Transcript
3. CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT CONTINUU
În general, în cadrul circuitelor electrice, problemacare se pune este aceea a determinării curentului electric,atunci când sunt cunoscute tensiunile, rezistenţele şi /sau puterile absorbite, pentru a determina, alege saudimensiona elementele de circuit, inclusiv conductele şicablurile de alimentare cu energie electrică.
3.1. Convenţii şi definiţii
Acel sistem de corpuri prin care poate trece curentulelectric se numeşte circuit electric. Ansamblul de circuiteelectrice formează o reţea electrică. Din punct de vederetopologic, orice reţea electrică este alcătuită din laturi,noduri şi ochiuri. Latura este porţiunea de circuit formată dinelementele de circuit conectate în serie, care suntcuprinse între două noduri. Nodul este punctul reţelei încare se întâlnesc cel puţin trei laturi. Ochiul este oricecircuit închis, format dintr-o succesiune de laturi. Ochiulindependent poate fi considerat acel ochi al sistemului, carediferă de celelalte prin cel puţin o latură. Numărul deochiuri independente dintr-un circuit electric este:
O = L – N + 1.(3.1)
În strânsă corelaţie cu tipul elementului de circuit,se aplică convenţia de lareceptor, (figura 3.1. a),sau generator, (figura 3.1.b). Pot fi redateurmătoarele relaţii întretensiuni, pentru receptor:ub + er = Ri,(3.2)
sau generator:
- ub + eg = ri, (3.3) şi expresia puterii:pb = ubi, (3.4)cu menţiunea că pb > 0, când puterea este primită dereceptor, sau este cedată de sursă.
a. b.Figura 3.1. Convenţia de la receptor (a), sau generator(b).
Observaţie: În continuare mărimile de curent continuuvor fi reprezentate prin majuscule: E – tensiuneelectromotoare; U – tensiune; I – curent; P – putere, etc.
3.2. Teoremele lui Kirchhoff
Teoremele lui Kirchhoff se utilizează pentrurezolvarea circuitelor electrice, când în general se cunoscvalorile tensiunilor de alimentare şi ale rezistenţelor şise solicită a fi determinate valorile curenţilor dinfiecare latură în parte.
a. Prima teoremă a lui Kirchhoff se referă lacurenţii care converg spre un nod şi respectă legeaconservării sarcinii electrice: suma curenţilor care intră este egalcu suma curenţilor care ies din nodul respectiv, sau suma curenţilor care
converg spre un nod este nulă: .
(3.5)La aplicarea efectivă a teoremei, curenţii care intră
în nod se iau cu semnul “+” (plus), iar cei care ies dinnod se iau cu semnul “-” (minus). Cu prima teoremă a luiKirchhoff pot fi scrise (N-1) ecuaţii de circuit.
b. A doua teoremă a lui Kirchhoff se referă latensiunile existente de-a lungul ochiurilor independente decircuit şi respectă legea conservării potenţialelorelectrice: suma căderilor de tensiune pe laturile ochiului independent esteegală cu suma tensiunilor electromotoare existente în aceleaşi laturi, sausuma tensiunilor existente în laturile ochiului respectiv este nulă:
, (3.5.1)
32
sau .
(3.5.2)La aplicarea efectivă a teoremei a doua a lui
Kirchhoff, se alege un sens aleatoriu de parcurgere aconturului a ochiului independent, se aplică una dinrelaţiile (3.5), în care căderile de tensiune se iau cusemnul “+” (plus) dacă sensul de parcurgere este identic cucel al curentului din latura respectivă, sau dacă esteacelaşi cu sensul tensiunii electromotoare întâlnită înlaturile ochiului respectiv şi cu semnul “-” (minus) dacăsensul de parcurgere este invers faţă de curentul dinlatura respectivă, sau dacă este invers sensului tensiuniielectromotoare întâlnită în laturile ochiului respectiv. Cua doua teoremă a lui Kirchhoff pot fi scrise (O = L – N + 1)ecuaţii de circuit; cu ambele teoreme pot fi scrise (L)ecuaţii, cu (L) necunoscute, din care vor rezulta curenţiidin laturile respective.
Dacă după rezolvarea sistemului respectiv de ecuaţii,vor rezulta curenţi negativi, pe schema finală, sensulacestora se vor inversa.
Exemplu de aplicare a teoremelor lui Kirchhoff. Fie circuitul din figura
3.2, (o punte Wheastone), în caresunt cunoscute valoriletensiunilor surselor şi valorilerezistenţelor din laturilerespective. Se cere a sedetermina valorile curenţilor dinlaturile respective.
Pentru început se stabilescnumărul de noduri şi ochiuri
independente, funcţie de care se vor determina numărul deecuaţii scrise cu teorema I, sau II a lui Kirchhoff.Circuitul are patru noduri, (A, B, C, D), deci cu primateoremă se vor putea scrie trei ecuaţii distincte, (dupăalegerea sensurilor aleatorii ale curenţilor): Figura 3.2. Circuit electric. A: I6 =I1 + I4
B: I1 + I2 + I3 = 0 C: I3 + I5 = I6.
33
Numărul ochiurilor este mult mai mare decât al celorindependente; iată de exemplu, câteva dintre ele,delimitate de laturile a căror poligoane închise, sunt:ABD, BCD, ACEF, ABC, ADBCEF, ABDCEF. Dintre acestea numaitrei sunt ochiuri independente, deci cu teotema a II a luiKirchhoff vor putea fi scrise numai trei ecuaţii, (dupăalegerea contururilor şi a sensurilor de parcurgere):
ABD: R1I1 + R2I2 – R4I4 = 0BCD: R3I3 – R2I2 – R5I5 = 0ACEF: R4I4 + R5I5 + R6I6 – E6 = 0.
Rezolvarea sistemului de şase ecuaţii cu şasenecunoscute conduce la determinarea curenţilor din laturilecircuitului. Pentru acei curenţi care rezultă, dupărezolvarea sistemului, cu semnul – (minus), se va inversasensul de referinţă de pe schiţă.
3.3. Alte teoreme utilizate în rezolvarea circuitelorelectrice
3.3.1. Teorema conservării puterilor
Pentru orice circuit electric, conform legiiconservării energiei, suma puterilor debitate de surse esteegală cu suma puterilor dezvoltate de elementelecircuitului respectiv, (c):
.
(3.6)
3.3.2. Teorema rezistenţelor echivalente
Rezistoarele pot fi conectate în serie, paralel, saumixt, în funcţie de necesităţi şi disponibilităţi.
a. Conectarea în serie a rezistoarelor
Un grup de n rezistoare conectate în serie, alimentatla borne cu tensiunea UAB, poate fi înlocuit cu un rezitor,
34
a cărui rezistenţă echivalentă este Re, (figura 3.3), şi vafi străbătut de acelaşi curent I, atunci când estealimentat cu tensiunea UAB.
Figura 3.3. Schema electrică de legare în serie arezistoarelor.
Prin aplicarea teoremei a II a lui Kirchhoff peconturul rezistenţelor legate în serie se va obţine:
,iar prin utilizarea legii lui Ohm:
şi după simplificările de rigoare, va deveni: ,
sau în caz general:
.
(3.7)Observaţie: - Pentru două rezistoare oarecare, legate înserie, rezistenţa echivalentă se va obţine ca sumă arezistenţelor individuale, iar tensiunea pe fiecarerezistor se distribuie proporţional cu rezistenţa sa !
- Două rezistoare egale ca valoare, conectateîn serie, îşi vor înjumătăţi rezistenţa echivalentă, dar şitensiunea la bornele fiecăruia în parte.
b. Conectarea în paralel a rezistoarelor
Un grup de n rezistoare conectate în paralel,alimentat la borne cu tensiunea UAB, poate fi înlocuit cu unrezistor, a cărui rezistenţă echivalentă este Re, (figura
3.4), dacă absoarbe acelaşi curent I, atunci când estealimentat cu tensiunea UAB.
Figura 3.4. Schema electrică de legare în paralel arezistoarelor.
35
La conectarea în paralel a rezistoarelor, înconformitate cu legea conservării sarcinii, sau cu primateoremă a lui Kirchhoff, suma curenţilor absorbiţi defiecare rezistor în parte va fi egală cu curentul totalabsorbit de ansamblu, deci de rezistorul echivalent:
,care cu ajutorul legii lui Ohm, va deveni:
,
iar după simplificare:
,
,
sau prin utilizarea conductanţelor:
.
(3.8)Observaţie: - Pentru două rezistoare oarecare, legate înparalel, rezistenţa echivalentă se va obţine ca produs /sumă a rezistenţelor individuale, iar tensiunea pe fiecarerezistor este chiar tensiunea de alimentare.
- Două rezistoare egale ca valoare, conectateîn paralel, îşi vor înjumătăţi rezistenţa echivalentă.
3.3.3. Teorema superpoziţiei
Curentul care se stabileşte într-o latură a uneireţele este egal cu suma curenţilor pe care i-ar stabili înacea latură, fiecare sursă a reţelei, dacă s-ar găsisingură, iar celelalte surse s-ar înlocui cu rezistenţelelor interne.
36
3.3.4. Teoremele generatoarelor echivalente stabilesccircuite echivalente simple pentrudipolii activi, la bornele cărora seconectează o rezistenţă externă R,(figura 3.5), şi pot fi studiate cu
teorema generatorului echivalent de tensiune, sau ca teorema generatoruluiechivalent de curent.
Figura 3.5. Rezistenţa externă R, cuplată la un dipolactiv.
a. Teorema generatorului de tensiune echivalent,denumită şi teorema lui Thévenin, permiteexprimarea curentului, după schemageneratorului echivalent de tensiune,(figura 3.6):
,
(3.9)în care UAB0 este tensiunea la bornele AB ale dipoluluiactiv, fără sarcină, adică în gol, (I = 0).
Figura 3.6. Schema generatorului echivalent de tensiune.
Demonstrarea teoremei se bazează pe principiulsuprapunerii efectelor.
b. Teorema generatorului de curent echivalent poartădenumirea de teorema lui Norton, stabileşte tensiunea la borne,
după schema generatorului echivalent decurent, (figura 3.7):
,
(3.10)în care: IscAB – curentul de scurtcircuit la bornele AB; GAB – conductanţa echivalentă a dipoluluipasivizat;
37
G – conductanţa externă, conectatăla bornele AB.Figura 3.7. Schema generatorului echivalent de curent.
3.3.5. Teoremele de transfigurare
Pentru anumite situaţii concrete ivite în rezolvareacircuitelor, se impune utilizarea transfigurării stea întriunghi şi invers. În cazul transfigurării, pentru catensiunile nodale şi curenţii absorbiţi să fie aceeaşi,trebuie ca între rezistenţele, sau conductanţeledeterminate şi cele iniţiale să existe echivalenţe. Astfel,la transfigurarea din triunghi în stea, rezistenţele“văzute” între nodurile 1 – 2; 2 – 3; 3 –1, trebuie să fieidentice, (figura 3.8):
Figura 3.8. Configuraţii stea şi triunghi.
.
(3.11)
După rezolvarea sistemului se obţin pentrutransfigurarea triunghi – stea, valorile:
38
.
(3.12)
Pentru transfigurarea inversă, stea în triunghi, esteconvenabil a exprima relaţiile între conductanţe:
,
(3.13)
cu soluţiile:
.
(3.14)
3.4. Metode sistemice pentru rezolvarea reţelelorelectrice
Aplicarea teoremelor lui Kirchhoff la rezolvareareţelelor electrice, conduce (de multe ori), la sisteme deecuaţii extrem de laborioase, dificil de soluţionat. Prinalegerea convenabilă a unor variabile auxiliare, se poatereduce ordinul ecuaţiilor, obţinând metode sistematice
39
pentru rezolvarea acestor reţele, dintre care se amintescmetoda curenţilor ciclici şi metoda potenţialelor de noduri.
3.4.1. În metoda curenţilor ciclici se utilizează cavariabile auxiliare un număr de O curenţi fictivi, care seînchid ciclic în fiecare ochi al sistemului de ochiuriindependente şi se numesc curenţi ciclici. Curentul dinfiecare latură este egal cu suma curenţilor ciclici dinacea latură, în sensul de referinţă ales.
În general, ecuaţia corespunzătoare unui ochi areforma:
,
(3.15)în care: ECj – suma tensiunilor electromotoare din ochiulj, în sensul de referinţă al curentului ciclic ICj;
Rkj – suma rezistenţelor laturilor comune ochiurilor kşi j;
ICk – curentul ciclic al ochiului k.Tensiunea reprezentată de termenul RkjICk se consideră
pozitivă sau negativă, după cum sensurile curenţilor ICj şiICk din latura comună coincid sau nu. În caz particular,pentru j = k, Rjj, reprezintă suma rezistenţelor laturilorochiului, parcurse de curentul ICj.
După rezolvarea respectivului sistem de ecuaţii,curenţii reali din laturi se obţin ca sume ale curenţilorciclici din laturi, ţinând seama de sensurile adoptate.
Metoda curenţilor ciclici prezintă avantaj în cazulreţelelor cu un număr mic de ochiuri independente.
3.4.2. La aplicarea metodei potenţialelor de nodurise aleg ca variabile – potenţialele nodurilor în raport cuun nod de referinţă al reţelei.
Pentru latura cuprinsă între nodurile j şi k, (figura3.9), tensiunea exprimată în funcţie dediferenţa potenţialelor nodurilorrespective:
, (3.16)
40
iar curentul prin latură:. (3.17)
Figura 3.9. Latură a reţelei electrice.
Prin aplicarea teoremei întâi a lui Kirchhoff asupranodului j, rezultă:
,
iar după aranjarea termenilor:
.
(3.18)Metoda potenţialelor de noduri este avantajoasă de
aplicat în cazul reţelelor cu un număr redus de noduri şiprezintă ca dezavantaj, faptul că nu se obţin directcurenţii din laturi, la care se adaugă precauţiilesuplimentare, legate de laturile cu surse, de rezistenţănulă, deci conductanţă infinită.
3.5. Circuite electrice neliniare de curent continuu
Legea conducţiei electrice are valabilitate redusă şinu poate fi aplicată mediilor neconductoare aduse în starede conducţie, cum ar fi: vidul, anumite gaze,semiconductoarele, etc. Rezistoarele care funcţionează înregim de temperatură variabilă îşi modifică rezistenţa, caurmare a căldurii dezvoltate prin efect Joule-Lentz.
Acele elemente pasive de circuit, care prezintă încurent continuu o caracteristică voltampermetricăneliniară, se numesc elemente de circuit neliniare sau rezistenţeneliniare, iar circuitele care le conţin, circuite electrice neliniare.
Elementele neliniare se definesc princaracteristicile voltampermetrice, (figura 3.10),
41
a. Lămpi cu incandescenţă; b. Diodăsemiconductoare;
a1. Filament de cărbune; a2. Filament de wolfram;
c. Varistor; d. Termistor;Figura 3.10. Caracteristici voltampermetrice ale unor
elemente neliniare.
Calculul circuitelor neliniare este mai complex decâtal circuitelor liniare; acesta se poate face grafic saunumeric, prin liniarizarea pe porţiuni a graficelor.
3.6. Probleme rezolvate
1o. Un fir rezistiv, de lungime l, rezistivitate ρ, secţiuneA şi rezistenţă R, se îndoaie în două şi apoi în patrupărţi egale. Să se afle rezistenţele echivalente dupăfiecare îndoire, prin două metode; se consideră căîndoirile sunt ideale.
Rezolvare:Pentru rezolvarea problemei, trebuie stabilite schemeleechivalente, rezultate după cele două îndoiri (figura3.11):
Prima metodă apelează la teoremelerezistenţelor echivalente, după ce a foststabilită configuraţia rezistenţei înaintede îndoiri, cât şi după fiecare din celedouă îndoiri consecutive. După primaîndoire, configuraţia va fi formată dindouă rezistenţe, de valori egale, (R/2),conectate în paralel, iar după cea de-adoua îndoire, configuraţia va fi cea datăde cele patru rezistenţe egale, (R/4),conectate în paralel:
42
; ,
din care rezultă: Re1 = R/4 şi Re2 = R/16.Pentru a doua metodă, se apelează la definirea rezistenţei,atunci Figura 3.11. când sunt cunoscute datele
referitoare la aceasta, şi anume: , cu precizarea că
după prima îndoire, secţiunea se dubleză, iar lungimeafirului se înjumătăţeşte; la cea de-a doua îndoire, nouasecţiune se va multiplica cu 4, faţă de cea iniţială, iarlungimea va fi o pătrime din lungimea iniţială.Cu acestea, valorile rezistenţelor echivalente vor fi:
; .
2o. Un bec cu incandescenţă de 220 V şi 100 W, arerezistenţa în stare „rece”, (măsurată cu ohmetrul), de 48Ω. Calculaţi în starea iniţială curentul şi putereaabsorbită la conectarea la reţea, precum şi curentul şirezistenţa electrică a becului, după atingerea temperaturiide culoare. Comentarii.
Rezolvare:Deoarece valoarea rezistenţei depinde în mare măsură cutemperatura, procesul urmat cuplării la reţea este unulputernic neliniar, din care interesează numai stareadin’naintea cuplării, (a- când se vor utiliza indicii i -iniţial) şi cea în care presupunem că temperatura s-astabilizat, după cuplare, (b - când se vor utiliza indiciif - final). Pentru aceste două cazuri distince se poatescrie:
43
a) A;
W;
b) A;
Ω.Deoarece la trecerea din starea rece în cea caldă,rezistenţa electrică creşte de peste 10 ori, curentul şiputerea absorbită iniţial de becul cu incandescenţăa, vorfi cu peste 10 ori mai mari, decât valorile stabilite dupăatingerea temperaturii de culoare, deci becul va fisuprasolicitat întotdeauna la cuplare, motiv pentru care,aproape în exclusivitate becurile cu incandescenţă se vordeteriora la cuplarea la reţea.
3o. Considerăm montajul din figura alăturată, (figura3.12), alimentat de la o sursă de curent continuu. Să se
determine R3 în funcţie deR1 şi R2, astfel ca Re = R3/ 2. Care este valoareacorespunzătoare lui R3pentru cazul în care R1 =R2.
Rezolvare:Pentru a rezolva circuitul, trebuie să transfiguratcircuitul Y, format de rezistenţele R2/3, în Δ, a căreivaloare a rezistenţei laturii va fi:
,
Figura 3.12. în care s-a notatcu R12 – valoarea rezistenţei laturii cuprinse întrevârfurile 12 ale lui Δ, care devine egală cu R2.
44
Rezistenţa echivalentă devine: ,
iar prin impunerea condiţiilor Re = R3 / 2, se va obţine:
,
din care se ia numai valoarea cu + şi pentru R1 = R2, se vaobţine R3 = R1 = R2.
3.7. Probleme propuse
1o. Calculaţi rezistenţa echivalentă pentru o configuraţiecomplexă de tip Γ şi Γ invers, de ordinul III, la carefiecare rezistenţă are valoarea R.
2o. Muchiile unui cub au rezistenţele electrice egale R =16 Ω. Determinaţi rezistenţa echivalentă în raport cu douăvârfuri diametral opuse ale cubului.
3o. Considerăm circuitul din figura alăturată, în care r1 =r2 = 1 Ω, R1 = 3 Ω, E1 = 16 V, E2 = 62 V. Puterea disipatăîn R1 este PR1 = 27 W, (figura 3.13). Se cer:
a. valoarea rezistenţei R2;b. valorile rezistenţei R1 pentru caputerea disipată în ea să fie maximă,respectiv minimă;c. pentru R2 de la punctul a, cu restuldatelor neschimbate, care sunt valorile
minime şi maxime ale puterii disipate pe rezistorul R3.Figura 3.13.
45
top related