Transcript
7/21/2019 ATURAN TRAPESIUM
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-56d9f4b9f3fd2 1/18
METODE NUMERIK
INTEGRAL NUMERIK
7/21/2019 ATURAN TRAPESIUM
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-56d9f4b9f3fd2 2/18
Definisi
mengintegrasikan = memadukan bersama = menjumlahkan total
Mengapa ada integrasi numerikKarena integrasi numerik digunakan untuk men!elesaikanintegral !ang sulit diselesaikan se"ara analitik
x
f(x)f(x)
ba
∫ b
a
dx x f )(
7/21/2019 ATURAN TRAPESIUM
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-56d9f4b9f3fd2 3/18
Definisi
#ontoh $
⇒ sulit diselesaikan se"ara analitis %denganteori kalkulus !ang ada&
( )∫ −
−2
0
122
1dx
x
e x x
7/21/2019 ATURAN TRAPESIUM
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-56d9f4b9f3fd2 4/18
Cara Penyelesaian
Melalui pendekatan kur'a
( )%(&
* + + + + +
*,-. + + + + +
*,. + + + + +
*,/. + + + + +
+ + + + +
+ + + + +
- + + + + +
0emakin ke"il selang, hasil semakin teliti karena
semakin besar selang, kesalahan semakin besar
7/21/2019 ATURAN TRAPESIUM
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-56d9f4b9f3fd2 5/18
Cara Penyelesaian
Alternati) peme"ahan %jika tidak dengan
pen!elesaian analitis& Memplot gra)ik tersebut pada kertas berpetak
segi empat %dijumlah luas setiap kotak&
Membuat segmen1segmen 'ertikal %mirip diagram
batang&, menjumlah %luas setiap segmen 'ertikal&+
Integrasi numerik
7/21/2019 ATURAN TRAPESIUM
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-56d9f4b9f3fd2 6/18
Integrasi Newton Cotes
2erhitungan integrasi numerik !ang paling
umum adalah )ormula Ne3ton #otes+
0trategi dari )ormula ini adalah mengganti!ang rumit atau data !ang hilang dengan
beberapa )ungsi aproksimasi !ang mudah
diintegrasikan+
7/21/2019 ATURAN TRAPESIUM
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-56d9f4b9f3fd2 7/18
Integrasi Newton Cotes
4ika diketahui suatu )%(& pada inter'al 5a,b6,
nilai integral
bisa didekati dengan Ne3ton #otes orde n+
7entuk umum Ne3ton #otes orde n →
∫ =b
a
dx x f s )(
n
n
n
n
x a x a x a x aanf ++++= −
−
1
1
2
210)(
7/21/2019 ATURAN TRAPESIUM
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-56d9f4b9f3fd2 8/18
Integrasi Newton Cotes
ba
ba
x aanf 10)( +=
( ) 3322103 x a x a x aa x f +++=
( ) 22102 x a x aa x f ++=
7/21/2019 ATURAN TRAPESIUM
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-56d9f4b9f3fd2 9/18
Integrasi Newton Cotes
0emakin tinggi orde Ne3ton !ang digunakansebagai pendekatan perhitungan, akansemakin ke"il kesalahan !ang dihasilkan+
2endekatan Ne3ton #otes orde ke1n→ perlu %n89& titik+
:alam )ormula Ne3ton #otes
Metode tertutup → batas a3al dan batas akhirdiketahui Metode terbuka → batas integrasi diperluas di
luar rentangan %ekstapoksi&
7/21/2019 ATURAN TRAPESIUM
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-56d9f4b9f3fd2 10/18
Metode Traesi!"
Metode ini adalah bagian dari metode
integrasi Ne3ton tertutup dengan
menggunakan aproksimasi polinomial orde 9,
sehingga dengan aturan trapesium+
( )∫ =b
a
dx x f I 1 ⇒ Ne3ton #otes orde 9
( ) ( ) ( )
2
bf af abI +
−=⇒ Rumus ini berpadanan dengan
rumus geometri dari trapesium,
dengan lebar sebesar %b;a& dan
tinggi rata1rata ( ) ( )
2
bf af +
7/21/2019 ATURAN TRAPESIUM
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-56d9f4b9f3fd2 11/18
Metode Traesi!"
7esarn!a kesalahan untuk aturan trapesium
tunggal adalah $
adalah nilai rata1rata dari turunan ke1-
!ang dirumuskan sebagai
( )3121 abf a −′′−=ε
f ′′
( )
ab
x f
f
b
a
−=′′
∫ "
7/21/2019 ATURAN TRAPESIUM
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-56d9f4b9f3fd2 12/18
Metode Traesi!" (Ex#)
:iketahui suatu )ungsi <itung nilai analitis dari
<itung nilai integral di atas dengan aturan
trapesium tunggal pada batas ( = * sampai
dengan ( = -
<itung nilai εt dan εa
( ) ( ) x e x x f 1+=
( )∫ 2
0
dx x f
7/21/2019 ATURAN TRAPESIUM
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-56d9f4b9f3fd2 13/18
Metode Traesi!" (Ex#)
u = ( 8 9 d' = e(+d(
du = d( ' =
( ) ∫ ∫ −=+ duv v udx e x x ..1
2
0
x x edx e =
∫ ( ) ( )
( )
( )[ ] ( )[ ]0022
2
0
2
0
2
0
.10.12
]1
].11
eeee
ee x
dx ee x dx e x
x x
x x x
−+−−+=
−+=
−+=+ ∫ ∫
0ee.3 22 −−=
2
e.2= = 9,//>
0e"ara eksak
7/21/2019 ATURAN TRAPESIUM
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-56d9f4b9f3fd2 14/18
Metode Traesi!" (Ex#)
:engan aturan trapesium tunggal
( ) ( ) ( )
2
bf af abI +
−= ? b = -? a = *
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 167,232
167,22102
167,22.3.122
1.10022
0
=+−=
==+==
=+==
I
eef bf
ef af
7/21/2019 ATURAN TRAPESIUM
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-56d9f4b9f3fd2 15/18
Metode Traesi!" (Ex#)
Kesalahan
%767,56%100
778,14
167,23778,14=∗
−=
t ε
εt %tidak dalam persen&
εt = @9,//> ; -,9B/@ = >,>C
7/21/2019 ATURAN TRAPESIUM
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-56d9f4b9f3fd2 16/18
Metode Traesi!" (Ex#)
εa =
7/21/2019 ATURAN TRAPESIUM
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-56d9f4b9f3fd2 17/18
Metode Traesi!" (Ex#)
u = ( 8 d' = e(+d(
du = d( ∫ == x x
edx ev .
( ) ( ) 2
0
2
0
]..3..3 ∫ ∫ −+=+ dx ee x dx e x x x x
( )
( )[ ] ( )[ ]556,27242.5
.30.32
].3
222
0022
2
0
=−=−−=
−+−−+=
−+=
eee
eeee
ee x x x
7/21/2019 ATURAN TRAPESIUM
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-56d9f4b9f3fd2 18/18
Metode Traesi!" (Ex#)
( )
( )3.121
778,1302
556,27
abf
f
a −′′−=
=−
=′′
ε
( ) ( )
185,9
185,9
02.778,1312
1 3
=
−=
−−=
top related