Curso postgrado MEF 2004 - Vigasw3.mecanica.upm.es/~felipe/mef0607/vigas.pdf · 2016. 6. 20. · F.Gabald¶on /J.M. Goicolea, 25 de enero de 2007 J / Modelos Estructurales: Vigas.
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GMC
♦ . I ⊗
Modelos Estructurales: Vigas
Felipe Gabaldon / Jose M.a Goicolea
Grupo de Mecanica ComputacionalDepto. Mecanica Medios Continuos y Teorıa Estructuras
E.T.S. Ingenieros de Caminos, UPM
http://w3.mecanica.upm.es
Madrid, 25/01/2007
F.Gabaldon /J.M. Goicolea, 25 de enero de 2007
J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Bibliografıa
♠ N. Ottosen y H. Petersson,
Introduction to the Finite Element Method, Prentice Hall Eu-
rope, 1992.
♠ Thomas J.R. Hughes,
The Finite Element Method, Prentice Hall, 1987.
♠ Eugenio Onate,
Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos Finitos,
Centro Internacional de Metodos Numericos en Ingenierıa, 1995.
♠ Michel Geradin y Alberto Cardona,
Flexible Multibody Dynamics, A Finite Element Approach, Wi-
ley, 2001
1
F.Gabaldon /J.M. Goicolea, 25 de enero de 2007
J / Modelos Estructurales: Vigas . I
VIGAS 2D: Definicion de Resultantes
Ndef=
∫ t/2
−t/2σxxb(z) dz; (1)
Vdef=
∫ t/2
−t/2σxzb(z) dz; (2)
Mdef= −
∫ t/2
−t/2zσxxb(z) dz. (3)
z
b(z)
x
xz
y
y
2
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J / Modelos Estructurales: Vigas . I
VIGAS: Condiciones de Equilibrio
dN
dx+ qx = 0; (4)
dV
dx+ qz = 0; (5)
dM
dx+ V = 0 (6)
dx
qz
M + dMM
V + dVV
y
zx
z, w
qx
N N + dNx, u
♣ Leyes validas en cualquier instancia (incluso no lineal).
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J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Hipotesis de Bernouilli-Euler
1. Pieza prismatica, directriz y
zx
2. Secciones planas normales a directriz permanecen planas y nor-males a la directriz
3. Desplazamientos normales a la viga son uniformes sobre laseccion, e iguales a los de la directriz:
w(x, z) = w(x). (7)
4. Tension plana:
σzz = 0. (8)
4
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J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Desplazamientos
x, u
w(x)z, w
x
zθ
directriz
θ = dwdx
♦ Giro de seccion: θ
♦ Giro de directriz:dw
dx= w′
♦ Seccion normal a directriz:
θ =dw
dx; (9)
♦ Desplazamiento longitudinal:
u(x, z) = u0(x)− zθ
= u0(x)− zdw
dx
(10)
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F.Gabaldon /J.M. Goicolea, 25 de enero de 2007
J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Deformaciones
de (9): εxx =∂u
∂x=
du0
dx− z
d2w
dx2; (11)
de (7): εzz =∂w
∂z= 0; (12)
de (10): γxzdef= 2εxz =
∂u
∂z+
∂w
∂x= −dw
dx+
dw
dx= 0 (13)
γyz = γxy = 0 (14)
♥ No hay deformacion por cortante
♥ Hipotesis valida para vigas esbeltas: λ =l
t> 20.
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J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Relaciones Constitutivas: Momento
M = −∫ t/2
−t/2zσxxb(z) dz (15)
de (11):
σxx = Eεxx = E
(du0
dx− z
d2w
dx
)(16)
M
N
σxx
M = −E∫ t/2
−t/2zdu0
dxb(z) dz + E
∫ t/2
−t/2z2d2w
dx2b(z) dz = EI
d2w
dx2(17)
♠ Curvatura (w pequena):
κ =d2w/dx2
[1 + (dw/dx)2
]3/2≈ d2w
dx2⇒ M = EIκ (18)
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J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Relaciones Constitutivas: Axil, Cortante
♠ Por integracion de las tensiones:
N =∫ t/2
−t/2σxxb(z) dz = EA
du0
dx(19)
V =∫ t/2
−t/2σxzb(z) dz; (20)
♠ Contradiccion: de (13),
γxz = 0 ⇒ σxz = Gγxz = 0 ⇒ V = 0 ! (21)
♠ En la practica, el cortante V se calcula a partir de ecuaciones
de equilibrio (6)
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Formulacion fuerte
♣ De (6):
(6) :dM
dx+ V = 0
(5) :dV
dx+ q = 0
⇒ d2M
dx2= q
M = EId2w
dx2⇒ EI
d4w
dx4= q (22)
(suponiendo EI constante)
♣ Ecuacion diferencial (4.o orden) de la elastica, para obtener
w(x)
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Formulacion matricial
♣ Solucion general en tramo 1–2 sin cargas intermedias (q = 0):
d4w
dx4= 0 V1 V2
M2M1
1 2q = 0
♣ Condiciones de contorno: w1,dw
dx
∣∣∣∣1
, w2,dw
dx
∣∣∣∣2
w(x) = α0 + α1x + α2x2 + α3x3 (23)
4 condiciones ⇒ 4 parametros (α0, α1, α2, α3)
♣ Planteamiento directo de ecuaciones matriciales: programas de
((barras))
♦ Ojo: cargas repartidas (q 6= 0) precisa correccion (m. emp.)
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Formulacion debil
♣ Funciones de peso (desplazamientos virtuales) w, en principio
arbitrarias. De (22):
d2M
dx2= q ⇒
∫ b
aw
d2M
dx2dx =
∫ b
awq dx ∀w (24)
♣ Integrando por partes, dos veces:
−∫ b
a
dw
dx
dM
dxdx +
[w
dM
dx
]b
a=
∫ b
awq dx
∫ b
a
d2w
dx2EI
d2w
dx2dx =
∫ b
awq dx +
[dw
dxM
]b
a− [wV ]ba (25)
♣ Ma, Va, Mb, Vb: condiciones de contorno ((naturales)).
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J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Aproximacion elementos finitos
♣ Funciones de interpolacion de desplazamientos, Ni(x)
w(x) ≈ NTa
=[N1(x) N2(x) . . . Nn(x)
]
a1a2...
an
♣ Interpolacion de ((deformaciones)): [B]
d2w
dx2≈ [B]a; (26)
[B] =d2
dx2NT =
[d2N1dx2
d2N2dx2 . . . d2Nn
dx2
](27)
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Metodo de Galerkin
♣ Misma interpolacion para w que para w
d2w
dx2≈ [B]a = aT[B]T (28)
∫ b
a
d2w
dx2EI
d2w
dx2dx ≈
∫ b
aaT
([B]TEI[B]
)a dx (29)
∫ b
awq dx ≈
∫ b
aaTNq dx = aTfint (30)
aT
∫ b
a[B]T︸ ︷︷ ︸(n×1)
EI [B]︸︷︷︸(1×n)
dx
︸ ︷︷ ︸[K] (n× n)
a = aT
fint+ fext
(31)
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Formulacion Matricial
♣ aT arbitrarios; f = fint+ fext:
[K]a = f
• w, dwdx : cond. contorno cinematicas o esenciales
• M, V : cond. contorno estaticas o naturales (→ f)
♣ A nivel elemental, integrales en subdominio Ωe:
[Ke]ae = fe; (32)
[K] =
numel
A [Ke]; f =
numel
A fe. (33)
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J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Requisitos de complitud y compatibilidad
♠ w(x) debe poder representar un movimiento rıgido arbitrario(w0, θ0 =
(dwdx
)0)
♠ w(x) debe poder representar deformaciones con curvatura cons-
tante arbitraria,(
d2wdx2
)0= κ0.
→ w(x) = α0 + α1x + α2x2 + . . .
♠ Debe tener continuidad al menos un orden menor que las de-
rivadas que aparecen en la formulacion debil (dwdx),
→ w(x) ∈ C1 → 4 condiciones: wa, (dwdx)a, wb, (
dwdx)b.
w(x) = α0 + α1x + α2x2 + α3x3 (34)
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J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Elemento con interpolacion cubica (hermıtico)
N1(x) = 1− 3x2
l2+ 2
x3
l3
1
1
2
a1 = w1
N2(x) = x
(1− 2
x
l+
x2
l2
)
1 2
1 a2 = dwdx
∣∣∣1
N3(x) =x2
l2
(3− 2
x
l
)
1 2
1a3 = w2
N4(x) =x2
l
(x
l− 1
)
1 2
1 a4 = dwdx
∣∣∣2
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J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Matriz de rigidez
Integrando terminos de (31):
Ke11 = EI
∫ l
0B2
1 dx; B1 =d2
dx2N1(x) = −6
l2+
12x
l3; (35)
Ke11 =
12EI
l3; (36)
Ke12 =
6EI
l2; Ke
13 = −12EI
l3; . . . (37)
[Ke] =12EI
l3
1 l/2 −1 l/2l/2 l2/3 −l/2 l2/6−1 −l/2 1 −l/2l/2 l2/6 −l/2 l2/3
(38)
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J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Matrices de cargas
Integrando terminos de (31):
fe =
ql/2ql2/12ql/2
−ql2/12
︸ ︷︷ ︸fint
+
−V1−M1V2M2
︸ ︷︷ ︸fext
(39)
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J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Hipotesis de vigas de Timoshenko
1. Pieza prismatica, directriz y
zx
2. Secciones planas normales a directriz permanecen planas, perono necesariamente normales a la directriz.
3. Desplazamientos normales a la viga son uniformes sobre laseccion, e iguales a los de la directriz:
w(x, z) = w(x). (40)
4. Tension plana:
σzz = 0. (41)
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J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Hipotesis de vigas de Timoshenko
Desplazamientos
θ: giro seccion;
dw/dx: giro directriz (1.er orden)
w(x)z, wθ 6= dw
dx
directriz
θ
x, u
dwdx
xz
v(x, y, z) = 0 (42)
u(x, z) = u0(x)− zθ(x) (43)
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J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Deformaciones
de (43): εxx =∂u
∂x=
du0
dx− z
dθ
dx(44)
de (40): εzz =∂w
∂z= 0; (45)
de (43): γxz = 2εxz =∂u
∂z+
∂w
∂x= −θ +
dw
dx6= 0 (46)
γyz = γxy = 0 (47)
Sı existe deformacion por cortante γxz
Deformacion cortante es constante en seccion (hip. Navier)
Hipotesis valida para vigas moderadamente gruesas: λ =l
t> 8.
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J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Relaciones Constitutivas
♠ Tensiones
σxx = Eεxx = Edu0
dx− Ez
dθ
dx(48)
σxz = τ = Gγxz = G
(dw
dx− θ
)(49)
♠ Resultantes
M =∫ +t/2
−t/2−Ez2dθ
dxb(z) dz = EI
dθ
dx= EIκ (50)
V =∫ +t/2
−t/2G
(dw
dx− θ
)b(z) dz = GA
(dw
dx− θ
)= GAγxz (51)
N =∫ +t/2
−t/2E
(du0
dx− z
dθ
dx
)b(z) dz = EA
du0
dx(52)
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J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Area Reducida
Segun (46), γxz = γ0 (cte.) en seccion
Exacto: distribucion parabolica, seccion alabeada. Igualando
cortante (V =∫ +t/2−t/2 b(z)γ(z) dz):
γ0 =A∗ Aγ(z)
32γ0
Igualando energıa de deformacion entre ambos,
1
2GA∗(γ0)
2 =∫ +t/2
−t/2
1
2Gb(z)γ(z)2 dz ⇒ A∗ = αA.
Seccion rectangular: α = 56 ⇒ A∗ = 5
6A
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J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Formulacion Fuerte
♣ A partir de ecuaciones de equilibrio.
de (6):dM
dx+ V = 0 ⇒ EI
d2θ
dx2+ V = 0 (53)
de (5):dV
dx+ q = 0 ⇒ GA∗
(d2w
dx2− dθ
dx
)+ q = 0 (54)
♣ Intervienen derivadas segundas de w, θ.
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J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Formulacion debil (momentos)
Tomando en primer lugar la ecuacion del momento (53):
∫ 2
1θ
(EI
d2θ
dx2
)dx +
∫ 2
1θ
GA∗γxz︷︸︸︷V dx = 0 ∀θ (55)
integrando por partes,
−∫ 2
1
dθ
dxEI
dθ
dxdx +
[θ EI
dθ
dx
]21
+∫ 2
1θGA∗
(dw
dx− θ
)dx = 0 ∀θ (56)
25
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J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Formulacion debil (cortantes)
Haciendo ahora lo mismo con la del cortante (54):
∫ 2
1w GA∗
(d2w
dx2− dθ
dx
)dx +
∫ 2
1qw dx = 0 ∀w (57)
Integrando por partes:
−∫ 2
1
dw
dxGA∗
(dw
dx− θ
)dx +
[w GA∗
(dw
dx− θ
)]21
+∫ 2
1wq dx = 0 ∀w (58)
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J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Formulacion debil (conjunta)
Sumando (56) y (58):
∫ 2
1
(dw
dx− θ
)
︸ ︷︷ ︸γ
GA∗(
dw
dx− θ
)
︸ ︷︷ ︸γ
dx +∫ 2
1
dθ
dx︸︷︷︸κ
EIdθ
dx︸︷︷︸κ
dx
=
w GA∗
(dw
dx− θ
)
︸ ︷︷ ︸Vi
2
1
+
θ EI
dθ
dx︸ ︷︷ ︸Mi
2
1
+∫ 2
1wq dx ∀(w, θ) (59)
♣ Intervienen derivadas primeras de w, w, θ, θ ⇒ requiere tan solo
aproximacion C0
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J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Aproximacion Elementos Finitos (Galerkin)
♣ La formulacion debil (59) puede escribirse:
δW =∫ 2
1γ GA∗ γ dx +
∫ 2
1κ EI κ dx−
∫ 2
1w q dx− [w V ]21 −
[θ M
]21
= 0 ∀(γ, κ)
♣ Funciones de interpolacion lineales (continuidad C0):
wh(x) = w1N1(x) + w2N2(x);
θh(x) = θ1N1(x) + θ2N2(x);
1 2x
l1
N1(x) = 1− x
l
1 2x
1l
N2(x) =x
l
28
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J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Interpolacion de Deformaciones
κh = θ1dN1
dx+ θ2
dN2
dx=
[0 −1/l 0 1/l
]︸ ︷︷ ︸
[Bef ]
w1θ1w2θ2
(cte.)
γh =
(dwh
dx− θh
)= w1
dN1
dx− θ1N1 + w2
dN2
dx− θ2N2
=[−1/l −1 + x/l 1/l −x/l
]︸ ︷︷ ︸
[Bec]
w1θ1w2θ2
(lineal)
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J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Matrices elementales (1)
δWh,e = aeT
([Ke
f ] + [Kec]
)ae − fe
int − feext
[Kef ] =
∫ 2
1[Be
f ]TEI[Be
f ] dx; [Kec] =
∫ 2
1[Be
c]TGA∗[Be
c] dx
feint =
∫ 2
1Neq(x) dx; fe
ext =
−V1−M1V2M2
30
F.Gabaldon /J.M. Goicolea, 25 de enero de 2007
J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Matrices elementales (2)
Integrando analıticamente:
[Kef ] =
(EI
l
)e
0 0 0 00 1 0 −10 0 0 00 −1 0 1
(constante: 1 pto.
Gauss)
[Kec] =
(GA∗
l
)e
1 l/2 −1 l/2l/2 l2/3 −l/2 l2/6−1 −l/2 1 −l/2l/2 l2/6 −l/2 l2/3
(cuadratico: 2 ptos.
Gauss)
31
F.Gabaldon /J.M. Goicolea, 25 de enero de 2007
J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Deformacion de mensula
♣ Viga Bernouilli (EI): wf = Pl3
3EIwf
l P
♣ Viga Cortante (GA∗): wc = Pl
GA∗wc
l P
♣ Viga Timoshenko (EI, GA∗):
wt = P
(l3
3EI+
l
GA∗
) l P
wt = wf + wc
(Mas flexible que viga Bernouilli)
32
F.Gabaldon /J.M. Goicolea, 25 de enero de 2007
J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Bloqueo de viga (Timoshenko) esbelta
♣ Seccion rectangular b× t: I = 112bt3; GA∗ = 5
6bt
Kf =3EI
l3; Kc =
GA∗
lKf
Kc=
3
5(1 + ν)
1
λ2
(λ =
l
t
)
en el lımite λ →∞ ⇒ Kf
Kc→ 0, θ =
dw
dx
1 2 3
w, θ
0
θ0 = 0 ⇒ dw
dx
∣∣∣∣0
= 0 ⇒ (w lineal en elto.) w1 = 0, θ1 = 0 ⇒dw
dx
∣∣∣∣1
= 0, . . . ¡Bloqueo!
33
F.Gabaldon /J.M. Goicolea, 25 de enero de 2007
J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Ejemplo: mensula con 1 elemento (1)
1 elemento viga de Ti-
moshenko1 2l
P
GA∗l
GA∗2 −GA∗
lGA∗2
GA∗3 l + EI
l −GA∗2
GA∗6 l− EI
lGA∗
l −GA∗2
GA∗3 l + EI
l
00
w2θ2
=
V1M1P0
Eliminando las ecuaciones de (V1, M1):(
GA∗l −GA∗
2−GA∗
2GA∗3 l + EI
l
) w2θ2
=
P0
34
F.Gabaldon /J.M. Goicolea, 25 de enero de 2007
J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Ejemplo: mensula con 1 elemento (2)
Invirtiendo:
w2θ2
=
µ
1 + µ
lGA∗ + l3
3EIl2
2EIl2
2EIl
2EI
P0
(µ =
12EI
GA∗l2)
w2 =µ
1 + µP
(l
GA∗+
l3
3EI
)
♣ Identica a solucion exacta (con flexion y cortante), salvo el factorµ
1+µ .
♣ Valor para seccion rectangular (b× t) y ν = 1/4:
µ
1 + µ=
3
3 + λ2; lım
λ→∞µ
1 + µ= 0
¡Bloqueo!
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F.Gabaldon /J.M. Goicolea, 25 de enero de 2007
J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Integracion reducida (del cortante)
• Particularizando [Kc] en el centro del elemento, e integrando con
este unico punto de integracion:
[Kec] =
∫ 2
1
[Be
c
]Tx=l/2
GA∗[Be
c
]
x=l/2dx
=
(GA∗
l
)e
1 l/2 −1 l/2l/2 l2/4 −l/2 l2/4−1 −l/2 1 −l/2l/2 l2/4 −l/2 l2/4
36
F.Gabaldon /J.M. Goicolea, 25 de enero de 2007
J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Mensula, 1 elto. de integracion reducida
♣ Ecuacion matricial:
w2θ2
=
lGA∗ + l3
4EIl2
2EIl2
2EIl
2EI
P0
♣ Para λ →∞:
wEF
wexacto→ l3/(4EI)
l3/(3EI)=
3
4
¡Solucion sin bloqueo! (algo mas rıgido que solucion exacta)
♣ El error desaparece para una malla suficientemente fina: con
tan solo 2 elementos, wEF/wexacto = 0,938 (para λ →∞).
37
F.Gabaldon /J.M. Goicolea, 25 de enero de 2007
J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Deformaciones impuestas (1)
• Campo de deformaciones (Timoshenko, interpolacion lineal):
γ =1
l(w2 − w1) + θ1
(1− x
l
)+ θ2
(−x
l
)
• En coordenadas isoparametricas:x = lx = l/2
ξ = 0 ξ = +1
x = 0
ξ = −1
γ =1
l(w2 − w1)−
1
2(θ1 + θ2)
︸ ︷︷ ︸α1
+1
2(θ1 − θ2)
︸ ︷︷ ︸α2
ξ = α1 + α2ξ
• Vigas muy esbeltas: α1 → 0 ⇒ α2 → 0 ⇒ θ1 = θ2
♣ Solucion: campo independiente (((impuesto))), γ(x) = [Nγ]γ
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F.Gabaldon /J.M. Goicolea, 25 de enero de 2007
J / Modelos Estructurales: Vigas . I
Deformaciones impuestas (2)
• Metodo mixto: interpolacion independiente de flechas (w), giros
(θ), y deformaciones a cortante (γ)
• Caso mas simple: imponer γ = cte.:
γ(ξ) = [Bc]a = α1 =1
l(w2 − w1)−
1
2(θ1 + θ2)
=[−1
l −12
1l −1
2
]
w1θ1w2θ2
♣ En este caso, igual resultado que integracion reducida.
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