e de fundamental importancia para a eficiente estimacao das mes-
APENDICE A. MODELOS PARA AS EQUACOES DE ESTADO E DE SAIDA 151
mas. Este conceito e levado em consideracao nos criterios de desenvolvimento e otimizacao
de manobras de ensaios em voo para estimacao parametrica apresentados neste estudo.
A.2.3.1 Derivadas de estabilidade relacionadas com o angulo de ataque
No modelo aerodinamico apresentado anteriormente, as derivadas de estabilidade rela-
cionadas com o angulo de ataque sao CLα e Cmα . Estes dois parametros modelam a varia-
cao do coeficiente de sustentacao e do coeficiente de momento de arfagem em funcao da
variacao do angulo de ataque, ou seja:
CLα =∂CL
∂α(A.35)
Cmα =∂Cm
∂α(A.36)
Estas duas derivadas de estabilidade sao de fundamental importancia no modelo longi-
tudinal, CLα modela a inclinacao da curva de sustentacao em funcao do angulo de ataque
e Cmα determina a estabilidade estatica longitudinal da aeronave.
Geralmente, as equacoes de saıda dos modelos longitudinais sao fortemente sensıveis
a estes parametros. Assim sendo, e comum que a estimacao de CLα e Cmα seja bastante
confiavel, com intervalos de incerteza bastante reduzidos.
A.2.3.2 Derivadas de estabilidade relacionadas com o angulo de derrapagem
As derivadas de estabilidade relacionados com o angulo de derrapagem sao CYβ, Clβ e
Cnβ. Estes parametros modelam a variacao da forca lateral, do momento de rolamento e
do momento de guinada em funcao da variacao do angulo de derrapagem:
CYβ=∂CY
∂β(A.37)
Clβ =∂Cl
∂β(A.38)
APENDICE A. MODELOS PARA AS EQUACOES DE ESTADO E DE SAIDA 152
Cnβ=∂Cn
∂β(A.39)
O parametro CYβe geralmente de pequena importancia no modelo latero-direcional.
Normalmente, a sensibilidade das equacoes de saıda a CYβe baixa, o que reduz a capaci-
dade de sua adequada estimacao.
A derivada Clβ modela o chamada efeito diedro. Este parametro e de fundamental
importancia para a dinamica latero-direcional de aeronaves. Normalmente, a sensibilidade
das equacoes de saıda a Clβ e alta, proporcionando adequados nıveis de incerteza para a
sua estimacao.
Da mesma forma, a derivada de estabilidade Cnβapresenta grande importancia para o
movimento latero-direcional no que tange a estabilidade estatica direcional de aeronaves.
O valor de Cnβe muito aproximado do valor de Cmα , as equacoes de saıda da dinamica
latero-direcional normalmente apresentam forte sensibilidade a Cnβ.
A.2.3.3 Derivadas de estabilidade relacionadas com a velocidade de rola-
mento
As derivadas de estabilidade relacionadas com a velocidade de rolamento sao CYp , Clp
e Cnp , as quais denotam, respectivamente, a variacao da forca lateral, do momento de
rolamento e do momento de guinada em funcao da variacao da velocidade de rolamento:
CYp =∂CY
∂p(A.40)
Clp =∂Cl
∂p(A.41)
Cnp =∂Cn
∂p(A.42)
O parametro CYp e geralmente desprezıvel e apresenta baixa influencia nas equacoes
de saıda do modelo latero-direcional.
A derivada de estabilidade Clp e de fundamental importancia no que tange a estabi-
APENDICE A. MODELOS PARA AS EQUACOES DE ESTADO E DE SAIDA 153
lidade dinamica de rolamento de aeronaves. Este parametro modela o efeito de amorte-
cimento de rolamento e geralmente apresenta forte influencia nas equacoes de saıda do
modelo latero-direcional, o que possibilita que sua estimacao seja geralmente realizada
com bons nıveis de confianca.
A derivada Cnp e uma das derivadas chamadas de derivadas cruzadas, pois modela o
incremento do momento de guinada em funcao da variacao da velocidade de rolamento.
Sao as derivadas cruzadas que possibilitam o surgimento dos efeitos acoplados na dinamica
latero-direcional. Geralmente a sensibilidade das equacoes de saıda a este parametro e
boa, possibilitando a sua estimacao de maneira adequada.
A.2.3.4 Derivadas de estabilidade relacionadas com a velocidade de arfagem
As derivadas de estabilidades relacionadas com a velocidade de arfagem sao CLq e Cmq .
Estes parametros modelam os efeitos aerodinamicos oriundos do rolamento da aeronave
em torno do eixo Yb, os quais afetam a sustentacao e o momento de arfagem independen-
temente da variacao do angulo de ataque:
CLq =∂CL
∂q(A.43)
Cmq =∂Cm
∂q(A.44)
O parametro CLq e, geralmente, de baixa importancia para o movimento longitudinal,
apresentando pouca influencia nas equacoes de saıda. Em contra partida, o parametro Cmq
e de suma importancia no que tange a estabilidade dinamica longitudinal, pois modela o
amortecimento em arfagem. A estimacao deste parametro normalmente apresenta bons
nıveis de confianca.
A.2.3.5 Derivadas de estabilidade relacionadas com a velocidade de guinada
As derivadas de estabilidade relacionadas com a velocidade de guinada sao CYr , Clr e
Cnr . Estes parametros modelam a variacao da forca lateral, do momento de rolamento e
do momento de guinada em funcao da variacao da velocidade de guinada:
APENDICE A. MODELOS PARA AS EQUACOES DE ESTADO E DE SAIDA 154
CYr =∂CY
∂r(A.45)
Clr =∂Cl
∂r(A.46)
Cnr =∂Cn
∂r(A.47)
A estimacao da derivada CYr e geralmente prejudicada pela baixa sensibilidade que as
equacoes de saıda apresentam a este parametro.
A derivada Clr e mais uma das chamadas derivadas cruzadas. Este parametro aerodi-
namico, geralmente, apresenta influencia mediana nas equacoes de saıda. A sua estimacao,
normalmente, e adequada, apresentando bons nıveis de confianca.
A mais importante das derivadas relacionadas com a velocidade de guinada e Cnr . Este
parametro e de fundamental importancia no que tange a estabilidade dinamica direcional,
pois e responsavel pelo amortecimento do movimento de guinada. A estimacao deste
parametro, normalmente, e beneficiada pela alta sensibilidade que as equacoes de saıda
apresentam a ele.
A.2.3.6 Derivadas de estabilidade relacionadas com a taxa de variacao tem-
poral do angulo de ataque
As derivadas de estabilidade relacionadas com a taxa de variacao temporal do angulo
de ataque sao CLαe Cmα
. Estes parametros modelam os efeitos aerodinamicos que causam
variacao no coeficiente de sustentacao e no coeficiente de momento de arfagem em relacao
a α:
CLα=∂CL
∂α(A.48)
Cmα=∂Cm
∂α(A.49)
APENDICE A. MODELOS PARA AS EQUACOES DE ESTADO E DE SAIDA 155
O parametro CLαe, geralmente, de baixa influencia na dinamica longitudinal de aero-
naves, propiciando, portanto, baixa sensibilidade das equacoes de saıda.
Ja no que se refere a Cmαpode-se dizer que os seus efeitos sao importantes no que tange
a estabilidade dinamica longitudinal. Normalmente, os efeitos no momento de arfagem
causados pela taxa de variacao temporal do angulo de ataque sao muito correlacionados
com os efeitos causados pela velocidade de arfagem. Os dois possuem caracterısticas
de amortecimento. E extremamente difıcil a separacao dos dois fenomenos para efeitos
de estimacao parametrica. Em alguns casos, e adequado que os efeitos do Cmαsejam
estimados em conjunto e somados com os efeitos de Cmq .
A.2.3.7 Derivadas de controle
As derivadas de controle sao aquelas relacionadas com as deflexoes das superfıcies de
controle. Em configuracoes tradicionais, as superfıcies de controle que sao utilizadas na
dinamica longitudinal sao o profundor e o estabilizador horizontal. No caso da dinamica
latero-direcional, as superfıcies mais conhecidas sao os ailerons e o leme de direcao.
No caso do controle aerodinamico longitudinal o objetivo principal da deflexao das
superfıcies de controle e a variacao do momento de arfagem. Esta variacao no momento
de arfagem e possibilitada pela deflexao do profundor, que normalmente e uma parte do
estabilizador horizontal, ou pela deflexao de todo o estabilizador horizontal. A deflexao
destas superfıcies causa variacoes tanto no coeficiente de sustentacao, quanto no coeficiente
de momento de arfagem. Normalmente, estas superfıcies nao tem por finalidade causar
incrementos na sustentacao, mas sim no momento de arfagem.
A variacao da sustentacao em funcao da deflexao do profundor e bastante pequena em
comparado com a variacao da sustentacao em funcao da deflexao do estabilizador horizon-
tal. Esta caracterıstica faz com que a sensibilidade das equacoes de saıda ao parametro
CLδeseja inferior a sensibilidade das equacoes de saıda ao parametro CLδih
. Normalmente,
a sensibilidade das equacoes de saıda a CLδee reduzida, causando dificuldades no processo
de estimacao do mesmo. No que diz respeito a CLδih, a sua estimacao e sensivelmente
beneficiada pela aumento de sua influencia nas equacoes de saıda.
Ja no que diz respeito aos parametros Cmδee Cmδih
, sabe-se que as equacoes de saıda
possuem alta sensibilidade aos mesmos, uma vez que as superfıcies de controle longitu-
APENDICE A. MODELOS PARA AS EQUACOES DE ESTADO E DE SAIDA 156
dinais possuem como principal atribuicao gerar incrementos no momento de arfagem. A
estimacao destes parametros normalmente e bem sucedida no que tange aos intervalos de
confianca resultantes.
No que tange a dinamica latero-direcional, as derivadas de controle sao CYδa, Clδa
, Cnδa,
CYδr, Clδr
e Cnδr. Estes parametros sao os relacionados com a deflexao das tradicionais
superfıcies de controle latero-direcional: aileron, δa, e leme de direcao, δr.
A deflexao do aileron e basicamente utilizada para o controle lateral da aeronave. Sua
principal funcao e o incremento do momento de rolamento. Este efeito e modelado atraves
da derivada Clδa, a qual e de fundamental importancia neste contexto. E natural obser-
var, portanto, que as equacoes de saıda apresentam alta sensibilidade a este parametro,
e que a estimacao do mesma seja, normalmente, bem sucedida no que tange aos inter-
valos de confianca resultantes. Por outro lado, as derivadas CYδae Cnδa
modelam efeitos
aerodinamicos secundarios da deflexao do aileron. O parametro CYδarepresenta a vari-
acao da forca lateral oriunda da deflexao do aileron. Este efeito e geralmente desprezıvel
e as equacoes de saıda geralmente apresentam baixa sensibilidade a CYδa. O parametro
Cnδa, por sua vez, modela a chamada guinada adversa. Este efeito e bastante significativo
em alguns casos, podendo propiciar alta sensibilidade das equacoes de saıda do modelo
latero-direcional a Cnδa.
A deflexao do leme de direcao, por sua vez, e basicamente utilizada para o controle
direcional. A principal funcao desta superfıcie de controle e possibilitar o incremento do
momento de guinada. Este efeito e modelado atraves da derivada Cnδr, a qual apresenta
forte influencia nas equacoes de saıda do modelo, viabilizando assim, a sua adequada esti-
macao. A derivada CYδrmodela a variacao da forca lateral em funcao da deflexao do leme
de direcao. Este parametro, em raros casos, pode possuir um influencia tal nas equacoes
de saıda que possibilite a sua estimacao com adequados nıveis de confianca. Este efeito
e analogo aos efeitos de CLδee CLδih
e, normalmente, e bastante reduzido. A derivada
Clδrmodela a introducao de momento de rolamento atraves da deflexao do leme de di-
recao. Este efeito pode ser bastante significativo em alguns casos, o que, eventualmente,
possibilita adequada estimacao do parametro Clδr.
APENDICE A. MODELOS PARA AS EQUACOES DE ESTADO E DE SAIDA 157
A.2.4 Equacoes de Estado Desacopladas
O desacoplamento das equacoes de estado da dinamica completa de aeronaves pode ser
feita considerando que o plano formado pelos eixos Xb e Zb e o proprio plano de simetria
das aeronaves. Alem disso, e necessario assumir que as perturbacoes das variaveis do
movimento latero-direcional sao pequenas e podem ser desconsideradas na composicoes
dos equacoes de estado longitudinais. Da mesma maneira, as variacoes das variaveis
longitudinais sao assumidas pequenas, ao ponto de poderem ser desconsideradas para a
composicao das equacoes de estado latero-direcionais.
No problema de estimacao parametrica, o desacoplamento entre o movimento longi-
tudinal e o movimento latero-direcional e bastante desejavel, uma vez que sua resolucao
se torna mais facil, pois o numero de parametros envolvidos no processo e o numero de
equacoes de estado a serem integradas sao reduzidos consideravelmente. Alem desta van-
tagem, a especificacao de manobras de ensaios em voo especıficas para cada modo dinamico
e mais simples e costuma ser mais eficiente, o que tambem contribui para a abordagem
de estimacao parametrica com os modos da dinamica de aeronaves desacoplados.
E interessante salientar, entretanto, que para que as hipoteses consideradas sejam
respeitadas, e fortemente desejavel que, no momento das manobras de ensaios em voo, a
excitacao seja feita exatamente nos modos dinamicos modeladas para estimacao e que nao
haja perturbacoes em variaveis que estao sendo desconsideradas. O problema citado acima
e bastante significativo e nao e raro que as hipoteses assumidas sejam muito restritivas, a
ponto de prejudicar o processo de estimacao parametrica. Assim sendo, em alguns casos
e aconselhavel que as equacoes de estado nao sejam completamente desacopladas, mas
sim levem em consideracao as variaveis das dinamicas de nao interesse para estimacao
parametrica como entradas de controle a serem medidas durante os ensaios.
A.2.4.1 Movimento Longitudinal
O movimento longitudinal e caracterizado pela rotacao em torno do eixo Yb e a
translacao ao longo dos eixo x e z (BLAKELOCK, 1965) e (MAINE; ILIFF, 1985). As equacoes
de estado do movimento longitudinal sao A.11, A.13, A.15 e A.17:
APENDICE A. MODELOS PARA AS EQUACOES DE ESTADO E DE SAIDA 158
q =(−Ix + Iz)pr + Ixz(−p2 + r2) + qSlsCm
Iy(A.50)
u = −g sin θ +qSCX + FT
m− wq + vr (A.51)
w = g cosφ cos θ +qSCZ
m− pv + qu (A.52)
θ = q cosφ− r sinφ (A.53)
Alem das equacoes A.50-A.53, uma quinta equacao de estado pode ser introduzido
ao modelo longitudinal. A variavel de estado a ser introduzida e a altitude pressao (h),
descrita pela seguinte equacao:
h = u sin θ − v cos θ sinφ− w cos θ cosφ (A.54)
As equacoes acima podem ser utilizadas para estimacao parametrica da dinamica lon-
gitudinal, tendo no vetor de controle as variaveis medidas do movimento latero-direcional:
p, r, φ e v. Desta maneira, o problema da estimacao parametrica e simplificado, pois a
integracao das equacoes latero-direcionais e a estimacao dos parametros latero-direcionais
e eliminada, o que representa ganho computacional e simplificacao numerica.
No sistema do vento, as equacoes A.51 e A.52 podem ser substituıdas pelas equacoes
A.19 e A.20, neste caso, as equacoes de estado ficam:
α = − qS
mVtas cos βCL + q − tan β (p cosα + r sinα)
+g
Vtas cos β(cosφ cos θ cosα+ sin θ sinα)− FT sinα
mVtas cos β(A.55)
q =(−Ix + Iz)pr + Ixz(−p2 + r2) + qSlsCm
Iy(A.56)
APENDICE A. MODELOS PARA AS EQUACOES DE ESTADO E DE SAIDA 159
θ = q cosφ− r sinφ (A.57)
Vtas = g (cosφ cos θ sinα cos β + sinφ cos θ sin β − sin θ cosα cos β)
+FT
mcosα cos β − qS
mCDWIND
(A.58)
Para se chegar a uma dinamica longitudinal simplificada atraves do sistema descrito
nas equacoes A.55 - A.58, pode-se considerar que um voo longitudinal desacoplado e
aquele na qual as variaveis β, p, r e φ sao constantes e iguais a zero. Assim sendo, as
equacoes A.55 - A.58 sao reduzidas a:
α = − qS
mVtas
CL + q +g
Vtas
cos (θ − α)− FT sinα
mVtas
(A.59)
q =qScCm
Iy(A.60)
θ = q (A.61)
Vtas = − qSmCD + g sin (α− θ) +
FT
mcosα (A.62)
O modelo descrito acima descreve a dinamica longitudinal completa e ainda aceita
algumas simplificacoes. Este modelo pode ser separado em dois modos tradicionais e
conhecidos na literatura: modo de curto perıodo e modo fugoidal. O modo fugoidal e
normalmente uma dinamica de baixa frequencia e baixo amortecimento, envolvendo a
variacao da velocidade e da altitude de voo. O modo de curto perıodo e normalmente
caracterizado por apresentar alta frequencia natural e alto amortecimento. Esta dinamica
basicamente descreve o movimento da aeronave em torno do eixo Yb do corpo.
O modo de curto perıodo pode ser modelado atraves da eliminacao da equacao da
velocidade, equacao A.62. Esta modificacao tira a necessidade de integracao da equacao
APENDICE A. MODELOS PARA AS EQUACOES DE ESTADO E DE SAIDA 160
de Vtas e diminui o numero de parametros a serem estimados. Alem disso, pode-se con-
siderar que θ e igual a α e que o termo que leva em consideracao a tracao propulsiva e
desprezıvel.Desta maneira, chega-se ao modelo de curto perıodo mais simplificado, com
duas equacoes de estado:
α = − qS
mVtas
CL + q +g
Vtas
(A.63)
q =qScCm
Iy(A.64)
Neste modelo, ainda e necessaria a utilizacao da variavel medida Vtas como uma entrada
de controle.
A.2.4.2 Movimento Latero-Direcional
O movimento latero-direcional e caracterizado pela dinamica de rotacao em torno dos
eixos Xb e Zb e pelo movimento de translacao ao longo do eixo y. As equacoes de estado
diretamente relacionadas com esta dinamica sao A.10, A.12, A.14, A.16 e A.18:
p =−(−IyIz + I2
z + I2xz)qr + Iz(Ixzpq + qSluCl) + Ixz((Ix − Iy)pq + qSluCn
IxIz − I2xz
(A.65)
r =Ixz(Ixzpq − (Ix − Iy + Iz)qr + qSluCl) + Ix((Ix − Iy)pq + qSluCn)
IxIz − I2xz
(A.66)
v = g sinφ cos θ +qSCY
m− ur + pw (A.67)
φ = p+ tan θ (q sinφ+ r cosφ) (A.68)
APENDICE A. MODELOS PARA AS EQUACOES DE ESTADO E DE SAIDA 161
ψ =q sinφ+ r cosφ
cos θ(A.69)
As equacoes acima podem ser utilizadas para estimacao parametrica, tendo no vetor de
controle as variaveis do movimento longitudinal: q, θ, u e w. Esta abordagem permite que
a estimacao parametrica seja feita na dinamica latero-direcional sem que as informacoes
da dinamica longitudinal sejam perdidas. Alem disso, o custo computacional relacionado
com a integracao das equacoes de estado longitudinais e com a estimacao dos parametros
longitudinais e evitado.
O desacoplamento do movimento latero-direcional e fisicamente menos palpavel do
que o desacoplamento do movimento longitudinal. Isso se da devido aos termos pr e
r2 − p2 contidos na equacao A.11, os quais de qualquer maneira excitam a velocidade
de arfagem em funcao da velocidade de guinada e da velocidade de rolamento, a menos
que Iz = Ix e que Ixz = 0, as quais sao condicoes remotas para aeronaves. Alem disso,
atraves das equacoes A.17 e A.20, α e θ sao excitados. Este tipo de problema nao ocorre
para o movimento longitudinal. Pode-se, entretanto, considerar que para excitacoes nao
muito significativas das variaveis latero-direcionais a excitacao das variaveis longitudinais
e desprezıvel.
A partir das equacoes A.65 - A.69 e utilizando-se a equacao A.21, pode-se chegar
a um sistema latero-direcional simplificado descrito no sistema do vento. Para isso, e
necessario aproximar CYWINDpor CY na equacao A.21. Esta aproximacao restringe o
sistema, uma vez que para que ela seja respeitada β tem que ser pequeno. Na maioria das
vezes esta aproximacao e respeitada, pois, normalmente, e difıcil atingir elevados angulos
de derrapagem. A equacao A.67 deve ser substituıda pela equacao A.21 e a equacao A.18
pode ser desconsiderada, pois nao agrega informacao ao sistema. Desta maneira, o sistema
de equacoes de estado resultante e:
β =qS
mVtas
CY + p sinα− r cosα+g
Vtas
cos β sinφ cos θ
+sin β
Vtas
(g cosα sin θ − g sinα cosφ cos θ +
FT
mcosα
)(A.70)
APENDICE A. MODELOS PARA AS EQUACOES DE ESTADO E DE SAIDA 162
p =−(−IyIz + I2
z + I2xz)qr + Iz(Ixzpq + qSbCl) + Ixz((Ix − Iy)pq + qSbCn
IxIz − I2xz
(A.71)
r =Ixz(Ixzpq − (Ix − Iy + Iz)qr + qSbCl) + Ix((Ix − Iy)pq + qSbCn)
IxIz − I2xz
(A.72)
φ = p+ tan θ (q sinφ+ r cosφ) (A.73)
Estas equacoes utilizam as variaveis do movimento longitudinal, as quais podem ser
medidas e informadas no vetor de controle.
Mais a frente, os modelos de curto perıodo e latero-direcional simplificados serao uti-
lizados para gerar modelos linearizados segundo a teoria de pequenas perturbacoes. Os
modelos para pequenas perturbacoes serao utilizados neste estudo para demonstrar as
tecnicas de desenvolvimento e otimizacao de manobras de ensaios em voo para estimacao
parametrica.
A.2.5 Equacoes de Estado Linearizadas
A avaliacao do desempenho de uma aeronave e seus sistemas de controle, atraves de
simulacao computacional, deve ser preferencialmente realizada empregando-se modelos
dinamicos completos e nao-lineares. Entretanto, como as equacoes de estado nao-lineares
sao mais difıceis de tratar, a maioria dos estudos sobre o comportamento dinamico das
aeronaves, incluindo estudos de estabilidade do movimento e projeto de sistemas de con-
trole, vem sendo realizadas atraves de modelos lineares, calculados por pequenas pertur-
bacoes do equilıbrio da aeronave.
A ideia de perturbacoes nas forcas e momentos aerodinamicos com respeito a uma
condicao de voo em regime e uma abordagem ate hoje utilizada (BRYAN, 1911). As
equacoes para pequenas perturbacoes sao equacoes lineares calculadas algebricamente a
partir das equacoes nao-lineares. Estas equacoes serao utilizadas nos estudos de otimizacao
APENDICE A. MODELOS PARA AS EQUACOES DE ESTADO E DE SAIDA 163
de manobras de ensaios em voo apresentados neste estudo. Serao mostradas as equacoes
para pequenas perturbacoes do modelo longitudinal de curto perıodo, derivadas de (A.63
- A.64), e do modelo latero-direcional de dutch-roll, derivadas das equacoes (A.70 - A.73).
Os modelos mostrados estao descritos em funcao de derivadas de estabilidade dimen-
sionais (STEVENS; LEWIS, 1992). As derivadas dimensionais sao descritas em funcao das
derivadas adimensionais apresentadas anteriormente, como segue:
Zα = − qSCLα
mV0
(A.74)
Zq = − qSCLq
mV 20
(A.75)
Zδe = − qSCLδe
mV0
(A.76)
Mα =luqSCmα
Iy(A.77)
Mq =l2uqSCmq
V0Iy(A.78)
Mδe =luqSCmδe
Iy(A.79)
As equacoes (A.74-A.79) descrevem as derivadas dimensionais do modo de curto
perıodo. As derivadas dimensionais do modo latero-direcionais sao:
Yβ =qSCYβ
m(A.80)
Yp =qSlsCYp
2mV0
(A.81)
Yr =qSlsCYr
2mV0
(A.82)
Yδa =qSCYδa
m(A.83)
Yδr =qSCYδr
m(A.84)
Lβ =qSlsClβ
Ix(A.85)
Lp =qSl2sClp
2IxV0
(A.86)
APENDICE A. MODELOS PARA AS EQUACOES DE ESTADO E DE SAIDA 164
Lr =qSl2sClr
2IxV0
(A.87)
Lδa =qSlsClδa
Ix(A.88)
Lδr =qSlsClδr
Ix(A.89)
Nβ =qSlsCnβ
Iz(A.90)
Np =qSl2sCnp
2IzV0
(A.91)
Nr =qSl2sCnr
2IzV0
(A.92)
Nδa =qSlsCnδa
Iz(A.93)
Nδr =qSlsCnδr
Iz(A.94)
A.2.5.1 Modelo de Perıodo Curto
As equacoes de estado do modelo de curto perıodo para pequenas perturbacoes de-
scritas em funcao das derivadas dimensionais e oriundas da linearizacao das equacoes
(A.63 - A.64) e:
∆α(t)
∆q(t)
=
Zα 1 + Zq
Mα Mq
∆α(t)
∆q(t)
+
Zδe
Mδe
∆δe(t) (A.95)
Alem das equacoes de estado acima descritas, e interessante levar em consideracao
como uma variavel de observacao a aceleracao vertical. A aceleracao vertical no modelo
de curto perıodo agrega informacao aos dados, e possibilita maior facilidade na estimacao
de parametros. A aceleracao vertical e dada por:
aCGz =
qSCZ
m(A.96)
Incorporando a equacao (A.96) a equacao (A.95) para gerar um conjunto de equacoes
de observacao para o modo de curto perıodo, tem-se:
APENDICE A. MODELOS PARA AS EQUACOES DE ESTADO E DE SAIDA 165
∆αy(t)
∆qy(t)
∆azy(t)
=
1 0
0 1
ZαV0
gZq
V0
g
∆α(t)
∆q(t)
+
0
0
ZδeV0
g
∆δe(t) (A.97)
onde a variacao do angulo de ataque deve ser suficiente para assumir que sen(α) = 0 e
cos(α) = 1.
A.2.5.2 Modelo Dutch Roll
As equacoes de estado do modelo latero-direcional (dutch-roll) para pequenas pertur-
bacoes oriundas da linearizacao das equacoes (A.70 - A.73) sao:
∆β(t)
∆p(t)
∆r(t)
∆φ(t)
=
Yβ 0 −1 g
V0
L′
β L′p L
′r 0
N′
β N′p N
′r 0
0 1 0 0
∆β(t)
∆p(t)
∆r(t)
∆φ(t)
+
Yδa Yδr
L′
δaL
′
δr
N′
δaN
′
δr
0 0
δa(t)
δr(t)
(A.98)
onde e assumido que o angulo de ataque, o angulo de rolamento e o angulo de arfagem
de equilıbrio sao nulos e que a variacao do angulo de derrapagem e pequena o suficiente
para considerar que sen(β) = 0 e cos(β) = 1. Alem disso, tem-se que:
L′
β = µLβ + σNβ (A.99)
L′
p = µLp + σNp (A.100)
L′
r = µLr + σNr (A.101)
L′
δa = µLδa + σNδa (A.102)
L′
δr = µLδr + σNδr (A.103)
N′
β = µNβ + σLβ (A.104)
N′
p = µNp + σLp (A.105)
N′
r = µNr + σLr (A.106)
APENDICE A. MODELOS PARA AS EQUACOES DE ESTADO E DE SAIDA 166
N′
δa = µNδa + σLδa (A.107)
N′
δr = µNδr + σLδr (A.108)
onde:
µ =IxIz
(IzIx − I2xz)
(A.109)
σ =IxzIz
(IzIx − I2xz)
(A.110)
As relacoes (A.99 - A.108) sao utilizados para simplificar a descricao do modelo de
dutch-roll, considerando os termos cruzados entre velocidade de rolamento e velocidade
de guinada.
As equacoes de observacao para o modelo de dutch-roll assumidas neste estudo sao:
∆βy(t)
∆py(t)
∆ry(t)
∆φy(t)
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
∆β(t)
∆p(t)
∆r(t)
∆φ(t)
(A.111)
ANEXO A. ANALISE DE RISCOS DOS VOOS DA CAMPANHA DE ENSAIOS 168
Planilha de Analise de Riscos dos Voos da Campanha de Ensaios
Perigo:
• Impacto da aeronave com o solo;• Carregamento excessivo da aeronave.Causa:
• Perda de controle;• Aplicacao demasiada de controle;• Situacao de atitude anormal.Efeito:
• Perda da aeronave / tripulacao.Procedimentos de minimizacao:
• Desenvolvimento de sinais de excitacao levando em consideracao os limites do
envelope operacional segundo: Angulo de ataque, angulo de derrapagem, angulode rolamento, fator de carga e velocidade de voo;• Desenvolvimento de sinais de excitacao levando em consideracao os limitesoperacionais para a deflexao das superfıcies de controle;• Nao executar manobras de ensaios abaixo de 2000ft MSL;• Abortar o ensaio caso a aeronave atingir 45 graus de rolamento ou 20 graus dearfagem.Procedimentos de emergencia:
• Caso houver perda de controle, imediatamente reduzir o motor e neutralizar oscontroles de voo;• Caso ocorrer entrada em parafuso, imediatamente proceder com osprocedimentos de recuperacao.Nıvel de risco apos os procedimentos de minimizacao:
Anexo B
Principais Caracterısticas do
Curumim CEA 205 CB.9
Caracterısticas Basicas:
Envergadura: 14.00 m Comprimento: 7.40 m
Area alar: 16.40 m2 Alongamento: 12Peso Vazio: 325 kgf Peso Maximo: 580 kgfCarga Alar: 28 kgf/m2 Motor Limbach L2000 EB1
Limites de Carga:
Peso de Decolagem Limite Positivo Limite Negativo410 kgf +4.0 -2.0
465 kgf (1 tripulante 90kgf + 70 litros comb.) +3.5 -1.8555 kgf (2 tripulantes 90kgf + 70 litros comb.) +2.9 -1.5
Limites de Velocidade:
Velocidade Maxima de Flaps 85 km/h 53 mphVelocidade de Manobra 120 km/h 75 mph
Velocidade Nunca Exceder 160 km/h 100 mph
ANEXO C. FLUXOGRAMA DE PROCESSOS BASICOS DO ALGORITMO DEOTIMIZACAO 171
Início
Inicialização:
Configuração do procedimento:
- Modelo dinâmico, parâmetros de interesse, ponderações, objetivos, tempo de integração, modelo de medida.
Configuração do algorítmo genético:
- Número de gerações, número de indivíduos, número de subpopulações, coeficiente de elite, coeficiente de cruzamento,
coeficiente de mutação, restrições, critérios de parada.
População
Inicial:
criação
individual.
O número de
indivíduos foi
alcançado?
O indivíduo
respeita as
restrições
sim
não
não
Função de
Aptidão
sim
Organização
dos escores
individuais.
Função de
saída e
aplicação de
penalidades
Restrições
impostas através
de penalidades?
sim
1
não
Número
de
gerações
atingido?
não
2
Selecionar o
melhor
indivíduo.
sim Fim
ANEXO C. FLUXOGRAMA DE PROCESSOS BASICOS DO ALGORITMO DEOTIMIZACAO 172
Operador de
cruzamento:
nascimento
individual
Aplicar
restrições?
O indivíduo
respeita as
restrições?
sim
não
O número de
indivíduos a serem
criados a partir do
cruzamento foi
alcançado?
não
não
sim
Operador de
mutação
Operador
Elite
Nova
População
Seleção de
parentes
1
sim
2
FOLHA DE REGISTRO DO DOCUMENTO
1. CLASSIFICAÇÃO/TIPO
TM
2. DATA
12 de agosto de 2005
3. DOCUMENTO N°
CTA/ITA-IEM/TM-008/2005
4. N° DE PÁGINAS
173 5. TÍTULO E SUBTÍTULO: Desenvolvimento e otimização de manobras de ensaios em vôo para estimação de derivadas de estabilidade e controle de aeronaves 6. AUTOR(ES):
Nei Salis Brasil Neto 7. INSTITUIÇÃO(ÕES)/ÓRGÃO(S) INTERNO(S)/DIVISÃO(ÕES): Instituto Tecnológico de Aeronáutica. Divisão de Engenharia Mecânica e Aeronáutica – ITA/IEM 8. PALAVRAS-CHAVE SUGERIDAS PELO AUTOR:
Manobras de ensaios em vôo; Estimação de parâmetros; Derivadas de estabilidade e controle de aeronaves; Algoritmo genético 9.PALAVRAS-CHAVE RESULTANTES DE INDEXAÇÃO:
Manobras de aeronaves; Ensaios em vôo; Estimação de sistemas; Identificação de parâmetros; Derivadas de estabilidade; Controle de aeronaves; Algoritmos genéticos; Controle; Engenharia aeronáutica
10. APRESENTAÇÃO: X Nacional Internacional
ITA, São José dos Campos, 2005, 173 páginas
11. RESUMO:
Este trabalho trata da aplicação de técnicas de otimização via algoritmos genéticos para o desenvolvimento de manobras de ensaios em vôo para estimação de parâmetros aerodinâmicos de aeronaves. As manobras otimizadas são necessárias para aumentar a eficiência dos algoritmos de estimação paramétrica, respeitando o envelope operacional das aeronaves quanto à segurança de vôo e quanto às limitações matemáticas dos modelos assumidos. Neste trabalho é feita a comparação entre a eficiência do procedimento de estimação com a aplicação de manobras convencionais e a eficiência do procedimento de estimação com a aplicação das manobras otimizadas. Em ambos os casos, o aumento da eficiência do algoritmo de estimação busca a maximização da sensitividade das variáveis de saída aos parâmetros do modelo. Para as manobras convencionais, os sinais são especificados de maneira indireta, através da maximização de suas densidades espectrais de potência nas freqüências próximas dos modos naturais do sistema dinâmico. A técnica de otimização, entretanto, baseada no conteúdo de informação dos dados de ensaios em vôo, diretamente utiliza-se dos conceitos de matriz de informação e limitantes de Cramer-Rao para compor os critérios de otimização e gerar sinais globalmente ótimos através de algoritmos genéticos que minimizem as incertezas relacionadas com as estimativas dos parâmetros aerodinâmicos. A presente abordagem considera problemas com multi-objetivos, multi-entradas e para o mínimo tempo, tratando os resíduos coloridos nas variáveis de medida. Vários estudos de caso são discutidos com a utilização dos modelos dinâmicos de período curto e oscilatório em derrapagem, incluindo resultados de ensaios em vôo de uma aeronave de pequeno porte. As vantagens e desvantagens das técnicas propostas são apresentadas, enfatizando a facilidade de implementação dos sinais ótimos resultantes. Por fim, considerações e recomendações a respeito da importância das manobras de ensaios em vôo para os procedimentos de estimação de derivadas de estabilidade e controle de aeronaves são feitas.
12. GRAU DE SIGILO: (X ) OSTENSIVO ( ) RESERVADO ( ) CONFIDENCIAL ( ) SECRETO
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