analisis estadistico descriptivo
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HERRAMIENTAS DE DESCRIPCIÓN ESTADÍSTICA
Dr. Roberto Carrillo Mg.DOCENTE MATEMÁTICA F.C.A
ETAPA DE ANALISIS E INTERPRETACIÓN
ETAPA DE ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE DATOS
MEDIDAS DE RESUMEN
2recc
ETAPA DE RECOLECCIÓN DE DATOS
En esta etapa empieza la ejecución de la investigación, es decir; el investigador pone en marcha la etapa de Planeamiento.A través de la recolección, se obtienen los datos que se requieren para alcanzar los objetivos y demostrar las hipótesis de la investigación. La obtención de datos se realiza teniendo en cuenta lo siguiente:
3recc
Fuentes de información
Cuando se recoge información es posible que los datos ya hayan sido obtenidos de las unidades de observación y publicados o registrados por otros, o que los datos se tengan que obtener directamente de las unidades de observación en forma personal. Las fuentes de información son de dos clases.
Fuente primaria: Si la información se obtiene directamente de la misma persona o entidad, utilizando ciertas técnicas (entrevista, cuestionario, etc.).Ej..:- Aplicar un test a un grupo de estudiantes para determinar el nivel intelectual.
4recc
FUENTES:
- Llevar a cabo una encuesta para conocer la situación socio-económica de los pobladores de la comunidad “x”.
- Observar la reacción de un grupo de personas con determinada adicción.
- Fuente secundaria:Si la información a obtener, ya ha sido recopilada por otras personas o instituciones.
Este tipo de información la encontramos en los informes estadísticos de las instituciones públicas o privadas. Ej.. INEC
5recc
Sistemas de recolección:
Los datos pueden ser recogidos a través de:Registros:Mediante los registros se anotan los datos en forma regular, permanente y obligatoria, obteniendo la información total y sistemática de los hechos ocurridos:Ej.:Registro de contribuyentes.Registro electoralRegistro civil, etc.
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Sistemas de recolección:
Encuestas:Es la recolección de datos en forma temporal y pueden ser:- Censal: Cuando abarca a toda la población en estudio.Ej..Censo de población y vivienda de una ciudad o país.- Muestral: Cuando abarca una parte de la población en
estudio.Ej.:- Encuesta de nutrición.- Encuesta de preferencia de consumo, etc.
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Técnicas de recolección:
Existen muchos métodos para recoger la información, entre los cuales el investigador debe elegir los que se adapten a las circunstancias o al tipo de investigación, Entre las técnicas más usadas tenemos:- Cuestionario.- Observación.- Entrevista- Test.- Análisis de contenido, etc.
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ETAPA DE ELABORACIÓN DE DATOS
En la etapa de recolección se obtiene gran cantidad de datos, los mismos que se encuentran en formularios, cuestionarios, etc., y totalmente desordenados. En esta etapa se trata de organizar dichos datos y para ello es necesario cumplir dos actividades: Revisión o crítica y clasificación de datos.Revisión o critica de datos.“La revisión tiene por objeto: a) determinar si se han recibido todos los formularios o al menos una proporción que sea suficiente para no invalidar las conclusiones que se podrían hacer; b) verificar que estén registradas todas las respuestas recogidas y c) localizar posibles incongruencias en la información proporcionada. La revisión de datos constituye lo se ha dado en llamar control de calidad de la información”.
9recc
ETAPA DE ELABORACIÓN DE DATOS
Entre las posibles causas del envió incompleto de formularios tenemos:- Formularios o cuestionarios muy extensos.- Ausencia de instrucciones claras.- Bajo nivel educativo del informante.- Dotación insuficiente o inoportuna de los formularios o cuestionarios.Si no se han registrado todas las respuestas requeridas, puede deberse a:- Formularios o cuestionarios mal diseñados.- Negligencia del entrevistador ya que no recibió adiestramiento.- Informante se niega a contestar la pregunta.Las incongruencias provienen de respuestas, cuyos valores quedan fuera de lo considerado como posible o probable. Por ejemplo, si se indica que una persona tiene 5 años de edad y luego aparece su grado de instrucción como secundaria, es evidente que existe incongruencia.
10recc
Las causas de incongruencias pueden ser: “ Personal poco calificado e irresponsable, preguntas confusas en el
formulario que por su extensión provoca fatiga, informante poco motivado que da como respuesta lo primero que se le ocurre para salir del paso o demasiado complaciente, pues piensa que negar o afirmar determinada cosa va a ser recibido con beneplácito por el encuestador”
Clasificación de datos.La clasificación tiene por objeto organizar los datos en categorías, pero teniendo en cuenta la escala de medición de las variables:Clasificación de los datos medidos a nivel nominal u ordinal.
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Importancia del estudio estadístico
Lo más importante no está en lo que la muestra nos dice sobre sus miembros específicos, sino en cómo hacer inferencias sobre los miembros de la población que no fueron incluidos en la muestra.
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Importancia del estudio estadístico
Un estadístico primero diseña la muestra y el experimento para minimizar los costos de obtener la información.
Después busca el mejor método para realizar la inferencia según el muestreo dado.
Finalmente mide la bondad de la inferencia.
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Variables Aleatorias
A los diferentes fenómenos o características que se miden en un estudio estadístico se les denomina variables aleatorias.
La diferencia entre variables aleatorias y variables algebraicas es que nos interesa saber la probabilidad de ocurrencia de sus posibles valores antes de que estos valores sean observados.
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Tipos de Datos
Cualitativos: Arrojan respuesta categóricas. Miden cualidades Se les puede asignar después un valor
numérico (codificarlas) Cuantitativos:
Producen respuestas numéricas. Miden cantidades Podemos tratar un dato cuantitativo como
cualitativo (categorizando)15recc
Tipos de Datos Cuantitativos
Discretos: Si el número de posibles valores que puede tomar es
contable (número naturales). Generalmente resultan de un proceso de conteo.Ej.Número de facturasNúmero de estudiantes.Número de niños nacidos vivos.Número de ahorristas, etc.
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Tipos de Datos Cuantitativos
Continuos: Si sus posibles valores son susceptibles de ser
medidos, pueden asumir valores decimales. Generalmente resultan de un proceso de medición.Ej.PesoTemperaturaEdad en años, meses y días, etc.
17recc
Escalas de Medición
Los datos que se asocian con las variables aleatorias pueden medirse con diferentes escalas dependiendo del tipo de dato que se trate. Las distintas medidas son:
18recc
Escalas de Medición
a) Medidas por Escala Nominal: Los datos de tipo cualitativo se agrupan en varias categorías sin
orden, En este nivel de medición, las categorías sólo se nombran o se enumeran pero no se comparan. En este nivel los datos, pueden ser:
Dicotómicas.- Si tienen dos categorías o clases, ej. SEXO: Masculino – femeninoTricotómicas: Si tienen tres categorías o clases, ej.RAZA: Blanca – Negra – AmarillaPolitómicas o multitómicas.- Si tienen más de tres categorías, ej.ESTADO CIVIL: Soltero – Casado – Viudo – Divorciado.
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Escalas de Medición
b) Medidas por Escala Ordinal: Los datos de tipo cualitativo guardan un orden natural. Son datos que pueden medirse con una escala nominal, en donde
además existe un orden natural entre las categorías. Se pueden realizar operaciones aritméticas con los números
asignados a las categorías. El resultado no indica nada.Ej.NIVEL SOCIO ECONÓMICO: Alto – Medio – Bajo.
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Escalas de Medición
c) Medidas por Escala de Intervalo: Los datos que se utilizan son cuantitativos y guardan las características
descritas en las medidas ordinales. No existe un cero natural, es decir, el cero no implica necesariamente la
ausencia del atributo en estudio. Implican la asignación de números de modo que a iguales diferencias
entre los grados del atributo, correspondan iguales diferencias entre los valores numéricos. Ej.:
- Temperatura: Un paciente puede llegar a tener 39° C de fiebre, pero ello no significa que su grado de temperatura haya tenido que partir de 0° C.
- Rendimiento escolar: Un estudiante puede obtener 7.5 en algebra; pero ello no nos lleca a pensar que necesariamente para llegar a esa calificación haya tenido que obtener primero nota cero.
- Coeficiente de inteligencia.- Presión arterial.
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Escalas de Medición
d) Medidas por Escala de Razón o proporción: Datos que cumplen con las características necesarias para medirse con
una escala de intervalo, y que además posee un cero natural. Tener un cero natural implica que el punto cero no es arbitrario y
corresponde a una total ausencia del atributo en estudio. Ej.- Edad: Un estudiante puede tener 28 años de edad, pero para llegar a
esa edad necesariamente ha tenido que partir de cero años.- Estatura.- Peso.- Tiempo de reacción mental.- Los datos que según su naturaleza son cualitativos, por su medición
pertenecen a la escala nominal y las ordinales a escala ordinal. Los datos que por su naturaleza son cuantitativos, pertenecen a la escala de intervalo o razón.
22recc
TABLAS DE FRECUENCIA
Tablas de Frecuencia
Los datos recopilados en la muestra se pueden organizar en Tablas de Frecuencias.
Estas tablas muestran: las clases o categorías de respuesta de
donde se obtuvieron los datos (o los intervalos de clase si los datos son cuantitativos)
El número o proporción de veces que la clase se encontró en los datos recopilados.
24recc
Tablas de FrecuenciaDatos Cualitativos
Estado Civil(clase)
Número de ocurrencias
(frecuencia)
Porcentaje(frecuencia
relativa)Soltero 22 22 %
Casado 45 45 %
Divorciado 20 20 %
Viudo 8 8 %
Otro 5 5 %
Total 100 personas 100 %
25recc
Tablas de FrecuenciaDatos Cualitativos
Frecuencia (f): Resulta de contar el número de observaciones que "entran" en una clase
Frecuencia Relativa (fr): Es la proporción de observaciones que "entran" en una clase:
fr fni
i
26recc
Tablas de FrecuenciaDatos Cuantitativos
Se construyen intervalos de clase: Rango: Es la diferencia que existe entre el
valor mas grande y el mas pequeño.
minmaxrango
27recc
Tablas de FrecuenciaDatos Cuantitativos
Número de Intervalos: Se aconsejan no menos de 6 ni mas de 15 Para aproximarlo se puede utilizar de manera
alternativa: Raíz de n: el resultado se redondea al siguiente
entero. Regla de Sturges:
num.de intervalos o de clases = 1 + 3.3 (log n)
28recc
Tablas de FrecuenciaDatos Cuantitativos
Amplitud de Intervalos: Se calcula aplicando la fórmula:
La “unidad” toma valores de acuerdo a los valores de la variable:
Si la variable toma valores enteros, unidad=1 Si la variable toma valores con decimales, unidad=0.1 Si la variable toma valores con centésimas,
unidad=0.01 Si la variable toma valores con milésimas, unidad=0.001 Si la variable toma valores con diezmilésimas,
unidad=0.0001 etc.
c rango unidadnum.intervalos
29recc
Tablas de FrecuenciaDatos Cuantitativos
Límites de Clase o Establecidos: Límite inferior: es el valor inicial del intervalo
de clase.
Límite superior: es el valor final del intervalo de clase.
LI minLI LI c
1
i i 1
unidadLIcLSLSunidadLILS
1i1ii
21
30recc
Tablas de FrecuenciaDatos Cuantitativos
Marca de Clase: Es el punto medio del intervalo de clase. Se usa en los métodos estadísticos como valor estimado de las observaciones que cayeron dentro de ese intervalo
2LSLIX ii
i
31recc
Tablas de FrecuenciaDatos Cualitativos y Cuantitativos
Frecuencia Acumulada (fa): Es el número de observaciones acumuladas hasta la clase de referencia:
fa fi jj 1
i
32recc
Tablas de FrecuenciaDatos Cualitativos y Cuantitativos
Frecuencia Relativa Acumulada (fra): es la proporción de observaciones acumuladas hasta la clase de referencia:
fra fani
i
33recc
Tablas de Frecuencia en Excel
1. Cargar el módulo de Análisis de Datos: Herramientas Complementos Palomeo “Herramientas para Análisis”
34recc
Tablas de Frecuencia en Excel
2. Acceso la subrutina Histograma de módulo de Análisis de Datos:
Herramientas Análisis de Datos Histograma:
Selecciono a los datos de la muestra como “rango de entrada”
OPCIONAL: Selecciono a los límites superiores como “rango de clases”
35recc
EjemploUn investigador social desea determinar en la
comunidad “X”, el número de horas semanales que dedican los niños de 6 años de edad, a ver televisión. Una muestra de 25 niños, arrojó los siguientes resultados (en número de horas semanales).
10 19 25 19 2616 19 27 27 25
23 22 17 12 20
15 21 23 26 14
18 25 23 24 21
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Se pide: a) ordenar la información en una tabla de
distribución de frecuencias. b) interpretar algunos valores de
frecuencias halladas.
Solución: a) Para ordenar la información, utilizaremos
la regla de Sturges.
37recc
Cálculo del Rango:
Número de clases:
Necesariamente se debe redondear al entero
K=6
mínmáx XXR
171027 R
LogNK 33.312533.31 LogK
)40.1( 33.31K62.562.41 K
38recc
Amplitud del intervalo:
Redondearemos al entero porque la información horas semanales está en números enteros.
Formación de intervalos y frecuencias
2.83617
KRW
3WI Ii fi Fi hi Hi hi(%) Hi(%)
1 10-12 2 2 0.08 0.08 08 08
2 13-15 2 4 0.08 0.16 08 16
3 16-18 3 7 0.12 0.28 12 28
4 19-21 6 13 0.24 0.52 24 52
5 22-24 5 18 0.20 0.72 20 72
6 25-27 7 25 0.28 1.00 28 100
25 if 00.1 ih 100 ih 39recc
CONCLUSIONES:
b) 7 de los 25 niños, ven televisión entre 16 y 18 horas/semanales, o sea, el 28% de los niños está la mayor cantidad de tiempo viendo televisión.
2 niños, que equivale al 8%, ven televisión entre 10 y 12 horas/semanales.
El 52% de los niños en esa comunidad ve televisión entre 10 y 21 horas/semanales.
: 7f6
: 2f1
: 52%H4
40recc
L Los siguientes datos se refieren al número de libros de Estadística consultado por 50 estudiantes para rendir el examen parcial de la asignatura:
2 0 4 4 1 4 0 3 2 0
0 1 1 1 0 1 2 4 0 1
1 5 2 2 5 3 4 0 4 0
0 0 3 0 1 4 2 1 2 0
3 1 3 1 2 0 5 6 3 2
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Se pide: a) Ordenar los datos en un cuadro de frecuencias. b) ¿Qué porcentaje de alumnos no consultó ningún examen
para el examen parcial? c) ¿Qué porcentaje de alumnos consultó entre 5 y 6 libros?
Solución: Para ordenar la información utilizaremos la regla de Sturges. Cálculo del Rango:
mínmáx XXR
606 R
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Cálculo del número de clases: LogNK 33.31
5033.31 LogK )70.1(33.31K
7K entero alredondear enteNecesariam 61.661.51
K
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Amplitud del intervalo: Redondear al entero, porque la información
está en números enteros. Formación de los intervalos y frecuencias
86.076
W
i Ii fi Fi Hi Hi hi(%) Hi(%)1 0 13 13 0.26 0.26 26 26
2 1 11 24 0.22 0.48 22 48
3 2 9 33 0.18 0.66 18 66
4 3 6 39 0.12 0.78 12 78
5 4 7 46 0.14 0.92 14 92
6 5 3 49 0.06 0.98 06 98
7 6 1 50 0.02 1.00 02 100
50if 00.1ih 100ih
44recc
b) El 26 de los estudiantes no consultó ningún libro de Estadística ( )
c) El 8% de los estudiantes consultó entre 5 y 6 libros de Estadística ( ).
261 h
876 hh
45recc
Tablas de Frecuencia Bivariadas
Se tabulan dos variables en una sola tabla. También se llaman tablas de cruce o de
contingencia.Estado Civil Hombre Mujer Total por Estado Civil
Soltero 10 12 22Casado 22 23 45
Divorciado 7 13 20Viudo 2 6 8
Otro 4 1 5Total por Sexo 45 55 100 personas
46recc
TÉCNICAS GRÁFICAS
Técnicas Gráficas
Graficamos el contenido de la tabla de frecuencia.
Las más importantes gráficas: Pie Barras Histograma Polígono
48recc
Gráficas de Pie o de Sectores
Se usa con datos cualitativos o cuantitativos. A través de una regla de tres , un círculo se
divide en sectores.
Cada “rebanada” representa la proporción de datos contenidos en una clase de la tabla de frecuencia.
grados fr 360i i
49recc
Gráficas de Pie o de Sectores
2% 8%
25%
39%
17%
2%5%
2%
clase 1clase 2clase 3clase 4clase 5clase 6clase 7clase 8
50recc
Gráficas de Pie o de Sectoresen Excel:
Selecciono la frecuencia de la tabla Llamo al asistente para gráficas
Selecciono una gráfica circular Coloco los rótulos de categoría:
categorías marcas de clase
Coloco los rótulos de datos en “porcentaje”
51recc
Gráficas de Columnas o Barras
Se usa con datos cualitativos o cuantitativos. Se puede hacer con la frecuencia o con la
frecuencia relativa. Se grafican rectángulos sobre un eje
cartesiano en donde cada rectángulo representa a cada clase en la tabla de frecuencia.
52recc
Gráficas de Columnas o Barras
1
5
15
23
10
1
3
1
0
5
10
15
20
25
clase 1 clase 2 clase 3 clase 4 clase 5 clase 6 clase 7 clase 8
53recc
Gráficas de Columnas o BarrasEn Excel:
Selecciono la frecuencia o frecuencia relativa de la tabla
Llamo al asistente para gráficas Selecciono una gráfica de columnas o de
barras Coloco los rótulos de categoría:
categorías marcas de clase
Coloco los rótulos de datos
54recc
Histograma
Es exclusiva para datos cuantitativos. Se puede hacer con la frecuencia o con la
frecuencia relativa. Se grafican rectángulos sobre un eje
cartesiano en donde el área de cada rectángulo representa a cada intervalo de clase en la tabla de frecuencia.
Sirve para comparar las magnitudes representadas en cada intervalo de clase.
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Histograma
1
5
15
23
10
1
3
1
0
5
10
15
20
25
clase 1 clase 2 clase 3 clase 4 clase 5 clase 6 clase 7 clase 8
56recc
HistogramaEn Excel (Opción 1)
Selecciono la frecuencia de la tabla Llamo al asistente para gráficas
Selecciono una gráfica de columnas Coloco los rótulos de categoría: marcas de
clase Coloco los rótulos de datos Reduzco el “ancho del rango” a cero.
NOTA: Este procedimiento es válido solo cuando la amplitud es la misma para cualquier intervalo de clase.
57recc
HistogramaEn Excel (Opción 2)
Acceso la subrutina Histograma de módulo de Análisis de Datos:
Herramientas Análisis de Datos Histograma:
Selecciono a los datos de la muestra como “rango de entrada”
OPCIONAL: Selecciono a los límites superiores como “rango de clases”
Selecciono la opción “Crear Gráfico” Ya en la gráfica, reduzco la distancia entre barras a
cero.NOTA: Este procedimiento es válido solo cuando la amplitud es la misma para
cualquier intervalo de clase.
58recc
Polígono
Es exclusiva para datos cuantitativos. Se puede hacer con la frecuencia o con la
frecuencia relativa. Es una gráfica de punto y línea sobre el eje
cartesiano. Sirve para observar la forma de la
distribución de frecuencias.
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Polígono
Lo importante en el polígono es mantener el área bajo la curva igual al área acumulada en el histograma.
Añado una marca de clase anterior a la primera (restándole la amplitud)
Añado una marca de clase posterior a la última (sumándole la amplitud)
Les adjudico frecuencia igual a cero a estas marcas de clase adicionales
Grafico utilizando estas marcas de clase adicionales.
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Polígono
01
5
15
23
10
1
3
100
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
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PolígonoEn Excel (Opción 1)
Selecciono la frecuencia o frecuencia relativa de la tabla (ampliada)
Llamo al asistente para gráficas Selecciono una gráfica de dispersión XY, que
muestre los puntos unidos por líneas. Coloco las marcas de clase como “rótulos de
categoría” Coloco los rótulos de datos
NOTA: Este procedimiento es válido solo cuando la amplitud es la misma para cualquier intervalo de clase.
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PolígonoEn Excel (Opción 2)
Realizo el histograma de frecuencias a través de la subrutina de Análisis de Datos con la tabla ampliada.
Ya en la gráfica, cambio el tipo de gráfica a: Dispersión XY.
NOTA: Este procedimiento es válido solo cuando la amplitud es la misma para cualquier intervalo de clase.
63recc
TÉCNICAS NUMÉRICAS
Técnicas Numéricas
Estos son los estadísticos muestrales. Calculamos valores que “resumen” las
características de los datos en la muestra: Tendencia Central Dispersión Forma Medidas de Posición
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Técnicas NuméricasEn Excel Opción 1
Acceso la subrutina Estadística Descriptiva del módulo de Análisis de Datos:
Herramientas Análisis de Datos Estadística Descriptiva:
Selecciono a los datos de la muestra como “rango de entrada”
Selecciono la opción “Resumen de Estadísticas”
66recc
Tendencia Central
Las principales medidas son: Media Aritmética Mediana Moda Media Geométrica Media aritmética ponderada
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Tendencia Central Media Aritmética
La media aritmética poblacional se denota como μ o La media aritmética muestral es el promedio de los datos. No agrupados Agrupados
X =X
n
ii 1
n
En Excel Opción 2: función PROMEDIO
n
*X=X
n
1ii if
clase de marca if
x
68recc
EJEMPLO: El consumo semanal de carne vacuno en una muestra de 80 familias en la comunidad “x”, es como sigue
Entonces:
Ii fi Xi Xifi
0 – 1.92 – 3.94 – 5.96 – 7.98 – 9.9
152620136
0.952.954.956.958.95
15* 0.95 = 14.2576.709990.3553.70
2.480334.
x
ffx
xi
ii
Interpretación: La muestra de familias de la comunidad, consume en promedio semanal 4.2 kg. Semanal de carne vacuno.
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Ventajas:
- Es útil cuando los datos siguen aproximadamente una progresión
aritmética o están distribuidos en forma normal o simétrica. Es un estadígrafo de gran utilidad, porque toma en cuenta todos los
datos. Nos permite estimar y probar parámetros en estadística inferencial.
Desventajas:• Como incluye todos los datos, puede ser afectado por valores extremos.• Cuando los datos agrupados tienen clases abiertas en los extremos, no
es recomendable calcular la media aritmética.
70recc
Tendencia Central Mediana
Se define como el valor central. El valor que delimita al 50% de los datos .Para datos no agrupados:- Se halla la frecuencia acumulada - Se divide la frecuencia total para 2- Se busca dentro de la frecuencia acumulada, el primer valor
que contiene a n/2Ej..Se obtiene la siguiente información de estudiantes repetidores de año.
Año de estudio
Primero segundo Tercero Cuarto Quinto
No 25 14 6 9 2
71recc
Solución:- Se halla la frecuencia acumulada.- 56/2 = 28- El valor que contiene a 28 es 39- Entonces la Me = Segundo de secundaria. Interpretación:La mitad de estudiantes repetidores lo hacen en segundo de secundaria.La otra mitad lo hacen como máximo hasta segundo desecundaria.
En Excel Opción 2: función MEDIANA
72recc
Me para datos agrupados.
w
f
ff
LMeme
ii
i
2
73recc
De donde:
Me = mediana. Límite inferior del intervalo de la clase mediana = Semisuma de las frecuencias absolutas simples
= Suma de todas las frecuencias absolutas anteriores a la clasemediana. Frecuencia de la clase mediana
iL 2/f
1 if
mef
74recc
Ejemplo:
Se halla la frecuencia acumulada. Se halla la clase en la cual está incluido el valor n/2: 80/2 = 40. Este indicará
la clase mediana. Otros datos Aplicamos la fórmula. Respuesta.- 3.9 kg. Interpretación: El 50 % de las familias consumen
máximo 3.9 kg/semana de carne vacuno el otro 50 % de familias consumen más de 3.9 kg/semana.
Ii fi Xi Xifi
0 – 1.92 – 3.94 – 5.96 – 7.98 – 9.9
152620136
0.952.954.956.958.95
15* 0.95 = 14.2576.709990.3553.70
2;26;151
wff mei
75recc
Ventajas
No está afectada por valores extremos y por lo tanto es más representativa que la media aritmética cuando alguno de los valores de la variable se aleja mucho de los demás o cuando las series son poco simétricas.
Es útil cuando los datos agrupados tienen clases abiertas en los extremos
Se aplica también a variables que pertenecen a la escala ordinal.
76recc
Tendencia Central Moda
Es el valor más frecuente, el que se observa mayor número de veces
Pueden existir varios o ningún valor de moda para un solo conjunto de datos, la distribución puede ser:
Amodal cuando ningún valor se repite Unimodal cuando un solo valor es el más frecuente Bimodal cuando dos valores son los más
frecuentes trimodal,...., polimodal
En Excel Opción 2: función MODA
77recc
FÓRMULAPara datos agrupados:
De donde: Li = Límite inferior de la clase modal. d´ = diferencia de la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la
clase anterior a ella. d´´ = diferencia de la frecuencia de la clase modal y la frecuencia
anterior a ella.
´´
´
´*ddwdLMo i
Ii fi Xi Xifi
0 – 1.92 – 3.94 – 5.96 – 7.98 – 9.9
152620136
0.952.954.956.958.95
15* 0.95 = 14.2576.709990.3553.70
78recc
Desarrollo
La clase modal se ubica en aquella clase que tiene la mayor frecuencia (26). d´= 26 – 15 = 11 d´´ = 26 – 20 = 6. Otros datos Li = 2 ; w = 2 Se aplica la fórmula Respuesta Mo = 3.3 Interpretación: Las familias en estudio consumen con
mayor frecuencia 3.3 kg/semana de carne vacuno.
VENTAJAS:- Al igual que la mediana, no está afectada por valores extremos.- Puede usarse cuando los datos agrupados tienen clases abierta en los
extremos- Se usa también para variables que pertenecen a la escala nominal.
79recc
DESVENTAJAS
No es representativa a menos que la distribución contenga un gran número de datos y exista significativa repetición de alguno de ellos.
Muchas veces la serie no tiene moda porque ningún valor se repite.
Cuando la serie tiene dos, tres, o más modas, se hace difícil su interpretación y comparación.
80recc
Ejemplo Se muestra a continuación la estatura en cm, de un grupo de niños y
niñas normales de 0 a 12 años, residentes en las zonas rurales de la ciudad de Ambato.
Encontrar la media aritmética, mediana y la moda en datos agrupados y no agrupados. Elaborar la tabla de distribución de frecuencias respectiva.
45 48 115 112 95 98 145 115 96 9051 38 52 132 96 89 112 51 63 104
66 36 98 134 87 63 109 91 109 103
60 45 120 105 78 54 53 61 46 56
62 48 125 108 69 49 57 71 63 139
81recc
Relación entre Tendencia Central y la Simetría de la distribución
Simetría RelaciónSimétrica o insesgada Moda = Mediana = Media
sesgo positivo o a la derecha
Moda > Mediana > Media
sesgo negativo o a la izquierda
Moda < Mediana < Media
82recc
Relación entre Tendencia Central y la Simetría de la distribución
Moda=Mediana=Media
Insesgada
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Relación entre Tendencia Central y la Simetría de la distribución
Moda Mediana Media
Sesgo Positivo (a la derecha)
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Relación entre Tendencia Central y la Simetría de la distribución
ModaMedianaMedia
Sesgo Negativo (a la izquierda)
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Tendencia Central Media Geométrica
Es el crecimiento promedio. Se obtiene a través de la fórmula
De donde: i if fi
ffg xxx ....x 21
21
simplesabsolutassFrecuenciafff
clasedemarcasxxx
i
i
...,
...,
21
,21
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Ejemplo
La siguiente información corresponde a los casos de tifoidea (en %), según el reporte de los centros médicos donde fueron atendidos:
Hallar el promedio de casos de tifoidea atendidos en los centros médicos
Los centros atendieron un promedio de 36.3 % de los casos de tifoidea.
i Casos de tifoidea (%) Número de centros12345
0 – 1920 – 3940 – 5960 – 7980 – 99
10141786
TOTAL 55
%3.36
5.895.695.495.29)5.9(55 68171410
g
g
x
x
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Tendencia Central Media Geométrica
La media aritmética siempre es mayor que la geométrica.
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Tendencia Central Media Aritmética Ponderada
Se calcula la media aritmética muestral, adjudicando diferente “importancia” a cada uno de los datos.
n
1ii
n
1iii
p
w
Xw=X
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Medidas de dispersión
Las principales medidas son: Rango Desviación Media Varianza Desviación Estándar Coeficiente de Variación
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Dispersión Rango
Es la diferencia que existe entre el valor mas grande y el mas pequeño.
minmaxrango
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Dispersión Desviación Media Absoluta
Es el promedio de las distancias absolutas de los datos a su media aritmética.
En Excel: función DESVPROM
n
XX=M
n
1ii
D
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Dispersión Varianza poblacional
La varianza poblacional se denota como σ² Es el promedio de los cuadrados de las
distancias de los datos a su media aritmética.
Es un estimador sesgado. Funciona solo para muestras “grandes”.
En Excel Opción 2: función VARP
n
XX=
n
1i
2i
2
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Dispersión Varianza muestral
La varianza muestral se denota como S² Se calcula igual que la varianza poblacional,
dividiendo entre n-1.
Es un estimador insesgado. Funciona para cualquier tamaño de muestra.
En Excel Opción 2: función VAR
1-n
XX=
n
1i
2i
2
S
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Dispersión Desviación Estándar
Mide la variación de los datos en términos absolutos.
Se interpreta como la distancia promedio de los datos a su media aritmética.
Se expresa en las mismas unidades que las empleadas en los datos.
Se calcula tomando la raíz cuadrada positiva de la varianza.
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Dispersión Desviación Estándar
Desviación Estándar Poblacional:
2
2S=S
En Excel: función DESVESTP
Desviación Estándar Muestral:
En Excel: función DESVEST
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Dispersión Desviación Estándar
Para interpretar la dispersión absoluta, se construyen intervalos alrededor del promedio. Con esto se determina en dónde se sitúan los valores de una distribución de frecuencia en relación con la media aritmética. Esto se puede lograr utilizando:
Teorema de Chebyshev Regla Empírica
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EJEMPLO
Con los siguientes datos, encontrar La media geométrica, desviación estándar o típica, la varianza y el coeficiente de variación.
.45 48 115 112 95 98 145 115 96 9051 38 52 132 96 89 112 51 63 104
66 36 98 134 87 63 109 91 109 103
60 45 120 105 78 54 53 61 46 56
62 48 125 108 69 49 57 71 63 139
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Dispersión: Desviación Estándar Teorema de Chebyshev
Cualquiera que sea la forma de la distribución de los datos:
al menos el 75% de los valores (población) caerán dentro de 2 desviaciones estándar respecto de la media de la distribución:
2SX
X 3S
al menos el 89% de los valores (población) caerán dentro de 3 desviaciones estándar respecto de la media de la distribución:
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Dispersión: Desviación Estándar Regla Empírica
Solo cuando la forma de la distribución de los datos es simétrica (insesgada):
aproximadamente el 68% de los datos (población) se encuentran a una desviación estándar alrededor de la media de la distribución :
SX
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Dispersión: Desviación Estándar Regla Empírica
aproximadamente el 95% de los datos (población) se encuentran a 2 desviaciones estándar alrededor de la media de la distribución :
2SX
X 3S
aproximadamente el 99% de los datos (población) se encuentran a 3 desviaciones estándar alrededor de la media de la distribución :
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Dispersión Coeficiente de Variación
Mide la variación relativa de la variable con respecto a su promedio.
Cuando deseamos comparar la dispersión de dos distribuciones, necesitamos medir la magnitud de la desviación estándar en relación con la magnitud de la media
Expresa a la variación de los datos como porcentaje de su promedio.
100X
=CV x
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Forma
Las medidas de forma son: Sesgo Curtosis
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FormaSesgo
Es el grado de asimetría que tiene la distribución
Una curva insesgada tiene sesgo cero Medimos en cuánto se aleja la distribución
de una insesgada: Si el polígono de frecuencias tiene la mayor
acumulación a la izquierda, tiene sesgo positivo o a la derecha.
Si el polígono de frecuencias tiene la mayor acumulación a la derecha, tiene sesgo negativo o a la izquierda
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FormaSesgo
En Excel Opción 2: función COEFICIENTE.ASIMETRIA
Coeficiente de Asimetría
Sesgo
= 0 No hay sesgo. La distribución es insesgada
> 0 La distribución tiene sesgo positivo o a la derecha.
< 0 La distribución tiene sesgo negativo o a la izquierda.
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FormaCurtosis
Mide qué tan “puntiaguda” es una distribución, con respecto a la Normal.
La distribución Normal se considera mesocúrtica, es el término medio.
Las distribuciones mas puntiagudas que la Normal se llaman leptocúrticas
Las distribuciones menos puntiagudas que la Normal se conocen como platocúrticas
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FormaCurtosis
Leptocúrtica
Mesocúrtica
Platocúrtica
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FormaCurtosis
En Excel Opción 2: función CURTOSIS
Función Curtosis Curtosis
= 3 Mesocúrtica
> 3 Leptocúrtica
< 3 Platocúrtica
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Medidas de Posición
Las medidas de posición son: Cuartiles: Son tres y delimitan al 25%, 50% y
75% de los datos acumulados. Deciles: Son nueve y delimitan al 10%,
20%, ... , 90% de los datos acumulados. Percentiles: Son noventa y nueve y delimitan
al 1%, 2%, ... , 99% de los datos acumulados. Siempre acumulamos de izquierda a
derecha. En Excel: función PERCENTIL
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w
f
ffi
LQiQ
ii
i
1
41
FÓRMULAS:
La misma formula se utiliza en deciles y percentiles. Cambia Q por D o P y 4 por 10 o 100
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EJEMPLO:
Hallar 2 cuartiles, 3 deciles y 5 percentiles.
45 48 115 112 95 98 145 115 96 9051 38 52 132 96 89 112 51 63 104
66 36 98 134 87 63 109 91 109 103
60 45 120 105 78 54 53 61 46 56
62 48 125 108 69 49 57 71 63 139
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GRACIAS
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