Capitulo 7 Render.- Modelos de Programacion Lineal
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CAPITULO 7
Modelo de programación lineal: método grafico
PREGUNTAS Y PROBLEMAS PARA ANÁLISIS
Preguntas para análisis
7-1 Exponga las similitudes y diferencias entre problemas de minimización y
maximización utilizando los métodos de solución gráfica de programación
lineal.
7-2 Es importante entender los supuestos que sirven de fundamento al uso de
cualquier modelo de análisis cuantitativo. ¿Cuáles son las hipótesis y
requerimientos de un modelo de programación lineal que debe ser
formulado y utilizado?'
7-3 Se dice que cada problema de programación lineal que tiene una región
factible tiene un número infinito de soluciones. Explique esta afirmación.
7-4 Acaba de formular un problema de maximización de programación lineal y
se está preparando para resolverlo gráficamente. ¿Qué criterios deberá
considerar para decidir si sería más fácil resolverlo con el método de punto
de esquina o el método de línea de isoutilidad?
7-5 ¿En qué condiciones es posible que un problema de programación lineal
tenga más de una solución óptima?
7-6 Desarrolle su propio juego de ecuaciones de restricción y desigualdades y
utilícelas para ilustrar gráficamente cada una de las siguientes condiciones:
(a) un problema ilimitado.
(b) un problema factible.
(c) un problema que contiene restricciones redundantes.
7-7 En una ocasión, el gerente de producción de una gran firma manufacturera
de Cincinnati comentó: "Me gustaría utilizar la programación lineal, pero es
una técnica que opera en condiciones de certeza. Mi planta no la tiene, es
un mar de incertidumbre. Por lo tanto, la programación lineal no puede ser
utilizada aquí". ¿Piensa que este comentario tiene su mérito? Explique por
qué el gerente pudo haberlo dicho.
7-8 La siguientes relaciones matemáticas fueron formuladas por un analista
investigador de operaciones de la Smith- Lawton Chemical Company.
¿Cuáles son inválidas para usarse en un problema de programación lineal y
por qué?
maximizar la utilidad = 4X1 + 3X1X2 + 8X2 + 5X3
sujeta a: 2X1 + X2+ 2X3 < 50
X1 + 4X2+ ≤ 6
1.5X12 + 6X2 + 3X3 ≥21
19X2 - 13
X3 = 17
5X1 + X2 + 3√X3 ≤ 80
-X1 - X2 + X3 = 5
7-9 Analice el papel del análisis de sensibilidad en programación lineal. ¿En
qué circunstancias se requiere, y en qué condiciones piensa que no es
necesaria?
7-10 El objetivo de un programa lineal es maximizar la utilidad = 12X + 8Y. La
utilidad máxima es de $8000, Con una computadora se encuentra que el
límite superior de la utilidad en X es 20 y el inferior 9. Explique los cambios
que ocurrirían en la solución óptima (los valores de las variables y la
utilidad) si la utilidad de X se incrementara a $15. ¿Cómo cambiaría la
solución óptima si la utilidad de X se incrementara a $25?
7-11 La utilidad máxima de un programa lineal es de $600. Una restricción de
este problema es 4X + 2Y < 80. Con una computadora se encuentra que el
precio dual de esta restricción es 3 y que existe un límite inferior de 75 y
uno superior de 100. Explique qué significan estas cifras.
7-12 Desarrolle su propio problema de programación lineal original con dos
restricciones y dos variables reales.
(a) Explique el significado de los números del lado derecho de cada una
de sus restricciones.
(b) Explique la importancia de los coeficientes tecnológicos.
(c) Resuelva gráficamente el problema para encontrar la solución óptima.
(d) Ilustre de manera gráfica el efecto de incrementar la tasa de
contribución de su primera variable (X1) de 50% sobre el valor del valor
que primero le asignó. ¿Cambia la solución óptima?
7-13 Explique cómo un cambio en un coeficiente tecnológico puede afectar a la
solución óptima de un problema. ¿Por qué un cambio en la disponibilidad
de un recurso puede afectar una solución?
Problemas*
QX.7-14 La Electrocomp Corporation fabrica dos productos eléctricos:
acondicionadores de aire y grandes ventiladores. El proceso de ensamble
de cada uno es similar en el sentido que ambos requieren una cierta de
cantidad de alambrado y taladrado. Cada acondicionador de aire requiere
3 horas de alambrado y 2 de taladrado. Cada ventilador debe pasar por 2
horas de alambrado y 1 hora de taladrado. Durante el siguiente periodo de
producción, están disponibles 240 horas de tiempo de alambrado y se
pueden utilizar hasta 140 horas de tiempo de taladrado. Cada
acondicionador de aire vendido produce una ganancia de $25. Cada
* Nota: Q significa que el problema puede resolverse utilizando QM para Windows; X significa que
el problema puede resolverse con Excel QM y QX
, significa que el problema puede resolverse con
QM para Windows y/o Excel.
ventilador ensamblado puede ser vendido con una ganancia de $15.
Formule y resuelva esta situación de mezcla de producción de programa-
ción lineal para encontrar la mejor combinación de acondicionadores de
aire y ventiladores que produzcan la ganancia máxima. Use el método
gráfico de punto de esquina.
QX.7-15 La administración de Electrocomp se percata de que no incluyó dos
restricciones críticas (vea el problema 7-14). En particular, la
administración decide que para garantizar un suministro adecuado de
acondicionadores de aire de un contrato, se deben fabricar, por lo menos,
10 de estos aparatos. Como Electrocomp incurrió en una sobreoferta de
ventiladores en el periodo precedente, la administración también insiste
que no se produzcan más de 80 ventiladores durante este periodo de
producción. Resuelva este problema de mezcla de productos para
encontrar la nueva solución óptima.
QX
:7-16 Un candidato a alcalde de un pequeño pueblo asignó $40,000 para
publicidad de último minuto en los días previos a la elección. Se utilizarán
dos tipos de anuncios: radio y televisión. Cada anuncio de radio cuesta
$200 y llega a un auditorio estimado de 3000 personas. Cada anuncio de
televisión, que cuesta $500, afectará a unas 7000 personas. Al planificar la
campaña de publicidad, la directora de ésta desea llegar a tantas
personas como sea posible, y estipuló que se deben utilizar, por lo menos,
10 anuncios de cada tipo. Además, el número de anuncios de radio debe
ser por lo menos igual al número de anuncios de televisión. ¿Cuántos
anuncios de cada tipo se deberán utilizar? ¿A cuántas personas llegarán?
QX.7-17 La Outdoor Furniture Corporation fabrica dos productos, bancas y mesas
de día de campo, que pueden ser usados en jardines de casas y parques.
La firma cuenta con dos recursos principales: sus carpinteros (fuerza de
mano de obra) y existencias de madera de pino para construir el
mobiliario. Durante el siguiente ciclo de producción, están disponibles
1200 horas de mano de obra según un acuerdo con el sindicato. La firma
también dispone de 3500 pies de madera de pino de buena calidad. Cada
banca que Outdoor Furniture produce requiere 4 horas de mano de obra y
10 pies de madera; cada mesa de día de campo, 6 horas de mano de obra
y 35 pies de madera. Las bancas terminadas redituarán una ganancia de
$20 cada una. ¿Cuántas bancas y mesas de día de campo deberán pro-
ducir Outdoor Furniture para obtener la ganancia máxima posible? Use el
método gráfico de programación lineal.
QX
:7-18 El decano de Western College of Business debe planificar las ofertas de
cursos de la escuela para el semestre de otoño. Las demandas de los
estudiantes hacen necesario ofrecer por lo menos 30 cursos del
licenciatura y 20 de posgrado en el semestre. Los contratos del
profesorado también dictan que se ofrezcan por lo menos 60 cursos en
total. Cada curso de licenciatura impartido le cuesta a la universidad un
promedio de $2500 en salarios de profesores, mientras que cada curso de
posgrado cuesta $3000. ¿Cuántos cursos de licenciatura y posgrado
deberán ser impartidos en el otoño de modo que los salarios de los
profesores se mantengan en su mínima expresión?
QX
:7-19 MSA Computer Corporation fabrica dos modelos de minicomputadoras,
Alpha 4 y Beta 5. La firma emplea cinco técnicos, que trabajan 160 horas
cada uno al mes en su línea de ensamble. La administración insiste en
que se mantengan las horas de trabajo (es decir, todas las 160 horas) de
cada trabajador durante las operaciones del mes siguiente. Se
requieren20 horas de mano de obra para ensamblar cada computadora
Alpha 4 y 25 para elaborar cada modelo Beta 5. MSA desea producir por
lo menos 10 Alpha 4s y por lo menos 15 Beta 5s durante el periodo de
producción. Las Alpha 4s generan S1200 de utilidad por unidad y las Beta
5s producen $1800 cada una. Determine el número más rentable de cada
modelo de minicomputadora que se debe producir durante el siguiente
mes.
QX
:7-20 Un ganador de la Texas Lotto decidió invertir 550,000 al año en el
mercado de valores. Piensa adquirir acciones de una firma petroquímica y
una compañía de servicios públicos. Aunque una meta a largo plazo es
obtener los máximos rendimientos posibles, no ha pasado por alto el
riesgo que implica la compra de acciones. Se asigna un índice de riesgo
de 1-10 (con 10 como el más riesgoso) a cada una de las dos acciones. El
riesgo total del portafolio se encuentra multiplicando del riesgo de cada
acción por los dólares invertidos en ella. La tabla siguiente proporciona un
resumen de la devolución y el riesgo.
Al inversionista le gustaría maximizar el rendimiento de la inversión, pero
el índice de riesgo promedio de ésta no deberá ser de más de 6. ¿Cuánto
deberá invertir en cada acción? ¿Cuál es el riesgo promedio de esta
inversión? ¿Cuál es el rendimiento estimado de esta inversión? "
QX
:7-21 Remítase a la situación de la Texas Lotto del problema 7-20, y suponga
que el inversionista cambió de actitud sobre la inversión y desea poner
mayor atención en el riesgo de la inversión. Ahora desea minimizar el
riesgo de ésta mientras genere un rendimiento de por lo menos 8%.
Ordene estos datos como un problema de PL y encuentre la solución
óptima. ¿Cuánto deberá invertir en cada acción? ¿Cuál es el riesgo- pro-
medio de esta inversión?'¿Cuál es el rendimiento estimado de esta
inversión?
QX
:7-22 Resuelve el siguiente de problema de PL con el método gráfico de punto
de esquina:
maximizar la utilidad = 4X + 4Y
sujeta a: 3X + 5Y ≤ 150
X - 1Y ≤ 10
5X+3Y ≤ 150
X, Y ≥ 0
QX
:7-23 Considere esta formulación de PL:
maximizar la utilidad = $X + 2Y
sujeta a: X + 3Y ≥ 90
8X + 2Y ≥160
3X + 1Y ≥ 120
Y ≤ 70
X, Y ≥0
Ilustre gráficamente la región factible y aplique el procedimiento de línea
de isocosto para indicar cuál punto de esquina produce la solución óptima.
¿Cuál es el costo.de esta solución?
QX
:7-24 La casa de bolsa Blank, Leibowitz y Weinberger ha analizado y
recomendado dos acciones a un club de inversionistas constituido por
profesores universitarios. Éstos estaban interesados en factores tales
como crecimiento a corto plazo, crecimiento intermedio y tasas de
dividendos. Los datos sobre cada acción son los siguientes:
FACTOR
ACCIÓN ($)LOUISIANA GAS AND
POWER
TRIMEX INSULATION COMPANY
Potencial de crecimiento
a corto plazo, por dólar
invertido
.36 .24
Potencial de intermedio 1.67 1.50
(en los siguientes tres
años) por dólar invertido
Potencial de tasa de
dividendos4% 8%
Cada miembro del club tiene una meta de inversión de (1) una ganancia
de no menos de $720 a corto plazo, (2) una ganancia de por lo menos
$5000 en los siguientes tres años y (3) un ingreso por dividendos de por lo
menos $200 al año. ¿Cuál es la inversión más pequeña que un profesor
puede hacer para satisfacer estas tres metas?
QX
:7-25 Woofer Pet Foods produce un alimento de bajas calorías para perros
obesos. Este producto se elabora con productos de carne y granos. Cada
libra de carne cuesta $0.90 y cada libra de grano $0.60. Una libra del ali-
mento para perros debe contener por lo menos 9 unidades de vitamina 1 y
10 unidades de vitamina 2. Una libra de carne contiene 10 unidades de
vitamina 1 y 12 unidades de vitamina 2. Una libra de granos contiene 6
unidades de vitamina 1 y 9 unidades de vitamina 2. Ordene estos datos
como un problema de PL para minimizar el costo del alimento para perros.
¿Cuántas libras de carne y de granos deberán ser incluidas en cada libra
de alimento para perros? ¿Cuál es el costo y el contenido de vitaminas del
producto final?
QX
:7-26 En gran medida, la producción estacional de aceitunas de un viñedo de
Pireo, Grecia, depende de la poda de las ramas. Si los olivos se podan
cada dos semanas, la producción se incrementa. Sin embargo, el proceso
de poda requiere de una cantidad considerablemente mayor de mano de
obra que la que sería necesaria si se permitiese que los olivos crezcan por
sí mismos. Además, el resultado de la poda es una aceituna de menor
tamaño y una mayor cercanía entre los olivos. La producción de 1 barril de
aceitunas por medio de poda requiere 5 horas de mano de obra y 1 acre
de tierra. La producción de 1 barril de aceitunas por el proceso normal
requiere sólo 2 horas de mano de obra y 2 acres de tierra. Un aceitunero
dispone de 250 horas de mano de obra y un total de 150 acres para
cosechar. Debido a la diferencia de tamaño de las aceitunas, 1 barril de
olivas producido por árboles podados se vende en $20, mientras que 1
barril de aceitunas ordinarias tiene un precio en el mercado de $30. El
aceitunero ha decido que por la demanda incierta, se deberán producir no
más de 40 barriles de aceitunas de árboles podados. Use la PL gráfica
para encontrar
(a) la utilidad máxima posible.
(b) la mejor combinación de barriles de aceitunas de árboles podados y
no podados.
(c) el número de acres que el aceitunero deberá dedicar a cada
proceso de cosecha.
QX
:7-27 Considere las cuatro formulaciones de PL siguientes. Con un método
gráfico, determine
(a) qué formulación tiene más de una solución óptima.
(b) qué formulación es ilimitada.
(c) qué formulación no tiene solución factible.
(d) qué formulación es correcta como está.
Formulación 1 Formulación 3
maximiza: 10X1 + 10X2 maximizar 3X1 + 2X2
sujeta a: 2X1 ≤ 10 sujeta a: X1 + X2 ≥ 5
2X1 + 4X2 ≤ 16 X1 ≥ 2
4X2 ≤8 2X2 ≥ 8
X1 ≥6
Formulación 2 Formulación 4
maximizar X1 + 2X2 maximizar 3X1 + 3X2
sujeta a: X1 ≤1 sujeta a: 4X1 + 6X2 ≤ 48
2X2 ≤2 4X, + 2X2 ≤ 12
X1 + 2X2 ≤2 3X2 ≥ 3
2X1 ≥ 2
QX. 7-28Grafique el problema de PL siguiente e indique el punto de solución
óptima:
maximizar la utilidad = $3X + $27
sujeta a: 2X + Y≤150
2X + 3Y ≤ 300
(a) ¿Cambia la solución óptima si la utilidad por unidad de X cambia a
$4.50?
(b) ¿Qué sucede si la función de utilidad hubiese sido de$3X+$37?
QX. 7-29Analice gráficamente el siguiente problema:
maximizar la utilidad = $4X + $6Y
sujeta a: X + 2Y ≤ 8 horas
6X + 47 ≤ 24 horas
(a) ¿Cuál es la solución óptima?
(b) Si la primera restricción se modifica a X + 37< 8 ¿cambia la región
factible o la solución óptima?
QX
: 7-30Examine la formulación de PL del problema.7-29. La segunda restricción
del problema dice 6X + 47≤24 horas (tiempo disponible de la máquina 2)
Si la firma decide que se pueden asignar 36 horas a la maquina 2 (o sea,
12 horas adicionales) a un costo adicional de $10, ¿deberá agregar las
horas?
QX
: 7-31Considere el siguiente problema de PL:
maximizar la utilidad = 5X + 6Y
sujeta a: 2X + Y ≤ 120
2X + 3Y ≤ 240
X, Y ≤ 0
(a) ¿Cuál es la solución óptima de este problema? Resuélvalo gráficamente.
(b) Si un avance técnico elevó la utilidad por unidad de X a $8, ¿afectaría
este aumento la solución óptima?
(c) En lugar de un incremento en el coeficiente de utilidad X a $8, suponga
que la utilidad fue sobreestimada y sólo será de $3. ¿Cambia la solución
óptima?
QX
: 7-32Considere la formulación de PL que se presentó en el problema 7-31. Si la
segunda restricción cambia de 2X + 37≤ 240 a 2X + 47≤ 240, ¿qué efecto
tendrá este cambio en la solución óptima?
Resultados del problema 7-33
Linear Programming ResultsX Y RHS Dual
Maximize 5. 6.Constraint 1 2. 1. <= 120. 0.75Constraint 2 2. 3. <= 240. 1.75
Solution-> 30. 60. 510.
RangingProblem 7-33 Solution
Variable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper BoundX 30. 0. 5. 4. 12.Y 60. 0. 6. 2.5 7.5Constraint Dual Value Slack/Surplus Original Val Lower Bound Upper BoundConstraint 1 0.75 0. 120. 80. 240.Constraint 2 1.75 0. 240. 120. 360.
QX
: 7-33Los resultados de computadora que se presentan arriba son del problema
7-31. Úselos para responder las siguientes preguntas.
(a) ¿Cuánto se podría incrementar o disminuir la utilidad de X sin
cambiar los valores de X y Y en la solución óptima?
(b) Si se incrementara el lado derecho de la restricción 1 en 1 unidad,
¿cuánto se incrementaría la utilidad?
(c) Si el lado derecho de la restricción 1 se incrementara en 10
unidades, ¿cuánto se incrementaría la utilidad?
QX
: 7-34Los resultados de computadora siguientes son de un problema de mezcla
de productos y tres restricciones de recursos. Úselos para responder las
siguientes preguntas. Suponga que, en cada caso, se desea maximizar la
utilidad.
(a) ¿Cuántas unidades del producto 1 y del producto 2 se deberán
producir?
(b) ¿Cuánto de cada uno de los tres recursos se está utilizando?
(c) ¿Cuáles son los precios duales de cada recurso?
(d) Si pudiera obtener más de uno de los recursos, ¿cuál debería
obtener? ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por ello?
(e) ¿Qué le pasaría a la utilidad si, con los resultados originales, la
administración decidió producir más de una unidad del producto 2?
Resultados del problema 7-34
Linear Programming ResultsX1 X2 RHS Dual
Maximize 50. 20.Constraint 1 1. 2. <= 45. 0.Constraint 2 3. 3. <= 87. 0.Constraint 3 2. 1. <= 50. 25.Solution-> 25. 0. 1,250.
RangingProblem 7-34 Solution
Variable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper BoundX1 25. 0. 50. 40. InfinityX2 0. 5. 20. -Infinity 25Constraint Dual Value Slack/Surplus Original Val Lower Bound Upper BoundConstraint 1 0. 20. 45. 25. InfinityConstraint 2 0. 12. 87. 75. InfinityConstraint 3 25. 0. 50. 0. 58.
Resultados del problema 7-35
Linear Programming ResultsX X2 RHS Dual
Maximize 8. 5.Constraint 1 1. 1. <= 10. 5.Constraint 2 1. 0. <= 6. 3.Solution-> 6. 4. 68.
RangingProblem 7-35 Solution
Variable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper BoundX1 6. 0. 8. 5. InfinityX2 4. 0. 5. 0. 8.Constraint Dual Value Slack/Surplus Original Val Lower Bound Upper BoundConstraint 1 5. 0. 10. 6. Infinity.Constraint 2 3. 0. 6. 0. 10.
QX⋮7-35 Resuelva gráficamente el siguiente problema:
maximizar la utilidad = 8X1 + 5X2
sujeta a: X1 + X2 ≤ 10
X ≤ 6
X1 , X2 ≥ 0
(a) ¿Cuál es la solución óptima?
(b) Cambie el lado derecho de la restricción 1 a 11 (en lugar de 10) y
resuelva el problema. ¿Cuánto se incrementaría la utilidad como
consecuencia de este cambio?
(c) Cambie el lado derecho de la restricción 1 a 6 (en lugar de 10) y resuelva
el problema. ¿Cuánto disminuiría la utilidad como consecuencia de este
cambio? Examine la gráfica y explique qué sucedería si el valor del lado
derecho se reduce por debajo de 6.
(d) Cambie el valor del lado derecho de la restricción 1 a 5 (en lugar de 10) y
resuelva el problema. ¿Cuánto disminuiría la utilidad con respecto a la
original a consecuencia de este cambio?
(e) Utilizando los resultados de computadora que se dan en esta página,
¿cuál es el precio dual de la restricción 1? ¿Cuál es el límite inferior?
(f) ¿Qué conclusiones se pueden sacar de estos resultados con respecto a
los límites de los valores del lado derecho y el precio dual?
QX⋮7-36 Serendipity1
Los tres príncipes de Serendip
Emprendieron un viaje.
No podían llevar mucho peso;
Más de 300 libras los hicieron vacilar.
Decidieron llevar pequeñas porciones. Cuando regresaron a Ceilán
Descubrieron que sus provisiones estaban a punto de desaparecer
Cuando, para su regocijo, el príncine William encontró Una pila de cocos
en el suelo
"Cada uno llevará 60 rupias", dijo el príncipe Richard con una mueca de
1 La palabra serendipity fue acuñada por el escritor inglés Horace Walpole basado en un cuento de hadas titulado Los tres príncipes de Serendip. Se desconoce el origen del problema.
aprobación
Cuando casi se tropieza con una riel de león.
"Cuidado", exclamó el príncipe Robert con alegría
Cuando divisó más pieles de león bajo un árbol.
"Estas valen más de 300 rupias cada una
Si sólo pudiéramos llevárnoslas hasta la playa."
Cada piel pesaba 15 libras y cada coco cinco,
Pero cargaron con todo en un santiamén.
El bote de regreso a la isla era muy pequeño
15 pies cúbicos de capacidad de carga, eso era todo.
Cada piel de león ocupaba un pie cúbico
Mientras que ocho cocos ocupaba- el mismo espacio.
Con todo estibado se hicieron a la mar
Y en el trayecto debían calcular a cuánto podría ascender su nueva
riqueza.
"¡Eureka!" gritó el príncipe Rober., "nuestra riqueza es tan grande
Que no existe otra forma de regresar en este estado.
Cualquier otra piel o coco que pudiéramos haber traído
Ahora nos harían más pobres. Y ahora que sé cuántos son cinco.
Le escribiré a mi amigo Horacé en Inglaterra y con toda seguridad
Sólo él podrá apreciar nuestra serendipity".
Formule y resuelva Serendipity mediante PL gráfica para calcular "cuál
podría ser su nueva riqueza".
Los problemas 7-37, 7-38, 7-39 y 7-41 ponen a prueba su habilidad para
formular problemas de PL con más de dos variables. No pueden ser
resueltos gráficamente pero le brindarán la oportunidad de plantear un
problema más grande.
QX⋮7-37 El Feed'N Ship Ranch engorda ganado páralos granjeros locales y lo
envía a los mercados de carne de Kansas City y Omaha. Les propietarios
del rancho desean determinar las cantidades de alimento para ganado que
deben comprar de modo que se satisfagan los estándares nutricionales
mínimos y, al mismo tiempo, se minimicen los costos totales de
alimentación. La mezcla de aumentos se puede componer de los tres
granos que contienen los siguientes ingredientes por libra de alimento:
INGREDIENTEALIMENTO (ONZAS)
MEZCLA X MEZCLA Y MEZCLA ZA 3 2 4
B 2 3 1
C 1 0 2
D 6 8 4
El costo por libra de las mezclas X, Y y Z son $2, $4 y $2.50,
respectivamente. El requerimiento mínimo por vaca por mes es de 4 libras
del ingrediente A, 5 libras del B, 1 libra del C y 8 libras del D.
El rancho enfrenta una restricción adicional: pese a cualquier
circunstancia, sólo puede obtener 500 libras de la mezcla Z per mes del
proveedor de alimentos. Como por lo general hay 100 vacas en el Feed 'N
Ship Ranch en un memento dado, esto significa que no se puede contar
con más de 5 libras de la mezcla Z para usarse en la alimentación de cada
vaca por mes.
(a) Formule un problema de PL utilizando la información proporcionada.
(b) Resuelva el problema con algún programa computacional de PL.
QX
:7-38 Weinberger Elecronics Corporation fabrica cuatro productos altamente
técnicos que vende a firmas aeroespaciales que tienen contratos con la
NASA. Antes de ser embarcado, cada uno de los productos debe pasar a
través de los siguientes departamentos: alambrado eléctrico, taladrado,
ensamble e inspección. El requerimiento de tiempo en horas por cada
unidad producida y su valor lucrativo se resumen en la tabla siguiente:
PRODUCTO
DEPARTAMENTO UTILIDAD POR UNIDAD
($)ALAMBRA
DO
TALADR
ADO
ENSAMBL
EINSPECCIÓN
XJ201
XM897
TR29
BR788
0.5
1.5
1.5
2
0.3
1
2
3
0.2
4
1
2
0.5
1
0.5
0.5
9
12
15
11
La producción disponible en cada departamento cada mes y el
requerimiento de producción mínima mensual para cumplir con los
contratos son los siguientes:
DEPARTAMEN
TO
CAPACIDAD (HORAS)
PRODUCTO
NIVEL DE PRODUCCIÓN
MÍNIMO
Alambrado
Taladrado
Ensamble
Inspección
15,000
17,000
26,000
12,000
XJ201
XM897
TR29
BR7S8
150
100
300
400
El gerente de producción tiene la responsabilidad de especificar los
niveles de producción de cada producto para el mes entrante. Ayúdelo a
formular (es decir, establecer las restricciones y función objetivo) el pro-
blema de Weinberger mediante PL.
QX⋮7-39 Un fabricante de artículos deportivos que está desarrollando un programa
de producción de dos nuevos tipos de raquetas para raquetbol recibió un
pedido de 180 del modelo estándar y 90 del modelo profesional que debe
ser entregado al final de este mes. Se recibió otro pedido de 200 unidades
del modelo estándar y 120 del modelo profesional, pero éste no tiene que
ser entregado sino hasta finales del mes siguiente. La producción en cada
uno de los dos meses puede realizarse en tiempo normal o tiempo extra.
En el mes en curso, una raqueta estándar puede ser producida a un costo
de $40 con tiempo normal, y un modelo profesional se puede ser fabricar a
un costo de S60 en tiempo normal. El tiempo extra eleva el costo de estos
modelos a S50 y $70, respectivamente. Debido a un nuevo contrato de
trabajo para el mes siguiente, todos los costos se incrementarán en 10% a
fines de este mes.
El número total de raquetas que puede ser producido en un mes en tiempo
normal es 230 y 80 raquetas adicionales pueden ser producidas con
tiempo extra cada mes. Dado que el pedido mayor se entregará a finales
del mes siguiente, la compañía planea producir algunas raquetas extra
este mes y almacenarlas hasta finales del mes siguiente. El costo de con-
servar las raquetas en el inventario durante un mes se estima en $2 por
raqueta. Con estos datos formule un modelo de PL para minimizar el
costo.
QX⋮7-40 Modem Corporation of America (MCA) es el más grande productor de
dispositivos de comunicación por MODEM para microcomputadoras. MCA
vendió 9000 unidades del modelo regular y 10,400 del modelo "inteligente"
este septiembre. Su declaración de ingresos del mes se muestra en la
tabla de la página siguiente. Los costos en que se incurrió son típicos de
meses previos y se espera que permanezcan en los mismos niveles en el
futuro próximo.
La firma debe enfrentar varias restricciones durante la preparación de su
plan de producción de noviembre. En primer lugar, ha experimentado una
gran demanda y no ha podido mantener un inventario significativo en
existencia. Se espera que esta situación no cambie. En .segundo, lugar, la
firma está localizada en un pequeño pueblo de Iowa donde no hay mano
de obra adicional disponible. Sin embargo, los trabajadores pueden ser
cambiados de un departamento de producción de un modem a otro. Para
producir los 9000 modems normales en septiembre se requirieron de 5000
horas de mano de obra directa. Los 10,400 modems inteligentes
absorbieron 10,400 horas de mano de obra directa.
Tabla del problema 7-40
Declaración de ingresos de MCA del mes que termina el 30 de septiembre
MODEMS
NORMALES
MODEMS INTELIGENTES
Ventas 5450,000 5640,000
Menos: Descuentos 10,000 15,000
Devoluciones 12,000 9500
Reemplazos por garantía 4000 2500
Ventas netas 5424,000 $613,000
Costos de ventas
Mano de obra directa 60,000 76,800
Mano de obra indirecta 9000 11,520
Costo de materiales 90,000 128,000
Depreciación 40,000 50.S00
Costo de ventas $199,000 $267,120
Utilidad bruta 5225,000 5345,880
Gastos de ventas y generales
Gastos generales-variables 30,000 35,000
Gastos generales-fijos 36.0G0 40,000
Publicidad 2S.000 25,000
Comisiones sobre ventas 31,000 60,000
Costo total de operación 5125,000 $160,000
Ingreso antes de impuestos $100,000, S185.8S0
Impuestos sobre la renta (25%) 25,000 46,470
Ingreso neto S 75,000 $139,410
En tercer lugar, MCA enfrenta otro problema que afecta al modelo de
modems inteligentes. Su proveedor de componentes sólo puede
garantizar 8000 microprocesadores para entrega en noviembre. Cada uno
de estos modem requiere uno de estos microprocesadores de fabricación
especial. No están disponibles otros proveedores a corto plazo.
MCA desea, planificar una mezcla óptima de los dos modelos de modem
para producirlos en noviembre para maximizar sus utilidades.
(a) Formule, con los datos de septiembre, el problema de MCA como un
programa lineal.
(b) Resuélvalo gráficamente.
(c) Exponga las implicaciones de su solución recomendada.
QX
:7-41 Trabajando con químicos del Virginia Tech y de la Universidad George
Washington, el contratista paisajista Kenneth Golding mezcló su propio
fertilizante, llamado "Golding Grow", compuesto por cuatro complejos
químicos, C-30, C-92, D-21 y E-11. A continuación se indica el costo por
libra de cada complejo
COMPLEJO QUÍMICO CONSTO POR LIBRA $C-30 0.12
C-92 0.09
D-21 0.11
E-11 0.04
Las especificaciones de Golding Grow son las siguientes: 1) E-11 debe
constituir por lo menos 15% de la mezcla; 2) C-92 y C-30 juntos deben
constituir por lo menos 45% de la mezcla; 3) D-21 y C-92 juntos pueden
constituir no más de 30% de la mezcla, y 4) Golding Grow se empaca y
vende en sacos de 20 libras.
(a) Formule un problema de PL para determinar qué mezcla de los cuatro
compuestos permitirá a Golding minimizar el costo de un saco de 50
libras del fertilizante.
(b) Resuélvalo con computadora para encontrar la mejor solución.
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