1 . 2 . 1 三角函数的定义
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李寿江
学习目标:1. 理解三角函数的定义。2.会利用三角函数的定义求简单角的函数值。3.理解并掌握三角函数在各象限的符号。教学重点:会利用三角函数的定义求角的函数值,会判断,三角函数在各象限的符号。
求角的函数值时对象限符号的判定。
奎屯王新敞新疆
教学难点:
1. 初中学过的锐角三角函数的定义 :
在直角三角形 ABC 中,角 C 是直角,角 A 为锐角,则用角 A 的对边 BC ,邻边AC 和斜边 AB 之间的比值来定义角 A 的三角函数 .sin
BCA
AB
cosAC
AAB
tanBC
AAC
C
B
A
2. 用坐标的形式表示出初中所学的锐角三角函数: 以角 α 的顶点 O 为坐标原点,以角 α 的始
边的方向作为 x 轴的正方向,建立直角坐标系xOy,
则角 α 的终边落在直角坐标系的第一象限内,
r
y
x M
P
y
xO
记∠ MOP= α
sinα= , cosα= , tanα= 。 r
y
r
x
x
y
r
y
x M
P
y
xO
若点 P (x,y) 是角 α 终边上的任意一点,点 P 到原点 O 的距离是 r , 试将角 α 的三角函数用 x、 y、 r 的式子表示出来。
2 2 0r x y
3. 任意角的三角函数 :
( 1 )确立任意角 α 在直角坐标系中的位置;
以角 α 的顶点 O 为坐标原点,以角 α 的始边的方向作为 x 轴的正方向,建立直角坐标系xOy ; ( 2 )在其终边上取点 A ,使 OA=1 ,点 A 的坐标为 (l, m) ,再任取一点 P(x,y) ,设点 P 到原点的距离为 r, OP =r( r≠0 ),根据三角形的相似知识得:
lr
x m
r
y
因为 A、 P 在同一象限内,所以它们的坐标符号相同,因此得
m
l
A r
y
x
P
y
x
O
lr
x m
r
y
l
m
x
y
l
m
x
y
不论点 P 在终边上的位置如何,它们都是定值,它们只依赖于 α 的大小,与点 P
在 α 终边上的位置无关。即当点 P在 α 的终边上的位置变化时,这三个比值始终等于定值。 叫做角 α 的余弦,记作cosα ,
即 cosα= ;
r
x
x
r
叫做角 α 的正弦,记作sinα ,
即 sinα= ;
r
y
r
y
叫做角 α 的正切,记作tanα ,
即 tanα=
x
y
x
y
角 α 的正割,记作 secα= = ; r
x
1
cosa
角 α 的余割,记作 cscα= = ; r
y
1
sina
角 α 的余切,记作 cotα= = ; x
y
1
tana
:),(,时
的终边与单位圆交于点任意角特别地yxP
;sin)1( y;cos)2( x
;tan)3(x
y
P(x,y)
O A(1,0)
y
x
依照上述定义,对于每一个确定的角 α ,都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应: 当 α≠kπ (k Z)∈ 时,它有唯一的正切值与之对应 . 因此这三个对应法则都是以 α 为自变量的函数,分别叫做角 α 的余弦函数、正弦函数和正切函数。
2
4. 几点说明:
(1) 这里提到的角 α 是“任意角” 。
( 2 )锐角三角函数是以边长的比来定义的,都是正值;任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标的比来定义的,不一定都是正值。
(3) 三角函数是以角为自变量,以“比值”为函数值的函数。
正弦函数可记作 : f(α) = sinα
余弦函数可记作 :
正切函数可记作 :
h(α) = cosα
g(α) = tanα体会对应法则
对于正弦函数 sinα= , 因为 r>0 ,所以恒有意义,即 α 取任意实数, 恒有意义,也就是说 sinα 恒有意义,所以正弦函数的定义域是 R ;类似地可写出余弦函数的定义域是 R ;
r
y
r
y
三角函数函数的定义域
对于正切函数 tanα= , 因为 x=0 时,
无意义,又当且仅当 α 的终边落在 y 轴上时,
才有 x=0 ,所以当 α 的终边落不在 y 轴上时,
恒有意义,即 tanα= 恒有意义,所以正切
函数的定义域是 {α|α≠kπ+ ( k Z∈ ) }
y
x x
y
x
y
x
y
2
从而三角函数的定义域是
y=sinα, α∈R
y=cosα, α∈R
2
y=tanα ,α≠kπ+ ( k Z∈ )
:,,
号符正切函数值在各象限的余弦填写正弦
:,,
号符正切函数值在各象限的余弦填写正弦
y
xo
( )( )
( )( )
sin
y
xo
( )( )
( )( )
cos
y
xo
( )( )
( )( )
tan
2 , , .2
pp例 、求 和 的正弦 余弦 正切值
01 ( 3, 4),
, , .
Pa
a
- -例、已知角 的终边经过点 求
角 的正弦 余弦 正切值
例 3.设 sinθ<0且 tanθ>0 ,确定 θ 是第几象限的角。
解:因为 sinθ<0 ,所以 θ 可能是第三、四象限的角,又 tanθ>0, θ 可能是第一、三象限的角,综上所述, θ 是第三象限的角。
例 4. 确定下列三角函数值的符号 :
( 1) cos250º; ( 2 ) ( 3) tan(- 672º) ;( 4 )
sin( )4
)3
11tan(
解: ( 1) 250º 在第三象限,所以 cos250º<0.
(2) - 在第四象限,所以 sin( - )<0.4
4
(3) - 672º 在第一象限,所以 tan(-672º)>0.(4) 在第四象限,所以 tan( )<0.11
3
11
3
:5、求下列三角函数值例
9(1)cos ;
4p
11(2) tan( );
6
p-
例 6. 若 的终边与函数 y=-2|x| 的图象重合 , 求 的各三角函数值 . 解 : ∵ 的终边与函数 y=-2|x| 的图象重合 ,
∴ 是 第 三 或 第 四 象 限 的角 . 若 是第三象限的角 , 取终边上一点 P(-1, -2), 则 r=
5 . 从而 sin= =- 5 , cos= =- , tan= =2,yr
25
xr
55
yx
cot= = , sec= =- 5 , csc= =- .xy
rx
ry
12
52
若 是第四象限的角 , 取终边上一点 P(1, -2), 则 r=
5 . 从而 sin= =- 5 , cos= = , tan= =-2,yr
25
xr
55
yx
cot= =- , sec= = 5 , csc= =- .xy
rx
ry
12
52
2 2
1
1 0
2 0
3 P x y
x
x y
.判断下列命题是否正确: ( )若 si n ,则 是第一、二象限的角; ( )若 是第一、二象限的角,则 si n ; ( )若 是第二象限的角, ( , )是其终边
- 上的任意一点,则 cos .
课后练习
2 2 3 0P m m m.若点 ( , - )( )在 的终边上, 则 si n , cos , tan
3 2y x.已知 的终边在直线 - 上,
求 si n cos
4. 已知角 的终边上一个点 P 的坐标为 (4t, -3t)(t0), 求
的正弦、余弦和正切值 . 解 : 由已知有 x=4t, y=-3t,∴ |OP|=r=5|t|.
当 t>0 时 , sin= = = =- , yr
-3t 5|t|
-3t 5t
35
cos= = = = , xr
4t 5|t|
4t 5t
45
tan= = =- ; yx
-3t 4t
34
当 t<0 时 , sin= = = = , yr
-3t 5|t|
-3t -5t
35
cos= = = =- , xr
4t 5|t|
4t -5t
45
tan= = =- . yx
-3t 4t
34
5. 若点 p(-8, y) 是角 α 终边上一点,且 sin α=3/5 ,则 y 的值是 __________.
6 、已知角 α=3π/2 ,分别求 sinα, cosα,tanα
7 2 0 0.若 si n ,且 cos ,
则 是第 象限的角.
设 α 是一个任意角, α 的任意一点P ( 除端点外 ) 的坐标 (x,y), 它与原点的距离是 r, 那么:
(1) 比值 y/r 叫做 α 的正弦,记作 sinα,即sinα=y/r;
(2) 比值 x/r 叫做 α 的余弦,记作 cosα,即cosα=x/r;
(3) 比值 y/x 叫做 α 的正弦,记作 tanα,即 tan=y/x;
小结:本节课我们学习了三角函数的定义,即
这一过程反应了人们认识数学概念的分划过程 . 即数学概念是在人们的认识不段深化的过程中逐步完善起来的.
ox
yP(x,y)
y
x
r
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