Transcript
Calcul Numeric
Cursul 2
2015
Anca Ignat
1
Propoziie Fie , ,m n n mA x y x atunci:
, , .m nHAx y x A y Pentru cazul real avem:
, , ,m nm n n m TA x y Ax y x A y x Demonstraie
(Ax , y) = yH (Ax) = yH A x = yH (AH)H x =
= (AH y)H x = (x , AHy).
2
Tipuri de matrici
Definiii
O matrice n nA se numete simetric dac A = AT . O matrice n nA se numete autoadjunct dac A = AH. O matrice n nA se numete unitar dac AHA = A AH = In. O matrice n nA se numete ortogonal dac
ATA = A AT = In.
3
O matrice n nA , A=(ai j ) se numete matrice triunghiular inferior (sau inferior triunghiular) dac
ai j = 0 pentru j > i
11
21 22
1 2
0 .....................0..................0
n n nn
aa a
A
a a a
4
O matrice n nA , A=(ai j ) se numete matrice triunghiular superior (sau superior triunghiular) dac
ai j = 0 pentru j < i
11 12 13 1
22 23 2
33 3
. . . . . . . . . .00 0
0 0 0 ...........
n
n
n
nn
a a a aa a a
A a a
a
5
Notm cu In matricea unitate:
1 0 0 0 00 1 0 0 0
,0 0 0 1 00 0 0 0 1
n nn nI I
6
Matrice diagonal D=diag[d1, d2,,dn]
1
2
1
0 0 0 00 0 0 0
,0 0 0 00 0 0 0
n n
n
n
dd
D Dd
d
7
Norme
Definiie Fie X un spaiu vectorial real. Se numete norm aplicaia:
. : X care ndeplinete condiiile:
(1) 0; 0 0;(2) , , ;(3) , , .
x x xx y x y x y X
x x x X
Vom numi norme vectoriale normele definite pe spaiile
saun nX .
8
Exemple Fie spaiile vectoriale saun n . Pe aceste spaii urmtoarele aplicaii sunt norme vectoriale:
11
22
1
;
;
max{ 1.. }.
n
ii
n
ii
i
x x
x x
x x i n
9
Dac v este o norm vectorial i n nP este o matrice nesingular atunci aplicaia
: ,nP P vx Px este de asemenea o norm vectorial.
10
Definiie
Se numete produs scalar n spaiul vectorial X aplicaia:
, : X X K care satisface condiiile :
( ) , 0 , , , 0 0;
( ) ( , ) , , , ,( ) , , , , ,( ) , , , , , .
a x x x X x x x
b x y y x x y Xc x y x y x y X Kd x y z x z y z x y z X
11
Inegalitatea lui Cauchy-Buniakovski-Schwarz:
, , , ,x y x x y y x y X ntr-un spaiu vectorial dotat cu produs scalar se poate induce
o norm numit euclidian:
2 | | : ,x x x x .
12
Reaminitm definiia produselor scalare pe n i pe n
introduse anterior:
1 1
, , ,n nn n
i i i ii i
x y x y x y x y
Obinem norma euclidian (valabil n ambele spaii n i n ):
22
1| |
n
ii
x x x
.
13
Norme matriciale
Definiie
Aplicaia : n n se numete norm matricial dac: (1) 0 ; 0 0.
(2) .
(3) , , .
(4) * , , .
n n
n n
n n
n n
A A A A
A A A
A B A B A B
A B A B A B
14
Exemple
Norma Frobenius definit de relaia 2
1 1
n n
i jFi j
A a
este o norm matricial.
Aplicaia max
, ,max{ ; 1, , 1, }ij
A a i n j n NU este o norm matricial.
15
Pentru n = 2 fie:
3 4 3 45 5 5 5,4 3 4 35 5 5 5
TA B A
2 max max
max max max
4* ,5
16* 1 .25
A B I A B
A B A B
16
Norme matriciale naturale
- : nv o norm vectorial || || : n ni norm matricial natural sau indus.
vi
v
max ; , 0nAx
A x xx
Definiii echivalente :
i v v
v v
max ; , 1
max ; , 1
n
n
A Ax x x
Ax x x
17
iA se numete norm matricial natural sau norm
indus de norma vectorial v Avem urmtoarea relaie:
v i v , ,n n nAx A x A x .
Norma Frobenius F nu este o norm natural. v
iiv
max ; 0 1, || ||nnI x
I xx
,
12(1 1 1) 1 pentru 2.n FI n n
18
Pentru 11
n
ii
x x
norma matricial indus este: 1
1max ; 1,2, ,
n
iji
A a j n
Pentru max{ 1, , }ix x i n norma matricial indus este:
1max ; 1,2, ,
n
ijj
A a i n
.
19
- v i v,P - norme vectoriale i i respectiv i,P normele matriciale induse
1
v,P v i,P ix Px A PAP
20
Valori i vectori proprii Definiii
Fie n nA . Se numete valoare proprie (autovaloare) a matricii A un numr complex pentru care exist un vector nenul , 0nx x a..:
Ax x . Vectorul x se numete vector propriu (autovector) asociat
val. proprii . ( ) 0, 0 det( ) 0n nAx x I A x x I A
21
Matricea nI A este singular. Polinomul:
1 21 1( ) det( ) ...
n n nA n n np I A a a a a
se numete polinom caracteristic asociat matricii A.
grad pA = n are n rdcini care sunt valorile proprii ale matricii A.
Se numete raz spectral a matricii A:
max{ , 1, , , valorile proprii ale matriciii iA i n
22
22
1
n
ii
x x
norma indus este 2 | | ( )
TAA A A se numete norma spectral.
Propoziia 1
Fie o norm matricial natural. Atunci: ( ) , n nA A A .
23
Fie , { }un ir de matrici.n n kA A 0 , 0 ,k kn nA k A k .
Propoziia 2
Fie n nA . Atunci: 0 , ( )kA k A
Dac exist o norm matricial natural pentru care ||A|| < 1
atunci:
0 pentru .kA k ( 1 0 pentru 1.kn a a k a )
24
Propoziia 3
Fie n nA . Seria 0
k
kA
converge dac i numai dac raza
spectral a matricii A este subunitar:
1.n kk
A S A
Dac exist o norm a matricii A astfel nct ||A|| < 1 atunci
seria converge. n cazul convergenei avem :
1
0( ) .k
kA S I A
25
Propoziia 4
Fie n nA pentru care exist o norm matricial natural astfel ca 1A . Atunci exist matricile 1( )nI A i avem evalurile:
11 1( ) .1 1
I AA A
top related