Transcript
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
49
DIFERENSIASI VEKTOR
Fungsi Vektor
Jika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor , maka bisa
dinyatakan sebagai fungsi vektor dari t atau , yaitu suatu vektor yang
komponen-komponennya merupakan fungsi dari nilai skalar t.
Dalam R2, fungsi vektor biasa ditulis dengan,
dalam R3, fungsi vektor ditulis dengan,
Konsep fungsi vektor ini bisa diperluas, jika sembarang titik (x,y,z) di R3
dikaitkan dengan suatu vektor , maka bisa dinyatakan dalam bentuk
fungsi vektor sebagai berikut:
Setelah kita mengetahui fungsi vektor, maka selanjutnya kita pelajari turunan
biasa dari fungsi vektor.
Turunan Biasa
Masih ingat apa saja yang termasuk vektor? Coba sebutkan! Ya, kecepatan,
percepatan, gaya, dan perpindahan termasuk vektor. Sekarang pada kegiatan
belajar ini, kita fokuskan pada perpindahan, kecepatan, dan percepatan.
Pernahkah Anda naik alat transportasi
pada gambar di samping? Kalau pernah,
kemana saja Anda pergi menggunakan
alat transportasi tersebut? Pernahkah
Anda ke Jakarta menggunakannya?
Pesawat yang terbang dengan rute
Padang-Jakarta berarti pesawat
Materi pokok pertemuan ke 5 : 1. Turunan biasa fungsi vektor
URAIAN MATERI
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
50
tersebut melakukan perpindahan dengan titik awalnya Padang dan titik
akhirnya Jakarta. Pesawat melakukan perpindahan karena pesawat memiliki
kecepatan dan percepatan.
Hubungan apa yang kita dapatkan dari perpindahan, kecepatan, dan
percepatan? Kecepatan merupakan perpindahan benda tiap selang waktu
tertentu atau bisa dikatakan turunan dari perpindahan sebagai fungsi waktu.
Percepatan merupakan hasil bagi antara perubahan kecepatan dengan selang
waktu berubahnya kecepatan tersebut atau dapat dikatakan turunan
kecepatan sebagai fungsi waktu.
Berikut definisi turunan vektor:
Definisi Turunan Vektor
adalah sebuah fungsi vektor yang bergantung pada sebuah variabel ,
didefinisikan turunan dari sebagai berikut:
... 3.1
jika limitnya ada.
Jika fungsi vektor dengan fungsi skalar-
fungsi skalar , , dan dapat diferensialkan terhadap variabel ,
maka mempunyai turunan variabel terhadap yang dirumuskan sebagai
berikut:
... 3.2
Selanjutnya, Anda pelajari sifat-sifatnya. Berikut sifat-sifat turunan fungsi
vektor.
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
51
Bukti:
Untuk membuktikan sifat-sifat dari turunan biasa, kita dapat menggunakan
definisi turunan biasa dari fungsi vektor 3.1.
i.
ii.
iv.
Sifat-sifat turunan biasa fungsi vektor:
Jika , , dan adalah fungsi-fungsi vektor dari sebuah skalar t yang
diferensiabel dan sebuah fungsi skalar dari t yang diferensiabel, maka
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
52
Pembuktian iii, v, dan vi dijadikan latihan untuk Anda.
Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini
Contoh 1
Jika , tentukan
Penyelesaian
Contoh 2
Buktikan sifat
Penyelesaian
CONTOH SOAL
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
53
Contoh 3
Jika . Tentukan
di t = 0
Penyelesaian
Cara 1
pada saat t = 0, maka
Cara 2 (menggunakan sifat turunan)
pada saat t = 0, maka
Contoh 4
Jika tentukan vektor singgung satuan
pada titik .
Penyelesaian
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
54
Vektor singgung satuan (T)
Saat , maka
Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong
Latihan 1
Jika , carilah
pada saat t = 0
Penyelesaian
(a)
saat t = 0, maka
(b)
saat t = 0, maka
(c)
LATIHAN TERBIMBING
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
55
(d)
Latihan 2
Carilah kecepatan dan percepatan sebuah partikel yang bergerak sepanjang
kurva pada sebarang saat . Carilah
besarnya kecepatan dan percepatan
Penyelesaian
Vektor posisi dari pergerakan partikel
Kecepatan diperoleh dari turunan pertama
Misalkan
Percepatan diperoleh dari turunan pertama
Misalkan
Jadi, besarnya kecepatan adalah dan percepatan .
Latihan 3
Jika dan , carilah
Penyelesaian
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
56
Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia
Latihan 1
Jika dan .
Tentukan
pada saat .
Penyelesaian
Latihan 2
Carilah
Penyelesaian
LATIHAN MANDIRI
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
57
Latihan 3
Carilah vektor singgung satuan di sebarang titik pada kurva
dimana adalah konstanta-
konstanta.
Penyelesaian
Latihan 4
Jika
, carilah A bila saat diketahui bahwa
dan
saat
Penyelesaian
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
58
Kunci Jawaban
Latihan 1 : -30i + 14j + 20k
Latihan 2 :
Latihan 3 :
Latihan 4 :
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan
dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
59
Turunan parsial
Turunan parsial untuk fungsi vektor dua variabel atau lebih, prinsipnya sama
dengan definisi turunan fungsi vektor satu variabel, dimana semua variabel
dianggap konstan, kecuali satu, yaitu variabel terhadap apa fungsi vektor itu
diturunkan.
Misalkan adalah sebuah fungsi vektor yang tergantung kepada variabel
skalar , , dan , maka kita tuliskan . Ketiga turunan parsialnya
didefinisikan sebagai berikut:
... 3.3
adalah masing-masing turunan parsial dari terhadap , , dan jika
limitnya ada.
Jika fungsi vektor dengan
fungsi skalar-fungsi skalar , , dan mempunyai
turunan parsial terhadap variabel , , dan , maka juga
mempunyai turunan variabel terhadap , , dan yang dirumuskan sebagai
berikut:
... 3.4
Selanjutnya pelajari sifat-sifatnya. Berikut sifat-sifat turunan parsial:
Materi pokok pertemuan ke 6 : 2. Turunan parsial fungsi vektor
URAIAN MATERI
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
60
Bukti:
i. Berdasarkan definisi 3.3, maka
Sehingga
ii. Untuk membuktikannya, kita dapat menggunakan definisi 3.3. Maka
Sifat-sifat turunan parsial:
Misalkan dan adalah fungsi-fungsi vektor dan adalah fungsi skalar ,
, dan dan dapat dideferensialkan terhadap ketiga variabel tersebut,
maka berlaku
i.
ii.
iii.
iv.
v.
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
61
Sehingga
atau
Pembuktian iii, iv, dan v dijadikan tugas buat Anda.
Aturan Rantai
Misalkan adalah fungsi vektor yang dapat dideferensialkan
terhadap variabel , , dan , dimana , , dan
adalah fungsi-fungsi skalar yang dapat dideferensialkan
terhadap variabel , , dan , maka bentuk fungsi tersusun dapat dituliskan
dengan
Turunan parsial terhadap variabel , , dan dapat diberikan sebagai
berikut:
... 3.5
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
62
Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini
Contoh 1
Jika , tentukanlah (a)
, (b)
, (c)
Penyelesaian
(a)
(b)
(c)
Contoh 2
Misalkan . Tentukan(a)
,(b)
,(c)
Penyelesaian
(a)
(b)
(c)
CONTOH SOAL
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
63
Contoh 3
Jika , dengan dan , tentukan
dan
nyatakan dalaam bentuk s dan t.
Penyelesaian
Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong
Latihan 1
Jika . Tentukan
Penyelesaian
Latihan 2
Jika , , tentukan
Penyelesaian
LATIHAN TERBIMBING
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
64
Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia
Latihan 1
Jika , carilah
Penyelesaian
Latihan 2
Jika dan , carilah
di titik (1,0,-2)
Penyelesaian
LATIHAN MANDIRI
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
65
Latihan 3
Misalkan , dimana .
Tentukan (a)
, (b)
, (c)
Penyelesaian
Latihan 4
Jika , tentukanlah (a)
, (b)
, (c)
Penyelesaian
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
66
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
67
Kunci Jawaban
Latihan 1 :
,
,
,
,
Latihan 2 :
Latihan 3 : (a)
(b)
(c)
Latihan 4 : (a)
(b)
(c)
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan
dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
68
Vektor Singgung Satuan
Misalkan
adalah vektor posisi yang
menghubungkan titik pangkal
dengan sebarang titik dalam
ruang R3.
Jika berubah, maka
adalah sebuah vektor yang searah dengan .
Sedangkan
adalah sebuah vektor yang searah dengan arah garis singgung pada kurva
ruang di .
Jika adalah vektor singgung satuannya, maka
Materi pokok pertemuan ke 7 : 3. Rumus Frenet-Serret
URAIAN MATERI
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
69
Rumus Frenet-Serret
Jika kurva C dalam ruang adalah sebuah kurva ruang yang didefinisikan
oleh kurva , maka kita telah mengetahui bahwa
adalah sebuah vektor
yang searah dengan garis singgung pada C. Jika skalar u diambil sebagai
panjang busur s yang diukur dari suatu titik pada C, maka
... 3.6
adalah sebuah vektor singgung satuan pada C.
Laju perubahan terhadap s adalah ukuran dari kelengkungan C dan
dinyatakan dengan
Arah dari
pada sebarang titik pada C adalah normal terhadap kurva pada
titik tersebut. Jika adalah sebuah vektor satuan dalam arah normal ini,
maka disebut normal utama pada kurva.
Jadi
dimana disebut kelengkungan dari C pada titik yang dispesifikasikan.
Besaran
... 3.7
disebut jari-jari kelengkungan.
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
70
Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang dan sedemikian rupa
sehingga
... 3.8
disebut binormal terhadap kurva. Dari sini diperoleh bahwa , , dan
membentuk sebuah sistem koordinat tegak lurus tangan kanan pada
sebarang titik dari C.
Himpunan relasi-relasi yang mengandung turunan-turunan dari vektor-
vektor , , dan dikenal sebagai rumus Frenet-Serret yang diberikan oleh
... 3.9
dimana adalah sebuah skalar yang disebut torsi.
Besaran
... 3.10
disebut jari-jari torsi.
Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini
Contoh 1
Carilah (a) vektor singgung satuan T, (b) normal utama N, kelengkungan
dan jari-jari kelengkungan , (c) Binormal B, torsi , dan jari-jari torsi
untuk kurva ruang .
Penyelesaian
(a) Vektor kedudukan dari sebarang titik pada kurva adalah
, maka
CONTOH SOAL
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
71
Jadi
(b)
karena
, maka
dan
dari
, diperoleh
(c)
dari
, diperoleh
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
72
Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong
Latihan 1
Diketahui
. Carilah (a) vektor singgung satuan T,
(b) kelengkungan , (c) normal utama N, dan (d) Binormal B
Penyelesaian
(a) Vektor kedudukan dari sebarang titik pada kurva adalah
, maka
Jadi
(b)
karena
, maka
LATIHAN TERBIMBING
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
73
(c) dari
, diperoleh
(d)
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
74
Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia
Latihan 1
Tentukan torsi dari
Penyelesaian
LATIHAN MANDIRI
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
75
Latihan 2
Carilah (a) vektor singgung satuan T, (b) kelengkungan , (c) jari-jari
kelengkungan , (d) normal utama N, (e) Binormal B, dan (f) torsi , untuk
kurva
Penyelesaian
Buku
Kerja 3 Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
Created by: Rahima & Anny
76
Kunci Jawaban
Latihan 1 :0
Latihan 2 :
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan
dari materi ini pada tempat kosong di bawah
top related