Transcript
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 1
Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí MinhBộ môn Toán Ứng dụng
---------------------------------------------------------------
Đại số tuyến tính
Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính
Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 2
Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3.1 – Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
3.2 – Hệ Cramer
3.3 – Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 3
Yeâu caàu.
1/ Giải hệ phương trình tổng quát bằng phương pháp khử Gauss.
3/ Giải hệ thuần nhất bằng phương pháp Gauss.
4/ Biện luận theo m số nghiệm của hệ.
2/ Giải hệ Cramer bằng cách tính định thức hoặc phương pháp Gauss.
5/ Làm tất cả các câu hỏi trắc nghiệm về hệ phương trình (30 câu).
Thời gian tự học: tối thiểu 4 tiết. Khoảng 10% tổng số giờ tự học.
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 4
3.1. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Rất nhiều bài toán kỹ thuật được mô tả bởi hệ phương trình đạo
hàm riêng. Việc giải hệ này thường phức tạp.
Để giải hệ pt đạo hàm riêng, có một phương pháp thường dùng là
đưa về hệ phương trình tuyến tính.
Có rất nhiều nghiên cứu về cách giải hệ phương trình tuyến tính.
Có thể chia ra làm hai loại: phương pháp trực tiếp (direct method),
và phương pháp lặp (iterative method).
Ở đây ta nghiên cứu phương pháp khử Gauss (pp trực tiếp).
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 5
3.1. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
a11, a12, …, amn được gọi là hệ số của hệ phương trình.
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m mn m m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn có dạng:
Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính.
b1, b2, …, bm được gọi là hệ số tự do của hệ phương trình.
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 6
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a aA
a a a
1
2
n
x
xX
x
1
2
m
b
bb
b
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
|
n
n
m m mn m
a a a b
a a a bA b
a a a b
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 7
3.1. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hệ tương thích
Hệ không tương thích
Một hệ phương trình tuyến tính có thể:
1. vô nghiệm,
2. có duy nhất một nghiệm
3. Có vô số nghiệm
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng cùng chung một tập nghiệm.
Để giải hệ phương trình ta dùng các phép biến đổi hệ về hệ tương đương, mà hệ này giải đơn giản hơn.
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 8
3.1. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Có 3 phép biến đổi tương đương đối với hệ phương trình .
Một phép biến đổi được gọi là tương đương nếu biến một hệ phương trình về một hệ tương đương.
Định nghĩa phép biến đổi tương đương
3. Đổi chổ hai phương trình.
1. Nhân hai vế của phương trình với một số khác không.
2. Cộng vào một phương trình một phương trình khác đã được nhân với một số tùy ý.
Chú ý: Chúng ta có thể kiểm tra dễ dàng rằng các phép biến đổi trên là các phép biến đổi tương đương.
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 9
3.1. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 2
1 3
2h hh h
0
3 3 3
3 3
x y
y z
y z
2 3h h
0
3 3 3
4 0
x y
y z
z
Phương trình có nghiệm duy nhất: x = 1; y = -1; z = 0
Giải hệ phương trình:
0
2 3 3
2 3
x y
x y z
x y z
Ví dụ
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 10
3.1. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát ---------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------
1 1 0
2 1 3
1 2 1
Ma trận hệ số:
Ma trận mở rộng:
1 1 0 0
2 1 3 3
1 2 1 3
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 11
3.1. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát ---------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------
1 2
1 3
2h hh h
2 3h h
1 1 0 0
2 1 3 3
1 2 1 3
1 1 0 0
0 3 3 3
0 3 1 3
1 1 0 0
0 3 3 3
0 0 4 0
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 12
3.1. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
Ẩn cơ sở là ẩn tương ứng với cột chứa phần tử cơ sở.
Ẩn tự do là ẩn tương ứng với cột không có phần tử cơ sở.
Định nghĩa ẩn cơ sở và ẩn tự do.
1 1 1 2 1
2 2 3 5 6
3 3 4 1 1
BĐSC HÀNG
1 1 1 2 1
0 0 1 1 4
0 0 0 6 8
x1, x3, x4: là các ẩn cơ sở
x2: ẩn tự do
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 13
3.1. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát ------------------------------------------------------------------------------------
--------------
2. Dùng biến đổi sơ cấp đối với hàng đưa ma trận mở rộng về ma trận dạng bậc thang. Kiểm tra hệ có nghiệm hay không
3. Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang
4. Giải hệ phương trình ngược từ dưới lên, tìm ẩn xn, sau đó xn-1,… ., x1.
Sử dụng biến đổi sơ cấp đối với hàng để giải hệ
1. Lập ra ma trận mở rộng ( | )A A b
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 14
Giải hệ phương trình.Ví dụ
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 1
2 3 3 3 3
3 2 5 7 5
x x x x
x x x x
x x x x
1 1 1 2 1
| 2 3 3 3 3
3 2 5 7 5
A b
1 1 1 2 1
0 1 1 1 1
0 1 2 1 2
1 1 1 2 1
0 1 1 1 1
0 0 3 0 3
3 1x
2 3 4 41x x x x 1 2 3 41 2 3x x x x
Hệ có vô số nghiệm 3 , , 1,
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 15
3.1. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
Nếu , thì hệ AX = b có nghiệm. ( | ) ( )r A b r A
Nếu , thì hệ AX = b vô nghiệm. ( | ) ( )r A b r A
Nếu = số ẩn, thì hệ AX = b có nghiệm duy nhất.
( | ) ( )r A b r A
Nếu < s số ẩn, thì hệ AX = b có vô số nghiệm. ( | ) ( )r A b r A
Định lý Kronecker Capelli
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 16
Tìm tất cả giá trị của m để hệ có vô số nghiệmVí dụ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 1
2 3 3 5
3 7 8
x x x
x x x
x mx x
1 1 2 1 1 1 2 1
| 2 3 3 5 0 1 1 3
3 7 8 0 3 1 5
A b
m m
1 2 1 1 1 2 1 1
0 1 1 3 0 1 1 3
0 1 3 5 0 0 4 2m m
Không tồn tại giá trị của m.
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 17
Tìm tất cả giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhấtVí dụ
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2
2 3 2 3
3 2 5 2
x x x x
x mx x x
x x mx x
A là ma trận cỡ 3x4, suy ra số ẩn. ( ) 3r A
Không tồn tại giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất
Chú ý: Nếu số phương trình ít hơn số ẩn, thì hệ không thể có
nghiệm duy nhất.
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 18
3.2. Hệ Cramer. ---------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------
Định lý
Hệ Cramer có nghiệm duy nhất 1 2, ,..., nx x x
trong đó , với là ma trận thu được từ A, thaydet( )
det( )i
iA
xA
iA
cột thứ i bởi cột tự do b.
Chứng minh. 1 1
det( ) AX A b P bA
Hệ phương trình tuyến tính AX = b gọi là hệ Cramer, nếu A là
Định nghĩa hệ Cramer.
ma trận vuông và . det( ) 0A
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 19
Kiểm tra hệ sau là hệ Cramer và giải hệVí dụ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2
2 3 3
3 2
12
4
85
x x x
x x x
x x x
1 2 1
2 3 3
3 2 5
A
1
12
4
8
2 1
3 3
2 5
A
2
12
4
8
1 1
2 3
3 5
A
3
121 2
2
2 8
3 4
3
A
1 2det( ) 12;det( ) 228;det( ) 204A A A
3det( ) 36A
Nghiệm của hệ 31 2, , 19,17,3AA A
A A A
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 20
3.3. Hệ thuần nhất. ---------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------
Hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất nếu tất cả các hệ số tự do b1, b2, …, bm đều bằng 0.
Định nghĩa hệ thuần nhất.
Hệ tuyến tính thuần nhất luôn luôn có một nghiệm bằng không x1 = x2 = … = xn = 0.
Nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường.
Hệ thuần nhất chỉ có nghiệm duy nhất bằng không khi và chỉ khi r (A) = n = số ẩn .
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 21
3.3. Hệ thuần nhất. ---------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------
Hệ thuần nhất AX = 0 có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi r(A) < n.
Hệ thuần nhất AX = 0, với A là ma trận vuông có nghiệm không tầm thường (nghiệm khác 0) khi và chỉ khi det(A) = 0.
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 22
Giải hệ phương trình Ví dụ
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 0
2 3 3 3 0
3 5 5 4 0
x x x x
x x x x
x x x x
1 1 1 2 0
| 2 3 3 3 0
3 5 5 4 0
A b
1 1 1 2 0
0 1 1 1 0
0 2 2 2 0
1 1 1 2 0
0 1 1 1 0
0 0 0 0 0
3 4,x x
2 3 4x x x 1 2 3 42 3x x x x
Hệ có vô số nghiệm 3 , , ,
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 23
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm khác 0.Ví dụ
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
0
0
0
0
mx x x x
x mx x x
x x mx x
x x x mx
Cách 1. Hệ có nghiệm khác không ( ) 4r A
Cách 2. Hệ có nghiệm khác không det( ) 0A
3
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1( 3) ( 3)( 1) 0
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
m
m mm m m
m m
m m
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 24
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm khác 0.Ví dụ
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 0
2 4 0
3 5 4 0
x x x x
x x mx x
x mx x x
A là ma trận cỡ 3x4, suy ra số ẩn. ( ) 3r A
Hệ có nghiệm vô số nghiệm với mọi m.
Chú ý: Nếu số phương trình ít hơn số ẩn, thì hệ thuần nhất
luôn có nghiệm khác không.
Hệ có nghiệm khác 0 với mọi giá trị của m.
Đại số tuyến tính. Chương 1 @copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy tính 25
Ví dụ: Xác định dòng điện I1, I2, và I3 trong
mạng lưới điện dưới đây:
Đại số tuyến tính. Chương 1 @copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy tính 26
• Áp dụng định luật Kirchhoff cho nút A, ta có: I1 = I2 + I3
nút B: I2 + I3 = I1 • Áp dụng định luật Kirchhoff cho vòng 1 và vòng 2: 7I1 +3I3 -30 = 0 11I2 -3I3 -50 = 0
1 1 1 0
7 0 3 30
0 11 3 50
Ta có hệ: 1 2 3
1 3
2 3
0
7 3 30
11 3 50
I I I
I I
I I
Đại số tuyến tính. Chương 1 @copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy tính 27
Ma trận của hệ thống là:
Dùng bđsc đối với hàng, đưa về ma trận bậc thang:
1 1 1 0
0 7 10 30
0 0 131 20
1 1 1 0
7 0 3 30
0 11 3 50
Cuối cùng ta có giá trị của dòng điện: 1 2 3
570 590 20, ,
131 131 131I I I
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 28
Bài toán ứng dụng: Mạng lưới giao thông: • Biểu đồ dưới đây biểu diễn cho lưu lượng phương tiện qua
các đường phố.Những con số là trung bình lưu lượng phương tiện vào và ra khỏi mạng lưới giao thông trong thời gian cao điểm.
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 29
• Áp dụng định luật Kirchhoff ta có hệ phương trình tuyến tính sau đây:
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 30
• Ma trận của hệ thống là :
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 31
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 32
• Ví dụ:
Nếu w = 300 và t = 1300 (xe trong một giờ), thì
• Dựa vào cách giải quyết trên ta có thể tính 1 cách tương đối lưu lượng phương tiện xe cộ đi vào các tuyến đường để từ đó kiểm soát lượng phương tiện lưu thông hợp lý Tránh gây ùn tắc kẹt xe.
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 33
3.3. Hệ thuần nhất. ---------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------
Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình.
Bài tập 1
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 0
2 4 3 0
3 6 4 0
x x x x
x x x x
x x x x
2 , , ,
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 34
Giải các hệ phương trình với các ma trận mở rộng như bên dưới
1 5 2 6
. 0 4 7 2 ,
0 0 5 0
a
1 1 1 3
. 0 1 2 4 ,
0 0 0 5
b
1 1 1 0
. 0 1 2 5 ,
0 0 0 0
c
1 1 1 0
. 0 3 1 0 .
0 0 0 0
d
Bài tập 2
17 1) , ,0
2 2a
b) Vô nghiệm
) 5 ,5 2 ,c t t t ) 4 , ,3d t t t
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 35
Bài tập 3
5 2 1
4 6
3 3 9
x y z
x y z
x y z
Giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer
18, 5,4
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 36
3
3 5 9 2
2 3 3
y z
x y z
x y z
Bài tập 4
Giải hệ phương trình
43,11,8
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 37
24 2 3 , 7 2 2 , , ,4
Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình
Bài tập 5
2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
3 6 6 4 5
3 7 8 5 8 9
3 9 12 9 6 15
x x x x
x x x x x
x x x x x
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 38
Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình biết ma trân mở rộng
Bài tập 6
1 1 1 1
2 3 4 1
3 4 2 1
17 11 1, ,
5 5 5
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 39
Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình biết ma trận mở rộng
Bài tập 7
1 1 2 0
2 1 5 0
3 4 5 0
3 , ,t t t
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 40
Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình biết ma trận mở rộng
Bài tập 8
1 1 1 1 2
2 1 3 0 1
3 4 2 2 5
2 3 1 1 3
1 1 42 , , ,
3 3 3t t t
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 41
Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình biết ma trận mở rộng
1 1 2 0 1
2 3 1 2 4
3 4 5 1 3
1 2 3 1 0
Bài tập 9
11 5 1, , ,1
4 4 4
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 42
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm
Bài tập 10
2
1 1 1
1 1 ,
1 1
m
m m
m m
2m
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 43
1 1 1 1
2 3 1 4
3 4 1m m
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm
Bài tập 11
2m
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 44
Bài tập 12Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm
duy nhất
1 1 1 1 1
2 1 3 1 2,
3 4 2 0 6
2 1 0 1m m
Với mọi giá trị của m.
Đại số tuyến tính. Chương 3@Copyright 2010Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính. 45
Bài tập 13Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm
duy nhất
2
2 3 1 4 0
3 2 1 5 7
1 1 1m m
Không tồn tại giá trị của m.
top related