Aide mémoire sur les nombres complexes - jp.spriet.free.frjp.spriet.free.fr/hkbl/complexes/complexes_l_essentiel_des_for... · Partie réelle et imaginaire d’un complexe Interprétation

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Aide mémoire sur les nombres complexesl’essentiel des formules à connaître

jp SPRIET

2008

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IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Plan

Voici résumé l’essentiel des formules sur les nombrescomplexes.

1 Les différentes écritures d’un nombre complexe

2 Changer la forme d’écriture d’un nombre complexe

3 Calculs sur les nombres complexes

4 Conjugué d’un nombre complexe

5 Application des nombres complexes à la géométrie

2 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle

Plan

1 Les différentes écritures d’un nombre complexeForme algébrique d’un nombre complexe

Partie réelle et imaginaire d’un complexeInterprétation géométrique de la forme algébrique

Forme trigonométrique d’un nombre complexeModule et argument d’un nombre complexeInterprétation géométrique de la forme trigonométrique

Forme exponentielle d’un nombre complexe

2 Changer la forme d’écriture d’un nombre complexe

3 Calculs sur les nombres complexes

4 Conjugué d’un nombre complexe 3 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle

L’écriture z = a + ib est appelée forme algébrique du nombrecomplexe z.

Dans cette écriture, est la partie réelle de z tandis que est lapartie imaginaire de z.

On note

et

Deux nombres complexes sont égaux ssi ils ont même partieréelle et même partie imaginaire :

z = z ′ ⇐⇒

Re(z) = Re(z ′)

Im(z) = Im(z ′)

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IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle

L’écriture z = a + ib est appelée forme algébrique du nombrecomplexe z.

Dans cette écriture, a est la partie réelle de z tandis que est lade z.

On note

et

Deux nombres complexes sont égaux ssi ils ont même partieréelle et même partie imaginaire :

z = z ′ ⇐⇒

Re(z) = Re(z ′)

Im(z) = Im(z ′)

4 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle

L’écriture z = a + ib est appelée forme algébrique du nombrecomplexe z.

Dans cette écriture, a est la partie réelle de z tandis que b estla partie imaginaire de z.

On note

et

Deux nombres complexes sont égaux ssi ils ont même partieréelle et même partie imaginaire :

z = z ′ ⇐⇒

Re(z) = Re(z ′)

Im(z) = Im(z ′)

4 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle

L’écriture z = a + ib est appelée forme algébrique du nombrecomplexe z.

Dans cette écriture, a est la partie réelle de z tandis que b estla partie imaginaire de z.

On note

a = Re(z) et b = Im(z)

Deux nombres complexes sont égaux ssi ils ont même partieréelle et même partie imaginaire :

z = z ′ ⇐⇒

Re(z) = Re(z ′)

Im(z) = Im(z ′)

4 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle

L’écriture z = a + ib est appelée forme algébrique du nombrecomplexe z.

Dans cette écriture, a est la partie réelle de z tandis que b estla partie imaginaire de z.

On note

a = Re(z) et b = Im(z)

Deux nombres complexes sont égaux ssi ils ont même partieréelle et même partie imaginaire :

z = z ′ ⇐⇒

Re(z) = Re(z ′)

Im(z) = Im(z ′)

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IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle

Étant donné un repère orthonormé direct (O;−→u ,

−→v ) du plan,

À tout nombre complexe z = a + ib on associe un unique pointM de coordonnées cartésiennes (a, b) qu’on appelle image ducomplexe z. On le note souvent M(z) ou M(z).

Réciproquement, à tout point M du plan de coordonnéescartésiennes (a, b), on associe un unique complexe z = a + ibqu’on note souvent zM , est appelé l’ affixe du point M.

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle

Étant donné un repère orthonormé direct (O;−→u ,

−→v ) du plan,

À tout nombre complexe z = a + ib on associe un unique pointM de coordonnées cartésiennes (a, b) qu’on appelle image ducomplexe z. On le note souvent M(z) ou M(z).

Réciproquement, à tout point M du plan de coordonnéescartésiennes (a, b), on associe un unique complexe z = a + ibqu’on note souvent zM , est appelé l’ affixe du point M.

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle

Étant donné un repère orthonormé direct (O;−→u ,

−→v ) du plan,

À tout nombre complexe z = a + ib on associe un unique pointM de coordonnées cartésiennes (a, b) qu’on appelle image ducomplexe z. On le note souvent M(z) ou M(z).

Réciproquement, à tout point M du plan de coordonnéescartésiennes (a, b), on associe un unique complexe z = a + ibqu’on note souvent zM , est appelé l’ affixe du point M.

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle

Étant donné un repère orthonormé direct (O;−→u ,

−→v ) du plan,

x

y

O

M(z)

Re(z)

Im(z)

⊕tout complexe z possède un uniquecouple

partie réelle / partie imaginaireRe(z) / Im(z)

tel que

z = Re(z) + iIm(z) = a + ib

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle

x

Axe réel

yAxe imaginaire

O

M(z)

Re(z)

Im(z)

⊕z =Re(z)+iIm(z)

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IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle

Pour tout complexe z = a + ib associé au point M(z), on appelle

module de z la longueur OM(z) , et on note|z| = OM(z) =

√a2 + b2

argument de z l’ angle(−→u ;

−−→OM

)

, et on note

arg(z) = θ =(−→u ;

−−→OM

)

[2π], si z 6= 0.

|z| = OM(z)

arg(z) =(−→u ;

−−→OM

)

[2π]

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IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle

Pour tout complexe z = a + ib associé au point M(z), on appelle

module de z la longueur OM(z) , et on note|z| = OM(z) =

√a2 + b2

argument de z l’ angle(−→u ;

−−→OM

)

, et on note

arg(z) = θ =(−→u ;

−−→OM

)

[2π], si z 6= 0.

|z| = OM(z)

arg(z) =(−→u ;

−−→OM

)

[2π]

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Géométrie

Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle

Pour tout complexe z = a + ib associé au point M(z), on appelle

module de z la longueur OM(z) , et on note|z| = OM(z) =

√a2 + b2

argument de z l’ angle(−→u ;

−−→OM

)

, et on note

arg(z) = θ =(−→u ;

−−→OM

)

[2π], si z 6= 0.

|z| = OM(z)

arg(z) =(−→u ;

−−→OM

)

[2π]

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle

Pour tout complexe z = a + ib associé au point M(z), on appelle

module de z la longueur OM(z) , et on note|z| = OM(z) =

√a2 + b2

argument de z l’ angle(−→u ;

−−→OM

)

, et on note

arg(z) = θ =(−→u ;

−−→OM

)

[2π], si z 6= 0.

|z| = OM(z)

arg(z) =(−→u ;

−−→OM

)

[2π]

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle

Pour tout complexe z = a + ib associé au point M(z), on appelle

module de z la longueur OM(z) , et on note|z| = OM(z) =

√a2 + b2

argument de z l’ angle(−→u ;

−−→OM

)

, et on note

arg(z) = θ =(−→u ;

−−→OM

)

[2π], si z 6= 0.

|z| = OM(z)

arg(z) =(−→u ;

−−→OM

)

[2π]

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IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle

Pour tout complexe z = a + ib associé au point M(z), on appelle

module de z la longueur OM(z) , et on note|z| = OM(z) =

√a2 + b2

argument de z l’ angle(−→u ;

−−→OM

)

, et on note

arg(z) = θ =(−→u ;

−−→OM

)

[2π], si z 6= 0.

|z| = OM(z)

arg(z) =(−→u ;

−−→OM

)

[2π]

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle

On a

Re(z) = a = r cos(θ)

Im(z) = b = r sin(θ)

et on a

z = |z| (cos(θ) + i sin(θ))

cette écriture s’appelle la forme trigonométrique du complexe z.

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Géométrie

Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle

On a

Re(z) = a = r cos(θ)

Im(z) = b = r sin(θ)

et on a

z = |z| (cos(θ) + i sin(θ))

cette écriture s’appelle la forme trigonométrique du complexe z.

9 / 45

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle

On a

Re(z) = a = r cos(θ)

Im(z) = b = r sin(θ)

et on a

z = |z| (cos(θ) + i sin(θ))

cette écriture s’appelle la forme trigonométrique du complexe z.

9 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle

Étant donné un repère orthonormé direct (O;−→u ,

−→v ) du plan,

x

y

O

M

|z|

⊕

θ

tout complexe z 6= 0 possède ununique couple

module / argument|z| / arg(z)

tel que

z = |z| (cos(θ) + i sin(θ))

avec

|z| = OM(z)

θ = arg(z) =(−→u ;

−−→OM

)

[2π]

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle

x

y

O

M

|z|=

OM

⊕

θ = arg(z)

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Géométrie

Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle

On définit eiθ = cos(θ) + i sin(θ)

On peut alors écrire un nombre complexe, mis sous formetrigonométrique, comme z = |z|eiθ. C’est ce qu’on appelle laforme exponentielle d’un nombre complexe.

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle

On définit eiθ = cos(θ) + i sin(θ)

On peut alors écrire un nombre complexe, mis sous formetrigonométrique, comme z = |z|eiθ. C’est ce qu’on appelle laforme exponentielle d’un nombre complexe.

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Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle

On a les valeurs remarquables suivantes :

e2iπ = 1 ei π

2 = i

eiπ = e−iπ = −1 e−i π

2 = ei 3π

2 = −i

et

ei π

6 =

√3

2+

12

i ei π

4 =

√2

2+

√2

2i ei π

3 =12

+

√3

2i

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Forme algébriqueForme trigonométriqueForme exponentielle

x

y

O e2iπ = 1

ei π

2 = i

−1 = eiπ

e−i π

2 = −i

ei π

3

ei π

4

ei π

6

⊕

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique

Plan

1 Les différentes écritures d’un nombre complexe

2 Changer la forme d’écriture d’un nombre complexePasser de la forme trigonométrique à la forme algébriquePasser de la forme algébrique à la forme trigonométriquePasser de la forme exponentielle à la forme à trigonométrique

3 Calculs sur les nombres complexes

4 Conjugué d’un nombre complexe

5 Application des nombres complexes à la géométrie15 / 45

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique

Il suffit de calculer les valeurs de cos(θ) et sin(θ) puis deremplacer ces valeurs dans l’expression, puis de finir le calculpar un développement.

Par exemple : si |z| = 3 et arg(z) =7π

6alors

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos(

7π

6

)

= cos(

π +π

6

)

= − cos(π

6

)

= −√

32

sin(

7π

6

)

= sin(

π +π

6

)

= − sin(π

6

)

= −12

de sorte que

z = 3(

cos(

7π

6

)

+ i sin(

7π

6

))

= 3

(

−√

32

− 12

i

)

=

−3√

32

− 32

i .

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique

Il suffit de calculer les valeurs de cos(θ) et sin(θ) puis deremplacer ces valeurs dans l’expression, puis de finir le calculpar un développement.

Par exemple : si |z| = 3 et arg(z) =7π

6alors

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos(

7π

6

)

= cos(

π +π

6

)

= − cos(π

6

)

= −√

32

sin(

7π

6

)

= sin(

π +π

6

)

= − sin(π

6

)

= −12

de sorte que

z = 3(

cos(

7π

6

)

+ i sin(

7π

6

))

= 3

(

−√

32

− 12

i

)

=

−3√

32

− 32

i .

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique

Il suffit de calculer les valeurs de cos(θ) et sin(θ) puis deremplacer ces valeurs dans l’expression, puis de finir le calculpar un développement.

Par exemple : si |z| = 3 et arg(z) =7π

6alors

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos(

7π

6

)

= cos(

π +π

6

)

= − cos(π

6

)

= −√

32

sin(

7π

6

)

= sin(

π +π

6

)

= − sin(π

6

)

= −12

de sorte que

z = 3(

cos(

7π

6

)

+ i sin(

7π

6

))

= 3

(

−√

32

− 12

i

)

=

−3√

32

− 32

i .

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique

Il suffit de calculer les valeurs de cos(θ) et sin(θ) puis deremplacer ces valeurs dans l’expression, puis de finir le calculpar un développement.

Par exemple : si |z| = 3 et arg(z) =7π

6alors

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos(

7π

6

)

= cos(

π +π

6

)

= − cos(π

6

)

= −√

32

sin(

7π

6

)

= sin(

π +π

6

)

= − sin(π

6

)

= −12

de sorte que

z = 3(

cos(

7π

6

)

+ i sin(

7π

6

))

= 3

(

−√

32

− 12

i

)

=

−3√

32

− 32

i .

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Géométrie

trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique

Il suffit de calculer les valeurs de cos(θ) et sin(θ) puis deremplacer ces valeurs dans l’expression, puis de finir le calculpar un développement.

Par exemple : si |z| = 3 et arg(z) =7π

6alors

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos(

7π

6

)

= cos(

π +π

6

)

= − cos(π

6

)

= −√

32

sin(

7π

6

)

= sin(

π +π

6

)

= − sin(π

6

)

= −12

de sorte que

z = 3(

cos(

7π

6

)

+ i sin(

7π

6

))

= 3

(

−√

32

− 12

i

)

=

−3√

32

− 32

i .

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique

Il suffit de calculer les valeurs de cos(θ) et sin(θ) puis deremplacer ces valeurs dans l’expression, puis de finir le calculpar un développement.

Par exemple : si |z| = 3 et arg(z) =7π

6alors

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos(

7π

6

)

= cos(

π +π

6

)

= − cos(π

6

)

= −√

32

sin(

7π

6

)

= sin(

π +π

6

)

= − sin(π

6

)

= −12

de sorte que

z = 3(

cos(

7π

6

)

+ i sin(

7π

6

))

= 3

(

−√

32

− 12

i

)

=

−3√

32

− 32

i .

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Géométrie

trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique

Il faut calculer |z| puis mettre arbitrairement |z| en facteurdans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinusd’un angle "connu".Par exemple si z = 1 − i

√3, alors on calcule

|z| =

√

12 +(

−√

3)2

=√

4 = 2 donc on peut écrire

z = 1 − i√

3 = 2

(

12− i

√3

2

)

Et on reconnaît les valeurs

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos(π

3

)

=12

sin(π

3

)

=

√3

2

donc

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos(−π

3

)

=12

sin(−π

3

)

= −√

32

Donc z = 2(

cos(−π

3

)

+ i sin(−π

3

))

.

Et par conséquent |z| = 2 et arg(z) =−π

3[2π].

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique

Il faut calculer |z| puis mettre arbitrairement |z| en facteurdans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinusd’un angle "connu".Par exemple si z = 1 − i

√3, alors on calcule

|z| =

√

12 +(

−√

3)2

=√

4 = 2 donc on peut écrire

z = 1 − i√

3 = 2

(

12− i

√3

2

)

Et on reconnaît les valeurs

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos(π

3

)

=12

sin(π

3

)

=

√3

2

donc

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos(−π

3

)

=12

sin(−π

3

)

= −√

32

Donc z = 2(

cos(−π

3

)

+ i sin(−π

3

))

.

Et par conséquent |z| = 2 et arg(z) =−π

3[2π].

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Géométrie

trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique

Il faut calculer |z| puis mettre arbitrairement |z| en facteurdans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinusd’un angle "connu".Par exemple si z = 1 − i

√3, alors on calcule

|z| =

√

12 +(

−√

3)2

=√

4 = 2 donc on peut écrire

z = 1 − i√

3 = 2

(

12− i

√3

2

)

Et on reconnaît les valeurs

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos(π

3

)

=12

sin(π

3

)

=

√3

2

donc

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos(−π

3

)

=12

sin(−π

3

)

= −√

32

Donc z = 2(

cos(−π

3

)

+ i sin(−π

3

))

.

Et par conséquent |z| = 2 et arg(z) =−π

3[2π].

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Géométrie

trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique

Il faut calculer |z| puis mettre arbitrairement |z| en facteurdans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinusd’un angle "connu".Par exemple si z = 1 − i

√3, alors on calcule

|z| =

√

12 +(

−√

3)2

=√

4 = 2 donc on peut écrire

z = 1 − i√

3 = 2

(

12− i

√3

2

)

Et on reconnaît les valeurs

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos(π

3

)

=12

sin(π

3

)

=

√3

2

donc

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos(−π

3

)

=12

sin(−π

3

)

= −√

32

Donc z = 2(

cos(−π

3

)

+ i sin(−π

3

))

.

Et par conséquent |z| = 2 et arg(z) =−π

3[2π].

17 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique

Il faut calculer |z| puis mettre arbitrairement |z| en facteurdans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinusd’un angle "connu".Par exemple si z = 1 − i

√3, alors on calcule

|z| =

√

12 +(

−√

3)2

=√

4 = 2 donc on peut écrire

z = 1 − i√

3 = 2

(

12− i

√3

2

)

Et on reconnaît les valeurs

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos(π

3

)

=12

sin(π

3

)

=

√3

2

donc

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos(−π

3

)

=12

sin(−π

3

)

= −√

32

Donc z = 2(

cos(−π

3

)

+ i sin(−π

3

))

.

Et par conséquent |z| = 2 et arg(z) =−π

3[2π].

17 / 45

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique

Il faut calculer |z| puis mettre arbitrairement |z| en facteurdans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinus d’unangle "connu".Par exemple si z = 1 − i

√3, alors on calcule

|z| =

√

12 +(

−√

3)2

=√

4 = 2 donc on peut écrire

z = 1 − i√

3 = 2

(

12− i

√3

2

)

Et on reconnaît les valeurs

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos(π

3

)

=12

sin(π

3

)

=

√3

2

donc

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos(−π

3

)

=12

sin(−π

3

)

= −√

32

Donc z = 2(

cos(−π

3

)

+ i sin(−π

3

))

.

Et par conséquent |z| = 2 et arg(z) =−π

3[2π].

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique

Il faut calculer |z| puis mettre arbitrairement |z| en facteurdans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinus d’unangle "connu".Par exemple si z = 1 − i

√3, alors on calcule

|z| =

√

12 +(

−√

3)2

=√

4 = 2 donc on peut écrire

z = 1 − i√

3 = 2

(

12− i

√3

2

)

Et on reconnaît les valeurs

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos(π

3

)

=12

sin(π

3

)

=

√3

2

donc

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos(−π

3

)

=12

sin(−π

3

)

= −√

32

Donc z = 2(

cos(−π

3

)

+ i sin(−π

3

))

.

Et par conséquent |z| = 2 et arg(z) =−π

3[2π].

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique

Il faut calculer |z| puis mettre arbitrairement |z| en facteurdans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinus d’unangle "connu".Par exemple si z = 1 − i

√3, alors on calcule

|z| =

√

12 +(

−√

3)2

=√

4 = 2 donc on peut écrire

z = 1 − i√

3 = 2

(

12− i

√3

2

)

Et on reconnaît les valeurs

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos(π

3

)

=12

sin(π

3

)

=

√3

2

donc

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos(−π

3

)

=12

sin(−π

3

)

= −√

32

Donc z = 2(

cos(−π

3

)

+ i sin(−π

3

))

.

Et par conséquent |z| = 2 et arg(z) =−π

3[2π].

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique

Il faut calculer |z| puis mettre arbitrairement |z| en facteurdans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinusd’un angle "connu".Par exemple si z = 1 − i

√3, alors on calcule

|z| =

√

12 +(

−√

3)2

=√

4 = 2 donc on peut écrire

z = 1 − i√

3 = 2

(

12− i

√3

2

)

Et on reconnaît les valeurs

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos(π

3

)

=12

sin(π

3

)

=

√3

2

donc

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos(−π

3

)

=12

sin(−π

3

)

= −√

32

Donc z = 2(

cos(−π

3

)

+ i sin(−π

3

))

.

Et par conséquent |z| = 2 et arg(z) =−π

3[2π].

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IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique

Il faut calculer |z| puis mettre arbitrairement |z| en facteurdans z puis reconnaître une valeur de cosinus et de sinusd’un angle "connu".Par exemple si z = 1 − i

√3, alors on calcule

|z| =

√

12 +(

−√

3)2

=√

4 = 2 donc on peut écrire

z = 1 − i√

3 = 2

(

12− i

√3

2

)

Et on reconnaît les valeurs

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos(π

3

)

=12

sin(π

3

)

=

√3

2

donc

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos(−π

3

)

=12

sin(−π

3

)

= −√

32

Donc z = 2(

cos(−π

3

)

+ i sin(−π

3

))

.

Et par conséquent |z| = 2 et arg(z) =−π

3[2π].

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IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique

Attention ! Un module est toujours un nombre positif.Un argument est un angle qui n’est connu qu’à 2π près, et ondonne en général sa mesure principale, c’est à dire celle quiest comprise dans l’intervalle ] − π; π].

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IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique

La forme exponentielle est totalement équivalente à la formetrigonométrique, c’est juste un changement de notation :

à la place dez = |z| (cos(θ) + i sin(θ))

on écritz = |z|eiθ

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

trigonométrique à algébriquealgébrique à trigonométriqueexponentielle à trigonométrique

La forme exponentielle est totalement équivalente à la formetrigonométrique, c’est juste un changement de notation :

à la place dez = |z| (cos(θ) + i sin(θ))

on écritz = |z|eiθ

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IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Plan

1 Les différentes écritures d’un nombre complexe

2 Changer la forme d’écriture d’un nombre complexe

3 Calculs sur les nombres complexesAdditionner et soustraireMultiplierCalculer un inverseDiviser

4 Conjugué d’un nombre complexe

5 Application des nombres complexes à la géométrie 20 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Si z1 = a + ib et z2 = a′ + ib′ sont deux complexes alors

z1 + z2 = (a + a′) + i(b + b′)

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IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul de somme :

Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alorsz1 + z2 = (2 + 5) + i(3 + 7) = 7 + 10i

Si z1 = −2 + 5i et z2 = 3 − 6i alorsz1 + z2 = (−2 + 3) + i(5 − 6) = 1 − i

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IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul de somme :

Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alorsz1 + z2 = (2 + 5) + i(3 + 7) = 7 + 10i

Si z1 = −2 + 5i et z2 = 3 − 6i alorsz1 + z2 = (−2 + 3) + i(5 − 6) = 1 − i

22 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul de somme :

Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alorsz1 + z2 = (2 + 5) + i(3 + 7) = 7 + 10i

Si z1 = −2 + 5i et z2 = 3 − 6i alorsz1 + z2 = (−2 + 3) + i(5 − 6) = 1 − i

22 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul de somme :

Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alorsz1 + z2 = (2 + 5) + i(3 + 7) = 7 + 10i

Si z1 = −2 + 5i et z2 = 3 − 6i alorsz1 + z2 = (−2 + 3) + i(5 − 6) = 1 − i

22 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul de somme :

Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alorsz1 + z2 = (2 + 5) + i(3 + 7) = 7 + 10i

Si z1 = −2 + 5i et z2 = 3 − 6i alorsz1 + z2 = (−2 + 3) + i(5 − 6) = 1 − i

22 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Si z1 = a + ib et z2 = a′ + ib′ sont deux complexes alors

z1 × z2 = (aa′ − bb′) + i(ab′ + ba′)

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IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul de produit :

Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alors

z1 × z2 = (2 + 3i) × (5 + 7i)

= (2 × 5 − 3 × 7) + i(3 × 5 + 2 × 7)

= (10 − 21) + i(15 + 14)

= − 11 + 29i

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul de produit :

Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alors

z1 × z2 = (2 + 3i) × (5 + 7i)

= (2 × 5 − 3 × 7) + i(3 × 5 + 2 × 7)

= (10 − 21) + i(15 + 14)

= − 11 + 29i

24 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul de produit :

Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alors

z1 × z2 = (2 + 3i) × (5 + 7i)

= (2 × 5 − 3 × 7) + i(3 × 5 + 2 × 7)

= (10 − 21) + i(15 + 14)

= − 11 + 29i

24 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul de produit :

Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alors

z1 × z2 = (2+3i) × (5+7i)

= (2 × 5−3 × 7) + i(3 × 5 + 2 × 7)

= (10 − 21) + i(15 + 14)

= − 11 + 29i

24 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul de produit :

Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alors

z1 × z2 = (2 + 3i) × (5+7i)

= (2 × 5 − 3 × 7) + i(2 × 7 + 3 × 5)

= (10 − 21) + i(15 + 14)

= − 11 + 29i

24 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul de produit :

Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alors

z1 × z2 = (2+3i) × (5 + 7i)

= (2 × 5 − 3 × 7) + i(2 × 7+3 × 5)

= (10 − 21) + i(15 + 14)

= − 11 + 29i

24 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul de produit :

Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alors

z1 × z2 = (2 + 3i) × (5 + 7i)

= (2 × 5 − 3 × 7) + i(3 × 5 + 2 × 7)

= (10 − 21) + i(15 + 14)

=

24 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul de produit :

Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alors

z1 × z2 = (2 + 3i) × (5 + 7i)

= (2 × 5 − 3 × 7)+i(3 × 5 + 2 × 7)

= (10 − 21)+i(15 + 14)

=

24 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul de produit :

Si z1 = 2 + 3i et z2 = 5 + 7i alors

z1 × z2 = (2 + 3i) × (5 + 7i)

= (2 × 5 − 3 × 7) + i(3 × 5 + 2 × 7)

= (10 − 21)+i(15 + 14)

= −11+29i

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Remarque : si z1 et z2 sont mis sous forme trigonométrique,alors le calcul d’un produit encore plus simple; en effet,

Si z1 = r1eiθ1 et z2 = r2eiθ2 alors

z1 = (r1 × r2) ei(θ1+θ2)

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Si z = a + ib est non nul alors

1z

=1

a2 + b2 (a − ib) =a

a2 + b2 + i−b

a2 + b2

plutôt que d’apprendre cette formule par coeur, il suffit d’utiliserla forme conjuguée : on multiplie au numérateur et audénominateur par le conjugué du complexe.

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IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul d’inverse :

Si z = 2 + 3i alors

1z

=1

2 + 3i=

2 − 3i(2 + 3i)(2 − 3i)

=2 − 3i

22 + 32 =2 − 3i

13

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul d’inverse :

Si z = 2 + 3i alors

on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué ducomplexe

1z

=1

2 + 3i=

2 − 3i(2 + 3i)(2 − 3i)

=2 − 3i

22 + 32 =2 − 3i

13

27 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul d’inverse :

Si z = 2 + 3i alors

on simplifie le dénominateur par l’utilisation de l’identitéremarquable

1z

=1

2 + 3i=

2 − 3i(2 + 3i)(2 − 3i)

=2 − 3i

22 + 32 =2 − 3i

13

27 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul d’inverse :

Si z = 2 + 3i alors

on calcule le dénominateur

1z

=1

2 + 3i=

2 − 3i(2 + 3i)(2 − 3i)

=2 − 3i

22 + 32 =2 − 3i

13

27 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul d’inverse :

Si z = 2 + 3i alors

on écrit la forme algébrique

1z

=1

2 + 3i=

2 − 3i(2 + 3i)(2 − 3i)

=2 − 3i

22 + 32 =2 − 3i

13=

213

− 313

i

27 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul d’inverse :

Si z = 2 − i alors1z

=1

2 − i=

2 + i(2 − i)(2 + i)

=2 + i

22 + 12 =2 + i

5=

25

+15

i .

28 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul d’inverse :

Si z = 2 − i alors1z

=1

2 − i=

2 + i(2 − i)(2 + i)

=2 + i

22 + 12 =2 + i

5=

25

+15

i .

28 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul d’inverse :

Si z = 2 − i alors1z

=1

2 − i=

2 + i(2 − i)(2 + i)

=2 + i

22 + 12 =2 + i

5=

25

+15

i .

28 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul d’inverse :

Si z = 2 − i alors1z

=1

2 − i=

2 + i(2 − i)(2 + i)

=2 + i

22 + 12 =2 + i

5=

25

+15

i .

28 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul d’inverse :

Si z = −5 + i alors1z

=1

−5 + i=

−5 − i(−5 + i)(−5 − i)

=−5 − i

(−5)2 + 12 =−5 − i

26=

−526

− 126

i .

29 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul d’inverse :

Si z = −5 + i alors1z

=1

−5 + i=

−5 − i(−5 + i)(−5 − i)

=−5 − i

(−5)2 + 12 =−5 − i

26=

−526

− 126

i .

29 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul d’inverse :

Si z = −5 + i alors1z

=1

−5 + i=

−5 − i(−5 + i)(−5 − i)

=−5 − i

(−5)2 + 12 =−5 − i

26=

−526

− 126

i .

29 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul d’inverse :

Si z = −5 + i alors1z

=1

−5 + i=

−5 − i(−5 + i)(−5 − i)

=−5 − i

(−5)2 + 12 =−5 − i

26=

−526

− 126

i .

29 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul d’inverse :

Si z = −3 − 2i alors1z

=1

−3 − 2i=

−3 + 2i(−3 − 2i)(−3 + 2i)

=−3 + 2i

(−3)2 + (−2)2 =

(−3 + 2i)13

=−313

+2

13i .

30 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul d’inverse :

Si z = −3 − 2i alors1z

=1

−3 − 2i=

−3 + 2i(−3 − 2i)(−3 + 2i)

=−3 + 2i

(−3)2 + (−2)2 =

(−3 + 2i)13

=−313

+2

13i .

30 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul d’inverse :

Si z = −3 − 2i alors1z

=1

−3 − 2i=

−3 + 2i(−3 − 2i)(−3 + 2i)

=−3 + 2i

(−3)2 + (−2)2 =

(−3 + 2i)13

=−313

+2

13i .

30 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Exemple de calcul d’inverse :

Si z = −3 − 2i alors1z

=1

−3 − 2i=

−3 + 2i(−3 − 2i)(−3 + 2i)

=−3 + 2i

(−3)2 + (−2)2 =

(−3 + 2i)13

=−313

+2

13i .

30 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Remarque : si z est mis sous forme trigonométrique alors lecalcul d’un inverse est encore plus simple; en effet,

Si z = reiθ est non nul alors

1z

=1r

e−iθ

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IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Si z = a + ib est non nul alors1z

=1

a2 + b2 (a − ib)

On peut alors définir une division "÷" comme étant la

multiplication par l’inverse : z1 ÷ z2 = z1 ×1z2

et se note aussi

z1

z2.

La division "÷" a aussi les mêmes propriétés que celle sur lesréels; par exemple (z1 + z2) ÷ z3 = z1 ÷ z3 + z2 ÷ z3, de sorte

que l’on peut écrire en "fractions" :z1 + z2

z3=

z1

z3+

z2

z3.

32 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Si z = a + ib est non nul alors1z

=1

a2 + b2 (a − ib)

On peut alors définir une division "÷" comme étant la

multiplication par l’inverse : z1 ÷ z2 = z1 ×1z2

et se note aussi

z1

z2.

La division "÷" a aussi les mêmes propriétés que celle sur lesréels; par exemple (z1 + z2) ÷ z3 = z1 ÷ z3 + z2 ÷ z3, de sorte

que l’on peut écrire en "fractions" :z1 + z2

z3=

z1

z3+

z2

z3.

32 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

additionnermultipliercalculer un inversediviser

Si z = a + ib est non nul alors1z

=1

a2 + b2 (a − ib)

On peut alors définir une division "÷" comme étant la

multiplication par l’inverse : z1 ÷ z2 = z1 ×1z2

et se note aussi

z1

z2.

La division "÷" a aussi les mêmes propriétés que celle sur lesréels; par exemple (z1 + z2) ÷ z3 = z1 ÷ z3 + z2 ÷ z3, de sorte

que l’on peut écrire en "fractions" :z1 + z2

z3=

z1

z3+

z2

z3.

32 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Plan

1 Les différentes écritures d’un nombre complexe

2 Changer la forme d’écriture d’un nombre complexe

3 Calculs sur les nombres complexes

4 Conjugué d’un nombre complexe

5 Application des nombres complexes à la géométrie

33 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Conjugué d’un nombre complexe :

Si z = a + ib est un nombre complexe, on définit leconjugué de z comme étant le nombre complexe,noté z, tel que

z = a − ib

Exemples :Si z = 1 + i alors z = 1 + i = 1 − i .

Si z = 2i alors z = 2i = −2i .

Si z = 5 − 3i alors z = 5 − 3i = 5 + 3i .

Si z = −5 + i alors z = −5 + i = −5 − i .34 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Conjugué d’un nombre complexe :

Si z = a + ib est un nombre complexe, on définit leconjugué de z comme étant le nombre complexe,noté z, tel que

z = a − ib

Exemples :Si z = 1 + i alors z = 1 + i = 1 − i .

Si z = 2i alors z = 2i = −2i .

Si z = 5 − 3i alors z = 5 − 3i = 5 + 3i .

Si z = −5 + i alors z = −5 + i = −5 − i .34 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Conjugué d’un nombre complexe :

Si z = a + ib est un nombre complexe, on définit leconjugué de z comme étant le nombre complexe,noté z, tel que

z = a − ib

Exemples :Si z = 1 + i alors z = 1 + i = 1 − i .

Si z = 2i alors z = 2i = −2i .

Si z = 5 − 3i alors z = 5 − 3i = 5 + 3i .

Si z = −5 + i alors z = −5 + i = −5 − i .34 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Conjugué d’un nombre complexe :

Si z = a + ib est un nombre complexe, on définit leconjugué de z comme étant le nombre complexe,noté z, tel que

z = a − ib

Exemples :Si z = 1 + i alors z = 1 + i = 1 − i .

Si z = 2i alors z = 2i = −2i .

Si z = 5 − 3i alors z = 5 − 3i = 5 + 3i .

Si z = −5 + i alors z = −5 + i = −5 − i .34 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Conjugué d’un nombre complexe :

Si z = a + ib est un nombre complexe, on définit leconjugué de z comme étant le nombre complexe,noté z, tel que

z = a − ib

Exemples :Si z = 1 + i alors z = 1 + i = 1 − i .

Si z = 2i alors z = 2i = −2i .

Si z = 5 − 3i alors z = 5 − 3i = 5 + 3i .

Si z = −5 + i alors z = −5 + i = −5 − i .34 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Conjugué d’un nombre complexe :

Si z = a + ib est un nombre complexe, on définit leconjugué de z comme étant le nombre complexe,noté z, tel que

z = a − ib

Exemples :Si z = 1 + i alors z = 1 + i = 1 − i .

Si z = 2i alors z = 2i = −2i .

Si z = 5 − 3i alors z = 5 − 3i = 5 + 3i .

Si z = −5 + i alors z = −5 + i = −5 − i .34 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Pour tous complexes z1 et z2 on a

z1 + z2 = z1 + z2

z1 × z2 = z1 × z2

1z2

=1z2

z1

z2=

z1

z2

Si z = a + ib est un complexe, alors on a z z = a2 + b2.Donc pour les calculs d’inverse, si z = a + ib est non nul, on a1z

=1

a2 + b2 z.35 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Pour tous complexes z1 et z2 on a

z1 + z2 = z1 + z2

z1 × z2 = z1 × z2

1z2

=1z2

z1

z2=

z1

z2

Si z = a + ib est un complexe, alors on a z z = a2 + b2.Donc pour les calculs d’inverse, si z = a + ib est non nul, on a1z

=1

a2 + b2 z.35 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Pour tous complexes z1 et z2 on a

z1 + z2 = z1 + z2

z1 × z2 = z1 × z2

1z2

=1z2

z1

z2=

z1

z2

Si z = a + ib est un complexe, alors on a z z = a2 + b2.Donc pour les calculs d’inverse, si z = a + ib est non nul, on a1z

=1

a2 + b2 z.35 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Pour tous complexes z1 et z2 on a

z1 + z2 = z1 + z2

z1 × z2 = z1 × z2

1z2

=1z2

z1

z2=

z1

z2

Si z = a + ib est un complexe, alors on a z z = a2 + b2.Donc pour les calculs d’inverse, si z = a + ib est non nul, on a1z

=1

a2 + b2 z.35 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Pour tous complexes z1 et z2 on a

z1 + z2 = z1 + z2

z1 × z2 = z1 × z2

1z2

=1z2

z1

z2=

z1

z2

Si z = a + ib est un complexe, alors on a z z = a2 + b2.Donc pour les calculs d’inverse, si z = a + ib est non nul, on a1z

=1

a2 + b2 z.35 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Pour tous complexes z1 et z2 on a

z1 + z2 = z1 + z2

z1 × z2 = z1 × z2

1z2

=1z2

z1

z2=

z1

z2

Si z = a + ib est un complexe, alors on a z z = a2 + b2.Donc pour les calculs d’inverse, si z = a + ib est non nul, on a1z

=1

a2 + b2 z.35 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Exemples :Si z = (1 + i) + (3 − 2i) alors z = (1 + i) + (3 − 2i) =(1 + i) + (3 − 2i) = (1 − i) + (3 + 2i) = 4 + i .

Si z = (1 + i)(3 − i) alorsz = (1 + i)(3 − i) = (1 + i) × (3 − i) = (1 − i)(3 + i).

Si z = 2(3 + 4i) alors z = 2(3 + 4i) = 2 × (3 + 4i) = 2(3 − 4i).

Si z = 3i(1 + 2i) alorsz = 3i(1 + 2i) = 3i × (1 + 2i) = −3i(1 − 2i).

Si z =3 + i

−1 + 2ialors z =

3 + i−1 + 2i

=3 + i

−1 + 2i=

3 − i−1 − 2i

.

36 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Exemples :Si z = (1 + i) + (3 − 2i) alors z = (1 + i) + (3 − 2i) =(1 + i) + (3 − 2i) = (1 − i) + (3 + 2i) = 4 + i .

Si z = (1 + i)(3 − i) alorsz = (1 + i)(3 − i) = (1 + i) × (3 − i) = (1 − i)(3 + i).

Si z = 2(3 + 4i) alors z = 2(3 + 4i) = 2 × (3 + 4i) = 2(3 − 4i).

Si z = 3i(1 + 2i) alorsz = 3i(1 + 2i) = 3i × (1 + 2i) = −3i(1 − 2i).

Si z =3 + i

−1 + 2ialors z =

3 + i−1 + 2i

=3 + i

−1 + 2i=

3 − i−1 − 2i

.

36 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Exemples :Si z = (1 + i) + (3 − 2i) alors z = (1 + i) + (3 − 2i) =(1 + i) + (3 − 2i) = (1 − i) + (3 + 2i) = 4 + i .

Si z = (1 + i)(3 − i) alorsz = (1 + i)(3 − i) = (1 + i) × (3 − i) = (1 − i)(3 + i).

Si z = 2(3 + 4i) alors z = 2(3 + 4i) = 2 × (3 + 4i) = 2(3 − 4i).

Si z = 3i(1 + 2i) alorsz = 3i(1 + 2i) = 3i × (1 + 2i) = −3i(1 − 2i).

Si z =3 + i

−1 + 2ialors z =

3 + i−1 + 2i

=3 + i

−1 + 2i=

3 − i−1 − 2i

.

36 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Exemples :Si z = (1 + i) + (3 − 2i) alors z = (1 + i) + (3 − 2i) =(1 + i) + (3 − 2i) = (1 − i) + (3 + 2i) = 4 + i .

Si z = (1 + i)(3 − i) alorsz = (1 + i)(3 − i) = (1 + i) × (3 − i) = (1 − i)(3 + i).

Si z = 2(3 + 4i) alors z = 2(3 + 4i) = 2 × (3 + 4i) = 2(3 − 4i).

Si z = 3i(1 + 2i) alorsz = 3i(1 + 2i) = 3i × (1 + 2i) = −3i(1 − 2i).

Si z =3 + i

−1 + 2ialors z =

3 + i−1 + 2i

=3 + i

−1 + 2i=

3 − i−1 − 2i

.

36 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Exemples :Si z = (1 + i) + (3 − 2i) alors z = (1 + i) + (3 − 2i) =(1 + i) + (3 − 2i) = (1 − i) + (3 + 2i) = 4 + i .

Si z = (1 + i)(3 − i) alorsz = (1 + i)(3 − i) = (1 + i) × (3 − i) = (1 − i)(3 + i).

Si z = 2(3 + 4i) alors z = 2(3 + 4i) = 2 × (3 + 4i) = 2(3 − 4i).

Si z = 3i(1 + 2i) alorsz = 3i(1 + 2i) = 3i × (1 + 2i) = −3i(1 − 2i).

Si z =3 + i

−1 + 2ialors z =

3 + i−1 + 2i

=3 + i

−1 + 2i=

3 − i−1 − 2i

.

36 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Exemples :Si z = (1 + i) + (3 − 2i) alors z = (1 + i) + (3 − 2i) =(1 + i) + (3 − 2i) = (1 − i) + (3 + 2i) = 4 + i .

Si z = (1 + i)(3 − i) alorsz = (1 + i)(3 − i) = (1 + i) × (3 − i) = (1 − i)(3 + i).

Si z = 2(3 + 4i) alors z = 2(3 + 4i) = 2 × (3 + 4i) = 2(3 − 4i).

Si z = 3i(1 + 2i) alorsz = 3i(1 + 2i) = 3i × (1 + 2i) = −3i(1 − 2i).

Si z =3 + i

−1 + 2ialors z =

3 + i−1 + 2i

=3 + i

−1 + 2i=

3 − i−1 − 2i

.

36 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Exemples :Si z = (1 + i) + (3 − 2i) alors z = (1 + i) + (3 − 2i) =(1 + i) + (3 − 2i) = (1 − i) + (3 + 2i) = 4 + i .

Si z = (1 + i)(3 − i) alorsz = (1 + i)(3 − i) = (1 + i) × (3 − i) = (1 − i)(3 + i).

Si z = 2(3 + 4i) alors z = 2(3 + 4i) = 2 × (3 + 4i) = 2(3 − 4i).

Si z = 3i(1 + 2i) alorsz = 3i(1 + 2i) = 3i × (1 + 2i) = −3i(1 − 2i).

Si z =3 + i

−1 + 2ialors z =

3 + i−1 + 2i

=3 + i

−1 + 2i=

3 − i−1 − 2i

.

36 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Exemples :Si z = (1 + i) + (3 − 2i) alors z = (1 + i) + (3 − 2i) =(1 + i) + (3 − 2i) = (1 − i) + (3 + 2i) = 4 + i .

Si z = (1 + i)(3 − i) alorsz = (1 + i)(3 − i) = (1 + i) × (3 − i) = (1 − i)(3 + i).

Si z = 2(3 + 4i) alors z = 2(3 + 4i) = 2 × (3 + 4i) = 2(3 − 4i).

Si z = 3i(1 + 2i) alorsz = 3i(1 + 2i) = 3i × (1 + 2i) = −3i(1 − 2i).

Si z =3 + i

−1 + 2ialors z =

3 + i−1 + 2i

=3 + i

−1 + 2i=

3 − i−1 − 2i

.

36 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Exemples :Si z = (1 + i) + (3 − 2i) alors z = (1 + i) + (3 − 2i) =(1 + i) + (3 − 2i) = (1 − i) + (3 + 2i) = 4 + i .

Si z = (1 + i)(3 − i) alorsz = (1 + i)(3 − i) = (1 + i) × (3 − i) = (1 − i)(3 + i).

Si z = 2(3 + 4i) alors z = 2(3 + 4i) = 2 × (3 + 4i) = 2(3 − 4i).

Si z = 3i(1 + 2i) alorsz = 3i(1 + 2i) = 3i × (1 + 2i) = −3i(1 − 2i).

Si z =3 + i

−1 + 2ialors z =

3 + i−1 + 2i

=3 + i

−1 + 2i=

3 − i−1 − 2i

.

36 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Exemples :Si z = (1 + i) + (3 − 2i) alors z = (1 + i) + (3 − 2i) =(1 + i) + (3 − 2i) = (1 − i) + (3 + 2i) = 4 + i .

Si z = (1 + i)(3 − i) alorsz = (1 + i)(3 − i) = (1 + i) × (3 − i) = (1 − i)(3 + i).

Si z = 2(3 + 4i) alors z = 2(3 + 4i) = 2 × (3 + 4i) = 2(3 − 4i).

Si z = 3i(1 + 2i) alorsz = 3i(1 + 2i) = 3i × (1 + 2i) = −3i(1 − 2i).

Si z =3 + i

−1 + 2ialors z =

3 + i−1 + 2i

=3 + i

−1 + 2i=

3 − i−1 − 2i

.

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IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Exemples :Si z = (1 + i) + (3 − 2i) alors z = (1 + i) + (3 − 2i) =(1 + i) + (3 − 2i) = (1 − i) + (3 + 2i) = 4 + i .

Si z = (1 + i)(3 − i) alorsz = (1 + i)(3 − i) = (1 + i) × (3 − i) = (1 − i)(3 + i).

Si z = 2(3 + 4i) alors z = 2(3 + 4i) = 2 × (3 + 4i) = 2(3 − 4i).

Si z = 3i(1 + 2i) alorsz = 3i(1 + 2i) = 3i × (1 + 2i) = −3i(1 − 2i).

Si z =3 + i

−1 + 2ialors z =

3 + i−1 + 2i

=3 + i

−1 + 2i=

3 − i−1 − 2i

.

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IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Pour tout complexe z, on a

z + z = 2Re(z) et z − z = 2i Im(z)

Soit encore

Re(z) =z + z

2et Im(z) =

z − z2i

Remarque : attention de ne pas oublier le terme "i" dansl’expression z − z = 2i Im(z)

37 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Un nombre complexe z est réel ssi Im(z) = 0 ssi z = z.

Un nombre complexe z est imaginaire pur ssi Re(z) = 0 ssiz = −z.

Pour tout nombre complexe z on a z = z.

38 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Un nombre complexe z est réel ssi Im(z) = 0 ssi z = z.

Un nombre complexe z est imaginaire pur ssi Re(z) = 0 ssiz = −z.

Pour tout nombre complexe z on a z = z.

38 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

Un nombre complexe z est réel ssi Im(z) = 0 ssi z = z.

Un nombre complexe z est imaginaire pur ssi Re(z) = 0 ssiz = −z.

Pour tout nombre complexe z on a z = z.

38 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

module et argumenttransformations du plan

Plan

1 Les différentes écritures d’un nombre complexe

2 Changer la forme d’écriture d’un nombre complexe

3 Calculs sur les nombres complexes

4 Conjugué d’un nombre complexe

5 Application des nombres complexes à la géométrieinterprétation du module et d’un argumentTransformations du plan

TranslationRotationHomothétie

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IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

module et argumenttransformations du plan

Si A, B, C et D sont quatre points distincts d’affixe respective a,b, c, d alors :

|zB − zA| = AB

arg(zB − zA) =(−→u ;

−→AB)

∣

∣

∣

∣

zA − zB

zC − zD

∣

∣

∣

∣

=BADC

arg(

zA − zB

zC − zD

)

=(−→

DC;−→BA)

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IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

module et argumenttransformations du plan

La translation de vecteur ~u correspond à l’addition de z~u :

T : P → PM 7→ T~u(M) = M ′

correspond géométriquement à

T~u(M) = M ′ équivaut à−−→MM ′ =

−→uet correspond à la fonction

f : C → C

z 7→ z ′ = z + z~u

41 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

module et argumenttransformations du plan

La translation de vecteur ~u correspond à l’addition de z~u :

T : P → PM 7→ T~u(M) = M ′

correspond géométriquement à

T~u(M) = M ′ équivaut à−−→MM ′ =

−→uet correspond à la fonction

f : C → C

z 7→ z ′ = z + z~u

41 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

module et argumenttransformations du plan

La translation de vecteur ~u correspond à l’addition de z~u :

T : P → PM 7→ T~u(M) = M ′

correspond géométriquement à

T~u(M) = M ′ équivaut à−−→MM ′ =

−→uet correspond à la fonction

f : C → C

z 7→ z ′ = z + z~u

41 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

module et argumenttransformations du plan

La translation de vecteur ~u correspond à l’addition de z~u :

T : P → PM 7→ T~u(M) = M ′

correspond géométriquement à

T~u(M) = M ′ équivaut à−−→MM ′ =

−→uet correspond à la fonction

f : C → C

z 7→ z ′ = z + z~u

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IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

module et argumenttransformations du plan

La rotation de centre O et d’angle α correspond à lamultiplication par le complexe eiα :

R(O;α) : P → PM 7→ R(O;α)(M) = M ′

correspond géométriquement à

si M 6= O, R(O;α)(M) = M ′ équivaut à

OM ′ = OM(−−→

OM;−−→OM ′

)

= α

et correspond à la fonction

f : C → C

z 7→ z ′ = eiα z

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IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

module et argumenttransformations du plan

La rotation de centre O et d’angle α correspond à lamultiplication par le complexe eiα :

R(O;α) : P → PM 7→ R(O;α)(M) = M ′

correspond géométriquement à

si M 6= O, R(O;α)(M) = M ′ équivaut à

OM ′ = OM(−−→

OM;−−→OM ′

)

= α

et correspond à la fonction

f : C → C

z 7→ z ′ = eiα z

42 / 45

IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

module et argumenttransformations du plan

La rotation de centre O et d’angle α correspond à lamultiplication par le complexe eiα :

R(O;α) : P → PM 7→ R(O;α)(M) = M ′

correspond géométriquement à

si M 6= O, R(O;α)(M) = M ′ équivaut à

OM ′ = OM(−−→

OM;−−→OM ′

)

= α

et correspond à la fonction

f : C → C

z 7→ z ′ = eiα z

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IntroductionDifférentes formesChanger de forme

Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

module et argumenttransformations du plan

La rotation de centre O et d’angle α correspond à lamultiplication par le complexe eiα :

R(O;α) : P → PM 7→ R(O;α)(M) = M ′

correspond géométriquement à

si M 6= O, R(O;α)(M) = M ′ équivaut à

OM ′ = OM(−−→

OM;−−→OM ′

)

= α

et correspond à la fonction

f : C → C

z 7→ z ′ = eiα z

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

module et argumenttransformations du plan

La rotation de centre Ω d’affixe ω et d’angle α correspond à lamultiplication par le complexe eiα :

R(Ω;α) : P → PM 7→ R(Ω;α)(M) = M ′

correspond géométriquement à

si M 6= Ω, R(Ω;α)(M) = M ′ équivaut à

ΩM ′ = ΩM(−−→ΩM;

−−→ΩM ′

)

= α

et correspond à la fonction

f : C → C

z 7→ z ′ tel que z ′ − ω = eiα (z − ω)

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

module et argumenttransformations du plan

La rotation de centre Ω d’affixe ω et d’angle α correspond à lamultiplication par le complexe eiα :

R(Ω;α) : P → PM 7→ R(Ω;α)(M) = M ′

correspond géométriquement à

si M 6= Ω, R(Ω;α)(M) = M ′ équivaut à

ΩM ′ = ΩM(−−→ΩM;

−−→ΩM ′

)

= α

et correspond à la fonction

f : C → C

z 7→ z ′ tel que z ′ − ω = eiα (z − ω)

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Géométrie

module et argumenttransformations du plan

La rotation de centre Ω d’affixe ω et d’angle α correspond à lamultiplication par le complexe eiα :

R(Ω;α) : P → PM 7→ R(Ω;α)(M) = M ′

correspond géométriquement à

si M 6= Ω, R(Ω;α)(M) = M ′ équivaut à

ΩM ′ = ΩM(−−→ΩM;

−−→ΩM ′

)

= α

et correspond à la fonction

f : C → C

z 7→ z ′ tel que z ′ − ω = eiα (z − ω)

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Géométrie

module et argumenttransformations du plan

La rotation de centre Ω d’affixe ω et d’angle α correspond à lamultiplication par le complexe eiα :

R(Ω;α) : P → PM 7→ R(Ω;α)(M) = M ′

correspond géométriquement à

si M 6= Ω, R(Ω;α)(M) = M ′ équivaut à

ΩM ′ = ΩM(−−→ΩM;

−−→ΩM ′

)

= α

et correspond à la fonction

f : C → C

z 7→ z ′ tel que z ′ − ω = eiα (z − ω)

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Calculs sur les complexesConjugué

Géométrie

module et argumenttransformations du plan

L’homothétie de centre O et de rapport k 6= 0 correspond à lamultiplication par le réel k :

h(O;k) : P → PM 7→ h(O;k)(M) = M ′

correspond géométriquement à

h(O;k)(M) = M ′ équivaut à−−→OM ′ = k

−−→OM

et correspond à la fonction

f : C → C

z 7→ z ′ = k z

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Géométrie

module et argumenttransformations du plan

L’homothétie de centre O et de rapport k 6= 0 correspond à lamultiplication par le réel k :

h(O;k) : P → PM 7→ h(O;k)(M) = M ′

correspond géométriquement à

h(O;k)(M) = M ′ équivaut à−−→OM ′ = k

−−→OM

et correspond à la fonction

f : C → C

z 7→ z ′ = k z

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Géométrie

module et argumenttransformations du plan

L’homothétie de centre O et de rapport k 6= 0 correspond à lamultiplication par le réel k :

h(O;k) : P → PM 7→ h(O;k)(M) = M ′

correspond géométriquement à

h(O;k)(M) = M ′ équivaut à−−→OM ′ = k

−−→OM

et correspond à la fonction

f : C → C

z 7→ z ′ = k z

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Géométrie

module et argumenttransformations du plan

L’homothétie de centre Ω et de rapport k 6= 0 correspond à lamultiplication par le réel k :

h(Ω;k) : P → PM 7→ h(Ω;k)(M) = M ′

correspond géométriquement à

h(Ω;k)(M) = M ′ équivaut à−−→ΩM ′ = k

−−→ΩM

et correspond à la fonction

f : C → C

z 7→ z ′ tel que z ′ − ω = k (z − ω)

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Géométrie

module et argumenttransformations du plan

L’homothétie de centre Ω et de rapport k 6= 0 correspond à lamultiplication par le réel k :

h(Ω;k) : P → PM 7→ h(Ω;k)(M) = M ′

correspond géométriquement à

h(Ω;k)(M) = M ′ équivaut à−−→ΩM ′ = k

−−→ΩM

et correspond à la fonction

f : C → C

z 7→ z ′ tel que z ′ − ω = k (z − ω)

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Géométrie

module et argumenttransformations du plan

L’homothétie de centre Ω et de rapport k 6= 0 correspond à lamultiplication par le réel k :

h(Ω;k) : P → PM 7→ h(Ω;k)(M) = M ′

correspond géométriquement à

h(Ω;k)(M) = M ′ équivaut à−−→ΩM ′ = k

−−→ΩM

et correspond à la fonction

f : C → C

z 7→ z ′ tel que z ′ − ω = k (z − ω)

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