Chuyen de bat dang thuc co ban danh cho thcs

A. TÝnh chÊt luü thõa bËc hai:

Ngay tõ líp 7 häc sinh ®· biÕt nhËn xÐt vÒ dÊu cña mét sè cã luü

thõa ch½n n¾m ®îc tÝnh chÊt cña luü thõa bËc hai

“B×nh ph¬ng hay luü thõa bËc hai cña mäi sè ®Òu kh«ng

©m”

(*)

DÊu “=” x¶y ra khi a = 0.

Líp 8 häc sinh ®· ®îc lµm quen víi h»ng ®¼ng thøc:

(A - B)2 = A2 – 2AB + B2

NÕu sö dông tÝnh chÊt (*) th×

ViÖc khai th¸c vµ sö dông s¸ng t¹o bÊt ®¼ng thøc (I) gióp häc

sinh rÌn luyÖn t duy vµ h×nh thµnh ph¬ng ph¸p chøng minh còng nh

c¸ch thøc ®Ó h×nh thµnh bÊt ®¼ng thøc míi tõ bÊt ®¼ng thøc ®·

biÕt.

Tõ bÊt ®¼ng thøc (I):

(a – b)2 ≥ 0 a2 + b2 ≥ 2ab

ë c¶ 3 B§T (I), (II), (III) dÊu “=” x¶y ra khi a = b.

B. Khai th¸c tÝnh chÊt luü thõa bËc hai.

I/.Khai th¸c bÊt ®¼ng thøc (I): (a – b)2 ≥ 0

Tõ bÊt ®¼ng thøc (I) ta cã thÓ ®æi biÕn ®Æt A = ay; B = bx

khi ®ã (I) trë thµnh: (ay – bx )2 ≥ 0 a, b, x, y

DÊu “=” x¶y ra khi ay = bx

Khai triÓn vµ biÕn ®æi: a2y2 – 2axby + b2x2 ≥ 0

a2y2 + b2x2 ≥ 2axby

a2y2 + b2x2 +a2x2 + b2y2 ≥ a2x2 + 2axby +

b2y2

(a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2

Nh vËy ta cã bµi to¸n:

1

A2 ≥ 0

a

≥ 2

(II)

(a + b)2 ≥ 4ab

(A - B)2 ≥ 0 A,B

(I)

1.Bµi to¸n 1:

Chøng minh r»ng : (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2

(BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki cho 2 bé sè a, b, vµ x, y)

§Ó kh¾c s©u c¸c ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc ta sÏ

chøng minh bµi to¸n b»ng nhiÒu c¸ch

- Ph¬ng ph¸p 1: Dïng ®Þnh nghÜa : A > B A – B > 0.

+ LËp hiÖu A – B.

+ Chøng tá A – B > 0.

+ KÕt luËn A > B.

+ C¸ch 1 : XÐt hiÖu : (a2 + b2)(x2 + y2) – (ax + by)2

= a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2- b2y2 – 2axby

= a2y2 - 2axby + b2x2

= (ay - bx)2 ≥ 0 lu«n ®óng a, b, x, y.

VËy (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2

DÊu “=” x¶y ra khi

- Ph¬ng ph¸p 2 : PhÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng.

+ BiÕn ®æi A > B A1 > B1 A2 > B2 … (*)

+ VËy A > B.

+ C¸ch 2 : Ta cã (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2

a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 ≥ a2x2+ 2·by + b2y2

a2y2 - 2axby + b2x2 ≥ 0

(ay – bx)2 ≥ 0 lu«n ®óng a, b, x, y.

DÊu “=” x¶y ra khi

BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng lµ ®óng.

VËy (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2

- Ph¬ng ph¸p 3 : Sö dông bÊt ®¼ng thøc ®· biÕt

+ C¸ch 3 : Ta cã (ay - bx)2 ≥ 0

a2y2– 2aybx + b2x2 ≥ 0

a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 ≥ a2x2+ 2·by + b2y2(céng 2 vÕ

a2x2, b2y2).

(a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2

- Ph¬ng ph¸p 4 : Ph¬ng ph¸p ph¶n chøng.2

+ Gi¶ sö cã ®iÒu tr¸i víi kÕt luËn.

+ Suy ra ®iÒu m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt hoÆc ®iÒu ®· biÕt.

+ Gi¶ sö sai – kÕt luËn ®óng.

+ C¸ch 4: Gi¶ sö (a2 + b2)(x2 + y2) < (ax + by)2

a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 < a2x2+ 2·by + b2y2

a2y2– 2aybx + b2x2 < 0

(ay - bx)2 < 0. V« lý

VËy (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2

Bèn ph¬ng ph¸p trªn thÓ hiÖn trong 4 c¸ch gi¶i bµi to¸n 1 lµ 4

ph¬ng ph¸p th«ng thêng ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc.

Khai th¸c tiÕp tôc bÊt ®¼ng thøc (I) ta cã:

(ay - bx)2 ≥ 0

(az - cx)2 ≥ 0 (ay - bx)2 + (az - cx)2 + (cy - bz)2 ≥ 0

(cy - bz)2 ≥ 0

Khai triÓn, chuyÓn vÕ céng vµo 2 vÕ B§T : a2x2 + b2y2 + c2z2 ta

®îc:

a2x2+a2y2+a2z2+b2x2+b2y2+b2z2+c2x2+c2y2+c2z2≥a2x2+b2y2+c2z2+2axby

+2axcz+2bycz

(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by +cz)2

2.Bµi to¸n 2 :

CMR : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by +cz)2

( B§T Bunhiac«pxki cho 2 bé 3 sè a, b, c vµ x, y, z).

Gi¶i

XÐt hiÖu : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) - (ax + by +cz)2

=a2x2+a2y2+a2z2+b2x2+b2y2+b2z2+c2x2+c2y2+c2z2- a2x2- b2y2- c2z2-

2abxy-2acxz-2bcyz

=(a2y2-2abxy+b2x2)+(a2z2–2acxz+c2x2)+(b2z2-2bcyz+ c2y2)

=(ay - bx)2+ (az - cx)2+ (cy - bz)2 ≥ 0

DÊu “=” x¶y ra khi

B»ng c¸ch lµm t¬ng tù ta cã thÓ ph¸t triÓn bµi to¸n B§T Bunhiac«pxki

tæng qu¸t:

3

(a2

1 + a22 +…+ a2

n)(x21 + x2

2 +…+ x2n) ≥ (a1x1 + a2x2 +…+ anxn )2

DÊu “=” x¶y ra khi

§Ó ý r»ng nÕu a vµ x lµ 2 sè nghÞch ®¶o cña nhau th× ax = 1 (x

= )

Tõ bµi to¸n 2 ta cã thÓ ®Æt ra bµi to¸n:

3.Bµi to¸n 3:

Cho ba sè a, b, c lµ 3 sè d¬ng

Chøng minh r»ng: (a + b + c)( + + ) ≥ 9

Gi¶i

Theo bµi to¸n 2 (B§T Bunhiac«pxki):

(a + b + c)( + + ) ≥ 2

(a + b + c)( + + ) ≥ 32 = 9

DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c.

Tõ bÊt ®¼ng thøc (x+ y+ z)( + + )≥ 9

§Æt a + b = X; b + c = Y; c + a = Z ta ®îc B§T:

2(a + b + c)( + + )≥ 9

( + + +3) ≥ 9

+ + ≥

Bµi to¸n t×m ®îc:

4.Bµi to¸n 4:

Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng CMR: + + ≥

Gi¶i

¸p dông bµi to¸n 2 tacã:

(a+b+c+b+c+a)( + + )≥ 2

2(a + b + c)( + + )≥ 9

( + + +3) ≥ 9

4

+ + ≥ (1)

Ta tiÕp tôc khai th¸c bµi to¸n 4 theo 2 bíc sau:

- Bíc 1 : Nh©n 2 vÕ cña (1) víi a+b+c > 0.

(a + b + c)( + + )≥ (a + b + c)

- Bíc 2 : Khai triÓn rót gän vÕ tr¸i sau ®ã chuyÓn vÕ ta ®îc:

+ + ≥

§©y lµ néi dung cña bµi to¸n 5

5.Bµi to¸n 5 :

Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng

CMR: + + ≥

Chøng minh bµi to¸n 5 ta cã thÓ dÉn tõ bµi to¸n 1 theo híng khai

th¸c ®Ó ®i ®Õn kÕt qu¶. Nhng ta cã thÓ gi¶i ®éc lËp nh sau:

- Ph¬ng ph¸p 1: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc bµi to¸n 2

[( + ( +( ][( )2+ ( )2+ ( )2] ≥

2(a + b + c)( + + ) ≥ (a + b + c)2

+ + ≥ (®pcm)

- Ph¬ng ph¸p 2: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si

+ ≥ 2 = a

+ ≥ b

+ ≥ c

VËy + + ≥ (céng theo vÕ 3 B§T trªn )

Ta tiÕn hµnh khai th¸c bµi to¸n 5 b»ng c¸ch:+Trang bÞ thªm cho bµi to¸n 5 ®iÒu kiÖn : abc = 1.+ ¸p dông B§T C« si cho 3 sè d¬ng :

a + b + c ≥ 3 = 3x1 = 3

5

6.Bµi to¸n 6:

Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng tho¶ m·n : abc = 1.

CMR + + ≥ (2)

Gi¶i

Theo bµi to¸n 5

+ + ≥ ≥

+ + ≥

Xem xÐt bµi to¸n 6 ta nhËn thÊy:

+ NÕu ®Æt a = ; b = ; c = abc = = 1.

Khi ®ã : x + y = + = = c(a + b).

T¬ng tù : y + z = a(b + c).

z + x= b(c + a).

Do ®ã B§T (2) + + ≥ .

+ + ≥ .

7.Bµi to¸n 7:

Cho x, y, z lµ 3 sè d¬ng tho¶ m·n : xyz = 1

CMR : + + ≥ .

Gi¶i

§Æt a = ; b = ; c = abc = = 1.

Ta cã : x+y = c(a+b)

y+z = a(b+c)

6

z+x = b(c+a)

Do ®ã : + + = + + ≥ (theo bµi to¸n

6)

Nh vËy tõ tÝnh chÊt vÒ luü thõa bËc hai ta ®· khai th¸c ®îc chïm

7 bµi to¸n tõ dÔ ®Õn khã hoÆc rÊt khã mÆt kh¸c còng rÌn luyÖn t duy

s¸ng t¹o cña häc sinh.

II/.Khai th¸c bÊt ®¼ng thøc II. ≥ 2

§Æt th× Ta cã ngay bµi to¸n:

8. Bµi to¸n 8:

Cho sè d¬ng x.

Chøng minh r»ng: x + ≥ 2.

Khai th¸c bµi to¸n 8 ta thÊy: x. .

Do ®ã nÕu ta dïng 4 sè d¬ng a, b, c, d tho¶ m·n : abcd=1.

Khi ®ã: ab= (cd=

Ta kh¸m ph¸ ®îc bµi to¸n míi:

9. Bµi to¸n 9:

Cho a, b, c, d lµ 4 sè d¬ng tho¶ m·n abcd=1

CMR: ab + cd ≥ 2 (hoÆc ac + bd ≥ 2; ad + bc ≥ 2)

(Chøng minh bÊt ®¼ng thøc nµy chØ cÇn ®a vÒ bµi to¸n 8 b»ng

c¸ch dïng ®iÒu kiÖn abcd=1)

L¹i cã: a2 + b2 ≥ 2ab ; c2 + d2 ≥ 2cd.

Do ®ã : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 2ab + 2cd

Liªn kÕt víi bµi to¸n 9 ta cã: a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 2(ab + cd) ≥ 4

10. Bµi to¸n 10:

Cho a, b, c, d lµ 4 sè d¬ng tho¶ m·n abcd=1

CMR: : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 4

TiÕp tôc liªn kÕt bµi to¸n 9 vµ 10 ta cã:

11. Bµi to¸n 11:

7

Cho a, b, c, d lµ 4 sè d¬ng tho¶ m·n abcd=1

CMR: : a2 + b2 + c2 + d2 + ab + cd + ac + bd ≥ 10

Gi¶i

Tõ ®iÒu kiÖn a. b, c, d > 0 vµ abcd=1

Ta cã: : ab = ; ad = ; ca =

Do ®ã: (ab + cd) + (da + bc) + (ac + bd)

= (cd + + (bc + + (bd + ≥ 2 + 2 + 2 = 6 (Bµi to¸n 9)

Mµ a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 4 (bµi to¸n 10)

a2 + b2 + c2 + d2 + ab + cd + ac + bd ≥ 10

DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c = d

V©y tõ bÊt ®¼ng thøc (II) ta khai th¸c thµnh 1 chïm 4 B§T (8 )

III. Khai th¸c bÊt ®¼ng thøc III: (a + b)2 ≥ 4ab a, b

Lµ bÊt ®¼ng thøc ®a ra mèi quan hÖ cña b×nh ph¬ng1tæng víi tÝch

cu¶ chóng.

§Ó khai th¸c B§T (III) ta thªm ®iÒu kiÖn a,b lµ 2 sè d¬ng.

Chia 2 vÕ cña (III) cho ab(a + b) ta ®îc:

≥ + ≥

12. Bµi to¸n 12:

Cho a,b lµ 2 sè d¬ng

Chøng minh r»ng: + ≥

Gi¶i

XÐt hiÖu + - = = ≥ 0

VËy + ≥

DÊu “=” x¶y ra khi a=b

Khai th¸c bµi to¸n 12 t¬ng tù nh c¸ch khai th¸c bµi to¸n 1.

Ta cã: + ≥ c2 + d2 ≥ 4

+ ≥

+ ≥

Do ®ã nÕu céng theo vÕ cña 3 B§T trªn ta ®îc:

8

+ + ≥

13. Bµi to¸n 13:

Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng.

CMR: + + ≤

Gi¶i

Theo bµi to¸n 12:

≤ )

≤ )

≤ )

Céng theo vÕ cña 3 B§T trªn:

+ + ≤

DÊu “=” x¶y ra khi a=b=c

Khai th¸c bµi to¸n 13 b»ng c¸ch :

+ §Æt a= x + y; b= y + z; c= z + x

≤ + )

≤ + )

≤ + )

+ Thªm ®iÒu kiÖn : + = 4

Ta h×nh thµnh bµi to¸n 14 lµ mét B§T ®· lµ mét bµi thi ®¹i häc khèi A

n¨m 2005. §iÒu nµy cµng chøng tá viÖc häc sinh n¾m ch¾c kiÕn thøc

ngay tõ líp díi lµ v« cïng quan träng.

14. Bµi to¸n 14:

Cho x, y, z lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n: + = 4

CMR: + + ≤ 1

(§¹i häc khèi A – n¨m 2005)Gi¶i

- C¸ch 1

9

Ta cã : = ≤ ( + ) ≤ ( + + + )

T¬ng tù:

≤ ( + + + )

≤ ( + + + )

Céng theo vÕ 3 B§T trªn:

+ + ≤ . 4 ( + )

Mµ + = 4

VËy + + ≤ 1

DÊu “=” x¶y ra khi x = y = z =

- C¸ch 2:

Ta cã = ≤ ( + ) ≤ + ( + ) = + +

T¬ng tù:

≤ + +

≤ + +

Céng theo vÕ c¸c B§T:

+ + ≤ ( + + )=1

VËy + + ≤ 1

Khai th¸c bµi to¸n 14 b»ng c¸ch ®Æt vµo tam gi¸c ta cã:

15. Bµi to¸n 15:

XÐt tam gi¸c ABC cã: BC = a, CA = b, AB = c, chu vi a+b+c = 2p kh«ng ®æi.

CMR: + + ≤

Gi¶i¸p dông bµi to¸n 12

Ta cã: = ≤ ( + )

≤ ( + )

10

≤ ( + )

Céng theo vÕ cña 3 B§T ta ®îc:

+ + ≤ ( + + + + + ) =

(a + b + c) = .2p =

DÊu “=” x¶y ra khi Δ ABC ®Òu cã a = b =c =

TiÐp tôc khai th¸c b¶i to¸n trong tam gi¸c vÒ mèi quan hÖ gi÷a c¹nh cña tam gi¸c vµ chu vi cña nã ta cã:

16. Bµi to¸n 16

Trong Δ ABC cã chu vi a + b +c = 2p ( a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh ).

CMR : + + ≥ 2 ( + + )

Gi¶i

NhËn xÐt : p - a = - a = > 0 ( v× b + c > a bÊt ®¼ng

thøc tam gi¸c )

T¬ng tù : p - b > 0 ; p- c > 0.

MÆt kh¸c : p - a + p - b = 2p - a - b = c

p - b + p - c = a

p - c + p - a = b

Do ®ã ta nghÜ ®Õn viÖc dïng bÊt ®¼ng thøc bµi to¸n 12 nh sau:

+ ≥ =

+ ≥

+ ≥

Céng theo vÕ cña bÊt ®¼ng thøc ta cã :

+ + ≥ 2 ( + + )

DÊu ‘=’ x¶y ra khi Δ ABC ®Òu

11