3. Probabilitas

DEFINISI PROBABILITAS Peluang adalah harga/angka yang

menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa terjadi, di antara keseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi.Nilai probabilitas: dari 0 sampai dengan 1 Jika probabilitas suatu peristiwa bernilai 0

menunjukkan bahwa peristiwa tersebut pasti tidak akan terjadi

Jika probabilitas suatu peristiwa bernilai 1 menunjukkan bahwa peristiwa tersebut pasti akan terjadi

33

BEBERAPA ISTILAH

Events: satu atau lebih kemungkinan hasil dari melakukan suatu tindakan

Experiment: Suatu tindakan yang menghasilkan akan menghasilkan peristiwa (event).

Sample space: Kumpulan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan (experiment).

Contoh:Jika kita melempar sebuah mata uang satu kali, maka tentukan mana yang disebut experiment, event, dan sample space?

Contoh 1:Sebuah mata uang logam mempunyai sisi dua (H & T) kalau mata uang tersebut dilambungkan satu kali, peluang untuk keluar sisi H adalah ½.

Contoh 2:Sebuah dadu untuk keluar mata ‘lima’ saat pelemparan dadu tersebut satu kali adalah 1/6 (karena banyaknya permukaan dadu adalah 6)

Rumus : P (E) = X/NP: ProbabilitasE: Event (Kejadian)X: Jumlah kejadian yang diinginkan (peristiwa)N: Keseluruhan kejadian yang mungkin terjadi

PENDEKATAN KLASIK

Disebut juga pendekatan apriori atau probabilitas teoritis karena besarnya peluang suatu kejadian dapat ditentukan berdasarkan logika atau teori sebelum peristiwanya terjadi.

Misalnya: jenis kelamin suatu kelahiran dan pelemparan mata uang.

Pendekatan klasik tidak dapat diperlakukan

pada semua peristiwa, misal :1.Keadaan yg tidak dapat ditentukan

peluang sebelum peristiwanya terjadi. Misalnya, besarnya peluang untuk dapat hidup s.d 85th.

2.Hal-hal yg terjadi diluar dugaan, seperti posisi koin miring saat pelemparan koin

Peluang dengan pendekatan klasik dapat dikatakan probalitas suatu event adalah jumlah hasil yang diharapkan terjadi pada sejumlah event (n) dibagi dengan jumlah semua kemungkinan yang dapat terjadi (N)

Rumus -P(e) = n/N Contoh

Kelahiran bayi laki-laki mempunyai peluang yang sama dengan kelahiran bayi perempuan

P(laki-laki) = 1/(1+1) = 0,5

PENDEKATAN FREKUENSI RELATIF1. Peluang event di masa datang

ditentukan berdasarkan frekuensi event tersebut dimasa lampau. Misal, berdasarkan data thn lalu dari 1000 kejadian gempa bumi, ternyata 100 diantaranya terjadi di Indonesia. Dapat diestimasi bahwa peluang terjadinya gempa bumi di indonesia tahun ini adalah 0,1.

PENDEKATAN FREKUENSI RELATIF-22. Bila suatu peristiwa terjadi

berulang-ulang dalam jumlah yg banyak maka akan menjadi stabil dan mendekati peluang klasiknya. Misal, peluang untuk mendapatkan gambar dalam pelemparan mata uang adalah 0,5 dan dilakukan berulang-ulang sebanyak 300 kali.

PENDEKATAN SUBJEKTIF

Besarnya peluang ditentukan berdasarkan pertimbangan/ pengalaman pribadi terhadap kejadian masa lampau atau tebakan (intelectual guess).

Paling fleksibel dibanding 2 pendekatan sebelumnya.

Digunakan untuk penentuan peluang peristiwa yang jarang atau belum pernah terjadi.

HUBUNGAN BEBERAPA KEJADIAN (EVENT)

Peluang terjadinya event sebagai hasil dari satu atau beberapa percobaan dijelaskan dengan :1. Hukum Pertambahan

terdapat 2 kondisi yang harus diperhatikan yaitu:a. Mutually Exclusive (saling meniadakan)b. Non Mutually Exclusive (dapat terjadi bersama)

2. Hukum Perkalian, apakah kedua peristiwa :a. kejadian bebas (independen)b. kejadian tidak bebas (dependen)

1. HUKUM PERTAMBAHAN

A. Kejadian Mutually Exclusive (peristiwa salingterpisah = disjoint)Dua peristiwa dikatakan Mutually Exclusive apabila suatu peristiwa terjadi akan meniadakan peristiwa yang lain untuk terjadi (saling meniadakan)Contoh: 1. Permukaan sebuah koin

2. Permukaan dadu

A. Mutually Exclusive Rumus: P (A U B) = P (A atau B)= P (A) + P (B)

Contoh:Probabilitas untuk keluar mata 2 atau mata 5 pada pelemparan satu kali sebuah dadu adalah:P(2 U 5) = P (2) + P (5) = 1/6 + 1/6 = 2/6

AA BB

Contoh:Seorang geologist akan mengadakan percobaan pengamatan petrografis terhadap sampel batuan. Ke-5 sampel tersebut salah satunya merupakan granit. Berapa besarnya peluang sampel ke-2 dan ke-5 merupakan granit?

Besarnya peluang sampel ke-2 atau ke-5 adalah granit:

P(2 atau 5) = P(2) + P(5)

= 1/5 + 1/5 = 2/5

B. Non Mutually Exclusive

Peristiwa Non Mutually Exclusive (Joint) Terdapat sebagian dari event yg bergabung, berarti terdapat fraksi yang mengandung event A dan event B

Rumus :

P (A dan B) =P(A) + P (B) – P(AB)

A A AB B

Non Mutually Exclusive-2

Peristiwa terjadinya A dan B merupakan gabungan antara peristiwa A dan peristiwa B. Akan tetapi karena ada elemen yang sama dalam peristiwa A dan B, gabungan peristiwa A dan B perlu dikurangi peristiwa di mana A dan B memiliki elemen yang sama.

Dengan demikian, probabilitas pada keadaan di mana terdapat elemen yang sama antara peristiwa A dan B maka probabilitas A atau B adalah probabilitas A ditambah probabilitas B dan dikurangi robabilitas elemen yang sama dalam peristiwa A dan B.

Non Mutually Exclusive-3

Contoh:Bila akan merekrut seorang tenaga kesehatan dan mengadakan seleksi thd 4 org pelamar yg terdiri dari dokter laki2, dokter wanita, laki2 bukan dokter, dan wanita bukan dokter, maka masing2 memiliki peluang sbb. P(wanita) = 2/4 P(dokter laki2) = ¼ P(laki2) = 2/4 P(dokter wanita) = ¼ P(dokter) = 2/4

Berapa peluang tenaga yg kita rekrut adalah wanita atau dokter?

P(wanita atau dokter) = P(wanita) + P(dokter) - P(wanita dokter)

= 2/4 + 2/4 – 1/4 = ¾ = 0,75

2. HUKUM PERKALIAN

A. Peristiwa Bebas (Independent)Apakah kejadian atau ketidakjadian suatu peristiwa tidak mempengaruhi peristiwa lain.Peluang dua event yang terjadi bersamaan atau berturut2 merupakan hasil kali peluang masing2 event.Rumus:

P(AB) = P(A) x P(B)

A.Peristiwa Bebas (Hk Perkalian) Contoh soal 1:

Sebuah dadu dilambungkan dua kali, peluang keluarnya mata 5 untuk kedua kalinya adalah:P (5 ∩ 5) = 1/6 x 1/6 = 1/36

Contoh soal 2:Sebuah dadu dan koin dilambungkan bersama-sama, peluang keluarnya hasil lambungan berupa sisi depan (H) pada koin dan sisi 3 pada dadu adalah:P (H) = ½, P (3) = 1/6P (H ∩ 3) = ½ x 1/6 = 1/12

B. Peristiwa tidak bebas (Hk. Perkalian)

Peristiwa tidak bebas peristiwa bersyarat (Conditional Probability)

Suatu event mempunyai hubungan bersyarat bila suatu event itu terjadi setelah event lain.

Contoh:Dua buah kartu ditarik dari set kartu bridge dan tarikan kedua tanpa memasukkan kembali kartu pertama, maka probabilitas kartu kedua sudah tergantung pada kartu pertama yang ditarik.

Simbol untuk peristiwa bersyarat adalah P (B│A) probabilitas B pada kondisi AP(AdanB) = P (A) x P (B│A)

Contoh soal:Dua kartu ditarik dari satu set kartu bridge, peluang untuk yang tertarik keduanya kartu As adalah sebagai berikut:Peluang As 1 adalah 4/52 P (As 1) = 4/52Peluang As 2 syarat as 1 sudah tertarik adalah 3/51dengan P (As 2 │As 1) = 3/51P (As 1 ∩ As 2) = P (As 1) x P (As 2│ as 1)

= 4/52 x 3/51 = 12/2652 =1/221

Thank You