Bab4. Integral Lipat Dua
Post on 06-Apr-2016
1025 Views
Preview:
DESCRIPTION
Transcript
Integral Lipat DuaIntegral Lipat Dua
04/26/2304/26/23 11Mat2-UnpadMat2-Unpad
Integral Lipat Dua
• Integral lipat dua pada persegi panjang• Integral lipat dua pada daerah sembarang• Perubahan urutan pengintegralan• Integral lipat dua dalam koordinat polar
04/26/23 2Mat2-Unpad
Integral Lipat Dua
1. Bentuk partisi [a,b] dan [c,d] menjadi n bagian.
2. Pilih pada setiap sub interval pada [xi, xi-1] dan [yi, yi-1] 1. Bentuk jumlah Riemann.
2. Jika n (|P| 0) diperoleh limit jumlah Riemann.
Jika limit ada, maka z = f(x,y) terintegralkan Riemann pada R, ditulis
04/26/23 3
Z=f(x,y)
x
y
z
b
a
R
c d
xkyk
)y,x( kk
1 1
( , )n n
k k ki i
f x y A
1 1
lim ( , )n n
k k kn i i
f x y A
Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada R merupakan suatu persegi panjang tertutup, yaitu : R = {(x, y) : a x b, c y d}
1 1
( , ) lim ( , )n n
k k kn i iR
f x y dA f x y A
)y,x( kk
Mat2-Unpad
Integral Lipat DuaDefinisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R.
04/26/23 4
n
kkkk
PAyxf
10
),(limJika ada, kita katakan f dapat
diintegralkan pada R. Lebih lanjut ( , ) ( , )R R
f x y dA f x y dxdy
R
dAyxf ),(
n
kkkk
PAyxf
10
),(lim
yang disebut integral lipat dua f pada R diberikan
oleh :
( , )R
f x y dx dy 0 1
lim ( , )n
k k k kP k
f x y x y
atau
Mat2-Unpad
ANIMASI
Arti Geometri Integral Lipat Dua
04/26/23 5
Jika z = f(x,y) kontinu, f(x,y) 0 pada persegpanjang R,
maka ( , )R
f x y dA menyatakan volume benda padat yang
terletak di bawah permukaan permukaan z = f(x,y) dan
di atas R.
Mat2-Unpad
Menghitung Integral Lipat DuaJika f(x,y) 0 pada R, maka volume dapat dihitung dengan metode irisan sejajar, yaitu: (i) Sejajar bidang XOZ
04/26/23 6
y
x
z z= f(x,y)
ca
b
da b
z
x
A(y)
( ) ( , )b
a
A y f x y dx
A(y)
Mat2-Unpad
04/26/23 7
( , ) ( )d
R c
f x y dA A y dy
( , )d b
c a
f x y dx dy
( , )d b
c a
f x y dx dy
Maka
( , )R
f x y dA ( , )d b
c a
f x y dx dy
Mat2-Unpad
(ii) Sejajar bidang YOZ
04/26/23 8
y
x
z z= f(x,y)
ca
b
dc d
z
y
A(x)
( ) ( , )d
c
A x f x y dy
A(x)
Mat2-Unpad
04/26/23 9
( , ) ( )b
R a
f x y dA A x dx
( , )b d
a c
f x y dy dx
( , )b d
a c
f x y dy dx
Maka
( , )R
f x y dA ( , )b d
a c
f x y dy dx
Mat2-Unpad
Contoh
04/26/23 10
1. Hitung integral lipat dua berikut ini : 2 22
R
x y dAdimana R = {(x,y) | 0 x 6, 0 y
4}Jawab: 2 22
R
x y dA 6 4
2 2
0 0
2x y dy dx 6 4
2 3
00
23
x y y dx
6
2
0
12843
x dx
63
0
4 1283 3
x x 288 256 544
R
6
4
y
x
Mat2-Unpad
Contoh
04/26/23 11
2. Hitung integral lipat dua berikut ini : sin
R
x y dAdimana R = {(x,y) | 0 x /2, 0 y
/2}
R
/2
/2
y
x
Jawab: sin
R
x y dA / 2 / 2
0 0
sin x y dy dx
/ 2 / 2
00
cos( )x y dx
6
0
cos cos2
y y dx
/ 2
/ 2
00
sin sin2
y y
sin sin sin 22 2
Mat2-Unpad
Latihan
04/26/23 12
2 21 1
0 0
. x ya xy e dy dx
2 1
2
0 1
.b xy dy dx
1 2
20 0
.1
yc dy dxx
1. Hitung
2. ,R
f x y dx dy untuk
2 2. ( ) , [0,1] [0,1]a f x x y R
2. ( ) ( 2 ) , [ 1,2] [0,2]b f x x y R
Mat2-Unpad
Sifat Integral Lipat Dua
04/26/23 13
Misalkan f(x,y) dan g(x,y) terdefinisi di persegipanjang R
1. , ,R R
k f x y dA k f x y dA 2. , , , ,
R R R
f x y g x y dA f x y dA g x y dA 3. Jika
1 2
, , ,R R R
f x y dA f x y dA f x y dA 4. Jika f(x,y) g(x,y), maka
, ,R R
f x y dA g x y dA
1 2R R R maka
Mat2-Unpad
Integral Lipat Dua atas Daerah Sembarang
04/26/23 14
D
a b x
y
Definisikan
DRyxjikaDyxjikayxf
yxg),(,0
),(),,(),(
D R
dAyxgdAyxf ),(),(Maka
Mat2-Unpad
04/26/23 15
Ada dua jenis daerah
1. Jenis 1 ( x konstan )
)()(,|),( 21 xgyxgbxayxD
2. Daerah jenis 2 ( y konstan )
dycyhxyhyxD ,)()(,|),( 21
Mat2-Unpad
Jenis 1
Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :
04/26/23 16
D
a b x
q(x)
p(x)
y
b
a
xq
xpD
dxdyyxfdAyxf)(
)(
),(),(
x
y
)()(,|),( 21 xgyxgbxayxD
Mat2-Unpad
Jenis 2
Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :
04/26/23 17
( )
( )
( , ) ( , )s yd
D c r y
f x y dA f x y dx dy
x
y
D
c
d
r (y) s (y)x
dycyhxyhyxD ,)()(,|),( 21
Mat2-Unpad
Aturan Integrasi• Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua
tergantung dari bentuk D (daerah integrasi). • Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah
urutan pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan dengan perubahan urutan pengintegralan akan memudahkan dalam proses integrasinya.
• Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat menggambarkan daerah integrasidaerah integrasi, selanjutnya kita dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada sketsa daerah integrasi yang sama.
04/26/23 18Mat2-Unpad
ANIMASI
Contoh
04/26/23 19
1. Hitung 2 x
R
y e dA ,R dibatasi x= y2, y =1, sumbu y
x R 2 x
R
y e dA 21
0 0
2y
xy e dx dy21
00
2yxy e dy
21
0
2 1yy e dy
2 12
01 1 2ye y e e
x
yx = y2
1
1
R = {(x,y)| 0 x y2, 0 y 1}
Mat2-Unpad
Contoh
04/26/23 20
Atau dibalik urutan pengintegralannya, yaitu:
R
2 x
R
y e dA 1 1
0
2 x
x
y e dy dx1
12
0
x
xe y dx
1
0
x xe xe dy
1
0
x x xe xe e
R = {(x,y)| 0 x 1, x y 1}
y x
yx = y2
1
1
2 (1 1) 2e e e Mat2-Unpad
04/26/23 21
2
2
4 2
0
2.x
ye dy dx
Daerah integrasinya Jawab:
x R
x
yy = x/2
4
2
y
Diubah urutan pengintegralannya, yaitu:x=2y
( , ) |0 4, 22xR x y x y
( , ) |0 2 ,0 2D x y x y y
Mat2-Unpad
04/26/23 22
2
2
4 2
0 x
ye dy dx2
22
0 0
yye dx dy
22
2
00
yye x dy2
2
0
2 yy e dy2 2
4
01ye e
Sehingga
Mat2-Unpad
Latihan
04/26/23 23
333
1
1.y
y
y
x e dx dy2
0 0
sin2. cos
xy x dy dx
21 1
0
3. y
x
e dy dx
34 1
0
4. x
y
e dx dy
2
0 0
cos5. sin
xy x dy dx
A
Mat2-Unpad
04/26/23 24
B
1.Hitung integral berikut
2. ( 2 ) ,S
a x y dA S daerah antara 2y x dan y x
. ,S
b xdA S daerah di kuadran I antara 3y x dan y x
2. Tulis integral lipat berikut dengan urutan berbeda
1
0 0
. ( , )x
a f x y dydx1
0
. ( , )y
y
b f x y dxdy
Mat2-Unpad
C. Dengan menggunakan integral lipat dua 1. Hitung Luas daerah yang dibatasi oleh parabola Y2 = 4 – X dan Y2 = 4 –
4X2. Hitung Luas daerah yang dibatasi oleh parabola Y = 2X – X2 dan Y =
3X2 – 6X3. Hitung Luas daerah yang dibatasi oleh X + Y = 2 , 2Y = X + 4 , Y = 04. Hitung Luas daerah yang dibatasi oleh X2 = 4Y , 8Y = X2 + 16
04/26/23 Mat2-Unpad 25
top related