Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux
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Techniques de mesure K Agbeviade 1
Cours de techniques des mesures
Aperccedilu des chaines dacquisition de donneacutees
Et
Traitement des signaux
Meacutecanique 6egraveme semestre
Techniques de mesure K Agbeviade 2
Introduction
Un des points important de la conception dun essai est lacquisition
et le traitement des donneacutees Degraves lors les points ci-dessous
simposent dans tout dispositif complexe de prise de donneacutees
Concevoir la chaicircne drsquoacquisition
Ou analyser la chaine existante agrave disposition
Traiter les signaux et les informations acquis
Techniques de mesure K Agbeviade 3
Concevoir la chaine dacquisition
1 Architecture des chaines
Dune maniegravere geacuteneacuterale une chaine dacquisitions peut avoir lesarchitectures suivantes
11 Architecture A
Petits conditionneurs deacuteporteacutes carte AD multiplexeacutee ou carte multi AD connecteacutee au bus interne du PC
u i f
u i f
u i f
Capteur 1
Capteur 2
Capteur 3
Capteur n
Conditionneur 1
Conditionneur 2
Convertisseur AD
Multiples ouMultiplexeacutes
Conditionneur n
PCBus PC
u i f
u i f
u i f u i f
Grandeurs physiques
Techniques de mesure K Agbeviade 4
Concevoir la chaine dacquisition
12 Architecture B
u i f
u i f
u i f
Capteur 1
Capteur 2
Capteur 3
Capteur n
Conditionneur 1
Conditionneur 1
Convertisseur AD
Multiples ouMultiplexeacutes
Conditionneur n
PC
USBFire wireetc
u i f
u i f
u i f
Petits conditionneurs deacuteporteacutes module AD multiplexeacutee ou module multi AD connecteacute au PC par un bus seacuteriel USB ethernet voir fire wire
Techniques de mesure K Agbeviade 5
Concevoir la chaine dacquisition
13 Architecture C
Les divers conditionnements ainsi que lAD ou les AD sont inteacutegreacutes dans la centrale de mesure La centrale de mesure communique par donneacutees numeacuteriques et protocole de haut niveau avec le PC
Capteur 1
Capteur 2
Capteur 3
Capteur n
PC
RS 232GPIBUSBFire wireEthernetetc
u i f
u i f
u i f
Centrale de mesureu i f
Techniques de mesure K Agbeviade 6
Concevoir la chaine dacquisition
14 Architecture DIl sagit de combinaisons des cas preacuteceacutedents Il faut alors reacutesoudre le problegraveme de synchronisation des donneacutees provenant des divers eacutequipements
Exemple Architecture A et C
Capteur 1
Capteur 2
Capteur 3
Capteur n
PC
RS 232GPIBUSBFire wireEthernet etc
u i f
u i f
u i f
Centrale de mesureu i f
u i f
u i f
u i f
Capteur n+1
Capteur n+2
Capteur n+3
Conditionneur n+1
Conditionneur n+2
Convertisseur ADmultiples
ou multiplexeacutes
Bus PCu i f
u i f
Techniques de mesure K Agbeviade 7
Concevoir la chaine dacquisition
Capteur de pression
Conditionneur
Capteur de position
Capteur de tempeacuterature
Conditionneur avec affichage
Appareil de mes avec sorties pour acq
Centrale de mesure
Centrale de mesure
Carte dacquisition ISAMulti IO Analog in multiplexeacute
Carte dacquisition PCIMulti IO multi AD
Module dacquisition USBMulti IO multi AD
Le PC
15 Composants
Techniques de mesure K Agbeviade 8
2 Les Signaux
Les signaux recueillis sur un dispositif expeacuterimental
Sont des fonctions reacuteelles(S(xt)) de variables reacuteelles (xt)
Afin dalleacuteger leacutecriture nous faisons lhypothegravese geacuteneacuterale que les signaux sont adeacutequat au traitement
Certaines caracteacuteristiques du signal nous permettent de le classifier den deacuteduire la nature agrave fin de traitement
Traitement du signalIntroduction
S(t)
(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 9
21 ClassificationParmi les diverses classifications existantes nous nous bornerons aux classifications temporelle et eacutenergeacutetique
Classification temporelle
Lobservation de leacutevolution du signal en fonction du temps permet de savoir si le signal est deacuteterministe ou aleacuteatoire
ndashEvolution preacutevisible en fonction du temps
Signal deacuteterministe
ndash Evolution du signal impreacutevisible en fonction du temps eacutevaluation du signal par un modegravele statistique
Signal aleacuteatoire
Traitement du signal Introduction
Techniques de mesure K Agbeviade 10
Traitement du signal Introduction
Peacuteriodiques Stationnaires
Deacuteterministes
Non Peacuteriodiques
Pseudo
aleacuteatoires
Quasi
Peacuteriodiques
TransitoiresPeacuteriodiques
composites
Ergodiques Non
Ergodiques
Non
Stationnaires
Signaux
Classification
speacuteciale
Aleacuteatoires
Sinusoiumldaux
211 Arbre de la classification temporelle
Techniques de mesure K Agbeviade 11
Traitement du signal Introduction
-Signaux peacuteriodiques de forme y(t)=y(t+kT) k entier
Sinusoidaux forme y(t)= Asin(2π(t+φ)T)
Peacuteriodiques composites
Pseudo aleacuteatoire
212 Classification signaux deacuteterministes
Techniques de mesure K Agbeviade 12
Traitement du signal Introduction
212 Classification signaux deacuteterministes
-Signaux non peacuteriodiques nobeacuteissent pas agrave loi de reacutepeacutetition de peacuteriode T
Quasi peacuteriodiqueLes peacuteriodes des principales composantes du signal semblent identiques mais ne le sont pas Leur rapportdonne un nombre irrationnel
TransitoireCe signal est le plus souvent produit lors du passage dun eacutetat agrave un autre dun systegravemeil est par nature eacutepheacutemegravere
univ-angers
Y(t)
t
Techniques de mesure K Agbeviade 13
Traitement du signal Introduction
213 Classification signaux aleacuteatoires
-Signaux stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques (moyenne eacutecart type hellip) du signal ne changent pas au cours du temps
Ergodique Si les moyennes statistiques du signal stationnaire sont eacutequivalentes aux moyennes temporelles alors le signal aleacuteatoire stationnaire est ergodique
Non ergodique
t
S(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 14
Traitement du signal Introduction
213 Classification signaux aleacuteatoires
-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps
t
S(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 15
Traitement du signal Introduction
214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie
-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee
et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave
eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires
-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie
et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie
Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents
2
( )W dtx t
22
2
10lim ( )
T
TT
TP dtx t
22
2
10 lim ( )
T
TT
Tdtx t
2
( )W dtx t
Techniques de mesure K Agbeviade 16
Traitement du signal Introduction
22 Autres classifications
Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des
bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute
numeacuteriquehellip)
Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes
Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable
Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires
Techniques de mesure K Agbeviade 17
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques
t
x(k)
kTe
Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu
par simple produit entre x(t) et PD(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e
k k
xe t x t P t x kT t kT x k t kT
t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)
Techniques de mesure K Agbeviade 18
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
Remarques sur leacutechantillonnage
La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute
Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle
Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant
Techniques de mesure K Agbeviade 19
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier
t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est
graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal
2( ) ( ) j ftx f x t e dt
La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est
graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te
2( ) ( ) ( )j ft
e e e
k k
x f t kT e dt f f kf
f-fB +fB
x(f)
f
f
PD(f)
+2fe-fe +fe
Techniques de mesure K Agbeviade 20
Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute
Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu
par produit de convolution entre x(f) et PD(f)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e
k k
x f x f P f x f f f kf f x f kf
f
-fB +fB
x(f)
PD(f)
+2fe-fe +fe
xk(f)
+2fe-fe +fe
Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude
Techniques de mesure K Agbeviade 21
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences
On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist
Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB
Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre
+fe2
xk(f)
+fe0f
Zone de recouvrement
+fe2
xk(f)
+fe0f
+fB
Techniques de mesure K Agbeviade 22
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur
Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2
lerreur relative car Ngtgt1
N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur
X1 12e
X X 2N 1 2N
Techniques de mesure K Agbeviade 23
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification
Signal temporel
Repreacutesentation Meacutethode de calcul
Signal freacutequentiel
Repreacutesentation
Continu et peacuteriodique
Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique
Continu et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et non peacuteriodique
Discret et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et peacuteriodique
Discret et peacuteriodique
Transformeacutee de Fourier discregravete
Discret et peacuteriodique
t
x(t)
f
x(f)
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
f
x(f)
f
x(f)
f
x(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 24
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode
si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies
continue et deacutefinie sur lintervalle
peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales
Valeur moyenne du signal
41 Seacuterie de Fourier
0
0
1T
fx(t)
x(t)
0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0
x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)
0 0T T
2 2
x(t)
0
0
t T
0
0 t T
1a x(t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1a x(t)cos(k t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1b x(t)sin(k t)dt
T
Techniques de mesure K Agbeviade 25
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
412 Seacuterie de Fourier autres formes
Vectorielle
modulephase
Complexe
Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls
k 0 kk 0
x(t) A cos(k t)
2 2
k k kA a b
kk
k
barctg( )
a
0( jk t )
kk
x(t) C e
0
0
t T
( jk t )
k
0 t
1C x(t)e dt
T
x(t) x( t) kkb 0
x(t) x( t) ka 0 kT0
x(t) x(t ) t2
T0
x(t) x(t ) t2
Techniques de mesure K Agbeviade 26
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier
Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique
Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors
est la transformeacutee de Fourier de x(t)
Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut
sa partie imaginaire vaut
est la transformeacutee inverse de Fourier
dt)t(x
dte)t(x)f(x )ft2j(
)f(x
dt)ft2cos()t(x)f(xRe
dt)ft2sin()t(x)f(xIm
dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1
Techniques de mesure K Agbeviade 27
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes
Domaine temporel Domaine freacutequentiel
Impulsion de Dirac(court dans le temps)
Spectre infini(large en freacutequences)
Signal infiniment large Impulsion courte
Porte Sinus cardinal
Techniques de mesure K Agbeviade 28
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
Techniques de mesure K Agbeviade 30
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 2
Introduction
Un des points important de la conception dun essai est lacquisition
et le traitement des donneacutees Degraves lors les points ci-dessous
simposent dans tout dispositif complexe de prise de donneacutees
Concevoir la chaicircne drsquoacquisition
Ou analyser la chaine existante agrave disposition
Traiter les signaux et les informations acquis
Techniques de mesure K Agbeviade 3
Concevoir la chaine dacquisition
1 Architecture des chaines
Dune maniegravere geacuteneacuterale une chaine dacquisitions peut avoir lesarchitectures suivantes
11 Architecture A
Petits conditionneurs deacuteporteacutes carte AD multiplexeacutee ou carte multi AD connecteacutee au bus interne du PC
u i f
u i f
u i f
Capteur 1
Capteur 2
Capteur 3
Capteur n
Conditionneur 1
Conditionneur 2
Convertisseur AD
Multiples ouMultiplexeacutes
Conditionneur n
PCBus PC
u i f
u i f
u i f u i f
Grandeurs physiques
Techniques de mesure K Agbeviade 4
Concevoir la chaine dacquisition
12 Architecture B
u i f
u i f
u i f
Capteur 1
Capteur 2
Capteur 3
Capteur n
Conditionneur 1
Conditionneur 1
Convertisseur AD
Multiples ouMultiplexeacutes
Conditionneur n
PC
USBFire wireetc
u i f
u i f
u i f
Petits conditionneurs deacuteporteacutes module AD multiplexeacutee ou module multi AD connecteacute au PC par un bus seacuteriel USB ethernet voir fire wire
Techniques de mesure K Agbeviade 5
Concevoir la chaine dacquisition
13 Architecture C
Les divers conditionnements ainsi que lAD ou les AD sont inteacutegreacutes dans la centrale de mesure La centrale de mesure communique par donneacutees numeacuteriques et protocole de haut niveau avec le PC
Capteur 1
Capteur 2
Capteur 3
Capteur n
PC
RS 232GPIBUSBFire wireEthernetetc
u i f
u i f
u i f
Centrale de mesureu i f
Techniques de mesure K Agbeviade 6
Concevoir la chaine dacquisition
14 Architecture DIl sagit de combinaisons des cas preacuteceacutedents Il faut alors reacutesoudre le problegraveme de synchronisation des donneacutees provenant des divers eacutequipements
Exemple Architecture A et C
Capteur 1
Capteur 2
Capteur 3
Capteur n
PC
RS 232GPIBUSBFire wireEthernet etc
u i f
u i f
u i f
Centrale de mesureu i f
u i f
u i f
u i f
Capteur n+1
Capteur n+2
Capteur n+3
Conditionneur n+1
Conditionneur n+2
Convertisseur ADmultiples
ou multiplexeacutes
Bus PCu i f
u i f
Techniques de mesure K Agbeviade 7
Concevoir la chaine dacquisition
Capteur de pression
Conditionneur
Capteur de position
Capteur de tempeacuterature
Conditionneur avec affichage
Appareil de mes avec sorties pour acq
Centrale de mesure
Centrale de mesure
Carte dacquisition ISAMulti IO Analog in multiplexeacute
Carte dacquisition PCIMulti IO multi AD
Module dacquisition USBMulti IO multi AD
Le PC
15 Composants
Techniques de mesure K Agbeviade 8
2 Les Signaux
Les signaux recueillis sur un dispositif expeacuterimental
Sont des fonctions reacuteelles(S(xt)) de variables reacuteelles (xt)
Afin dalleacuteger leacutecriture nous faisons lhypothegravese geacuteneacuterale que les signaux sont adeacutequat au traitement
Certaines caracteacuteristiques du signal nous permettent de le classifier den deacuteduire la nature agrave fin de traitement
Traitement du signalIntroduction
S(t)
(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 9
21 ClassificationParmi les diverses classifications existantes nous nous bornerons aux classifications temporelle et eacutenergeacutetique
Classification temporelle
Lobservation de leacutevolution du signal en fonction du temps permet de savoir si le signal est deacuteterministe ou aleacuteatoire
ndashEvolution preacutevisible en fonction du temps
Signal deacuteterministe
ndash Evolution du signal impreacutevisible en fonction du temps eacutevaluation du signal par un modegravele statistique
Signal aleacuteatoire
Traitement du signal Introduction
Techniques de mesure K Agbeviade 10
Traitement du signal Introduction
Peacuteriodiques Stationnaires
Deacuteterministes
Non Peacuteriodiques
Pseudo
aleacuteatoires
Quasi
Peacuteriodiques
TransitoiresPeacuteriodiques
composites
Ergodiques Non
Ergodiques
Non
Stationnaires
Signaux
Classification
speacuteciale
Aleacuteatoires
Sinusoiumldaux
211 Arbre de la classification temporelle
Techniques de mesure K Agbeviade 11
Traitement du signal Introduction
-Signaux peacuteriodiques de forme y(t)=y(t+kT) k entier
Sinusoidaux forme y(t)= Asin(2π(t+φ)T)
Peacuteriodiques composites
Pseudo aleacuteatoire
212 Classification signaux deacuteterministes
Techniques de mesure K Agbeviade 12
Traitement du signal Introduction
212 Classification signaux deacuteterministes
-Signaux non peacuteriodiques nobeacuteissent pas agrave loi de reacutepeacutetition de peacuteriode T
Quasi peacuteriodiqueLes peacuteriodes des principales composantes du signal semblent identiques mais ne le sont pas Leur rapportdonne un nombre irrationnel
TransitoireCe signal est le plus souvent produit lors du passage dun eacutetat agrave un autre dun systegravemeil est par nature eacutepheacutemegravere
univ-angers
Y(t)
t
Techniques de mesure K Agbeviade 13
Traitement du signal Introduction
213 Classification signaux aleacuteatoires
-Signaux stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques (moyenne eacutecart type hellip) du signal ne changent pas au cours du temps
Ergodique Si les moyennes statistiques du signal stationnaire sont eacutequivalentes aux moyennes temporelles alors le signal aleacuteatoire stationnaire est ergodique
Non ergodique
t
S(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 14
Traitement du signal Introduction
213 Classification signaux aleacuteatoires
-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps
t
S(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 15
Traitement du signal Introduction
214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie
-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee
et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave
eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires
-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie
et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie
Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents
2
( )W dtx t
22
2
10lim ( )
T
TT
TP dtx t
22
2
10 lim ( )
T
TT
Tdtx t
2
( )W dtx t
Techniques de mesure K Agbeviade 16
Traitement du signal Introduction
22 Autres classifications
Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des
bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute
numeacuteriquehellip)
Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes
Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable
Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires
Techniques de mesure K Agbeviade 17
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques
t
x(k)
kTe
Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu
par simple produit entre x(t) et PD(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e
k k
xe t x t P t x kT t kT x k t kT
t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)
Techniques de mesure K Agbeviade 18
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
Remarques sur leacutechantillonnage
La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute
Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle
Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant
Techniques de mesure K Agbeviade 19
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier
t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est
graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal
2( ) ( ) j ftx f x t e dt
La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est
graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te
2( ) ( ) ( )j ft
e e e
k k
x f t kT e dt f f kf
f-fB +fB
x(f)
f
f
PD(f)
+2fe-fe +fe
Techniques de mesure K Agbeviade 20
Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute
Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu
par produit de convolution entre x(f) et PD(f)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e
k k
x f x f P f x f f f kf f x f kf
f
-fB +fB
x(f)
PD(f)
+2fe-fe +fe
xk(f)
+2fe-fe +fe
Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude
Techniques de mesure K Agbeviade 21
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences
On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist
Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB
Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre
+fe2
xk(f)
+fe0f
Zone de recouvrement
+fe2
xk(f)
+fe0f
+fB
Techniques de mesure K Agbeviade 22
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur
Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2
lerreur relative car Ngtgt1
N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur
X1 12e
X X 2N 1 2N
Techniques de mesure K Agbeviade 23
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification
Signal temporel
Repreacutesentation Meacutethode de calcul
Signal freacutequentiel
Repreacutesentation
Continu et peacuteriodique
Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique
Continu et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et non peacuteriodique
Discret et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et peacuteriodique
Discret et peacuteriodique
Transformeacutee de Fourier discregravete
Discret et peacuteriodique
t
x(t)
f
x(f)
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
f
x(f)
f
x(f)
f
x(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 24
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode
si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies
continue et deacutefinie sur lintervalle
peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales
Valeur moyenne du signal
41 Seacuterie de Fourier
0
0
1T
fx(t)
x(t)
0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0
x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)
0 0T T
2 2
x(t)
0
0
t T
0
0 t T
1a x(t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1a x(t)cos(k t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1b x(t)sin(k t)dt
T
Techniques de mesure K Agbeviade 25
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
412 Seacuterie de Fourier autres formes
Vectorielle
modulephase
Complexe
Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls
k 0 kk 0
x(t) A cos(k t)
2 2
k k kA a b
kk
k
barctg( )
a
0( jk t )
kk
x(t) C e
0
0
t T
( jk t )
k
0 t
1C x(t)e dt
T
x(t) x( t) kkb 0
x(t) x( t) ka 0 kT0
x(t) x(t ) t2
T0
x(t) x(t ) t2
Techniques de mesure K Agbeviade 26
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier
Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique
Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors
est la transformeacutee de Fourier de x(t)
Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut
sa partie imaginaire vaut
est la transformeacutee inverse de Fourier
dt)t(x
dte)t(x)f(x )ft2j(
)f(x
dt)ft2cos()t(x)f(xRe
dt)ft2sin()t(x)f(xIm
dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1
Techniques de mesure K Agbeviade 27
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes
Domaine temporel Domaine freacutequentiel
Impulsion de Dirac(court dans le temps)
Spectre infini(large en freacutequences)
Signal infiniment large Impulsion courte
Porte Sinus cardinal
Techniques de mesure K Agbeviade 28
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
Techniques de mesure K Agbeviade 30
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 3
Concevoir la chaine dacquisition
1 Architecture des chaines
Dune maniegravere geacuteneacuterale une chaine dacquisitions peut avoir lesarchitectures suivantes
11 Architecture A
Petits conditionneurs deacuteporteacutes carte AD multiplexeacutee ou carte multi AD connecteacutee au bus interne du PC
u i f
u i f
u i f
Capteur 1
Capteur 2
Capteur 3
Capteur n
Conditionneur 1
Conditionneur 2
Convertisseur AD
Multiples ouMultiplexeacutes
Conditionneur n
PCBus PC
u i f
u i f
u i f u i f
Grandeurs physiques
Techniques de mesure K Agbeviade 4
Concevoir la chaine dacquisition
12 Architecture B
u i f
u i f
u i f
Capteur 1
Capteur 2
Capteur 3
Capteur n
Conditionneur 1
Conditionneur 1
Convertisseur AD
Multiples ouMultiplexeacutes
Conditionneur n
PC
USBFire wireetc
u i f
u i f
u i f
Petits conditionneurs deacuteporteacutes module AD multiplexeacutee ou module multi AD connecteacute au PC par un bus seacuteriel USB ethernet voir fire wire
Techniques de mesure K Agbeviade 5
Concevoir la chaine dacquisition
13 Architecture C
Les divers conditionnements ainsi que lAD ou les AD sont inteacutegreacutes dans la centrale de mesure La centrale de mesure communique par donneacutees numeacuteriques et protocole de haut niveau avec le PC
Capteur 1
Capteur 2
Capteur 3
Capteur n
PC
RS 232GPIBUSBFire wireEthernetetc
u i f
u i f
u i f
Centrale de mesureu i f
Techniques de mesure K Agbeviade 6
Concevoir la chaine dacquisition
14 Architecture DIl sagit de combinaisons des cas preacuteceacutedents Il faut alors reacutesoudre le problegraveme de synchronisation des donneacutees provenant des divers eacutequipements
Exemple Architecture A et C
Capteur 1
Capteur 2
Capteur 3
Capteur n
PC
RS 232GPIBUSBFire wireEthernet etc
u i f
u i f
u i f
Centrale de mesureu i f
u i f
u i f
u i f
Capteur n+1
Capteur n+2
Capteur n+3
Conditionneur n+1
Conditionneur n+2
Convertisseur ADmultiples
ou multiplexeacutes
Bus PCu i f
u i f
Techniques de mesure K Agbeviade 7
Concevoir la chaine dacquisition
Capteur de pression
Conditionneur
Capteur de position
Capteur de tempeacuterature
Conditionneur avec affichage
Appareil de mes avec sorties pour acq
Centrale de mesure
Centrale de mesure
Carte dacquisition ISAMulti IO Analog in multiplexeacute
Carte dacquisition PCIMulti IO multi AD
Module dacquisition USBMulti IO multi AD
Le PC
15 Composants
Techniques de mesure K Agbeviade 8
2 Les Signaux
Les signaux recueillis sur un dispositif expeacuterimental
Sont des fonctions reacuteelles(S(xt)) de variables reacuteelles (xt)
Afin dalleacuteger leacutecriture nous faisons lhypothegravese geacuteneacuterale que les signaux sont adeacutequat au traitement
Certaines caracteacuteristiques du signal nous permettent de le classifier den deacuteduire la nature agrave fin de traitement
Traitement du signalIntroduction
S(t)
(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 9
21 ClassificationParmi les diverses classifications existantes nous nous bornerons aux classifications temporelle et eacutenergeacutetique
Classification temporelle
Lobservation de leacutevolution du signal en fonction du temps permet de savoir si le signal est deacuteterministe ou aleacuteatoire
ndashEvolution preacutevisible en fonction du temps
Signal deacuteterministe
ndash Evolution du signal impreacutevisible en fonction du temps eacutevaluation du signal par un modegravele statistique
Signal aleacuteatoire
Traitement du signal Introduction
Techniques de mesure K Agbeviade 10
Traitement du signal Introduction
Peacuteriodiques Stationnaires
Deacuteterministes
Non Peacuteriodiques
Pseudo
aleacuteatoires
Quasi
Peacuteriodiques
TransitoiresPeacuteriodiques
composites
Ergodiques Non
Ergodiques
Non
Stationnaires
Signaux
Classification
speacuteciale
Aleacuteatoires
Sinusoiumldaux
211 Arbre de la classification temporelle
Techniques de mesure K Agbeviade 11
Traitement du signal Introduction
-Signaux peacuteriodiques de forme y(t)=y(t+kT) k entier
Sinusoidaux forme y(t)= Asin(2π(t+φ)T)
Peacuteriodiques composites
Pseudo aleacuteatoire
212 Classification signaux deacuteterministes
Techniques de mesure K Agbeviade 12
Traitement du signal Introduction
212 Classification signaux deacuteterministes
-Signaux non peacuteriodiques nobeacuteissent pas agrave loi de reacutepeacutetition de peacuteriode T
Quasi peacuteriodiqueLes peacuteriodes des principales composantes du signal semblent identiques mais ne le sont pas Leur rapportdonne un nombre irrationnel
TransitoireCe signal est le plus souvent produit lors du passage dun eacutetat agrave un autre dun systegravemeil est par nature eacutepheacutemegravere
univ-angers
Y(t)
t
Techniques de mesure K Agbeviade 13
Traitement du signal Introduction
213 Classification signaux aleacuteatoires
-Signaux stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques (moyenne eacutecart type hellip) du signal ne changent pas au cours du temps
Ergodique Si les moyennes statistiques du signal stationnaire sont eacutequivalentes aux moyennes temporelles alors le signal aleacuteatoire stationnaire est ergodique
Non ergodique
t
S(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 14
Traitement du signal Introduction
213 Classification signaux aleacuteatoires
-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps
t
S(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 15
Traitement du signal Introduction
214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie
-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee
et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave
eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires
-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie
et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie
Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents
2
( )W dtx t
22
2
10lim ( )
T
TT
TP dtx t
22
2
10 lim ( )
T
TT
Tdtx t
2
( )W dtx t
Techniques de mesure K Agbeviade 16
Traitement du signal Introduction
22 Autres classifications
Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des
bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute
numeacuteriquehellip)
Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes
Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable
Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires
Techniques de mesure K Agbeviade 17
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques
t
x(k)
kTe
Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu
par simple produit entre x(t) et PD(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e
k k
xe t x t P t x kT t kT x k t kT
t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)
Techniques de mesure K Agbeviade 18
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
Remarques sur leacutechantillonnage
La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute
Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle
Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant
Techniques de mesure K Agbeviade 19
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier
t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est
graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal
2( ) ( ) j ftx f x t e dt
La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est
graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te
2( ) ( ) ( )j ft
e e e
k k
x f t kT e dt f f kf
f-fB +fB
x(f)
f
f
PD(f)
+2fe-fe +fe
Techniques de mesure K Agbeviade 20
Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute
Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu
par produit de convolution entre x(f) et PD(f)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e
k k
x f x f P f x f f f kf f x f kf
f
-fB +fB
x(f)
PD(f)
+2fe-fe +fe
xk(f)
+2fe-fe +fe
Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude
Techniques de mesure K Agbeviade 21
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences
On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist
Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB
Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre
+fe2
xk(f)
+fe0f
Zone de recouvrement
+fe2
xk(f)
+fe0f
+fB
Techniques de mesure K Agbeviade 22
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur
Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2
lerreur relative car Ngtgt1
N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur
X1 12e
X X 2N 1 2N
Techniques de mesure K Agbeviade 23
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification
Signal temporel
Repreacutesentation Meacutethode de calcul
Signal freacutequentiel
Repreacutesentation
Continu et peacuteriodique
Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique
Continu et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et non peacuteriodique
Discret et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et peacuteriodique
Discret et peacuteriodique
Transformeacutee de Fourier discregravete
Discret et peacuteriodique
t
x(t)
f
x(f)
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
f
x(f)
f
x(f)
f
x(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 24
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode
si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies
continue et deacutefinie sur lintervalle
peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales
Valeur moyenne du signal
41 Seacuterie de Fourier
0
0
1T
fx(t)
x(t)
0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0
x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)
0 0T T
2 2
x(t)
0
0
t T
0
0 t T
1a x(t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1a x(t)cos(k t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1b x(t)sin(k t)dt
T
Techniques de mesure K Agbeviade 25
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
412 Seacuterie de Fourier autres formes
Vectorielle
modulephase
Complexe
Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls
k 0 kk 0
x(t) A cos(k t)
2 2
k k kA a b
kk
k
barctg( )
a
0( jk t )
kk
x(t) C e
0
0
t T
( jk t )
k
0 t
1C x(t)e dt
T
x(t) x( t) kkb 0
x(t) x( t) ka 0 kT0
x(t) x(t ) t2
T0
x(t) x(t ) t2
Techniques de mesure K Agbeviade 26
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier
Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique
Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors
est la transformeacutee de Fourier de x(t)
Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut
sa partie imaginaire vaut
est la transformeacutee inverse de Fourier
dt)t(x
dte)t(x)f(x )ft2j(
)f(x
dt)ft2cos()t(x)f(xRe
dt)ft2sin()t(x)f(xIm
dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1
Techniques de mesure K Agbeviade 27
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes
Domaine temporel Domaine freacutequentiel
Impulsion de Dirac(court dans le temps)
Spectre infini(large en freacutequences)
Signal infiniment large Impulsion courte
Porte Sinus cardinal
Techniques de mesure K Agbeviade 28
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
Techniques de mesure K Agbeviade 30
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 4
Concevoir la chaine dacquisition
12 Architecture B
u i f
u i f
u i f
Capteur 1
Capteur 2
Capteur 3
Capteur n
Conditionneur 1
Conditionneur 1
Convertisseur AD
Multiples ouMultiplexeacutes
Conditionneur n
PC
USBFire wireetc
u i f
u i f
u i f
Petits conditionneurs deacuteporteacutes module AD multiplexeacutee ou module multi AD connecteacute au PC par un bus seacuteriel USB ethernet voir fire wire
Techniques de mesure K Agbeviade 5
Concevoir la chaine dacquisition
13 Architecture C
Les divers conditionnements ainsi que lAD ou les AD sont inteacutegreacutes dans la centrale de mesure La centrale de mesure communique par donneacutees numeacuteriques et protocole de haut niveau avec le PC
Capteur 1
Capteur 2
Capteur 3
Capteur n
PC
RS 232GPIBUSBFire wireEthernetetc
u i f
u i f
u i f
Centrale de mesureu i f
Techniques de mesure K Agbeviade 6
Concevoir la chaine dacquisition
14 Architecture DIl sagit de combinaisons des cas preacuteceacutedents Il faut alors reacutesoudre le problegraveme de synchronisation des donneacutees provenant des divers eacutequipements
Exemple Architecture A et C
Capteur 1
Capteur 2
Capteur 3
Capteur n
PC
RS 232GPIBUSBFire wireEthernet etc
u i f
u i f
u i f
Centrale de mesureu i f
u i f
u i f
u i f
Capteur n+1
Capteur n+2
Capteur n+3
Conditionneur n+1
Conditionneur n+2
Convertisseur ADmultiples
ou multiplexeacutes
Bus PCu i f
u i f
Techniques de mesure K Agbeviade 7
Concevoir la chaine dacquisition
Capteur de pression
Conditionneur
Capteur de position
Capteur de tempeacuterature
Conditionneur avec affichage
Appareil de mes avec sorties pour acq
Centrale de mesure
Centrale de mesure
Carte dacquisition ISAMulti IO Analog in multiplexeacute
Carte dacquisition PCIMulti IO multi AD
Module dacquisition USBMulti IO multi AD
Le PC
15 Composants
Techniques de mesure K Agbeviade 8
2 Les Signaux
Les signaux recueillis sur un dispositif expeacuterimental
Sont des fonctions reacuteelles(S(xt)) de variables reacuteelles (xt)
Afin dalleacuteger leacutecriture nous faisons lhypothegravese geacuteneacuterale que les signaux sont adeacutequat au traitement
Certaines caracteacuteristiques du signal nous permettent de le classifier den deacuteduire la nature agrave fin de traitement
Traitement du signalIntroduction
S(t)
(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 9
21 ClassificationParmi les diverses classifications existantes nous nous bornerons aux classifications temporelle et eacutenergeacutetique
Classification temporelle
Lobservation de leacutevolution du signal en fonction du temps permet de savoir si le signal est deacuteterministe ou aleacuteatoire
ndashEvolution preacutevisible en fonction du temps
Signal deacuteterministe
ndash Evolution du signal impreacutevisible en fonction du temps eacutevaluation du signal par un modegravele statistique
Signal aleacuteatoire
Traitement du signal Introduction
Techniques de mesure K Agbeviade 10
Traitement du signal Introduction
Peacuteriodiques Stationnaires
Deacuteterministes
Non Peacuteriodiques
Pseudo
aleacuteatoires
Quasi
Peacuteriodiques
TransitoiresPeacuteriodiques
composites
Ergodiques Non
Ergodiques
Non
Stationnaires
Signaux
Classification
speacuteciale
Aleacuteatoires
Sinusoiumldaux
211 Arbre de la classification temporelle
Techniques de mesure K Agbeviade 11
Traitement du signal Introduction
-Signaux peacuteriodiques de forme y(t)=y(t+kT) k entier
Sinusoidaux forme y(t)= Asin(2π(t+φ)T)
Peacuteriodiques composites
Pseudo aleacuteatoire
212 Classification signaux deacuteterministes
Techniques de mesure K Agbeviade 12
Traitement du signal Introduction
212 Classification signaux deacuteterministes
-Signaux non peacuteriodiques nobeacuteissent pas agrave loi de reacutepeacutetition de peacuteriode T
Quasi peacuteriodiqueLes peacuteriodes des principales composantes du signal semblent identiques mais ne le sont pas Leur rapportdonne un nombre irrationnel
TransitoireCe signal est le plus souvent produit lors du passage dun eacutetat agrave un autre dun systegravemeil est par nature eacutepheacutemegravere
univ-angers
Y(t)
t
Techniques de mesure K Agbeviade 13
Traitement du signal Introduction
213 Classification signaux aleacuteatoires
-Signaux stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques (moyenne eacutecart type hellip) du signal ne changent pas au cours du temps
Ergodique Si les moyennes statistiques du signal stationnaire sont eacutequivalentes aux moyennes temporelles alors le signal aleacuteatoire stationnaire est ergodique
Non ergodique
t
S(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 14
Traitement du signal Introduction
213 Classification signaux aleacuteatoires
-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps
t
S(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 15
Traitement du signal Introduction
214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie
-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee
et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave
eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires
-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie
et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie
Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents
2
( )W dtx t
22
2
10lim ( )
T
TT
TP dtx t
22
2
10 lim ( )
T
TT
Tdtx t
2
( )W dtx t
Techniques de mesure K Agbeviade 16
Traitement du signal Introduction
22 Autres classifications
Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des
bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute
numeacuteriquehellip)
Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes
Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable
Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires
Techniques de mesure K Agbeviade 17
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques
t
x(k)
kTe
Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu
par simple produit entre x(t) et PD(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e
k k
xe t x t P t x kT t kT x k t kT
t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)
Techniques de mesure K Agbeviade 18
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
Remarques sur leacutechantillonnage
La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute
Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle
Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant
Techniques de mesure K Agbeviade 19
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier
t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est
graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal
2( ) ( ) j ftx f x t e dt
La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est
graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te
2( ) ( ) ( )j ft
e e e
k k
x f t kT e dt f f kf
f-fB +fB
x(f)
f
f
PD(f)
+2fe-fe +fe
Techniques de mesure K Agbeviade 20
Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute
Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu
par produit de convolution entre x(f) et PD(f)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e
k k
x f x f P f x f f f kf f x f kf
f
-fB +fB
x(f)
PD(f)
+2fe-fe +fe
xk(f)
+2fe-fe +fe
Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude
Techniques de mesure K Agbeviade 21
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences
On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist
Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB
Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre
+fe2
xk(f)
+fe0f
Zone de recouvrement
+fe2
xk(f)
+fe0f
+fB
Techniques de mesure K Agbeviade 22
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur
Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2
lerreur relative car Ngtgt1
N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur
X1 12e
X X 2N 1 2N
Techniques de mesure K Agbeviade 23
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification
Signal temporel
Repreacutesentation Meacutethode de calcul
Signal freacutequentiel
Repreacutesentation
Continu et peacuteriodique
Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique
Continu et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et non peacuteriodique
Discret et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et peacuteriodique
Discret et peacuteriodique
Transformeacutee de Fourier discregravete
Discret et peacuteriodique
t
x(t)
f
x(f)
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
f
x(f)
f
x(f)
f
x(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 24
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode
si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies
continue et deacutefinie sur lintervalle
peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales
Valeur moyenne du signal
41 Seacuterie de Fourier
0
0
1T
fx(t)
x(t)
0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0
x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)
0 0T T
2 2
x(t)
0
0
t T
0
0 t T
1a x(t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1a x(t)cos(k t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1b x(t)sin(k t)dt
T
Techniques de mesure K Agbeviade 25
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
412 Seacuterie de Fourier autres formes
Vectorielle
modulephase
Complexe
Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls
k 0 kk 0
x(t) A cos(k t)
2 2
k k kA a b
kk
k
barctg( )
a
0( jk t )
kk
x(t) C e
0
0
t T
( jk t )
k
0 t
1C x(t)e dt
T
x(t) x( t) kkb 0
x(t) x( t) ka 0 kT0
x(t) x(t ) t2
T0
x(t) x(t ) t2
Techniques de mesure K Agbeviade 26
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier
Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique
Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors
est la transformeacutee de Fourier de x(t)
Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut
sa partie imaginaire vaut
est la transformeacutee inverse de Fourier
dt)t(x
dte)t(x)f(x )ft2j(
)f(x
dt)ft2cos()t(x)f(xRe
dt)ft2sin()t(x)f(xIm
dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1
Techniques de mesure K Agbeviade 27
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes
Domaine temporel Domaine freacutequentiel
Impulsion de Dirac(court dans le temps)
Spectre infini(large en freacutequences)
Signal infiniment large Impulsion courte
Porte Sinus cardinal
Techniques de mesure K Agbeviade 28
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
Techniques de mesure K Agbeviade 30
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 5
Concevoir la chaine dacquisition
13 Architecture C
Les divers conditionnements ainsi que lAD ou les AD sont inteacutegreacutes dans la centrale de mesure La centrale de mesure communique par donneacutees numeacuteriques et protocole de haut niveau avec le PC
Capteur 1
Capteur 2
Capteur 3
Capteur n
PC
RS 232GPIBUSBFire wireEthernetetc
u i f
u i f
u i f
Centrale de mesureu i f
Techniques de mesure K Agbeviade 6
Concevoir la chaine dacquisition
14 Architecture DIl sagit de combinaisons des cas preacuteceacutedents Il faut alors reacutesoudre le problegraveme de synchronisation des donneacutees provenant des divers eacutequipements
Exemple Architecture A et C
Capteur 1
Capteur 2
Capteur 3
Capteur n
PC
RS 232GPIBUSBFire wireEthernet etc
u i f
u i f
u i f
Centrale de mesureu i f
u i f
u i f
u i f
Capteur n+1
Capteur n+2
Capteur n+3
Conditionneur n+1
Conditionneur n+2
Convertisseur ADmultiples
ou multiplexeacutes
Bus PCu i f
u i f
Techniques de mesure K Agbeviade 7
Concevoir la chaine dacquisition
Capteur de pression
Conditionneur
Capteur de position
Capteur de tempeacuterature
Conditionneur avec affichage
Appareil de mes avec sorties pour acq
Centrale de mesure
Centrale de mesure
Carte dacquisition ISAMulti IO Analog in multiplexeacute
Carte dacquisition PCIMulti IO multi AD
Module dacquisition USBMulti IO multi AD
Le PC
15 Composants
Techniques de mesure K Agbeviade 8
2 Les Signaux
Les signaux recueillis sur un dispositif expeacuterimental
Sont des fonctions reacuteelles(S(xt)) de variables reacuteelles (xt)
Afin dalleacuteger leacutecriture nous faisons lhypothegravese geacuteneacuterale que les signaux sont adeacutequat au traitement
Certaines caracteacuteristiques du signal nous permettent de le classifier den deacuteduire la nature agrave fin de traitement
Traitement du signalIntroduction
S(t)
(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 9
21 ClassificationParmi les diverses classifications existantes nous nous bornerons aux classifications temporelle et eacutenergeacutetique
Classification temporelle
Lobservation de leacutevolution du signal en fonction du temps permet de savoir si le signal est deacuteterministe ou aleacuteatoire
ndashEvolution preacutevisible en fonction du temps
Signal deacuteterministe
ndash Evolution du signal impreacutevisible en fonction du temps eacutevaluation du signal par un modegravele statistique
Signal aleacuteatoire
Traitement du signal Introduction
Techniques de mesure K Agbeviade 10
Traitement du signal Introduction
Peacuteriodiques Stationnaires
Deacuteterministes
Non Peacuteriodiques
Pseudo
aleacuteatoires
Quasi
Peacuteriodiques
TransitoiresPeacuteriodiques
composites
Ergodiques Non
Ergodiques
Non
Stationnaires
Signaux
Classification
speacuteciale
Aleacuteatoires
Sinusoiumldaux
211 Arbre de la classification temporelle
Techniques de mesure K Agbeviade 11
Traitement du signal Introduction
-Signaux peacuteriodiques de forme y(t)=y(t+kT) k entier
Sinusoidaux forme y(t)= Asin(2π(t+φ)T)
Peacuteriodiques composites
Pseudo aleacuteatoire
212 Classification signaux deacuteterministes
Techniques de mesure K Agbeviade 12
Traitement du signal Introduction
212 Classification signaux deacuteterministes
-Signaux non peacuteriodiques nobeacuteissent pas agrave loi de reacutepeacutetition de peacuteriode T
Quasi peacuteriodiqueLes peacuteriodes des principales composantes du signal semblent identiques mais ne le sont pas Leur rapportdonne un nombre irrationnel
TransitoireCe signal est le plus souvent produit lors du passage dun eacutetat agrave un autre dun systegravemeil est par nature eacutepheacutemegravere
univ-angers
Y(t)
t
Techniques de mesure K Agbeviade 13
Traitement du signal Introduction
213 Classification signaux aleacuteatoires
-Signaux stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques (moyenne eacutecart type hellip) du signal ne changent pas au cours du temps
Ergodique Si les moyennes statistiques du signal stationnaire sont eacutequivalentes aux moyennes temporelles alors le signal aleacuteatoire stationnaire est ergodique
Non ergodique
t
S(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 14
Traitement du signal Introduction
213 Classification signaux aleacuteatoires
-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps
t
S(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 15
Traitement du signal Introduction
214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie
-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee
et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave
eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires
-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie
et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie
Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents
2
( )W dtx t
22
2
10lim ( )
T
TT
TP dtx t
22
2
10 lim ( )
T
TT
Tdtx t
2
( )W dtx t
Techniques de mesure K Agbeviade 16
Traitement du signal Introduction
22 Autres classifications
Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des
bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute
numeacuteriquehellip)
Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes
Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable
Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires
Techniques de mesure K Agbeviade 17
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques
t
x(k)
kTe
Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu
par simple produit entre x(t) et PD(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e
k k
xe t x t P t x kT t kT x k t kT
t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)
Techniques de mesure K Agbeviade 18
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
Remarques sur leacutechantillonnage
La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute
Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle
Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant
Techniques de mesure K Agbeviade 19
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier
t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est
graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal
2( ) ( ) j ftx f x t e dt
La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est
graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te
2( ) ( ) ( )j ft
e e e
k k
x f t kT e dt f f kf
f-fB +fB
x(f)
f
f
PD(f)
+2fe-fe +fe
Techniques de mesure K Agbeviade 20
Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute
Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu
par produit de convolution entre x(f) et PD(f)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e
k k
x f x f P f x f f f kf f x f kf
f
-fB +fB
x(f)
PD(f)
+2fe-fe +fe
xk(f)
+2fe-fe +fe
Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude
Techniques de mesure K Agbeviade 21
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences
On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist
Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB
Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre
+fe2
xk(f)
+fe0f
Zone de recouvrement
+fe2
xk(f)
+fe0f
+fB
Techniques de mesure K Agbeviade 22
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur
Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2
lerreur relative car Ngtgt1
N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur
X1 12e
X X 2N 1 2N
Techniques de mesure K Agbeviade 23
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification
Signal temporel
Repreacutesentation Meacutethode de calcul
Signal freacutequentiel
Repreacutesentation
Continu et peacuteriodique
Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique
Continu et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et non peacuteriodique
Discret et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et peacuteriodique
Discret et peacuteriodique
Transformeacutee de Fourier discregravete
Discret et peacuteriodique
t
x(t)
f
x(f)
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
f
x(f)
f
x(f)
f
x(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 24
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode
si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies
continue et deacutefinie sur lintervalle
peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales
Valeur moyenne du signal
41 Seacuterie de Fourier
0
0
1T
fx(t)
x(t)
0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0
x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)
0 0T T
2 2
x(t)
0
0
t T
0
0 t T
1a x(t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1a x(t)cos(k t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1b x(t)sin(k t)dt
T
Techniques de mesure K Agbeviade 25
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
412 Seacuterie de Fourier autres formes
Vectorielle
modulephase
Complexe
Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls
k 0 kk 0
x(t) A cos(k t)
2 2
k k kA a b
kk
k
barctg( )
a
0( jk t )
kk
x(t) C e
0
0
t T
( jk t )
k
0 t
1C x(t)e dt
T
x(t) x( t) kkb 0
x(t) x( t) ka 0 kT0
x(t) x(t ) t2
T0
x(t) x(t ) t2
Techniques de mesure K Agbeviade 26
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier
Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique
Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors
est la transformeacutee de Fourier de x(t)
Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut
sa partie imaginaire vaut
est la transformeacutee inverse de Fourier
dt)t(x
dte)t(x)f(x )ft2j(
)f(x
dt)ft2cos()t(x)f(xRe
dt)ft2sin()t(x)f(xIm
dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1
Techniques de mesure K Agbeviade 27
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes
Domaine temporel Domaine freacutequentiel
Impulsion de Dirac(court dans le temps)
Spectre infini(large en freacutequences)
Signal infiniment large Impulsion courte
Porte Sinus cardinal
Techniques de mesure K Agbeviade 28
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
Techniques de mesure K Agbeviade 30
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 6
Concevoir la chaine dacquisition
14 Architecture DIl sagit de combinaisons des cas preacuteceacutedents Il faut alors reacutesoudre le problegraveme de synchronisation des donneacutees provenant des divers eacutequipements
Exemple Architecture A et C
Capteur 1
Capteur 2
Capteur 3
Capteur n
PC
RS 232GPIBUSBFire wireEthernet etc
u i f
u i f
u i f
Centrale de mesureu i f
u i f
u i f
u i f
Capteur n+1
Capteur n+2
Capteur n+3
Conditionneur n+1
Conditionneur n+2
Convertisseur ADmultiples
ou multiplexeacutes
Bus PCu i f
u i f
Techniques de mesure K Agbeviade 7
Concevoir la chaine dacquisition
Capteur de pression
Conditionneur
Capteur de position
Capteur de tempeacuterature
Conditionneur avec affichage
Appareil de mes avec sorties pour acq
Centrale de mesure
Centrale de mesure
Carte dacquisition ISAMulti IO Analog in multiplexeacute
Carte dacquisition PCIMulti IO multi AD
Module dacquisition USBMulti IO multi AD
Le PC
15 Composants
Techniques de mesure K Agbeviade 8
2 Les Signaux
Les signaux recueillis sur un dispositif expeacuterimental
Sont des fonctions reacuteelles(S(xt)) de variables reacuteelles (xt)
Afin dalleacuteger leacutecriture nous faisons lhypothegravese geacuteneacuterale que les signaux sont adeacutequat au traitement
Certaines caracteacuteristiques du signal nous permettent de le classifier den deacuteduire la nature agrave fin de traitement
Traitement du signalIntroduction
S(t)
(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 9
21 ClassificationParmi les diverses classifications existantes nous nous bornerons aux classifications temporelle et eacutenergeacutetique
Classification temporelle
Lobservation de leacutevolution du signal en fonction du temps permet de savoir si le signal est deacuteterministe ou aleacuteatoire
ndashEvolution preacutevisible en fonction du temps
Signal deacuteterministe
ndash Evolution du signal impreacutevisible en fonction du temps eacutevaluation du signal par un modegravele statistique
Signal aleacuteatoire
Traitement du signal Introduction
Techniques de mesure K Agbeviade 10
Traitement du signal Introduction
Peacuteriodiques Stationnaires
Deacuteterministes
Non Peacuteriodiques
Pseudo
aleacuteatoires
Quasi
Peacuteriodiques
TransitoiresPeacuteriodiques
composites
Ergodiques Non
Ergodiques
Non
Stationnaires
Signaux
Classification
speacuteciale
Aleacuteatoires
Sinusoiumldaux
211 Arbre de la classification temporelle
Techniques de mesure K Agbeviade 11
Traitement du signal Introduction
-Signaux peacuteriodiques de forme y(t)=y(t+kT) k entier
Sinusoidaux forme y(t)= Asin(2π(t+φ)T)
Peacuteriodiques composites
Pseudo aleacuteatoire
212 Classification signaux deacuteterministes
Techniques de mesure K Agbeviade 12
Traitement du signal Introduction
212 Classification signaux deacuteterministes
-Signaux non peacuteriodiques nobeacuteissent pas agrave loi de reacutepeacutetition de peacuteriode T
Quasi peacuteriodiqueLes peacuteriodes des principales composantes du signal semblent identiques mais ne le sont pas Leur rapportdonne un nombre irrationnel
TransitoireCe signal est le plus souvent produit lors du passage dun eacutetat agrave un autre dun systegravemeil est par nature eacutepheacutemegravere
univ-angers
Y(t)
t
Techniques de mesure K Agbeviade 13
Traitement du signal Introduction
213 Classification signaux aleacuteatoires
-Signaux stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques (moyenne eacutecart type hellip) du signal ne changent pas au cours du temps
Ergodique Si les moyennes statistiques du signal stationnaire sont eacutequivalentes aux moyennes temporelles alors le signal aleacuteatoire stationnaire est ergodique
Non ergodique
t
S(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 14
Traitement du signal Introduction
213 Classification signaux aleacuteatoires
-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps
t
S(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 15
Traitement du signal Introduction
214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie
-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee
et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave
eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires
-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie
et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie
Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents
2
( )W dtx t
22
2
10lim ( )
T
TT
TP dtx t
22
2
10 lim ( )
T
TT
Tdtx t
2
( )W dtx t
Techniques de mesure K Agbeviade 16
Traitement du signal Introduction
22 Autres classifications
Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des
bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute
numeacuteriquehellip)
Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes
Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable
Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires
Techniques de mesure K Agbeviade 17
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques
t
x(k)
kTe
Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu
par simple produit entre x(t) et PD(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e
k k
xe t x t P t x kT t kT x k t kT
t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)
Techniques de mesure K Agbeviade 18
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
Remarques sur leacutechantillonnage
La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute
Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle
Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant
Techniques de mesure K Agbeviade 19
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier
t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est
graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal
2( ) ( ) j ftx f x t e dt
La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est
graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te
2( ) ( ) ( )j ft
e e e
k k
x f t kT e dt f f kf
f-fB +fB
x(f)
f
f
PD(f)
+2fe-fe +fe
Techniques de mesure K Agbeviade 20
Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute
Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu
par produit de convolution entre x(f) et PD(f)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e
k k
x f x f P f x f f f kf f x f kf
f
-fB +fB
x(f)
PD(f)
+2fe-fe +fe
xk(f)
+2fe-fe +fe
Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude
Techniques de mesure K Agbeviade 21
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences
On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist
Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB
Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre
+fe2
xk(f)
+fe0f
Zone de recouvrement
+fe2
xk(f)
+fe0f
+fB
Techniques de mesure K Agbeviade 22
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur
Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2
lerreur relative car Ngtgt1
N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur
X1 12e
X X 2N 1 2N
Techniques de mesure K Agbeviade 23
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification
Signal temporel
Repreacutesentation Meacutethode de calcul
Signal freacutequentiel
Repreacutesentation
Continu et peacuteriodique
Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique
Continu et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et non peacuteriodique
Discret et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et peacuteriodique
Discret et peacuteriodique
Transformeacutee de Fourier discregravete
Discret et peacuteriodique
t
x(t)
f
x(f)
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
f
x(f)
f
x(f)
f
x(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 24
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode
si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies
continue et deacutefinie sur lintervalle
peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales
Valeur moyenne du signal
41 Seacuterie de Fourier
0
0
1T
fx(t)
x(t)
0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0
x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)
0 0T T
2 2
x(t)
0
0
t T
0
0 t T
1a x(t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1a x(t)cos(k t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1b x(t)sin(k t)dt
T
Techniques de mesure K Agbeviade 25
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
412 Seacuterie de Fourier autres formes
Vectorielle
modulephase
Complexe
Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls
k 0 kk 0
x(t) A cos(k t)
2 2
k k kA a b
kk
k
barctg( )
a
0( jk t )
kk
x(t) C e
0
0
t T
( jk t )
k
0 t
1C x(t)e dt
T
x(t) x( t) kkb 0
x(t) x( t) ka 0 kT0
x(t) x(t ) t2
T0
x(t) x(t ) t2
Techniques de mesure K Agbeviade 26
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier
Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique
Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors
est la transformeacutee de Fourier de x(t)
Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut
sa partie imaginaire vaut
est la transformeacutee inverse de Fourier
dt)t(x
dte)t(x)f(x )ft2j(
)f(x
dt)ft2cos()t(x)f(xRe
dt)ft2sin()t(x)f(xIm
dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1
Techniques de mesure K Agbeviade 27
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes
Domaine temporel Domaine freacutequentiel
Impulsion de Dirac(court dans le temps)
Spectre infini(large en freacutequences)
Signal infiniment large Impulsion courte
Porte Sinus cardinal
Techniques de mesure K Agbeviade 28
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
Techniques de mesure K Agbeviade 30
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 7
Concevoir la chaine dacquisition
Capteur de pression
Conditionneur
Capteur de position
Capteur de tempeacuterature
Conditionneur avec affichage
Appareil de mes avec sorties pour acq
Centrale de mesure
Centrale de mesure
Carte dacquisition ISAMulti IO Analog in multiplexeacute
Carte dacquisition PCIMulti IO multi AD
Module dacquisition USBMulti IO multi AD
Le PC
15 Composants
Techniques de mesure K Agbeviade 8
2 Les Signaux
Les signaux recueillis sur un dispositif expeacuterimental
Sont des fonctions reacuteelles(S(xt)) de variables reacuteelles (xt)
Afin dalleacuteger leacutecriture nous faisons lhypothegravese geacuteneacuterale que les signaux sont adeacutequat au traitement
Certaines caracteacuteristiques du signal nous permettent de le classifier den deacuteduire la nature agrave fin de traitement
Traitement du signalIntroduction
S(t)
(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 9
21 ClassificationParmi les diverses classifications existantes nous nous bornerons aux classifications temporelle et eacutenergeacutetique
Classification temporelle
Lobservation de leacutevolution du signal en fonction du temps permet de savoir si le signal est deacuteterministe ou aleacuteatoire
ndashEvolution preacutevisible en fonction du temps
Signal deacuteterministe
ndash Evolution du signal impreacutevisible en fonction du temps eacutevaluation du signal par un modegravele statistique
Signal aleacuteatoire
Traitement du signal Introduction
Techniques de mesure K Agbeviade 10
Traitement du signal Introduction
Peacuteriodiques Stationnaires
Deacuteterministes
Non Peacuteriodiques
Pseudo
aleacuteatoires
Quasi
Peacuteriodiques
TransitoiresPeacuteriodiques
composites
Ergodiques Non
Ergodiques
Non
Stationnaires
Signaux
Classification
speacuteciale
Aleacuteatoires
Sinusoiumldaux
211 Arbre de la classification temporelle
Techniques de mesure K Agbeviade 11
Traitement du signal Introduction
-Signaux peacuteriodiques de forme y(t)=y(t+kT) k entier
Sinusoidaux forme y(t)= Asin(2π(t+φ)T)
Peacuteriodiques composites
Pseudo aleacuteatoire
212 Classification signaux deacuteterministes
Techniques de mesure K Agbeviade 12
Traitement du signal Introduction
212 Classification signaux deacuteterministes
-Signaux non peacuteriodiques nobeacuteissent pas agrave loi de reacutepeacutetition de peacuteriode T
Quasi peacuteriodiqueLes peacuteriodes des principales composantes du signal semblent identiques mais ne le sont pas Leur rapportdonne un nombre irrationnel
TransitoireCe signal est le plus souvent produit lors du passage dun eacutetat agrave un autre dun systegravemeil est par nature eacutepheacutemegravere
univ-angers
Y(t)
t
Techniques de mesure K Agbeviade 13
Traitement du signal Introduction
213 Classification signaux aleacuteatoires
-Signaux stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques (moyenne eacutecart type hellip) du signal ne changent pas au cours du temps
Ergodique Si les moyennes statistiques du signal stationnaire sont eacutequivalentes aux moyennes temporelles alors le signal aleacuteatoire stationnaire est ergodique
Non ergodique
t
S(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 14
Traitement du signal Introduction
213 Classification signaux aleacuteatoires
-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps
t
S(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 15
Traitement du signal Introduction
214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie
-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee
et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave
eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires
-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie
et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie
Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents
2
( )W dtx t
22
2
10lim ( )
T
TT
TP dtx t
22
2
10 lim ( )
T
TT
Tdtx t
2
( )W dtx t
Techniques de mesure K Agbeviade 16
Traitement du signal Introduction
22 Autres classifications
Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des
bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute
numeacuteriquehellip)
Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes
Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable
Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires
Techniques de mesure K Agbeviade 17
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques
t
x(k)
kTe
Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu
par simple produit entre x(t) et PD(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e
k k
xe t x t P t x kT t kT x k t kT
t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)
Techniques de mesure K Agbeviade 18
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
Remarques sur leacutechantillonnage
La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute
Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle
Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant
Techniques de mesure K Agbeviade 19
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier
t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est
graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal
2( ) ( ) j ftx f x t e dt
La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est
graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te
2( ) ( ) ( )j ft
e e e
k k
x f t kT e dt f f kf
f-fB +fB
x(f)
f
f
PD(f)
+2fe-fe +fe
Techniques de mesure K Agbeviade 20
Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute
Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu
par produit de convolution entre x(f) et PD(f)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e
k k
x f x f P f x f f f kf f x f kf
f
-fB +fB
x(f)
PD(f)
+2fe-fe +fe
xk(f)
+2fe-fe +fe
Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude
Techniques de mesure K Agbeviade 21
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences
On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist
Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB
Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre
+fe2
xk(f)
+fe0f
Zone de recouvrement
+fe2
xk(f)
+fe0f
+fB
Techniques de mesure K Agbeviade 22
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur
Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2
lerreur relative car Ngtgt1
N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur
X1 12e
X X 2N 1 2N
Techniques de mesure K Agbeviade 23
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification
Signal temporel
Repreacutesentation Meacutethode de calcul
Signal freacutequentiel
Repreacutesentation
Continu et peacuteriodique
Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique
Continu et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et non peacuteriodique
Discret et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et peacuteriodique
Discret et peacuteriodique
Transformeacutee de Fourier discregravete
Discret et peacuteriodique
t
x(t)
f
x(f)
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
f
x(f)
f
x(f)
f
x(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 24
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode
si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies
continue et deacutefinie sur lintervalle
peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales
Valeur moyenne du signal
41 Seacuterie de Fourier
0
0
1T
fx(t)
x(t)
0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0
x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)
0 0T T
2 2
x(t)
0
0
t T
0
0 t T
1a x(t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1a x(t)cos(k t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1b x(t)sin(k t)dt
T
Techniques de mesure K Agbeviade 25
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
412 Seacuterie de Fourier autres formes
Vectorielle
modulephase
Complexe
Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls
k 0 kk 0
x(t) A cos(k t)
2 2
k k kA a b
kk
k
barctg( )
a
0( jk t )
kk
x(t) C e
0
0
t T
( jk t )
k
0 t
1C x(t)e dt
T
x(t) x( t) kkb 0
x(t) x( t) ka 0 kT0
x(t) x(t ) t2
T0
x(t) x(t ) t2
Techniques de mesure K Agbeviade 26
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier
Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique
Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors
est la transformeacutee de Fourier de x(t)
Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut
sa partie imaginaire vaut
est la transformeacutee inverse de Fourier
dt)t(x
dte)t(x)f(x )ft2j(
)f(x
dt)ft2cos()t(x)f(xRe
dt)ft2sin()t(x)f(xIm
dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1
Techniques de mesure K Agbeviade 27
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes
Domaine temporel Domaine freacutequentiel
Impulsion de Dirac(court dans le temps)
Spectre infini(large en freacutequences)
Signal infiniment large Impulsion courte
Porte Sinus cardinal
Techniques de mesure K Agbeviade 28
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
Techniques de mesure K Agbeviade 30
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 8
2 Les Signaux
Les signaux recueillis sur un dispositif expeacuterimental
Sont des fonctions reacuteelles(S(xt)) de variables reacuteelles (xt)
Afin dalleacuteger leacutecriture nous faisons lhypothegravese geacuteneacuterale que les signaux sont adeacutequat au traitement
Certaines caracteacuteristiques du signal nous permettent de le classifier den deacuteduire la nature agrave fin de traitement
Traitement du signalIntroduction
S(t)
(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 9
21 ClassificationParmi les diverses classifications existantes nous nous bornerons aux classifications temporelle et eacutenergeacutetique
Classification temporelle
Lobservation de leacutevolution du signal en fonction du temps permet de savoir si le signal est deacuteterministe ou aleacuteatoire
ndashEvolution preacutevisible en fonction du temps
Signal deacuteterministe
ndash Evolution du signal impreacutevisible en fonction du temps eacutevaluation du signal par un modegravele statistique
Signal aleacuteatoire
Traitement du signal Introduction
Techniques de mesure K Agbeviade 10
Traitement du signal Introduction
Peacuteriodiques Stationnaires
Deacuteterministes
Non Peacuteriodiques
Pseudo
aleacuteatoires
Quasi
Peacuteriodiques
TransitoiresPeacuteriodiques
composites
Ergodiques Non
Ergodiques
Non
Stationnaires
Signaux
Classification
speacuteciale
Aleacuteatoires
Sinusoiumldaux
211 Arbre de la classification temporelle
Techniques de mesure K Agbeviade 11
Traitement du signal Introduction
-Signaux peacuteriodiques de forme y(t)=y(t+kT) k entier
Sinusoidaux forme y(t)= Asin(2π(t+φ)T)
Peacuteriodiques composites
Pseudo aleacuteatoire
212 Classification signaux deacuteterministes
Techniques de mesure K Agbeviade 12
Traitement du signal Introduction
212 Classification signaux deacuteterministes
-Signaux non peacuteriodiques nobeacuteissent pas agrave loi de reacutepeacutetition de peacuteriode T
Quasi peacuteriodiqueLes peacuteriodes des principales composantes du signal semblent identiques mais ne le sont pas Leur rapportdonne un nombre irrationnel
TransitoireCe signal est le plus souvent produit lors du passage dun eacutetat agrave un autre dun systegravemeil est par nature eacutepheacutemegravere
univ-angers
Y(t)
t
Techniques de mesure K Agbeviade 13
Traitement du signal Introduction
213 Classification signaux aleacuteatoires
-Signaux stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques (moyenne eacutecart type hellip) du signal ne changent pas au cours du temps
Ergodique Si les moyennes statistiques du signal stationnaire sont eacutequivalentes aux moyennes temporelles alors le signal aleacuteatoire stationnaire est ergodique
Non ergodique
t
S(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 14
Traitement du signal Introduction
213 Classification signaux aleacuteatoires
-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps
t
S(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 15
Traitement du signal Introduction
214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie
-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee
et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave
eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires
-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie
et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie
Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents
2
( )W dtx t
22
2
10lim ( )
T
TT
TP dtx t
22
2
10 lim ( )
T
TT
Tdtx t
2
( )W dtx t
Techniques de mesure K Agbeviade 16
Traitement du signal Introduction
22 Autres classifications
Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des
bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute
numeacuteriquehellip)
Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes
Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable
Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires
Techniques de mesure K Agbeviade 17
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques
t
x(k)
kTe
Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu
par simple produit entre x(t) et PD(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e
k k
xe t x t P t x kT t kT x k t kT
t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)
Techniques de mesure K Agbeviade 18
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
Remarques sur leacutechantillonnage
La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute
Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle
Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant
Techniques de mesure K Agbeviade 19
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier
t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est
graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal
2( ) ( ) j ftx f x t e dt
La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est
graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te
2( ) ( ) ( )j ft
e e e
k k
x f t kT e dt f f kf
f-fB +fB
x(f)
f
f
PD(f)
+2fe-fe +fe
Techniques de mesure K Agbeviade 20
Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute
Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu
par produit de convolution entre x(f) et PD(f)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e
k k
x f x f P f x f f f kf f x f kf
f
-fB +fB
x(f)
PD(f)
+2fe-fe +fe
xk(f)
+2fe-fe +fe
Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude
Techniques de mesure K Agbeviade 21
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences
On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist
Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB
Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre
+fe2
xk(f)
+fe0f
Zone de recouvrement
+fe2
xk(f)
+fe0f
+fB
Techniques de mesure K Agbeviade 22
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur
Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2
lerreur relative car Ngtgt1
N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur
X1 12e
X X 2N 1 2N
Techniques de mesure K Agbeviade 23
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification
Signal temporel
Repreacutesentation Meacutethode de calcul
Signal freacutequentiel
Repreacutesentation
Continu et peacuteriodique
Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique
Continu et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et non peacuteriodique
Discret et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et peacuteriodique
Discret et peacuteriodique
Transformeacutee de Fourier discregravete
Discret et peacuteriodique
t
x(t)
f
x(f)
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
f
x(f)
f
x(f)
f
x(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 24
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode
si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies
continue et deacutefinie sur lintervalle
peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales
Valeur moyenne du signal
41 Seacuterie de Fourier
0
0
1T
fx(t)
x(t)
0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0
x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)
0 0T T
2 2
x(t)
0
0
t T
0
0 t T
1a x(t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1a x(t)cos(k t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1b x(t)sin(k t)dt
T
Techniques de mesure K Agbeviade 25
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
412 Seacuterie de Fourier autres formes
Vectorielle
modulephase
Complexe
Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls
k 0 kk 0
x(t) A cos(k t)
2 2
k k kA a b
kk
k
barctg( )
a
0( jk t )
kk
x(t) C e
0
0
t T
( jk t )
k
0 t
1C x(t)e dt
T
x(t) x( t) kkb 0
x(t) x( t) ka 0 kT0
x(t) x(t ) t2
T0
x(t) x(t ) t2
Techniques de mesure K Agbeviade 26
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier
Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique
Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors
est la transformeacutee de Fourier de x(t)
Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut
sa partie imaginaire vaut
est la transformeacutee inverse de Fourier
dt)t(x
dte)t(x)f(x )ft2j(
)f(x
dt)ft2cos()t(x)f(xRe
dt)ft2sin()t(x)f(xIm
dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1
Techniques de mesure K Agbeviade 27
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes
Domaine temporel Domaine freacutequentiel
Impulsion de Dirac(court dans le temps)
Spectre infini(large en freacutequences)
Signal infiniment large Impulsion courte
Porte Sinus cardinal
Techniques de mesure K Agbeviade 28
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
Techniques de mesure K Agbeviade 30
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 9
21 ClassificationParmi les diverses classifications existantes nous nous bornerons aux classifications temporelle et eacutenergeacutetique
Classification temporelle
Lobservation de leacutevolution du signal en fonction du temps permet de savoir si le signal est deacuteterministe ou aleacuteatoire
ndashEvolution preacutevisible en fonction du temps
Signal deacuteterministe
ndash Evolution du signal impreacutevisible en fonction du temps eacutevaluation du signal par un modegravele statistique
Signal aleacuteatoire
Traitement du signal Introduction
Techniques de mesure K Agbeviade 10
Traitement du signal Introduction
Peacuteriodiques Stationnaires
Deacuteterministes
Non Peacuteriodiques
Pseudo
aleacuteatoires
Quasi
Peacuteriodiques
TransitoiresPeacuteriodiques
composites
Ergodiques Non
Ergodiques
Non
Stationnaires
Signaux
Classification
speacuteciale
Aleacuteatoires
Sinusoiumldaux
211 Arbre de la classification temporelle
Techniques de mesure K Agbeviade 11
Traitement du signal Introduction
-Signaux peacuteriodiques de forme y(t)=y(t+kT) k entier
Sinusoidaux forme y(t)= Asin(2π(t+φ)T)
Peacuteriodiques composites
Pseudo aleacuteatoire
212 Classification signaux deacuteterministes
Techniques de mesure K Agbeviade 12
Traitement du signal Introduction
212 Classification signaux deacuteterministes
-Signaux non peacuteriodiques nobeacuteissent pas agrave loi de reacutepeacutetition de peacuteriode T
Quasi peacuteriodiqueLes peacuteriodes des principales composantes du signal semblent identiques mais ne le sont pas Leur rapportdonne un nombre irrationnel
TransitoireCe signal est le plus souvent produit lors du passage dun eacutetat agrave un autre dun systegravemeil est par nature eacutepheacutemegravere
univ-angers
Y(t)
t
Techniques de mesure K Agbeviade 13
Traitement du signal Introduction
213 Classification signaux aleacuteatoires
-Signaux stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques (moyenne eacutecart type hellip) du signal ne changent pas au cours du temps
Ergodique Si les moyennes statistiques du signal stationnaire sont eacutequivalentes aux moyennes temporelles alors le signal aleacuteatoire stationnaire est ergodique
Non ergodique
t
S(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 14
Traitement du signal Introduction
213 Classification signaux aleacuteatoires
-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps
t
S(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 15
Traitement du signal Introduction
214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie
-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee
et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave
eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires
-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie
et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie
Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents
2
( )W dtx t
22
2
10lim ( )
T
TT
TP dtx t
22
2
10 lim ( )
T
TT
Tdtx t
2
( )W dtx t
Techniques de mesure K Agbeviade 16
Traitement du signal Introduction
22 Autres classifications
Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des
bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute
numeacuteriquehellip)
Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes
Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable
Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires
Techniques de mesure K Agbeviade 17
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques
t
x(k)
kTe
Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu
par simple produit entre x(t) et PD(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e
k k
xe t x t P t x kT t kT x k t kT
t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)
Techniques de mesure K Agbeviade 18
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
Remarques sur leacutechantillonnage
La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute
Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle
Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant
Techniques de mesure K Agbeviade 19
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier
t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est
graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal
2( ) ( ) j ftx f x t e dt
La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est
graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te
2( ) ( ) ( )j ft
e e e
k k
x f t kT e dt f f kf
f-fB +fB
x(f)
f
f
PD(f)
+2fe-fe +fe
Techniques de mesure K Agbeviade 20
Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute
Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu
par produit de convolution entre x(f) et PD(f)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e
k k
x f x f P f x f f f kf f x f kf
f
-fB +fB
x(f)
PD(f)
+2fe-fe +fe
xk(f)
+2fe-fe +fe
Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude
Techniques de mesure K Agbeviade 21
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences
On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist
Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB
Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre
+fe2
xk(f)
+fe0f
Zone de recouvrement
+fe2
xk(f)
+fe0f
+fB
Techniques de mesure K Agbeviade 22
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur
Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2
lerreur relative car Ngtgt1
N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur
X1 12e
X X 2N 1 2N
Techniques de mesure K Agbeviade 23
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification
Signal temporel
Repreacutesentation Meacutethode de calcul
Signal freacutequentiel
Repreacutesentation
Continu et peacuteriodique
Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique
Continu et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et non peacuteriodique
Discret et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et peacuteriodique
Discret et peacuteriodique
Transformeacutee de Fourier discregravete
Discret et peacuteriodique
t
x(t)
f
x(f)
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
f
x(f)
f
x(f)
f
x(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 24
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode
si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies
continue et deacutefinie sur lintervalle
peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales
Valeur moyenne du signal
41 Seacuterie de Fourier
0
0
1T
fx(t)
x(t)
0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0
x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)
0 0T T
2 2
x(t)
0
0
t T
0
0 t T
1a x(t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1a x(t)cos(k t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1b x(t)sin(k t)dt
T
Techniques de mesure K Agbeviade 25
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
412 Seacuterie de Fourier autres formes
Vectorielle
modulephase
Complexe
Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls
k 0 kk 0
x(t) A cos(k t)
2 2
k k kA a b
kk
k
barctg( )
a
0( jk t )
kk
x(t) C e
0
0
t T
( jk t )
k
0 t
1C x(t)e dt
T
x(t) x( t) kkb 0
x(t) x( t) ka 0 kT0
x(t) x(t ) t2
T0
x(t) x(t ) t2
Techniques de mesure K Agbeviade 26
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier
Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique
Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors
est la transformeacutee de Fourier de x(t)
Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut
sa partie imaginaire vaut
est la transformeacutee inverse de Fourier
dt)t(x
dte)t(x)f(x )ft2j(
)f(x
dt)ft2cos()t(x)f(xRe
dt)ft2sin()t(x)f(xIm
dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1
Techniques de mesure K Agbeviade 27
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes
Domaine temporel Domaine freacutequentiel
Impulsion de Dirac(court dans le temps)
Spectre infini(large en freacutequences)
Signal infiniment large Impulsion courte
Porte Sinus cardinal
Techniques de mesure K Agbeviade 28
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
Techniques de mesure K Agbeviade 30
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 10
Traitement du signal Introduction
Peacuteriodiques Stationnaires
Deacuteterministes
Non Peacuteriodiques
Pseudo
aleacuteatoires
Quasi
Peacuteriodiques
TransitoiresPeacuteriodiques
composites
Ergodiques Non
Ergodiques
Non
Stationnaires
Signaux
Classification
speacuteciale
Aleacuteatoires
Sinusoiumldaux
211 Arbre de la classification temporelle
Techniques de mesure K Agbeviade 11
Traitement du signal Introduction
-Signaux peacuteriodiques de forme y(t)=y(t+kT) k entier
Sinusoidaux forme y(t)= Asin(2π(t+φ)T)
Peacuteriodiques composites
Pseudo aleacuteatoire
212 Classification signaux deacuteterministes
Techniques de mesure K Agbeviade 12
Traitement du signal Introduction
212 Classification signaux deacuteterministes
-Signaux non peacuteriodiques nobeacuteissent pas agrave loi de reacutepeacutetition de peacuteriode T
Quasi peacuteriodiqueLes peacuteriodes des principales composantes du signal semblent identiques mais ne le sont pas Leur rapportdonne un nombre irrationnel
TransitoireCe signal est le plus souvent produit lors du passage dun eacutetat agrave un autre dun systegravemeil est par nature eacutepheacutemegravere
univ-angers
Y(t)
t
Techniques de mesure K Agbeviade 13
Traitement du signal Introduction
213 Classification signaux aleacuteatoires
-Signaux stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques (moyenne eacutecart type hellip) du signal ne changent pas au cours du temps
Ergodique Si les moyennes statistiques du signal stationnaire sont eacutequivalentes aux moyennes temporelles alors le signal aleacuteatoire stationnaire est ergodique
Non ergodique
t
S(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 14
Traitement du signal Introduction
213 Classification signaux aleacuteatoires
-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps
t
S(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 15
Traitement du signal Introduction
214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie
-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee
et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave
eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires
-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie
et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie
Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents
2
( )W dtx t
22
2
10lim ( )
T
TT
TP dtx t
22
2
10 lim ( )
T
TT
Tdtx t
2
( )W dtx t
Techniques de mesure K Agbeviade 16
Traitement du signal Introduction
22 Autres classifications
Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des
bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute
numeacuteriquehellip)
Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes
Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable
Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires
Techniques de mesure K Agbeviade 17
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques
t
x(k)
kTe
Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu
par simple produit entre x(t) et PD(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e
k k
xe t x t P t x kT t kT x k t kT
t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)
Techniques de mesure K Agbeviade 18
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
Remarques sur leacutechantillonnage
La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute
Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle
Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant
Techniques de mesure K Agbeviade 19
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier
t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est
graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal
2( ) ( ) j ftx f x t e dt
La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est
graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te
2( ) ( ) ( )j ft
e e e
k k
x f t kT e dt f f kf
f-fB +fB
x(f)
f
f
PD(f)
+2fe-fe +fe
Techniques de mesure K Agbeviade 20
Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute
Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu
par produit de convolution entre x(f) et PD(f)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e
k k
x f x f P f x f f f kf f x f kf
f
-fB +fB
x(f)
PD(f)
+2fe-fe +fe
xk(f)
+2fe-fe +fe
Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude
Techniques de mesure K Agbeviade 21
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences
On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist
Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB
Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre
+fe2
xk(f)
+fe0f
Zone de recouvrement
+fe2
xk(f)
+fe0f
+fB
Techniques de mesure K Agbeviade 22
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur
Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2
lerreur relative car Ngtgt1
N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur
X1 12e
X X 2N 1 2N
Techniques de mesure K Agbeviade 23
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification
Signal temporel
Repreacutesentation Meacutethode de calcul
Signal freacutequentiel
Repreacutesentation
Continu et peacuteriodique
Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique
Continu et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et non peacuteriodique
Discret et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et peacuteriodique
Discret et peacuteriodique
Transformeacutee de Fourier discregravete
Discret et peacuteriodique
t
x(t)
f
x(f)
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
f
x(f)
f
x(f)
f
x(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 24
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode
si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies
continue et deacutefinie sur lintervalle
peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales
Valeur moyenne du signal
41 Seacuterie de Fourier
0
0
1T
fx(t)
x(t)
0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0
x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)
0 0T T
2 2
x(t)
0
0
t T
0
0 t T
1a x(t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1a x(t)cos(k t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1b x(t)sin(k t)dt
T
Techniques de mesure K Agbeviade 25
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
412 Seacuterie de Fourier autres formes
Vectorielle
modulephase
Complexe
Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls
k 0 kk 0
x(t) A cos(k t)
2 2
k k kA a b
kk
k
barctg( )
a
0( jk t )
kk
x(t) C e
0
0
t T
( jk t )
k
0 t
1C x(t)e dt
T
x(t) x( t) kkb 0
x(t) x( t) ka 0 kT0
x(t) x(t ) t2
T0
x(t) x(t ) t2
Techniques de mesure K Agbeviade 26
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier
Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique
Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors
est la transformeacutee de Fourier de x(t)
Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut
sa partie imaginaire vaut
est la transformeacutee inverse de Fourier
dt)t(x
dte)t(x)f(x )ft2j(
)f(x
dt)ft2cos()t(x)f(xRe
dt)ft2sin()t(x)f(xIm
dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1
Techniques de mesure K Agbeviade 27
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes
Domaine temporel Domaine freacutequentiel
Impulsion de Dirac(court dans le temps)
Spectre infini(large en freacutequences)
Signal infiniment large Impulsion courte
Porte Sinus cardinal
Techniques de mesure K Agbeviade 28
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
Techniques de mesure K Agbeviade 30
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 11
Traitement du signal Introduction
-Signaux peacuteriodiques de forme y(t)=y(t+kT) k entier
Sinusoidaux forme y(t)= Asin(2π(t+φ)T)
Peacuteriodiques composites
Pseudo aleacuteatoire
212 Classification signaux deacuteterministes
Techniques de mesure K Agbeviade 12
Traitement du signal Introduction
212 Classification signaux deacuteterministes
-Signaux non peacuteriodiques nobeacuteissent pas agrave loi de reacutepeacutetition de peacuteriode T
Quasi peacuteriodiqueLes peacuteriodes des principales composantes du signal semblent identiques mais ne le sont pas Leur rapportdonne un nombre irrationnel
TransitoireCe signal est le plus souvent produit lors du passage dun eacutetat agrave un autre dun systegravemeil est par nature eacutepheacutemegravere
univ-angers
Y(t)
t
Techniques de mesure K Agbeviade 13
Traitement du signal Introduction
213 Classification signaux aleacuteatoires
-Signaux stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques (moyenne eacutecart type hellip) du signal ne changent pas au cours du temps
Ergodique Si les moyennes statistiques du signal stationnaire sont eacutequivalentes aux moyennes temporelles alors le signal aleacuteatoire stationnaire est ergodique
Non ergodique
t
S(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 14
Traitement du signal Introduction
213 Classification signaux aleacuteatoires
-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps
t
S(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 15
Traitement du signal Introduction
214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie
-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee
et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave
eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires
-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie
et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie
Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents
2
( )W dtx t
22
2
10lim ( )
T
TT
TP dtx t
22
2
10 lim ( )
T
TT
Tdtx t
2
( )W dtx t
Techniques de mesure K Agbeviade 16
Traitement du signal Introduction
22 Autres classifications
Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des
bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute
numeacuteriquehellip)
Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes
Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable
Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires
Techniques de mesure K Agbeviade 17
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques
t
x(k)
kTe
Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu
par simple produit entre x(t) et PD(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e
k k
xe t x t P t x kT t kT x k t kT
t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)
Techniques de mesure K Agbeviade 18
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
Remarques sur leacutechantillonnage
La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute
Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle
Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant
Techniques de mesure K Agbeviade 19
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier
t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est
graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal
2( ) ( ) j ftx f x t e dt
La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est
graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te
2( ) ( ) ( )j ft
e e e
k k
x f t kT e dt f f kf
f-fB +fB
x(f)
f
f
PD(f)
+2fe-fe +fe
Techniques de mesure K Agbeviade 20
Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute
Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu
par produit de convolution entre x(f) et PD(f)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e
k k
x f x f P f x f f f kf f x f kf
f
-fB +fB
x(f)
PD(f)
+2fe-fe +fe
xk(f)
+2fe-fe +fe
Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude
Techniques de mesure K Agbeviade 21
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences
On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist
Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB
Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre
+fe2
xk(f)
+fe0f
Zone de recouvrement
+fe2
xk(f)
+fe0f
+fB
Techniques de mesure K Agbeviade 22
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur
Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2
lerreur relative car Ngtgt1
N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur
X1 12e
X X 2N 1 2N
Techniques de mesure K Agbeviade 23
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification
Signal temporel
Repreacutesentation Meacutethode de calcul
Signal freacutequentiel
Repreacutesentation
Continu et peacuteriodique
Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique
Continu et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et non peacuteriodique
Discret et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et peacuteriodique
Discret et peacuteriodique
Transformeacutee de Fourier discregravete
Discret et peacuteriodique
t
x(t)
f
x(f)
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
f
x(f)
f
x(f)
f
x(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 24
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode
si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies
continue et deacutefinie sur lintervalle
peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales
Valeur moyenne du signal
41 Seacuterie de Fourier
0
0
1T
fx(t)
x(t)
0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0
x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)
0 0T T
2 2
x(t)
0
0
t T
0
0 t T
1a x(t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1a x(t)cos(k t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1b x(t)sin(k t)dt
T
Techniques de mesure K Agbeviade 25
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
412 Seacuterie de Fourier autres formes
Vectorielle
modulephase
Complexe
Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls
k 0 kk 0
x(t) A cos(k t)
2 2
k k kA a b
kk
k
barctg( )
a
0( jk t )
kk
x(t) C e
0
0
t T
( jk t )
k
0 t
1C x(t)e dt
T
x(t) x( t) kkb 0
x(t) x( t) ka 0 kT0
x(t) x(t ) t2
T0
x(t) x(t ) t2
Techniques de mesure K Agbeviade 26
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier
Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique
Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors
est la transformeacutee de Fourier de x(t)
Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut
sa partie imaginaire vaut
est la transformeacutee inverse de Fourier
dt)t(x
dte)t(x)f(x )ft2j(
)f(x
dt)ft2cos()t(x)f(xRe
dt)ft2sin()t(x)f(xIm
dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1
Techniques de mesure K Agbeviade 27
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes
Domaine temporel Domaine freacutequentiel
Impulsion de Dirac(court dans le temps)
Spectre infini(large en freacutequences)
Signal infiniment large Impulsion courte
Porte Sinus cardinal
Techniques de mesure K Agbeviade 28
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
Techniques de mesure K Agbeviade 30
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 12
Traitement du signal Introduction
212 Classification signaux deacuteterministes
-Signaux non peacuteriodiques nobeacuteissent pas agrave loi de reacutepeacutetition de peacuteriode T
Quasi peacuteriodiqueLes peacuteriodes des principales composantes du signal semblent identiques mais ne le sont pas Leur rapportdonne un nombre irrationnel
TransitoireCe signal est le plus souvent produit lors du passage dun eacutetat agrave un autre dun systegravemeil est par nature eacutepheacutemegravere
univ-angers
Y(t)
t
Techniques de mesure K Agbeviade 13
Traitement du signal Introduction
213 Classification signaux aleacuteatoires
-Signaux stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques (moyenne eacutecart type hellip) du signal ne changent pas au cours du temps
Ergodique Si les moyennes statistiques du signal stationnaire sont eacutequivalentes aux moyennes temporelles alors le signal aleacuteatoire stationnaire est ergodique
Non ergodique
t
S(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 14
Traitement du signal Introduction
213 Classification signaux aleacuteatoires
-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps
t
S(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 15
Traitement du signal Introduction
214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie
-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee
et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave
eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires
-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie
et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie
Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents
2
( )W dtx t
22
2
10lim ( )
T
TT
TP dtx t
22
2
10 lim ( )
T
TT
Tdtx t
2
( )W dtx t
Techniques de mesure K Agbeviade 16
Traitement du signal Introduction
22 Autres classifications
Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des
bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute
numeacuteriquehellip)
Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes
Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable
Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires
Techniques de mesure K Agbeviade 17
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques
t
x(k)
kTe
Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu
par simple produit entre x(t) et PD(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e
k k
xe t x t P t x kT t kT x k t kT
t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)
Techniques de mesure K Agbeviade 18
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
Remarques sur leacutechantillonnage
La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute
Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle
Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant
Techniques de mesure K Agbeviade 19
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier
t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est
graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal
2( ) ( ) j ftx f x t e dt
La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est
graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te
2( ) ( ) ( )j ft
e e e
k k
x f t kT e dt f f kf
f-fB +fB
x(f)
f
f
PD(f)
+2fe-fe +fe
Techniques de mesure K Agbeviade 20
Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute
Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu
par produit de convolution entre x(f) et PD(f)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e
k k
x f x f P f x f f f kf f x f kf
f
-fB +fB
x(f)
PD(f)
+2fe-fe +fe
xk(f)
+2fe-fe +fe
Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude
Techniques de mesure K Agbeviade 21
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences
On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist
Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB
Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre
+fe2
xk(f)
+fe0f
Zone de recouvrement
+fe2
xk(f)
+fe0f
+fB
Techniques de mesure K Agbeviade 22
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur
Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2
lerreur relative car Ngtgt1
N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur
X1 12e
X X 2N 1 2N
Techniques de mesure K Agbeviade 23
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification
Signal temporel
Repreacutesentation Meacutethode de calcul
Signal freacutequentiel
Repreacutesentation
Continu et peacuteriodique
Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique
Continu et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et non peacuteriodique
Discret et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et peacuteriodique
Discret et peacuteriodique
Transformeacutee de Fourier discregravete
Discret et peacuteriodique
t
x(t)
f
x(f)
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
f
x(f)
f
x(f)
f
x(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 24
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode
si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies
continue et deacutefinie sur lintervalle
peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales
Valeur moyenne du signal
41 Seacuterie de Fourier
0
0
1T
fx(t)
x(t)
0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0
x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)
0 0T T
2 2
x(t)
0
0
t T
0
0 t T
1a x(t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1a x(t)cos(k t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1b x(t)sin(k t)dt
T
Techniques de mesure K Agbeviade 25
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
412 Seacuterie de Fourier autres formes
Vectorielle
modulephase
Complexe
Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls
k 0 kk 0
x(t) A cos(k t)
2 2
k k kA a b
kk
k
barctg( )
a
0( jk t )
kk
x(t) C e
0
0
t T
( jk t )
k
0 t
1C x(t)e dt
T
x(t) x( t) kkb 0
x(t) x( t) ka 0 kT0
x(t) x(t ) t2
T0
x(t) x(t ) t2
Techniques de mesure K Agbeviade 26
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier
Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique
Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors
est la transformeacutee de Fourier de x(t)
Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut
sa partie imaginaire vaut
est la transformeacutee inverse de Fourier
dt)t(x
dte)t(x)f(x )ft2j(
)f(x
dt)ft2cos()t(x)f(xRe
dt)ft2sin()t(x)f(xIm
dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1
Techniques de mesure K Agbeviade 27
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes
Domaine temporel Domaine freacutequentiel
Impulsion de Dirac(court dans le temps)
Spectre infini(large en freacutequences)
Signal infiniment large Impulsion courte
Porte Sinus cardinal
Techniques de mesure K Agbeviade 28
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
Techniques de mesure K Agbeviade 30
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 13
Traitement du signal Introduction
213 Classification signaux aleacuteatoires
-Signaux stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques (moyenne eacutecart type hellip) du signal ne changent pas au cours du temps
Ergodique Si les moyennes statistiques du signal stationnaire sont eacutequivalentes aux moyennes temporelles alors le signal aleacuteatoire stationnaire est ergodique
Non ergodique
t
S(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 14
Traitement du signal Introduction
213 Classification signaux aleacuteatoires
-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps
t
S(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 15
Traitement du signal Introduction
214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie
-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee
et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave
eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires
-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie
et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie
Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents
2
( )W dtx t
22
2
10lim ( )
T
TT
TP dtx t
22
2
10 lim ( )
T
TT
Tdtx t
2
( )W dtx t
Techniques de mesure K Agbeviade 16
Traitement du signal Introduction
22 Autres classifications
Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des
bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute
numeacuteriquehellip)
Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes
Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable
Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires
Techniques de mesure K Agbeviade 17
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques
t
x(k)
kTe
Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu
par simple produit entre x(t) et PD(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e
k k
xe t x t P t x kT t kT x k t kT
t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)
Techniques de mesure K Agbeviade 18
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
Remarques sur leacutechantillonnage
La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute
Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle
Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant
Techniques de mesure K Agbeviade 19
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier
t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est
graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal
2( ) ( ) j ftx f x t e dt
La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est
graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te
2( ) ( ) ( )j ft
e e e
k k
x f t kT e dt f f kf
f-fB +fB
x(f)
f
f
PD(f)
+2fe-fe +fe
Techniques de mesure K Agbeviade 20
Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute
Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu
par produit de convolution entre x(f) et PD(f)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e
k k
x f x f P f x f f f kf f x f kf
f
-fB +fB
x(f)
PD(f)
+2fe-fe +fe
xk(f)
+2fe-fe +fe
Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude
Techniques de mesure K Agbeviade 21
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences
On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist
Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB
Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre
+fe2
xk(f)
+fe0f
Zone de recouvrement
+fe2
xk(f)
+fe0f
+fB
Techniques de mesure K Agbeviade 22
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur
Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2
lerreur relative car Ngtgt1
N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur
X1 12e
X X 2N 1 2N
Techniques de mesure K Agbeviade 23
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification
Signal temporel
Repreacutesentation Meacutethode de calcul
Signal freacutequentiel
Repreacutesentation
Continu et peacuteriodique
Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique
Continu et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et non peacuteriodique
Discret et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et peacuteriodique
Discret et peacuteriodique
Transformeacutee de Fourier discregravete
Discret et peacuteriodique
t
x(t)
f
x(f)
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
f
x(f)
f
x(f)
f
x(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 24
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode
si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies
continue et deacutefinie sur lintervalle
peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales
Valeur moyenne du signal
41 Seacuterie de Fourier
0
0
1T
fx(t)
x(t)
0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0
x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)
0 0T T
2 2
x(t)
0
0
t T
0
0 t T
1a x(t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1a x(t)cos(k t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1b x(t)sin(k t)dt
T
Techniques de mesure K Agbeviade 25
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
412 Seacuterie de Fourier autres formes
Vectorielle
modulephase
Complexe
Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls
k 0 kk 0
x(t) A cos(k t)
2 2
k k kA a b
kk
k
barctg( )
a
0( jk t )
kk
x(t) C e
0
0
t T
( jk t )
k
0 t
1C x(t)e dt
T
x(t) x( t) kkb 0
x(t) x( t) ka 0 kT0
x(t) x(t ) t2
T0
x(t) x(t ) t2
Techniques de mesure K Agbeviade 26
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier
Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique
Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors
est la transformeacutee de Fourier de x(t)
Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut
sa partie imaginaire vaut
est la transformeacutee inverse de Fourier
dt)t(x
dte)t(x)f(x )ft2j(
)f(x
dt)ft2cos()t(x)f(xRe
dt)ft2sin()t(x)f(xIm
dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1
Techniques de mesure K Agbeviade 27
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes
Domaine temporel Domaine freacutequentiel
Impulsion de Dirac(court dans le temps)
Spectre infini(large en freacutequences)
Signal infiniment large Impulsion courte
Porte Sinus cardinal
Techniques de mesure K Agbeviade 28
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
Techniques de mesure K Agbeviade 30
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 14
Traitement du signal Introduction
213 Classification signaux aleacuteatoires
-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps
t
S(t)
Techniques de mesure K Agbeviade 15
Traitement du signal Introduction
214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie
-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee
et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave
eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires
-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie
et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie
Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents
2
( )W dtx t
22
2
10lim ( )
T
TT
TP dtx t
22
2
10 lim ( )
T
TT
Tdtx t
2
( )W dtx t
Techniques de mesure K Agbeviade 16
Traitement du signal Introduction
22 Autres classifications
Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des
bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute
numeacuteriquehellip)
Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes
Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable
Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires
Techniques de mesure K Agbeviade 17
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques
t
x(k)
kTe
Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu
par simple produit entre x(t) et PD(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e
k k
xe t x t P t x kT t kT x k t kT
t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)
Techniques de mesure K Agbeviade 18
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
Remarques sur leacutechantillonnage
La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute
Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle
Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant
Techniques de mesure K Agbeviade 19
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier
t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est
graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal
2( ) ( ) j ftx f x t e dt
La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est
graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te
2( ) ( ) ( )j ft
e e e
k k
x f t kT e dt f f kf
f-fB +fB
x(f)
f
f
PD(f)
+2fe-fe +fe
Techniques de mesure K Agbeviade 20
Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute
Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu
par produit de convolution entre x(f) et PD(f)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e
k k
x f x f P f x f f f kf f x f kf
f
-fB +fB
x(f)
PD(f)
+2fe-fe +fe
xk(f)
+2fe-fe +fe
Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude
Techniques de mesure K Agbeviade 21
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences
On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist
Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB
Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre
+fe2
xk(f)
+fe0f
Zone de recouvrement
+fe2
xk(f)
+fe0f
+fB
Techniques de mesure K Agbeviade 22
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur
Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2
lerreur relative car Ngtgt1
N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur
X1 12e
X X 2N 1 2N
Techniques de mesure K Agbeviade 23
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification
Signal temporel
Repreacutesentation Meacutethode de calcul
Signal freacutequentiel
Repreacutesentation
Continu et peacuteriodique
Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique
Continu et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et non peacuteriodique
Discret et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et peacuteriodique
Discret et peacuteriodique
Transformeacutee de Fourier discregravete
Discret et peacuteriodique
t
x(t)
f
x(f)
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
f
x(f)
f
x(f)
f
x(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 24
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode
si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies
continue et deacutefinie sur lintervalle
peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales
Valeur moyenne du signal
41 Seacuterie de Fourier
0
0
1T
fx(t)
x(t)
0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0
x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)
0 0T T
2 2
x(t)
0
0
t T
0
0 t T
1a x(t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1a x(t)cos(k t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1b x(t)sin(k t)dt
T
Techniques de mesure K Agbeviade 25
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
412 Seacuterie de Fourier autres formes
Vectorielle
modulephase
Complexe
Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls
k 0 kk 0
x(t) A cos(k t)
2 2
k k kA a b
kk
k
barctg( )
a
0( jk t )
kk
x(t) C e
0
0
t T
( jk t )
k
0 t
1C x(t)e dt
T
x(t) x( t) kkb 0
x(t) x( t) ka 0 kT0
x(t) x(t ) t2
T0
x(t) x(t ) t2
Techniques de mesure K Agbeviade 26
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier
Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique
Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors
est la transformeacutee de Fourier de x(t)
Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut
sa partie imaginaire vaut
est la transformeacutee inverse de Fourier
dt)t(x
dte)t(x)f(x )ft2j(
)f(x
dt)ft2cos()t(x)f(xRe
dt)ft2sin()t(x)f(xIm
dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1
Techniques de mesure K Agbeviade 27
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes
Domaine temporel Domaine freacutequentiel
Impulsion de Dirac(court dans le temps)
Spectre infini(large en freacutequences)
Signal infiniment large Impulsion courte
Porte Sinus cardinal
Techniques de mesure K Agbeviade 28
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
Techniques de mesure K Agbeviade 30
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 15
Traitement du signal Introduction
214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie
-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee
et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave
eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires
-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie
et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie
Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents
2
( )W dtx t
22
2
10lim ( )
T
TT
TP dtx t
22
2
10 lim ( )
T
TT
Tdtx t
2
( )W dtx t
Techniques de mesure K Agbeviade 16
Traitement du signal Introduction
22 Autres classifications
Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des
bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute
numeacuteriquehellip)
Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes
Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable
Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires
Techniques de mesure K Agbeviade 17
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques
t
x(k)
kTe
Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu
par simple produit entre x(t) et PD(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e
k k
xe t x t P t x kT t kT x k t kT
t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)
Techniques de mesure K Agbeviade 18
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
Remarques sur leacutechantillonnage
La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute
Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle
Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant
Techniques de mesure K Agbeviade 19
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier
t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est
graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal
2( ) ( ) j ftx f x t e dt
La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est
graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te
2( ) ( ) ( )j ft
e e e
k k
x f t kT e dt f f kf
f-fB +fB
x(f)
f
f
PD(f)
+2fe-fe +fe
Techniques de mesure K Agbeviade 20
Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute
Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu
par produit de convolution entre x(f) et PD(f)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e
k k
x f x f P f x f f f kf f x f kf
f
-fB +fB
x(f)
PD(f)
+2fe-fe +fe
xk(f)
+2fe-fe +fe
Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude
Techniques de mesure K Agbeviade 21
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences
On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist
Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB
Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre
+fe2
xk(f)
+fe0f
Zone de recouvrement
+fe2
xk(f)
+fe0f
+fB
Techniques de mesure K Agbeviade 22
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur
Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2
lerreur relative car Ngtgt1
N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur
X1 12e
X X 2N 1 2N
Techniques de mesure K Agbeviade 23
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification
Signal temporel
Repreacutesentation Meacutethode de calcul
Signal freacutequentiel
Repreacutesentation
Continu et peacuteriodique
Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique
Continu et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et non peacuteriodique
Discret et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et peacuteriodique
Discret et peacuteriodique
Transformeacutee de Fourier discregravete
Discret et peacuteriodique
t
x(t)
f
x(f)
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
f
x(f)
f
x(f)
f
x(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 24
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode
si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies
continue et deacutefinie sur lintervalle
peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales
Valeur moyenne du signal
41 Seacuterie de Fourier
0
0
1T
fx(t)
x(t)
0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0
x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)
0 0T T
2 2
x(t)
0
0
t T
0
0 t T
1a x(t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1a x(t)cos(k t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1b x(t)sin(k t)dt
T
Techniques de mesure K Agbeviade 25
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
412 Seacuterie de Fourier autres formes
Vectorielle
modulephase
Complexe
Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls
k 0 kk 0
x(t) A cos(k t)
2 2
k k kA a b
kk
k
barctg( )
a
0( jk t )
kk
x(t) C e
0
0
t T
( jk t )
k
0 t
1C x(t)e dt
T
x(t) x( t) kkb 0
x(t) x( t) ka 0 kT0
x(t) x(t ) t2
T0
x(t) x(t ) t2
Techniques de mesure K Agbeviade 26
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier
Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique
Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors
est la transformeacutee de Fourier de x(t)
Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut
sa partie imaginaire vaut
est la transformeacutee inverse de Fourier
dt)t(x
dte)t(x)f(x )ft2j(
)f(x
dt)ft2cos()t(x)f(xRe
dt)ft2sin()t(x)f(xIm
dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1
Techniques de mesure K Agbeviade 27
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes
Domaine temporel Domaine freacutequentiel
Impulsion de Dirac(court dans le temps)
Spectre infini(large en freacutequences)
Signal infiniment large Impulsion courte
Porte Sinus cardinal
Techniques de mesure K Agbeviade 28
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
Techniques de mesure K Agbeviade 30
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 16
Traitement du signal Introduction
22 Autres classifications
Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des
bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute
numeacuteriquehellip)
Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes
Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable
Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires
Techniques de mesure K Agbeviade 17
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques
t
x(k)
kTe
Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu
par simple produit entre x(t) et PD(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e
k k
xe t x t P t x kT t kT x k t kT
t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)
Techniques de mesure K Agbeviade 18
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
Remarques sur leacutechantillonnage
La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute
Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle
Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant
Techniques de mesure K Agbeviade 19
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier
t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est
graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal
2( ) ( ) j ftx f x t e dt
La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est
graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te
2( ) ( ) ( )j ft
e e e
k k
x f t kT e dt f f kf
f-fB +fB
x(f)
f
f
PD(f)
+2fe-fe +fe
Techniques de mesure K Agbeviade 20
Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute
Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu
par produit de convolution entre x(f) et PD(f)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e
k k
x f x f P f x f f f kf f x f kf
f
-fB +fB
x(f)
PD(f)
+2fe-fe +fe
xk(f)
+2fe-fe +fe
Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude
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Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences
On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist
Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB
Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre
+fe2
xk(f)
+fe0f
Zone de recouvrement
+fe2
xk(f)
+fe0f
+fB
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Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur
Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2
lerreur relative car Ngtgt1
N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur
X1 12e
X X 2N 1 2N
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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification
Signal temporel
Repreacutesentation Meacutethode de calcul
Signal freacutequentiel
Repreacutesentation
Continu et peacuteriodique
Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique
Continu et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et non peacuteriodique
Discret et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et peacuteriodique
Discret et peacuteriodique
Transformeacutee de Fourier discregravete
Discret et peacuteriodique
t
x(t)
f
x(f)
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
f
x(f)
f
x(f)
f
x(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 24
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode
si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies
continue et deacutefinie sur lintervalle
peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales
Valeur moyenne du signal
41 Seacuterie de Fourier
0
0
1T
fx(t)
x(t)
0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0
x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)
0 0T T
2 2
x(t)
0
0
t T
0
0 t T
1a x(t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1a x(t)cos(k t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1b x(t)sin(k t)dt
T
Techniques de mesure K Agbeviade 25
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
412 Seacuterie de Fourier autres formes
Vectorielle
modulephase
Complexe
Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls
k 0 kk 0
x(t) A cos(k t)
2 2
k k kA a b
kk
k
barctg( )
a
0( jk t )
kk
x(t) C e
0
0
t T
( jk t )
k
0 t
1C x(t)e dt
T
x(t) x( t) kkb 0
x(t) x( t) ka 0 kT0
x(t) x(t ) t2
T0
x(t) x(t ) t2
Techniques de mesure K Agbeviade 26
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier
Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique
Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors
est la transformeacutee de Fourier de x(t)
Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut
sa partie imaginaire vaut
est la transformeacutee inverse de Fourier
dt)t(x
dte)t(x)f(x )ft2j(
)f(x
dt)ft2cos()t(x)f(xRe
dt)ft2sin()t(x)f(xIm
dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1
Techniques de mesure K Agbeviade 27
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes
Domaine temporel Domaine freacutequentiel
Impulsion de Dirac(court dans le temps)
Spectre infini(large en freacutequences)
Signal infiniment large Impulsion courte
Porte Sinus cardinal
Techniques de mesure K Agbeviade 28
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
Techniques de mesure K Agbeviade 30
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 17
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques
t
x(k)
kTe
Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu
par simple produit entre x(t) et PD(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e
k k
xe t x t P t x kT t kT x k t kT
t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)
Techniques de mesure K Agbeviade 18
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
Remarques sur leacutechantillonnage
La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute
Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle
Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant
Techniques de mesure K Agbeviade 19
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier
t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est
graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal
2( ) ( ) j ftx f x t e dt
La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est
graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te
2( ) ( ) ( )j ft
e e e
k k
x f t kT e dt f f kf
f-fB +fB
x(f)
f
f
PD(f)
+2fe-fe +fe
Techniques de mesure K Agbeviade 20
Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute
Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu
par produit de convolution entre x(f) et PD(f)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e
k k
x f x f P f x f f f kf f x f kf
f
-fB +fB
x(f)
PD(f)
+2fe-fe +fe
xk(f)
+2fe-fe +fe
Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude
Techniques de mesure K Agbeviade 21
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences
On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist
Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB
Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre
+fe2
xk(f)
+fe0f
Zone de recouvrement
+fe2
xk(f)
+fe0f
+fB
Techniques de mesure K Agbeviade 22
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur
Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2
lerreur relative car Ngtgt1
N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur
X1 12e
X X 2N 1 2N
Techniques de mesure K Agbeviade 23
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification
Signal temporel
Repreacutesentation Meacutethode de calcul
Signal freacutequentiel
Repreacutesentation
Continu et peacuteriodique
Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique
Continu et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et non peacuteriodique
Discret et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et peacuteriodique
Discret et peacuteriodique
Transformeacutee de Fourier discregravete
Discret et peacuteriodique
t
x(t)
f
x(f)
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
f
x(f)
f
x(f)
f
x(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 24
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode
si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies
continue et deacutefinie sur lintervalle
peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales
Valeur moyenne du signal
41 Seacuterie de Fourier
0
0
1T
fx(t)
x(t)
0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0
x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)
0 0T T
2 2
x(t)
0
0
t T
0
0 t T
1a x(t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1a x(t)cos(k t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1b x(t)sin(k t)dt
T
Techniques de mesure K Agbeviade 25
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
412 Seacuterie de Fourier autres formes
Vectorielle
modulephase
Complexe
Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls
k 0 kk 0
x(t) A cos(k t)
2 2
k k kA a b
kk
k
barctg( )
a
0( jk t )
kk
x(t) C e
0
0
t T
( jk t )
k
0 t
1C x(t)e dt
T
x(t) x( t) kkb 0
x(t) x( t) ka 0 kT0
x(t) x(t ) t2
T0
x(t) x(t ) t2
Techniques de mesure K Agbeviade 26
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier
Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique
Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors
est la transformeacutee de Fourier de x(t)
Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut
sa partie imaginaire vaut
est la transformeacutee inverse de Fourier
dt)t(x
dte)t(x)f(x )ft2j(
)f(x
dt)ft2cos()t(x)f(xRe
dt)ft2sin()t(x)f(xIm
dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1
Techniques de mesure K Agbeviade 27
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes
Domaine temporel Domaine freacutequentiel
Impulsion de Dirac(court dans le temps)
Spectre infini(large en freacutequences)
Signal infiniment large Impulsion courte
Porte Sinus cardinal
Techniques de mesure K Agbeviade 28
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
Techniques de mesure K Agbeviade 30
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 18
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
Remarques sur leacutechantillonnage
La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute
Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle
Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant
Techniques de mesure K Agbeviade 19
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier
t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est
graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal
2( ) ( ) j ftx f x t e dt
La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est
graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te
2( ) ( ) ( )j ft
e e e
k k
x f t kT e dt f f kf
f-fB +fB
x(f)
f
f
PD(f)
+2fe-fe +fe
Techniques de mesure K Agbeviade 20
Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute
Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu
par produit de convolution entre x(f) et PD(f)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e
k k
x f x f P f x f f f kf f x f kf
f
-fB +fB
x(f)
PD(f)
+2fe-fe +fe
xk(f)
+2fe-fe +fe
Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude
Techniques de mesure K Agbeviade 21
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences
On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist
Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB
Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre
+fe2
xk(f)
+fe0f
Zone de recouvrement
+fe2
xk(f)
+fe0f
+fB
Techniques de mesure K Agbeviade 22
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur
Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2
lerreur relative car Ngtgt1
N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur
X1 12e
X X 2N 1 2N
Techniques de mesure K Agbeviade 23
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification
Signal temporel
Repreacutesentation Meacutethode de calcul
Signal freacutequentiel
Repreacutesentation
Continu et peacuteriodique
Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique
Continu et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et non peacuteriodique
Discret et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et peacuteriodique
Discret et peacuteriodique
Transformeacutee de Fourier discregravete
Discret et peacuteriodique
t
x(t)
f
x(f)
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
f
x(f)
f
x(f)
f
x(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 24
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode
si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies
continue et deacutefinie sur lintervalle
peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales
Valeur moyenne du signal
41 Seacuterie de Fourier
0
0
1T
fx(t)
x(t)
0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0
x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)
0 0T T
2 2
x(t)
0
0
t T
0
0 t T
1a x(t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1a x(t)cos(k t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1b x(t)sin(k t)dt
T
Techniques de mesure K Agbeviade 25
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
412 Seacuterie de Fourier autres formes
Vectorielle
modulephase
Complexe
Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls
k 0 kk 0
x(t) A cos(k t)
2 2
k k kA a b
kk
k
barctg( )
a
0( jk t )
kk
x(t) C e
0
0
t T
( jk t )
k
0 t
1C x(t)e dt
T
x(t) x( t) kkb 0
x(t) x( t) ka 0 kT0
x(t) x(t ) t2
T0
x(t) x(t ) t2
Techniques de mesure K Agbeviade 26
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier
Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique
Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors
est la transformeacutee de Fourier de x(t)
Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut
sa partie imaginaire vaut
est la transformeacutee inverse de Fourier
dt)t(x
dte)t(x)f(x )ft2j(
)f(x
dt)ft2cos()t(x)f(xRe
dt)ft2sin()t(x)f(xIm
dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1
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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes
Domaine temporel Domaine freacutequentiel
Impulsion de Dirac(court dans le temps)
Spectre infini(large en freacutequences)
Signal infiniment large Impulsion courte
Porte Sinus cardinal
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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
Techniques de mesure K Agbeviade 30
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 19
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier
t
x(t) Signal continu x(t)
t kTe
PD(t)
Peigne de Dirac de peacuteriode Te
( ) ( )D e
k
P t t kT
La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est
graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal
2( ) ( ) j ftx f x t e dt
La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est
graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te
2( ) ( ) ( )j ft
e e e
k k
x f t kT e dt f f kf
f-fB +fB
x(f)
f
f
PD(f)
+2fe-fe +fe
Techniques de mesure K Agbeviade 20
Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute
Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu
par produit de convolution entre x(f) et PD(f)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e
k k
x f x f P f x f f f kf f x f kf
f
-fB +fB
x(f)
PD(f)
+2fe-fe +fe
xk(f)
+2fe-fe +fe
Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude
Techniques de mesure K Agbeviade 21
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences
On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist
Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB
Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre
+fe2
xk(f)
+fe0f
Zone de recouvrement
+fe2
xk(f)
+fe0f
+fB
Techniques de mesure K Agbeviade 22
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur
Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2
lerreur relative car Ngtgt1
N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur
X1 12e
X X 2N 1 2N
Techniques de mesure K Agbeviade 23
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification
Signal temporel
Repreacutesentation Meacutethode de calcul
Signal freacutequentiel
Repreacutesentation
Continu et peacuteriodique
Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique
Continu et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et non peacuteriodique
Discret et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et peacuteriodique
Discret et peacuteriodique
Transformeacutee de Fourier discregravete
Discret et peacuteriodique
t
x(t)
f
x(f)
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
f
x(f)
f
x(f)
f
x(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 24
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode
si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies
continue et deacutefinie sur lintervalle
peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales
Valeur moyenne du signal
41 Seacuterie de Fourier
0
0
1T
fx(t)
x(t)
0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0
x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)
0 0T T
2 2
x(t)
0
0
t T
0
0 t T
1a x(t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1a x(t)cos(k t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1b x(t)sin(k t)dt
T
Techniques de mesure K Agbeviade 25
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
412 Seacuterie de Fourier autres formes
Vectorielle
modulephase
Complexe
Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls
k 0 kk 0
x(t) A cos(k t)
2 2
k k kA a b
kk
k
barctg( )
a
0( jk t )
kk
x(t) C e
0
0
t T
( jk t )
k
0 t
1C x(t)e dt
T
x(t) x( t) kkb 0
x(t) x( t) ka 0 kT0
x(t) x(t ) t2
T0
x(t) x(t ) t2
Techniques de mesure K Agbeviade 26
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier
Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique
Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors
est la transformeacutee de Fourier de x(t)
Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut
sa partie imaginaire vaut
est la transformeacutee inverse de Fourier
dt)t(x
dte)t(x)f(x )ft2j(
)f(x
dt)ft2cos()t(x)f(xRe
dt)ft2sin()t(x)f(xIm
dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1
Techniques de mesure K Agbeviade 27
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes
Domaine temporel Domaine freacutequentiel
Impulsion de Dirac(court dans le temps)
Spectre infini(large en freacutequences)
Signal infiniment large Impulsion courte
Porte Sinus cardinal
Techniques de mesure K Agbeviade 28
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
Techniques de mesure K Agbeviade 30
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 20
Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute
Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu
par produit de convolution entre x(f) et PD(f)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e
k k
x f x f P f x f f f kf f x f kf
f
-fB +fB
x(f)
PD(f)
+2fe-fe +fe
xk(f)
+2fe-fe +fe
Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude
Techniques de mesure K Agbeviade 21
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences
On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist
Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB
Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre
+fe2
xk(f)
+fe0f
Zone de recouvrement
+fe2
xk(f)
+fe0f
+fB
Techniques de mesure K Agbeviade 22
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur
Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2
lerreur relative car Ngtgt1
N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur
X1 12e
X X 2N 1 2N
Techniques de mesure K Agbeviade 23
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification
Signal temporel
Repreacutesentation Meacutethode de calcul
Signal freacutequentiel
Repreacutesentation
Continu et peacuteriodique
Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique
Continu et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et non peacuteriodique
Discret et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et peacuteriodique
Discret et peacuteriodique
Transformeacutee de Fourier discregravete
Discret et peacuteriodique
t
x(t)
f
x(f)
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
f
x(f)
f
x(f)
f
x(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 24
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode
si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies
continue et deacutefinie sur lintervalle
peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales
Valeur moyenne du signal
41 Seacuterie de Fourier
0
0
1T
fx(t)
x(t)
0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0
x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)
0 0T T
2 2
x(t)
0
0
t T
0
0 t T
1a x(t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1a x(t)cos(k t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1b x(t)sin(k t)dt
T
Techniques de mesure K Agbeviade 25
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
412 Seacuterie de Fourier autres formes
Vectorielle
modulephase
Complexe
Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls
k 0 kk 0
x(t) A cos(k t)
2 2
k k kA a b
kk
k
barctg( )
a
0( jk t )
kk
x(t) C e
0
0
t T
( jk t )
k
0 t
1C x(t)e dt
T
x(t) x( t) kkb 0
x(t) x( t) ka 0 kT0
x(t) x(t ) t2
T0
x(t) x(t ) t2
Techniques de mesure K Agbeviade 26
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier
Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique
Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors
est la transformeacutee de Fourier de x(t)
Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut
sa partie imaginaire vaut
est la transformeacutee inverse de Fourier
dt)t(x
dte)t(x)f(x )ft2j(
)f(x
dt)ft2cos()t(x)f(xRe
dt)ft2sin()t(x)f(xIm
dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1
Techniques de mesure K Agbeviade 27
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes
Domaine temporel Domaine freacutequentiel
Impulsion de Dirac(court dans le temps)
Spectre infini(large en freacutequences)
Signal infiniment large Impulsion courte
Porte Sinus cardinal
Techniques de mesure K Agbeviade 28
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
Techniques de mesure K Agbeviade 30
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
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Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
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Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 21
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences
On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist
Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB
Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre
+fe2
xk(f)
+fe0f
Zone de recouvrement
+fe2
xk(f)
+fe0f
+fB
Techniques de mesure K Agbeviade 22
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur
Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2
lerreur relative car Ngtgt1
N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur
X1 12e
X X 2N 1 2N
Techniques de mesure K Agbeviade 23
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification
Signal temporel
Repreacutesentation Meacutethode de calcul
Signal freacutequentiel
Repreacutesentation
Continu et peacuteriodique
Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique
Continu et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et non peacuteriodique
Discret et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et peacuteriodique
Discret et peacuteriodique
Transformeacutee de Fourier discregravete
Discret et peacuteriodique
t
x(t)
f
x(f)
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
f
x(f)
f
x(f)
f
x(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 24
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode
si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies
continue et deacutefinie sur lintervalle
peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales
Valeur moyenne du signal
41 Seacuterie de Fourier
0
0
1T
fx(t)
x(t)
0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0
x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)
0 0T T
2 2
x(t)
0
0
t T
0
0 t T
1a x(t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1a x(t)cos(k t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1b x(t)sin(k t)dt
T
Techniques de mesure K Agbeviade 25
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
412 Seacuterie de Fourier autres formes
Vectorielle
modulephase
Complexe
Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls
k 0 kk 0
x(t) A cos(k t)
2 2
k k kA a b
kk
k
barctg( )
a
0( jk t )
kk
x(t) C e
0
0
t T
( jk t )
k
0 t
1C x(t)e dt
T
x(t) x( t) kkb 0
x(t) x( t) ka 0 kT0
x(t) x(t ) t2
T0
x(t) x(t ) t2
Techniques de mesure K Agbeviade 26
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier
Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique
Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors
est la transformeacutee de Fourier de x(t)
Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut
sa partie imaginaire vaut
est la transformeacutee inverse de Fourier
dt)t(x
dte)t(x)f(x )ft2j(
)f(x
dt)ft2cos()t(x)f(xRe
dt)ft2sin()t(x)f(xIm
dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1
Techniques de mesure K Agbeviade 27
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes
Domaine temporel Domaine freacutequentiel
Impulsion de Dirac(court dans le temps)
Spectre infini(large en freacutequences)
Signal infiniment large Impulsion courte
Porte Sinus cardinal
Techniques de mesure K Agbeviade 28
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
Techniques de mesure K Agbeviade 30
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 22
Traitement du signalNumeacuterisation dun signal
33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur
Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2
lerreur relative car Ngtgt1
N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur
X1 12e
X X 2N 1 2N
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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification
Signal temporel
Repreacutesentation Meacutethode de calcul
Signal freacutequentiel
Repreacutesentation
Continu et peacuteriodique
Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique
Continu et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et non peacuteriodique
Discret et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et peacuteriodique
Discret et peacuteriodique
Transformeacutee de Fourier discregravete
Discret et peacuteriodique
t
x(t)
f
x(f)
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
f
x(f)
f
x(f)
f
x(f)
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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode
si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies
continue et deacutefinie sur lintervalle
peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales
Valeur moyenne du signal
41 Seacuterie de Fourier
0
0
1T
fx(t)
x(t)
0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0
x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)
0 0T T
2 2
x(t)
0
0
t T
0
0 t T
1a x(t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1a x(t)cos(k t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1b x(t)sin(k t)dt
T
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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
412 Seacuterie de Fourier autres formes
Vectorielle
modulephase
Complexe
Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls
k 0 kk 0
x(t) A cos(k t)
2 2
k k kA a b
kk
k
barctg( )
a
0( jk t )
kk
x(t) C e
0
0
t T
( jk t )
k
0 t
1C x(t)e dt
T
x(t) x( t) kkb 0
x(t) x( t) ka 0 kT0
x(t) x(t ) t2
T0
x(t) x(t ) t2
Techniques de mesure K Agbeviade 26
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier
Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique
Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors
est la transformeacutee de Fourier de x(t)
Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut
sa partie imaginaire vaut
est la transformeacutee inverse de Fourier
dt)t(x
dte)t(x)f(x )ft2j(
)f(x
dt)ft2cos()t(x)f(xRe
dt)ft2sin()t(x)f(xIm
dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1
Techniques de mesure K Agbeviade 27
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes
Domaine temporel Domaine freacutequentiel
Impulsion de Dirac(court dans le temps)
Spectre infini(large en freacutequences)
Signal infiniment large Impulsion courte
Porte Sinus cardinal
Techniques de mesure K Agbeviade 28
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
Techniques de mesure K Agbeviade 30
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 23
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification
Signal temporel
Repreacutesentation Meacutethode de calcul
Signal freacutequentiel
Repreacutesentation
Continu et peacuteriodique
Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique
Continu et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et non peacuteriodique
Discret et non peacuteriodique
Inteacutegrale de Fourier
Continu et peacuteriodique
Discret et peacuteriodique
Transformeacutee de Fourier discregravete
Discret et peacuteriodique
t
x(t)
f
x(f)
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
f
x(f)
f
x(f)
f
x(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 24
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode
si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies
continue et deacutefinie sur lintervalle
peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales
Valeur moyenne du signal
41 Seacuterie de Fourier
0
0
1T
fx(t)
x(t)
0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0
x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)
0 0T T
2 2
x(t)
0
0
t T
0
0 t T
1a x(t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1a x(t)cos(k t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1b x(t)sin(k t)dt
T
Techniques de mesure K Agbeviade 25
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
412 Seacuterie de Fourier autres formes
Vectorielle
modulephase
Complexe
Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls
k 0 kk 0
x(t) A cos(k t)
2 2
k k kA a b
kk
k
barctg( )
a
0( jk t )
kk
x(t) C e
0
0
t T
( jk t )
k
0 t
1C x(t)e dt
T
x(t) x( t) kkb 0
x(t) x( t) ka 0 kT0
x(t) x(t ) t2
T0
x(t) x(t ) t2
Techniques de mesure K Agbeviade 26
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier
Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique
Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors
est la transformeacutee de Fourier de x(t)
Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut
sa partie imaginaire vaut
est la transformeacutee inverse de Fourier
dt)t(x
dte)t(x)f(x )ft2j(
)f(x
dt)ft2cos()t(x)f(xRe
dt)ft2sin()t(x)f(xIm
dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1
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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes
Domaine temporel Domaine freacutequentiel
Impulsion de Dirac(court dans le temps)
Spectre infini(large en freacutequences)
Signal infiniment large Impulsion courte
Porte Sinus cardinal
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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 24
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode
si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies
continue et deacutefinie sur lintervalle
peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales
Valeur moyenne du signal
41 Seacuterie de Fourier
0
0
1T
fx(t)
x(t)
0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0
x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)
0 0T T
2 2
x(t)
0
0
t T
0
0 t T
1a x(t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1a x(t)cos(k t)dt
T
0t T
k 0
0 t
1b x(t)sin(k t)dt
T
Techniques de mesure K Agbeviade 25
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
412 Seacuterie de Fourier autres formes
Vectorielle
modulephase
Complexe
Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls
k 0 kk 0
x(t) A cos(k t)
2 2
k k kA a b
kk
k
barctg( )
a
0( jk t )
kk
x(t) C e
0
0
t T
( jk t )
k
0 t
1C x(t)e dt
T
x(t) x( t) kkb 0
x(t) x( t) ka 0 kT0
x(t) x(t ) t2
T0
x(t) x(t ) t2
Techniques de mesure K Agbeviade 26
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier
Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique
Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors
est la transformeacutee de Fourier de x(t)
Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut
sa partie imaginaire vaut
est la transformeacutee inverse de Fourier
dt)t(x
dte)t(x)f(x )ft2j(
)f(x
dt)ft2cos()t(x)f(xRe
dt)ft2sin()t(x)f(xIm
dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1
Techniques de mesure K Agbeviade 27
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes
Domaine temporel Domaine freacutequentiel
Impulsion de Dirac(court dans le temps)
Spectre infini(large en freacutequences)
Signal infiniment large Impulsion courte
Porte Sinus cardinal
Techniques de mesure K Agbeviade 28
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
Techniques de mesure K Agbeviade 30
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
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Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
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Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
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Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 25
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
412 Seacuterie de Fourier autres formes
Vectorielle
modulephase
Complexe
Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls
k 0 kk 0
x(t) A cos(k t)
2 2
k k kA a b
kk
k
barctg( )
a
0( jk t )
kk
x(t) C e
0
0
t T
( jk t )
k
0 t
1C x(t)e dt
T
x(t) x( t) kkb 0
x(t) x( t) ka 0 kT0
x(t) x(t ) t2
T0
x(t) x(t ) t2
Techniques de mesure K Agbeviade 26
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier
Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique
Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors
est la transformeacutee de Fourier de x(t)
Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut
sa partie imaginaire vaut
est la transformeacutee inverse de Fourier
dt)t(x
dte)t(x)f(x )ft2j(
)f(x
dt)ft2cos()t(x)f(xRe
dt)ft2sin()t(x)f(xIm
dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1
Techniques de mesure K Agbeviade 27
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes
Domaine temporel Domaine freacutequentiel
Impulsion de Dirac(court dans le temps)
Spectre infini(large en freacutequences)
Signal infiniment large Impulsion courte
Porte Sinus cardinal
Techniques de mesure K Agbeviade 28
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
Techniques de mesure K Agbeviade 30
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
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ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
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ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier
Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique
Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors
est la transformeacutee de Fourier de x(t)
Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut
sa partie imaginaire vaut
est la transformeacutee inverse de Fourier
dt)t(x
dte)t(x)f(x )ft2j(
)f(x
dt)ft2cos()t(x)f(xRe
dt)ft2sin()t(x)f(xIm
dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1
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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes
Domaine temporel Domaine freacutequentiel
Impulsion de Dirac(court dans le temps)
Spectre infini(large en freacutequences)
Signal infiniment large Impulsion courte
Porte Sinus cardinal
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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
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433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
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Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
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Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 27
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes
Domaine temporel Domaine freacutequentiel
Impulsion de Dirac(court dans le temps)
Spectre infini(large en freacutequences)
Signal infiniment large Impulsion courte
Porte Sinus cardinal
Techniques de mesure K Agbeviade 28
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
Techniques de mesure K Agbeviade 30
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
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Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
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Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
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Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
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Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
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Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
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Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 28
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel
Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel
On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau
Quelque soit le signal la TFD sapplique
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 29
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
43 Transformeacutee de Fourier Discregravete
Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk
est la transformeacutee inverse
Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est
1N
0k
N
mk2j
km exx
12
N
2
1N
f
Fe2
0
Δf
A
f=Δf(N2)-1 N pair
f=Δf(N-1)2) N impair2Δf
1N
0m
N
mk2j
mk exN
1x
Techniques de mesure K Agbeviade 30
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 30
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)
Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes
Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)
La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 31
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
432 Reacutesolution freacutequentielle
Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur
ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)
Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles
N
ff e
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
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Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
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Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
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Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 32
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre
t
x(k)
t
w(t)
t
x(k)w(t)
f
w(f)
f
x(f)
f
x(f)w(f)
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 33
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires
Pente de deacutecroissance
Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB
Largeur agrave -6dB
A dB
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
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Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
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Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 34
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes
Fenecirctre AllureTemporelle
Equation Largeur Lobe Princ
-3dB
Largeur Lobe Princ
-6dB
Niveau 1er lobe
sec
Pente datt des lobes sec
Rect Wk=1K=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct
Hamming
K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs
13N 181N -43 dB -6 dBoct
HanningK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
144N 2N -32 dB -18 dBoct
BlackmanK=0hellipN-1
Wk=0 ailleurs
168N 235N -58 dB -18 dBoct
k
2W 054 046cos( k)
N
k
2W 05 05cos( k)
N
k
2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)
N N
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 35
Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle
433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix
Fenecirctre AllureTemporelle
Remarques
Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees
Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude
HanningA peine moins bon que le Hamming
Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle
1
0 k
1
0 k
1
0 k
1
0 k
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 36
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie
xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit
k k k i k ii
y x g x g
N 1
k k k i k ii 0
y x g x g k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
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Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 37
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux
Lintercorreacutelation des deux signaux vaut
Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
xy k i i ki
C x y k
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 0N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 38
Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
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k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
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Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
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Traitement du signalautres opeacuterations
5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons
Pour la convolution la relation devient
Pour la correacutelation la relation devient
Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i
N 1
xy k i i ki 0
C x y k 02N 1
N 1
k i k ii 0
y x g k 02N 1
Techniques de mesure K Agbeviade 39
Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
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Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
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Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
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Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
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Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
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Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
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Nk
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N
1)m(h
2
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)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
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682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
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Traitement du signalfiltrage
6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)
-Moyenne glissante
-Meacutethode de la fenecirctre
-Echantillonnage en freacuteq
Filtres
Analogiques Numeacuterique
Reacuteponse Imp
Finie
Reacuteponse Imp
Infinie
-Synthegraveses par eacutequivalences
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Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
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Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
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Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
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0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
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e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
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Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 40
Traitement du signalfiltrage
62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse
f
|H(s)|
Passe basf
|H(s)|
Passe bandef
|H(s)|
Passe haut
f
|H(s)|
Coupe bandef
|H(s)|
Passe tout ou deacutephaseur
Techniques de mesure K Agbeviade 41
Traitement du signalfiltrage
63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
Techniques de mesure K Agbeviade 42
Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
Techniques de mesure K Agbeviade 43
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
Techniques de mesure K Agbeviade 44
Traitement du signalfiltrage
67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
Techniques de mesure K Agbeviade 45
Traitement du signalfiltrage
68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
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Nk N
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1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 41
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63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre
Gabarit dun filtre passe bas
En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante
Amax
Amin
Freq
stop
f
|H(s)|
Freq
coupure
OndulationDs BP
Zone de transition
Bande coupeacuteeBande
passante
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64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
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67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
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67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
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68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
N
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6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
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)nk(xN
1)k(y
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Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
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682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
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Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
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Traitement du signalfiltrage
64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau
65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee
TypeOndulation
Dans la bande passante
PhaseZone de transition
Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire
Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu
Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation
Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes
Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides
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67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
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67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
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68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
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6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
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Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
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682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
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Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
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ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
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67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux
paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz
2
1Ftransmission H(s)
(04771s 0996s 1)(0756s 1)
9 2 6 6
1Ftransfert H( )
(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)
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67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre
Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants
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68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
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6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
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Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
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682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
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Traitement du signalfiltrage
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68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul
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6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
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6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
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Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
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68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage
Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm
sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie
681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et
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0mm
N
0nn )mk(yb)nk(xa)k(y
X(n)y(n)h(n)
Techniques de mesure K Agbeviade 46
Traitement du signalfiltrage
6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme
Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
Techniques de mesure K Agbeviade 47
Traitement du signalfiltrage
Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par
6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
2
Nk
N
mjk2
kj
e
0 ee)NT
k(T
N
1)m(h
2
N
2
Nk N
kj2
1
e
0N
)ez(1
)NT
kj(T
N
z1)z(T
Techniques de mesure K Agbeviade 48
Traitement du signalfiltrage
682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)
Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
Techniques de mesure K Agbeviade 49
Traitement numeacuterique du signalapplication
7 Logiciels
Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que
MatlabLabviewVEE proExcel
Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards
Techniques de mesure K Agbeviade 50
ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR
ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse
ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL
ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes
ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR
ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL
ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse
ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR
Bibliographie
Techniques de mesure K Agbeviade 46
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Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal
6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme
1N
0n
)nk(xN
1)k(y
n
0k
)kn(x)k(h)n(y
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6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous
12
N
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2
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N
z1)z(T
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Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee
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12
N
2
Nk
N
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2
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0N
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)NT
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N
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