3 Lagrange Multipliers

Mata Kuliah MateriKuliah

Brawijaya University

2011

REKAYASA DAN OPTIMASI PROSES Lagrange Multipliers

Ir Usman Effendi MSLab Komputasi Dan Analisis Sistem FTP Universitas BrawijayaEmail usman_effubacid

1 PENDAHULUAN11 Pengantar12 Tujuan2 PENGANTAR METODE

KALKULUS3 METODE LAGRANGE

MULTIPLIER 4 METODE LAGRANGE

MULTIPLIER OPTIMASI tidak BERKENDALA

5 OPTIMASI BERKENDALA6 MASALAH DALAM OPT TIDAK

BERKENDALAa Penggunaan Gradien

Untuk Optimasi

b Determination Of Minimum Or Maximum

c Penentuan Minimum Atau Maksimum

d Konversi Dibatasi Untuk Masalah Dibatasi

7 MASALAH OPTIMASI BERKENDALA

8 OPTIMASI DENGAN KENDALA KETIMPANGAN KONDISI KUHN-TUCKER

1 PENDAHULUAN

MODUL

SELF-PROPAG

ATING

ENTREPREN

EURIAL ED

UCATIO

N D

EVELOPM

ENT

(SPEED)

3Minggu 3

11 PENGANTAR

Jika fungsi ini kontinu dan terdiferensialkan turunannya menjadi nol pada titik ekstrem tersebut Untuk fungsi y (x) kondisi ini ditulis sebagai

di mana x adalah variabel independen Dasar untuk properti ini dapat dijelaskan dalam hal ekstrem yang ditunjukkan pada Gambar 1 Sebagai maksimum pada titik A adalah mendekati nilai fungsi y (x) meningkat dan hanya di luar titik ini itu berkurang sehingga nol gradien di A Demikian pula nilai fungsi menurun hingga minimum pada titik B dan meningkat melampaui B memberikan nol kemiringan di B Dalam rangka untuk menentukan apakah titik adalah maksimum atau minimum derivatif kedua dihitung Karena lereng pergi dari positif ke negatif melalui nol maksimum turunan kedua adalah negatif Demikian pula kemiringan meningkat minimal dan dengan demikian turunan kedua adalah positif Ini kondisi dapat ditulis sebagai (Keisler 1986)

2012Brawijaya UniversityRekayasa dan Optimasi Proses Lagrange Multiplier

12 TUJUAN121 Tujuan Instruksional UmumSetelah mengikuti mata kuliah ini mahasiswa akan memiliki kemampuan melakukan analisis suatu proses dan melakukan optimasi dengan metode yang telah dipelajarinya

122 Tujuan Instruksional KhususSetelah mempelajari pokok bahasan mahasiswa dapat

Menjelaskan ulang metode optimasi analitik mampu menentukan kriteria optimum untuk optimasi variabel tunggal dan ganda

Mengetahui karakteristik Optimasi tidak Berkendala dan Berkendala Mampu merubah kondisi berkendala ke dalam tidak berkendala Menguasi Optimasi fungsi non linear dengan kendala persamaan dan ketidak

samaan Menerapkan metode lagrange multiplier dan Kondisi Kunh Tucker

2 PENGANTAR METODE KALKULUS

Kondisi yang disampaikan sebelumnya berlaku untuk y fungsi nonlinear (x) dan karena itu metode kalkulus berguna untuk sistem termal yang umumnya diatur oleh nonlinier ekspresi Namun baik fungsi dan turunannya harus terus menerus untuk analisis sebelumnya untuk menerapkanDengan demikian dengan menetapkan gradien sama dengan nol lokasi dari ekstrem dapat diperoleh dan turunan kedua kemudian dapat digunakan untuk menentukan Sifat ekstrem masing-masing Ada beberapa kasus di mana kedua pertama dan kedua derivatif adalah nol Hal ini menunjukkan titik perubahan sebagaimana sketsa di Gambar 1 (c) titik pelana atau kurva datar seperti di punggung bukit atau lembah Ini harus dicatat bahwa kondisi hanya disebutkan menunjukkan hanya ekstrem lokal Mungkin ada beberapa ekstrem lokal seperti dalam domain yang diberikan Karena ketertarikan kami terletak pada keseluruhan maksimum atau minimum di seluruh domain untuk mengoptimalkan sistem kami akan mencari ekstrem global yang biasanya unik dan merupakan yang terbesar atau terkecil nilai fungsi tujuan Contoh sederhana berikut menggambarkan penggunaan prosedur sebelumnya untuk optimasi

Gambar 1 Seketsa memperlihatkan maksimum minimum dan titik belok fungsi y(x)

CONTOH 1

Page 2 of 27

2012Brawijaya UniversityRekayasa dan Optimasi Proses Lagrange Multiplier

Terapkan teknik kalkulus berbasis optimasi hanya diberikan kepada meminimalkan biaya C untuk panas bergulir jumlah yang diberikan dari logam Biaya ini dinyatakan dalam hal laju aliran massa m 1048583 bahan sebagai berikut

di mana istilah pertama di sisi kanan merupakan biaya peralatan yang meningkat dengan meningkatnya laju alir dan istilah kedua merupakan operasi biaya yang turun dengan meningkatnya m

SOLUSI

Nilai ekstrem diberikan oleh

Karena itu

Turunan kedua diperoleh sebagai berikut

yang bernilai positip karena m adalah positip

3 METODE LAGRANGE MULTIPLIER

Ini adalah metode yang paling penting dan berguna untuk optimasi berdasarkan kalkulus Hal ini dapat digunakan untuk mengoptimalkan fungsi yang bergantung pada sejumlah independen variabel dan ketika kendala fungsional terlibat Dengan demikian dapat diterapkan untuk berbagai situasi praktis disediakan fungsi tujuan dan kendala dapat dinyatakan sebagai fungsi kontinu dan terdiferensialkan Selain itu kendala kesetaraan hanya dapat dipertimbangkan dalam proses optimasi

DASAR PENDEKATAN

Pernyataan matematika dari masalah optimasi diberikan dalam sebelumnyabab sebagai

Page 3 of 27

2012Brawijaya UniversityRekayasa dan Optimasi Proses Lagrange Multiplier

tunduk pada kendala

dimana U adalah fungsi tujuan yang akan dioptimalkan dan Gi = 0 dengan i bervariasi dari 1 sampai n merupakan kendala kesetaraan n Seperti disebutkan sebelumnya jika kendala ketimpangan muncul dalam masalah ini harus diubah menjadi kesetaraan kendala untuk menerapkan metode ini Selain itu dalam beberapa kasus ketidaksetaraan kendala hanya mendefinisikan domain diterima dan tidak digunakan dalam optimasi proses Namun demikian solusi yang diperoleh diperiksa untuk memastikan bahwa kendala puas

Metode Lagrange pada dasarnya mengubah masalah sebelumnya untuk menemukan minimum atau maksimum ke solusi dari sistem aljabar persamaan sehingga memberikan skema yang nyaman untuk menentukan optimal Itu fungsi tujuan dan kendala digabungkan menjadi Y fungsi baru yang dikenal sebagai ekspresi Lagrange dan didefinisikan sebagai

dimana λ adalah parameter yang tidak diketahui yang dikenal sebagai pengali Lagrange Kemudian menurut metode ini optimum terjadi pada solusi dari sistem persamaan yang dibentuk oleh persamaan berikut

Page 4 of 27

2012Brawijaya UniversityRekayasa dan Optimasi Proses Lagrange Multiplier

Ketika pembedaan diterapkan pada ekspresi Lagrange menemukan bahwa optimum diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan berikut

Jika U fungsi tujuan dan kendala Gi yang terus menerus dan terdiferensialkan sistem persamaan aljabar diperoleh Karena ada persamaan m untuk kendala dan persamaan tambahan n berasal dari ekspresi Lagrange total m+ n persamaan simultan diperoleh Yang tidak diketahui adalah m pengganda sesuai dengan kendala m dan variabel independen n Oleh karena itu sistem ini dapat diselesaikan untuk mendapatkan nilai-nilai variabel independen yang menentukan lokasi yang optimum serta multiplier Analytical metode untuk memecahkan sistem persamaan aljabar dapat digunakan jika persamaan linier diperoleh dan atau ketika jumlah persamaan kecil biasanya sampai dengan sekitar lima untuk nonlinear persamaan dan untuk set yang lebih besar metode numerik umumnya lebih tepat Nilai optimum dari fungsi tujuan ini kemudian ditentukan dengan menggantikan nilai-nilai yang diperoleh untuk variabel independen terhadap ekspresi untuk U optimum sering diwakili oleh tanda bintang yaitu X1

X2 hellip Xn

dan U

4 METODE LAGRANGE MULTIPLIER (MLM) OPTIMASI TIDAK BERKENDALA

Page 5 of 27

2012Brawijaya UniversityRekayasa dan Optimasi Proses Lagrange Multiplier

Mari mempertimbangkan masalah tak terbatas untuk dua variabel independenx dan y Kemudian metode pengali Lagrange menghasilkan lokasi optimal sebagai solusi untuk persamaan

Gambar 2 Minimum dan Maksimum dalam masalah tidak berkendala nablaU = 0

Oleh karena itu vektor gradien yang normal dengan kontur U konstan adalah nol menyiratkan bahwa tingkat perubahan U adalah nol sebagai salah satu bergerak menjauh dari titik dimana persamaan ini puas Ini menunjukkan titik stasioner atau ekstrem seperti ditunjukkan secara kualitatif pada Gambar 2 untuk satu atau dua variabel independen Intinya mungkin minimum atau maksimum Hal ini juga dapat menjadi titik pelana ridge atau lembah (lihat Gambar 2) Informasi tambahan yang diperlukan untuk menentukan sifat stasioner titik seperti yang dibahas kemudian Karena Persamaan adalah persamaan vektor masing-masing komponen dapat ditetapkan sama dengan nol sehingga menimbulkan dua persamaan berikut

yang dapat diselesaikan untuk mendapatkan x dan y di optimal dilambangkan sebagai x dan y Nilai U optimal kemudian dihitung dari ekspresi untuk U Jumlah persamaan yang diperoleh adalah sama dengan jumlah variabel independen dan optimal dapat ditentukan dengan memecahkan persamaan

5 MLM UNTUK OPTIMASI BERKENDALA

The optimum untuk masalah dengan kendala tunggal diperoleh dengan memecahkan persamaan

Page 6 of 27

2012Brawijaya UniversityRekayasa dan Optimasi Proses Lagrange Multiplier

Gambar 3 Interpretasi fisik metode lagrange multiplier untuk dua variabel independen dan kendala tunggal

Gradien vektor nablaU normal dengan kontur U konstan sedangkan nablaG adalah vektor normal terhadap kontur G konstan Pengganda Lagrange hanya konstan Oleh karena itu persamaan ini menyiratkan bahwa dua vektor gradien yang selaras yaitu keduanya berada dalam garis lurus yang sama Besaran dapat berbeda dan dapat disesuaikan untuk memastikan bahwa Persamaan sesuai Namun jika dua vektor tidak berada dalam garis yang sama jumlah itu tidak boleh nol kecuali kedua vektor adalah nol Hasil ini ditunjukkan secara grafik pada Gambar 3 untuk minimum di U Sebagai salah satu bergerak di sepanjang kendala yang diberikan oleh G-0 dalam rangka untuk memastikan bahwa kendala puas gradien nablaG bervariasi arah Titik di mana menjadi collinear dengan nablaU adalah optimal Pada titik ini dua kurva yang tangensial dan dengan demikian menghasilkan nilai minimum U sementara memenuhi kendala

Kurva U konstan di bawah kurva kendala tidak memenuhi kendala dan yang di atas itu memberikan nilai U lebih besar dari optimum pada lokasi di mana mereka bersinggungan dengan kurva kendala Jelas nilai U lebih kecil dari yang di yang optimal ditunjukkan pada gambar bisa diperoleh jika ada kendala tidak ada dalam hal persamaan yang mengatur akan diperoleh dari Persamaan nablaU Sebagai contoh mempertimbangkan U fungsi tujuan dalam bentuk

dengan bentuk kendala

Kendala ini dapat ditulis sebagai berikut untuk meletakkannya dalam bentuk yang

diberikan oleh Persamaan

Page 7 of 27

2012Brawijaya UniversityRekayasa dan Optimasi Proses Lagrange Multiplier

Berikut E koefisien A dan B dan eksponen a b c dan d diasumsikan menjadi konstanta yang diketahui Ekspresi seperti yang sering ditemui dalam termal sistem Misalnya U mungkin biaya keseluruhan dan x dan y pompa yang dibutuhkan dan diameter pipa masing-masing dalam sistem aliran air Tekanan menurun dengan meningkatnya diameter sehingga biaya lebih rendah untuk pompa dan biaya untuk meningkatkan pipa Hal ini menimbulkan hubungan seperti Persamaan untuk E Dengan demikian kontur U konstan dapat ditarik bersama dengan kurva kendala sebuah bidang x - y seperti sketsa pada Gambar 4 (a) Kemudian optimal ditunjukkan dengan lokasi di mana kontur U konstan menjadi tangensial dengan kendala kurva sehingga menyelaraskan nablaU dan nablaG vektor Untuk kasus sederhana ketika semua konstanta dalam ekspresi kesatuan yaitu U = x+y dan G = xy - 1 = 0 U konstan kontur berupa garis lurus dan kurva kendala diberikan oleh x = 1 y seperti sketsa pada Gambar 4 (b) Optimum adalah pada x = 10 dan y = 10 dan nilai U optimum adalah 20 untuk kasus ini

Meskipun hanya dua variabel independen dianggap sini untuk kemudahan visualisasi dan pemahaman fisik ide-ide dasar dengan mudah dapat diperpanjang untuk sejumlah besar variabel Sistem persamaan yang harus diselesaikan untuk mendapatkan optimal diberikan oleh persamaan skalar n berasal dari persamaan vektor

dan m kendala kesetaraan

untuk

Gambar 4 (a) Optimisasi masalah kendala sederhana dan (b) hasil dari semua kendala diberikan oleh ekpresi adalah satu

6 MASALAH DALAM OPTIMASI TIDAK BERKENDALAPage 8 of 27

2012Brawijaya UniversityRekayasa dan Optimasi Proses Lagrange Multiplier

Sebagian besar masalah yang dihadapi dalam optimasi desain sistem termal terhambat karena prinsip-prinsip konservasi dan keterbatasan yang ditetapkan olehbahan yang digunakan peraturan ruang tersedia keselamatan dan lingkungan dllNamun seringkali kendala yang digunakan untuk mendapatkan hubungan antaraberbeda desain variabel Jika ini kemudian diganti menjadi ekspresi untukfungsi tujuan masalah tak terbatas diperoleh karena kendala telah terpenuhi Kadang-kadang dalam perumusan masalah optimasi sendiri kendala bekerja untuk menurunkan ekspresi yang tepat dan kendala tambahan tidak diperlukan Dengan demikian suatu hasil masalah tak terbatas Tentu saja dalam beberapa kasus tidak ada kendala yang signifikan dan masalah diperlakukan sebagai tak terbatas Dengan demikian masalah optimasi tidak dibatasi adalah minat banyak sistem termal praktis dan proses

Penggunaan Gradien Untuk Optimasi

Jika tidak ada kendala dalam masalah optimal diberikan oleh solusi untukpersamaan berikut vektor untuk U (x1 x2 x3 xn)

Sekali lagi mudah untuk memvisualisasikan vektor gradien jika hanya dua atau tiga variabel terlibat seperti yang terlihat di bagian sebelumnya Namun konsep-konsep dasar yang sama dan dapat diperpanjang untuk setiap nomor yang sesuai dari variabel Semua komponen Persamaan vektor persamaan nablaU harus nol agar vektor menjadi nol karena semua variabel diambil sebagai independen satu sama lain Oleh karena itu optimal diperoleh dengan memecahkan persamaan

Hal ini mirip dengan kondisi untuk titik stasioner diberikan oleh Persamaan untuk variabel tunggal independen Fungsi tujuan harus kontinu dan terdiferensialkan fungsi dari variabel independen dalam masalah dan derivatif harus kontinu

Sistem persamaan diwakili oleh Persamaan dapat linear atau nonlinier persamaan nonlinier meskipun lebih sering ditemui untuk termal sistem dan proses Analisis matematis dapat digunakan dalam kasus-kasus sederhana untuk mendapatkan solusi Jika tidak teknik numerik diperlukan Metode ini sangat berguna untuk sistem yang mungkin ditandai dengan ekspresi aljabar yang dapat dengan mudah dibedakan Situasi ini biasanya muncul dalam kasus-kasus di mana curve fitting menghasilkan ekspresi seperti untuk karakteristik perilaku sistem dan dalam sistem kecil ideal dan sederhana Kendala diasumsikan absen atau diurus dalam mengembangkan fungsi tujuan seperti yang dibahas kemudian Kami sekarang mempertimbangkan menentukan apakah optimal adalah minimum atau maksimum

PENENTUAN MINIMUM ATAU MAKSIMUM

Dalam kebanyakan kasus sifat fisik dari masalah akan menunjukkan apakah

Page 9 of 27

2012Brawijaya UniversityRekayasa dan Optimasi Proses Lagrange Multiplier

solusi yang diperoleh adalah maksimum minimum atau beberapa titik stasioner lainnya Sering diketahui dari pengalaman bahwa minimal atau maksimal ada di domain yang diberikan Misalnya hal itu dapat diketahui bahwa minimal dalam energi Konsumsi akan timbul jika tekanan kompresor yang bervariasi atas diterima rentang dalam sistem refrigerasi Demikian pula efisiensi termal maksimum diharapkan jika kecepatan dalam revolusi per menit dari mesin diesel adalah bervariasi Namun dengan tidak adanya informasi tersebut analisis lebih lanjut dapat dilakukan untuk menentukan karakteristik optimal

Telah dikenal persamaan-persamaan memberikan kondisi untuk maksimum dan minimum masing-masing untuk satu variabel bebas Jika turunan kedua adalah nol pada titik stasioner terjadinya titik pelana titik infleksi ridge atau lembah Kondisi serupa mungkin diturunkan untuk dua atau lebih variabel independen Untuk kasus dua independen variabel x1 dan x2 dengan U (x1 x2) dan pertama dua derivatif terus menerus ini kondisi diberikan sebagai

dimana

Oleh karena itu untuk dua variabel independen optimal dapat diperoleh dengan memecahkan partUpart1 = partU partx2 = 0 dan menerapkan kondisi sebelumnya Meskipun mirip kondisi dapat diturunkan untuk sejumlah besar variabel analisis menjadi cukup terlibat Oleh karena itu dalam keadaan paling praktis yang melibatkan tiga atau lebih variabel independen akan lebih mudah dan efisien bergantung pada sifat fisik dari masalah untuk menentukan apakah maksimum minimum atau memiliki telah diperoleh Selain itu variabel independen dapat berubah sedikit dekat optimal untuk menentukan apakah nilai meningkat fungsi objektif atau menurun Jika nilai berkurang sebagai salah satu bergerak menjauh dari optimal maksimal diindikasikan sedangkan jika itu meningkat minimal telah diperoleh

CONTOH

Biaya per unit massa dari bahan yang diproses di fasilitas ekstrusi diberikan oleh ekspresi

di mana T adalah temperatur berdimensi dari bahan yang diekstrusi V adalah laju aliran volume berdimensi dan C mencakup modal dan biaya operasional Tentukan biaya minimum

SOLUSI

Page 10 of 27

2012Brawijaya UniversityRekayasa dan Optimasi Proses Lagrange Multiplier

Karena tidak ada kendala pendekatan yang diberikan dalam bagian sebelumnya mungkin diadopsi Oleh karena itu lokasi optimal diberikan oleh solusi persamaan

Karena baik T dan V adalah jumlah positif memiliki

Persamaan ini memberikan V = 16930 dan T = 06182 Bila ini diganti dalam ekspresi untuk C diperoleh C = 51763 Sekarang turunan kedua mungkin diperoleh untuk memastikan sifat dari titik kritis Dengan demikian

Mensubstitusikan nilai-nilai dari V dan T pada titik stasioner menghitung ini tiga derivatif kedua sebagai 13544 237023 dan 12364 masing-masing ini memberikan S = 3057 Oleh karena itu S = 0 dan part2C partV2 = 0 menunjukkan bahwa biaya minimum telah diperoleh

Konversi Masalah Berkendala manjadi Masalah tidak Berkendala

Hal ini terbukti dari pembahasan sebelumnya bahwa optimasi dibatasi masalah adalah jauh lebih mudah untuk memecahkan dibandingkan dengan dibatasi sesua salah karena tidak diketahui jumlah lebih kecil dalam kasus mantan Setiap kendala memperkenalkan multiplier Lagrange sebagai diketahui dan persamaan tambahan harus puas Oleh karena itu diinginkan untuk mengkonversi diberikan dibatasi Masalah menjadi satu tak terbatas bila memungkinkan Kendala mewakili hubungan antara variabel independen berbagai yang harus dipenuhi Jika persamaan ini dapat digunakan untuk memperoleh ekspresi eksplisit untuk beberapa variable dalam hal yang lain ungkapan ini kemudian dapat disubstitusikan ke dalam tujuan berfungsi untuk menghilangkan kendala dan dengan demikian mengubah masalah ke tidak dibatasi satu Bahkan jika semua kendala tidak dapat dihilangkan akan lebih bermanfaat untuk menghilangkan sebanyak ini mungkin untuk mengurangi kompleksitas dari masalah Persamaan dapat digunakan untuk mengekspresikan y dalam x sebagai berikut

Mengganti ini nilai y ke Persamaan

Oleh karena itu masalah tak terbatas diperoleh dengan U (x) sebagai fungsi tujuanOptimum ini diperoleh dengan mengatur partUpartx = 0 yang menghasilkan nilai

Page 11 of 27

2012Brawijaya UniversityRekayasa dan Optimasi Proses Lagrange Multiplier

x Nilai y yang sesuai secara optimum diperoleh dari Persamaan y dan nilai optimum U diperoleh dari Persamaan U Sangat mudah untuk melihat bahwa x y = 10 dan U = 20 untuk kasus sederhana ketika semua konstanta dan eksponen adalah kesatuan

Dengan demikian hal ini diinginkan untuk mengurangi jumlah kendala yang juga akan mengurangi jumlah variabel yang tidak diketahui dan pengganda Lagrange dengan menggunakan kendala persamaan untuk menemukan ekspresi eksplisit berkaitan variabel Contoh telah menggambarkan solusi dari masalah terkendala dengan mengubahnya menjadi satu tak terkendala Hal ini kemudian dipecahkan sebagai masalah dibatasi untuk menunjukkan perbedaan antara dua pendekatan

7 MASALAH OPTIMASI BERKENDALA

Optimasi sistem termal yang paling diatur oleh kendala yang timbul karena hukum konservasi dan keterbatasan yang ditetapkan oleh materi ruang biaya keamanan dll Seperti yang telah dibahas sebelumnya jumlah kendala kesetaraan harus kurang dari jumlah variabel independen untuk optimasi menjadi mungkin Jika jumlah kendala sama dengan jumlah variabel masalah hanya mungkin diselesaikan untuk menghasilkan set variabel yang memenuhi kendala Fleksibilitas ada tersedia untuk memilih desain yang terbaik atau optimal

Jika jumlah kendala lebih besar dari jumlah variabel masalah ini overconstrained dan beberapa dari kendala harus dibuang mengakibatkan kesewenang-wenangan dan nonuniqueness dalam solusi Pertimbangan ini terbukti dari Persamaan dimana Kondisi mltn diperlukan untuk optimasi sistem Jika m = n kendala persamaan dapat digunakan untuk mendapatkan solusi dan jika mgtn masalah tersebut overconstrained dan tidak ada solusi yang mungkin kecuali m - n kendala yang dibuang Mengingat masalah optimisasi yaitu mltn metode pengganda Lagrange dapat diterapkan untuk menentukan desain yang optimal Persamaan yang perlu dipecahkan diberikan oleh Persamaan Persamaan dapat ditulis ulang di sini sebagai

dimana nabla U dan nabla Gi adalah vektor gradien yang dapat diperluas dalam hal variabel independen n Oleh karena itu m + n persamaan diperoleh untuk n variabel independen dan pengganda m

Persamaan dapat linear atau nonlinear dan mungkin melibatkan polinomial atau fungsi transendental seperti eksponensial fungsi logaritma dan hiperbolik Analytical metode mungkin digunakan untuk kasus-kasus yang relatif sederhana dengan sejumlah kecil persamaan Teknik numerik dapat digunakan untuk keadaan lebih rumit yang biasanya timbul ketika berhadapan dengan sistem termal praktis Jika hanya ada satu kendala G = 0 Hanya satu Pengali Lagrange λ muncul dan ditentukan dari solusi yang dihasilkan n + 1 persamaan Perhatikan misalnya masalah optimasi sederhana yang diberikan oleh

Page 12 of 27

2012Brawijaya UniversityRekayasa dan Optimasi Proses Lagrange Multiplier

Kemudian metode Lagrange menghasilkan persamaan berikut

Hal ini dapat menunjukkan bahwa jika salah satu atau x1 x2 bervariasi dari nilai optimal sekaligus memastikan bahwa kendala puas U fungsi tujuan meningkat Oleh karena itu yang optimum yang diperoleh adalah minimum di U Dalam kasus sederhana turunan kedua juga dapat diturunkan untuk mengkonfirmasi bahwa minimal di U telah diperoleh Itu Koefisien sensitivitas Sc = - λ = 2027 Hal ini memberi efek santai kendala pada nilai optimum U Sebagai contoh jika x1x2 = 13 bukan 12 U dapat dihitung menjadi 38493 naik dari 20 Perbedaan kecil dalam perubahan di U dari nilai yang dihitung dari Sc adalah hasil dari persamaan nonlinear yang membuat Sc fungsi dari x1 dan tidak konstan Contoh berikut menggambarkan hal ini untuk masalah tangki dianggap sebelumnya Memecahkan masalah tangki diberikan sebagai masalah optimasi dibatasi Solusi Fungsi tujuan adalah Sebuah wilayah yang harus diminimalkan dan kendala adalah volume V Dengan demikian masalah optimasi dapat ditulis sebagai

Pemecahan ketiga menghasilkan persamaan

Untuk V = 2 m3 r = 0683 m h = 1366 m A = 8793 m2 λ = -2928 Nilai-nilai inisama dengan yang diperoleh sebelumnya dengan mengubah satu masalah ke tak terbatas Sekali lagi hal itu dapat dikonfirmasikan bahwa minimal di daerah telah diperoleh

Koefisien sensitivitas Sc yang sama dengan - λ diperoleh sebagai tambahan Informasi Mari berasumsi bahwa kendala pada volume diperlonggar dari 20 ke 21 Kemudian dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa r = 0694 m dan A = 9078 m2 Oleh karena itupartA partV = (9078-8793) 01 = 285 yang dekat dengan koefisien Sc sensitivitas yang diberikan oleh - λ dan dengan demikian sama dengan 2928 pada titik optimum Sekali lagi perbedaan sedikit antara Sc dan partA partV adalah karena ketergantungan pada variabel

Beberapa kendala

Seperti pada satu kendala alasan yang sama berlaku Jika dua atau lebih kendala aktif bersama-sama masing-masing memberikan kontribusi arah kendala yang akan melanggarnya Bersama-sama arah penyimpangan membentuk ruang penyimpangan di mana gerakan kecil dalam segala arah dalam ruang akan

Page 13 of 27

2012Brawijaya UniversityRekayasa dan Optimasi Proses Lagrange Multiplier

melanggar satu atau lebih kendala Dengan demikian untuk memenuhi beberapa kendala bisa dinyatakakan (menggunakan terminologi baru) bahwa pada titik stasioner bahwa arah perubahan f adalah dalam ruang penyimpangan yang diciptakan oleh kendala bertindak bersama-sama

Ruang penyimpangan diciptakan oleh kendala terdiri dari semua poin yang dapat dicapai dengan menambahkan kombinasi linear dari vektor arah penyimpangan-dengan kata lain semua poin yang terjangkau ketika menggunakan arah penyimpangan individu sebagai dasar ruang Dengan demikian dapat secara singkat

dinyatakan bahwa v berada dalam ruang didefinisikan oleh jika dan

hanya jika terdapat satu set pengganda sedemikian rupa sehingga

yang bagi kami menerjemahkan tujuan untuk menyatakan bahwa arah yang berubah f pada p adalah di ruang penyimpangan didefinisikan oleh kendala jika dan hanya jika

Seperti sebelumnya sekarang menambahkan persamaan simultan untuk menjamin bahwa hanya melakukan tes ini ketika berada pada titik yang memenuhi setiap kendala berakhir dengan persamaan simultan bahwa ketika dipecahkan mengidentifikasi semua titik stasioner terbatas

Metode selesai sekarang (dari sudut pandang pemecahan masalah menemukan titik stasioner) tetapi sebagai matematikawan senang dalam melakukan persamaan dapat lebih kental ke dalam bentuk yang lebih elegan dan ringkas Lagrange harus cerdik menyadari bahwa persamaan di atas terlihat seperti derivatif parsial dari beberapa fungsi skalar L besar yang mengambil semua dan semua

sebagai masukan Selanjutnya ia kemudian mungkin telah memperhatikan bahwa pengaturan setiap persamaan sama dengan nol adalah persis apa yang harus dilakukan untuk memecahkan titik stasioner tak terbatas dari fungsi yang lebih besar Akhirnya ia menunjukkan bahwa L fungsi yang lebih besar dengan derivatif parsial yang persis yang dibutuhkan dapat dibangun sangat sederhana sebagai berikut

Page 14 of 27

2012Brawijaya UniversityRekayasa dan Optimasi Proses Lagrange Multiplier

Memecahkan persamaan di atas untuk poin tak terbatas yang stasioner menghasilkan persis titik stasioner sama dengan pemecahan untuk titik stasioner dibatasi dari f di bawah kendala

Untuk menghormati Lagrange fungsi di atas disebut Lagrangian skalar

disebut Lagrange Multipliers dan metode optimasi sendiri disebut Metode pengali Lagrange

Metode Lagrange adalah umum oleh kondisi Karush-Kuhn-Tucker yang juga dapat mempertimbangkan kendala ketimpangan bentuk h (x) le c

Interpretasi pengganda Lagrange

Seringkali pengganda Lagrange memiliki tafsir karena beberapa kuantitas menarik Misalnya jika ekspresi adalah Lagrangian

kemudian

Jadi λk adalah laju perubahan kuantitas yang dioptimalkan sebagai fungsi dari variabel kendala Sebagai contoh dalam mekanika Lagrangian persamaan gerak yang diperoleh dengan mencari titik stasioner dari tindakan waktu integral dari perbedaan antara energi kinetik dan potensial Dengan demikian gaya pada partikel karena potensi skalar Dapat diartikan sebagai pengali Lagrange menentukan perubahan dalam tindakan (transfer potensial menjadi energi kinetik) setelah variasi dalam lintasan partikel dibatasi Dalam teori kontrol ini dirumuskan bukan sebagai persamaan costate

Selain itu dengan teorema amplop nilai optimal dari multiplier Lagrange memiliki interpretasi sebagai efek marginal dari kendala yang sesuai konstan pada nilai dicapai optimal dari fungsi tujuan aslinya jika dapat menunjukkan nilai di optimum dengan tanda bintang maka dapat ditunjukkan bahwa

Misalnya di bidang ekonomi keuntungan optimal untuk pemain dihitung tunduk pada ruang dibatasi tindakan di mana pengali Lagrange adalah perubahan nilai optimal dari fungsi tujuan karena relaksasi dari kendala tertentu (misalnya melalui perubahan Pendapatan) dalam konteks seperti adalah biaya marjinal dari kendala tersebut dan disebut sebagai harga bayangan

Page 15 of 27

2012Brawijaya UniversityRekayasa dan Optimasi Proses Lagrange Multiplier

Contoh 1

Gambar 5 Ilustrasi dari masalah optimasi dibatasi

Misalkan ingin memaksimalkan tunduk pada kendala Set layak adalah lingkaran satuan dan tingkat set dari f adalah garis diagonal (dengan kemiringan -1) sehingga dapat melihat grafis yang maksimum terjadi pada

Dan bahwa minimum terjadi pada

Menggunakan metode pengganda Lagrange kami telah Maka

Mengatur gradien hasil sistem persamaan

di mana persamaan terakhir adalah kendala asli

Dua yang pertama persamaan hasil dan Di mana

Mensubstitusikan ke hasil persamaan terakhir Sehingga

Yang berarti bahwa titik stasioner yang dan

Mengevaluasi fungsi f obyektif tersebut menghasilkan poin

Page 16 of 27

2012Brawijaya UniversityRekayasa dan Optimasi Proses Lagrange Multiplier

sehingga maksimum adalah Yang dicapai pada Dan minimum

adalah Yang dicapai pada

Contoh 2

Gambar 6 Ilustrasi dari masalah optimasi dibatasi

Misalkan ingin mencari nilai maksimum

dengan kondisi bahwa x dan y koordinat terletak pada lingkaran di sekitar asal dengan jari-jari radic 3 yaitu tunduk pada kendala

Karena hanya ada satu kendala tunggal akan menggunakan hanya satu multiplier katakanlah λ

Kendala g (x y) -3 sama dengan nol pada lingkaran dengan jari-jari radic 3 Jadi apapun -3 beberapa g (x y) dapat ditambahkan ke f (x y) meninggalkan f (x y) tidak berubah di daerah bunga (di atas lingkaran di mana kendala asli kami puas) Mari

Yang penting nilai-nilai terjadi di mana gradien adalah nol Derivatif parsial

Persamaan (iii) hanya kendala aslinya Persamaan (i) menyiratkan atau λ = - y

Dalam kasus pertama jika x = 0 maka harus memiliki oleh (iii) dan

Page 17 of 27

2012Brawijaya UniversityRekayasa dan Optimasi Proses Lagrange Multiplier

kemudian oleh (ii) λ = 0 Dalam kasus kedua jika λ = - y dan menggantikannya ke dalam persamaan (ii) didapati bahwa

Kemudian x 2 = 2 y 2 Mensubstitusikan ke dalam persamaan (iii) dan memecahkan untuk y memberikan ini nilai y

Jadi ada enam poin penting

Mengevaluasi tujuan pada titik-titik ditemukan

Oleh karena itu fungsi tujuan mencapai yang maksimum global (tunduk pada

batasan) pada dan minimum global di Intinya adalah

minimum lokal dan adalah sebuah maksimum lokal sebagaimana

ditentukan oleh pertimbangan matriks Hessian dari

Perhatikan bahwa sementara adalah titik kritis Itu bukan titik ekstrem

lokal Kami memiliki Mengingat

setiap lingkungan Dapat memilih positif kecil dan kecil dari salah satu tanda untuk mendapatkan nilai baik besar dan kurang dari

8OPTIMASI DENGAN KENDALA KETIMPANGAN KONDISI KUHN-TUCKER Banyak model di bidang ekonomi secara alami dirumuskan sebagai masalah optimasi dengan kendala ketimpangan

Perhatikan misalnya masalah pilihan konsumen Tidak ada alasan untuk bersikeras bahwa konsumen menghabiskan semua kekayaannya Untuk memungkinkan dia untuk tidak menghabiskan semuanya dapat dirumuskan masalah optimasi nya dengan kendala ketimpangan

max x u (x) tunduk p x le w dan x ge 0

Tergantung pada karakter u fungsi dan nilai-nilai p dan w mungkin memiliki p x ltw atau p x = w pada solusi dari masalah ini

Salah satu pendekatan untuk memecahkan masalah ini dimulai dengan menentukan mana dari kedua kondisi memegang sebuah solusi Dalam masalah yang lebih kompleks dengan lebih dari satu kendala pendekatan ini tidak bekerja dengan baik Perhatikan misalnya seorang konsumen yang menghadapi dua kendala (mungkin uang dan waktu) Tiga contoh yang ditampilkan pada gambar 7 berikut yang harus meyakinkan Anda bahwa tidak dapat menyimpulkan dari sifat sederhana u sendiri yang dari kendala jika ada sesuai dengan kesetaraan di solusi

Page 18 of 27

2012Brawijaya UniversityRekayasa dan Optimasi Proses Lagrange Multiplier

Pertimbangkan masalah bentuk berikut

max x f (x) tunduk g j (x) le c j untuk j = 1 m

dimana f dan g j untuk j = 1 m adalah fungsi dari variabel n x = (x 1 x n) dan c j

untuk j = 1 m adalah konstanta

Semua masalah yang telah dipelajari sejauh dapat dimasukkan ke dalam bentuk ini

Kendala Kesetaraan

Dapat diperkenalkan kendala ketidaksetaraan dua untuk setiap kendala kesetaraan Misalnya masalah

max x f (x) tunduk h (x) = 0

dapat ditulis sebagai

max x f (x) tunduk h (x) le 0 dan - h (x) le 0

Kendala Nonnegativity

Untuk masalah dengan kendala x k ge 0 misalkan g j (x) = - x k dan c j = 0 untuk beberapa j

Masalah Minimisasi

Untuk masalah minimisasi diperoleh dengan mengalikan fungsi obyektif dengan -1

min x h (x) tunduk g j (x) le c j untuk j = 1 m

adalah sama dengan

max x f (x) tunduk g j (x) le c j untuk j = 1 m

dimana f (x) = - h (x)

Untuk mulai berpikir tentang bagaimana memecahkan masalah umum pertama mempertimbangkan kasus dengan kendala tunggal (m = 1) Dapat ditulis seperti masalah sebagai berikut

Page 19 of 27

2012Brawijaya UniversityRekayasa dan Optimasi Proses Lagrange Multiplier

max x f (x) tunduk pada g (x) le c

Ada dua kemungkinan solusi dari masalah ini Pada gambar berikut kurva tertutup hitam kontur f nilai peningkatan fungsi dalam arah yang ditunjukkan oleh panah biru Garis miring ke bawah merah adalah himpunan titik-titik x memuaskan g (x) = c himpunan poin x memuaskan g (x) le c terletak di bawah dan kiri dari garis dan mereka g memuaskan (x) ge c terletak di atas dan di sebelah kanan baris

Dalam setiap panel solusi dari masalah adalah titik x Pada panel sebelah kiri kendala mengikat pada solusi perubahan dalam c mengubah solusi Pada panel sebelah kanan kendala yang kendur di solusinya perubahan kecil dalam c tidak berpengaruh pada solusi

Seperti sebelumnya menentukan fungsi Lagrangian L oleh

L (x) = f (x) - λ (g (x) - c)

Kemudian dari analisis kami sebelumnya masalah dengan kendala kesetaraan dan tanpa kendala

jika g (x) = c (seperti dalam panel kiri) dan kendala memenuhi kondisi keteraturan kemudian Li (x) = 0 untuk semua i

jika g (x) ltc (seperti dalam panel kanan) maka f i (x) = 0 untuk semua i

Sekarang saya menyatakan bahwa dalam kasus pertama (yaitu jika g (x) = c) dengan memiliki λ ge 0 Misalkan sebaliknya yang λ lt0 Kemudian diketahui bahwa penurunan kecil di c meningkatkan nilai maksimal f Artinya bergerak x dalam kendala meningkatkan nilai f bertentangan dengan fakta bahwa x adalah solusi dari masalah

Dalam kasus kedua nilai λ tidak memasuki kondisi sehingga dapat memilih nilai untuk itu Mengingat interpretasi λ pengaturan λ = 0 masuk akal Dengan asumsi ini memiliki fi(x) = Li (x) untuk semua x sehingga Li (x) = 0 untuk semua i

Jadi dalam kedua kasus kami memiliki Li (x) = 0 untuk semua i λ ge 0 dan g (x) le c Dalam kasus pertama memiliki g (x) = c dan dalam kasus kedua λ = 0

Selanjutnya dapat menggabungkan dua kasus dengan menulis kondisi sebagai berikut

Li(x) = 0 untuk j = 1 n

λ ge 0 g (x) le c dan baik λ = 0 atau g (x) - c = 0

Page 20 of 27

2012Brawijaya UniversityRekayasa dan Optimasi Proses Lagrange Multiplier

Sekarang produk dari dua angka adalah nol jika dan hanya jika setidaknya salah satu dari mereka adalah nol jadi alternatif bisa menulis kondisi sebagai

L i (x) = 0 untuk j = 1 n

λ ge 0 g (x) le c dan λ [g (x) - c] = 0

Argumen diberikan menunjukkan bahwa jika x memecahkan masalah dan yang memenuhi kendala kondisi keteraturan maka x harus memenuhi kondisi ini

Perhatikan bahwa kondisi tidak mengesampingkan kemungkinan bahwa kedua λ = 0 dan g (x) = c

Ketidaksetaraan λ ge 0 dan g (x) le c disebut kondisi kelambanan komplementer paling banyak satu dari kondisi ini adalah slack (yaitu tidak kesetaraan suatu)

Untuk masalah dengan banyak kendala maka seperti sebelumnya kami memperkenalkan satu multiplier untuk kendala masing-masing dan mendapatkan Kuhn-Tucker kondisi didefinisikan sebagai berikut

Definisi

Kondisi Kuhn-Tucker untuk masalah

max x f (x) tunduk g j (x) le c j untuk j = 1 m

adalah

L i (x) = 0 untuk i = 1 n

λ j ge 0 j g (x) le c j dan λ j [g j (x) - c j] = 0 untuk j = 1 m

dimana

L (x) = f (x) - Σ j = 1 m λ j (j g (x) - c j)

Kondisi ini dinamai untuk menghormati Harold W Kuhn seorang anggota emeritus dari Princeton Matematika Departemen dan Albert W Tucker yang pertama kali merumuskan dan mempelajari kondisi

Dalam bagian berikut saya mendiskusikan hasil yang menentukan hubungan yang tepat antara solusi dari Kuhn-Tucker kondisi dan solusi dari masalah Contoh berikut menggambarkan bentuk kondisi dalam kasus tertentu

Contoh

Pertimbangkan masalah

max x 1 x 2 [- (x 1 - 4) 2 - (x 2 - 4) 2] tunduk x 1 + x 2 le 4 dan 3 x 1 + x 2 le 9

diilustrasikan dalam gambar berikut

Page 21 of 27

2012Brawijaya UniversityRekayasa dan Optimasi Proses Lagrange Multiplier

Kami memiliki

L (x 1 x 2) = - (x 1 - 4) 2 - (x 2 - 4) 2 - λ 1 (x 1 + x 2 - 4) - λ 2 (3 x 1 + x 2 - 9)

Kondisi Kuhn-Tucker

-2 (X 1 - 4) - λ 1 - 2 3λ =

0

-2 (X 2 - 4) - λ 1 - λ 2 =

0

x 1 + x 2 le 4 λ 1 ge 0 dan λ 1 (x 1 + x 2 - 4) =

0

3 x 1 + x 2 le 9 λ 2 ge 0 dan λ 2 (3 x 1 + x 2 - 9) =

0

Masalah optimasi Nonlinear

Pertimbangkan hal berikut masalah optimasi nonlinear

di mana x adalah variabel optimasi adalah tujuan atau fungsi biaya

adalah ketidaksamaan kendala fungsi dan adalah fungsi kesetaraan kendala Jumlah ketidaksetaraan dan kendala kesetaraan dilambangkan m dan l masing-masing

Kondisi Perlu

Misalkan bahwa fungsi tujuan dan fungsi kendala dan

yang terus differentiable pada suatu titik Jika adalah suatu minimum lokal yang memenuhi beberapa kondisi keteraturan (lihat di bawah) maka

terdapat konstanta dan Disebut pengganda KKT sehingga

Page 22 of 27

2012Brawijaya UniversityRekayasa dan Optimasi Proses Lagrange Multiplier

Stasioneritas

Kelayakan Primal

Kelayakan Ganda

Pelengkap kelambanan (Complementary slackness)

Dalam kasus tertentu Yaitu jika tidak ada kendala ketimpangan kondisi KKT berubah menjadi kondisi Lagrange dan pengganda KKT disebut Lagrange

Kondisi Keteraturan (atau kualifikasi kendala)

Agar titik minimum untuk memenuhi kondisi KKT di atas harus memenuhi beberapa kondisi keteraturan yang paling banyak digunakan tercantum di bawah ini

Linearitas kendala kualifikasi Jika dan adalah fungsi affine maka tidak ada kondisi lain yang diperlukan

Kemerdekaan kendala linier kualifikasi (licq) gradien dari kendala ketimpangan aktif dan gradien dari kendala kesetaraan yang linear di

Mangasarian-Fromovitz kendala kualifikasi (MFCQ) gradien dari kendala ketimpangan aktif dan gradien dari kendala kesetaraan positif-linear independen pada

Peringkat Konstan kendala kualifikasi (CRCQ) untuk setiap subset dari gradien dari kendala ketimpangan aktif dan gradien dari kendala kesetaraan pangkat di sekitar adalah konstan

Ketergantungan konstanta positif kualifikasi kendala linear (CPLD) untuk setiap subset dari gradien dari kendala ketimpangan aktif dan gradien dari kendala kesetaraan jika hasilnya positif-linear bergantung pada maka positif-linear bergantung pada sekitar

Kuasi-normalitas kendala kualifikasi (QNCQ) jika gradien dari kendala ketimpangan aktif dan gradien dari kendala kesetaraan positif-linear independen pada dengan pengganda terkait untuk kesetaraan dan

untuk ketidaksetaraan maka tidak ada urutan sehingga

dan

Kondisi Slater untuk masalah cembung terdapat titik sehingga dan

untuk semua aktif dalam

( ) Adalah positif-linear tergantung jika ada tidak

semua nol sehingga

Page 23 of 27

2012Brawijaya UniversityRekayasa dan Optimasi Proses Lagrange Multiplier

Hal ini dapat ditunjukkan bahwa licq rArr MFCQ rArr CPLD rArr QNCQ licq rArr CRCQ rArr CPLD rArr QNCQ (dan converses yang tidak benar) meskipun MFCQ tidak setara dengan CRCQ Dalam prakteknya kualifikasi kendala lemah lebih disukai karena mereka memberikan kondisi optimalitas kuat

Kondisi Cukup

Dalam beberapa kasus kondisi yang diperlukan juga cukup untuk optimalitas Secara umum kondisi yang diperlukan tidak cukup untuk optimalitas dan informasi tambahan yang diperlukan seperti Kondisi Orde Kedua Cukup (SOSC) Untuk fungsi mulus SOSC melibatkan derivatif kedua yang menjelaskan namanya

Kondisi yang diperlukan adalah cukup untuk optimalitas jika fungsi tujuan dan kendala ketimpangan dapat didiferensiasi secara kontinu fungsi cembung dan kendala kesetaraan adalah fungsi affine

Hal ini ditunjukkan oleh Martin pada tahun 1985 bahwa kelas yang lebih luas dari fungsi di mana kondisi KKT menjamin optimalitas global disebut Tipe 1 fungsi Invex

Ekonomi

Seringkali dalam matematika ekonomi pendekatan KKT digunakan dalam model teoritis untuk memperoleh hasil kualitatif Sebagai contoh pertimbangkan sebuah perusahaan yang memaksimalkan subjek penjualan untuk kendala keuntungan minimum Membiarkan Q menjadi kuantitas output yang dihasilkan (untuk dipilih) R (Q) akan penjualan dengan turunan pertama positif dan dengan nilai nol nol output C (Q) menjadi biaya produksi dengan turunan pertama positif dan dengan non-negatif nilai nol pada output dan menjadi tingkat yang dapat diterima positif minimal keuntungan maka masalahnya adalah satu bermakna jika tingkat fungsi pendapatan off sehingga akhirnya kurang curam daripada fungsi biaya Masalah dinyatakan dalam bentuk minimisasi sebelumnya diberikan adalah

Memperkecil tunduk dan

dan kondisi KKT yang

Karena Q = 0 akan melanggar kendala keuntungan minimum kami telah Qgt 0 dan karenanya kondisi ketiga menyiratkan bahwa kondisi pertama memegang dengan kesetaraan Memecahkan kesetaraan yang memberikan

Page 24 of 27

2012Brawijaya UniversityRekayasa dan Optimasi Proses Lagrange Multiplier

Karena itu mengingat bahwa dan secara ketat positif ketidaksetaraan ini bersama dengan kondisi non-negatif pada jaminan bahwa adalah positif dan sehingga perusahaan pendapatan memaksimalkan beroperasi pada

tingkat output di mana penerimaan marjinal kurang dari biaya marjinal

- Hasil yang menarik karena kontras dengan perilaku memaksimalkan keuntungan perusahaan yang beroperasi pada tingkat di mana mereka adalah sama

Fungsi Nilai

Jika kembali ke masalah optimasi sebagai masalah maksimisasi dengan kendala ketimpangan konstan

Fungsi nilai didefinisikan sebagai

(Jadi domain V adalah )

Mengingat definisi ini koefisien masing-masing Adalah tingkat di mana fungsi nilai meningkat sebagai meningkat Jadi jika masing-masing ditafsirkan sebagai kendala sumber daya koefisien memberitahu Anda berapa banyak meningkatkan sumber daya akan meningkatkan nilai optimum dari fungsi f kami Penafsiran ini sangat penting di bidang ekonomi dan digunakan misalnya dalam masalah maksimalisasi utilitas

Page 25 of 27

2012Brawijaya UniversityRekayasa dan Optimasi Proses Lagrange Multiplier

REFERENSI

Edgar T F And DM Himmelblau 2001 Optimization Of Chemical Processes Second Edition Mcgraw-Hill New York

Jaluria Yogesh 2008 Design and optimization of thermal systems 2nd ed CRC Press USA

Jelen FC 1985 Cost and Optimization Engineering Second edition McGraw-Hill New York

httpwwweconomicsutorontocaosborneMathTutorialMENHTMLagrangean

httpwwweconomicsutorontocaosborneindexhtml

httpenwikipediaorgwiki KarushndashKuhnndashTucker conditions

httpenwikipediaorgwikiLagrange_multiplierhtm 22 October 2012

PROPAGASI

1 Tugas (Evaluasi mandiri)

1 Gunakan Pengali Lagrange untuk menyelesaikan

2 Tangki silinder dirancang untuk menyimpan air hangat dari system kolektor surya Volume diberikan adalah 2 m3 dan luas permukaan diminimalkan untuk meminimasi kelhilangan panas ke sekeliling Selesaikan maslah optimasi ini dengan keadaan tidak berkendala

3 Gunakan syarat Kunh-Tucker

Min f(x y) = 2x2 + xy + 2y2 ndash 8x - 6y

Kendala 2x + y le 1

-x +2y le 4

x ge 0

y ge 0

Page 26 of 27

Min2x12+3x

22+4 x1x2minus8 x1minus6 x2+8

Kendala x1+x2le1

2012Brawijaya UniversityRekayasa dan Optimasi Proses Lagrange Multiplier

A QUIZ - (Evaluasi)

B PROYEK (Eksplorasi entrepreneurship penerapan topic bahasan pada dunia nyata)

Page 27 of 27