高中数学 选 修 2 -1
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高中数学 高中数学 选选修修 22 -1-1高中数学 高中数学 选选修修 22 -1-1
复习回顾 椭圆的定义?焦点?焦距?
平面内到两个定点 F1, F2 的距离的和等于常数 ( 大于 F1F2 ) 的点的轨迹——椭圆.两个定点 F1, F2—— 椭圆的焦点.两焦点间的距离——椭圆的焦距.
汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状像椭圆.
椭圆?
椭圆?
将一个圆进行均匀压缩变形后,所得的图形也像椭圆.
问题问题 11 它们是不是数学概念上的椭圆?怎样来检验所得的曲线是不是椭圆?
问题问题 22 某动物爱好者为了了解野生动物的习性,在野生动物经常出现的路段F1F2
用摄像机进行秘密监控,又由于受地形限制,摄像头只能安装在椭圆形轨道上,其中 F1、F2 为椭圆的焦点,如何给摄像机选择一个最佳视角,可以更清楚地观察这些野生动物的习性?
问题 3 如何建立椭圆的方程?
y
xO
),( yxP
r
设圆上任意一点 P(x, y)
以圆心 O 为原点,建立直角坐标系
rOP
ryx 22
两边平方,得 222 ryx
1.建系 2.设坐标 3.列等式 4.代坐标
坐标法 坐标法 5.化简方程
椭圆方程的建立:
步骤一:建立直角坐标系步骤二:设动点坐标
步骤四:代入坐标步骤五:化简方程
步骤三:列等式
设椭圆的两个焦点分别为 F1, F2 ,它们之间的距离为 2c ,椭圆上任意一点 P到 F1, F2 的距离的和为 2a(2a>2c) .
P
F1 F2
以 F1, F2 所在直线为 x 轴,线段F1F2 的垂直平分线为y 轴,建立直角坐标系xOy ,则 F1, F2 的坐标分别为 (-c, 0), (c, 0) .
步骤一:建立直角坐标系
x
y
O
P
F1 F2
设椭圆上任意一点 P 的坐标为 (x, y) ,
步骤三:列等式根据椭圆定义知: PF1+ PF2= 2a ,
步骤四:代入坐标aycxycx 2)()( 2222 即: .
步骤二:设动点坐标
步骤五:化简方程
两边再平方得: a4- 2a2cx+ c2x2= a2x2- 2a2cx+ a2c2+a2y2 ,整理得: (a2- c2)x2+ a2y2= a2(a2-c2) .
2222 )(2)( ycxaycx 移项得: ,
2222222 )()(44)( ycxycxaaycx 两边平方得: ,
222 )( ycxacxa 整理得: .
步骤五:化简方程因为 a2(a2- c2) ≠0 ,所以两边同除以 a2(a2- c2) 得: ,1
22
2
2
2
ca
y
a
x
又因为 a2- c2> 0 ,所以可设 a2- c2 =b2(b> 0) ,于是得:
.)0(12
2
2
2
bab
y
a
x
1F
2F P
X
y
O
acyxcyx 22222 )()(
aPFPF 221 ),0(,),0( 21 cFcF
),( yx
122 ba
2x 2y
)0(12
2
2
2
bab
x
a
y
o
y
x
1F
2F
),( yxP
o
y
x
2F
1F
),( yxP
12
2
2
2
b
y
a
x12
2
2
2
b
x
a
y
如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上?
(a>b>0)
(a>b>0)
椭圆的焦点位置可由方程中 x2
与 y2 的分母的大小来确定,焦点在分母 大的项所对应的坐标轴上.
跟踪训练
课本 P32练习 1
例 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
)3,0()0,2(.4
)2,0(),0,3(),0,3(.3
26
),5,0(),5,0(.2
,3,4.1
21
QP
FF
P
xba
和经过点
且经过点焦点为
到两个焦点的距离和为椭圆上的一点焦点坐标分别为
轴上焦点在
xO
y
例 2 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆,它的焦距为 2.4 m ,外轮廓线上的点到两个焦点的距离和为 3 m ,求这个椭圆的标准方程 .
F1 F2
P
解:以两个焦点 F1 , F2 所在的直线为 x 轴,以线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系,则这个椭圆的标准方程为
).0(12
2
2
2
bab
y
a
x
例 3 将 x2+y2=4 圆上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,求所得的曲线的方程,并说明它是什么曲线?
)0(12
2
2
2
bab
y
a
x)0(1
2
2
2
2
bab
x
a
y
1 .方程建立的过程:建立直角坐标系 设坐标
列等式 代坐标 化简方程
回 顾
2 .根据已知条件求椭圆的标准方程:
(1) 确定焦点所在的位置,选择标准方程的形式;(2) 求解 a, b 的值,写出椭圆的标准方程.
定 义
图
形
方 程
焦 点 F(±c , 0) F(0 , ±c)
a,b,c
的关系2 2 2b a c ,
{P|PF1+PF2=2a,2a>F1F2}
1 2
y
oF F
P
x
y
xo
2
F
PF
1
3 .两种标准方程的比较.
a b c a, , 中 最大
2 2
2 21 0
y xa b
a b
2 2
2 21 0
x ya b
a b
1 .推导焦点在 y轴上的椭圆的标准方程;2 .课本 P32 练习第 2, 4 题. P32-33 习题第 1, 4 题.
课 后作 业
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