Corso di Laurea in Statistica Matematica e Trattamento Informatico dei Dati Anno Accademico 2003-2004 Prova Finale Analisi delle serie storiche e applicazioni.
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Corso di Laurea in
Statistica Matematica e Trattamento Informatico dei Dati
Anno Accademico 2003-2004
Prova Finale
“Analisi delle serie storiche e applicazioni”Relatori: Correlatore:Dott. Fabio Rapallo Dott. Emanuela SassoProf. Mauro Gasparini
Candidato: Daniele Rampoldi
Prova Finale
Processi Stocastici e Serie Storiche
Per Serie Storica o Serie Temporale intendiamo una
successione di osservazioni ordinate logicamente secondo
una variabile t, che solitamente rappresenta il tempo.
Un Processo Stocastico è una famiglia di variabili
casuali descritte da un parametro t appartenente ad un
insieme T .
tX
Prova Finale
Una Serie Storica è una parte finita di una singola realizzazione del
processo.
Dato un processo , esistono infinite possibili realizzazioni, tra le quali noi
osserviamo unicamente la successione dei risultati campionari ,
chiamata realizzazione o traiettoria del processo.
Processi Stocastici e Serie Storiche
tX Nxx ,...,1
Prova Finale
Correlazione e indipendenza
Una prima distinzione tra i differenti processi stocastici riguarda
l’indipendenza o meno delle variabili casuali che lo compongono.
La quasi totalità dei processi normalmente considerati è a componenti
correlate, quindi non indipendenti.
Una importante eccezione è il processo definito “White Noise” di valor
medio nullo e varianza costante , che indicheremo:2a
2,0~ at WNA
Prova Finale
Stazionarietà e Autocovarianza
Un’altra distinzione può essere fatta considerando il comportamento
della famiglia di variabili casuali rispetto alla variabile temporale.
Un processo è stazionario in senso stretto se la distribuzione
multivariata delle variabili casuali non è funzione di ,
per ogni .
È stazionario in senso debole se valgono le seguenti condizioni:
(1) (2)
(3)
tX
ktt XX ,...,1
ktt ,,...1
1k
tXE t , tXE t ,22
sttsXXE st ,,
Prova Finale
La funzione di autocorrelazione
L’autocovarianza, come covarianza fra misura il segno e la
forza del legame lineare esistente fra al variare di k .
In analogia con il coefficiente di correlazione si introduce quindi la
funzione di autocorrelazione, definita come il coefficiente di correlazione
lineare fra le variabili casuali , al variare di k .
ktt XeX
ktt XeX
ktt XeX
,...2,1,0,
,
kperXVarXVar
XXCovXXEk
ktt
kttktt
Prova Finale
Prova Finale
Processi invertibili e periodici
Un processo stocastico è invertibile se esiste una funzione lineare
e un processo tale che, per ogni t, si possa scrivere:
L’invertibilità è quindi la possibilità di esprimere un processo tramite le
variabili casuali del “passato”.
tX h tAWN
tttt AXXhX ,..., 21
Prova Finale
Il Teorema di Wold
Ogni processo stocastico stazionario di valor medio può essere decomposto
in due differenti processi stocastici, stazionari e fra loro mutuamente incorrelati,
, detti, rispettivamente, componente non deterministica e componente
deterministica , le quali hanno le seguenti rappresentazioni:
dove , mentre sono successioni di variabili casuali tali
che è una successione
di numeri reali tali che .
tX tZ
tZ tV
2,0~ at WNA
tVe
jj ,
,,...
sincos
22211
1
jtttt
jjjjjt
conAAAZ
ttV
jjjjj ejiogniperCovEE ,,,0,;0
jogniperj ,0
Prova Finale
Modelli ARMA – Processo MA
Il Teorema di Wold introduce il modello lineare . Per la condizione
posta sui , possiamo considerarli trascurabili da un certo punto in poi.
Poniamo quindi:
e consideriamo quindi il processo stocastico Media Mobile di ordine q,
denotato , e definito da:
Un processo è sempre stazionario.
tZj
,...2,1,0
,...,1,
qqjper
qjperjj
qMAZt ~
qMA
qtqttt AAAZ ...11
Prova Finale
Modelli ARMA
Se è noto si possono calcolare univocamente le autocovarianze.
In generale non è vero il contrario.
Se consideriamo i processi invertibili, esiste però corrispondenza
biunivoca fra parametri del modello e funzione di autocovarianza.
tZ
qMA
Prova Finale
Modelli ARMA – Processo AR
Un processo ,se invertibile, si può scrivere come:
Tale struttura viene chiamata Auto Regressiva (AR) perchè
paragonabile ad una regressione della variabile al tempo t
(ovvero ) su se stessa ad un tempo precedente
(ovvero ).
qMAZt ~
tptptt AZZZ ...11
ZtZ
ptt ZZ ,...,1
Prova Finale
Modelli ARMA
I modelli AR rispondono al tentativo di spiegare il presente in funzione
del passato, fino ad una certa “distanza” p.
I modelli MA rispondono al tentativo di spiegare il presente come la
risultante di una successione di impulsi casuali, statisticamente riassunti
nel WN .tA
Prova Finale
Modelli ARMA
Consideriamo quindi il processo stocastico Auto Regressivo di ordine p e
Media Mobile q, indicato con e definito dalla relazione: qpARMAZt ,~
....... 1111 qtqttptptt AAAZZZ
Prova Finale
Modelli ARIMA
L’introduzione dei modelli ARMA, stazionari ed invertibili, ci permette di
individuare il processo a partire dalla serie secondo criteri
statisticamente efficienti.
I modelli ARIMA nascono dal tentativo di generalizzare i risultati ottenuti
sui modelli ARMA.
Box e Jenkins proposero una procedura iterativa per la costruzione di un
modello ARIMA.
Prova Finale
AnalisiPreliminari
Identificazione del modello
ARIMA
Stima dei parametri
Verifica del modello stimato Utilizzazione
del modello
Procedura iterativa di Box e Jenkins
RifiutoAccettazione
Passo di dataProc Gplot
Proc ArimaStatement Identify
Proc ArimaStatement Estimate
Proc ArimaStatement Forecast
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