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PROGRAMACIΓN LINEAL Y MATRICES_ENUNCIADOS_SOLUCIONES
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A1 B1 MATRICES (JUNIO 2020 A1)
Se considera la ecuaciΓ³n matricial:
π΄ β π = π΄! β π΅ππππππ΄ = +1 2 β10 1 21 2 0
0 π¦π΅ = +1020
1. ΒΏQuΓ© dimensiΓ³n debe tener la matriz X? 2. Resuelve la ecuaciΓ³n matricial
(JULIO 2020 B1)
Sean las matrices π΄ = 20 1 21 2 34 π¦π΅ = 22 1
0 β14.
1. Calcular la inversa de la matriz (π΄ β π΄!) 2. ΒΏAdmite inversa la matriz (π΄ β π΄!)? 3. Calcular cuando sea posible π΄ β π΅π¦π΄! β π΅
(JUNIO 2019 B1)
Sena las matrices π΄ = 22 00 14 ,π΅ = 21 0
1 24 π¦πΆ = 210 114 7 4
a) Determina la matriz inversa de la matriz πΌ + π΅, sienod πΌ la matriz identidad de orden 2. b) Calcula las matrices X e Y que verifican que:
?π΄π + π΅π = πΆπ΄π = π
CON SOLUCIΓN
(JULIO 2019 A1)
Sean A y B las siguientes matrices; π΄ = 23 β10 2 4 , π΅ = 2 1 β2
β1 1 4
a) Hallar la matriz inversa de π΄ β π΅ b) Hallar la matriz X tal que π(π΄ β π΅) = 2π΄ β 3π΅
CON SOLUCIΓN
(JUNIO 2018)
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a) Dadas las matrices π = B π₯ 3β1 + π₯ 3π¦D π¦π = 21 β15
0 36 4,determina el valor de las
componentes π₯ > 0ππ¦ para que se verifique π " = π, donde π " = π β π . b) Se conoce la longitud, π = 2, π = 3π¦π = 5, de un lado de cada rectangulo de la
figura X, Y, Z y la otra medida es x, y, z. Determinar x, y, z para que se cumpla: a. La suma del area de los tres rectangulos vale 64. b. La suma de los perimetros de los rectagunlos X e Y vale 34 c. La suma del perimetro de X mas dos veces el area de Y vale 48.
πΉπππ’πππΉπππ’ππππΉπππ’πππ
(JULIO 2018)
a) Calcula los paremtros a, b, c, d para que se cumpla la igualdad πΉ β πΊ = π» β πΎ con las siguientes matrices:
πΉ = 21 + π β π β12 + π 1 4 ,πΊ = 2β2 1
4 3 β π4 π» = 22π + 2 β2π β24 ,πΎ
= 2β1 2π 34
b) Determina el exponente n de la matriz A para que se cumpla :
π΄# = 2β2048 00 β20484 , ππππππ΄ = 20 β2
1 0 4
CON SOLUCIΓN
(JUNIO 2017)
Sean las matrices π΄ = 2 π₯ 6β3 β54 , π΅ = B3 2
π¦ β1D , πΆ = 2 9 π§βπ§ β14 π¦πΈ = 21 2
2 β14
c) ΒΏquΓ© valores deben tomar los parametrois desconococidos x,y,z para que se verifique la igualdad matricial π΄ β π΅ = πΆ?
d) Calcula las componentes de la matriz πΈ"$.Pista: aprovecha las simetrias en la matriz E o el calculo de sus primera potencias para identificar un patron.
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(JULIO 2017)
Dadas las matrices π΄ = 22 00 β14 , π΅ = 2 1 3
β2 24 π¦πΆ = 214 β6β9 β114. encontrar las
componentes de las matrices de dimensiΓ³n 2x2, π = 2π ππ π 4 π¦π» = 2π π
β π4 para que se
cumplan las siguientes igualdades matriciales:
a) π΄ππ΅ = πΆ b) π΄π»π΅%& = πΆ
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(JUNIO 2016)
Considerense las siguinetes matrices y los parametros desconocidos π’π¦π£:
π΄ = 2 2 β1β3 3 4 ,π΅ = 2 0 2
β1 24 ,πΆ = 2β2 0β1 44 ,π· = 22 π’
π£ β24
a) Determinar los valores de los parametros πΌ, π½, π’π¦π£ para que se cumpla la siguiente igualdad matricial, siendo π΅! la matriz traspuesta de B.
π΄ BπΌ 00 π½Dπ΅
! + πΆ B0 πΌπ½ 0D = π·
b) Siendo π΄%& la matriz inversa de A, encontrar los valores de las constantes a y b que verifiquen:
π΄%& 2ππ4 = π΅ 2ππ4 + 2124
CON SOLUCIΓN
(JULIO 2016)
a) Dada la matriz π΄ = 23 β3π π 4, determinar los valores de los parametros a y b para que
se verifique la ecuacion matricial π΄" = 2π΄.
b) Dadas las matrices π΅ = 2 1 0β1 14 π¦πΆ = 21 2
0 14,calcula la matriz π· = π΅'$ β πΆ!
(JUNIO 2015)
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a) Sean las matrices π΄ = 22 10 β14 , π΅ = 21 β1
2 0 4 , πΆ = 2β2 41 β14.Calcular la matriz X
para la que se verifica la ecuacion matricial π΄π = π΅ β πΆ b) Halla la matriz Y para la que se verifica la ecuacion matricial ππ΄ = π΅"
CON SOLUCION
(JULIO 2015)
a) Calcular los valores de a, b, c, d, que verifiquen la siguiente ecuacion matricial:
22π β 2 2ππ + 1 π + 24 + 2
4 π β 22π 2π 4 = 2π π
4 04
b) Dada la matriz π΄ = 2 1 0β1 14,calcular π΄"$.Razona tu respuesta.
CON SOLUCION
(JUNIO 2014 A1)
Sean las matrices π΄ = 2β1 01 β14 π¦π΅ = 2β1 β1
2 β24.Calcular la matriz X para la que se verifica
la ecuaciΓ³n matricial ππ΄" = π΅
Hallar la matriz π΄&(. Razona el procedimiento.
CON SOLUCIΓN
(JULIO 2014 B1).- Calcular las matrices X e Y que verifican el siguiente sistema de ecuaciones matricial:
dπ β 2π = 25 β5
1 β34
2π + π = 20 52 44
Hallar la matriz π" + π"
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(JULIO 2013 B1) Sean las matrices π΄ = 2 0 10β3 β64 π¦π΅ = 2β7 6
15 β54. Hallar las matrices X, Y,
para que se cumpla el siguiente sistema matricial:
? 2π + π = π΄β3π + 2π = π΅
Siendo π΄! la matriz traspuesta de la matriz A, calcular el producto π΄ β π΅ β π΄!
CON SOLUCIΓN
JUNIO 2013 B1.- Sea la matriz π΄ = 2β2 13 β14, y la ecuaciΓ³n 2π΄" + π₯π΄ β π¦πΌ = 0. Calcular los
valores de x e y para los que se verifica dicha ecuaciΓ³n.
Hallar la matriz X para la que se verifica la siguiente ecuaciΓ³n matricial:
π΄ + 2π = 3π΄!
CON SOLUCIΓN
JUNIO 2012 B1.- Sean las matrices:
π΄ = 2 1 2β3 β14 π¦π΅ = 2β1 1
β2 14
Encuentra la matriz X que cumpla la ecuaciΓ³n π΅π = π΄ + π΅
Siendo π΄! la matriz traspuesta de la matriz A, calcula π΄ππ΄!
CON SOLUCIΓN
JULIO 2012 B1.- Sea la matriz π΄ = 2 2 2β2 14,y la ecuacion π΄" β π₯π΄ β π¦πΌ = 0 . Calcular los
valores de x e y para que se verifique la ecuaciΓ³n.
Hallar la matriz X para la que se verifica la siguiente ecuaciΓ³n matricial:
21 2 30 β1 24 +
32π = 22 3 β5
0 7 8 4 + 2π
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JULIO 2011 A1.- Un individuo invirtiΓ³ un total de 60000 β¬ en tres empresas (A, B , C) y obtuvo 4500 β¬ de beneficio. Averiguar cuanto invirtiΓ³ en cada una de ellas, sabiendo que la cantidad invertida en A fue el doble que en B y C juntas y que las rentabilidades fueron; el 5% en A, el 10% en B y el 20% en C.
JUNIO 2011 B1.- Dada la matriz:
π΄ = 23 11 24
Hallar la matriz inversa de π΄ β πΌ
Hallar la matriz B tal que π΄ + π΅ = π΄π΅
CON SOLUCIΓN
JUNIO 2010 B1.- En la exposiciΓ³n de un establecimiento de material de oficina hay 400 unidades, entre lΓ‘mparas, sillas y mesas, con un valor total de 15000β¬. Si el valor de una lΓ‘mpara es de 16β¬, el de una silla 50β¬ y el de una mesa 80β¬, y , ademΓ‘s, hay tantas lΓ‘mparas como sillas y mesas juntas, ΒΏCuantas lΓ‘mparas, sillas y mesas hay en la exposiciΓ³n?.
JULIO 2010 B1.- Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalΓ³n, que se vende a 30β¬; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalΓ³n, que se vende a 50β¬. Se van a poner a la venta al menos 20 lotes de la oferta A y al menos 10 lotes de la B. Averiguar cuantos lotes debe vender de cada tipo para la ganancia sea mΓ‘xima.
JUNIO 2010 A1.-Dadas las matrices:
π΄ = 2π 21 π4 , π΅ = 21 1
1 24 , πΆ = 2β11 4
Las matrices π΅π΄πΆπ¦π΄!πΆ
Los valores que deben tener a y b para que se cumpla que π΅π΄πΆ = π΄!πΆ
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SOLUCIONES
(JUNIO 2019)
Sena las matrices π΄ = 22 00 14 ,π΅ = 21 0
1 24 π¦πΆ = 210 114 7 4
c) Determina la matriz inversa de la matriz πΌ + π΅, siendo πΌ la matriz identidad de orden 2. d) Calcula las matrices X e Y que verifican que:
?π΄π + π΅π = πΆπ΄π = π
Lo primero que tienes que hacer es calcular la matriz πΌ + π΅
πΌ + π΅ = 21 00 14 + 2
1 01 24 = 22 0
1 34
Ahora tienes que hacer la inversa de esa matriz, puedes elegir el procedimiento que te de la gana, yo voy a aplicar la definicion de inversa:
(πΌ + π΅)%&(πΌ + π΅) = πΌ
2π ππ π4 β 2
2 01 34 = 21 0
0 14 β 22π + π 3π2π + π 3π4 = 21 0
0 14
Ahora con lo que te acabo de subrayar (Azul y Verde) vas hacer un sistema de ecuaciones para despejar los parametros:
f2π + π = 13π = 0 β π = 0 β π =
12
Ahora con los otros colores (Rojo y Amarillo) haces otro sistema para sacar el resto de parametros:
f2π + π = 03π = 1 β π =
13β π =
β16
Entonces;
(πΌ + π΅)%& = g
12 0β16
13
h
Ahora para el siguiente apartado, tienes que resolver un sistema de ecuaciones matriciales:
?π΄π + π΅π = πΆπ΄π = π β πβππππππ πππ£ππ¦πππππππππππ‘ππππππ π’π π‘ππ‘π’ππΓ³π:
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π΄π + π΅π = πΆ β π + π΅π = πΆ β (πΌ + π΅)π = πΆ β π = (πΌ + π΅)%&πΆ
π = g
12 0β16
13
h 210 114 7 4 = g
5112
β13
12
h
Ahora lo siguiente que tienes que hacer para terminar es calcular el valor de la incognita X;
π΄π = π β π΄%&π΄π = π΄%&π β π = π΄%&π
Β‘Cuidado! Ahora tienes que calcular la inversa de la matriz A, usa el procedimiento que quieras;
π΄%&π΄ = πΌ β 2π₯ π¦π§ π‘4 2
2 00 14 = 21 0
0 14 β 22π₯ π¦2π§ π‘4 = 21 0
0 14 β π΄%& = +
12
0
0 10
π = π΄%&π β π = +12
0
0 10g
5112
β13
12
h = g
52
114
β13
12
h
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(JULIO 2019)
Sean A y B las siguientes matrices; π΄ = 23 β10 2 4 , π΅ = 2 1 β2
β1 1 4
c) Hallar la matriz inversa de π΄ β π΅ d) Hallar la matriz X tal que π(π΄ β π΅) = 2π΄ β 3π΅
Lo primero que tienes que hacer es calcular la matriz A menos la matriz B:
23 β10 2 4 β 2
1 β2β1 1 4 = 22 1
1 14
Para calcular la inversa puedes hacerlo siguiendo el procedimiento que mas te interese o el que mejor sepas hacer, en este caso voy a utilizar la definiciΓ³n de inversa:
(π΄ β π΅)%&(π΄ β π΅) = πΌ β
2π ππ π4 2
2 11 14 = 21 0
0 14 β 22π + π π + π2π + π π + π4 = 21 0
0 14 β
Ahora con lo que te acabo de subrayar (Azul y Verde) vas hacer un sistema de ecuaciones para despejar los parametros:
?2π + π = 1π + π = 0 βπ΄βππππππππππ’πππΓ³π β π = 1 β π = β1
Ahora con los otros colores (Morado y Amarillo) haces otro sistema para sacar el resto de parametros:
?2π + π = 0π + π = 1 βπ πππ’πππΓ³ππππππππ πππ£ππππ β π = β1 β π = 2
(π΄ β π΅)%& = 2 1 β1β1 2 4
Ahora tienes que resolver la siguiente ecuacion matricial;
π(π΄ β π΅) = 2π΄ β 3π΅
π(π΄ β π΅)(π΄ β π΅)%& = (2π΄ β 3π΅)(π΄ β π΅)%&
π = (2π΄ β 3π΅)(π΄ β π΅)%&
π = m2 23 β10 2 4 β 32
1 β2β1 1 4n β 2
1 β1β1 2 4 = 23 4
3 14 β 21 β1β1 2 4 = 2β1 5
2 β14
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(JUNIO 2018)
a) Dadas las matrices π = B π₯ 3β1 + π₯ 3π¦D π¦π = 21 β15
0 36 4,determina el valor de las
componentes π₯ > 0ππ¦ para que se verifique π " = π, donde π " = π β π . b) Se conoce la longitud, π = 2, π = 3π¦π = 5, de un lado de cada rectangulo de la
figuraX, Y, Z y la otra no x, y, z. Determinar x, y, z para que se cumpla: a. La suma del area de los tres rectangulos vale 64. b. La suma de los perimetros de los rectagunlos X e Y vale 34 c. La suma del perimetro de X mas dos veces el area de Y vale 48.
πΉπππ’πππΉπππ’ππππΉπππ’πππ
Lo primero que tienes que hacer en este ejercicio que a simple vista puede asustar, es leerlo detenidamente y empezar por el principio, paso por paso.
Lo primero que quiere que calcules es los valores de los parΓ‘metros, x e y para que se cumpla la siguiente igualdad:
π " = π β π β π = π β B π₯ 3β1 + π₯ 3π¦DB
π₯ 3β1 + π₯ 3π¦D = 21 β15
0 36 4
o π₯" + 3π₯ β 3 3π₯ + 9π¦βπ₯ + π₯" β 3π¦ + 3π₯π¦ β3 + 3π₯ + 9π¦"
p = 21 β150 36 4
β©β¨
β§ π₯" + 3π₯ β 3 = 13π₯ + 9π¦ = β15
βπ₯ + π₯" β 3π¦ + 3π₯π¦ = 09π¦" + 3π₯ β 3 = 36
β π ππ πππ£πππππππππππππππππ’πππΓ³π β π₯ = 1π¦π₯ = β4
πππππππππππππ’ππππππππππππ’ππππ₯π‘ππππππ’ππ πππππ¦ππππ’πππππ, πππ’πππππ πππ’ππΓ³πππ
π₯ = 1
Ahora sabiendo el valor del parΓ‘metro x tienes que calcular el valor de y;
3π₯ + 9π¦ = β15 β π¦ =β15 β 3π₯
9β π¦ =
β15 β 39
β π¦ = β2
Ahora viene lo que quizΓ‘s te de un poco de miedo, resolver la segunda parte del ejercicio:
Este ejercicio para llegar a la soluciΓ³n correcta solo requiere de paciencia.
La suma del area de los tres rectangulos vale 64 β 2π₯ + 3π¦ + 5π§ = 64
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La suma de los perimetros de los rectagunlos X e Y vale 34 β 4 + 2π₯ + 6 + 2π¦ = 34 β 2π₯ +2π¦ = 24
La suma del perimetro de X mas dos veces el area de Y vale 48 β 4 + 2π₯ + 6π¦ = 48 β 2π₯ +6π¦ = 44
Ahora si quieres puedes utilizar el mΓ©todo de reducciΓ³n con las dos ultimas ecuaciones y sacar los parΓ‘metros x e y:
2π₯ + 2π¦ = 24
2π₯ + 6π¦ = 44
β4π¦ = β20 β π¦ = 5
Sabiendo que π¦ = 5 β 2π₯ + 2π¦ = 24 β 2π₯ = 24 β 10 β π₯ = 7
Por ultimo, para sacar el valor de z, tienes que ir a la primera ecuaciΓ³n y sustituir:
2π₯ + 3π¦ + 5π§ = 64 β 2(7) + 3(5) + 5π§ = 64 β π§ = 7
(JULIO 2018)
a) Calcula los paremtros a, b, c, d para que se cumpla la igualdad πΉ β πΊ = π» β πΎ con las siguientes matrices:
πΉ = 21 + π β π β12 + π 1 4 ,πΊ = 2β2 1
4 3 β π4 π» = 22π + 2 β2π β24 ,πΎ
= 2β1 2π 34
b) Determina el exponente n de la matriz A para que se cumpla :
π΄# = 2β2048 00 β20484 , ππππππ΄ = 20 β2
1 0 4
Lo primero que tienes que hacer son las multiplicaciones a ambos lados de la igualdad para poder posteriormente, igualar las dos matrices y determinar el valor de los parΓ‘metros:
πΉ β πΊ = π» β πΎ β 21 + π β π β12 + π 1 4 β 2
β2 14 3 β π4 = 22π + 2 β2
π β24 β 2β1 2π 34
2β2 β 2π + 2π β 4 1 + π β π β 3 + πβ4 β 2π + 4 2 + π + 3 β π 4 = 2β2π β 2 β 2π 4π + 4 β 6
βπ β 2π 2π β 6 4 β
tβ2π + 2π β 6 = β2π β 2π β 2
π β π + π β 2 = 4π β 2β2π = βπ β 2π
π β π + 5 = 2π β 6
β πππππππππππππππ’πππΓ³π β 4π = 4 β π = 1
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Sabiendo que el parΓ‘metro b tiene valor 1, puedes despejar de la tercera ecuaciΓ³n, el valor de c;
β2π = βπ β 2π β π = 0
Ahora en la ultima ecuaciΓ³n; π β π + 5 = 2π β 6 β 1 β π + 5 = β6 β π = 12
Por ΓΊltimo, en la segunda ecuaciΓ³n: π β π + π β 2 = 4π β 2 β β3π = π β π + 2 β 2 β
π =113
NO DUDES NUNCA DE ESTE TIPO DE RESULTADOS Y MENOS EN LA SELECTIVIDAD, LO HACEN PARA QUE PIERDAS EL TIEMPO Y TE PONGAS NERVISO.
Para terminar con el ejercicio, en el apartado b, quiere que le digas cual tiene que ser el exponente de la matriz A para que se cumpla;
π΄# = 2β2048 00 β20484 , ππππππ΄ = 20 β2
1 0 4
π΄" = π΄ β π΄ = 20 β21 0 4 β 2
0 β21 0 4 = 2β2 0
0 β24
π΄) = π΄" β π΄ = 2β2 00 β24 β 2
0 β21 0 4 = 2 0 4
β2 04
π΄* = π΄) β π΄ = 2 0 4β2 04 β 2
0 β21 0 4 = 24 0
0 44
π΄' = π΄* β π΄ = 24 00 44 β 2
0 β21 0 4 = 20 β8
4 0 4
π΄+ = π΄' β π΄ = 20 β84 0 4 β 2
0 β21 0 4 = 2β8 0
0 β84
Como puedes comprobar, dependiendo de si el exponente es par o impar, tienes un resultado o un patron diferente, por eso, quiero que te centres unicamente en el que a ti te interesa, que es un exponente par, ya que 20 es un numero par. Y ademas de eso, tambien quiero que preste especial atenciΓ³n al signo, ya que en los exponentes pares el signo es alterno. Entonces;
Como tu estas trabajando con una matriz de exponente par y el resultado del signo es negativo, la vas a comparar con π΄", π΄+β¦
π΄# = oβ2#" 0
0 β2#"p
π΄# = 2β2048 00 β20484
β2#" = β2048 β 2
#" = 2048 β
π2= log" 2048 β
π2= 11 β π = 22
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(JUNIO 2017)
Sean las matrices π΄ = 2 π₯ 6β3 β54 , π΅ = B3 2
π¦ β1D , πΆ = 2 9 π§βπ§ β14 π¦πΈ = 21 2
2 β14
a) ΒΏquΓ© valores deben tomar los parametrois desconococidos x,y,z para que se verifique la igualdad matricial π΄ β π΅ = πΆ?
b) Calcula las componentes de la matriz πΈ"$.Pista: aprovecha las simetrias en la matriz E o el calculo de sus primera potencias para identificar un patron.
Lo primero que tienes que hacer, es plantear la igualdad y realizar los cΓ‘lculos:
2 π₯ 6β3 β54 β B
3 2π¦ β1D = 2 9 π§
βπ§ β14 β B3π₯ + 6π¦ 2π₯ β 6β9 β 5π¦ β1 D = 2 9 π§
βπ§ β14
Ahora lo siguiente que tienes que hacer, es igualar las dos matrices, para componente a componente ir determinando los parΓ‘metros:
3π₯ + 6π¦ = 9
2π₯ β 6 = π§
β9 β 5π¦ = βπ§ β π§ = 9 + 5π¦
β1 = β1
Con las dos ecuaciones que tienes en amarillo; 2π₯ β 6 = 9 + 5π¦
Ahora con las dos ecuaciones que estΓ‘n subrayadas en verde, puedes hacer un sistema para determinar el valor del parΓ‘metro x e y;
f3π₯ + 6π¦ = 92π₯ β 5π¦ = 15 πππππππππππππ’πππΓ³π β π₯ = 3 β 2π¦ β 2(3 β 2π¦) β 5π¦ = 15 β β9π¦ = 9
β π¦ = β1
Por tanto, π₯ = 3 β 2(β1) β π₯ = 5
Ahora sabiendo estos parΓ‘metros, puedes calcular el valor de z;
π§ = 2π₯ β 6 β π§ = 10 β 6 β π§ = 4
En el apartado b, el ejercicio quiere que calcules la potencia 20 de la matriz E, por tanto,
πΈ" = πΈ β πΈ = 21 22 β14 β 2
1 22 β14 = 25 0
0 54
πΈ) = πΈ" β πΈ = 25 00 54 β 2
1 22 β14 = 2 5 10
10 β54
πΈ* = πΈ) β πΈ = 2 5 1010 β54 β 2
1 22 β14 = 225 0
0 254
Como puedes comprobar, tal y como te adelanta el enunciado, tienes que diferenciar entre las matrices de potencia par y de las que tienen potencia impar:
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πΈ# β π: πππ β πΈ# = o5#" 00 5
#"p
Como el enunciado quiere que calcules πΈ"$ = 25&$ 00 5&$
4
(JULIO 2017)
Dadas las matrices π΄ = 22 00 β14 , π΅ = 2 1 3
β2 24 π¦πΆ = 214 β6β9 β114. encontrar las
componentes de las matrices de dimensiΓ³n 2x2, π = 2π ππ π 4 π¦π» = 2π π
β π4 para que se
cumplan las siguientes igualdades matriciales:
a) π΄ππ΅ = πΆ b) π΄π»π΅%& = πΆ β π΄π» = πΆπ΅
Lo primero que vas hacer en este caso es calcular la matriz inversa de B y la inversa de A, ya que las vas a necesitar, en este caso lo hare aplicando la definicion de inversa:
π΅ β π΅%& = πΌ
2 1 3β2 24 β 2
π ππ π4 = 21 0
0 14
2 π + 3π π + 3πβ2π + 2π β2π + 2π4 = 21 0
0 14 β dπ + 3π = 1β2π + 2π = 0π + 3π = 0β2π + 2π = 1
Ahora con lo que esta subrayado de amarillo vas hacer un sistema y con lo que esta de verde otro sistema para sacar los elementos que forman la matriz inversa de B:
Sistema amarillo:
π = 1 β 3π β β2(1 β 3π) + 2π = 0 β β2 + 6π + 2π = 0 β π =14
π = 1 β 314β π =
14
Sistema verde:
π = β3π β β2(β3π) + 2π = 1 β 6π + 2π = 1 β π =18
π = β3 β18β π =
β38
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Por tanto,
π΅%& = g
14
β38
14
18
h
Ahora tienes que calcular la inversa de la matriz A, para este caso voy a utilizar un procedimiento diferente, lo hare con GAUSS (hacer ceros):
22 00 β1 y
1 00 14 β ππππππππππππππππ‘ππ2π¦πππ πππ’ππππππππππ‘ππ β 1 β +1 0
0 1 z12
0
0 β10
Por tanto la inversa de la matriz A:
π΄%& = +12
0
0 β10
Ahora con toda esta informacion lo unico que tienes que hacer es despejar bien de cada una de las ecuaciones matriciales la incognita correspondiente:
π΄ππ΅ = πΆ β π = π΄%&πΆπ΅%&
π = +12
0
0 β10 β 214 β6
β9 β114 β g
14
β38
14
18
h = 21 β35 β24
π΄π»π΅%& = πΆ β π» = π΄%&πΆπ΅
π» = +12
0
0 β10 β 214 β6
β9 β114 β 21 3β2 24 = 2 13 15
β13 494
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(JUNIO 2016)
Considerense las siguinetes matrices y los parametros desconocidos π’π¦π£:
π΄ = 2 2 β1β3 3 4 ,π΅ = 2 0 2
β1 24 ,πΆ = 2β2 0β1 44 ,π· = 22 π’
π£ β24
a) Determinar los valores de los parametros πΌ, π½, π’π¦π£ para que se cumpla la siguiente igualdad matricial, siendo π΅! la matriz traspuesta de B.
π΄ BπΌ 00 π½Dπ΅
! + πΆ B0 πΌπ½ 0D = π·
b) Siendo π΄%& la matriz inversa de A, encontrar los valores de las constantes a y b que verifiquen:
π΄%& 2ππ4 = π΅ 2ππ4 + 2124
π΄BπΌ 00 π½Dπ΅
! + πΆ B0 πΌπ½ 0D = π·
β πΏπππππππππππ‘πππππππππππππππππππππππ’ππ‘πππππ πππππππ’πππππ:
2 2 β1β3 3 4 B
πΌ 00 π½D 2
0 2β1 24
!+ 2β2 0
β1 44 B0 πΌπ½ 0D = 22 π’
π£ β24
Bβ2πΌ βπ½β3πΌ 3π½D 2
0 β12 2 4 + B
0 β2πΌ4π½ βπΌ D = 22 π’
π£ β24
Bβ2π½ 2πΌ β 2π½6π½ 3πΌ + 6π½D + B
0 β2πΌ4π½ βπΌ D = 22 π’
π£ β24
Bβ2π½ β2π½10π½ 2πΌ + 6π½D = 22 π’
π£ β24 β t
β2π½ = 2β2π½ = π’10π½ = π£
2πΌ + 6π½ = β2
β π½ = β1; π’ = 2; π£ = β10πΌ = 2
Para el segundo apartado es algo muy parecido, pero con otro tipo de operaciones:
π΄%& 2ππ4 = π΅ 2ππ4 + 2124
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Primero tienes que calcular la inversa de A:
2 2 β1β3 3 4 β 2
π ππ π4 = 21 0
0 14 β d2π β π = 1β3π + 3π = 02π β π = 0β3π + 3π = 1
β π ππ πππ£πππππ βΆ g1
13
123
h = π΄%&
Ahora cuando ya tienes la inversa, hacer los cΓ‘lculos es relativamente sencillo:
g1
13
123
h2ππ4 = 2 0 2β1 24 2
ππ4 + 2
124 β g
π +π3
π +2π3
h = 2 2π + 1βπ + 2π + 24
tπ +
π3 = 2π + 1
π +2π3= βπ + 2π + 2
β ? 3π + π = 6π + 33π + 2π = β3π + 6π + 6 β ?3π β 5π = 3
6π β 4π = 6 β ?6π β 10π = 66π β 4π = 6
Ahora aplicando el mΓ©todo de reducciΓ³n y restando la primera ecuaciΓ³n con la segunda:
β6π = 0 β π = 0πππ‘πππππ π = 1
(JUNIO 2015)
c) Sean las matrices π¨ = 2π ππ βπ4 ,π© = 2π βπ
π π 4 , πͺ = 2βπ ππ βπ4.Calcular la matriz X
para la que se verifica la ecuacion matricial π¨πΏ = π©β πͺ d) Halla la matriz Y para la que se verifica la ecuacion matricial ππ¨ = π©π
Estos ejercicios los puedes hacer de dos formas diferentes:
1. Reolviendo la ecuacion matricial utilizando la definicion de inversa: π΄π = π΅ β πΆ β π = π΄%&(π΅ β πΆ)
2. Realizando un sistema:
22 10 β14 2
π ππ π4 = 21 β1
2 0 4 2β2 41 β14
Tu decides el metodo que mejor sabes hacer, pero ambos caminos tienen que llevarte al mismo resultado. Yo lo hare en este caso siguiendo el segundo camino:
22 10 β14 2
π ππ π4 = 21 β1
2 0 4 2β2 41 β14
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22π + π 2π + πβπ βπ 4 = 2β3 5
β4 84 β d2π + π = β3βπ = β42π + π = 5βπ = 8
β π = 4; π = β8; π =β72; π =
132
π = oβ7
2οΏ½13
2οΏ½4 β8
p
En el siguiente apartado tienes que calcular la matriz Y. En este caso voy a utilizar el calculo de la inversa para hacerlo.
ππ΄ = π΅" β π = π΅"π΄%&
π΅" = 21 β12 0 4 2
1 β12 0 4 = 2β1 β1
2 β24
El calculo de la inversa de la matriz A:
π΄π΄%& = πΌ β 22 10 β14 2
π ππ π4 = 21 0
0 14 β 22π + π 2π + πβπ βπ 4 = 21 0
0 14
d2π + π = 1βπ = 0
2π + π = 0βπ = 1
β π = 0; π =12; π = β1; π =
12β π΄%& = +
12
12
0 β10
π = 2β1 β12 β24+
12
12
0 β10 = +β
12
12
1 30
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(JULIO 2015)
c) Calcular los valores de a, b, c, d, que verifiquen la siguiente ecuacion matricial:
2ππ β π πππ + π π + π4 + 2
π π β πππ ππ 4 = 2π π
π π4
d) Dada la matriz π¨ = 2 π πβπ π4,calcular π¨ππ.Razona tu respuesta.
22π β 2 2ππ + 1 π + 24 + 2
4 π β 22π 2π 4 = 2π π
4 04
22π + 2 2π + π β 23π + 1 2π + π + 24 = 2π π
4 04 β d2π + 2 = π β π = β23π + 1 = 4 β π = 1
2π + π β 2 = π β π + π = 2 β π = 02π + π + 2 = 0 β π = 2
Para realizar el segundo apartado de este ejercicio tienes que ver el patron que se da en las primera potencias de la matriz de A:
π΄" = π΄π΄ β 2 1 0β1 14 2
1 0β1 14 = 2 1 0
β2 14
π΄) = π΄"π΄ β 2 1 0β2 14 2
1 0β1 14 = 2 1 0
β3 14
Practicamente ya puedes ver el patron que se esta desarrollando;
π΄# = 2 1 0βπ 14 β π ππππππ 20 β π΄"$ = 2 1 0
β20 14
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(JUNIO 2014 A1)
Sena las matrices π΄ = 2β1 01 β14 π¦π΅ = 2β1 β1
2 β24.Calcular la matriz X para la que se verifica
la ecuaciΓ³n matricial ππ΄" = π΅
Hallar la matriz π΄&(. Razona el procedimiento.
Para resolver la primera pregunta que nos hace el ejercicio, tienes que despejar la incΓ³gnita X de la siguiente ecuaciΓ³n matricial:
ππ΄" = π΅ β π = π΅(π΄")%&
Date cuenta que primero tienes que calcula π΄" = π΄ β π΄
π΄" = π΄ β π΄ = 2β1 01 β142
β1 01 β14 = 2 1 0
β2 14
Ahora tienes que calcular la inversa de la matriz que acabas de calcular, puedes hacer el procedimiento que te de la gana:
(π΄")%& β π΄" = πΌ β 2π ππ π4 2
1 0β2 14 = 21 0
0 14 β 2π β 2π ππ β 2π π4 = 21 0
0 14
Ahora con lo que te acabo de subrayar (Azul y Verde) vas hacer un sistema de ecuaciones para despejar los parametros:
?π β 2π = 1π = 0 βπ = 0 β π = 1
Ahora con los otros colores (Morado y Amarillo) haces otro sistema para sacar el resto de parametros:
?π β 2π = 0π = 1 βπ = 1 β π = 2
(π΄")%& = 21 02 14
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π = π΅(π΄")%& β π΅ = 2β1 β12 β242
1 02 14 = 2β3 β1
β2 β24
Ahora tienes que hallar la matriz π΄&(, para eso tienes que realizar varios cΓ‘lculos: π΄", π΄), π΄*, β¦
π΄" = π΄ β π΄ = 2 1 0β2 14
π΄) = π΄" β π΄ = 2 1 0β2 14 2
β1 01 β14 = 2β1 0
3 β14
π΄* = π΄" β π΄" = 2 1 0β2 14 2
1 0β2 14 = 2 1 0
β4 14
π΄' = π΄* β π΄ = 2 1 0β4 14 2
β1 01 β14 = 2β1 0
5 β14
Entonces, tienes que diferenciar cuando el exponente es par e impar:
π β πππ β 2 1 0βπ 14 π β πππππ β 2β1 0
π β14
Entonces; π΄&( β πππ ππππππππ‘πππππ β 2β1 017 β14
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(JULIO 2014 B1).- Calcular las matrices X e Y que verifican el siguiente sistema de ecuaciones matricial:
dπ β 2π = 25 β5
1 β34
2π + π = 20 52 44
Hallar la matriz π" + π"
Para resolver este sistema de ecuaciones matriciales, el metodo que te aconsejo que utilices es el de reducciΓ³n;
dπ β 2π = 25 β5
1 β34
2π + π = 20 52 44
β ππ’ππ‘πππππππππ2ππππ πππ’ππππππ’πππΓ³π dπ β 2π = 25 β5
1 β34
4π + 2π = 20 104 8 4
5π = 25 55 54 β π = 21 1
1 14
Sabiendo ahora que la matriz X tiene ese valor, solo tienes que despejar la incognita ββyββ;
π β 2π = 25 β51 β34 β π =
25 β51 β34 β π
β2β π =
25 β51 β34 β 2
1 11 14
β2β
π = 2β2 30 24
Ahora el ejercicio quiere que hagamos una operaciΓ³n muy sencilla;
π" + π"
π" = 21 11 14 2
1 11 14 = 22 2
2 24
π" = 2β2 30 24 2
β2 30 24 = 24 0
0 44
π" + π" = 22 22 24 + 2
4 00 44 = 26 2
2 64
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(JULIO 2013 B1) Sean las matrices π΄ = 2 0 10β3 β64 π¦π΅ = 2β7 6
15 β54. Hallar las matrices X, Y,
para que se cumpla el siguiente sistema matricial:
? 2π + π = π΄β3π + 2π = π΅
Siendo π΄! la matriz traspuesta de la matriz A, calcular el producto π΄ β π΅ β π΄!
Lo primero que vas hacer es resolver el problema utilizando en este caso el metodo de reduccion:
? 2π + π = π΄β3π + 2π = π΅ β π₯(β2)πππππππππππππ’πππΓ³π β ?β4π β 2π = β2π΄
β3π + 2π = π΅
β7π = β2π΄ + π΅
Ahora tienes que hacer las operaciones correspondientes para despejar el valor de la matriz X, recuerda que un numero si que puede pasar dividiviendo al otro lado de la igualdad:
π =1β7
mβ22 0 10β3 β64 + 2
β7 615 β54n β π = 2 1 2
β3 β14
Ahora sabiendo X despejamos de cualquiera de las dos ecuaciones la matriz Y:
2π + π = π΄ β π = π΄ β 2π β π = 2 0 10β3 β64 β 22
1 2β3 β14 β π = 2β2 6
3 β44
Para terminar con el ejercicio, quiere que hagas una operaciΓ³n muy sencilla, multiplicar tres matrices;
π΄ β π΅ β π΄! = 2 0 10β3 β64 β 2
β7 615 β54 β 2
0 β310 β64 = 2150 β50
111 12 4 β 20 β310 β64
= 2β500 β150120 135 4
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JUNIO 2013 B1.- Sea la matriz π΄ = 2β2 13 β14, y la ecuaciΓ³n 2π΄" + π₯π΄ β π¦πΌ = 0. Calcular los
valores de x e y para los que se verifica dicha ecuaciΓ³n.
Hallar la matriz X para la que se verifica la siguiente ecuaciΓ³n matricial:
π΄ + 2π = 3π΄!
Antes de empezar con este ejercicio, quiero que recuerdes que, en este tipo de ejercicios, cuando las letras son minΓΊsculas representan nΓΊmeros, cuando las letras son mayΓΊsculas, representan matrices.
Una vez recordado lo anterior, adelante con los cΓ‘lculos de la siguiente ecuaciΓ³n matricial:
2π΄" + π₯π΄ β π¦πΌ = 0
FΓjate que primeramente necesitas calcular π΄" = π΄ β π΄ = 2β2 13 β14 β 2β2 1
3 β14 =
2 7 β3β9 4 4
Sabiendo el resultado de esta operaciΓ³n ya casi tienes el ejercicio resuelto, plantea toda la ecuaciΓ³n y resuelve la igualdad:
2π΄" + π₯π΄ β π¦πΌ = 0 β 22 7 β3β9 4 4 + 2
β2π₯ π₯3π₯ βπ₯4 β B
π¦ 00 π¦D = 20 0
0 04
B14 β 2π₯ β π¦ β6 + π₯β18 + 3π₯ 8 β π₯ β π¦D = 20 0
0 04 β t
14 β 2π₯ β π¦ = 0β6 + π₯ = 0β18 + 3π₯ = 08 β π₯ β π¦ = 0
β π₯ = 6; π¦ = 2
La segunda parte del ejercicio quiere que calcules la matriz X para que se verifique la siguiente ecuaciΓ³n matricial:
π΄ + 2π = 3π΄! β 2π = 3π΄! β π΄ β π =12(3π΄! β π΄)
π =12m3 2β2 3
1 β14 β 2β2 13 β14n β π = 2β2 4
0 β14
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JUNIO 2012 B1.- Sean las matrices:
π΄ = 2 1 2β3 β14 π¦π΅ = 2β1 1
β2 14
Encuentra la matriz X que cumpla la ecuaciΓ³n π΅π = π΄ + π΅
Siendo π΄! la matriz traspuesta de la matriz A, calcula π΄ππ΄!
π΅π = π΄ + π΅
Lo primero que tienes que hacer es despejar de forma correcta la matriz X aplicando la inversa de la matriz B, recuerda que el calculo de la matriz inversa lo puedes hacer siguiendo el procedimiento que te de la gana, usa el que mejor sepas hacer;
π΅π = π΄ + π΅ β π΅%&π΅π = π΅%&(π΄ + π΅) β π = π΅%&(π΄ + π΅)
ΒΏCΓ³mo calcula la inversa de la matriz B?
2β1 1β2 1 y
1 00 14 β πΉπππ1πππππ ππππ2 β 2 1 0
β2 1 y1 β10 1 4 β πΉπππ2πππ πππ π£ππππ ππππ1
21 00 1 y
1 β12 β14 β π΅%& = 21 β1
2 β14
π = π΅%&(π΄ + π΅) β π = 21 β12 β14o2
1 2β3 β14 + 2
β1 1β2 14p β π = 21 β1
2 β14 20 3β5 04
π = 25 35 64
Ahora el ejercicio quiere que hagas unas multiplicaciones entre matrices muy sencilla, el problema de este apartado es que para hacerlo, tienes que tener bien el apartado anterior.
π΄ππ΄! β 2 1 2β3 β14 2
5 35 64 2
1 2β3 β14
!β 2 1 2
β3 β14 25 35 64 2
1 β32 β14
= 2 15 15β20 β154 2
1 β32 β14 = 2 45 β60
β50 75 4
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JULIO 2012 B1.- Sea la matriz π΄ = 2 2 2β2 14,y la ecuacion π΄" β π₯π΄ β π¦πΌ = 0 . Calcular los
valores de x e y para que se verifique la ecuaciΓ³n.
Hallar la matriz X para la que se verifica la siguiente ecuaciΓ³n matricial:
21 2 30 β1 24 +
32π = 22 3 β5
0 7 8 4 + 2π
Lo primero que tienes que hacer es plantear la matriz π΄":
π΄" = π΄ β π΄ = 2 2 2β2 14 β 2
2 2β2 14 = 2 0 6
β6 β34
2 0 6β6 β34 β 2
2π₯ 2π₯β2π₯ π₯ 4 β 2
π¦ ππ π¦4 = 20 0
0 04 β
t
β2π₯ β π¦ = 06 β 2π₯ = 0β6 + 2π₯ = 0β3 β π₯ β π¦ = 0
β π₯ = 3; π¦ = β6
Ahora tienes que despejar la incognita X de la siguiente ecuaciΓ³n matricial:
21 2 30 β1 24 +
32π = 22 3 β5
0 7 8 4 + 2π
+32π β 2π = 22 3 β5
0 7 8 4 β 21 2 30 β1 24 β β
12π = 21 1 β8
0 8 6 4 β
π = 2β2 β2 160 β16 β124
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JUNIO 2011 B1.- Dada la matriz:
π΄ = 23 11 24
Hallar la matriz inversa de π΄ β πΌ
Hallar la matriz B tal que π΄ + π΅ = π΄π΅
Lo primero que tienes que hacer es la resta de la matriz A menos la matriz identidad:
23 11 24 β 2
1 00 14 = 22 1
1 14
Ahora que ya sabes cual es la matriz resultante, tienes que hacer su inversa, recuerda que puedes hacer el procedimiento que te de la gana, elige el que mejor sepas hacer:
22 11 1 y
1 00 14 β πΉπππ1 β πΉπππ2 β 21 0
1 1 y1 β10 1 4 β πΉπππ2 β πΉπππ1 β 21 0
0 1 y1 β1β1 2 4
Por tanto, despues dehacer las transformaciones necesarias, ya tienes la inversa: 2 1 β1β1 2 4
Para terminar tienes que calcula la matriz B para que cumpla la siguiente expresiΓ³n:
π΄ + π΅ = π΄π΅ β 23 11 24 + 2
π₯ π¦π§ π‘4 = 23 1
1 24 β 2π₯ π¦π§ π‘4 β 23 + π₯ 1 + π¦
1 + π§ 2 + π‘4
= B3π₯ + π§ 3π¦ + π‘π₯ + 2π§ π¦ + 2π‘D
t
3 + π₯ = 3π₯ + π§1 + π§ = π₯ + 2π§1 + π¦ = 3π¦ + π‘2 + π‘ = π¦ + 2π‘
β
β2π₯ β π§ = β3βπ₯ β π§ = β1β2π¦ β π‘ = β1βπ¦ β π‘ = β2
β ππππππ πππ ππππππππ πππ’πππππππ β π₯ = 2; π§ = β1
πΆπππππ πππ π’ππ‘ππππ πππ’πππππππ β π¦ = β1; π‘ = 3ππππ‘πππ‘π; π΅ = 2 2 β1β1 3 4
Otro procedimiento mas sencillo: π΄ + π΅ = π΄π΅ β π΄ = π΄π΅ β π΅ β π΄ = (π΄ β πΌ)π΅ β (π΄ βπΌ)%&π΄ = π΅
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JUNIO 2010 A1.-Dadas las matrices:
π΄ = 2π 21 π4 , π΅ = 21 1
1 24 , πΆ = 2β11 4
Las matrices π΅π΄πΆπ¦π΄!πΆ
Los valores que deben tener a y b para que se cumpla que π΅π΄πΆ = π΄!πΆ
Para empezar tienes que calcular las dos multiplicaciones entre matrices por separado:
π΅π΄πΆ = 21 11 24 β 2
π 21 π4 β 2
β11 4 = 2π + 1 2 + π
π + 2 2 + 2π4 β 2β11 4 = 2 βπ β 1 + 2 + πβπ β 2 + 2 + 2π4
π΄!πΆ = 2π 21 24
!2β11 4 = 2π 1
2 π4 2β11 4 = 2βπ + 1β2 + π4
Ahora tienes que igualar los dos resultados que has obtenido y asi poder despejar los valores de los parametros:
2 βπ β 1 + 2 + πβπ β 2 + 2 + 2π4 = 2βπ + 1β2 + π4 ββπ β 1 + 2 + π = βπ + 1βπ β 2 + 2 + 2π = β2 + π β ππΌπππΈππ΄ β π = 0
π = 2
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