Controlli Automatici T Progetto reti correttrici · Prof. L. Marconi Controlli Automatici T Parte 10, 1 Controlli Automatici T Progetto reti correttrici Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università
Post on 12-Apr-2018
259 Views
Preview:
Transcript
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 1
Controlli Automatici T Progetto reti correttrici
Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: lmarconi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~lmarconi
Parte 10 Aggiornamento: Settembre 2010
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 2 Reti ritardatrici
errore
Effetto utile: attenuazione ad alta frequenza con sfasamento trascurabile
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 3
fissato fissato
....Reti ritardatrici Ruolo dei parametri
Variando il parametro si sposta il punto di intervento della rete lasciando fisso il livello di attenuazione massimo
Variando il parametro si varia il livello di attenuazione massima lasciando fisso il punto di intervento
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 4 ....Reti ritardatrici Caratteristiche significative
Cerchiamo di valutare l’errore che si commette confondendo la rete con una attenuazione di senza sfasamento per dove
Errore approssimazione attenuazione
Entità dello sfasamento residuo
Nota: dipendono da
~ una decade dallo zero
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 5 ....Reti ritardatrici
grad
i
A ~ una decade dalla pulsazione di intervento dello zero la fase residua è < -5o
Entità dello sfasamento residuo
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 6 ....Reti ritardatrici Errore approssimazione attenuazione
Sopra la pulsazione di intervento dello zero l’errore è sempre < 1 db
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 7 ....Reti ritardatrici “Tuning pratico” della rete
Dati del problema
Sistema esteso
Pulsazione di attraversamento desiderata
Problema: Trovare i parametri della rete che assicurano una pulsazione di attraversamento di pari a e
Come visto nella parte precedente, il progetto della rete ritardatrice può praticamente essere eseguito imponendo l’attraversamento ad una pulsazione desiderata senza alterare di troppo la fase
Algoritmo
Step 1: Calcolare in modo che
Step 2: Calcolare in modo che
Livello di attenuazione
Lo zero una decade prima di
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 8
Esempio “tuning pratico” ....Reti ritardatrici
Il margine di fase imposto è 5o gradi in meno rispetto a quello desiderato (vedi grafico “entità sfasamento residuo”)
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 9 ….Esempio “tuning pratico”
Scegliendo in modo da piazzare lo zero a frequenze ancora più basse:
Il valore della fase di è più simile a quello di rispetto al caso precedente. Il margine di fase è più prossimo al valore limite di 60o
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 10 ....Reti ritardatrici Formule di inversione
L’obiettivo è identificare delle formule per il progetto dei gradi di libertà al fine di assegnare una certa pulsazione di attraversamento e un certo margine di fase desiderati.
Passo intermedio: Dati valori desiderati (con ) identificare delle formule per trovare della rete che alla pulsazione attenui di e sfasi di
Nota: La rete attenua e sfasa in ritardo. Quindi la pulsazione di attraversamento desiderata deve essere a quella del sistema esteso e inoltre la fase del sistema esteso per deve essere maggiore di .
Queste sono tuttavia le condizioni tipiche dello scenario A
( margine di fase desiderato)
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 11 ....Reti ritardatrici
ovvero
che e’ equivalente a (uguagliando parte reale e immaginaria)
che risolta restituisce le formule precedenti
I valori di che garantiscono una attenuazione pari a e uno sfasamento (con e ) per sono
Infatti:
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 12 ....Reti ritardatrici
Warning: Non tutti gli sfasamenti e le attenuazioni possono essere arbitrariamente ottenuti con e . Infatti, mentre è facile verificare che e garantiscono che e , si ha che
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 13 ....Reti ritardatrici Imposizione del margine di fase mediante
formule di inversione Dati del problema
Sistema esteso
Pulsazione di attraversamento desiderata e margine di fase desiderato
Algoritmo per il progetto della rete ritardatrice
Step 1: Calcolare e (lettura diagramma Bode)
Step 3: Calcolare mediante le formule di inversione
Step 2: Calcolare
Verificando che (ovvero che )
(ovvero che )
Scenario A
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 14 ....Reti ritardatrici Esempio
specifiche
Sistema non compensato
Sistema compensato
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 15 ....Reti ritardatrici Procedura Matlab
function [alpha,tau]=ProgettaRR(Num,Den)
[M,P,W]=Bode(Num,Den); [V,i]=min(abs(W-Wcd)); GeWcd=M(i); ArgGeWcd=P(i); Pd=-180+MFd-ArgGeWcd; Md=1/GeWcd; Pd=Pd*pi/180;
Bode(Num,Den); grid; [Wcd,PAd]=ginput(1); disp('Margine di fase desiderato: ') MFd=180+PAd disp('Pulsazione di attraversamento desiderata: ') Wcd
if (Md>1 || Pd>0 || cos(Pd)<Md) disp('Studia!'); return;
end
tau=(cos(Pd)-1/Md)/(Wcd*sin(Pd)); alpha=(Md-cos(Pd))/(Wcd*sin(Pd))/tau;
Immissione mediante mouse del valore desiderato di per (e quindi immissione di )
Calcolo di
Check realizzabilità delle specifiche mediante rete ritardatrice
Formule di inversione
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 16 Esempio (code di assestamento)
specifiche
possibile scelta
La dinamica che ci si aspetta in retro e’ quella di una coppia cc con
....Reti ritardatrici
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 17 ….Esempio (code di assestamento)
Zoom sistema compensato
Ci aspettiamo quindi che il sistema in retro abbia: 1. Coppia di poli cc
3. Coppia polo-zero reale “molto vicini” (quasi cancellazione!!)
Ramo dovuto al regolatore
1
1
2
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 18 ….Esempio (code di assestamento)
Coda di assestamento
Risposta al gradino del sistema in retro confrontata con quella di un sistema del 2o ordine con pari guadagno statico e
zoom
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 19 Effetti collaterali introdotti dallo zero
Zero-polo della rete
1) La funzione di trasferimento in retro avrà uno zero più vicino all’asse immaginario rispetto alla dinamica dominante
possibili overshoot da zero molto maggiori rispetto a quelli attesi
2) Tale zero fungerà da attrattore per un ramo del luogo delle radici. Quindi il sistema in retro potrebbe avere una coppia polo-zero con valori comparabili (quasi cancellazione)
possibili code di assestamento
Esempio precedente
La calibrazione della rete piazza lo zero strutturalmente a frequenza inferiore rispetto a quella di attraversamento desiderata. Questo ha due possibili conseguenze:
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 20
Effetto dello zero in reti ritardatrici: un rimedio
La criticità o meno dello zero deve essere verificata di volta in volta valutando la posizione del polo del sistema in retro che tende verso lo zero e la posizione dello zero della rete rispetto alle specifiche sul tempo di assestamento e sulla sovraelongazioni
Un rimedio spesso adottato (non sempre fattibile, da verificare caso per caso) e’ quello di mettere lo zero della rete in cancellazione con uno dei poli del sistema esteso
Esempio precedente:
Avendo fissato lo zero rimane da scegliere il tuning del polo per soddisfare le specifiche su e
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 21 … un rimedio fissato
Nota: una volta fissato (eseguendo la cancellazione) e (imponendo la pulsazione di attraversamento ) è possibile trovare l’entità dello sfasamento residuo mediante il grafico a fianco con
Occorre poi valutare l’effetto dello sfasamento introdotto per
L’idea nel tuning del polo e’ quella di prendere la sua posizione sufficientemente a sx (ovvero sufficientemente piccolo) al fine di avere
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 22
Algoritmo
Step 1 Fissare in cancellazione con il polo del plant (cancellando il primo polo prima della frequenza di attraversamento desiderata)
Step 2 Fissare ( e di conseguenza ) in modo che
… un rimedio
Step 3 Verificare il margine di fase per il sistema compensato valutando l’effetto dello sfasamento residuo della rete ovvero verificando che
fissando eventualmente un valore di (e quindi di ) diverso ma compatibile con l’intervallo di specifica
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 23
Esempio progetto per cancellazione ....Reti ritardatrici
specifiche
possibili scelte
Cancellazione
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 24 ....Esempio
Violato (di poco)
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 25 ....Esempio
con cancellazione senza cancellazione
Valutando la risposta al gradino:
zoom
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 26
grad
i
Approccio alternativo … un rimedio
Caratterizzazione zero (polo)
Nel caso del polo i diagrammi sopra vanno interpretati con il segno “-” nell’asse delle ordinate
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 27 Algoritmo
… un rimedio
fissato Si puo’ valutare lo sfasamento ( ) e l’amplificazione ( ) dello zero alla pulsazione dai diagrammi sopra con
Step 1)
Step 2) Calcolare: Attenuazione desiderata del polo a
Step 3)
Step 4) Se si, scegliere , altrimenti provare con un diverso valore di
e il valore di che garantisce l’attenuazione
Valutare se lo sfasamento del polo per risulta essere compatibile con il margine di fase desiderato, ovvero
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 28 … un rimedio Esempio progetto (seconda procedura)
specifiche
possibili scelte Cancellazione
prima scelta
grad
i
Lo zero in cancellazione alla amplifica di 15db e sfasa di 80o
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 29 … esempio
Il polo ancora da scegliere dovrebbe quindi garantire una attenuazione di 23 db (per garantire l’attraversamento a )
grad
i Tuttavia lo sfasamento del polo per risulta essere da cui
Margine di fase
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 30 seconda scelta
grad
i
… esempio
Lo zero in cancellazione alla amplifica di 7db e sfasa di 60o
Il polo ancora da scegliere dovrebbe quindi garantire una attenuazione di 25 db (per garantire l’attraversamento a )
Margine di fase
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 31 Reti anticipatrici
Effetto utile: sfasamento positivo. “Purtroppo” il picco di fase è associato ad una amplificazione.
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 32 ....Reti anticipatrici Ruolo dei parametri
fissato
Variando il parametro si sposta il punto di intervento della rete lasciando fisso il livello di sfasamento positivo
fissato
Variando il parametro si varia il livello e la posizione del picco di sfasamento positivo
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 33 ....Reti anticipatrici Picco di sfasamento
grad
i
Massimo sfasamento in anticipo 90o ( ). Praticamente 70o-75o di anticipo massimo.
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 34 Caratteristiche significative
Cerchiamo di valutare l’errore che si commette confondendo la rete con uno sfasamento positivo “puro” per frequenze “a cavallo” di dove
....Reti anticipatrici
Entità dello sfasamento positivo
Livello di amplificazione
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 35
grad
i
Entità dello sfasamento positivo ....Reti anticipatrici
Frequenza di max sfasamento
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 36 Livello di amplificazione ....Reti anticipatrici
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 37
“Tuning pratico” della rete
Il tuning pratico risulta più complicato rispetto alla rete ritardatrice in quanto non è possibile “disaccoppiare” il progetto dei parametri.
....Reti anticipatrici
Step 3: trovare per tentativi
Step 2: Stimare un valore di iniziale come
Picco si sfasamento sintonizzato su
“Algoritmo 1”
Step 1: Stimare un valore di come Margine di fase desiderato
Stima anticipo necessario per compensare lo sfasamento negativo del sistema esteso nell’intorno della pulsazione di attraversamento
Margine sicurezza
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 38
Esempio “tuning pratico” ....Reti anticipatrici
Margine di fase del sistema non compensato
Anticipo necessario almeno
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 39 ….Esempio “tuning pratico”
Primo tentativo: ( )
Anche variando il valore di il margine di fase desiderato non può essere imposto
Occorre un anticipo di fase maggiore, ovvero un valore di minore
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 40 ….Esempio “tuning pratico”
secondo tentativo: ( )
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 41
terzo tentativo:
….Esempio “tuning pratico”
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 42 ....Reti anticipatrici
“Algoritmo 2” (un po’ più evoluto)
specifiche
Step 1: Identificare una all’interno dell’intervallo di specifica identificando e
Scegliamo per esempio
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 43 ....Reti anticipatrici
Step 2: Identificare sul diagramma “livello di amplificazione” tutte le possibili coppie associate ad una amplificazione pari a
In questo modo si identificano tutti i valori di tali che se è fissato in modo che
allora il sistema compensato ha
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 44
Step 3: Verificare sul diagramma “entità dello sfasamento positivo” se esiste una coppia appartenente al set identificato al passo precedente a cui è associato uno sfasamento positivo >= di quello necessario per soddisfare la specifica sul margine di fase
grad
i
Tutte le coppie trovate sopra risultano essere caratterizzate da uno sfasamento positivo >= di quello necessario per la specifica sul margine di fase
Anticipo di fase necessario alla frequenza
....Reti anticipatrici
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 45 ....Reti anticipatrici
Step 4: Se esiste una coppia allora scegliere
Nel caso dell’esempio:
In caso contrario si può provare con una diversa all’interno dell’intervallo di specifica ripartendo dallo Step 1
Tale scelta garantisce che la rete abbia una amplificazione di alla freq. con uno sfasamento positivo che è >= di quello necessario.
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 46
Formule di inversione
L’obiettivo è identificare delle formule per il progetto dei gradi di libertà al fine di assegnare una certa pulsazione di attraversamento e un certo margine di fase desiderati.
....Reti anticipatrici
Passo intermedio: Dati valori desiderati (con ) identificare delle formule per trovare della rete che alla pulsazione amplifichi di e sfasi di
Nota: La rete sfasa in anticipo e amplifica. Quindi la pulsazione di attraversamento desiderata deve essere a quella del sistema esteso e inoltre la fase del sistema esteso per deve essere minore di
Queste sono tuttavia le condizioni tipiche dello scenario B
( margine di fase desiderato)
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 47
I valori di che garantiscono una attenuazione pari a e uno sfasamento (con e ) per sono
....Reti anticipatrici
ovvero
che e’ equivalente a (uguagliando parte reale e immaginaria)
che risolta restituisce le formule precedenti
Infatti:
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 48
Infatti, mentre è facile verificare che e garantiscono che e , si ha che
Warning: Non tutti gli sfasamenti e le attenuazioni possono essere arbitrariamente ottenuti con e .
....Reti anticipatrici
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 49
Imposizione del margine di fase mediante formule di inversione
Dati del problema
Sistema esteso
Pulsazione di attraversamento desiderata e margine di fase desiderato
Algoritmo per il progetto della rete anticipatrice
Step 1: Calcolare e (lettura diagramma Bode)
Step 3: Calcolare mediante le formule di inversione
....Reti anticipatrici
Step 2: Calcolare
Verificando che (ovvero che )
(ovvero che )
Scenario B
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 50
Esempio
specifiche
....Reti anticipatrici
Sistema non compensato
Sistema compensato
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 51 Procedura Matlab
function [alpha,tau]=ProgettaRA(Num,Den)
Bode(Num,Den); grid; [Wcd,PAd]=ginput(1); disp('Margine di fase desiderato: ') MFd=180+PAd disp('Pulsazione di attraversamento desiderata: ') Wcd
Immissione mediante mouse del valore desiderato di per (e quindi immissione di )
[M,P,W]=Bode(Num,Den); [V,i]=min(abs(W-Wcd)); GeWcd=M(i); ArgGeWcd=P(i); Pd=-180+MFd-ArgGeWcd; Md=1/GeWcd; Pd=Pd*pi/180;
Calcolo di
if (Md<1 || Pd<0 || cos(Pd)>1/Md) disp('Studia!'); return;
end
Check realizzabilità delle specifiche mediante rete anticipatrice
tau=(Md-cos(Pd))/(Wcd*sin(Pd)); alpha=(cos(Pd)-1/Md)/(Wcd*sin(Pd))/tau;
Formule di inversione
....Reti anticipatrici
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 52 Esempio (code di assestamento)
specifiche
possibile scelta
....Reti anticipatrici
La dinamica che ci si aspetta in retro e’ quella di una coppia cc con
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 53 ….Esempio (code di assestamento)
Zoom sistema compensato
Ci aspettiamo quindi che il sistema in retro abbia: 1. Coppia di poli cc
3. Coppia polo-zero reale “molto vicini” (quasi cancellazione!!)
1
1
2
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 54 ….Esempio (code di assestamento)
Risposta al gradino del sistema in retro confrontata con quella di un sistema del 2o ordine con pari guadagno statico e
zoom
Coda di assestamento
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 55 Effetti collaterali introdotti dallo zero
polo-zero della rete
1) La funzione di trasferimento in retro avrà uno zero più vicino all’asse immaginario rispetto alla dinamica dominante
possibili overshoot da zero molto maggiori rispetto a quelli attesi
2) Tale zero fungerà da attrattore per un ramo del luogo delle radici. Quindi il sistema in retro potrebbe avere una coppia polo-zero con valori comparabili (quasi cancellazione)
possibili code di assestamento
Esempio precedente
La calibrazione della rete piazza lo zero strutturalmente a frequenza inferiore rispetto a quella di attraversamento desiderata. Questo ha due possibili conseguenze:
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 56
Un rimedio spesso adottato (non sempre fattibile, da verificare caso per caso) e’ quello di mettere lo zero della rete in cancellazione con uno dei poli del sistema esteso
Esempio precedente:
Avendo fissato lo zero rimane da scegliere il tuning del polo per soddisfare le specifiche su e
Effetto dello zero in reti anticipatrici: un rimedio
La criticità o meno dello zero deve essere verificata di volta in volta valutando la posizione del polo del sistema in retro che tende verso lo zero e la posizione dello zero della rete rispetto alle specifiche sul tempo di assestamento e sulla sovraelongazioni
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 57 … un rimedio
fissato
L’idea nel tuning del polo e’ quella di prendere la sua posizione suff. a dx (ovvero suff. piccolo) al fine di avere
Occorre poi valutare l’effetto dell’amplificazione introdotta per
Margine di fase desiderato
Stima anticipo necessario per compensare lo sfasamento negativo del sistema esteso nell’intorno della pulsazione di attraversamento
Margine sicurezza
Primo algoritmo (poco conclusivo…)
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 58
Algoritmo
Step 1 Fissare in cancellazione con il polo del plant (cancellando un polo a freq. più bassa della pulsazione di attraversamento desiderata)
Step 2 Fissare in modo che
… un rimedio
Step 3 Verificare il margine di fase per il sistema compensato valutando l’effetto dell’amplificazione introdotta dalla rete ovvero fissando eventualmente un valore di differente
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 59
Esempio progetto per cancellazione ....Reti anticipatrici
specifiche
possibile scelta
Cancellazione
Anticipo di fase necessario almeno
( )
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 60 ....Esempio
con cancellazione
senza cancellazione
zoom
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 61
grad
i
… un rimedio
-
Caratterizzazione zero (polo)
Approccio alternativo
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 62
fissato Si puo’ valutare lo sfasamento ( ) e l’amplificazione ( ) dello zero alla pulsazione dai diagrammi sopra con
Algoritmo
Step 1)
Step 2) Calcolare: Attenuazione desiderata del polo a
Step 3)
Step 4) Se si, scegliere , altrimenti provare con un diverso valore di
… un rimedio
e il valore di che garantisce l’attenuazione
Valutare se lo sfasamento del polo per risulta essere Compatibile con il margine di fase desiderato, ovvero
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 63 Esempio (seconda procedura)
… un rimedio
specifiche
Cancellazione
Prima scelta
Polo che garantisce 5.5 db di attenuazione
Sfasamento del polo per
non compatibile con il ( )
Prof. L. Marconi Controlli Automatici T
Parte 10, 64
Seconda scelta
Polo che garantisce 0.4 db di attenuazione
Sfasamento del polo per
… esempio
compatibile con il ( )
top related