Contrôle optimal par réduction de dynamique du sillage … · large gamme de dynamique :,!excitation d’un plus grand nombre de degrés de liberté par balayage en amplitudes et
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Contrôle optimal par réduction dedynamique du sillage d’un cylindre
circulaireMichel Bergmann, Laurent Cordier & Jean-Pierre Brancher
Michel.Bergmann@ensem.inpl-nancy.fr
Laboratoire d’Energetique et de Mecanique Theorique et Appliquee
UMR 7563 (CNRS - INPL - UHP)
ENSEM - 2, avenue de la Foret de Haye
BP 160 - 54504 Vandoeuvre Cedex, France
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage d’un cylindre circulaire – p. 1/23
Plan de l’exposé
I - Configuration et méthodes de résolutions numériques
II - Contrôle optimal
III - Décomposition Orthogonale aux valeurs Propres (POD)
IV - Modèle réduit de la dynamique du cylindre (ROM)
V - Formulation contrôle optimal appliquée au modèle réduit
VI - Résultats
Conclusions et perspectives
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage d’un cylindre circulaire – p. 2/23
I - Configuration et méthodes de résolutions numériques
Écoulement 2D autourd’un cylindre circulaire àRe = 200Fluide visqueux, incom-
pressible et newtonienOscillations du cylindre
à une vitesse tangentielleγ(t)
Γ1
Γ4
Γ2
Γ3
ΓcρU
D
y
xγ
Méthode à pas fractionnaires(correction de pression) entempsÉléments finis (P1, P1) en es-
pace
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage d’un cylindre circulaire – p. 3/23
I - Configuration et méthodes de résolutions numériques
Isobares à t = 100.
80 90 100 110 120
-0.5
0
0.5
1
1.5
PSfrag replacements
unités de temps
CD
,C
L
CD
CL
Coefficients aérodynamiques.
Iso-contours de vorticité à t = 100.
Auteurs St CD
Braza et al. (1986) 0.2000 1.4000
Henderson et al. (1997) 0.1971 1.3412
He et al. (2000) 0.1978 1.3560
Présente étude 0.1983 1.3972
Nombres de Strouhal et coefficient detraînée.
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage d’un cylindre circulaire – p. 4/23
II - Contrôle Optimal Définition
Méthode mathématique permettant de déterminer sans empirisme uneloi de commande à partir de l’optimisation d’une fonctionnelle coût.
Equations d’état F(φ, c) = 0 ;(Navier-Stokes + C.I. + C.L.)
Variables de contrôle c ;(Soufflage/aspiration, paramètres de forme ...)
Fonctionnelle objective J (φ, c).(Traînée, portance, ...)
Déterminer les variables de contrôle c et les variables d’état φ telles quela fonctionnelle objectif J (φ, c) soit minimale ou maximale sous lescontraintes F(φ, c) = 0.
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage d’un cylindre circulaire – p. 5/23
II - Contrôle Optimal Multiplicateurs de Lagrange
Optimisation avec contraintes ⇒ optimisation sans contraintes
I Introduction de multiplicateurs de Lagrange ξ.
I Fonctionnelle de Lagrange :
L(φ, c, ξ) = J (φ, c)− < F(φ, c), ξ >
I Il faut rendre L "stationnaire", on cherche donc δL = 0 :
δL =∂L
∂φδφ +
∂L
∂cδc +
∂L
∂ξδξ = 0
I On suppose φ, c et ξ indépendantes :
∂L
∂φδφ =
∂L
∂cδc =
∂L
∂ξδξ = 0
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage d’un cylindre circulaire – p. 6/23
II - Contrôle Optimal Système optimal
I Equations d’état (∂L
∂ξδξ = 0) :
F(φ, c) = 0
I Equations adjointes (∂L
∂φδφ = 0) :
(
∂F
∂φ
)∗
ξ =
(
∂J
∂φ
)∗
I Conditions d’optimalité (∂L
∂cδc = 0) :
(
∂J
∂c
)∗
=
(
∂F
∂c
)∗
ξ
⇒ Assure un minimum local⇒ Méthode de résolution coûteuse en temps CPUet mémoire pour des systèmes de grandes tailles !
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage d’un cylindre circulaire – p. 7/23
II - Contrôle Optimal Réduction de modèle
"without an inexpensive method for reducing the cost of flowcomputation, it is unlikely that the solution of optimization problemsinvolving the three dimensional unsteady Navier-Stokes system willbecome routine"
M. Gunzburger, 2000
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage d’un cylindre circulaire – p. 8/23
III - Décomposition Orthogonale aux Valeurs Propres
I Proper Orthogonal Decomposition (POD), Lumley (1967).
I Rechercher la réalisation φ(X) ”res-semblant le plus” en moyenne aux réali-sations u(X). (X = (x, t) ∈ D = Ω × R
+)
I φ(X) solution du problème :
maxφ
〈|(u, φ)|2〉
‖φ‖2.
I Convergence optimale en norme L2
(énergie) de φ(X)⇒ réduction de dynamique envisageable.
PSfrag replacements
axes originaux
axes
orig
inau
x
φ1
φ2
u(X)
u(X) − um(X)
____________________Lumley J.L. (1967) : The structure of inhomogeneous turbulence. Atmospheric Turbulence and Wave
Propagation, ed. A.M. Yaglom & V.I. Tatarski, pp. 166-178.
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage d’un cylindre circulaire – p. 9/23
III - Décomposition Orthogonale aux Valeurs Propres
I Equivalence avec une équation intégrale de Fredholm :∫
D
Rij(X, X′)φ(n)j (X′) dX′ = λ(n)φ
(n)i (X) n = 1, .., NPOD
→ R(X, X ′) : tenseur des corrélations spatio-temporelles.
I Méthode des snapshots, Sirovich(1987) :∫
T
C(t, t′)a(n)(t′) dt′ = λ(n)a(n)(t)
→ C(t, t′) : corrélations temporelles.
PSfrag replacements
Temps
Espace Corré
latio
n
Moyenne spatiale
X
X ′
I φ(X) base de l’écoulement :
u(x, t) =
NP OD∑
n=1
a(n)(t)φ(n)(x).
____________________Sirovich L. (1987) : Turbulence and the dynamics of coherent structures. Part 1,2,3 Quarterly of Applied
Mathematics, XLV N 3, pp. 561–571.
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage d’un cylindre circulaire – p. 10/23
IV - Modèle réduit de la dynamique du cylindre
I Projection de Galerkin de Navier-Stokes sur la base POD :
(
φ(i),∂u
∂t+ (u · ∇)u
)
=
(
φ(i), −∇p +1
Re∆u
)
.
I Intégration par parties (formule de Green) :
(
φ(i),∂u
∂t+ (u · ∇)u
)
=(
p, ∇ · φ(i))
−1
Re
(
(∇ ⊗ φ(i))T , ∇ ⊗ u)
− [p φ(i)] +1
Re[(∇ ⊗ u)φ(i)].
avec [a] =
∫
Γ
a · n dΓ et (A, B) =
∫
Ω
A : B dΩ =∑
i, j
∫
Ω
AijBji dΩ.
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage d’un cylindre circulaire – p. 11/23
IV - Modèle réduit de la dynamique du cylindre
I Décomposition de la vitesse sur NPOD modes :
u(x, t) = um(x) + γ(t) uc(x) +
NP OD∑
k=1
a(k)(t)φ(k)(x).
I Système dynamique avec Ngal modes retenus (équations d’état) :
d a(i)(t)
d t=Ai +
Ngal∑
j=1
Bij a(j)(t) +
Ngal∑
j=1
Ngal∑
k=1
Cijk a(j)(t)a(k)(t)
+ Di
d γ
d t+
Ei +
Ngal∑
j=1
Fij a(j)(t)
γ + Giγ2
a(i)(0) = (u(x, 0), φ(i)(x)).
Ai, Bij , Cijk, Di, Ei, Fij et Gi dépendent de φ, um, uc et Re.
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage d’un cylindre circulaire – p. 12/23
IV - Modèle réduit de la dynamique du cylindre Stabilisation
Intégration et stabilisation (optimale) du modèle dynamique d’ordreréduit pour γ = A sin(2πStt), A = 2 et St = 0, 5.
0 2 4 6 8 10
-1
-0.5
0
0.5
1
PSfrag replacements
a(n
)
unités de tempsEvolution temporelle des 6 premiers
modes propres temporels.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
PSfrag replacements
〈|a(n
)|〉
indexAmplitudes moyennes des modes POD.
−−−− projection (Navier Stokes)−− prédiction avant stabilisation (modèle d’ordre faible)· · · prédiction après stabilisation (modèle d’ordre faible).
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage d’un cylindre circulaire – p. 13/23
V - Formulation contrôle optimal appliquée au modèle réduit
I Fonctionnelle coût :
J (a, γ(t)) =
∫ T
0
J(a, γ(t)) dt =
∫ T
0
Ngal∑
i=1
a(i)2 +α
2γ(t)2
dt.
α : paramètre de régularisation (pénalisation).
I Equations adjointes :
d ξ(i)(t)
dt= −
Ngal∑
j=1
Bji + γ Fji +
Ngal∑
k=1
(Cjik + Cjki) a(k)
ξ(j)(t) − 2a(i)
ξ(i)(T ) = 0.
I Condition d’optimalité :
δγ(t) = −
Ngal∑
i=1
Di
dξ(i)
dt+
Ngal∑
i=1
Ei +
Ngal∑
j=1
Fija(j) + 2Giγ(t)
ξ(i) + αγ(t).
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage d’un cylindre circulaire – p. 14/23
V - Formulation contrôle optimal appliquée au modèle réduit
I γ(0)(t) fixé ; Pour n = 0, 1, 2, ... et tant que critère de convergence nonvérifié Faire :
1. Résolution de 0 à T des équations d’état avec γ(n)(t) ;
→ variables d’état a(n)(t)
2. Résolution de T à 0 des équations adjointes avec a(n)(t) ;
→ variables adjointes ξ(n)(t)
3. Résolution des conditions d’optimalité avec a(n)(t) et ξ(n)(t) ;
→ gradient de la fonctionnelle objective δγ(n)(t)
4. Nouveau contrôle → γ(n+1)(t) = γ(n)(t) + ω(n) δγ(n)(t)
I Fin Faire.
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage d’un cylindre circulaire – p. 15/23
VI - Résultats Généralités
I Pas de réactualisation de la base POD.
I Représentativité énergétique a priori différente de représentativitédynamique :
→ inconvénient possible pour le contrôle.
→ un système POD représente a priori uniquement une dynamiqueproche de celle utilisée pour le générer.
I Construction d’une base POD généralisée représentative d’une pluslarge gamme de dynamique :
→excitation d’un plus grand nombre de degrés de liberté par balayageen amplitudes et en fréquences de γ(t).
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage d’un cylindre circulaire – p. 16/23
VI - Résultats Excitation
0 10 20 30 40 50-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
PSfrag replacements
γe
temps0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
500
1000
1500
PSfrag replacementsγe
temps
St
γe(t) = A1 sin(2πSt1 t) × sin(2πSt2 t − A2 sin(2πSt3 t))
avec A1 = 4, A2 = 18, St1 = 1/120, St2 = 1/3 et St3 = 1/60.
I 0 ≤ amplitudes ≤ 4 et analyse de Fourier ⇒ 0 ≤ fréquences ≤ 0.65
I γe loi de contrôle initiale dans processus itératif.
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage d’un cylindre circulaire – p. 17/23
VI - Résultats Energie
0 10 20 30 40 5010-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
PSfrag replacementsγ = 0γ = γe
Ec relative
λ(i
)
index des modes POD0 10 20 30 40 50
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
PSfrag replacements
γ = 0γ = γe
Ec
rela
tive
λ(i)
index des modes POD
I Cylindre stationnaire γ = 0 :→ 2 modes sur 100 suffisent pour représenter 97% de l’énergie.
I Cylindre excité γ = γe :→ 40 modes sur 100 sont nécessaires pour représenter 97% del’énergie
⇒ Evolution de la robustesse p.r. aux évolutions dynamiques.
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage d’un cylindre circulaire – p. 18/23
VI - Résultats Contrôle optimal
0 10 20 30-3
-2
-1
0
1
2
3
PSfrag replacements
γopt
temps0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
PSfrag replacementsγopt
temps
St
I Diminution très importante de l’instationnarité du sillage.
J (γe) = 9, 81 =⇒ J (γopt) = 5, 63.
γopt ' A sin(2πStt) avec A = 2, 2 et St = 0, 53
I Le contrôle est optimal pour le système POD ROM.
I Le contrôle est-il optimal pour Navier-Stokes ?
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage d’un cylindre circulaire – p. 19/23
VI - Résultats Comparaison des structures du sillage
I Aucune preuve mathématique d’optimalité pour Navier-Stokes.
a) cylindre stationnaire γ = 0 b) cylindre contrôlé γ = γopt
Isocontours de vorticité ωz.
I Cylindre stationnaire : γ = 0 ⇒ Sillage asymétrique.→ Grosses structures porteuses d’énergie.
I Cylindre contrôlé : γ = γopt ⇒ Sillage quasi symétrique.→ Plus petites structures ⇒ moins énergétiques.
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage d’un cylindre circulaire – p. 20/23
VI - Résultats Coefficients aérodynamiques
10 20 30 40 50 60 701
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
PSfrag replacements
CD
unités de temps10 20 30 40 50 60 70
-0.5
0
0.5
PSfrag replacements
CD
unités de temps
CL
unités de temps
I Importante réduction de traînée :CD = 1, 40 pour γ = 0 et CD = 1, 06 pour γ = γopt (plus de 25%).
I Diminution de l’amplitude de la portance :CL = 0, 68 pour γ = 0 et CL = 0, 13 pour γ = γopt.
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage d’un cylindre circulaire – p. 21/23
VI - Résultats Coûts de calcul
I Contrôle optimal Navier Stokes par He et al. (2000) :→ loi de contrôle harmonique avec A = 3 et St = 0, 75.
⇒ 30% de réduction de traînée.
I Contrôle optimal POD ROM (présente étude) :→ loi de contrôle harmonique avec A = 2, 2 et St = 0, 53.
⇒ 25% de réduction de traînée.
Coûts énergétiques inférieurs (gain énergétique supérieur ?)
Temps de calcul : 100 fois inférieur par POD ROM que par NSE !(idem équations adjointes et condition d’optimalité)
Stockage mémoire : 600 fois moins de variables par POD ROM quepar NSE !
→ Contrôle "optimal" écoulements 3D envisageable !
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage d’un cylindre circulaire – p. 22/23
Conclusions et perspectives
I Conclusions
Objectifs atteints : diminution de la traînée via la minimisation del’instationnarité du sillage du modèle réduit.Coûts de calculs très faibles.Méthode applicable à des cas moins académiques.
I Perspectives
Améliorer la représentativité du modèle POD.→ "Optimiser" l’excitation temporelle γe,→ Mélanger des snapshots correspondants à plusieurs excitationstemporelles.Recherche d’un contrôle périodique γ(t) = A sin(2π St t) avec
réactualisation de la base POD (premiers résultats encourageants).Couplage avec des méthodes d’optimisation à régions de confiance
(TRPOD) : convergence prouvée sous conditions.Coupler la pression au modèle POD.Contrôle optimal de Navier-Stokes.
Controle optimal par reduction de dynamique du sillage d’un cylindre circulaire – p. 23/23
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