WS 2014/15 Diskrete Strukturen - in.tum.de · Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper) •Polynomkörper: •Die Elemente des Körpers sind nicht mehr Zahlen, sondern

WS 2014/15

Diskrete StrukturenKapitel 5: Algebraische Strukturen

(Endliche Körper)

Hans-Joachim Bungartz

Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen

Fakultät für Informatik

Technische Universität München

http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/Diskrete_Strukturen_-_Winter_14

Vorlesung Diskrete Strukturen WS 13/14Prof. Dr. J. Esparza – Institut für Informatik, TU München 2Diskrete Strukturen – WS 2014/2015

H.-J. Bungartz (Folien nach J. Esparza)

Kapitel 5: Algebraische Strukturen (Endliche Körper)

• Algebraische Strukturen

– Grundlagen

– Gruppen

– Endliche Körper




• Ringe und Körper:

Definition: Eine Algebra 𝑆,⊕,⊙ mit

zweistelligen Operatoren ⊕ und ⊙ heißt Ring,

falls gilt:

(1) 𝑆,⊕ ist eine abelsche Gruppe.

(2) 𝑆,⊙ ist ein Monoid.

(3) Die Distributivgesetze gelten:

• 𝑎 ⊙ 𝑏⊕ 𝑐 = 𝑎⊙ 𝑏 ⊕ 𝑎⊙ 𝑐 ,

• 𝑏 ⊕ 𝑐 ⊙ 𝑎 = 𝑏⊙ 𝑎 ⊕ 𝑐 ⊙ 𝑎 .





Definition: Eine Algebra 𝑆,⊕,⊙ mit zweistelligen

Operatoren ⊕ und ⊙ heißt Körper, falls

(1) 𝑆,⊕ ist eine abelsche Gruppe mit neutralem

Element 0.

(2) 𝑆 ∖ 0 ,⊙ ist eine abelsche Gruppe.

(3) Das Linksdistributivgesetz gilt:

𝑎 ⊙ 𝑏⊕ 𝑐 = 𝑎 ⊙ 𝑏 ⊕ 𝑎⊙ 𝑐

(das Rechtsdistributivgesetz folgt aus den übrigen

Eigenschaften.)





Beispiele:

• ⟨ℤ,+,∗⟩ ist Ring.

• ⟨ℤ𝑛, +𝑛,∗𝑛⟩ ist Ring für alle 𝑛 ≥ 1.

• ⟨ℚ,+,∗⟩ und ⟨ℝ,+,∗⟩ sind Körper.

• ⟨ℤ3, +3,∗3⟩ ist Körper.





Beispiel: Ein Körper mit vier Elementen.

⊕ 0 1 𝑎 𝑏

0 0 1 𝑎 𝑏

1 1 0 𝑏 𝑎

𝑎 𝑎 𝑏 0 1

𝑏 𝑏 𝑎 1 0

⊗ 0 1 𝑎 𝑏

0 0 0 0 0

1 0 1 𝑎 𝑏

𝑎 0 𝑎 𝑏 1

𝑏 0 𝑏 1 𝑎




• Zahlenkörper:

Satz: Für alle 𝑛 ≥ 2:

⟨ℤ𝑛, +𝑛,∗𝑛⟩ ist ein Körper gdw. 𝑛 ist eine Primzahl.

Beweis: Für alle 𝑛 ≥ 2 erfüllt ⟨ℤ𝑛, +𝑛,∗𝑛⟩ alle

Eigenschaften eines Körpers bis auf die

Existenz von multiplikativen Inversen in

⟨ℤ𝑛 ∖ {0},∗𝑛⟩.

Diese existieren g.d.w. 𝑛 eine Primzahl ist.




• Polynomkörper:

• Die Elemente des Körpers sind nicht

mehr Zahlen, sondern Polynome.

• Wir erweitern die Begriffe Summe,

Produkt, Division, Rest, Modulo und

Primzahl auf Polynome.

• Wir führen dann einen zweiten Satz über

die Existenz endlicher Körper ein.




• Polynome:

Definition: Sei ⟨𝐾, +,⋅⟩ ein (kommutativer) Ring.

Ein Polynom über 𝐾 in der Variablen 𝑥 ist ein

Ausdruck der Gestalt

𝑎𝑛 ⋅ 𝑥𝑛 +𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑥

𝑛−1 +⋯+ 𝑎1 ⋅ 𝑥 + 𝑎0,

wobei 𝑛 ∈ ℕ0, 𝑎𝑖 ∈ 𝐾 und 𝑎𝑛 ≠ 0.

Der Grad des Polynoms ist 𝑛 und seine

Koeffizienten sind 𝑎0, … , 𝑎𝑛.

𝐾[𝑥] bezeichnet die Menge der Polynome über

dem Ring 𝐾 in der Variablen 𝑥.




• Polynome:

Definition: Ein Polynom

𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥𝑛 +𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑥

𝑛−1 +⋯+ 𝑎1 ⋅ 𝑥 + 𝑎0induziert eine Funktion 𝑓𝑝: 𝐾 → 𝐾 definiert durch

𝑓𝑝(𝑏) = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑏𝑛 +𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑏

𝑛−1 +⋯+ 𝑎1 ⋅ 𝑏 + 𝑎0

für alle 𝑏 ∈ 𝐾.

Zwei Polynome sind gleich, wenn sie den gleichen

Grad und die gleichen Koeffizienten haben.

(Zu beachten: Verschiedene Polynome können

dieselbe Funktion induzieren.)




• Polynome:

• In praktischen Anwendungen gilt 𝐾 = ℤ oder K =ℤ𝑛.

• 𝑝(𝑥) = 0 hat Grad −∞.

• Formal kann das Polynom

𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥𝑛 +𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑥

𝑛−1 +⋯+ 𝑎1 ⋅ 𝑥 + 𝑎0auch mit der Folge (𝑎0, … , 𝑎𝑛) gleichgesetzt

werden.




• Operationen auf Polynomen:

• Seien zwei Polynome gegeben:𝑎 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥

𝑛 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0,𝑏 𝑥 = 𝑏𝑛𝑥

𝑛 +⋯+ 𝑏1𝑥 + 𝑏0.

• Die Summe (𝑎 + 𝑏)(𝑥) ist das Polynom

𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 𝑥𝑛 +⋯+ 𝑎1 + 𝑏1 𝑥 + 𝑎0 + 𝑏0 .

• Die Differenz (𝑎 − 𝑏)(𝑥) ist das Polynom

𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 𝑥𝑛 +⋯+ 𝑎1 − 𝑏1 𝑥 + 𝑎0 − 𝑏0 ,

wobei −𝑏𝑖 das inverse Element von 𝑏𝑖 bezüglich

der Summe (im Ring 𝐾) darstellt.





Beispiele mit ℤ als Ring:

Für 𝑎(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 5 und 𝑏 𝑥 = 4𝑥 + 2 ergibt sich

𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 + 7,

𝑎(𝑥) − 𝑏(𝑥) = 𝑥2 − 7𝑥 + 3.

Für 𝑎(𝑥) = 𝑥3 + 1 und 𝑏(𝑥) = − 𝑥3 + 5 ergibt sich

𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 = 6,

𝑎(𝑥) − 𝑏(𝑥) = 2𝑥3 − 4.





Beispiele mit ℤ6 als Ring:

Für 𝑎(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 5 und 𝑏 𝑥 = 4𝑥 + 2 ergibt sich

𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 + 1,

𝑎 𝑥 − 𝑏 𝑥 = 𝑥2 + 5𝑥 + 3.

Für 𝑎(𝑥) = 𝑥3 + 1 und 𝑏(𝑥) = − 𝑥3 + 5 ergibt sich

𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 = 0,

𝑎 𝑥 − 𝑏 𝑥 = 2𝑥3 + 2.




• Operationen auf Polynomen:Das Produkt zweier Polynome

𝑎 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0,

𝑏 𝑥 = 𝑏𝑚𝑥𝑚 +⋯+ 𝑏1𝑥 + 𝑏0

erhält man durch Ausmultiplizieren und anschließendes Sortieren und Zusammenfassen der Koeffizienten, also

𝑎 ⋅ 𝑏 𝑥 = 𝑎0𝑏0 + 𝑎1𝑏0 + 𝑎0𝑏1 𝑥 +⋯

=

𝑖=0

𝑚+𝑛

𝑗=0

𝑖

𝑎𝑗𝑏𝑖−𝑗𝑥𝑖 .





Beispiel mit ℤ6 als Ring:

Für 𝑎 𝑥 = 𝑥2+ 3𝑥 + 5 und 𝑏 𝑥 = 4𝑥 + 2ergibt sich

𝑎 ⋅ 𝑏 𝑥 = 1 ⋅ 4 𝑥3 + 1 ⋅ 2 + 3 ⋅ 4 𝑥2 +

3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 4 𝑥 + 5 ⋅ 2= 4𝑥3 + 2𝑥2 + 2𝑥 + 4.




• Polynomgrad bei diesen Operationen:

–Beispiel auf dem Ring 𝐾 = ℤ4:𝑎 𝑥 = 2𝑥 + 1, 𝑏 𝑥 = 2𝑥 + 2.𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 = 3, 𝑎 𝑥 ⋅ 𝑏 𝑥 = 2𝑥 + 2.

–Summe von Polynomen:grad 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥≤ max grad 𝑎 𝑥 , grad 𝑏 𝑥 .

–Produkt von Polynomen:grad 𝑎 𝑥 ⋅ 𝑏 𝑥 ≤ grad 𝑎 𝑥 + grad 𝑏 𝑥 .Für Polynome auf Körpern gilt hier „=“.





Die Polynomdivision ist analog zur Division mit Rest bei ganzen Zahlen.

– Auch hier wird fortgesetzt jeweils der höchste Anteil des verbleibenden Polynoms eliminiert.

Für gegebene Polynome 𝑎, 𝑏 (𝑏 ≠ 0) mit Koeffizienten aus einem Ring wird hierbei die Gleichung

𝑎 𝑥 = 𝑞 𝑥 ⋅ 𝑏(𝑥) + 𝑟(𝑥)

gelöst, wobei grad(𝑟) < grad(𝑏).





Beispiel:

4 3 2 2

4 3 2

3 2

3 2

2

2

2 3 div 1 2 3

(2 2 2 )

2 3

( )

3 3

(3 3 3)

x x x x x x x

x x x

x x x

x x x

x

x x

+ + + + - = - +

- + -

- + + +

- - - +

+

- + -

3 6x- +





Satz: Zu je zwei Polynomen 𝑎(𝑥) und 𝑏(𝑥)(mit invertierbarem Leitkoeffizienten 𝑏𝑚) gibt

es eindeutig bestimmte Polynome 𝑞(𝑥) und

𝑟(𝑥), sodass 𝑎 𝑥 = 𝑞 𝑥 ⋅ 𝑏 𝑥 + 𝑟(𝑥)

und 𝑟 = 0 oder grad 𝑟 < grad(𝑏).

Beispiel:

Im vorhergehenden Schema war das

2𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥 + 3= 2 − 𝑥 + 3 𝑥2 + 𝑥 − 1 + −3𝑥 + 6 .





Beweis: Gilt grad(𝑎) < grad(𝑏), setze 𝑞 = 0und 𝑟 = 𝑎. Sei also grad 𝑎 ≥ grad(𝑏).

Induktion über grad(𝑎):

Basis: grad(𝑎) = 0. Aus grad 𝑎 ≥ grad 𝑏folgt 𝑎(𝑥) = 𝑎0 und 𝑏 𝑥 = 𝑏0 mit

invertierbarem 𝑏0 (insbesondere 𝑏0 ≠ 0).

Wir können daher 𝑞(𝑥) = 𝑎0/𝑏0 und 𝑟(𝑥) = 0setzen.





Beweis (Fort.):

Schritt: grad(𝑎) = 𝑛 > 0. Sei grad(𝑏) = 𝑚, 𝑚 ≤ 𝑛, und

𝑎 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0, 𝑎𝑛 ≠ 0;

𝑏 𝑥 = 𝑏𝑚𝑥𝑚 +⋯+ 𝑏1𝑥 + 𝑏0, 𝑏𝑚 invertierbar.

Wir setzen

𝑐 𝑥 = 𝑎 𝑥 −𝑎𝑛

𝑏𝑚𝑥𝑛−𝑚 ⋅ 𝑏(𝑥).

Dann gilt grad(𝑐) < grad(𝑎).





Beweis (Fort.):

Nach Induktionsannahme gibt es 𝑞′(𝑥) und 𝑟′(𝑥)mit 𝑐 𝑥 = 𝑞′ 𝑥 ⋅ 𝑏(𝑥) + 𝑟′(𝑥) und 𝑟′(𝑥) = 0 oder

grad 𝑟′ < grad(𝑏).

Es gilt

𝑎 𝑥 = ( 𝑎𝑛 𝑏𝑚)𝑥𝑛−𝑚 ⋅ 𝑏 𝑥 + 𝑞′ 𝑥 ⋅ 𝑏(𝑥) + 𝑟′(𝑥)

= 𝑎𝑛 𝑏𝑚 𝑥𝑛−𝑚 + 𝑞′ 𝑥 ⋅ 𝑏(𝑥) + 𝑟′(𝑥)

=: 𝑞 𝑥 ⋅ 𝑏(𝑥) + 𝑟(𝑥) .





Beweis (Fort.): Zur Eindeutigkeit:

Seien 𝑞, 𝑟, 𝑞′, 𝑟′ mit 𝑞 ⋅ 𝑏 + 𝑟 = 𝑎 = 𝑞′ ⋅ 𝑏 + 𝑟′.

Es folgt 𝑞 − 𝑞′ ⋅ 𝑏 = 𝑟 − 𝑟´ .

Wenn 𝑞 ≠ 𝑞′, dann gilt:

• grad 𝑞 − 𝑞′ ⋅ 𝑏 ≥ grad 𝑏 ;

• grad 𝑟 − 𝑟′ ≤ max grad 𝑟 , grad 𝑟′ <grad(𝑏).

Widerspruch! Also gilt 𝑞 = 𝑞′ und daher 𝑟 = 𝑟′. □




• Teilbarkeit und Modulorechnung auf

Polynomen:Definition:

–𝑎(𝑥) teilt 𝑏(𝑥), wenn es ein Polynom

𝑞 𝑥 ∈ 𝐾[𝑥] gibt, sodass

𝑏 𝑥 = 𝑞 𝑥 ⋅ 𝑎 𝑥 .

–𝑎(𝑥) ist kongruent zu 𝑏(𝑥) modulo 𝜋(𝑥), bezeichnet durch 𝑎 𝑥 ≡ 𝑏 𝑥 mod 𝜋(𝑥),wenn 𝑎(𝑥) − 𝑏(𝑥) durch 𝜋(𝑥) teilbar ist.




• Teilbarkeit und Modulorechnung auf

Polynomen:

Beispiel: Sei 𝐾 = ℤ3 und 𝜋(𝑥) = 𝑥2+ 1.

Die möglichen Reste der Division durch 𝜋(𝑥)sind die Polynome mit Koeffizienten in ℤ3vom Grad 0 oder 1. Es gibt genau 9 davon:

0, 1, 2, 𝑥, 𝑥 + 1, 𝑥 + 2, 2𝑥, 2𝑥 + 1, 2𝑥 + 2 .

Es gilt z.B. 𝑥3+ 1 ≡ (2𝑥 + 1) mod 𝜋(𝑥).




• Teilbarkeit und Modulorechnung auf Polynomen:Die Kongruenzrelation ≡ teilt 𝐾[𝑥] in Äquivalenzklassen:

𝐾 𝑥 𝜋 𝑥 ∶= {𝑓 𝑥 ∈ 𝐾 𝑥 ∣ grad(𝑓) < grad(𝜋)}.

Wenn 𝐾 endlich ist, dann ist 𝐾 𝑥 𝜋 𝑥 auch endlich. Es gilt dann:

𝑓 𝑥 +𝜋(𝑥) 𝑔 𝑥 := 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 mod 𝜋 𝑥 ,

𝑓 𝑥 ⋅𝜋(𝑥) 𝑔 𝑥 := 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 mod 𝜋 𝑥 .




• Polynomkörper:

Es gilt: ⟨ℤ𝑛, +𝑛,∗𝑛⟩ ist Körper ⇔ 𝑛 ist Primzahl.

Wann ist ⟨𝐾 𝑥 𝜋 𝑥 , +𝜋 𝑥 ,∗𝜋 𝑥 ⟩ ein Körper?

Satz (ohne Beweis): Ist 𝐾 ein endlicher Körper

und (𝑥) ein Polynom in 𝐾[𝑥]. Dann gilt:

⟨𝐾 𝑥 𝜋 𝑥 , +𝜋 𝑥 ,∗𝜋 𝑥 ⟩ ist Körper

⇔

𝜋(𝑥) ist irreduzibel.




• Polynomkörper:Definition: Ein Polynom 𝜋 𝑥 ∈ 𝐾[𝑥] mit

𝜋 𝑥 ≠ 0 heißt irreduzibel, falls für alle 𝑓(𝑥), 𝑔 𝑥 ∈ 𝐾[𝑥] gilt: Wenn 𝜋 𝑥 = 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔(𝑥), dann grad 𝑓 = 0 oder grad 𝑔 = 0.




• Polynomkörper:Beispiel 1: Sei 𝐾 = ℤ2 und 𝜋(𝑥) = 𝑥2+ 𝑥 + 1.

ℤ2 𝑥 𝜋 𝑥 besteht aus allen Polynomen in ℤ2[𝑥]mit Grad 0 oder 1: ℤ2 𝑥 𝜋 𝑥 = {0, 1, 𝑥, 𝑥 + 1}.

Die Verknüpfungstabellen sehen wie folgt aus:

+𝜋 𝑥 0 1 𝑥 𝑥 + 1

0 0 1 𝑥 𝑥 + 1

1 1 0 𝑥 + 1 𝑥

𝑥 𝑥 𝑥 + 1 0 1

𝑥 + 1 𝑥 + 1 𝑥 1 0

∗𝜋 𝑛 0 1 𝑥 𝑥 + 1

0 0 0 0 0

1 0 1 𝑥 𝑥 + 1

𝑥 0 𝑥 𝑥 + 1 1

𝑥 + 1 0 𝑥 + 1 1 𝑥




• Polynomkörper:Beispiel 2: Sei 𝐾 = ℤ2 und 𝜋(𝑥) = 𝑥2 + 1.

ℤ2 𝑥 𝜋 𝑥 besteht aus allen Polynomen in ℤ2[𝑥]mit Grad 0 oder 1: ℤ2 𝑥 𝜋 𝑥 = {0, 1, 𝑥, 𝑥 + 1}.Die Verknüpfungstabellen sehen wie folgt aus:

+𝜋 𝑥 0 1 𝑥 𝑥 + 1

0 0 1 𝑥 𝑥 + 1

1 1 0 𝑥 + 1 𝑥

𝑥 𝑥 𝑥 + 1 0 1

𝑥 + 1 𝑥 + 1 𝑥 1 0

∗𝜋 𝑛 0 1 𝑥 𝑥 + 1

0 0 0 0 0

1 0 1 𝑥 𝑥 + 1

𝑥 0 𝑥 1 𝑥 + 1

𝑥 + 1 0 𝑥 + 1 𝑥 + 1 0




• Polynomkörper:Der Grund, warum ℤ2 𝑥 𝜋(𝑥) für 𝜋 𝑥 = 𝑥2 + 1

die Körpereigenschaften nicht erfüllt, ist der

folgende:

𝜋(𝑥) ist reduzibel über 𝐾 = ℤ2, d.h. 𝜋(𝑥) lässt

sich als Produkt zweier Polynome vom Grad

größer gleich 1 über ℤ2 schreiben:

𝜋 𝑥 = 𝑥2 + 1 = 𝑥 + 1 ⋅ 𝑥 + 1 .Dies ist für 𝑥2 + 𝑥 + 1 jedoch nicht der Fall.




• Polynomkörper:

Satz: Sei 𝐾 ein Körper mit 𝑛 Elementen, und sei 𝑔 𝑥 ∈ 𝐾 𝑥 , 𝑑 = grad 𝑔 ≥ 1.

Dann besitzt 𝐾[𝑥]𝑔 genau 𝑛𝑑 Elemente.

Satz: Zu jeder Primzahl 𝑝 und zu jeder natürlichen Zahl 𝑘 ≥ 1 gibt es einen endlichen Körper mit 𝑝𝑘 Elementen; dieser wird mit 𝐺𝐹(𝑝𝑘) bezeichnet. Notation: GF = Galois Field, nach Evariste Galois (1811–1832).




Praktische Anwendungen in der Informatik:

• Arithmetische Operationen im Rechner

basieren auf diskreten und endlichen

Zahlsystemen.

• Algebraische Kurven und algebraische

Geometrie

• Kryptographie und Codierungstheorie

• Computeralgebra-Systeme

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