เฉลยข้อสอบ PAT 1 2558 ชุดที่ 5
Post on 08-Dec-2015
55 Views
Preview:
DESCRIPTION
Transcript
เฉลยขอสอบความถนดทางคณตศาสตร - 1 - PAT 1 2558 www.focus-physics.com
1. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ม.ค. 2552] ก าหนดให p,q, r เปนประพจน จงพจารณาขอความตอไปน ก. ประพจน p p q r สมมลกบประพจน p q r ข. ประพจน p q r สมมลกบประพจน q p p r ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด 1. เฉลยขอ 2 แนวคด ขอ ก. ใชความรพนฐาน p p q r p p q r p q r p p q r p q q r p q r p q r ขอ ก ถก ขอ ข วเคราะหคาความจรงบางกรณ พบวา ให p เปนเทจ และ q เปนเทจ จะได p q r มคาความจรงเปนเทจ แต q p p r มคาความจรงเปนจรง ดงนน p q r q p p r ขอ ข ผด พสจนประพจนทก าหนดใหดงน
p q r p q r p q p r p q p r
p q p r
เฉลยขอสอบความถนดทางคณตศาสตร - 2 - PAT 1 2558 www.focus-physics.com
2. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ม.ค. 2552] ก าหนดให A ,1, 1 ขอใดตอไปนผด 1. A 2. A
3. 1, 1 A 4. 1 , 1, 1 A
2. เฉลยขอ 2 แนวคด การตรวจสอบการเปนสมาชก และสบเซต
ตองการ ตรวจสอบ ตดปกกาขางซาย
(ตดปกกาทตวเลอก)
ตดปกกาขางขวา
(ตดปกกาทตวโจทย)
A
A
P(A)
P(A)
ตวเลอกขอ 1. A เซตวางเปนสบเซตของทกๆเซต ตวเลอกขอ 2. ,1, 1 เอาปกกาของเซต A ออกปรากฏวาดานซายมดานขวาเจอ แตโจทยก าหนด ,1, 1
ตวเลอกขอ 3. 1, 1 ,1, 1 เอาปกกาทางดานซายออกและของเซต A ออก ปรากฏวาดานซายมดานขวาเจอ ตวเลอกขอ 4. 1 , 1, 1 ,1, 1 เอาปกกาทางดานซายออกและของเซต A ออก ปรากฏวาดานซายมดานขวาไมเจอ แตโจทยก าหนดไมเปนสบเซตจงถก
เฉลยขอสอบความถนดทางคณตศาสตร - 3 - PAT 1 2558 www.focus-physics.com
3. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT 1 ก.ค. / 2552]
ก าหนดให A เปนเซตค าตอบของอสมการ 2x 1 x 10
2 x
และ B เปนเซตค าตอบของอสมการ 22x 7x 3 0
ถา A B c,d แลว 6c d เทากบขอใดตอไปน 1. 4 2. 5 3. 6 4. 7 3. เฉลยขอ 1
แนวคด หาเซตค าตอบของอสมการ 2x 1 x 10
2 x
น า -1 คณตลอด 2x 1 x 10
x 2
1
2 1
2
จะได
1A , 1,2
2
หาค าตอบของอสมการ 22x 7x 3 0
2x 1 x 3 0
3
1
2
จะได 1
B ,32
นนคอ น าเซต A และ B มาเขยนเสนจ านวน A B 1,2 c,d และ 6c d 6 1 2 4
1
2 1 2
1
23
เฉลยขอสอบความถนดทางคณตศาสตร - 4 - PAT 1 2558 www.focus-physics.com
4. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT 1 ก.ค. / 2552]
ก าหนดให 2 2A x x 1 x 3 15 ถา a เปนสมาชกคานอยสดในเซต A และ b เปนสมาชกคามากสดใน
เซต A แลว 2
b a เทากบขอใดตอไปน 1. 24 2. 16 3. 8 4. 4 4. เฉลยขอ 1
แนวคด หาเซตค าตอบของอสมการ 2 2x 1 x 3 15
2 2x 1 x 3 15
4 2x 4x 3 15
4 2x 4x 12 0 2x 2 2x 6 0 แต
2x 2 0 น ามาหารตลอด
ดงนน จะไดวา 2x 6 0
2
2x 6 0
x 6 x 6 0
6
6 ดงนน A 6, 6
a เปนสมาชกทนอยทสดในเซต A จะได a 6
b เปนสมาชกทมากทสดในเซต A จะได b 6
2 22
b a 6 6 2 6 24
เฉลยขอสอบความถนดทางคณตศาสตร - 5 - PAT 1 2558 www.focus-physics.com
5. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT 1 ก.ค. / 2552]
ก าหนดให S เปนเซตค าตอบของอสมการ 4 2
2
x 13x 360
x 5x 6
ถา a เปนจ านวนทมคานอยทสดในเซต S 2,
และ b เปนจ านวนลบทมคามากทสดซง b S แลว 2 2a b เทากบขอใดตอไปน 1. -9 2. -5 3. 5 4. 9 5. เฉลยขอ 3
แนวคด หาเซต S ซงเปนเซตค าตอบของอสมการ 4 2
2
x 13x 360
x 5x 6
2 24
2
x 4 x 9x 13x2 360
x 5x 6 x 2 x 3
x 2 x 2 x 3 x 30
x 2 x 3
3 3 2 2
2 3
S , 3 3, 2 2,2 3, b เปนจ านวนลบทมคามากทสด ซง b S จะได b 2
3 3 2 2
2 3
s 2, 3,
S 2, 3,
a เปนจ านวนทมคานอยทสดในเซต S 2, จะได a 3 นนคอ 2 2a b 9 4 5
เฉลยขอสอบความถนดทางคณตศาสตร - 6 - PAT 1 2558 www.focus-physics.com
6. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT 1 ก.ค. / 2552]
ถา k
3n
2nA lim
1 8 27 ... n
มคาเปนจ านวนจรงบวก แลวคาของ A เทากบขอใดตอไปน
1. 0 2. 2 3. 4 4. 8 6. เฉลยขอ 4
แนวคด เนองจาก 2
4 3 23
n n 1 n 2n n1 8 27 ... n
2 4
k
3n
2nA lim
1 8 27 ... n
k
3 3 3 3n
2nlim
1 2 3 ... n
k
2n
2nlim
n n 1
2
เอาเฉพาะก าลงสงสดมาคดเศษและสวน
ดงนน k
4n
2nlim
n
4
มคาเปนจ านวนจรงบวก
28
1
4
จะได k 4 และ A 8 7. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ก.ค. 2553]
ให k เปนคาคงท และถา
5 4 n 1
5n
k n n 3n 2 12 2lim 15 6 ...15 ...
5 5n 2
แลว k มคาเทากบเทาใด 7. ตอบ 25
5 4 n 1
5n
k n n 3n 2 12 2lim 15 6 ... 15 ...
5 5n 2
5
5n
kn 15lim
2n1
5
อนกรมเรขาอนนต 1aS
1 r
15
k3
k 25
เฉลยขอสอบความถนดทางคณตศาสตร - 7 - PAT 1 2558 www.focus-physics.com
8. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ต.ค. 2553]
คาของ
1 1 7tan arccot arccot arctan
5 3 9
5 12sin arcsin arcsin
13 13
เทากบเทาใด
8.วธท า
1 1 7tan arccot arccot arctan
5 3 9
5 12sin arcsin arcsin
13 13
7tan arctan5 arctan3 arctan
9
5 5sin arcsin arccos
13 13
5 3 7tan arctan arctan
1 5.3 9
sin2
1 7tan arctan arctan
8 9
1
1 7
8 9tan arctan1 7
18 9
65
72tan arctan tan arctan1 165
72
เฉลยขอสอบความถนดทางคณตศาสตร - 8 - PAT 1 2558 www.focus-physics.com
9. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ม.ค. 2554] ก าหนดใหR แทนเซตของจ านวนจรง ถา f : R R และ f : R R เปนฟงกชนทหาอนพทธไดทก x R โดยท 2g x x 2x 5 6 4 3 2gof x x 2x 2x x 2x 5
และ f 0 0 คาของ ' ' ' 'f og 1 g of 0 เทากบเทาใด
9.ตอบ 1 ขนท 1 2g x x 2x 5 'g x 2x 2 'g 1 2 1 2 0 'g 0 2 0 2 2 ขนท 2 6 4 3 2gof x x 2x 2x x 2x 5 dif x
' ' ' 5 3 2gof x g f x .f x 6x 8x 6x 2x 2
' 5 3 2' 'gof 0 g f 0 .f 0 6 0 8 0 6 0 2 0 2
' 'g f 0 .f 0 2 ' 'g 0 .f 0 2 ก าหนดมาให f 0 0
'2.f 0 2 'g 0 2 'f 0 1 ขนท 3 ' ' ' ' ' ' ' 'f og 1 g of 0 f g 1 g f 0 ' 'g 1 0,f 0 1
' 'f 0 g 1
1 0
1
เฉลยขอสอบความถนดทางคณตศาสตร - 9 - PAT 1 2558 www.focus-physics.com
10. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ม.ค. 2554] ก าหนดใหเสนโคง y f x สมผสกบเสนตรง 2x y 3 0 ทจด 0,3
และ 2
"
0
f x dx 3 ถา g x x 2 f x และ 'g 2 0 แลว f 2 เทากบเทาใด
10.แนวคด ขนท 1 จากโจทยก าหนดใหเสนโคง y f x สมผสกบเสนตรง 2x y 3 0 ทจด 0,3 สามารถ หาความชนจากสมการเสนตรงได m 2 และไดจดนเปน 0,2
ขนท 2 หาคา 2
"
0
f x dx 3
2
'
0f x 3
' 'f 2 f 0 3 'f 2 2 3 'f 2 1 ขนท 3 หาคา g x x 2 f x
' ' 1g x x 2.f x f x 1
2 x 2
' ' 1g 2 2 2.f 2 f 2
2 2 2
1
0 2 1 f 24
1
0 2 f 24
f 2 8
เฉลยขอสอบความถนดทางคณตศาสตร - 10 - PAT 1 2558 www.focus-physics.com
11. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ม.ค. 2554] ก าหนดให
x 3
, x 3f x 2x 10 x 13
a , x 3
โดยท a เปนจ านวนจรง ถา f เปนฟงกชนตอเนองทจด x 3 แลว a เทากบเทาใด
11. ตอบ 8 แนวคดท จาก f เปนฟงกชนตอเนองท x 3 แสดงวา
x 3f 3 limf x
x 3
x 3a lim
2x 10 x 13
x 3
x 3 2x 10 x 13a lim
2x 10 x 13 2x 10 x 13
x 3
x 3a lim
2x 10 x 13
x 3
a 4 4
a 8 แนวคดท 2 ใชโลปตาล
f 3 a ...... 1
x 3
x 3 0lim
02x 10 x 13
x 3
1lim
1 1
2 2x 10 2 x 3
dif บนตางหาก dif ลางตางหาก ไมใช dif ผลหารนะ
x 3
1lim
1 12
2 3 132 2 3 10
x 3 x 3
1lim lim 8 8
1 1
4 8
a 8
เฉลยขอสอบความถนดทางคณตศาสตร - 11 - PAT 1 2558 www.focus-physics.com
12. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ม.ค. 2554] ก าหนดให I แทนเซตของจ านวนเตม ถา f : I I เปนฟงกชนทมสมบตดงน
1 f 1 1
2 f 2x 4f x 6
3 f x 2 f x 12x 12 แลวคาของ f 7 f 16 เทากบเทาใด
12. ตอบ 911 ก าหนดให I แทนเซตของจ านวนเตม ถา f : I I เปนฟงกชนทมสมบตดงน
1 f 1 1 สงเกต f 1 1
2 f 2x 4f x 6 สงเกต เราแทน x 1 ลงไปจะได f 2 1 4f 1 6 f 2 4 1 6 เพราะ f 1 1
f 2 10 3 f x 2 f x 12x 12 สงเกต เราแทน x 1 ลงไปจะได
f 1 2 f 1 12 1 12 f 3 1 12 1 12 เพราะ f 1 1
f 3 25 จะเหนวาเรามสามเงอนไข f 1 1 ,f 2 10 และ f 3 25 จงก าหนดให 2f x ax bx c ขนท 1 เงอนไขแรก f 1 1
2
f 1 a 1 b 1 c a b c 1 ....... 1 ขนท 2 เงอนไขสอง f 2 10
2
f 2 a 2 b 2 c 4a 2b c 10 ........ 2 ขนท 3 เงอนไขสาม f 3 25
2
f 3 a 3 b 3 c 9a 3b c 25 ........ 3 แกสมการ ทงสามสมการจะได a 3,b 0,c 2
เฉลยขอสอบความถนดทางคณตศาสตร - 12 - PAT 1 2558 www.focus-physics.com
จากฟงกชนทก าหนดให 2f x ax bx c จะได 2f x 3x 2 คาของ f 7 f 16 เทากบเทาใด
2
f 7 3 7 2 145
2
f 16 3 16 2 766
f 7 f 16 145 766 911 13. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ม.ค. 2555]
ถา A แทนเซตของจ านวนเตมทงหมด ทสอดคลองกบอสมการ 3 x 1 2x 2 3x 1
และ B แทนเซตค าตอบของอสมการ 2
x x 2 x 1 0 แลวขอใดตอไปนถกตอง 1. เซต A B มสมาชก 5 ตว 2. A B A
3. เซต A B มสมาชก 1 ตว 4. A B B A B
13. เฉลยขอ 1
หา A 3 x 1 2x 2 3x 1
1
3
1
1x 1
3 1
x3
x 1
3 x 1 2x 2 3x 1
1
21
x x 53
1 1x 1 x
3 11
3
x 1 x 1
3x 3 2x 6x 2
x 5
3 x 1 2x 2 3x 1
3x 3 2x 6x 2
1 11x1
x11
3 x 1 2x 2 3x 1
3x 3 2x 6x 2
5 5x
x 1
5 1
3
1
3 11
11
1 1
15,
3
1 1,
3 11
15,
3
1 1,
3 11
15,
11
เฉลยขอสอบความถนดทางคณตศาสตร - 13 - PAT 1 2558 www.focus-physics.com
เนองจาก A เปนเซตของจ านวนเตม
จะได A 4, 3, 2, 1, 0
หา B 2
x x 2 x 1 0
2 1 1 0
2, 1 1, 0
พจารณาขอ 1. A B 4, 3, 2, 1, 0
ดงนนจะได A B { 4, 3, 2, 1,0} มสมาชก 5 ตว
ดงนน ขอ ก. ถกตอง
14. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ม.ค. 2556] ถา x เปนจ านวนจรงทมากสด โดยท 0 x 1 และสอดคลองกบ
1arctan 1 x arccot 2arcsec 1 2x 1 x
2x
แลว คาของ cos x ตรงกบขอใดตอไปน
1. -1 2. 0 3. 12 4. 3
2
14. เฉลยขอ 3
1
arctan 1 x arccot 2arcsec 1 2x 1 x2x
ใส tan ตลอดได
tan arctan 1 x arctan 2x tan 2arcsec 1 2x 1 x
C
1
21 2x x 22x x
tan A B tan 2C
2
tanA tan B 2 tanC
1 tanA tan B 1 tan C
2
22
1 x 2x 2 2x 2x
1 1 x 2x1 2x 2x
21 x 2 2x 2x 2 21 2x x 8x 8x
29x 6x 1 0
2
3x 1 0
เฉลยขอสอบความถนดทางคณตศาสตร - 14 - PAT 1 2558 www.focus-physics.com
1
x3
โจทยถามคาของ 1cos x cos
3 2
15. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ม.ค. 2556] ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยมใด ๆ ถาดานตรงขามมม A ยาว 14 หนวย ความยาวของเสนรอบรป สามเหลยมเทากบ 30 หนวยและ 3sin B 5sin C แลว sin 2A เทากบขอใดตอไปน
1. 1
2 2. 3
2 3. 1
2 4. 3
2
15. เฉลยขอ 2
a 14
a b c 30
จากทโจทยใหจะได 3sin B 5sin C
sin B 5 5k
sin C 3 3k
14 5k 3k 30
k 2
a 14
b 10
c 6
กฎของ cos ได
2 2 2a b c 2bccosA 2 2 214 10 6 2 10 6 cosA
1
cos A2
A 120
มมในสามเหลยม ม 0 A 180
ได 3
A 120 sin 2A sin 2 120 sin 2402
เฉลยขอสอบความถนดทางคณตศาสตร - 15 - PAT 1 2558 www.focus-physics.com
16. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ม.ค. 2556]
ก าหนดให x เปนจ านวนจรง โดยท 4sin x cos x
3
ถา 2 a1 tan x cot x
b เมอ a และ b เปนจ านวนเตม โดยท ห.ร.ม. ของ a และ b เทากบ1
แลว 2 2a b เทากบเทาใด 16. ตอบ 373
4sin x cos x
3
2 2 16
sin x 2sin x cos x cos x9
16
1 2sin x cos x9
16
2sin x cos x 19
7
2sin x cos x9
7
sin x cos x18
ถา
2 a1 tan x cot x
b
2 asec x cot x
b
2
1 cos x a
cos x sin x b
1 a
sin x cos x b
1 a
7 18 b
18 a
7 b
แลว 2 22 2a b 18 7 373 เทากบเทาใด
เฉลยขอสอบความถนดทางคณตศาสตร - 16 - PAT 1 2558 www.focus-physics.com
17. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ม.ค. 2556]
ให R แทนเซตของจ านวนจรง ถา 33 3A x R log x 1 log x 1 1 และ
B x R x 1 x 1 2
แลวสามเทาของผลคณของสมาชกในเซต A B ทงหมดเทากบเทาใด 17. ตอบ 5 33 3
log x 1 log x 1 1
1 1
2 33 3
log x 1 log x 1 1
2 3
3 3log x 1 log x 1 1
2
3 3
x 1log 1
x 1
2
1
3
x 13
x 1
13
x 1
1 3x 3
4x
3
x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 4 4 x 1 x 1 2 4 x 1
2 1x 1
4 2
1x 1
4
1x 1
4
5x
4
สามเทาของผลคณของสมาชกในเซต A B ทงหมด 4 53 5
3 4
เฉลยขอสอบความถนดทางคณตศาสตร - 17 - PAT 1 2558 www.focus-physics.com
18. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ม.ค. 2556]
ก าหนดให A แทนเซตค าตอบของสมการ 2
22
5 4x x1 x 4x 1
2 x 4x 15 5 126
ผลบวกของสมาชกในเซต A ทงหมดเทากบเทาใด 30. ตอบ 4
2
22
5 4x x1 x 4x 1
2 x 4x 15 5 126
ให 2x 4x 1 a
24 a
2 a1 a5 5 126
1 a 2 a5 5 126
a 2 a5 5 5 5 126
a a 2 a a a5 5 5 5 5 5 126 5
2a 2 a5 5 5 126 5
2a a5 5 126 5 25 0
a a5 5 1 5 25 0
a 15 , 25
5
a 1 25 5 ,5 a 1,2 แต a เปนรท 0
ได 2x 4x 1 2
2x 4x 1 4
2x 4x 5 0
x 1 x 5 0 x 1,5 ตอบ 4
เฉลยขอสอบความถนดทางคณตศาสตร - 18 - PAT 1 2558 www.focus-physics.com
19. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ม.ค. 2556]
ก าหนดให 2
2x 8, x 4
2x 4x 3x 12f xkx
, x 43
โดยท k เปนจ านวนจรง ถา f เปนฟงกชนตอเนองทจด
x 4 แลว f k 1 เทากบเทาใด 19. ตอบ24
ก าหนดให 2
2x 8, x 4
2x 4x 3x 12f xkx
, x 43
โดยท k เปนจ านวนจรง ถา f เปนฟงกชนตอเนองทจด x 4 แลว f k 1 เทากบ
2
2 2x 4
2x 8 2x 4x 3x 12lim
2x 4x 3x 12 2x 4x 3x 12
2
2x 4 2 2
2x 8 2x 4x 3x 12lim
2x 4x 3x 12
2
x 4
2 x 4 2x 4x 3x 12lim
3 x 4
2
x 4
2 2 4 4 4 3 4 1232
lim3 3
x 4 x 4lim f x lim f x
k 432
3 3
ดงนน k 8 แลว f k 1 เทากบ 8 9
f 8 1 f 9 243
เฉลยขอสอบความถนดทางคณตศาสตร - 19 - PAT 1 2558 www.focus-physics.com
20. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ม.ค. 2556] ให f เปนฟงกชนซงมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจ านวนจรง โดยทอตราการเปลยนแปลงของ f x เทยบกบ x
เทากบ 3ax bx เมอ a และ b เปนจ านวนจรง และให 3g x x 2x f x ถา f 1 18,f 0 6
และ f 2 f 1 f 0 แลวคาของ g 1 เทากบเทาใด 20. ตอบ 354 วธท า
3f x ax bx, 2f x 3ax b f 0 6
จาก f 1 18 จาก 2
f 0 3a 0 b 6 จะได b 6
จะได 3
f 1 a 1 6 1 18
a 6 18 a 12 4 2f x 3x 3x c
4 2
f 2 3 2 3 2 c 44 12 c
4 2
f 1 3 1 3 1 c 3 3 c
4 2
f 0 3 0 3 0 c c จาก f 2 f 1 f 0 จะได 48 12 c 3 3 c c
c 54 4 2f x 3x 3x 54
โจทยก าหนดให 3g x x 2x f x
3 4 2g x x 2x 3x 3x 54
3 3 2 4 2g x x 2x 12x 6x 3x 2 3x 3x 54
โจทยถามคาของ g 1 1 2 12 6 3 2 3 3 54 354
เฉลยขอสอบความถนดทางคณตศาสตร - 20 - PAT 1 2558 www.focus-physics.com
21. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ม.ค. 2556] ก าหนดให f x เปนพหนามก าลงสาม ซงมสมประสทธเปนจ านวนจรง โดยม x 1 เปนตวประกอบ ของ f x 5 2i เปนค าตอบของสมการ f x 0 และ f 0 58
คาของ 2
0
f x f x dx เทากบเทาใด
วธท า ม 5 2i จะได 5 2i เปนค าตอบดวย f x a x 1 x 5 2i x 5 2i
2a x 1 x 10x 29
จาก f 0 58 จะได a 0 1 0 0 29 58
k 2 ดงนน 2 3 2f x 2 x 1 x 10x 29 2x 18x 38x 58
จะได 3 2f x 2x 18x 38x 58 ดงนน 3f x f x 4x 76x
อนทเกรตได 2 2
23 4 2
0
0 0
f x f x dx 4x 76x dx x 38x
ตอบ 4 22 38 2 0 0 168
top related