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8/18/2019 CACULO 3 - Integral Tripla
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Notas de aula - Cálculo III
Integral Tripla
Coordenadas Cilíndricas e Esféricas
Integral de linha
Teorema de Green
Prof. Ticiano A. Bastos.
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3
2
1
ln
0
2
)2
y
y
x
z dzdxdy ye
dy y y y
dy y y
y y
dy y y
y y
dy yx yx
dxdy y yx
dxdy y ye
dxdye y
dzdxdye y
y
y
y
y
y
y
x
y
y
x z
y
y
x
z
2
1
235
2
1
23
35
2
1
23
35
2
1
2
2
1
2
1
ln
2
1
ln
0
2
1
ln
0
2
3
2
22
22
2
2
2
2
2
2
24
47
24
89264144128
3
1
8
3
12
1
3
8
8
48
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64
38
3
12
2
1
346
y y y
2
0
1
0 0
2
cos)3
x
dzdxdy y x Resp: 1/4
2
1 1 0
2
2
2)4 x y x
dzdydx y x Resp: 13915/216
xe x ln
x
x
e x
e
e
x
x
?
ln?ln
ln?lnln
ln?ln
?
ln
ln
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Usando Integração tripla para calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies.
6
34)1
2
z
z y
x y
4
01)2
2
z
z y
x y
1
0
22
13
)2
z
y
y x
x x z
x z
z
y x
y
x
3
1
0
2
1
)3
x y
x y z
y x z
2
0)42
4
0
4
)52
y
x y z
y z
2
64
3
)62
2
z
y z x y
x y
Coordenadas Cilíndricas
Sistema de coordenadas tridimensional onde os pontos são dados por .,, z
Nesse sistema , compõem o sistema polar e z é um eixo perpendicular ao plano polar.
Exemplos:
1) Dada a equação em coord. cartesiana, passar para coord. cilíndrica
22
222
5
5)
z
z y xa
3
3
3
3)
arctg
tg
x
y
x yb
3
2) Dada a equação em coordenada cilíndrica passar para coord. cartesiana.
22
1) 2 sen z a
cos22
1 2 sen z cos sen z yx z
623cos) z senb
623 z y x eq. de um plano.
x
y
z
P(x,y,z) coordenada cartesiana
z P ,, coordenada cilíndrica
z z
sen y
x
cos
22 y x
x
yarctg
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3) Dadas as superfícies 922 y x e , y z esboçar o sólido. No 1º octante, armar a integral que dê o volume
em coordenadas cartesianas e calcular o volume em coordenadas cilíndricas.
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4) Idem ao 3 para 422 y x e x z no 1º octante.
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5) Seja o sólido no 1º octante limitado por 1 z e .5 22 y x z Pede-se:
a) Esboçar o sólido.
b) Armar a integral que dê o volume em coordenadas cartesianas.
c) Calcular o volume em coordenadas cilíndricas.
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6) Idem ao 5. 1 z e 225 y x z
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b)
5
0
25
0
6
022
2 x
y x
dzdydx
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Coordenadas Esféricas
Os pontos M do espaço são dados pelas variáveis e R ,, onde:
: R distância da origem ao ponto M.
: ângulo entre R e eixo z.: ângulo entre projeção de R sobre o plano xy e eixo x.
Exemplos:
1) Transformar as equações para coord. esféricas.
9) 222 z y xa
392
R R
x
y
R e R M ,,
z
0 R
20
0
R
z cos
cos R z
R sen
Rsen
Rsen x
cos
cos Rsen x
Rsen sen
y
sen Rsen y
Equações que transformam esférica para cartesiana.
222 R z 2222 R y x z x
yarctg R
z e cos
222cos
z y x
z e
Equações que transformam de cartesiana para esférica.
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222) y x z b 22cos R
cos
2 2
R
sec2 2 R
sec2 22 sen R R
2) Transformar as equações para coord. cartesiana.
2) Ra
2222 z y x
4222 z y x
Transformação de uma integral para coord. esférica
?,,,,'
S S
R f dv z y x f
d d dR J dv
Rsen
sen R Rsen sen sen
R Rsen sen
z z
R
z
y y
R
y
x x
R
x
R
z y x J
cos
coscos
coscoscoscos
,,
,,
Integrais
dzdydx z y x f S
,, coord. cartesiana
d d dz z f S
,, coord. cilíndrica
d d dR sen R R f S
2,, coord. esférica
.
.
.
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Volume
S
dzdydxV coord. cartesiana
S
d d dz V coord. cilíndrica
S
d dRd sene RV 2 coord. esférica
Coord. cilíndrica Coord. esférica
d d dz dv
y x
tg x
y
sen y
x
222
cos
Exercícios
1) Dado 3
0
9
0
9
0
2 22 x y x
dzdydx xz pede-se:
a) Esboçar o sólido. b) Armar a integral em coord. cilíndrica.
c) Calcular a integral em coord. esférica.
2) Calcular o volume do sólido no 1º octante onde:
0
0
1 22
xe x y
z
y x z
3) Calcular o volume do sólido onde
0
01
22
ye x y
z y x z
4) Calcular o volume no 1º octante onde:
0
3
0
0
1 22
y
x y
y
z
y x z
d dRd sen Rdv
R z y x
Rsen R z
sen Rsen y
Rsen x
2
2222
cos
cos
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Nos problemas 5 a 6, esboce o sólido S, e calcule cada integral tripla.
5) ,23 dxdydz y xS
onde S é o sólido limitado superiormente pelo plano z = 4, inferiormente pelo plano z = 0
e lateralmente pelo cilindro com geratrizes paralelas ao eixo z, sobre a região quadrada ;11: x R
.31 y R: 64 u.v.
6) S
dxdydz xy ,3 onde S é o sólido no primeiro octante, limitado pelos planos coordenados e o plano
.6 z y x R: 72 u.v.
Nos problemas 7 a 10, converta para coordenadas cilíndricas e calcule a integral.
7) S
dxdydz y x ,22 onde S é o sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, pelo plano
z = 4 e pelo cilindro .2522 y x
R:3
250
8) S
dxdydz y x ,2/322
onde S é o sólido limitado superiormente pelo parabolóide de revolução
,4 22 y x z inferiormente pelo plano xy, lateralmente pelo cilindro .422
y x
R:35
512
9) ,22 S y x
dxdydz onde S é o sólido limitado superiormente pelo plano z = 4, inferiormente pelo plano z = 1 e
lateralmente pelo cilindro .1622 y x R: 24π
10) S dxdydz x ,2
onde S: 422
y x e .50 z
R: 20π
Exercícios para fixação do conteúdo.
1) Resolva as integrais triplas.
2
0
3
2
2
1
2) dzdydx z xya
1
0 0 0
2
) z y
y dxdydz zeb
401
0 0
2
cos)
x
dzdxdy y xc
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2) Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido contido no cilindro 922 y x e limitado pelos
planos 1 z e .5 z y
3) Calcule o volume do sólido no 1º octante onde: .3,1,0 22 x ye x y y x z z Resposta: ..36
vu
4) Dado o sólido no 1º octante limitado superiormente por 49222 z y x e inferiormente por ,22 y x z
calcule: a) Esboce o sólido; b) Arme a integral que dê o volume em coordenadas cartesianas; c) Calcule o volume
em coordenadas esféricas.
Resposta: ..2
21
6
343vuV
5) Use coordenadas esféricas, para calcular S
dxdydz z y x ,222 onde S é o sólido limitado superiormente
pela esfera 49222
z y x e inferiormente pelo cone .22
y x z Resposta: ..2
21
2
74
vu
6) Calcule o volume da esfera de raio 3 em coordenadas esféricas. Resposta: 36π u.v.
7) Dado dzdydx z y x 222
onde S é a esfera de raio 3 e o centro na origem. Pede-se esboce o sólido, arme
a integral em coordenada cartesiana e calcule em esféricas. Resposta: 81π u.v.
8) Dado ,23
22 dzdydx y x
S
onde o sólido é limitador por: superiormente ;2
1: 22 y x z inferiormente pelo
plano xy e lateralmente .422 y x Resposta: 128π/7 u.v.
9) Monte a integral literada D
d d dz z f ),,( para calcular o volume da região D, onde D é o cilindro reto
sólido cuja base é a região entre as circunferências de raio 1 e raio 2 e cujo topo está no plano z = 3 - y.
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Exemplo:
Dado ,2
x y determinar um vetor unitário
02 x y ou 02 y x
ji x j y f i
x f
2
14
22
x
ji xn
f
f n
14
2
2
x
ji xn
4.2. Divergente de uma função vetorial
Chamamos de divergente de uma função vetorial de k z y x f j z y x f i z y x f
),,(),,(),,(V 321 a função
escalar k z y x f j z y x f i z y x f k z
j y
i x
),,(),,(),,(V 321
z
f
y
f
x
f
321V
.
Exemplo 1: Calcular o divergente da função k z x j yz i z xyV 322
k z x j yz i z xyV 322
222 3 z x z z yV
Exemplo 2: Calcular r sendo k z j yi xr
3111 r
x
y
x
y
z
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Interpretação Física.
Se k z y x f j z y x f i z y x f
),,(),,(),,(V 321 é um campo vetorial que indica as velocidades das
partículas de um fluido em movimento, o divergente de V
, indica a quantidade de fluido que diverge de um ponto,
por unidade de volume na unidade de tempo.
Se 0V
, no ponto A, dizemos que o fluido converge ou escoa, no ponto A, e A é chamado de Sumidouro.
Se 0V
, no ponto A, dizemos que o fluido diverge, no ponto A, e A é chamado de Fonte.
Se E
é um campo elétrico, E
indica o número de linhas de força que entra ou sai de uma região porunidade de tempo. (Densidade de linhas de força que entram ou saem).
Se 0E
, E
é chamado Solenoidal o que indica não haver nem fonte nem sumidouro.
Se 0E
, E
é campo divergente (no interior da superfície existem excesso de cargas positivas).
Se 0E
, E
é campo convergente (no interior da superfície existem excesso de cargas negativas).
4.3 Rotacional de uma função vetorial
Chamamos rotacional de uma função vetorial k z y x f j z y x f i z y x f
),,(),,(),,(V 321 a função vetorial
321
Vx
f f f
z y x
k ji
Exemplo 1: Dado .2 k xyz j yz i y xV Calcular V
xyz yz y x
z y x
k ji
2
Vx
y
y x
x
yz k
z
y x
x
xyz j
z
yz
y
xyz i
22
Vx
k x j yz i y xz 200Vx
Exemplo 2: Se ,22 k yz i xyV calcular o V no ponto 2,3,1 P
22 0
Vx
yz xy
z y x
k ji
y
xy
xk
z
xy
x
yz j
z y
yz iV
2222 00
xyk ji z V 202
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Exercícios.
1) Determinar um vetor normal unitário à superfície dada no ponto indicado.
)0,0,0(
43) 22
P
y x z a
)1,1,1(
01) 22
P
z y xb
2) Se f(x,y,z) = xy + yz + xz, calcular f no ).2,1,1( P
3) Se ,222 k xy z j xz yi yz xu calcule .u
4) Se k x j xi z u 22 e z y x z y x f 222),,( calcular:
f d f c
ub
ua
)
)
)
)
5) Calcular ,V no ponto )3,2,1( P se .322 423 k z j xyi y xV
6) Determinar o valor de m para que k z mz jmyz imx E 42 2 seja solenoidal.
7) Calcular V sendo .2 k z j senxz ieV xy
A Integral de linha.
Seja C uma curva contínua do R 3 de modo que em cada um de seus pontos esteja definido um vetor
.,,,,,, 321 k z y x f j z y x f i z y x f F
Dividimos o arco AB da curva C em "n" arcosii
P P 1
Em i P temos o vetor i F e para cada arco ii P P 1
fica definido um vetor .1 iii r P P
Formamos os "n" produtos escalares ii r F e
efetuamos a soma
n
i
iin r F S 1
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Chamamos integral de linha de F ao longo da curva C de A até B, o limite:
n
i
B
Acii
n
r d F r F 1
lim
se existir e for finito.
Expressão cartesiana de B
Acr d F
Temos ,,,,,,, 321 k z y x f j z y x f i z y x f F k dz jdyidxr e k dz jdyidxr d . Assim,
dz f dy f dx f r d F 321 e B
Ac
B
Ac
dz f dy f dx f r d F 321
Interpretação
Se z y x F ,, é uma força que desloca uma partícula ao longo de C, a integral de linha c r d F é o trabalho
realizado por . F
Exercícios
1) Sendo j xyi x F 22 e C a parábola 2 x y calcular c r d F de A(1,1) até B(2,4).
2) Sendo k z j z yi y x F e C a reta definida pelos pontos A(1,-1,1) e B(0,2,-1), calcular c r d F deA até B.
3) Calcular c r d F onde j xyi F e C é a curva definida por .21,2:11,:
2
2
1
x se x yC
x se x yC
4) Sendo j xyi x F e c o contorno da região R limitada pelas curvas .31,2 y xe y x y Calcular
c r d F
Teorema de Green (pode trabalhar apenas no R 2 e caminho fechado)
O Teorema de Green fornece a relação entre uma integral de linha em torno de uma curva fechada simples C e
uma integral dupla na região R do plano limitada por C. Por convenção, a orientação positiva de uma curva simples
fechada C se refere a percorrer C no sentido anti-horário uma única vez.
Teorema: Seja C uma curva fechada simples, suave por partes, orientada no sentido anti-horário, e R a região
fechada delimitada por C. Se
j y x f i y x f y x F ),(),(),( 21 é um campo vetorial contínuo com derivadas
parciais de 1ª ordem contínuas em um domínio D que contém R, então:
dxdy y
f
x
f dA
y
f
x
f F
R RC
1212r d.
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Exemplos
1) Aplicar o teorema de Green no exercício anterior (nº 4)
c
c
c
y
y
c
y
y
dy y y yr d F
dy y y y yr d F
dy yxr d F
dxdy yr d F
1
0
2
3
2
1
0
1
0
3
1
0
3
3
3
0
c r d F 3023
2) Se C é o contorno da região limitada pelas curvas 3yxe12 x y , calcule )( 2dy x senxdxC
.
y x
f
xy f
2
2
01
1
y
f
x f
.
.
.
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22
3) Verificar o Teorema de Green no plano para: dy xdx y xyC
22 )( onde C é a curva fechada que contorna a
região R limitada pelas curvas xye2 x y .
4) Calcular
r d.C F onde C é o contorno da região limitada pelas curvas 4e1 2222
y x x y , sendo y > 0 e
j xyi F .
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5) Calcule dy xydx xC
4
, onde C é a região triangular construída pelos segmentos de reta de (0, 0) a (1, 0), de
(1, 0) a (0, 1) e de (0, 1) a (0, 0).
6) Calcule dy y xdxe yC
senx
173 2
, onde C é o círculo 922 y x .
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7) Calcule dy xydx yC
32
, onde C é a fronteira da região semianular D contida no semiplano superior entre os
círculos 122 y x e 422 y x .
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Exercícios
1) Calcule C
dy y xdx y x )( 2222 ; C é o quadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1).
(2/3)
2) Seja R a região limitada pelas três curvas, cujas equações polares são4
, 2 e
4
3 e seja C uma
linha delimitadora de R, tomada no sentido anti-horário (no 1º e 2º quadrantes), calcule C
dy x xydx 2 . 0
3) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha em cada exercício. Suponha que C é orientada no
sentido anti-horário.
a) dy xdx yC
22
, onde C é o quadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1). (-2)
b)dy ysenxdx y xC )cos
,onde C é o quadrado com vértices (0, 0); (
2
, 0); (
2
,2
);(0,
2
). (0)
c) C
xdy ydx , onde C é o círculo unitário no sentido anti-horário. (π)
d) C
xydy xydx 23 , onde C é o retângulo limitado por x = -2, x = 4, y = 1 e y = 2. (-36)
e) C
xdydx y x )( 22 , C é o círculo 922 y x . 9
f) C
dy xy y ydx x )( 22 , C é a fronteira da região compreendida por22 xe y x y . (0)
g) C
xdydx y x )( 2 e C é o círculo 422 y x . 8
h) C
y x dy xedx ye )()( 22 e C é a fronteira da região entre x x y y e2 .
e
15
43
i)
C
dy y
xydx y
1)1ln( e C é o triângulo de vértices (0, 0); (2, 0) e (0, 4). (-4)
j) C
xdy y ydx x 22( , onde C é a fronteira da região no primeiro quadrante, compreendida entre os eixos
ccoordenados e o círculo 1622
y x . (0)
4) Use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado pela força
j y xi y x x y x F 2)(),( ao mover uma
partícula da origem ao longo do eixo x até (1, 0), em seguida ao longo de um segmento de reta até (0, 1), e então de
volta à origem ao longo do eixo y.
12
1
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