Bases de Riesz de exponenciales - UNLP · 2015. 6. 8. · bg=whiteBase ortonormal de exponenciales Frecuencias enteras Teorema La familia te 2ˇinpqu nPZ es una base ortonormal del
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Bases de Riesz de exponenciales
Jorge Antezana
bg=whiteBase ortonormal de exponencialesFrecuencias enteras
TeoremaLa familia te2πinp¨qunPZ es una base ortonormal del espacio L2
`“
´ 12 ,12
‰˘
.
Como consecuencia de esto se tiene que todo elemento f P L2`“
´ 12 ,12
‰˘
sepuede escribir como
f ptq “ÿ
nPZαne2πint
donde la convergencia de la serie es en L2`“
´ 12 ,12
‰˘
y la igualdad en casitodo punto. Además
}f }2L2 “ÿ
nPZ|αn|2 “ }tαnu}2`2
por lo tanto el operador lineal
Uptαnuq “ÿ
nPZαne2πint
resulta un isomorfismo isométrico de `2pZq en L2`“
´ 12 ,12
‰˘
.
bg=whiteEl espacio de Paley WienerDefinición
Dada F P L1pRq X L2pRq entonces
pFpωq “`8ż
´8
Fptq e´2πitω dt
y se extiende a todo L2pRq como un operador unitario.
bg=whiteEl espacio de Paley WienerDefinición
Dada F P L1pRq X L2pRq entonces
pFpωq “`8ż
´8
Fptq e´2πitω dt
y se extiende a todo L2pRq como un operador unitario.
DefiniciónEl espacio de Paley Wiener, denotado PWπ , se define como:
PWπ :“
F P L2pRq : sopp pF q Ď“
´ 12 ,12
‰(
.
bg=whiteEl espacio de Paley WienerDefinición
Dada F P L1pRq X L2pRq entonces
pFpωq “`8ż
´8
Fptq e´2πitω dt
y se extiende a todo L2pRq como un operador unitario.
DefiniciónEl espacio de Paley Wiener, denotado PWπ , se define como:
PWπ :“
F P L2pRq : sopp pF q Ď“
´ 12 ,12
‰(
.
F ÝÝÑ Fpxq “8ż
´8
pFpωq e2πiωx dω .
bg=whiteEl espacio de Paley WienerDefinición
Dada F P L1pRq X L2pRq entonces
pFpωq “`8ż
´8
Fptq e´2πitω dt
y se extiende a todo L2pRq como un operador unitario.
DefiniciónEl espacio de Paley Wiener, denotado PWπ , se define como:
PWπ :“
F P L2pRq : sopp pF q Ď“
´ 12 ,12
‰(
.
F ÝÝÑ Fpxq “1{2ż
´1{2
pFpωq e2πiωx dω .
bg=whiteEl espacio de Paley WienerDefinición
Dada F P L1pRq X L2pRq entonces
pFpωq “`8ż
´8
Fptq e´2πitω dt
y se extiende a todo L2pRq como un operador unitario.
DefiniciónEl espacio de Paley Wiener, denotado PWπ , se define como:
PWπ :“
F P L2pRq : sopp pF q Ď“
´ 12 ,12
‰(
.
F ÝÝÑ Fpxq “1{2ż
´1{2
pFpωq e2πiωx dω .
Más aún, usando Plancherel se obtiene que
Fpxq “ż
R
pFpωq e´2πiωxχr´1{2,1{2s dω “ż
R
Fptq sinπpt ´ xqπpt ´ xq dt .
En particular, las evaluaciones poseen norma uno.
bg=whiteTeorema de Shannon-Whittaker-Kotel’nikov
TeoremaSea F P PWπ . Entonces
Fpxq “ÿ
nPZFpnq sinπpx´ nq
πpx´ nq .
La convergencia de la serie es en L2pRq y uniforme.
bg=whiteTeorema de Shannon-Whittaker-Kotel’nikov
TeoremaSea F P PWπ . Entonces
Fpxq “ÿ
nPZFpnq sinπpx´ nq
πpx´ nq .
La convergencia de la serie es en L2pRq y uniforme.
Observación: Si en vez de evaluar en Z se evalúa en Z` α, con α P R, seobtiene el mismo resultado:
Fpxq “ÿ
nPZFpn` αq sinπpx´ pn` αqq
πpx´ pn` αqq
puesto que el espacio es invariante por traslaciones y dichas traslacionesactúan unitariamente en PWπ .
bg=whiteBases de exponenciales en Rd
Sea Ω un abierto conexo de medida uno contenido en Rd.
DefiniciónDadas f , g P L1locpΩq decimos que g “ Bxj f si para toda φ P C80 pΩq
ż
Ω
gpxqφpxq dx “ ´ż
Ω
fBφBxj
dx.
Sea Dj el operador definido como ´iBxj en C80 pΩq.
Pregunta (Segal ’58)¿Cuándo los operadores Dj se pueden extender a operadores autoadjuntos(no acotados) en L2pΩq?
Teorema (Fuglede ’74)Se puede si y sólo si L2pΩq admite una b.o.n. de exponenciales.
bg=whiteBases de exponenciales en Rd
Sea Ω un abierto conexo de medida uno contenido en Rd.
DefiniciónDadas f , g P L1locpΩq decimos que g “ Bxj f si para toda φ P C80 pΩq
ż
Ω
gpxqφpxq dx “ ´ż
Ω
fBφBxj
dx.
Sea Dj el operador definido como ´iBxj en C80 pΩq.
Pregunta (Segal ’58)¿Cuándo los operadores Dj se pueden extender a operadores autoadjuntos(no acotados) en L2pΩq?
Teorema (Fuglede ’74)Se puede si y sólo si L2pΩq admite una b.o.n. de exponenciales.
bg=whiteBases de exponenciales en Rd
Sea Ω un abierto conexo de medida uno contenido en Rd.
DefiniciónDadas f , g P L1locpΩq decimos que g “ Bxj f si para toda φ P C80 pΩq
ż
Ω
gpxqφpxq dx “ ´ż
Ω
fBφBxj
dx.
Sea Dj el operador definido como ´iBxj en C80 pΩq.
Pregunta (Segal ’58)¿Cuándo los operadores Dj se pueden extender a operadores autoadjuntos(no acotados) en L2pΩq?
Teorema (Fuglede ’74)Se puede si y sólo si L2pΩq admite una b.o.n. de exponenciales.
bg=whiteFugledeRetículos
Sea Λ es un retículo de Rd, i.e., Λ “ AZd donde A es una matriz inversiblede tamaño d ˆ d.
v1v2
DominioFundamental
bg=whiteFugledeRetículos
Sea Λ es un retículo de Rd, i.e., Λ “ AZd donde A es una matriz inversiblede tamaño d ˆ d.
v1v2
DominioFundamental
El retículo dual, que denotaremos ΛK, es otro retículo en Rd que estádefinido por
ΛK “ tx P Rd : e2πix¨λ “ 1 para todo λ P Λu“ tx P Rd : x ¨ λ P Z para todo λ P Λu.
Comentario: Si Λ “ AZd entonces ΛK “ pA´1q˚Zd.
bg=whiteFugledeTeselaciones
Se dice que un conjunto Ω genera un teselado de Rd al ser trasladado con elconjunto Λ si
∆Ωpxq :“ÿ
λPΛχΩpx´ λq “ 1, a.e.
Ejemplos:
bg=whiteFugledeTeselaciones
Se dice que un conjunto Ω genera un teselado de Rd al ser trasladado con elconjunto Λ si
∆Ωpxq :“ÿ
λPΛχΩpx´ λq “ 1, a.e.
Ejemplos:
bg=whiteFugledeTeselaciones
Se dice que un conjunto Ω genera un teselado de Rd al ser trasladado con elconjunto Λ si
∆Ωpxq :“ÿ
λPΛχΩpx´ λq “ 1, a.e.
Ejemplos:
bg=whiteFugledeTeselaciones
Se dice que un conjunto Ω genera un teselado de Rd al ser trasladado con elconjunto Λ si
∆Ωpxq :“ÿ
λPΛχΩpx´ λq “ 1, a.e.
Ejemplos:
bg=whiteFugledeTeselaciones
Se dice que un conjunto Ω genera un teselado de Rd al ser trasladado con elconjunto Λ si
∆Ωpxq :“ÿ
λPΛχΩpx´ λq “ 1, a.e.
Ejemplos:
bg=whiteFugledeTeselaciones
Se dice que un conjunto Ω genera un teselado de Rd al ser trasladado con elconjunto Λ si
∆Ωpxq :“ÿ
λPΛχΩpx´ λq “ 1, a.e.
Ejemplos:
1−1 2
bg=whiteFugledeTeselaciones
Se dice que un conjunto Ω genera un teselado de Rd al ser trasladado con elconjunto Λ si
∆Ωpxq :“ÿ
λPΛχΩpx´ λq “ 1, a.e.
Ejemplos:
1 2−1
bg=whiteFugledeTeorema y conjetura
Sea Ω un compacto de Rd tal que |Ω| “ 1 y Λ un retículo.
Teorema (Fuglede ’74)El conjunto de exponenciales te2πiλtuλPΛK es una base ortogonal de L2pΩqsi y sólo si Ω genera un teselado de Rd cuando se lo traslada con Λ.
bg=whiteFugledeTeorema y conjetura
Sea Ω un compacto de Rd tal que |Ω| “ 1 y Λ un retículo.
Teorema (Fuglede ’74)El conjunto de exponenciales te2πiλtuλPΛK es una base ortogonal de L2pΩqsi y sólo si Ω genera un teselado de Rd cuando se lo traslada con Λ.
Conjetura (Fuglede ’74)El espacio L2pΩq admite una b.o.n. de exponenciales si y sólo si Ω tesela Rdcon cierto conjunto Γ.
bg=whiteFugledeTeorema y conjetura
Sea Ω un compacto de Rd tal que |Ω| “ 1 y Λ un retículo.
Teorema (Fuglede ’74)El conjunto de exponenciales te2πiλtuλPΛK es una base ortogonal de L2pΩqsi y sólo si Ω genera un teselado de Rd cuando se lo traslada con Λ.
Conjetura (Fuglede ’74)El espacio L2pΩq admite una b.o.n. de exponenciales si y sólo si Ω tesela Rdcon cierto conjunto Γ.
En los últimos 11 años, a partir de los trabajos deB. FarkasA. IosevichM. KolountzakisM. MatolcsiT. Tao:
TeoremaLa conjetura de Fuglede es falsa (en ambas direcciones) si d ě 3.
bg=whiteLa conjetura de FugledeEn dimensión 1
Sea Ω Ď R un conjunto compacto tal que |Ω| “ 1.
Teorema (Laba ’01)La conjetura de Fuglede vale si Ω es la unión de dos intervalos.
Teorema (Iosevich - Kolountzakis ’12)Si te2πiλp¨quλPΛ es una b.o.n. de L2pΩq entonces existe k P N de modo queΛ “ kZ` tr1, . . . , rku.
bg=whiteLa conjetura de FugledeEn dimensión 1
Sea Ω Ď R un conjunto compacto tal que |Ω| “ 1.
Teorema (Laba ’01)La conjetura de Fuglede vale si Ω es la unión de dos intervalos.
Teorema (Iosevich - Kolountzakis ’12)Si te2πiλp¨quλPΛ es una b.o.n. de L2pΩq entonces existe k P N de modo queΛ “ kZ` tr1, . . . , rku.
Comentario: Algo que se utiliza constantemente es lo siguiente:
A
e2πiλp¨q , e2πiµp¨qE
L2pΩq“ż
Ω
e2πipλ´µqx dx “ pχΩpλ´ µq.
bg=whiteEjemplos sin bases ortonormales
El triángulo:
El disco D: En este caso, sólo existen una cantidad finita deexponenciales ortogonales entre sí.
Conjetura (Fuglede ’74)Los conjuntos de exponenciales mutuamente ortogonales en L2pDq noposeen más de 3 elementos.
bg=whiteBases de Riesz
Si tfλu es una base ortonormal de L2pΩq entonces U : `2 Ñ L2pΩq definidopor:
Uptαλuq “ÿ
λPΛαλ fλ
resulta un isomorfismo isométrico.
DefiniciónLa familia tfλu es una base de Riesz de L2pΩq si el operador S : `2 Ñ L2pΩqdefinido por:
Sptαλuq “ÿ
λPΛαλ fλ
es acotado e inversible.
Comentario: En este caso
A}tαλu}2`2 ď›
›
›
ÿ
λPΛαλ fλ
›
›
›
L2ď B}tαλu}2`2 .
bg=whiteTeselaciones múltiples
Recordemos que un conjunto Ω genera un teselado del espacio Rd al sertrasladado con el conjunto Λ si
∆Ωpxq “ÿ
λPΛχΩpx´ λq “ 1, a.e.
Diremos que el teselado tiene multiplicidad k si
∆Ωpxq “ÿ
λPΛχΩpx´ λq “ k, a.e.
bg=whiteTeselaciones múltiples
Recordemos que un conjunto Ω genera un teselado del espacio Rd al sertrasladado con el conjunto Λ si
∆Ωpxq “ÿ
λPΛχΩpx´ λq “ 1, a.e.
Diremos que el teselado tiene multiplicidad k si
∆Ωpxq “ÿ
λPΛχΩpx´ λq “ k, a.e.
Ejemplo: Supongamos que Λ “ Z2
1 2−1
bg=whiteTeselaciones múltiples
Recordemos que un conjunto Ω genera un teselado del espacio Rd al sertrasladado con el conjunto Λ si
∆Ωpxq “ÿ
λPΛχΩpx´ λq “ 1, a.e.
Diremos que el teselado tiene multiplicidad k si
∆Ωpxq “ÿ
λPΛχΩpx´ λq “ k, a.e.
Ejemplo: Supongamos que Λ “ Z2
1 2−1
bg=whiteTeselaciones múltiples
Recordemos que un conjunto Ω genera un teselado del espacio Rd al sertrasladado con el conjunto Λ si
∆Ωpxq “ÿ
λPΛχΩpx´ λq “ 1, a.e.
Diremos que el teselado tiene multiplicidad k si
∆Ωpxq “ÿ
λPΛχΩpx´ λq “ k, a.e.
Ejemplo: Supongamos que Λ “ Z2
1 2−1
bg=whiteTeselaciones múltiples
Recordemos que un conjunto Ω genera un teselado del espacio Rd al sertrasladado con el conjunto Λ si
∆Ωpxq “ÿ
λPΛχΩpx´ λq “ 1, a.e.
Diremos que el teselado tiene multiplicidad k si
∆Ωpxq “ÿ
λPΛχΩpx´ λq “ k, a.e.
LemaSi Ω genera un k-teselado de Rd con el retículo Λ, entonces
Ω “ Ω1 Y ¨ ¨ ¨ Y Ωk Y E,
donde |E| “ 0 y los Ωj son dos a dos disjuntos y c/u tesela Rd con Λ.
bg=whiteExistencia de bases de Riesz de exponencialesSea Λ un retículo de Rd y recordemos que
ΛK “ tµ P Rd : e2πiµ¨λ “ 1 @λ P Λu.
Teorema (Grepstad-Lev ’14, Kolountzakis ’14)Existen α1, . . . , αk P Rd tales que para todo conjunto acotado Ω que generaun k-teselado de Rd con Λ, el conjunto
te2πi pαj`µq¨ω χΩpωq : µ P ΛK , 1 ď j ď ku (1)
es una base de Riesz de L2pΩq.
bg=whiteExistencia de bases de Riesz de exponencialesSea Λ un retículo de Rd y recordemos que
ΛK “ tµ P Rd : e2πiµ¨λ “ 1 @λ P Λu.
Teorema (Grepstad-Lev ’14, Kolountzakis ’14)Existen α1, . . . , αk P Rd tales que para todo conjunto acotado Ω que generaun k-teselado de Rd con Λ, el conjunto
te2πi pαj`µq¨ω χΩpωq : µ P ΛK , 1 ď j ď ku (1)
es una base de Riesz de L2pΩq.
Comentarios:Para casi toda k-upla pα1, . . . , αkq P pRdqk vale (1).Todo compacto se aproxima (en medida) por conjuntos que k-teselan
ΩΩε
bg=whiteExistencia de bases de Riesz de exponenciales
Proposición (Agora, A., Cabrelli (Quizás ’15))Si Ω es acotado y L2pΩq admite una base de Riesz de la forma
te2πi pαj`µq¨ω χΩpωq : µ P ΛK , 1 ď j ď ku
entonces Ω genera un k-teselado de Rd con Λ.
bg=whiteExistencia de bases de Riesz de exponenciales
Proposición (Agora, A., Cabrelli (Quizás ’15))Si Ω es acotado y L2pΩq admite una base de Riesz de la forma
te2πi pαj`µq¨ω χΩpωq : µ P ΛK , 1 ď j ď ku
entonces Ω genera un k-teselado de Rd con Λ.
Comentario: Si Ω es un triángulo
entonces L2pΩq no admite una base de Riesz de exponenciales confrecuencias periódicas.
Problema abierto¿Posee L2pΩq una base de Riesz de exponenciales no periódica?
bg=whiteBases de Riesz de exponencialesCaso no periódico
Supongamos que el Ω Ď R es una unión de finitos intervalos disjuntos
Ω “Nď
n“1ran, bns
Si bn ´ an P Q entonces L2pΩq admite una base de Riesz de exponenciales.
bg=whiteBases de Riesz de exponencialesCaso no periódico
Supongamos que el Ω Ď R es una unión de finitos intervalos disjuntos
Ω “Nď
n“1ran, bns
Si bn ´ an P Q entonces L2pΩq admite una base de Riesz de exponenciales.
Problema¿Qué ocurre si Ω “ r0, 1s Y r2, πs?, el espacio L2pΩq ¿admite una base deRiesz de exponenciales?
bg=whiteBases de Riesz de exponencialesCaso no periódico
Supongamos que el Ω Ď R es una unión de finitos intervalos disjuntos
Ω “Nď
n“1ran, bns
Si bn ´ an P Q entonces L2pΩq admite una base de Riesz de exponenciales.
Problema¿Qué ocurre si Ω “ r0, 1s Y r2, πs?, el espacio L2pΩq ¿admite una base deRiesz de exponenciales?
Teorema (Seip ’95)Si Ω es la unión de dos intervalos entonces L2pΩq admite una base de Rieszde exponenciales.
bg=whiteBases de Riesz de exponencialesCaso no periódico
Supongamos que el Ω Ď R es una unión de finitos intervalos disjuntos
Ω “Nď
n“1ran, bns
Si bn ´ an P Q entonces L2pΩq admite una base de Riesz de exponenciales.
Problema¿Qué ocurre si Ω “ r0, 1s Y r2, πs?, el espacio L2pΩq ¿admite una base deRiesz de exponenciales?
Teorema (Seip ’95)Si Ω es la unión de dos intervalos entonces L2pΩq admite una base de Rieszde exponenciales.
ProblemaSupongamos que Ω es una unión finita de intervalos con longitudes Q-LI?,¿admite L2pΩq una base de Riesz de exponenciales?
bg=whiteBases de Riesz de exponencialesEspacios multibanda
Teorema (Kozma-Nitzan ’14)Si Ω Ď R es una unión finita de intervalos, entonces L2pΩq admite una basede Riesz de exponenciales.
bg=whiteBases de Riesz de exponencialesEspacios multibanda
Teorema (Kozma-Nitzan ’14)Si Ω Ď R es una unión finita de intervalos, entonces L2pΩq admite una basede Riesz de exponenciales.
Algunos problemas abiertosQué ocurre si Ω es:
Un abierto acotado;El triángulo en R2;Bp0, 1q Ď Rd, para d ě 2.
bg=whiteFin
¡Muchas gracias!
Riesz basis of exponentials
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