1 Algoritmo di Ford-Fulkerson Ford Fulkerson FordFulkerson(G, s, t) G rete di flusso con capacità c(u,v) for ogni uv E[G] do f(uv) f(vu) 0 while esiste.
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Algoritmo di Ford-Fulkerson
Ford Fulkerson
FordFulkerson(G, s, t) G rete di flusso con capacità c(u,v)
for “ogni uv E[G]” do f(uv) f(vu) 0 while “esiste un cammino p da s a t in Gf” do “calcola c(p) = min{cf(uv) : uv arco di p}” for “ogni arco uv di p” do f(uv) f(uv) + c(p) f(vu) - f(uv) return f
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Cammino aumentante
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Complessità di Ford-Fulkerson.
Il for di inizializzazione: for “ogni uv E[G]” do f(uv) f(vu) 0
richiede tempo O(m).
Complessità di Ford Fulkerson
Il test del ciclo while while “esiste un cammino p da s a t in Gf” do
richiede il calcolo della rete residua (tempo O(m)) e la ricerca di un cammino aumentante (tempo O(n+m) e.g. con BFS).
11
“calcola cf(p) = min{cf(uv) : uv arco di p}” for “ogni arco uv di p” do f(uv) f(uv) + cf(p) f(vu) - f(uv)
Siccome queste istruzioni vengono ripetute per ogni cammino aumentante la complessità è O(m k) dove k è il numero di cammini aumentanti.
Le istruzioni interne al ciclo while
richiedono tempo O(n).
In totale ogni iterazione del ciclo while richiede quindi tempo O(m) (per le ipotesi fatte n = O(m)).
12
La complessità dipende da come si scelgono i cammini aumentanti.
Se vengono scelti male la complessità può essere anche molto elevata e in qualche caso l’algoritmo può anche non terminare.
Vediamo qualche limite superiore per k.
Se le capacità sono intere il flusso aumenta ad ogni passo di almeno una unità e quindi k ≤ | f | e la complessità è O(m | f |).
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u
s
v
1 t
1000000
1000000
1000000
1000000
Se le capacità sono razionali il flusso aumenta ad ogni passo di almeno 1/d con d minimo comune multiplo dei denominatori. In questo caso la complessità è O(m | f | d).
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La situazione peggiore si ha quando le capacità sono numeri reali.
In questo caso l’algoritmo può anche non terminare: il flusso può aumentare ad ogni passo di una quantità sempre minore senza mai raggiungere il massimo (e a volte senza neppure convergere al massimo).
Vediamo un esempio:
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dove è il rapporto aureo che sappiamo soddisfa l’equazione . Il flusso massimo è 20.
251φ φ11- φ
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u
s
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x
y
z
w
10
10
1010-9
1010
10
10
10 10
10
10
10
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x
y
z
w
10
10
1010-9
1010
10
10
10 10
10
10
10
10
La somma delle capacità tra due vertici è sempre 10. Indichiamo una sola delle capacità complementari x e 10-x e la omettiamo quando vale 10.
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u
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x
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1
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u
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1/
1/
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11+1/2
1
1
1/
1/
1/
1/+ 1/2
1/3
1/2
1/2
1/2
u
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Procedendo in questo modo il flusso calcolato tende al limite:
20φφ1φ1lim 2
0
1
0
i
in
i
in
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Algoritmo di Edmonds-Karp.
Edmonds e Karp hanno scoperto che se si usa la ricerca in ampiezza per trovare il cammino aumentante la complessità dell’algoritmo di Ford-Fulkerson risulta O(m2n).
Per dimostrare il limite O(m2n) cominciamo con dimostrare che la distanza f(s,v) di un vertice v dalla sorgente s nella rete residua non diminuisce quando il flusso viene incrementato con il flusso di un cammino aumentante.
Edmond Karp
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Assumiamo per assurdo che incrementando f si ottenga un flusso g tale che per qualche vertice v si abbia g(s,v) < f(s,v).
Sia q un cammino minimo da s a v nella rete residua Gg e sia u il vertice che precede v in q (il cammino
deve esistere perché g(s,v) < f(s,v) ).
Di tali vertici prendiamo quello con distanza g(s,v) minima di modo che g(s,u) ≥ f(s,u) per ogni u tale che g(s,u) < g(s,v).
23
Siccome q è un cammino minimo e uv è il suo ultimo arco avremo che g(s,v) = g(s,u) + 1.
Se in Gf vi è l’arco uv allora f(s,v) f(s,u) + 1 per la disuguaglianza triangolare e quindi
assurdo.
),(1),(1),(),( vsususvs ggff
Quindi Gf non conteneva l’arco uv e siccome esso è comparso in Gg il cammino aumentante p doveva contenere l’arco opposto vu.
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Siccome p è un cammino minimo da s a t in Gf anche i suoi sottocammini sono cammini minimi e quindi f(s,u) = f(s,v) + 1. Quindi
2),(1),(1),(),( vsususvs ggff
assurdo.
Quindi le distanze dalla sorgente nelle reti residue non possono aumentare quando si aumenta il flusso con il flusso di un cammino aumentante.
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Siamo ora in grado di mostrare che il numero k di cammini aumentanti è minore o uguale di mn e dunque la complessità è O(m k) = O(m2n).
Diciamo che un arco uv della rete residua Gf è critico nel cammino aumentante p se uv è un arco di p e c(uv) = c(p).
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Ogni cammino aumentante contiene almeno un arco critico e gli archi che possono diventare critici sono gli archi in E più eventualmente gli archi opposti.
Se dimostriamo che uno stesso arco non può diventare critico più di n/2 volte allora il numero totale di archi critici e quindi il numero k di cammini aumentanti è minore o uguale di
2m n/2 = mn
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Dopo l’aumento del flusso un arco critico uv sparisce dalla rete residua e può riapparire soltanto dopo che sia stato trovato un successivo cammino aumentante contenente l’arco opposto vu.
Quindi prima che l’arco uv possa ridiventare critico bisogna che il suo opposto vu sia apparso come arco di un cammino aumentante.
28
Quando uv è critico f(s,v) = f(s,u) + 1.
Quando, in seguito, l’arco opposto vu compare in un cammino aumentante g(s,u) = g(s,v) + 1 e quando l’arco uv ridiventa critico h(s,v) = h(s,u) + 1.
2),(
2),(
1),(
1),(),(
vs
vs
us
usvs
f
g
g
hh
Ma le distanze non possono diminuire e quindi
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Siccome le distanze finite sono tutte minori di n e tra due volte successive in cui l’arco uv diventa critico la distanza (s,v) aumenta di 2 l’arco uv può diventare critico al più n/2 volte.
La complessità di Ford-Fulkerson nella versione di Edmonds-Karp è dunque O(m2n).
30
Problema del massimo numero di coppie.
Un grafo non orientato G = (V,E) si dice bipartito se i suoi vertici si possono ripartire in due sottoinsiemi S e D tali che ogni arco abbia estremi appartenenti a sottoinsiemi distinti (E SD).
Se xy è un arco diciamo che x e y si possono accoppiare.
Il problema chiede di trovare un insieme massimo di coppie distinte.
Massimo numero di coppie
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Soluzione: trasformarlo in un problema di flusso!!
s t
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Rete residua Vertici raggiungibili da s nella rete residua e archi che intersecano il taglio
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Esercizio Descrivere un algoritmo che dato un grafo orientato aciclico pesato sugli archi ed un vertice s calcola i cammini massimi da s ad ogni altro vertice.
esercizio 50
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Esercizio Descrivere un algoritmo che dato un grafo orientato aciclico pesato sugli archi ed un vertice s calcola i cammini massimi da s ad ogni altro vertice.
Soluzione Un qualunque algoritmo che calcola i cammini minimi del grafo G’ con w’(u,v)=-w(u,v) e calcola
esercizio 50
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Esercizio Sono date n task a1,...,an con tempi di esecuzione t1,...,tn. Tali task si possono eseguire in parallelo utilizzando un numero sufficiente di processori.L’esecuzione deve però rispettare dei vincoli di propedeuticità rappresentati mediante coppie aiaj il cui significato è “ai deve essere finita prima di iniziare l’esecuzione di aj”.Descrivere un algoritmo efficiente che calcola il tempo minimo necessario per eseguire tutte le task.
esercizio 51*
• MinMakespan(G)
a1,…,an Topological_Sort(G)
for i=1 to n
fiti
for i=2 to n
for j=1 to i-1
if (aj,ai) in E and fi<fj+ai
fifj+ai
return maxi(fi)
40
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