BỘ MÔN DUYỆT ĐỀ CƢƠNG CHI TIẾT BÀI GIẢNG …Ánh xa f :A B gọi là toàn ánh nếu b B:f b1 , tức là b B, a A sao cho f(a) = b. Ánh xạ gọi là song ánh nếu
Post on 08-Jan-2020
4 Views
Preview:
Transcript
BỘ MÔN DUYỆT
Chủ nhiệm Bộ môn
Tô Văn Ban
ĐỀ CƢƠNG CHI TIẾT BÀI GIẢNG
(Dùng cho 45 tiết giảng)
Học phần: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Nhóm môn học: Toán Cao cấp
Bộ môn: Toán
Khoa : Công nghệ thông tin
Thay mặt nhóm môn
học
Nguyễn Thị Thanh Hà
Thông tin về giáo viên
TT Họ tên giáo viên Học hàm Học vị
1. Hy Đức Mạnh Giảng viên TS
2. Nguyễn Thị Thanh Hà Giảng viên chính ThS
3. Phạm Tiến Dũng Giảng viên chính TS
4. Đào Trọng Quyết Giảng viên TS
5. Bùi Quốc Hưng Giảng viên ThS
6. Thiều Lê Quyên Trợ giảng ThS
7. Phan Thị Hương Giảng viên ThS
Địa điểm làm việc: Bộ Môn Toán, P1408, Nhà A1 (Gần đường HQ Việt)
Điện thoại, email: 069 515 330, bomontoan_hvktqs@yahoo.com
Bài giảng 1: Tập hợp + Ánh xạ + Số phức
Chương I Mục I.1 + I.2.
Tiết thứ: 1-3 Tuần thứ: 1
- Mục đích, yêu cầu:
Nắm sơ lược về Học phần, các chính sách riêng của giáo viên, địa chỉ của
giáo viên, bầu lớp trưởng học phần.
Nắm được các khái niệm về Lo gic mệnh đề, tập hợp, các phép toán trên
tập hợp, các khái niệm ánh xạ, cấu trúc đại số…..
Vận dụng giải được các bài tập đơn giản về tập hợp, ánh xạ, cấu trúc đại
số.
- Hình thức tổ chức dạy học: Lý thuyết, thảo luận, tự học, tự nghiên cứu.
- Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 3 tiết; Tự học, tự nghiên cứu: 6 tiết
- Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công
- Nội dung chính:
Giới thiệu môn học
I.1. Logic, tập hợp, ánh xạ, số phức (2 tiết)
Logic mệnh đề
Khái niệm mệnh đề, ví dụ.
Các phép toán trên mệnh đề:
Tuyển, hội, kéo theo, phủ định, tương đương.
Các công thức
Tập hợp
Giới thiệu về khái niệm tập hợp, cách mô tả tập hợp, ví dụ minh họa, khái
niệm tập con, tập rỗng, tập hợp bằng nhau, ví dụ minh họa.
Các phép toán trên tập hợp:
Hợp hai tập hợp: A B { x: x A hoặc x B} .
Giao hai tập hợp: A B x : x A . và x B
Hiệu hai tập hợp: A \ B x A và x B
Phần bù của A trong U ký hiệu là: A = U \ A
B
A
(a) (b)
Hình 1.1. Lược đồ Venn: (a) - giao, (b )- hợp, (c) - hiệu, (d ) - phần bù
Tính chất của các phép toán:
Tính chất giao hoán: A B B A, A B B A.
Tính chất kết hợp: A (B C) (A B) C ,
A (B C) (A B) C.
Tính chất phân phối: A (B C) (A B) (A C),
A (B C) (A B) (A C).
Quy tắc De Morgan: A B A B; A B A B .
Khái niệm tích Đêcác, các ví dụ
- Định nghĩa 1: Giả sử A và B là hai tập hợp. Tích Decac của A và B ký
hiệu là AxB , là tập hợp các phần tử có dạng (a,b) trong đó a A, b B :
A B a,b : a A, b B
- Định nghĩa 2: Tích Decac n – ngôi:
1 2 n 1, 2 n 1 1 2 2 n nA A ... A a ,a ,...,a : a A ,a A , ...,a A
Ánh xạ:
Định nghĩa ánh xạ, đơn ánh, toàn ánh, song ánh, các ví dụ
- Định nghĩa 1: Cho hai tập hợp A, B. Ta nói ánh xạ f từ A vào B, viết
f : A B nếu mỗi phần tử a A được đặt tương ứng với duy nhất một phần tử
b B . Khi đó b được gọi là ảnh của a qua f, viết b = f(a). A gọi là tập xác định
của ánh xạ f.
Ký hiệu f A B là tập tất cả các b B sao cho tồn tại a A để f(a) =b. f(A)
là tập ảnh của ánh xạ f.
Với b B , tập 1f b a A : f a b gọi là tập đảo ảnh của b.
- Định nghĩa 2: Ánh xạ f :A B gọi là đơn ánh nếu:
1 2 1 2 1 2a ,a A,a a f a f a .
A
A
(d)
A B
A\B
(c)
Ánh xa f :A B gọi là toàn ánh nếu 1b B:f b , tức là
b B, a A sao cho f(a) = b.
Ánh xạ gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
- Định nghĩa 3: giả sử có hai ánh xạ f :A B và g : B C . Tích ( hay
hợp thành) của ánh xạ f với ánh xạ g là một ánh xạ g f : A C được xác định
như sau: g f a g f a , a A
- Bổ đề: Tích của các đơn ánh ( toàn ánh ) là các đơn ánh ( toàn ánh). Do
đó tích của các song ánh là song ánh
Các ví dụ
Ánh xạ ngược:
- Định nghĩa 4: Ánh xạ g : B A được gọi là ánh xạ ngược của anh xạ
f : A B và viết 1g f nếu A Bg f 1 ; f g 1 .
- Định lý tồn tại ánh xạ ngược: Để ánh xạ f :A B có ánh xạ ngược điều
kiện cần và đủ là f là song ánh.
I.2. Số phức
Sơ lƣợc về cấu trúc đại số
Định nghĩa phép toán trong trên tập A. Các tính chất của phép toán trong:
tính kết hợp, phần tử trung hòa, phần tử nghịch đảo.
Khái niệm nhóm, nhóm Abel. Các ví dụ.
Khái niệm vành, vành giao hoán. Các ví dụ.
Khái niệm trường. Các ví dụ: trường Q, R.
- Yêu cầu SV chuẩn bị:
Đọc trước GT[1]: trang 5- 15, 20 – 28, 47 – 53. TLTK [1]: trang 9-14
Bài tập về nhà chương I: GT[2], TLTK[2]
Giáo trình:
1. Toán học cao cấp (Tập 1) , Nguyễn Đình Trí, NXB Giáo dục, Hà Nội - 2007
2. Bài tập ĐSTT, Nguyễn Xuân Viên, Nguyễn Hoài Anh, Nguyễn Thị Thanh
Hà, Nxb QĐND, Hà Nội – 2010
Tài liệu tham khảo
1. Đại số tuyến tính, Nguyễn Xuân Viên, HVKTQS, Hà Nội - 1996.
2. Bài tập Toán học cao cấp tập 1, Nguyễn Đình Trí, NXB Giáo dục, Hà Nội -
2007.
Bài giảng 2: Số phức (tiếp) + Bài tập
Chương I Mục I.3
Tiết thứ: 4-6 Tuần thứ: 1
- Mục đích, yêu cầu:
Nắm được các khái niệm cơ bản về số phức: dạng đại số, dạng lượng giác
của số phức, các phép toán về số phức, lũy thừa và khai căn số phức.
Biết vận dụng giải các bài tập về số phức
Giải thành thạo các bài tập về tập hợp, ánh xạ và cấu trúc đại số.
- Hình thức tổ chức dạy học: Lý thuyết, thảo luận, thực hành chữa bài tập, tự
học, tự nghiên cứu.
- Thời gian: Lý thuyết: 1t; Bài tập : 2 tiết; Tự học tự nghiên cứu: 4 tiết
- Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công
- Nội dung chính:
I.3. Số phức (1 tiết – tiếp)
Trường số phức C:
- Định nghĩa dạng đại số của số phức.
- Các phép toán trên tập số phức: Cộng 2 số phức, nhân hai số phức
- Khái niệm mặt phẳng phức, dạng lượng giác của số phức. Nhân, chia số
phức dạng lượng giác.
- Lũy thừa bậc n, khai căn bậc n số phức:
Lũy thừa bậc n số phức (Công thức Mauvra): lũy thừa bậc n của
z r(cos isin ) là n nz r (cosn isinn )
Định lý ( căn bậc n của số phức): Căn bậc n của số phức z r(cos isin ) có
đúng n giá trị kw , k 0,1,2,...,n 1 cho bởi công thức
nk
k2 k2w r cos isin
n n
- Ý nghĩa hình học cả căn bậc n của số phức z.
- Ví dụ về lũy thừa và khai căn số phức.
Trong HGT & ĐSTT trường là một trong hai trường cố định: trường số
thực hoặc trường số phức
Bài tập (2 tiết): Mục I.1
Bài 1.6; 1.7(a, c, e); 1.9; 1.16(a, b); 1.21(a, b); 1.23(a): TLTK[2]
Bài 1.1.1(a, b, d); 1.1.11(b, d): GT[2]
Gợi ý:
1.6. Dùng biểu đồ
1.7. Dùng các phép toán suy luận logic
1.9. Hình chữ nhật có 4 đỉnh: (1,2), (1,3), (2,2), (2,3).
1.16. Dùng định nghĩa ánh xạ để chứng minh.
1.21. Dùng đinh nghĩa ánh xạ và suy luận logic để chứng minh
1.23. Dùng định nghĩa ánh xạ đơn ánh, toàn ánh, song ánh để chứng minh.
1.1.1. Chứng minh bằng phương pháp lập bảng giá trị chân lý.
1.1.11. Chứng minh theo định nghĩa.
- Yêu cầu SV chuẩn bị:
Đọc trước GT[1], trang: 54 – 65, TLTK[1]: trang 33 – 38;
Chuẩn bị trước các bài tập mục I.1 đã cho.
Bài giảng 3: Bài tập chƣơng I + Ma trận
Chương I Mục I.2, II.1
Tiết thứ: 7-9 Tuần thứ: 2
- Mục đích, yêu cầu:
Củng cố lý thuyết, giải thành thạo các bài tập về cấu trúc đại số và số
phức.
Học viên nắm được các khái niệm cơ bản về ma trận, các phép toán trên
ma trận và các tính chất tương ứng
Biết cách thực hiện các phép toán về ma trận
- Hình thức tổ chức dạy học: Lý thuyết, thảo luận, tự học, tự nghiên cứu
- Thời gian: Lý thuyết: 1t; Bài tập: 2t; Tự học tự nghiên cứu: 4t.
- Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công
- Nội dung chính:
Bài tập: Số phức. (2 tiết)
Bài 1.2.6 (a, b, c); 1.2.7(a); 1.2.14; 1.2.15; 1.2.17; 1.2.21(a, b, c): GT[2]
Bài 2.15(a, c, f, l); 2.16: TLTK[2]
Gợi ý:
1.2.6.
a. A không là nhóm vì 1 .
b. A không là nhóm vì mọi phần tử trong không có nghịch đảo.
c. * *, không phải là nhóm
1.2.7.
a. m,nM (K); là nhóm.
1.2.14.
a. 1 18i
b. 10 11i
c. 1
i2
d. 1 i
1.2.15. Dùng biểu diễn lượng giác của số phức để chứng minh.
1.2.17. Dùng định nghĩa
1.2.21.
a. n n n
2 cos isin4 4
b. n n
cos isin3 3
c. 492 (1 i 3)
2.15.
a. cos0 isin0
c. cos isin2 2
f. 3 3
2 cos isin4 4
l. 5 5
2 cos isin3 3
2.16. 1 i 3 (1 i 3)( 3 i) 1
z ( 3 i)23 i ( 3 i)( 3 i)
, đưa về dạng lượng giác, dùn
công thức Mauvra: 100 1 3z i
2 2 .
II.1. Ma trận và các phép toán trên ma trận (1 tiết)
Định nghĩa ma trận
Định nghĩa ma trận cấp (m,n) trên trường K:
11 12 1n
21 22 2nij
m1 m2 mn
a a ... a
a a ... aA , a K
.....
a a ... a
Ma trận vuông cấp n trên trường K:
11 12 1n
21 22 2nij
n1 n2 nn
a a ... a
a a ... aA , a K
.....
a a ... a
- m,nM (K) - Tập tất cả các ma trận cấp (m,n) trên trường K.
- nM (K) - Tập tất cả các ma trận vuông cấp n trên trường K.
Ma trận đường chéo cấp n là ma trận vuông cấp n có các phần tử nằm ngoài
đường chéo chính bằng 0:
1
n
d
d
Ma trận tam giác trên là ma trận vuông ma tất cả các phần tử phía dưới đường
chéo chính đều bằng 0:
11 12 1n
22 2n
nn
a a ... a
0 a ... aA
... ... ... ...
0 0 ... a
Ma trận tam giác trên là ma trận vuông ma tất cả các phần tử phía dưới đường
chéo chính đều bằng 0:
11
21 22
n1 n2 nn
a 0 ... 0
a a ... 0A
... ... ... ...
a a ... a
Ma trận chéo cấp n mà mọi phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 1 gọi
là ma trận đơn vị cấp n. Ký hiệu là
1
E
1
Ma trận chuyển vị
Ma trận đối xứng
Các phép toán trên ma trận
Phép cộng ma trận: Cho ma trận
ij m nA a ,
ij m n
B b . Khi đó ma
trận ij mxnC c gọi là tổng của hai ma trận A và B và viết C = A + B, nếu
ij ij ijc a b .
Tính chất.
Phép nhân ma trận với một số K : Giả sử K ,
ij m nA a . Ta định
nghĩa
ij m nA a
Tính chất.
Nhân hai ma trận: Tích của ma trận
ij m pA a với ma trận
ij p n
B b là
ma trận
ij m nC AB c trong đó
p
ij ik kj
k 1
c a b
Tính chất.
- Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc trước TL[1], trang 92 – 99, chuẩn bị các bài tập
còn lại của chương I.
Bài giảng 4: Định thức
Chương II Mục II.2
Tiết thứ: 13-15 Tuần thứ: 3
- Mục đích, yêu cầu:
Học viên nắm được khái niệm về định thức cấp n
Nắm được các tính chất của định thức
Nắm được và biết các cách tính định thức, định thức của tích hai ma trận.
- Hình thức tổ chức dạy học: Lý thuyết, thảo luận, tự học, tự nghiên cứu
- Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 3t; Tự học, tự nghiên cứu: 3t.
- Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công
- Nội dung chính:
II.2. Định thức (3 tiết)
Định nghĩa định thức của ma trận vuông cấp n:
11 12 1n
21 22 2nij
n1 n2 nn
a a ... a
a a ... aA , a K
.....
a a ... a
Xét phần tử ija , bỏ đi hàng i, cột j, ta được ma trận con cấp n – 1. Ký hiệu ma
trận đó là ijM , và gọi nó là ma trận con ứng với phần tử ija .
Định thức của ma trận A là một số ký hiệu là |A| hoặc detA xác định bởi:
ni j
ij ij
j 1
A ( 1) a M ; 1 i n
Đặc biệt với n = 1, chẳng hạn A=[a] thì |A| = a
Ví dụ: Tính các định thức sau bằng định nghĩa
1) Tính định thức cấp hai bằng cách khai triển theo hàng 1:
1 1 1 2a b
( 1) a.d (1) b.c ad bcc d
2)Tính định thức sau bằng cách khai triển theo hàng 2:
2 1 2 2 2 3
1 2 32 2 1 3 1 2
0 2 5 ( 1) 0. ( 1) 2. ( 1) 5 122 1 1 1 1 2
1 2 1
Quy tắc tính nhanh định thức cấp ba.
Các tính chất của định thức
tdetA detA
Đổi chỗ hai hàng (hai cột) của định thức thì định thức đổi dấu
Định thức có hai hàng (hai cột) bằng nhau thì bằng 0
Định thức có hai hàng ( hai cột) giống nhau thì bằng 0
Nhân một hàng (một cột) của định thức với số k, thì định thức được nhân
với k
Nếu một hàng (một cột) của định thức có nhân tử chung, ta có thể đưa
nhân tử chung đó ra ngoài dấu định thức.
Định thức có hai hàng (hai cột) tỉ lệ thì bằng 0
…..
Cách tính định thức:
Cách tính định thức theo định nghĩa:
Ví dụ : Tính
1 1
1 4 5 1 4 55 9
D 2 3 1 0 5 9 1.( 1) 8431 39
8 1 1 0 31 39
Cách tính định thức bằng biến đổi sơ cấp
Ví dụ : Tính định thức :
1 1 0 1 1
1 2 0 1 1
..... 31 1 1 1 1
2 1 0 1 1
1 2 1 2 1
Ví dụ khác…..
- Yêu cầu SV chuẩn bị:
Đọc trước GT[1]: trang 100 – 108; TLTK[1]: trang 49 – 68; nghiên cứu trước
các ví dụ mẫu
Bài giảng 5: Hạng của ma trận + Bài tập: Ma trận
Chương II Mục II.3
Tiết thứ: 13-15 Tuần thứ: 3
- Mục đích, yêu cầu:
Học viên khái niệm hạng của ma trận, cách tìm hạng của ma trận bằng
biến đổi sơ cấp,
Nắm được khái niệm ma trận nghịch đảo, điều kiện tồn tại ma trận
nghịch đảo và cách tìm ma trận nghịch đảo.
Từ đó học viên biết vận dụng giải thành thạo các bài tập liên quan.
- Hình thức tổ chức dạy học: Lý thuyết, thảo luận, tự học, tự nghiên cứu
- Thời gian: Lý thuyết: 2t; Bài tập: 1t; Tự học, tự nghiên cứu: 5t.
- Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công
- Nội dung chính:
II.3. Hạng của ma trận (2 tiết)
Khái niệm hạng của ma trận:
Định nghĩa hạng ma trận: rankA,
Tính chất.
Thuật toán tìm hạng của ma trận bằng biến đổi sơ cấp:
Vì hạng của ma trận không thay đổi qua các biến đổi sơ cấp nên dễ dàng chứng
minh được tính đúng đắn của thuật toán tìm hạng ma trận bằng biến đổi sơ cấp
sau:
Bằng các biến đổi sơ cấp hàng và cột của ma trận có thể đưa ma trận về
dạng có một số phần tử khác 0 ở khác hàng, khác cột. Số các phần tử khác
không này là hạng của ma trận. Trong khi thực hiện biến đổi sơ cấp: Nếu trên 1
hàng nào đó chỉ có 1 phần tử khác 0, thì tự động khoanh 0 cho các phần tử khác
trên cột của phần tử khác 0 này. Tương tự cho cột nếu trên 1 cột nào đó, chỉ có
một phần tử khác 0 tự động khoanh 0 cho các phần tử khác trên hàng của phần
tử khác 0 này.
Trường hợp ma trận A phụ thuộc tham số, ta thực hiện phương pháp
Gauss đến khi gặp trường hợp mà trên 1 hàng hoặc 1 cột nào đó có thừa số
chung phụ thuộc tham số thì dừng lại biện luận hai trường hợp sau:
- Thừa số chung này bằng 0, khi đó tham số có giá trị cụ thể, bài toán được
giải quyết.
- Thừa số chung này khác 0, tiến hành giản ước nó đi và tiếp tục phương pháp
Gauss.
Qui ước: Lấy hàng i của ma trận nhân với a rồi cộng vào hàng j ta viết là:
ahi + hj, tương tự aci + cj là lấy cột i nhân với a rồi cộng vào cột j, ʘ là ký hiệu
phần tử đã được tự động khoanh 0.
Ví dụ : Tìm hạng của ma trận
1 0 0 1 1 0 0 1 0 0
0 1 1 2 0 1 1 2 0 1A
1 1 1 1 0 1 1 2 0 0 1
4 2 3 1 0 1 2 3 0 0 0 0
.
Vậy rankA = 3
Ma trận nghịch đảo. Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo
Định nghĩa ma trận nghịch đảo:
Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo:
Định lý: Ma trận ij n n nA (a ) M K khả nghịch khi và chỉ khi detA 0
Chứng minh :
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận:
1 2 0
A 0 3 1
0 1 2
Ta có A 5 0 tồn tại 1A . Ta có
11 21 311 *
12 22 32
13 23 33
A A A 4 4 21 1 1
A A A A A 0 2 1A 5 5
A A A 0 1 3
Cách tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp
Bổ đề 1: Nếu ma trận (cấp n) A là ma trận khả nghịch thì chỉ bằng các
phép biến đổi sơ cấp hàng ( hoặc cột) của A có thể đưa A về ma trận đơn vị.
Bổ đề 2: Mỗi phép biến đổi sơ cấp hàng của ma trận A là tương đương
nhân về bên trái A với một trong các ma trận không suy biến sau:
Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp:
- Dùng các biến đổi sơ cấp hàng đưa: 1A E E A
Ví dụ: Tìm A-1
với
1 1 1 3
0 1 0 0A
2 2 4 5
1 1 2 3
Biến đổi sơ cấp ma trận hàng:
1 1 1 3 1 0 0 0 1 1 1 3 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
2 2 4 5 0 0 1 0 0 0 2 1 2 0 1 0
1 1 2 3 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1
1 1 1 0 2 1 3 7
0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 1 0 0 1
0 0 0 1 0 0 1 2
1
2 1 3 7
0 1 0 0A
1 0 0 1
0 0 1 2
Bài tập: Ma trận ( 1 tiết)
Bài 2.1.18(a, b); 2.1.20(a, b): GT[2]
Gợi ý: Sử dụng các phép toán trên ma trận để tính toán
2.1.18. a. 1 m n
0 0
; b.
1 0
0 1
1 0
2.1.20. a.
9 0 0
0 9 0
0 0 9
; b.
0 0 2 9
0 0 0 6
0 0 0 0
0 0 0 0
Bài 3.14(d,e); 3.18: TLTK[2]
Gợi ý:
3.14. Dùng quy nạp
a. 1 n
0 1
; b. cosn sin n
sin n cosn
3.18. 2 0 0f (A) A 5A 3E f (A)
0 0
- Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc trước TL[1], trang: 109 – 114, 122 – 124, 127 –
129. TLTK[1]: trang 72 – 77, đọc và nghiên cứu trước các ví dụ mẫu.
Chuẩn bị bài tập phần ma trận đã cho.
Bài giảng 6: Bài tập: Định thức
Chương II Mục II.2
Tiết thứ: 15-18 Tuần thứ: 4
- Mục đích, yêu cầu:
Củng cố các kiến thức về định thức,
Học viên vận dụng tốt lý thuyết để giải các bài tập về định thức,
- Hình thức tổ chức dạy học: Thực hành chữa bài tập
- Thời gian: Bài tập : 3t; Tự học, tự nghiên cứu: 3t.
- Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công
- Nội dung chính:
Bài tập về tính định thức (3 tiết)
Bài 3.3(a, b); 3.4; 3.8; 3.11(c, d, e, f, h): TLTK [2]
Gợi ý:
3.3. Dùng định nghĩa định thức: a. 1; b. 2
3.4: Dùng tính chất đổi hàng của định thức
3.8: Dùng tính chất tách định thức thành tổng các định thức
3.11: Dùng các tính chất đưa định thức về dạng tam giác trên, kết hợp với khai
triển định thức theo hàng (cột).
c. 48; d. 1; e. 160; f. 12; h. 3 32(x y )
Bài 2.2.3 (a); 2.2.4; 2.2.9; 2.2.14 (a,c,f); 2.2.15(a,c): GT[2]
Gợi ý:
2.2.4: Khai triển theo hàng 1, sau đó tiếp tục khai triển theo hàng cuối cùng của
các định thức nhận được ta có:
22
2 3 2 32
22
1 2 0 0 0
1 z z0 0 1 z z
det A ... 2 z 1 z 2(z 1) 21 2 z 1 z
z z 10 0 z z 1
3 4 0 0 0
2003 6009(det A) 2
2.2.9: Dùng tính chất của định thức: Lấy cột 1 nhân 104, cột 2 nhân 10
3, cột 3
nhân 102, cột 4 nhân với 10, rồi cộng tất cả vào cột cuối cùng, ta được cột cuối
cùng gồm các phần tử chia hết cho 17.
2.2.14: Dùng biến đổi sơ cấp đưa định thức về dạng tam giác trên
a. (-153);
c. (28/81):
f. (1) Biến đổi sơ cấp: theo thứ tự
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6( 0,1)h h ,( 0,1)h h , ( 0,1)h h , ( 0,1)h h , ( 0,1)h h ,
2.2.15:
a. (n 1( 1) .n! ) Lấy hàng thứ n nhân với (-1) rồi cộng vào tất cả các hàng
trên, được định thức ma trận tam giác dưới.
c. n 1a (n 1)b (a b) . Cộng tất cả các hàng lên hàng 1, đưa thừa số
chung a (n 1)b ra ngoài định thức, sau đó lấy hàng 1 nhân với –b rồi cộng
vào các hàng khác, suy ra định thức tam giác trên.
- Yêu cầu SV chuẩn bị:
Chuẩn bị trước bài tập phần định thức đã cho trước.
Bài giảng 7: Hệ phƣơng trình tuyến tính
Chương II Mục II.4
Tiết thứ: 19-21 Tuần thứ: 4
- Mục đích, yêu cầu:
Nắm được khái niệm về hệ phương trình tuyến tính: Hệ Gauss, hệ thuần
nhất, hệ tổng quát.
Nắm được phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính.
- Hình thức tổ chức dạy học: Lý thuyết, thảo luận, tự học, tự nghiên cứu.
- Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 3t; Tự học, tự nghiên cứu: 6t.
- Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công.
- Nội dung chính:
II.4. Hệ phƣơng trình tuyến tính (3 tiết)
Hệ Gauss và công thức Crame
Hệ n phương trình tuyến tính n ẩn: k kA x b (1)
Hệ (1) có detA 0 là hệ Gauss;
Công thức nghiệm của hệ Gauss là: 1k kx A b
Công thức nghiệm Crame là: jx
j
det Ax ; j 1,2,...,n
det A
Ví dụ : Giải hệ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x 1
2x x 2x 3
x x 3x 3
Ta có det A 2 0
1
2
3
x1
x2
x3
det Ax 1
det A
det Ax 1
det A
det Ax 1
det A
Hệ phương trình tuyến tính tổng quát.
Hệ m phương trình tuyến tính n ẩn kA x b
Có
111 12 1n
21 22 2n 2
m1 m2 mn m
ba a ... a
a a ... a bB A b
... ... ... ... ...
a a ... a b
là ma trận mở rộng của hệ.
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Hệ thuần nhất kA x 0
Định lý: Hệ n phương trình tuyến tinh thuần nhất n ẩn Ax =0 có nghiệm không
tầm thương khi và chỉ khi detA = 0.
Hệ nghiệm cơ bản, cách tìm hệ nghiệm cơ bản.
Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát
Phương pháp Gauss là phương pháp thực hành giải hệ m phương trình tuyến
tính tổng quát n ẩn; trong đó m, n là hai số nguyên dương tùy ý. Thực chất của
phương pháp Gauss là phương pháp loại trừ ẩn số bằng biến đổi tương đương hệ
phương trình. Ba phép biến đổi tương đương hệ phương trình đó là:
i) Đổi chỗ hai phương trình
ii) Nhân hai vế của một phương trình với số K, 0 .
iii) Lấy hai vế của phương trình nhân với số K rồi cộng tương ứng vào
phương trình khác.
Rõ ràng các phép biến đổi tương đương trên chỉ tác động đến các hệ số của các
phương trình mà không tác động đến các ẩn số, vì thế khi thực hiện phương
pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính người ta không viết các ẩn số mà chỉ
viết ma trận hệ số của các phương trình. Ma trận đầu tiên của phương pháp
Gauss giải hệ m phương trình n ẩn tổng quát: k kA x b có dạng:
11 12 1n 1
21 22 2n 2
m1 m2 mn m
a a ... a b
a a ... a bA b
... ... ... ... ...
a a ... a b
Nếu hệ không thuần nhất thì các ma trận của phương pháp Gauss có gạch sọc
ngăn cách với cột hệ số tự do. Hàng thứ i của ma trận là hàng hệ số của phương
trình thứ i được viết theo thứ tự các ẩn số 1 2 nx ,x ,...,x . Nếu không có gạch sọc
ngăn cách người ta hiểu là hệ thuần nhất. Ba phép biến đổi tương đương hệ
phương trình nói trên tương ứng với ba biến đổi sơ cấp của ma trận A b .
Giả sử 11a 0 , khi đó ta thực hiện
Bước 1: Lấy hàng thứ nhất nhân với 21
11
a
a rồi cộng vào hàng thứ hai, ta ký hiệu
211 2
11
ah h
a , và tiếp tục 31
1 311
ah h
a ,…, m1
1 m11
ah h
a , kết quả sau bước 1 ta
nhận được ma trận của phương pháp Gauss là :
11 12 1n 1
22 2n 2
m2 mn m
a a ... a b
0 a ... a b
... ... ... ... ...
0 a ... a b
Phương trình có chứa 11a 0 mà ta dùng để loại trừ ẩn 1x ra khỏi các phương
trình còn lại được gọi là phương trình gốc. Như vậy sau bước 1 ta đã loại được
một ẩn 1x ra khỏi các phương trình thứ 2, 3, …, m. Các phương trình gốc được
đưa lên theo thứ tự các bước 1, 2,…Sau không quá n – 1 bước ta sẽ nhận được
hàng cuối cùng khác không có dạng sau:
11 12 1r 1n 1
22 2r 2n 2
rr rn r
r 1
a a ... a ... a b
0 a ... a ... a b
... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... a ... a b
0 0 ... 0 ... 0 b
... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... 0 ... 0 0
Trường hợp 1: r 1b 0 hệ phương trình vô nghiệm
Trường hợp 2: r 1b 0 , hệ có nghiệm. Số ẩn tự do n – r bằng số n trừ đi số
phương trình r khi kết thúc phương pháp Gauss. Cho các ẩn tự do các giá trị tùy
ý trong K ta sẽ nhận được tất cả các nghiệm của hệ phương trình. Nghiệm của
hệ phương trình phụ thuộc các ẩn tự do gọi là nghiệm tổng quát. Để tìm nghiệm
của hệ ta giải ngược từ dưới lên theo các phương trình gốc. Khi hệ thuần nhất có
nghiệm khác 0 thì hệ có hệ nghiệm cơ bản. Hệ có n – r nghiệm có thể tìm được
bằng cách cho n – r bộ giá trị các ẩn tự do sao cho ma trận thành lập từ các hàng
giá trị này là ma trận khả nghịch. Đơn giản nhất là cho ma trận n – r bộ giá trị
các ẩn tự do là ma trận đơn vị n rE M K .
Khi giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính theo tham số, ta áp dụng
phương pháp Gauss như trên cho đến khi gặp trường hợp trên một hàng nào đó
của ma trận có thừa số chung phụ thuộc tham số thì dừng lại biện luận như trong
thuật toán tìm hạng của ma trận đã mô tả cặn kẽ ở mục II.3.
Ví dụ: Giải hệ
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 2 5
2 2 3 5 2
7 9 4 3
3 2 7 7
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
Hệ có nghiệm duy nhất (1,1,1,1)
Ví dụ: Giải và biện luận hệ:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x x 1
x x x 1
x x x 1
- 1 , hệ có nghiệm tổng quát: 1 2 3 2 3x 1 x x ; x , x tùy ý
- 2 , hệ vô nghiệm
- 1, 2 , hệ có nghiệm duy nhất: 1 2 3
1x x x
2
- Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc trước GT[1], trang: 115 – 122, 125 – 126, 130 –
133. Đọc và nghiên cứu trước các ví dụ mẫu.
Bài giảng 8: Bài tập: Hạng của ma trận + Hệ PTTT
Chương II Mục II.3, II.4
Tiết thứ: 22-24 Tuần thứ: 4
- Mục đích, yêu cầu:
Củng cố các kiến thức về hạng của ma trận, ma trận nghịch đảo, hệ
phương trình đại số tuyến tính,
Từ đó học viên dụng tốt lý thuyết để giải các bài tập về tìm hạng của ma
trận, ma trận nghịch đảo và giải hệ phương trình tuyến tính bằng biến đổi sơ cấp.
- Hình thức tổ chức dạy học: Lý thuyết, thảo luận , thực hành chữa bài tập
- Thời gian: Lý thuyết: 2t; Bài tập : 1t; Tự học, tự nghiên cứu: 35t.
- Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công
- Nội dung chính:
Bài tập hạng của ma trận (1 tiết)
Bài 3.43 (a, b) : TLTK[2]
Bài 2.1.45 (a, b); 2.1.46(a, b, c): GT[2]
Gợi ý: Áp dụng thuật toán tìm hạng của ma trận
3.43. a. rankA = 2; b. rankA = 3.
2.1.45. a. rankA = 3; b. rankA = 3
2.1.46. a. rankA = 1 nếu m = 0; rankA = 2 nếu m = -3; rankA 3 néu m 0,-3
b. rankA = 1 nếu m = 1; rankA = 3 nếu m = -3; rankA 4 néu m 1,-3
Bài tập ma trận nghịch đảo (1 tiết)
Bài 2.1.47 (a, b, h ,l); 2.1.53(a, f, g): GT[2]
Gợi ý: Áp dụng thuật toán tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp:
2.1.47.
a. 1 2
1 1
b.
0 1 1
1 1 0
1 0 0
h.
1 0 2 3
0 1 1 1
0 0 1 3
0 0 0 1
l.
2 1 7 3
0 1 0 0
1 0 1 0
0 0 2 1
2.1.53.
a. 1 1
0 0
f.
1 1
0 3
1 1
g. 1 2 1 0
5 6 9 8
Bài tập hệ phƣơng trình tuyến tính (1 tiết)
Bài 2.3.5 (a, b); 2.3.6(a, b, d); 2.3.7(a): GT[2]
Gợi ý: Sử dụng công thức nghiệm Crame, phương phápgiải hệ phương trình
bằng biến đổi sơ cấp
2.3.5.
a. (1, -1, 1);
b. (1, 2, 3)
2.3.6.
a. Nghiệm tổng quát: 1 2 1 23 4 1 2
x 9x 2 5x x 10x , x , x ,x tùy ý;
11 11
(0,1, 1,1)
b. Nghiệm TQ: 4 4 41 2 3 4
1 13x 8x 6 15 6xx , x , x ,x tùy ý
7 7 7
(2,2,3, 1) .
a. Hệ vô nghiệm
2.3.7. a. 1 , hệ có nghiệm 1 2 3
1 2x 0, x , x
3 3
3 , hệ có nghiệm 1 2 3
1 1x x , x
8 2
1, 3 , hệ vô nghiệm
- Yêu cầu SV chuẩn bị:
Chuẩn bị các bài tập mục II.3, II.4 đã cho trước
Bài giảng 9: Trị riêng, vec tơ riêng của ma trận + Bài tập mục II.4
Chương II Mục II.5
Tiết thứ: 25-27 Tuần thứ: 5
- Mục đích, yêu cầu:
Nắm được các khái niệm về phương trình đặc trưng của ma trận, trị riêng
vec tơ riêng của ma trận.
Nắm được cách tìm trị riêng, vec tơ riêng của ma trận, khái niệm chéo hóa
ma trận
Từ đó giúp học viên vận dụng tốt lý thuyết để giải các bài tập tìm trị
riêng, véc tơ riêng và chéo hóa ma trận.
Củng cố và giải thành thạo các bài tập về giải hệ PTTT
- Hình thức tổ chức dạy học: Lý thuyết, thảo luận , thực hành chữa bài tập
- Thời gian: Lý thuyết: 2t; Bài tập : 1t; Tự học, tự nghiên cứu: 5t.
- Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công
- Nội dung chính:
II.5. Trị riêng, vec tơ riêng của ma trận (2 tiết)
Trị riêng, véc tơ riêng của ma trận
Khái niệm trị riêng, véc tơ riêng của ma trận:
Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Số gọi là trị riêng của ma trận A nếu:
nAx x, x có nghiệm 1 2 nx (x ,x ,...,x ) (0,0,...,0) , véc tơ x này
được gọi là véc tơ riêng của A ứng với trị riêng
Phương trình đặc trưng:
Đa thức đặc trưng của ma trận A: A E
Phương trình đặc trưng của A là: A E 0
Tìm vec tơ riêng của ma trận.
Ví dụ: Tìm trị riêng, vec tơ riêng của ma trận
1 1 0
A 0 2 0
0 1 1
Phương trình đặc trưng: 21,2 3( 1) (2 ) 0 1, 2
Với 1,2 1 , véc tơ riêng 1 2 3(x ,x ,x ) thỏa mãn hệ phương trình thuần nhất:
1 k(A E)[x ] 0 là: 1 2e ( ,0,0), e (0,0, )
Tương tự, với Với 3 2 , véc tơ riêng tương ứng là ( , , )
Chéo hóa ma trận.
Ma trận chéo hóa được
Định nghĩa: Cho ma trận Avuông cấp n gọi là chéo hóa được nếu tồn tại một ma
trận khả nghịch P sao cho 1P AP là ma trận chéo, ta gọi P la ma trận làm chéo
hóa A.
Chéo hóa ma trận
Định lý: Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Điều kiện cần và đủ để A chéo hóa
được là A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính.
Thuật toán chéo hóa ma trận
- Tìm n vecto riêng độc lập tuyến tính của A: 1 2 np ,p ,...,p .
- Lập ma trận P có 1 2 np ,p ,...,p là các cột.
- Ma trận 1P AP là ma trận chéo với 1 2 n, ,..., là các phần tử chéo liên
tiếp, trong đó i là trị riêng tương ứng của ip , i 1,2,...,n.
Ví dụ: Tìm ma trận P làm chéo hóa ma trận
3 2 0
A 2 3 0
0 0 5
Bài tập mục II.4: Hệ PTTT (1 tiết – tiếp)
Bài 2.3.7 (b); 2.3.9(a, d); 2.3.10(a) : GT[2]
Bài 3.42 (a, b) : TLTK[2]
Gợi ý:Sử dụng phương pháp biến đổi sơ cấp hệ phương trình tuyến tính
2.3.7.
b. 1 , nghiệm tổng quát: 1 2 3 4
2 3 4
x 1 x x x
x ,x , x tùy ý
3 , hệ vô nghiệm
3, 1 , hệ có nghiệm duy nhất: 1 2 3 4
1x x x x
3
2.3.9.
a. 1 , nghiệm tổng quát:
2 1
3 1
1
x x
x x
x tùy ý
, hệ nghiệm cơ bản: (1,1,-1)
1 , hệ có nghiệm duy nhất: 1 2 3 4x x x x 0
d. 3 , nghiệm tổng quát:
1 2
3 2
4 2
2
x x
x x
x x
x tùy ý
, hệ nghiệm cơ bản: (1,1,1,-1)
3 , hệ có nghiệm duy nhất: 1 2 3 4x x x x 0
2.3.10. Ma trận 3X M ( ) có vec tơ cột thứ j là 1 2 3(x ,x ,x ) thỏa mãn hệ
phương trình tuyến tính k jA x b (j 1,2,3) , với bj là cột thứ j của B> bằng
phương pháp biến đổi sơ cấp giải ba hệ phương trình ta có:
2 a b 1 c 1
X 1 a 1 b 2 c ; a,b,c tùy ý
a b c
3.42.
a. Hệ thuần nhất có số ẩn (4) nhiều hơn số phương trình (3), nên có vô số
nghiệm, và do đó có nghiệm không tầm thường.
b. Hệ thuần nhất vuông có định thức của ma trận hệ khác 0, nên hệ chỉ có
nghiệm tầm thường.
- Yêu cầu SV chuẩn bị: Đọc trước GT[1], trang: 319 – 324, đọc và nghiên cứu
trước các ví dụ mẫu.
Chuẩn bị tiếp các bài tập mục II.4.
Bài giảng 10: Bài tập mục II.4 + II.5
Chương II Mục II.4, II.5
Tiết thứ: 28-30 Tuần thứ: 5
- Mục đích, yêu cầu:
Củng cố các kiến thức về giải hệ PTTT, các kiến thức về trị riêng, vec tơ
riêng của ma trận.
Từ đó giúp học viên vận dụng tốt lý thuyết để giải các bài tập về hệ
phương trình tuyến tính, về trị riêng véc tơ riêng và chéo hóa ma trận.
- Hình thức tổ chức dạy học: Thực hành chữa bài tập
- Thời gian: Bài tập : 3t; Tự học, tự nghiên cứu: 3t.
- Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công
- Nội dung chính:
Bài tập hệ phương trình tuyến tính (1 tiết – tiếp)
Bài 2.3.17(a, b); 2.3.18(a, b); 2.3.19(b): GT[2]
Gợi ý:
2.3.17.
a. a b
X , a,b tùy ý0 a
. Đặt 1 2
3 4
x xX
x x
là ma trận cần tìm. Phương
trình AB = BA cho ta hệ: 1 4
2 43
x x; x b, x a tùy ý
x 0
b. a 3b 2b
X , a,b tùy ýb a
2.3.18.
a. a a
X ; a tùy ýa a
b. b a
X ; a,b tùy ýa b
2.3.19. 1 2 3
1 4
x x 2x 0
x x 0
Gọi 1 1 2 2 3 3 4 4k x k x k x k x 0 là một phương trình thuần nhất cần tìm.
Vì nó nhận các ai làm nghiệm nên khi thay tọa độ các ai vào phương trình ta
được hệ 4 phương trình tuyến tính thuần nhất 4 ẩn 1 2 3 4k ,k ,k ,k . Giải hệ suy ra
các ki. Từ đó suy ra hệ cần tìm.
Bài tập trị riêng, véc tơ riêng của ma trận (2 tiết)
Bài 7.1(1, 7, 11); 7.5(2, 3, 4); 7.6(2, 3, 5): TLTK[2]
Gợi ý:
7.1.
1. 1 3 x (1,2)
2 1 y (0,1)
7. 1,2,3 1 x (0,1, 1)
11. 1 3 x (1,2,2)
2,3 1 y (1,2,1)
7.5.
2. 1 1 , vec to riêng x (1,3)
2 1 , vec tơ riêng y (0,1)
Ma trận làm chéo hóa A là: 1 0
P3 1
1 1 0P AP
0 1
3. 1 0 , vec to riêng x (0,1, 1)
2 1 , vec to riêng y (1,0,0)
3 2 , vec tơ riêng z (0,1,1)
Ma trận làm chéo hóa A là:
0 1 0
P 1 0 1
1 0 1
1
0 0 0
P AP 0 1 0
0 0 2
4. 1 2 , vec to riêng x (1,1,0)
2,3 3 , vec to riêng y (0,1,0), z ( 2,0,1)
7.6.
2. Các trị riêng 1 1 , vec tơ riêng 1v (1,1,1)
2 2 , vec tơ riêng 2v (2,3,3)
3 3 , vec tơ riêng 2v (1,3,4)
Ma trận A có đủ 3 vec tơ riêng độc lập tuyến tính, nên A chéo hóa được.
3. A không chéo hóa được
4. Các trị riêng 1,2 0 , vec tơ riêng 1 2v ( 1,0,3), v (0,1,0)
2 1 , vec tơ riêng 3v (0,0,1)
Ma trận A có đủ 3 vec tơ riêng độc lập tuyến tính, nên A chéo hóa được.
- Yêu cầu SV chuẩn bị:
Chuẩn bị tiếp các bài tập mục II.4, bài tập mục II.5 đã cho.
Bài giảng 11: Không gian véc tơ và không gian con véc tơ (1 tiết)
+ Kiểm tra chƣơng II
Chương III Mục III.1.
Tiết thứ: 31-33 Tuần thứ: 6
- Mục đích, yêu cầu:
Giúp học viên nắm một cách khái quát và đầy đủ các khái niệm về không
gian véc tơ, không gian véc tơ con, không gian sinh bởi hệ véc tơ.
Từ đó học viên biết vận dụng giải các bài tập về không gian véc tơ, không
gian con véc tơ.
Đánh giá kết quả học tập giữa kỳ của học viên
- Hình thức tổ chức dạy học: Lý thuyết, thảo luận, kiểm tra đánh giá.
- Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 1t; Kiểm tra đánh giá: 2t; Tự học, tự nghiên
cứu: 4t.
- Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công
- Nội dung chính:
III.1. Không gian véc tơ, không gian con véc tơ (1 tiết)
Không gian vec tơ, không gian con véc tơ
Không gian véc tơ
- Định nghĩa không gian vec tơ (V,K) trên trường K.
- Tính chất
Ví dụ về các không gian véc tơ thường gặp:
- Kn – Không gian tọa độ n chiều: n
1 2 n iK x (x ,x ,...,x );x K,i 1,n
- Mm,n(K) – Không gian các ma trận cấp (m,n) trên trường K.
- [x] - Không gian các đa thức với hệ số thực;
Không gian véc tơ con
- Định nghĩa không gian véc tơ con.
- Điều kiện nhận biết không gian véc tơ con.
- Các ví dụ về không gian véc tơ con quan trọng.
- n[x] - Không gian các đa thức hệ số thực có bậc n ,…
Không gian con sinh bởi hệ véc tơ: 1 2 mL(a ,a ,...,a ) trong không gian véc
tơ V,K .
Kiểm tra đánh giá giữa kỳ chƣơng II (2 tiết)
- Yêu cầu SV chuẩn bị:
Đọc trước GT[1], trang: 194 – 208, đọc và nghiên cứu trước các ví dụ, bài tập
mẫu. Tự ôn tập theo hướng dẫn của giáo viên để kiểm tra chuong II.
Bài giảng 12: Không gian véc tơ và không gian con véc tơ (2 tiết – Tiếp) +
Không gian Euclid
Chương III Mục III.1, III.2
Tiết thứ: 34-36 Tuần thứ: 6
- Mục đích, yêu cầu:
Hoc viên nắm một cách đầy đủ các khái niệm về hệ độc lập, phụ thuộc
tuyến tính.
Nắm được khái niệm cơ sở và chiều của không gian véc tơ, tọa độ của véc
tơ đối với cơ sở,
Nắm được khái niệm tích vô hướng, không gian Euclid, cơ sở trực
chuẩn…
Từ đó biết vận dụng lý thuyết giải bài tập.
- Hình thức tổ chức dạy học: Lý thuyết, thảo luận, tự học, tự nghiên cứu.
- Thời gian: Lý thuyết, thảo luận: 3t; Tự học, tự nghiên cứu: 6t.
- Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công
- Nội dung chính:
III.1. Không gian véc tơ, không gian con véc tơ (2 tiết – tiếp)
Cơ sở và chiều của không gian véc tơ
Hệ phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính, các ví dụ
Khái niệm cơ sở của không gian véc tơ; Tọa độ của véc tơ đối với cơ sở
Định lý cơ bản về cơ sở: Mọi cơ sở trong không gian hữu hạn chiều có
cùng số vec tơ. Số các vec tơ đó gọi là chiều của không gian. Chiều của không
gian vec tơ V ký hiệu là dimV.
N0 – Không gian nghiệm của hệ PTTT thuần nhất kA x 0 , m,nA M (K) .
Cơ sở và chiều của không gian nghiệm của hệ PTTT thuần nhất
Cơ sở và chiều của không gian sinh bởi hệ véc tơ 1 2 mL(a ,a ,...,a ) : là hệ
con độc lập tuyến tính lớn nhất trong đó.
Tọa độ của véc tơ khi đổi cơ sở
Ma trận chuyển cơ sở
Giả sử (V,K) là KGVT hữu hạn chiều, 1 2 ne ,e ,...,e là cơ sở cố định V. Giả sử
1 2 nf ,f ,...,f là cơ sở khác của V. Khi đó tồn tại ijc K để:
n
j kj k
k 1
f c e ; j 1,2,...,n.
Hay
1 11 1 21 2 n1 n
2 12 1 22 2 n2 n
n 1n 1 2n 2 nn n
f c e c e ... c e
f c e c e ... c e
..... ..... .....
f c e c e ... c e
Ma trận
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
c c ... c
c c ... cC
... ... ... ...
c c ... c
gọi là ma trận chuyển cơ sở từ 1 2 ne ,e ,...,e sang cơ sở 1 2 nf ,f ,...,f . Ở đây cột
thứ j của C là tọa độ của fj theo cơ sở 1 2 ne ,e ,...,e . Ma trận chuyển cơ sở là
ma trận không suy biến.
Khi đó:
11 12 1n
21 22 2n1 2 n 1 2 n 1 2 n
n1 n2 nn
c c ... c
c c ... cf ,f ,...,f e ,e ,...,e e ,e ,...,e C
... ... ... ...
c c ... c
Với t
k k 1 nf f f ,...,f là ma trận hàng hình thức mà các phần tử của nó là
các véc tơ cơ sở.
Bây giờ giả sử 1 2 nx ,x ,...,x , 1 2 ny ,y ,..., y là tọa độ của x trong cơ sở
1 2 ne ,e ,...,e , 1 2 nf ,f ,...,f tương ứng. Khi đó:
1 1
2 2
n n
x y
x yC
x y
Đây là biểu thức tọa độ của cùng một vec tơ trong 2 cơ sở khác nhau của không
gian vec tơ.
Hạng của hệ véc tơ
Khái niệm hạng của hệ véc tơ: Hạng của hệ vec tơ 1 2 ma ,a ,...,a được ký
hiệu là 1 2 mrank a ,a ,...,a bằng số chiều của không gian con vec tơ
1 2 mL a ,a ,...,a . Nghĩa là:
1 2 m 1 2 mrank a ,a ,...,a dimL a ,a ,...,a
Định lý về hạng của ma trận
Giả sử ij ijmxnA a ; a K là ma trận cấp (m,n).
Ký hiệu ni i1 i2 inh a ,a ,...,a K , i 1,2,...,m là m véc tơ hàng của ma trận A.
Còn mj 1j 2 j mjc a ,a ,...,a K , i 1,2,...,n là n véc tơ cột của ma trận A.
Định lý: Hạng của ma trận A bằng hạng của hệ các véc tơ hàng và cũng bằng
hạng của hệ các véc tơ cột. Như vậy:
1 2 m 1 2 nrankA rank{h ,h ,...,h } rank{c ,c ,...,c }
Hạng của hệ vec tơ:
Hạng của hệ véc tơ 1 2 ma ,a ,...,a bằng sô vec tơ con độc lập tuyến tính lớn nhất
tùy ý trong 1 2 ma ,a ,...,a . Có thể lấy một hệ con độc lạp tuyến tính lớn nhất tùy
ý trong 1 2 ma ,a ,...,a làm cơ sở của không gian 1 2 mL a ,a ,...,a sinh bởi hệ véc
tơ 1 2 ma ,a ,...,a .
Bài toán tìm cơ sở và chiều của không gian 1 2 mL a ,a ,...,a được đưa về bài
toán tìm hạng của ma trận A thành lập từ các hàng (hoặc các cột) tọa độ của các
vectơ ak. Khi thực hiện phương pháp Gauss tìm hạng của ma trận A có liên quan
đến tìm cơ sở và chiều của không gian vectơ, ta không được đổi chỗ các hàng
(cột). Số phần tử khác không trong ma trận cuối cùng của phương pháp Gauss
nằm ở khác hàng, khác cột mà trên các hàng có số thứ tự 1 2, ,..., ki i i thì các vectơ
1 2, ,...,
ki i ia a a có thể lấy làm cơ sở của 1 2 mL a ,a ,...,a . Chú ý ở đây ta tìm cơ sở
trong số các vectơ đã cho 1 2 ma ,a ,...,a .
Ví dụ: Cho 1 2 3 4a (2, 1,1,1), a ( 1,2,1,1), a (1,1,2,2), a (2,2,4,4)
là các vectơ trong 4 . Ta hãy tìm cơ sở của 1 2 3 4L L a ,a ,a ,a .
Trước hết ta thành lập ma trận A từ các hàng tọa độ của các véc tơ theo thứ tự
1 2 3 4a ,a ,a ,a là:
2 1 1 1
1 2 1 1A
1 1 2 2
2 2 4 4
Áp dụng thuật toán tìm hạng của ma trận, ta có ma trận sau:
2 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 2 1 1 3 3 0 0 0 3 0 0A
1 1 2 2 3 3 0 0 0 0 0 0
2 2 4 4 6 6 0 0 0 0 0 0
Cho ta cơ sở của 1 2 3 4L L a ,a ,a ,a là 1 2a (2, 1,1,1), a ( 1,2,1,1) .
III.2. Không gian Euclid (1 tiết)
Tích vô hướng và không gian Euclid
Tích vô hướng:
Định nghĩa: E là không gian vec tơ trên trường số thực . Ánh xạ f : E E
gọi là tích vô hướng trên E nếu: a,b E, !f a,b , ký hiệu f(a,b) =(a,b) thỏa
mãn các điều kiện sau:
i) a,b b,a
ii) a,b a,b
iii) a,b c a,b a,c
iv) a,a 0, a,a 0 a 0
Không gian Euclid: Không gian véc tơ thực n chiều có trang bị tích vô
hướng gọi là không gian Euclid.
Ví dụ: Trong không gian tọa độ n chiều ℝn, với :
1 2 n 1 2 nx x ,x ,...,x , y y ,y ,..., y , ta có tích vô hướng:
n
1 1 2 2 n n i i
i 1
x, y x y x y ... x y x y
Khoảng cách, độ dài, góc.
Độ dài của véc tơ:
Định nghĩa: E là không gian vec tơ có tích vô hướng và u E , thì số
u u,u gọi là độ dài của vec tơ u.
Tính chất của độ dài
Khái niệm khoảng cách
Góc giữa hai véc tơ
Góc của hai vec tơ x, y trong không gian Euclid E là góc : 0 mà
x, ycos
|| x || . || y ||
Khi 2
thì cos 0 (x, y) 0
2
, và ngược lại.
Trong không gian Euclid E. Hai véc tơ a, b gọi là trực giao ( vuông góc) với
nhau nếu tích vô hướng của chúng bằng 0.
Cơ sở trực chuẩn
Hệ trực giao: Hệ các véc tơ 1 2 na ,a ,...,a khác 0 trong không gian Euclid E
được gọi là hệ trực giao nếu các véc tơ của chúng trực giao với nhau từng đôi
một.
Hệ trực chuẩn: Hệ 1 2 ma ,a ,...,a được gọi là hệ trực chuẩn các véc tơ nếu
nó là hệ trực giao và tất cả các véc tơ của hệ đều có độ dài bằng 1.
- Yêu cầu SV chuẩn bị:
Đọc trước GT[1], trang: 222 – 235, đọc và nghiên cứu trước các ví dụ , bài tập
mẫu.
Bài giảng 13: Bài tập: III.1
Chương III Mục III.1
Tiết thứ: 37-39 Tuần thứ: 7
- Mục đích, yêu cầu:
Củng cố các kiến thức về không gian vec tơ và không gian con véc tơ,
Giúp học viên giải quyết thành thạo các bài tập về không gian véc tơ,
không gian con véc tơ, tọa độ của véc tơ đối với cơ sở và các bài tập về hạng của
hệ véc tơ
- Hình thức tổ chức dạy học: Thực hành chữa bài tập.
- Thời gian: Bài tập: 3t; Tự học, tự nghiên cứu: 3t.
- Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công
- Nội dung chính:
Bài tập mục III.1. Không gian véc tơ và không gian véc tơ con
Các bài tập về nhận biết không gian véc tơ, kiểm tra không gian véc tơ con
Các bài tập về cơ sở và chiều của không gian véc tơ, tọa độ của véc tơ đối
với cơ sở
Các bài tập về hạng của hệ véc tơ
Bài 5.2(a, b, c); 5.3(a, b) : TLTK[2]
Bài 3.1.10 (a, b); 3.1.11(a, c); 3.1.12(a, b); 3.1.30(a, b); 3.1.31(a); 3.1.32(a);
3.1.33(a); 3.1.37(a); 3.1.41 : GT[2]
Gợi ý:
5.2. a. Có; b. Không; c. Có
5.3. a. Không; b. Có
3.1.10. a. Độc lập tuyến tính; b. Phụ thuộc tuyến tính
3.1.11. Xét mỗi ma trận như là một véc tơ trong k
a. Phụ thuộc tuyến tính
c. Độc lập tuyến tính
3.1.12. Xét mỗi đa thức trong n[x] : n n 1
n n 1 1 0f (x) a x a x ... a x a như
là một véc tơ n n 1 1 0(a ,a ,...,a ,a ) trong n 1.
a. Độc lập tuyến tính
b. Độc lập tuyến tính
3.1.30.
a. 1 2 4a ,a ,a , dimL 3
3 1 2 5 1 2 4a a a ( 1,1,0); a a a a (1, 1,1)
b. 1 2 3a ,a ,a , dimL 3
3.1.31. Xem mỗi ma trận như một véc tơ trong không gian p, p m.n .
a. 1 2 3A ,A ,A , dimL 3
3.1.32. Xem mỗi đa thức trong n[x] như một véc tơ trong không gian n 1
chiều với tọa độ theo thứ tự là các hệ số n n 1 1 0(a ,a ,...,a ,a ) .
a. 1 2f (x),f (x) , dimL 2
3.1.33. Đưa về bài toán tìm hạng của ma trận theo tham số.
a. Với 1 , cơ sở của L là 1 2a ,a
Với 1 , cơ sở của L là 1 2 3 4a ,a ,a ,a
3.1.37. Trước tiên tìm nghiệm tổng quát của hệ, từ đó suy ra hệ nghiệm cơ bản
a. Cơ sở của không gian nghiệm:
(1,2,1,0,0), ( 1,1,0,1,0), (1, 1,0,0,1) , Không gian nghiệm có số chiều là 3.
- Yêu cầu SV chuẩn bị:
Chuẩn bị trước các bài tập mục III.1 đã cho.
Bài giảng 14: Đƣờng bậc hai và mặt bậc hai + Bài tập II.2
Chương III Mục III.2
Tiết thứ: 40-42 Tuần thứ: 7
- Mục đích, yêu cầu:
Nắm được các dạng chính tắc của đường bậc hai trong mặt phẳng,
Nắm được các dạng chính tắc của mặt bậc hai trong không gian.
Biết cách nhận dạng các đường bậc hai, mặt bậc hai quen biết, làm cơ sở
cho các môn học liên quan.
- Hình thức tổ chức dạy học: Lý thuyết, thực hành chữa bài tập, tự học, tự
nghiên cứu.
- Thời gian: Lý thuyết: 2t; Bài tập, thảo luận: 1t; Tự học, tự nghiên cứu: 5t.
- Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công
- Nội dung chính:
III.3. Đƣờng bậc hai và mặt bậc hai (2 tiết)
Các dạng chính tắc của đường bậc hai
Đường bâc hai tổng quát trong mặt phẳng hệ trục tọa đô Decartes cho bởi
phương trình:
2 2 2 2 2Ax 2Bxy Cy 2Dx 2Ey F 0 (A B C 0) (1)
Dùng các phép biến đổi tuyến tính (nhóm các bình phương) ta đưa (1) về
một trong các đường Conic ( đường tròn, elip, parabol, hypebol), elip ảo, cặp
đường thẳng cắt nhau hoặc đường cong suy biến thành một điểm.
Các dạng chính tắc của mặt bậc hai
Mặt bậc hai tổng quát trong không gian hệ trục tọa độ Decartes cho bởi
phương trình:
2 2 2Ax By 2Cz 2xDy 2Exz 2Fyz 2Gx 2Hy 2Kz L 0 (2)
Bằng các phép biến đổi hệ trục tọa độ có thể đưa (2) về một trong các dạng
chính tắc sau:
Mặt cầu: 2 2 2 2x a y b z c R
Mặt elipxoit: 2 2 2
2 2 2
x y z1 a,b,c 0
a b c
Elipxoit ảo: 2 2 2
2 2 2
x y z1 a,b,c 0
a b c
Mặt hypeboloit một tầng: 2 2 2
2 2 2
x y z1 (a,b,c 0)
a b c
Mặt hypeboloit hai tầng: 2 2 2
2 2 2
x y z1 (a,b,c 0)
a b c
Mặt paraboloit eliptic: 2 2x y
2z (p,q 0)p q
Mặt paraboloit hypebolic: 2 2x y
2z (p,q 0)p q
Mặt trụ bậc hai:
Trụ elip: 2 2
2 2
x y1
a b
Trụ hypebol: 2 2
2 2
x y1
a b
Trụ parabol: 2y 2px
Mặt nón bậc hai: 2 2 2
2 2 2
x y z(a,b,c 0)
a b c
Bài tập mục III.2.
Bài 5.31; 5.32; 5.34; 5.37; 5.38; 5.40: TLTK[2]
Gợi ý:
5.31.
a. -5; b. 0
5.32. 20
5.34.
a. Không
b. Không
c. Có
d. Không
5.37
a. k = -3; b. k = -2, k = -3
5.40. 1
( 34,44, 6,11)3249
- Yêu cầu SV chuẩn bị:
Đọc trước GT[1], trang: 168 – 188, đọc và nghiên cứu trước các ví dụ, bài tập
mẫu.
Chuẩn bị trước các bài tập mục III.2. đã cho.
Bài giảng 15: Bài tập mục II.2 + Ôn tập, kiểm tra chƣơng III
Chương III Mục III.3
Tiết thứ: 43-45 Tuần thứ: 8
- Mục đích, yêu cầu:
Củng cố các kiến thức về đường cong bậc hai và mặt cong bậc hai,
Từ đó giúp học viên vận dụng thành thạo giải các bài tập liên quan.
Kiểm tra đánh giá chương III.
Dặn dò ôn tập trước khi thi kết thúc học phần..
- Hình thức tổ chức dạy học: Thực hành chữa bài tập, kiểm tra đánh giá
- Thời gian: Bài tập, thảo luận: 2t; Kiểm tra đánh giá: 1t; Tự học, tự nghiên
cứu: 3t.
- Địa điểm: Giảng đường do P2 phân công
- Nội dung chính:
Bài tập phần đƣờng bậc hai và mặt bậc hai (2 tiết)
Bài 4.5 (a, c, d, e, g, i); 4.6(a, b); 4.7; 4.8; 4.10; 4.11.
Gợi ý
4.5.
a. Mặt phẳng song song với mặt phẳng tọa độ xOz, cách nó khoảng d = 2,
về phía y < 0.
c. Mặt cầu tâm (2,-3,5), bán kính R = 7
d. Gốc tọa độ.
e. Phương trình không có ý nghĩa hình học.
g. mặt phẳng đi qua trục Oz và đường thẳng x = y trong mặt phẳng xOy.
i. Ba mặt phẳng tọa độ.
4.6.
a. Tâm (3,-4,-1), bán kính R = 4.
b. Mặt cầu ảo.
4.7. Tâm (1,6,0), bán kính R = 5.
4.8.
a. Bán trục 3, 3,
Các đỉnh: (2,3,0),(2, 3,0),(2,0, 3),(2,0, 3)
4.10.
a. 2y 24z 0, x 0;
b. 2x 30z, y 0;
c. x y x y
0, 0, z 02 25 5
4.11.
a. x 0,(0,0,0)
b. 2y 0, z x;
c. 2z 0, y x;
Kiểm tra chƣơng III (1 tiết)
Tổng kết
- Yêu cầu SV chuẩn bị:
Chuẩn bị bài tập mục III.3. Ôn tập kiến thức chương III.
Ôn tập toàn bộ kiến thức môn học để thi kết thúc học phần
Nắm chắc thời gian, địa điểm phòng thi kết thúc môn học.
top related