Corso Modellazione 1C
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251
CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE– Rifinitura della mesh
9
20
1 1 6
1
2
3 4 5
6
7
8
9 16
17
18
8.5 Top surface
18.75 18.75 11 19.75 11.75
Mid
spa
n 2
Mid
spa
n 1
Panel center line
Span 2 Span 1
-0.0004
-0.0002
0.0000
0 10 20 30 40
Distance from the loading plate center
Str
ain
2 kips
10 kips
20 kipsStatic Test
Plate
Top Strain (e11) along line B-B
-0.0004
-0.0002
0
0 10 20 30 40
Distance from the loading plate center
Str
ain
2 kips
10 kips
20 kips Static Test
Bottom Strain (e11) along line B-B
Initial Static Test
Initial Static Test
B
B
x1
x2
x3
252
CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE– Rifinitura della mesh
253
CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE FORMA DEGLI ELEMENTI
I risultati FE sono + accurati se gli elementi sono compatti, senza
distorsioni e allungamenti. La perdita di accuratezza varia in
funzione dell’elemento, organizzazione della mesh e del tipo di
problema fisico.
La distorsione peggiora maggiormente gli sforzi degli
spostamenti.
Nel tridimensionale fare superfici curvate invece di piane
diminuisce la precisione della soluzione, specialmente se la
superficie e’ molto sottile.
Variazioni brusche dimensionali tra gli elementi vanno evitate.
Vanno evitate collegamenti tra tipi diversi di elementi nei punti
critici.
Troppo brusca Mesh migliorata
254
CONSIDERAZIONI DI MODELLAZIONE Interfacce fisiche
Due materiali diversi a contatto. Gli elementi non possono intersecarsi con l’interfaccia.
NO OK
255
APPLICAZIONI
256
Stima dell’errore
Considerazioni di modellazione
Condizioni di vincoli
Sistema resistente al carico gravitazionali
Sistema resistente a carichi orizzontali
Esempi
257
CONDIZIONI DI VINCOLO – Vincoli fissi
2D la struttura deve essere vincolata almeno
3 volte: 2 traslazioni e 1 rotazione. Nella
terminologia degli elementi finiti: si
rimuovono tutti gli spostamenti traslazionali
in 1 si rimuovono le traslazioni normali alla
retta 1-8 in 8.
Altrimenti ci possono essere dei meccanismi cinematici→la matrice
di rigidezza globale diventa singolare.
258
CONDIZIONI DI VINCOLO – Vincoli fissi
3D la struttura deve essere vincolata almeno 6 volte: 3 traslazioni e 3
rotazioni. Nella terminologia degli elementi finiti: si rimuovono tutti gli
spostamenti traslazionali in A (3 spostamenti) e si rimuovono le
traslazioni normali alla retta AB in B, le traslazioni normali alla retta
AC in C, e infine le traslazioni normali alla retta CD in D .
A
B
C
D
z
x y
259
CONDIZIONI DI VINCOLO - Simmetrie
A B
C D
A B
C D
Doppia simmetria con
carico simmetrico
A B
C D
A B
C D
Doppia simmetria con
carico antisimmetrico
• Appoggi semplici
• Incastro, Cerniera, Carrello
etc.
• Cedimenti
• Supporti elastici
• Molle elastiche
• Winkler
• Modello accurato
• Usando elementi 2D
• Usando elementi solidi
INTERAZIONE SUOLO - STRUTTURA
261
CONDIZIONI DI VINCOLO –
Suolo alla Winkler
• Plinto: 3 molle traslazionali e 3 molle rotazionali. Al nodo in
corrispondenza del plinto si mettono delle molle tarate in
funzione della dimensione della fondazione, forma, tipo di
terreno, tipo di analisi (Statica o dinamica).
Il cedimento non e’ noto a priori, si conosce solo la rigidezza del
terreno. Il comportamento del terreno e’ considerato Elastica o
Lineare. L’obiettivo e’ quello di valutare gli sforzi causati dai
cedimenti.
• Fondazione continua: formulazione alla Winkler. Sotto la
fondazione viene messo un letto di molle di rigidezza
appropriata.
262
CONDIZIONI DI VINCOLO –
Vincoli cinematici
I programmi più sofisticati hanno la possibilità di tenere in conto i vincoli
cinematici modificando opportunamente la matrice di rigidezza degli
elementi. Ad esempio se non consideriamo la deformazione assiale
degli elementi possiamo ridurre i gradi di libertà della struttura nel modo
seguente:
u1=u4=U1, u5=u2=0
u3=U2, u6=U3
u1
u2
u3 u4
u5
u6 U2 U3 U1
Se il software non ha la possibilità di gestire vincoli cinematici si
possono utilizzare elementi fittizi (dummy) di forma e rigidezza
opportuna.
263
CONDIZIONI DI VINCOLO –
Vincoli cinematici
Diaframma rigido (floor diaphram constrain)
Molto utile nel caso si possa considerare il solaio rigido nelle analisi
dinamiche.
Il numero di gradi di libertà di una struttura qualsiasi 3D e’ uguale a 6 x
numero nodi. Applicando il vincolo di diaframma rigido i dof si riducono a 6
x numero piani.
Se si semplifica ulteriormente non considerando la deformabilita’ assiale
delle colonne i dof si riducono a 3 x piano.
q
u
v
qxy
u
v
w
qxz
qyz
Es.una struttura a 1000 nodi di 6 piani ha 6000 dof in 3D, applicando il
vincolo di diaframma rigido la struttura ha solo 6x6=36 dof
264
CONDIZIONI DI VINCOLO –
Vincoli cinematici
Vincolo rigido (rigid constrain)
Se si vogliono far muovere dei nodi rigidamente si applica questo vincolo
q1xy
u1
v1
w1
q1x
z
q1yz
ux (1) = ux
(m) +(z(1)-z(m))uqy (m) - (y(1)-y(m))uqz
(m)
uy (1) = uy
(m) +(z(1)-z(m))uqx (m) - (x(1)-x(m))uqy
(m)
uz (1) = uz
(m) +(y(1)-y(m))uqx (m) - (y(1)-y(m))uqy
(m)
uqx (1)= uqx
(m)
uqy (1)= uqy
(m)
uqz (1)= uqz
(m)
1
m
y
x
z
265
CONDIZIONI DI VINCOLO –
Vincoli cinematici
Esempio di applicazione del vincolo rigido (rigid constrain)
Molto utile per solai/travi, Piastre/travi di fondazione etc.
Vincolo rigido tra i nodi i-j
i i
j j
Si puo’ anche utilizzare un elemento trave dummy
molto rigido,si deve fare attenzione a problemi
numeri di ill-conditioning
266
PRETENSIONE
Può essere simulato da una variazione di temperatura.
Esempio:
Tesatura bulloni: P
b b f f
PL PLL T
A E A E
L
f f
AB
f f AB
A EPL P
A E L
Rigidezza dell’elemento tra i bulloni
267
DISALLINEAMENTI
A B Modello
semplificato
Modello
migliorato
Attenzione ai rapporti
geometrici h/L
Submodelling Elementi
plane stress
268
SVINCOLO (RELEASE)
Possibili release: N, V22,V33,M22,M33,T
A B M33
Esempio: cerniera in una reticolare
Si ottiene condensando il d.o.f. negli elementi della matrice prima
dell’assemblaggio. Le righe e le colonne condensate vengono sostituite con
zeri.
269
MODELLI
MURATURA
ANALISI
GLOBALE
270
CONDIZIONI DI VINCOLO –
Vincoli cinematici
Setto Modello FE con
elementi shell
Definizione
di travi,
colonne e
parti rigide
Modello FE
con elementi
trave alla
Timoshenko e
rigid constrains
H~ +20%
L~+20% Colonne Travi Vincolo rigido
271
CONDIZIONI DI VINCOLO –
Vincoli cinematici
Esempio edificio in muratura storica
272
CONDIZIONI DI VINCOLO –
Vincoli cinematici – muratura storica
Tensioni alte agli
spigoli, esistono
solo in hp di
Elasticaita’
Linearee, in
realta’ ci sono
ridistribuzioni
plastiche
OPCM 3431; 8.1.5.2 Analisi
statica lineare
In alternativa, gli elementi di
accoppiamento fra pareti
diverse, quali travi o cordoli
in cemento armato e/o travi
in muratura (...), potranno
essere considerati nel
modello. (...) In tal caso
l’analisi potrà essere
effettuata utilizzando modelli
a telaio, in cui le parti di
intersezione tra elementi
verticali e orizzontali
potranno essere considerate
infinitamente rigide.
fascia
maschio
nodo
Nodo
Rigido
Fascia
Maschio
Il metodo a telaio equivalente
METODO A TELAIO EQUIVALENTE
Lunghezza efficace
Maschi e fasce modellati
come elementi di telaio
deformabili assialmente e a
taglio (“beam-column”) .
Elementi nodo infinitamente
rigidi e resistenti modellati
attraverso bracci rigidi
(offsets) alle estremità degli
elementi maschio e fascia.
Determinazione dell’altezza della parte deformabile o «altezza efficace» del maschio
Definizione del modello geometrico
'h'hHD'hHeff 3
1H altezza di interpiano
METODO A TELAIO EQUIVALENTE
I MODELLO
1725 nodi II MODELLO
5127 nodi
III MODELLO
19783 nodi
Modello con mesh “fitta” Modello con mesh “media” Modello con mesh “non fitta”
Il metodo agli elementi finiti bidimensionali
METODO A ELEMENTI FINITI
Combinazione direzionale:
SRSS Method
carichi sismici + carichi verticali
22
yxFF SRSS
III MODELLO: 19783 nodi
“Puntone compresso”
METODO A ELEMENTI FINITI
Le sollecitazioni ottenute per il maschio X11 con i tre metodi di
modellazione
METODO A ELEMENTI FINITI
Osservazioni sull’andamento delle sollecitazioni flettenti per il
maschio di confronto
• Metodo a telaio equivalente:
differenze di notevole entità
si concentrano nei nodi.
Esse dipendono da:
a) Modellazione nodi
b) Non snellezza dei maschi
murari
METODO A ELEMENTI FINITI
Modello con elementi finiti bidimensionali
Nodo di confronto
Andamento qualitativo delle
tensioni nel modello a telaio
Andamento delle tensioni nel
modello agli elementi finiti
Tensioni σ22 a quota z = 2.77 m
Tensioni σ22 a quota z = 2.46 m
Tensioni σ22 a quota z = 3.30 m
METODO A ELEMENTI FINITI
280
Stima dell’errore
Considerazioni di modellazione
Condizioni di vincoli
Sistema resistente al carico gravitazionale
Sistema resistente a carichi orizzontali
Esempi
Sistemi diretti
• Solai che appoggiano su setti/muri
• Solai che appoggiano su colonne
Sistemi indiretti
• Solai che appoggiano su travi
• Travi su travi
• Travi su muri o colonne
ANALISI DEL SISTEMA RESISTENTE AL CARICO GRAVITAZIONALE
281
Solai sostenuti da supporti rigidi
• Sostenuti su travi rigide o muri
• Solai mono e bidirezionali
Solai sostenuti da piccoli supporti rigidi
• Sostenuti direttamente da colonne
• Solette bidirezionali
• Il problema principale è il trasferimento del taglio, la distribuzione del momento e la resistenza laterale
Solai che appoggiano sul suolo
• Platee, carico distribuito sul suolo
• Plinti e travi rovesce, forti carichi concentrati
SISTEMA RESISTENTE AL CARICO GRAVITAZIONALE
282
TRASFERIMENTO DEL CARICO VERTICALE
283
• Solai e solette piane
• Solai a fungo Trasferimento
diretto del carico
• Solaio -> travi Trasferimento indiretto del
carico
284
DISTRIBUZIONE DEL CARICO
Diretto
Solai su muri
Diretto
Solai su pilastri Indiretto
Solai su travi
Travi su colonne
285
DISTRIBUZIONE DEL CARICO
Linee
Muri
Punti
Pilastri Linee e punti
286
DISTRIBUZIONE DEL CARICO
287
DISTRIBUZIONE DEL CARICO
288
COMPORTAMENTO DEL SOLAIO
Soletta s = 200 mm
Larghezza travi, B = 300 mm
Profondità travi, D
a) 300 mm
b) 500 mm
c) 1000 mm
D
B
s
289
RIDISTRIBUZIONE DEI MOMENTI
Effetto della dimensione della
trave sulla ridistribuzione dei
momenti
a) Profondità trave = 300 mm
c) Profondità trave = 1000 mm b) Profondità trave = 500 mm
290
RIDISTRIBUZIONE DEI MOMENTI
Effetto della dimensione della trave sulla ridistribuzione dei momenti
a) Profondità trave =
300 mm c) Profondità trave =
1000 mm
b) Profondità trave =
500 mm
ANALISI DI SOLETTE SENZA NERVATURE E DI MURI DI CONTROVENTO
291
Metodo di analisi del telaio equivalente
• (1) Si raccomanda di suddividere la struttura in telai longitudinali e trasversali formati da pilastri e strisce di soletta comprese tra le linee medie di pannelli adiacenti (area delimitata da quattro appoggi adiacenti). La rigidezza degli elementi può essere calcolata in base alla loro sezione intera (non fessurata). Per carichi verticali la rigidezza può essere basata sulla larghezza totale dei pannelli. Per carichi orizzontali, si raccomanda di adottare il 40% di questo valore per considerare la maggiore flessibilità dei nodi soletta/pilastro in strutture con solette senza nervature confrontata con quella dei nodi trave/pilastro. Nell’analisi in ciascuna direzione si raccomanda di tener conto del carico totale agente sul pannello.
• (2) Si raccomanda che i momenti flettenti totali ottenuti dall’analisi siano distribuiti sulla larghezza della soletta. Nell’analisi elastica i momenti flettenti negativi tendono a concentrarsi in prossimità agli assi dei pilastri.
• (3) Si raccomanda di considerare i pannelli suddivisi in zona su pilastri e in zona mediana (vedere figura I.1) e di ripartire i momenti flettenti come indicato nel prospetto I.1.
292
PROGETTO TRAMITE METODO EQUIVALENTE
A -> Zona Pilastro
B -> Zona Centrale
Striscia sui pilastri
Striscia di mezzo
Str
iscia
di
ca
rico
Striscia di mezzo
Str
iscia
di
ca
rico
Striscia sui pilastri
ELEMENTI FINITI
293
294
Stima dell’errore
Considerazioni di modellazione
Condizioni di vincoli
Sistema resistente al carico gravitazionali
Sistema resistente a carichi orizzontali
Esempi
295
SISTEMI RESISTENTI
• Telai
• Telai controventati
• Setti
• Sistemi a nucleo
Sistema singolo
• Setti + telai
• Nucleo + telaio + setti
Sistemi accoppiati
296
CARICHI LATERALI
• Vento
• Terremoto Primari
• Sollecitazioni generate da sistemi inclinati o non simmetrici
• Pressioni generate dal terreno, liquidi o materiali
Secondari
Il carico è trasferito alle travi e alle colonne tramite il taglio
I nodi sono i punti più sensibili
I momenti e i tagli dei solai sono aggiunti ai gravitazionali
Il modello è realizzato con elementi beam
TELAI RESISTENTI
Il carico laterale è resistito principalmente dai setti
Le aperture sono aree in cui c’e’ alta concentrazione di tensioni
75/25
Thin shells + drilling
TELAI E NUCLEO RESISTENTE
Il carico laterale è resistito principalmente da forze assiali nelle colonne, nei cotroventi e nelle travi
Le parti del telaio lontane dalle parti controventate non hanno momenti elevati
Controvento non deve essere messo in tutte le campate ma in tutti i piani
TELAI CONTROVENTATI
300
COME FARE
L’ANALISI IN
MANIERA
OTTIMALE?
Modelli 2D a telaio
• Ogni telaio è studiato separatamente
• Adatto per carichi simmetrici e geometrie regolari
Modelli 3D a telaio
• Modello a telaio tridimensionale
• Può essere senza irrigidimenti di piano o con
Modelli 3D completo
• Modello 3D con elementi piani e monodimensionali
Modello a piani rigidi
• Vincoli cinematici per il piano rigido
MODELLI PER CARICHI LATERALI
VANTAGGI E LIMITI DELLA MODELLAZIONE 2D
Vantaggi
• Modello facile da fare, analizzare e interpretare
• Abbastanza accurato per carichi verticali
Limiti
• Centro di rigidezza e massa potrebbero non coincidere
• Difficile considerare gli effetti torsionali
• Potrebbe richiedere la modellazione di molti telai
• Difficile modellare sistemi non rettangolari (irregolari)
MODELLO 2D Spostamento orizzontale
massimo 12 mm
Shells
Bielle
Usare elementi shell
Usare bielle
Usare diaframmi rigidi
MODELLO 3D COMPLETO (modellazione del solaio)
La struttura verticale è rappresentata da elementi verticali (telai, setti etc. ) connessa orizzontalmente da vincoli cinematici
I movimenti laterali di tutti gli elementi verticali sono collegati a un nodo master
Questo permette di tenere in considerazione la rotazione dell’edificio e i suoi effetti sugli elementi verticali
La modellazione e l’analisi è molto semplificata e efficiente
MODELLO 3D A TELAIO (diaframma rigido)
MODELLO 3D A TELAIO (diaframma rigido)
Modellato come un piano rigido che ha rigidezza infinita nel piano
Non c’e’ rigidezza flessionale tra gli elementi orizzontali e quelli verticali
Le colonne di un livello non si possono deformare inidpendentemente
Le colonne di un livello non si possono deformare inidpendentemente
trascurabile
trascurabile
MODELLO 3D A TELAIO (senza diaframma)
Spostamento orizzontale massimo 12.3 mm
Defo
rmazi
one
MODELLO 3D A TELAIO (diaframma rigido)
Spostamento orizzontale massimo 11.5 mm
Defo
rmazi
one
Le colonne e le travi sono modellate con elementi
beam
• Almeno 9/16 elementi devono essere utilizzati per i solai se si vogliono rappresentare i carichi verticali. Nel caso di analisi a carichi orizzontali si possono utilizzare meno elementi
I solai e i setti sono modellati con elementi bidimensionali (I beam)
MODELLO 3D COMPLETO (considerazioni)
Modello
• 275 el. Beam
• 12460 el. Shell
• 13963 nodi
Adatto per carichi gravitazionali e laterali
I risultati possono essere utilizzati per la progettazione
Armature complesse da determinare per elementi shell
MODELLO 3D COMPLETO (esempio)
MODELLO 3D COMPLETO I
Spostamento orizzontale massimo 10.7 mm
E’ meno flessibile del modello con piano rigido poichè la
mesh è troppo grossolana e il piano è irrigidito anche a
flessione fuori dal proprio piano
tmax = 0.0052 MPa
MODELLO 3D COMPLETO (trasferimento del carico verticale)
smax [MPa]
La discretizzazione non è sufficiente
My [kNm]
MODELLO 3D COMPLETO (trasferimento del carico verticale)
Fz [kN] N [kN]
MODELLO 3D COMPLETO II
Spostamento orizzontale massimo 11.3 mm
tmax = 0.238 MPa
MODELLO 3D COMPLETO (trasferimento del carico verticale)
smax [MPa] My [kNm]
MODELLO 3D COMPLETO (trasferimento del carico verticale)
Fz [kN] N [kN]
MODELLO 3D COMPLETO
Spostamento orizzontale massimo 11.4 mm
tmax = 0.639 MPa
MODELLO 3D COMPLETO (considerazioni)
smax [MPa]
Modello RD
• Elementi: 391
• Tempo di esecuzione: 0.56 sec.
Modello I
• Elementi: 487
• Tempo di esecuzione: 0.67 sec
Modello II
• Elementi: 1255
• Tempo di esecuzione: 3.3 sec.
Modello III
• Elementi: 8167
• Tempo di esecuzione: 17.5 sec
TELAI RESISTENTI
Spostamento orizzontale massimo 11 mm
TELAI E SETTI RESISTENTI
Mesh 1: spostamento orizzontale
massimo:3.22 mm Mesh 2: spostamento orizzontale
massimo:3.27 mm
TELAI E SETTI RESISTENTI Mesh 1: smin = -1.20 MPa Mesh 2: smin = -1.29 MPa
TELAI E SETTI RESISTENTI Mesh 1: smax = 1.46 MPa Mesh 2: smax= 1.75
TELAI E SETTI RESISTENTI Mesh 1: smax = 1.46 MPa Mesh 2: smax= 1.75
TELAI E SETTI RESISTENTI Sollecitazioni kN m
Fx: 7.0620e+000
Mx: 3.7515e+000
Fy: -3.0740e-002
My: -1.1079e+003
Fz: -4.2477e+002
Mz: 4.9762e-002
y x
Fx: 6.1748e+000
Mx: 1.4721e+000
Fy: -1.7952e-002
My: -1.4389e+003
Fz: -4.2775e+002
Mz: 4.1850e-002
x
y
-13%
+30%
325
EDIFICI
SCATOLARI
326
L’edificio in muratura quando è realizzato come un assemblaggio
tridimensionale di muri e solai, garantisce il funzionamento SCATOLARE e
conferisce stabilità e robustezza all’insieme
MODELLO FISICO
Resistenza di insieme
maggiore delle singole pareti
327
MODELLO FISICO SOLAIO RIGIDO
scollegato
collegato
scollegato
collegato
Pareti ortogonali non collegate
328
MODELLO FISICO SOLAIO RIGIDO
collegato
collegato
Pareti ortogonali non collegate
Pareti ortogonali collegate
collegato
collegato
329
MODELLO FISICO SOLAIO DEFORMABILE
collegato
collegato
Pareti ortogonali collegate
330
E.Giuriani; “L’organizzazione degli impalcati per gli edifici storici”;
L’Edilizia n°134; pagg. 30-43; 2004
SOLAIO RIGIDO MODELLO MATEMATICO
331
MODELLO MATEMATICO
332
MODELLO MATEMATICO
333
MODELLO MATEMATICO
334
MODELLO MATEMATICO
335
E’ SEMPRE APPLICABILE?
336
TAGLIO NEL PIANO
337
MODELLO NUMERICO
338
MODELLO NUMERICO
R3 = 3428 kN
R3 = 3122 kN
339
MODELLO NUMERICO
340
MODELLO NUMERICO
f= f 2 /2 = 750 kN/m
R3 = f 2 L/2 = 4500 kN
M = 3375 kNm
T = 2250 kN
341
MODELLO NUMERICO
Fc = 844 kN
Perche’?
Fc = 281 kN + 294 kN + 302 kN + 305 kN + 304 kN + 303 kN + 303 kN + 303
kN + 303 kN/2 forza portata dal solaio in legno
342
MODELLO NUMERICO
con connettori
Forze nei connettori
343
MODELLO NUMERICO
139.74
154.12
139.77
113.97
82.8
50.4
17.92 698.72
-14.99
-48.32
-81.92
-115.3
-146.5
-170.8
-183.2
-166.3 -927.25
344
MODELLO NUMERICO
Pareti parallele
non connesse
345
MODELLO NUMERICO
222.01
169.34
134.41
105.15
69.68
38.59
11.5 750.68
-14.34
-40.67
-69.12
-101.8
-138.3
-166.8
-200.6
-252.1 -983.74
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