Prismas.Pirâmides,Cilindros,Cones e Esferas - … · Prismas.Pirâmides,Cilindros,Cones e Esferas 1. ... que faz com que o volume do sólido seja igual a 4 3 ... 8 y y 16 y 4 2 2
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Prismas.Pirâmides,Cilindros,Cones e Esferas 1. (Fuvest 2015) O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o paralelepípedo
reto ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence à reta determinada por A e E e que AE 2cm,
AD 4cm e AB 5cm.
A medida do segmento SA que faz com que o volume do sólido seja igual a 4
3 do volume da
pirâmide SEFGH é
a) 2 cm
b) 4 cm
c) 6 cm
d) 8 cm
e) 10 cm
2. (Uerj 2015) Um cubo de aresta EF medindo 8 dm contém água e está apoiado sobre um
plano α de modo que apenas a aresta EF esteja contida nesse plano. A figura abaixo
representa o cubo com a água.
Considere que a superfície livre do líquido no interior do cubo seja um retângulo ABCD com
área igual a 232 5 dm .
Determine o volume total, em 3dm , de água contida nesse cubo.
3. (Pucrj 2015) O que acontece com o volume de um paralelepípedo quando aumentamos a largura e a altura em 10% e diminuímos a profundidade em 20%? a) Não se altera b) Aumenta aproximadamente 3% c) Diminui aproximadamente 3% d) Aumenta aproximadamente 8%
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e) Diminui aproximadamente 8% 4. (Pucrj 2015) O diagrama abaixo mostra uma pilha de caixas cúbicas iguais, encostadas no canto de um depósito.
Se a aresta de cada caixa é de 30 cm, então o volume total dessa pilha, em metros cúbicos, é
de: a) 0,513 b) 0,729 c) 0,810 d) 0,837 e) 0,864
5. (Uerj 2015) Um funil, com a forma de cone circular reto, é utilizado na passagem de óleo para um recipiente com a forma de cilindro circular reto. O funil e o recipiente possuem a mesma capacidade. De acordo com o esquema, os eixos dos recipientes estão contidos no segmento TQ,
perpendicular ao plano horizontal .β
Admita que o funil esteja completamente cheio do óleo a ser escoado para o recipiente cilíndrico vazio. Durante o escoamento, quando o nível do óleo estiver exatamente na metade
da altura do funil H
, ,2
o nível do óleo no recipiente cilíndrico corresponderá ao ponto K na
geratriz AB. A posição de K, nessa geratriz, é melhor representada por:
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a)
b)
c)
d) 6. (Espcex (Aman) 2015) Um cone de revolução tem altura 4 cm e está circunscrito a uma
esfera de raio 1cm. O volume desse cone (em 3cm ) é igual a
a) 1
.3π
b) 2
.3π
c) 4
.3π
d) 8
.3π
e) 3 .π
7. (Uemg 2015) Um reservatório de água, de formato cônico, com raio da tampa circular igual
a 8 metros e altura igual a 9 metros, será substituído por outro de forma cúbica, de aresta
igual a 10 metros.
Estando o reservatório cônico completamente cheio, ao se transferir a água para o reservatório
cúbico, a altura do nível atingida pela água será de (considere 3π )
a) 5,76m.
b) 4,43m.
c) 6,38m.
d) 8,74m.
8. (Enem 2014) Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais comuns são os horizontais, cuja forma é a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura.
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Considere um silo de 2m de altura, 6m de largura de topo e 20m de comprimento. Para cada
metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5m a mais do que a largura do fundo. Após a
silagem, 1 tonelada de forragem ocupa 32m desse tipo de silo.
EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: www.cnpgc.embrapa.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (adaptado).
Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é a) 110. b) 125. c) 130. d) 220. e) 260. 9. (Enem 2014) Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as dimensões, em centímetros, mostradas na figura.
Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo que as
dimensões de sua base sejam 25% maiores que as da lata atual.
Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em a) 14,4% b) 20% c) 32,0% d) 36,0% e) 64,0%
10. (Mackenzie 2014) Se um tetraedro regular tem arestas de comprimento 6 m, então podemos afirmar que
a) a altura é igual a 3 3m.
b) a altura é igual a 3 6m.
c) a altura é igual a 4,5 m.
d) o volume é igual a 327 3m .
2
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e) o volume é igual a 318 2m .
11. (Unicamp 2014) Considere um cilindro circular reto. Se o raio da base for reduzido pela metade e a altura for duplicada, o volume do cilindro a) é reduzido em 50%. b) aumenta em 50%. c) permanece o mesmo. d) é reduzido em 25%. 12. (Uemg 2014) Uma empresa deseja fabricar uma peça maciça cujo formato é um sólido de revolução obtido pela rotação de um trapézio isósceles em torno da base menor, como mostra a figura a seguir. As dimensões do trapézio são: base maior igual a 15 cm, base menor igual a 7 cm e altura do trapézio igual a 3 cm.
Considerando-se 3,π o volume, em litros, da peça fabricada corresponde a a) 0,212. b) 0,333. c) 0,478. d) 0,536. 13. (Espcex (Aman) 2013) O sólido geométrico abaixo é formado pela justaposição de um bloco retangular e um prisma reto, com uma face em comum. Na figura estão indicados os vértices, tanto do bloco quanto do prisma.
Considere os seguintes pares de retas definidas por pontos dessa figura: as retas LB e GE,
as retas AG e HI, e as retas AD e GK . As posições relativas desses pares de retas são,
respectivamente,
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a) concorrentes; reversas; reversas. b) reversas; reversas; paralelas. c) concorrentes, reversas; paralelas. d) reversas; concorrentes; reversas. e) concorrentes; concorrentes; reversas. 14. (Fgv 2013) A figura mostra a maquete do depósito a ser construído. A escala é 1: 500, ou
seja, 1cm, na representação, corresponde a 500 cm na realidade. Qual será a capacidade, em metros cúbicos, do depósito?
15. (Fgvrj 2013) Uma caixa sem tampa é construída a partir de uma chapa retangular de
metal, com 8 dm de largura por 10 dm de comprimento, cortando-se, de cada canto da chapa,
um quadrado de lado x decímetros e, a seguir, dobrando-se para cima as partes retangulares, conforme sugere a figura a seguir:
O volume, em 3dm , da caixa assim obtida é
a) 2 380x 36x 4x
b) 2 380x 36x 4x
c) 2 380x 18x x
d) 2 380x 18x x
e) 2 320x 9x x
16. (Ufmg 2013) Um cone circular reto de raio r 3 e altura h 2 3 é iluminado pelo sol a
um ângulo de 45°, como ilustrado a seguir.
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A sombra projetada pelo cone é delimitada pelos segmentos PA e PB, tangentes ao círculo da base do cone nos pontos A e B, respectivamente. Com base nessas informações, a) DETERMINE a distância de P ao centro O do círculo.
b) DETERMINE o ângulo ˆAOB.
c) DETERMINE a área da sombra projetada pelo cone. 17. (Pucrj 2013) De um disco circular, de raio medindo 6 e centro C, cortamos um setor cujo arco mede 13. Usando o pedaço maior, fazemos um cone reto juntando os lados CA e CB, como nas figuras abaixo.
Não use aproximações para π e determine:
a) o perímetro da base do cone; b) o raio da base do cone; c) o volume do cone. 18. (Fgv 2013) Um reservatório tem a forma de uma esfera. Se aumentarmos o raio da esfera em 20%, o volume do novo reservatório, em relação ao volume inicial, aumentará a) 60% b) 63,2% c) 66,4% d) 69,6% e) 72,8% 19. (Mackenzie 2012)
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O número mínimo de cubos de mesmo volume e dimensões inteiras, que preenchem completamente o paralelepípedo retângulo da figura, é a) 64 b) 90 c) 48 d) 125 e) 100 20. (Enem PPL 2012) O Museu do Louvre, localizado em Paris, na França, é um dos museus mais visitados do mundo. Uma de suas atrações é a Pirâmide de Vidro, construída no final da década de 1980. A seguir tem-se, na Figura 1, uma foto da Pirâmide de Vidro do Louvre e, na Figura 2, uma pirâmide reta de base quadrada que a ilustra.
Considere os pontos A, B, C, D como na Figura 2. Suponha que alguns reparos devem ser efetuados na pirâmide. Para isso, uma pessoa fará o seguinte deslocamento: 1) partir do ponto A e ir até o ponto B. deslocando-se pela aresta AB; 2) ir de B até C, deslocando- se pela aresta que contém esses dois pontos; 3) ir de C até D, pelo caminho de menor comprimento; 4) deslocar se de D até B pela aresta que contém esses dois pontos.
Disponível em: http://viagenslacoste.blogspot.com. Acesso em: 29 fev. 2012. A projeção do trajeto da pessoa no plano da base da pirâmide é melhor representada por
a)
b)
c)
d)
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e)
21. (Ufsj 2012) Se o volume de um tetraedro regular é 3(2 2)/3 cm , a medida de sua aresta
é, em centímetros: a) 3 b) 2/3 c) 6 d) 2 22. (Insper 2012) Em uma pirâmide quadrangular regular, a área lateral é o dobro da área da base. Nesse caso, cada face lateral forma com o plano da base um ângulo que mede a) 15°. b) 30°. c) 45°. d) 60°. e) 75°. 23. (Espm 2012) Dois copos cilíndricos têm o mesmo volume. Seus diâmetros internos medem 6cm e 8cm, respectivamente. Se a soma das suas alturas é igual a 24cm, a diferença entre elas é de: a) 5,34 cm b) 8,12 cm c) 5,78 cm d) 7,66 cm e) 6,72 cm
24. (Fgvrj 2012) Em uma lata cilíndrica fechada de volume 35175 cm , cabem exatamente três
bolas de tênis. a) Calcule o volume da lata não ocupado pelas bolas. b) Qual é a razão entre o volume das três bolas e o volume da lata?
25. (Unicamp 2011) Depois de encher de areia um molde cilíndrico, uma criança virou-o sobre uma superfície horizontal. Após a retirada do molde, a areia escorreu, formando um cone cuja base tinha raio igual ao dobro do raio da base do cilindro.
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A altura do cone formado pela areia era igual a
a) 3
4da altura do cilindro.
b) 1
2da altura do cilindro.
c) 2
3da altura do cilindro.
d) 1
3da altura do cilindro.
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Gabarito: Resposta da questão 1: [E]
Sabendo que ABCDEFGH é paralelepípedo reto, temos EF AB e EH AD. Portanto, segue
que o resultado pedido é dado por
4 1 4 1[SABCD] [ABCDHEFG] [SEFGH] SA AE (AE SA)
3 3 3 3
3 SA 9 2 4 (2 SA)
SA 10cm.
Resposta da questão 2:
No retângulo ABCD: : 8x 32 5 x 4 5dm
No triângulo AED: 2 2 2 2(4 5) 8 y y 16 y 4
Portanto, o volume do prisma (líquido) será dado por:
34 8 8V 128 dm
2
Resposta da questão 3: [C]
(inicial)V a b c (final) (inicial)V 1,1 a 1,1 b 0,8 c 0,968 V
(final) (inicial) (inicial)V V 0,032V , portanto houve uma redução de aproximadamente 3%.
Resposta da questão 4: [E]
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Volume de cada cubo em 3 3 3m V (0,3) 0,027m
Total de cubos na figura: 4 4 9 4 3 32
Volume Total: 332 0,027 0,864m
Resposta da questão 5: [A] Volume do cilindro: V
Volume do óleo no cone no momento considerado: Vi Daí, temos:
3
ii
HV V2 VV H 8
Portanto, o volume que estará no cilindro no instante considerado será: V 7V
V ,8 8
ou seja,
87,5% do volume do cilindro, portanto a alternativa [A] é mais adequada. Resposta da questão 6: [D]
Considerando O o centro da esfera, temos:
No triângulo AOD, temos: 2 2 2AD 1 3 AD 8cm
8 1 4ADO ABC r cm
4 r 8Δ Δ
Portanto, o volume V do cone será dado por:
22 31 1 4 8
V R h 4 cm3 3 38
ππ π
Resposta da questão 7: [A]
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O volume de água no reservatório cônico é igual a
2 318 9 576 m .
3
Portanto, a altura h atingida no reservatório cúbico será
210 h 576 h 5,76 m.
Resposta da questão 8: [A]
Como h 2 m, segue-se que b 6 2 0,5 5 m. Logo, segue que o volume total do silo é
igual a 36 520 220 m .
2
Em consequência, sabendo que 1 tonelada de forragem ocupa
32 m , podemos concluir que o resultado pedido é 220
1102
toneladas.
Resposta da questão 9: [D]
Se H é a altura da lata atual, então seu volume é igual a 2 324 Hcm . Agora, sabendo que as
dimensões da nova lata são 25% maiores que as da lata atual, e sendo h a altura da nova
lata, temos
225 16
24 h 24 H h H h 64% H,4 25
isto é, a altura da lata atual deve
ser reduzida em 100% 64% 36%.
Resposta da questão 10: [E]
A altura do tetraedro regular é igual a 6 6
2 6 m,3
e seu volume é 3
36 218 2 m .
12
Resposta da questão 11: [A]
Sejam V, r e h, respectivamente, o volume, o raio da base e a altura do cilindro. Logo, como
2V r h,π segue-se que a variação percentual pedida é dada por
2
2
2
r2h r h
2100% 50%,
r h
π π
π
isto é, houve uma redução de 50% no volume do cilindro.
Resposta da questão 12: [B]
Volume da embalagem em cm3: cilindro coneV V 2V
2 2 31V 3 15 2 3 4 135 24 111 333cm 0,333L
3π π π π π
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Resposta da questão 13: [E]
As retas LB e GE são as retas suporte das diagonais GE e LB. Logo, as retas LB e GE são
concorrentes no ponto de interseção das diagonais do bloco.
Como as retas AG e HI são coplanares e não paralelas, segue que AG e HI são
concorrentes.
Como AD e GK são distintas, não têm ponto em comum e não são coplanares, temos que
AD e GK são reversas. Resposta da questão 14:
O depósito pode ser dividido em um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões
0,9cm 3cm 7,2cm; e um prisma triangular reto de altura 7,2cm, com uma das arestas da
base medindo 3cm e altura relativa 0,6cm. Logo, a capacidade do depósito da maquete é
dada por
33 0,60,9 3 7,2 7,2 25,92cm .
2
Portanto, como a escala adotada é 1: 500 e 3 6 31cm 10 m , segue que a medida real da
capacidade do depósito é
33
6
25,92 5003240 m .
10
Resposta da questão 15: [A] O volume da caixa é dado por
2
2 3
x (8 2x) (10 2x) x (80 16x 20x 4x )
80x 36x 4x .
Resposta da questão 16:
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a) O POTΔ é isósceles, pois PO = OT, logo PO = 2 3 (figura 1)
b) No POAΔ (figura 2), temos:
3 1cos 60 AÔB 2 120
22 3α α α
c) Sendo A = área da sombra do cone, temos:
PAOB setor(120 )
2
A A A
1 3A 2 3 2 3 sen60 3 3 .
2 3
ππ
Resposta da questão 17:
a) O perímetro da base do cone é dado por
2 6 13 (12 13) u.c.
b) Seja r o raio da base do cone. Do item (a), sabemos que o perímetro da base do cone mede
12 13. Logo,
12 132 r 12 13 r u.c.
2
c) Como CA 6 corresponde à geratriz do cone e 12 13
r ,2
segue que a altura do cone é
dada por
2
2 13 (24 13)12 136 u.c.
2 2
Portanto, o volume do cone é igual a
2 213 (24 13)1 12 13 1 12 13
13 (24 13) u.v.3 2 2 24
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Resposta da questão 18: [E]
Seja r o raio da esfera. Logo, após aumentarmos r de 20%, teremos
3 3
3
4 4(1,2 r) r
3 3 100% (1,728 1) 100%4
r3
72,8%,
π π
π
ou seja, o volume do novo reservatório, em relação ao volume inicial, aumentará 72,8%.
Resposta da questão 19: [B] A medida da aresta dos cubos de mesmo volume que preenchem completamente o
paralelepípedo retângulo da figura é dada por mdc(8, 36, 20) 4. Portanto, o resultado pedido
é dado por
8 36 202 9 5 90.
4 4 4
Resposta da questão 20: [C] A figura abaixo mostra a projeção do caminho feito sobre a pirâmide no plano de sua base.
Portanto, alternativa [C] está correta. Resposta da questão 21: [D] Fórmula para o volume do tetraedro regular de aresta a:
3a 2
V12
3
3a 2 2 2a 8 a 2
12 3
Resposta da questão 22: [D]
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Considere a figura, em que V é o vértice da pirâmide, O é o centro da base e M é o ponto
médio da aresta AB.
Queremos calcular a medida do ângulo VMO.
Sabendo que a a área lateral é o dobro da área da base, vem que
2
bAB VM
A 2 A 4 2 AB2
VM AB.
Portanto, do triângulo VOM, obtemos
AB
OM 2cosVMO cosVMOVM AB
1cosVMO
2
cosVMO cos60
VMO 60 .
Resposta da questão 23: [E]
2 2.3 .x .4 .y
9x 16y
9x 16yresolvendo o sistema ,x 15,36 e y 8,64
x y 24
fazendo x y,temos: 15,36 8,64 6,72.
π π
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Resposta da questão 24:
a) Sejam h e r, respectivamente, a altura e o raio do cilindro.
Como o raio de cada bola é igual ao raio do cilindro e h 6r, temos
2 3 1725r 6r 5175 r .
2π
π
Daí, segue que o volume de cada bola é igual a
3
3
4 4 1725r
3 3 2
1150cm .
π ππ
Portanto, o resultado é 35175 3 1150 1725cm .
b) A razão entre o volume das três bolas e o volume da lata é 3450 2
.5175 3
Resposta da questão 25: [A] Como o volume de areia é o mesmo, segue que:
2 2 2 2con con cil cil con cil
con cil
1 1r h r h (2R) h R h
3 3
3h h .
4
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: 28/04/2015 às 19:48 Nome do arquivo: Pris.
Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro® Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo 1 ............. 135922 ..... Média ............ Matemática ... Fuvest/2015 ......................... Múltipla escolha 2 ............. 137067 ..... Média ............ Matemática ... Uerj/2015 ............................. Analítica 3 ............. 135427 ..... Média ............ Matemática ... Pucrj/2015 ............................ Múltipla escolha 4 ............. 135445 ..... Média ............ Matemática ... Pucrj/2015 ............................ Múltipla escolha 5 ............. 132710 ..... Elevada ......... Matemática ... Uerj/2015 ............................. Múltipla escolha 6 ............. 134945 ..... Elevada ......... Matemática ... Espcex (Aman)/2015 ........... Múltipla escolha 7 ............. 137587 ..... Baixa ............. Matemática ... Uemg/2015 .......................... Múltipla escolha 8 ............. 135547 ..... Baixa ............. Matemática ... Enem/2014 ........................... Múltipla escolha 9 ............. 135574 ..... Baixa ............. Matemática ... Enem/2014 ........................... Múltipla escolha 10 ........... 131036 ..... Baixa ............. Matemática ... Mackenzie/2014 ................... Múltipla escolha 11 ........... 128174 ..... Baixa ............. Matemática ... Unicamp/2014 ...................... Múltipla escolha 12 ........... 131151 ..... Média ............ Matemática ... Uemg/2014 .......................... Múltipla escolha 13 ........... 120722 ..... Baixa ............. Matemática ... Espcex (Aman)/2013 ........... Múltipla escolha 14 ........... 125952 ..... Média ............ Matemática ... Fgv/2013 .............................. Analítica 15 ........... 121147 ..... Baixa ............. Matemática ... Fgvrj/2013 ............................ Múltipla escolha 16 ........... 123863 ..... Elevada ......... Matemática ... Ufmg/2013 ........................... Analítica 17 ........... 121535 ..... Média ............ Matemática ... Pucrj/2013 ............................ Analítica 18 ........... 125940 ..... Baixa ............. Matemática ... Fgv/2013 .............................. Múltipla escolha 19 ........... 111846 ..... Baixa ............. Matemática ... Mackenzie/2012 ................... Múltipla escolha 20 ........... 127157 ..... Média ............ Matemática ... Enem PPL/2012 ................... Múltipla escolha 21 ........... 117313 ..... Média ............ Matemática ... Ufsj/2012 .............................. Múltipla escolha 22 ........... 115721 ..... Média ............ Matemática ... Insper/2012 .......................... Múltipla escolha
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23 ........... 114756 ..... Média ............ Matemática ... Espm/2012 ........................... Múltipla escolha 24 ........... 109838 ..... Média ............ Matemática ... Fgvrj/2012 ............................ Analítica 25 ........... 100784 ..... Baixa ............. Matemática ... Unicamp/2011 ...................... Múltipla escolha
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