UvodNizovi
Funkcije
Uvod u matematicku analizu
Marko -Dikic
Univerzitet u NišuPrirodno Matematicki Fakultet
februar 2010
Istraživacka stanica Petnica
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Definicija niza
Intuitivno, niz brojeva predstavlja konacnu ili beskonacnu “gomilu”brojeva poredanih jedan za drugim:
2, 0, −2.5,√
7, π, 1, ...
Formalna matematicka definicija niza je:
Definicija
Niz realnih brojeva je preslikavanje f : N→ R. Broj f (n) nazivamo n-ti clanniza, i konvencionalno ga zapisujemo fn. Niz f obeležavamo još i sa (fn)n∈N ilisa (fn)n.
Nekoliko primera nizova:1o 1, 2, 3, 4, ..., n, ..., opšti clan niza je an = n;2o 1, 1
2 ,13 ,
14 , ...,
1n , ..., opšti clan niza je an = 1
n .3o −1, 1,−1, 1, ..., opšti clan je an = (−1)n
4o 1, 6,−2,√
2, 2010, ..., opšti clan?Na dalje ce se podrazumevati da se radi o nizu realnih brojeva, ako sene naglasi suprotno.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Definicija niza
Intuitivno, niz brojeva predstavlja konacnu ili beskonacnu “gomilu”brojeva poredanih jedan za drugim:
2, 0, −2.5,√
7, π, 1, ...
Formalna matematicka definicija niza je:
Definicija
Niz realnih brojeva je preslikavanje f : N→ R. Broj f (n) nazivamo n-ti clanniza, i konvencionalno ga zapisujemo fn. Niz f obeležavamo još i sa (fn)n∈N ilisa (fn)n.
Nekoliko primera nizova:1o 1, 2, 3, 4, ..., n, ..., opšti clan niza je an = n;2o 1, 1
2 ,13 ,
14 , ...,
1n , ..., opšti clan niza je an = 1
n .3o −1, 1,−1, 1, ..., opšti clan je an = (−1)n
4o 1, 6,−2,√
2, 2010, ..., opšti clan?Na dalje ce se podrazumevati da se radi o nizu realnih brojeva, ako sene naglasi suprotno.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Definicija niza
Intuitivno, niz brojeva predstavlja konacnu ili beskonacnu “gomilu”brojeva poredanih jedan za drugim:
2, 0, −2.5,√
7, π, 1, ...
Formalna matematicka definicija niza je:
Definicija
Niz realnih brojeva je preslikavanje f : N→ R. Broj f (n) nazivamo n-ti clanniza, i konvencionalno ga zapisujemo fn. Niz f obeležavamo još i sa (fn)n∈N ilisa (fn)n.
Nekoliko primera nizova:1o 1, 2, 3, 4, ..., n, ..., opšti clan niza je an = n;2o 1, 1
2 ,13 ,
14 , ...,
1n , ..., opšti clan niza je an = 1
n .3o −1, 1,−1, 1, ..., opšti clan je an = (−1)n
4o 1, 6,−2,√
2, 2010, ..., opšti clan?Na dalje ce se podrazumevati da se radi o nizu realnih brojeva, ako sene naglasi suprotno.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Definicija niza
Intuitivno, niz brojeva predstavlja konacnu ili beskonacnu “gomilu”brojeva poredanih jedan za drugim:
2, 0, −2.5,√
7, π, 1, ...
Formalna matematicka definicija niza je:
Definicija
Niz realnih brojeva je preslikavanje f : N→ R. Broj f (n) nazivamo n-ti clanniza, i konvencionalno ga zapisujemo fn. Niz f obeležavamo još i sa (fn)n∈N ilisa (fn)n.
Nekoliko primera nizova:1o 1, 2, 3, 4, ..., n, ..., opšti clan niza je an = n;2o 1, 1
2 ,13 ,
14 , ...,
1n , ..., opšti clan niza je an = 1
n .3o −1, 1,−1, 1, ..., opšti clan je an = (−1)n
4o 1, 6,−2,√
2, 2010, ..., opšti clan?Na dalje ce se podrazumevati da se radi o nizu realnih brojeva, ako sene naglasi suprotno.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Definicija
Niz (an)n je rastuci ako je a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ..., odnosno, ako jean ≤ an+1 za svako n ∈ N. Ukoliko je an < an+1, za svako n ∈ N,kažemo da je niz (an)n strogo rastuci.Niz (an)n je opadajuci ako je a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ..., odnosno, ako jean ≥ an+1 za svako n ∈ N. Ukoliko je an > an+1, za svako n ∈ N,kažemo da je niz (an)n strogo opadajuci.Ukoliko je niz ili rastuci ili opadajuci kažemo da je on monoton, a akoje strogo rastuci ili strogo opadajuci, kažemo da je strogo monoton.
Koji od sledecih nizova ima navedene osobine:
a) 1,2,3,4, ... (niz je an = n)
b) 12 ,
23 ,
34 ,
45 , ... (niz an = n
n+1 )
c) −1,1,−1,1, ... (niz an = (−1)n)
d) 1,1,1,1... (niz an = 1)
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Operacije sa nizovima
Kao što se realni brojevi mogu sabirati, oduzimati, množiti i deliti,tako se i nad nizovima mogu vršiti te operacije:
Definicija
Niz (cn)n je zbir nizova (an)n i (bn)n, ako za svako n ∈ N važicn = an + bn;Niz (cn)n je razlika nizova (an)n i (bn)n, ako za svako n ∈ N važicn = an − bn;Niz (cn)n je proizvod nizova (an)n i (bn)n, ako za svako n ∈ N važicn = an · bn;Niz (cn)n je kolicnik nizova (an)n i (bn)n, ako za svako n ∈ N važibn 6= 0 i cn = an/bn.
Niz (an)n može se množiti i konstantom (skalarom) c, pri cemudobijamo niz (bn)n = c · (an)n, ciji je opšti clan odreden sabn = c · an.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Ogranicenost niza
Definicija
Niz (an)n je ogranicen odozgo ukoliko postoji takav broj G da jean ≤ G za svako n ∈ N.Niz (an)n je ogranicen odozdo ukoliko postoji takav broj D da jean ≥ D za svako n ∈ N.Niz (an)n je ogranicen ukoliko je on odozgo i odozdo ogranicen.
Šta je sa nizovima: an = n,n ∈ N, bn = −n,n ∈ N, cn = 1n ,n ∈ N,
i dn = (−1)n · n,n ∈ N.Ako stavimo da je M = max{|D|, |G|}, zakljucujemo da se sviclanovi niza nalaze u segmentu [−M,M]. Dakle, niz je ogranicenako i samo ako postoji neko M > 0 tako da za sve clanove nizavaži |an| < M.Kada za niz kažemo da je neogranicen?
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Ogranicenost niza
Definicija
Niz (an)n je ogranicen odozgo ukoliko postoji takav broj G da jean ≤ G za svako n ∈ N.Niz (an)n je ogranicen odozdo ukoliko postoji takav broj D da jean ≥ D za svako n ∈ N.Niz (an)n je ogranicen ukoliko je on odozgo i odozdo ogranicen.
Šta je sa nizovima: an = n,n ∈ N, bn = −n,n ∈ N, cn = 1n ,n ∈ N,
i dn = (−1)n · n,n ∈ N.Ako stavimo da je M = max{|D|, |G|}, zakljucujemo da se sviclanovi niza nalaze u segmentu [−M,M]. Dakle, niz je ogranicenako i samo ako postoji neko M > 0 tako da za sve clanove nizavaži |an| < M.Kada za niz kažemo da je neogranicen?
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Podniz
Definicija
Neka je dat niz (an)n i strogo rastuci niz prirodnih brojeva n1,n2,n3, ....Tada je niz an1 ,an2 ,an3 , ... podniz niza (an)n. Obeležavamo ga kratkosa (ank )k .
Recimo, niz svih brojeva deljivih sa 3: 3,6,9,12, ... je podniz nizaprirodnih brojeva 1,2,3,4, ....
Lema
Neka je dat niz (an)n. Ako je niz (an)n rastuci (opadajuci, ogranicen),tada je i svaki njegov podniz takav.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Pojam konvergencije niza
Posmatrajmo niz ciji je opšti clan an = 0.99...9︸ ︷︷ ︸n
:
0.9,0.99,0.999,0.9999, ...
Zašto kažemo da ovaj niz “teži” broju 1, a ne, recimo, broju 1.1.Obe vrednosti: |1− an| i |1.1− an| sve vreme se smanjuju. Kojaje razlika?Vrednost |1− an| može se naciniti proizvoljno malom, avrednost |1.1− an| uvek je veca od 0.1. Šta je sa bilo kojimdrugim brojem a 6= 1? Da li se u tom slucaju vrednost |a− an|može uciniti proizvoljno malom?Posmatrajmo sada niz −0.9,0.99,−0.999,0.9999, ... ciji je opšticlan an = (−1)n · 0.99...9︸ ︷︷ ︸
n
.
Obe razlike |1− an| i |(−1)− an| mogu se uciniti proizvoljnomalim, ali da li niz an teži broju 1 ili broju −1.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Pojam konvergencije niza
Posmatrajmo niz ciji je opšti clan an = 0.99...9︸ ︷︷ ︸n
:
0.9,0.99,0.999,0.9999, ...
Zašto kažemo da ovaj niz “teži” broju 1, a ne, recimo, broju 1.1.Obe vrednosti: |1− an| i |1.1− an| sve vreme se smanjuju. Kojaje razlika?Vrednost |1− an| može se naciniti proizvoljno malom, avrednost |1.1− an| uvek je veca od 0.1. Šta je sa bilo kojimdrugim brojem a 6= 1? Da li se u tom slucaju vrednost |a− an|može uciniti proizvoljno malom?Posmatrajmo sada niz −0.9,0.99,−0.999,0.9999, ... ciji je opšticlan an = (−1)n · 0.99...9︸ ︷︷ ︸
n
.
Obe razlike |1− an| i |(−1)− an| mogu se uciniti proizvoljnomalim, ali da li niz an teži broju 1 ili broju −1.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Pojam konvergencije niza
Posmatrajmo niz ciji je opšti clan an = 0.99...9︸ ︷︷ ︸n
:
0.9,0.99,0.999,0.9999, ...
Zašto kažemo da ovaj niz “teži” broju 1, a ne, recimo, broju 1.1.Obe vrednosti: |1− an| i |1.1− an| sve vreme se smanjuju. Kojaje razlika?Vrednost |1− an| može se naciniti proizvoljno malom, avrednost |1.1− an| uvek je veca od 0.1. Šta je sa bilo kojimdrugim brojem a 6= 1? Da li se u tom slucaju vrednost |a− an|može uciniti proizvoljno malom?Posmatrajmo sada niz −0.9,0.99,−0.999,0.9999, ... ciji je opšticlan an = (−1)n · 0.99...9︸ ︷︷ ︸
n
.
Obe razlike |1− an| i |(−1)− an| mogu se uciniti proizvoljnomalim, ali da li niz an teži broju 1 ili broju −1.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Definicija
Niz (an)n konvergira (ka) broju a ako za bilo koji broj ε > 0 važi da se,pocevši od nekog elementa niza (an)n, svi ostali nalaze u intervalu(a− ε, a + ε).Tada kažemo da je a granicna vrednost niza an, i to zapisujemo
an → a, n→∞ ili limn→∞
an = a.
Ako niz ima granicnu vrednost kažemo da je on konvergentan, u suprotnomkažemo da je divergentan.
Korisno je zapisati ovu definiciju na “matematickom jeziku“:
a = limn→∞
an ⇔ (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N)(n > n0 ⇒ |an − a| < ε)
Šta znaci da niz (an)n ne konvergira broju a?
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Definicija
Niz (an)n konvergira (ka) broju a ako za bilo koji broj ε > 0 važi da se,pocevši od nekog elementa niza (an)n, svi ostali nalaze u intervalu(a− ε, a + ε).Tada kažemo da je a granicna vrednost niza an, i to zapisujemo
an → a, n→∞ ili limn→∞
an = a.
Ako niz ima granicnu vrednost kažemo da je on konvergentan, u suprotnomkažemo da je divergentan.
Korisno je zapisati ovu definiciju na “matematickom jeziku“:
a = limn→∞
an ⇔ (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N)(n > n0 ⇒ |an − a| < ε)
Šta znaci da niz (an)n ne konvergira broju a?
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Definicija
Niz (an)n konvergira (ka) broju a ako za bilo koji broj ε > 0 važi da se,pocevši od nekog elementa niza (an)n, svi ostali nalaze u intervalu(a− ε, a + ε).Tada kažemo da je a granicna vrednost niza an, i to zapisujemo
an → a, n→∞ ili limn→∞
an = a.
Ako niz ima granicnu vrednost kažemo da je on konvergentan, u suprotnomkažemo da je divergentan.
Korisno je zapisati ovu definiciju na “matematickom jeziku“:
a = limn→∞
an ⇔ (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N)(n > n0 ⇒ |an − a| < ε)
Šta znaci da niz (an)n ne konvergira broju a?
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Dokažimo da niz an = (−1)n · 1n konvergira ka nuli:
Neka je ε > 0 proizvoljan broj. Razlika clana niza an i nule je|0− an| = |an| = 1
n . Pronadimo n0 takvo da je 1n0
manje od ε. Iz1n0< ε sledi 1
ε < n0, odnosno, za n0 možemo uzeti broj[ 1
ε
]+ 1.
Za svako n > n0 bice 1n <
1n0
, a 1n0< ε, pa ce i 1
n < ε. Dakle, datiniz zaista konvergira ka nuli.Dokažimo da niz an = qn gde je q ∈ (0,1) konvergira nuli:
Ponovo, neka je ε > 0 proizvoljan broj. Da bi važimo an = qn < εtreba da važi n > logq ε. Ako uzmemo da je n0 = [logq ε] + 1, zasvako n > n0 ce biti an < an0 < ε, pa ovaj niz zaista konvergira kanuli.Dokažimo da niz 0.9,0.99,0.999,0.9999, ... ne konvergira kabroju 1.1.
Ako uzmemo da je ε = 0.05, nijedan clan navedenog niza necese naci u intervalu (1.05,1.15), zato dati niz ne konvergira kabroju 1.1.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Od razlicitih nacina da niz divergira, jedan se izdvaja. Naime,kada clanovi niza beskonacno rastu, ili beskonacno opadaju,kažemo da niz konvergira ka +∞ ili −∞. Formalno:
Definicija
limn→∞ an = +∞⇔ (∀M ∈ R)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N)(n > n0 ⇒ an > M),limn→∞ an = −∞⇔ (∀M ∈ R)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N)(n > n0 ⇒ an < M).
Recimo nizovi an = n2 i bn = −n konvergiraju, redom, ka +∞ i−∞. Niz cn = (−1)n · n ne konvergira ni ka +∞ ni ka −∞.Na dalje, kada kažemo da niz konvergira, smatracemo da jenjegova granicna vrednost konacna!
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Od razlicitih nacina da niz divergira, jedan se izdvaja. Naime,kada clanovi niza beskonacno rastu, ili beskonacno opadaju,kažemo da niz konvergira ka +∞ ili −∞. Formalno:
Definicija
limn→∞ an = +∞⇔ (∀M ∈ R)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N)(n > n0 ⇒ an > M),limn→∞ an = −∞⇔ (∀M ∈ R)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N)(n > n0 ⇒ an < M).
Recimo nizovi an = n2 i bn = −n konvergiraju, redom, ka +∞ i−∞. Niz cn = (−1)n · n ne konvergira ni ka +∞ ni ka −∞.Na dalje, kada kažemo da niz konvergira, smatracemo da jenjegova granicna vrednost konacna!
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Od razlicitih nacina da niz divergira, jedan se izdvaja. Naime,kada clanovi niza beskonacno rastu, ili beskonacno opadaju,kažemo da niz konvergira ka +∞ ili −∞. Formalno:
Definicija
limn→∞ an = +∞⇔ (∀M ∈ R)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N)(n > n0 ⇒ an > M),limn→∞ an = −∞⇔ (∀M ∈ R)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N)(n > n0 ⇒ an < M).
Recimo nizovi an = n2 i bn = −n konvergiraju, redom, ka +∞ i−∞. Niz cn = (−1)n · n ne konvergira ni ka +∞ ni ka −∞.Na dalje, kada kažemo da niz konvergira, smatracemo da jenjegova granicna vrednost konacna!
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Od razlicitih nacina da niz divergira, jedan se izdvaja. Naime,kada clanovi niza beskonacno rastu, ili beskonacno opadaju,kažemo da niz konvergira ka +∞ ili −∞. Formalno:
Definicija
limn→∞ an = +∞⇔ (∀M ∈ R)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N)(n > n0 ⇒ an > M),limn→∞ an = −∞⇔ (∀M ∈ R)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N)(n > n0 ⇒ an < M).
Recimo nizovi an = n2 i bn = −n konvergiraju, redom, ka +∞ i−∞. Niz cn = (−1)n · n ne konvergira ni ka +∞ ni ka −∞.Na dalje, kada kažemo da niz konvergira, smatracemo da jenjegova granicna vrednost konacna!
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Tri jednostavne ali bitne teoreme
Šta ako pretpostavimo da niz (an)n konvergira i broju a i broju b?
Teorema
Svaki konvergentnan niz ima jedinstvenu granicnu vrednost.
Teorema
Svaki konvergentan niz je ogranicen.
Navedimo još jednostavnu teoremu, sa lepom posledicom:
Teorema
Ako su svi clanovi nekog konvergentnog niza nenegativni, tada je i granicnavrednost tog niza nenegativna.
Posledica
Ako su (an)n i (bn)n konvergentni nizovi i an ≤ bn za svako n ∈ N, tada je ilimn→∞an ≤ limn→∞bn.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Tri jednostavne ali bitne teoreme
Šta ako pretpostavimo da niz (an)n konvergira i broju a i broju b?
Teorema
Svaki konvergentnan niz ima jedinstvenu granicnu vrednost.
Teorema
Svaki konvergentan niz je ogranicen.
Navedimo još jednostavnu teoremu, sa lepom posledicom:
Teorema
Ako su svi clanovi nekog konvergentnog niza nenegativni, tada je i granicnavrednost tog niza nenegativna.
Posledica
Ako su (an)n i (bn)n konvergentni nizovi i an ≤ bn za svako n ∈ N, tada je ilimn→∞an ≤ limn→∞bn.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Tri jednostavne ali bitne teoreme
Šta ako pretpostavimo da niz (an)n konvergira i broju a i broju b?
Teorema
Svaki konvergentnan niz ima jedinstvenu granicnu vrednost.
Teorema
Svaki konvergentan niz je ogranicen.
Navedimo još jednostavnu teoremu, sa lepom posledicom:
Teorema
Ako su svi clanovi nekog konvergentnog niza nenegativni, tada je i granicnavrednost tog niza nenegativna.
Posledica
Ako su (an)n i (bn)n konvergentni nizovi i an ≤ bn za svako n ∈ N, tada je ilimn→∞an ≤ limn→∞bn.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Tri jednostavne ali bitne teoreme
Šta ako pretpostavimo da niz (an)n konvergira i broju a i broju b?
Teorema
Svaki konvergentnan niz ima jedinstvenu granicnu vrednost.
Teorema
Svaki konvergentan niz je ogranicen.
Navedimo još jednostavnu teoremu, sa lepom posledicom:
Teorema
Ako su svi clanovi nekog konvergentnog niza nenegativni, tada je i granicnavrednost tog niza nenegativna.
Posledica
Ako su (an)n i (bn)n konvergentni nizovi i an ≤ bn za svako n ∈ N, tada je ilimn→∞an ≤ limn→∞bn.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Operacije sa konvergentnim nizovima
Kada izvršimo neku od 5 navedenih operacija nad konvergentnimnizovima, ponovo dobijamo konvergentne nizove, sa ocekivanimrezultatima za granicne vrednosti:
Teorema
Neka su (an)n i (bn)n konvergentni nizovi sa granicnim vrednostima a i b,redom. Tada su i nizovi (an ± bn)n, (an · bn)n konvergentni, a njihove granicnevrednosti su, redom, a± b, a · b.Ako je bn 6= 0 za svako n ∈ N, te ako je limn→∞bn 6= 0, tada je i niz ( an
bn)n
konvergentan, a granicna vrednost mu je ab .
Ako je c proizvoljan broj, tada je i niz (c · an)n konvergentan, a granicnavrednost mu je c · a.
Napomena: Ne možemo zakljuciti da jelimn→∞(an + bn) = limn→∞an + limn→∞bn, ako pre toga nismo sigurnida su nizovi (an)n i (bn)n konvergentni!
Kolika je granicna vrednost niza an = n2−5n+123n2−n+1 ?
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Nula-niz
Zbog cestog korišcenja, niz sa narednom osobinom zauzimaposebno mesto:
Definicija
Niz koji konvergira ka nuli nazivamo nula-niz
Neke od osobina nula niza su:
Teorema
Ako je (an)n nula-niz, a (bn)n ogranicen niz, tada je (an · bn)n nula-niz.
Teorema
Ako je limn→∞an = +∞ ili limn→∞an = −∞, tada je niz ( 1an
)n nula-niz.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Nula-niz
Zbog cestog korišcenja, niz sa narednom osobinom zauzimaposebno mesto:
Definicija
Niz koji konvergira ka nuli nazivamo nula-niz
Neke od osobina nula niza su:
Teorema
Ako je (an)n nula-niz, a (bn)n ogranicen niz, tada je (an · bn)n nula-niz.
Teorema
Ako je limn→∞an = +∞ ili limn→∞an = −∞, tada je niz ( 1an
)n nula-niz.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Nula-niz
Zbog cestog korišcenja, niz sa narednom osobinom zauzimaposebno mesto:
Definicija
Niz koji konvergira ka nuli nazivamo nula-niz
Neke od osobina nula niza su:
Teorema
Ako je (an)n nula-niz, a (bn)n ogranicen niz, tada je (an · bn)n nula-niz.
Teorema
Ako je limn→∞an = +∞ ili limn→∞an = −∞, tada je niz ( 1an
)n nula-niz.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Dva policajca i plavuša
Naredna teorema poznata je pod nazivom teorema o presretanju, ili,popularnije, teorema o dva policajca:
Teorema
Neka su (an)n, (bn)n i (cn)n tri niza koja zadovoljavaju sledeca svojstva:1o limn→∞an = limn→∞cn;2o an ≤ bn ≤ cn, pocevši od nekog n ∈ N.Tada je i niz (bn)n konvergentan i važi limn→∞bn = limn→∞an = limn→∞cn.
Sledeca teorema daje dovoljne uslove za egzistenciju granicnevrednosti nekog niza, ali ne i nacin da pronademo tu granicnu vrednost:
Teorema
Ako je niz (an)n rastuci i ogranicen odozgo, tada je on konvergentan.Ako je niz (an)n opadajuci i ogranicen odozdo, tada je on konvergentan.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Dva policajca i plavuša
Naredna teorema poznata je pod nazivom teorema o presretanju, ili,popularnije, teorema o dva policajca:
Teorema
Neka su (an)n, (bn)n i (cn)n tri niza koja zadovoljavaju sledeca svojstva:1o limn→∞an = limn→∞cn;2o an ≤ bn ≤ cn, pocevši od nekog n ∈ N.Tada je i niz (bn)n konvergentan i važi limn→∞bn = limn→∞an = limn→∞cn.
Sledeca teorema daje dovoljne uslove za egzistenciju granicnevrednosti nekog niza, ali ne i nacin da pronademo tu granicnu vrednost:
Teorema
Ako je niz (an)n rastuci i ogranicen odozgo, tada je on konvergentan.Ako je niz (an)n opadajuci i ogranicen odozdo, tada je on konvergentan.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Dva policajca i plavuša
Naredna teorema poznata je pod nazivom teorema o presretanju, ili,popularnije, teorema o dva policajca:
Teorema
Neka su (an)n, (bn)n i (cn)n tri niza koja zadovoljavaju sledeca svojstva:1o limn→∞an = limn→∞cn;2o an ≤ bn ≤ cn, pocevši od nekog n ∈ N.Tada je i niz (bn)n konvergentan i važi limn→∞bn = limn→∞an = limn→∞cn.
Sledeca teorema daje dovoljne uslove za egzistenciju granicnevrednosti nekog niza, ali ne i nacin da pronademo tu granicnu vrednost:
Teorema
Ako je niz (an)n rastuci i ogranicen odozgo, tada je on konvergentan.Ako je niz (an)n opadajuci i ogranicen odozdo, tada je on konvergentan.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Dva policajca i plavuša
Naredna teorema poznata je pod nazivom teorema o presretanju, ili,popularnije, teorema o dva policajca:
Teorema
Neka su (an)n, (bn)n i (cn)n tri niza koja zadovoljavaju sledeca svojstva:1o limn→∞an = limn→∞cn;2o an ≤ bn ≤ cn, pocevši od nekog n ∈ N.Tada je i niz (bn)n konvergentan i važi limn→∞bn = limn→∞an = limn→∞cn.
Sledeca teorema daje dovoljne uslove za egzistenciju granicnevrednosti nekog niza, ali ne i nacin da pronademo tu granicnu vrednost:
Teorema
Ako je niz (an)n rastuci i ogranicen odozgo, tada je on konvergentan.Ako je niz (an)n opadajuci i ogranicen odozdo, tada je on konvergentan.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Podniz konvergentnog niza
Teorema
Svaki podniz konvergentnog niza je konvergentan i ima istu granicnuvrednost kao i taj niz.
Naredna teorema je izuzetno bitna u citavoj analizi. Dokazao juje ceški matematicar i sveštenik Bernard Bolcano, 1817. godine,a pedeset godina kasnije i nemacki matematicar Karl Vajerštras.Po njima je i dobila ime:
Teorema (Bolcano-Vajerštras)
Svaki ogranicen niz sadrži konvergentan podniz.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Podniz konvergentnog niza
Teorema
Svaki podniz konvergentnog niza je konvergentan i ima istu granicnuvrednost kao i taj niz.
Naredna teorema je izuzetno bitna u citavoj analizi. Dokazao juje ceški matematicar i sveštenik Bernard Bolcano, 1817. godine,a pedeset godina kasnije i nemacki matematicar Karl Vajerštras.Po njima je i dobila ime:
Teorema (Bolcano-Vajerštras)
Svaki ogranicen niz sadrži konvergentan podniz.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Podniz konvergentnog niza
Teorema
Svaki podniz konvergentnog niza je konvergentan i ima istu granicnuvrednost kao i taj niz.
Naredna teorema je izuzetno bitna u citavoj analizi. Dokazao juje ceški matematicar i sveštenik Bernard Bolcano, 1817. godine,a pedeset godina kasnije i nemacki matematicar Karl Vajerštras.Po njima je i dobila ime:
Teorema (Bolcano-Vajerštras)
Svaki ogranicen niz sadrži konvergentan podniz.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Broj e
Može se pokazati da niz an =(1 + 1
n
)nkonvergira. Njegova
granicna vrednost je još jedna poznata konstanta u matematici:
e := limn→∞
(1 +
1n
)n
.
Oznaku e uveo je Ojler. Može se pokazati da je e iracionalanbroj, a nekoliko njegovih decimala su:
e = 2,718281828459045...
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Broj e
Može se pokazati da niz an =(1 + 1
n
)nkonvergira. Njegova
granicna vrednost je još jedna poznata konstanta u matematici:
e := limn→∞
(1 +
1n
)n
.
Oznaku e uveo je Ojler. Može se pokazati da je e iracionalanbroj, a nekoliko njegovih decimala su:
e = 2,718281828459045...
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Pojam niza. Ogranicenost niza. PodnizKonvergentni nizoviOsobine konvergentnih nizova
Broj e
Može se pokazati da niz an =(1 + 1
n
)nkonvergira. Njegova
granicna vrednost je još jedna poznata konstanta u matematici:
e := limn→∞
(1 +
1n
)n
.
Oznaku e uveo je Ojler. Može se pokazati da je e iracionalanbroj, a nekoliko njegovih decimala su:
e = 2,718281828459045...
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Osnovne osobine realnih funkcija
Predmet našeg izucavanja bice funkcije f : X → R, gde je X ⊆ R.Takva funkcija zove se realna funkcija (jer uzima vrednosti izskupa realnih brojeva) realne promenljive (jer joj je domenpodskup skupa realnih brojeva).Primeri funkcije:f : R→ R definisana sa f (x) = 2x + 3;f : [0,+∞)→ R definisana sa f (x) =
√x
Šta može da bude domen funkcije f (x) =√
ln cos(2π · x)?
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Osnovne osobine realnih funkcija
Predmet našeg izucavanja bice funkcije f : X → R, gde je X ⊆ R.Takva funkcija zove se realna funkcija (jer uzima vrednosti izskupa realnih brojeva) realne promenljive (jer joj je domenpodskup skupa realnih brojeva).Primeri funkcije:f : R→ R definisana sa f (x) = 2x + 3;f : [0,+∞)→ R definisana sa f (x) =
√x
Šta može da bude domen funkcije f (x) =√
ln cos(2π · x)?
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Osnovne osobine realnih funkcija
Predmet našeg izucavanja bice funkcije f : X → R, gde je X ⊆ R.Takva funkcija zove se realna funkcija (jer uzima vrednosti izskupa realnih brojeva) realne promenljive (jer joj je domenpodskup skupa realnih brojeva).Primeri funkcije:f : R→ R definisana sa f (x) = 2x + 3;f : [0,+∞)→ R definisana sa f (x) =
√x
Šta može da bude domen funkcije f (x) =√
ln cos(2π · x)?
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Osnovne osobine realnih funkcija
Predmet našeg izucavanja bice funkcije f : X → R, gde je X ⊆ R.Takva funkcija zove se realna funkcija (jer uzima vrednosti izskupa realnih brojeva) realne promenljive (jer joj je domenpodskup skupa realnih brojeva).Primeri funkcije:f : R→ R definisana sa f (x) = 2x + 3;f : [0,+∞)→ R definisana sa f (x) =
√x
Šta može da bude domen funkcije f (x) =√
ln cos(2π · x)?
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Osnovne osobine realnih funkcija
Predmet našeg izucavanja bice funkcije f : X → R, gde je X ⊆ R.Takva funkcija zove se realna funkcija (jer uzima vrednosti izskupa realnih brojeva) realne promenljive (jer joj je domenpodskup skupa realnih brojeva).Primeri funkcije:f : R→ R definisana sa f (x) = 2x + 3;f : [0,+∞)→ R definisana sa f (x) =
√x
Šta može da bude domen funkcije f (x) =√
ln cos(2π · x)?
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Okolina tacke
Definicija
Neka je ε proizvoljan pozitivan broj. ε-okolinom tacke a ∈ Rnazivamo skup svih realnih brojeva cije je rastojanje od tacke a manjeod ε. Dakle, ε-okolina tacke a je interval (a− ε,a + ε).
Šta predstavlja ε-okolinu neke tacke iz skupa R2, a šta iz skupaR3?
Definicija
Okolina tacke a ∈ R je skup koji, zajedno sa tackom a, sadrži i nekunjenu ε-okolinu, za neko ε.
Dakle, ako za funkciju f kažemo da je definisana u nekoj okolinitacke x0, to znaci da postoji interval sa središtem u tacki x0 kojise ceo nalazi u domenu funkcije f .
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Okolina tacke
Definicija
Neka je ε proizvoljan pozitivan broj. ε-okolinom tacke a ∈ Rnazivamo skup svih realnih brojeva cije je rastojanje od tacke a manjeod ε. Dakle, ε-okolina tacke a je interval (a− ε,a + ε).
Šta predstavlja ε-okolinu neke tacke iz skupa R2, a šta iz skupaR3?
Definicija
Okolina tacke a ∈ R je skup koji, zajedno sa tackom a, sadrži i nekunjenu ε-okolinu, za neko ε.
Dakle, ako za funkciju f kažemo da je definisana u nekoj okolinitacke x0, to znaci da postoji interval sa središtem u tacki x0 kojise ceo nalazi u domenu funkcije f .
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Okolina tacke
Definicija
Neka je ε proizvoljan pozitivan broj. ε-okolinom tacke a ∈ Rnazivamo skup svih realnih brojeva cije je rastojanje od tacke a manjeod ε. Dakle, ε-okolina tacke a je interval (a− ε,a + ε).
Šta predstavlja ε-okolinu neke tacke iz skupa R2, a šta iz skupaR3?
Definicija
Okolina tacke a ∈ R je skup koji, zajedno sa tackom a, sadrži i nekunjenu ε-okolinu, za neko ε.
Dakle, ako za funkciju f kažemo da je definisana u nekoj okolinitacke x0, to znaci da postoji interval sa središtem u tacki x0 kojise ceo nalazi u domenu funkcije f .
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Okolina tacke
Definicija
Neka je ε proizvoljan pozitivan broj. ε-okolinom tacke a ∈ Rnazivamo skup svih realnih brojeva cije je rastojanje od tacke a manjeod ε. Dakle, ε-okolina tacke a je interval (a− ε,a + ε).
Šta predstavlja ε-okolinu neke tacke iz skupa R2, a šta iz skupaR3?
Definicija
Okolina tacke a ∈ R je skup koji, zajedno sa tackom a, sadrži i nekunjenu ε-okolinu, za neko ε.
Dakle, ako za funkciju f kažemo da je definisana u nekoj okolinitacke x0, to znaci da postoji interval sa središtem u tacki x0 kojise ceo nalazi u domenu funkcije f .
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Pojam granicne vrednosti funkcije
Posmatrajmo sledece tri funkcije definisane na skupu R \ {0}:
f (x) =
√1 + x2 − 1
x, g(x) =
1x, h(x) = sin
1x.
Cemu ”teže“ ove funkcije kada se x približava nuli?
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Pojam granicne vrednosti funkcije
Posmatrajmo sledece tri funkcije definisane na skupu R \ {0}:
f (x) =
√1 + x2 − 1
x, g(x) =
1x, h(x) = sin
1x.
Cemu ”teže“ ove funkcije kada se x približava nuli?
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Definicija (Hajne)
Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini E tacke x0. Ako za svaki niz (xn)n
ciji su clanovi iz skupa E \ {x0} i koji konvergira ka broju x0, važi da niz(f (xn))n konvergira ka broju A, tada je broj A granicna vrednost (limes)funkcije f u tacki x0.Zapisujemo:
limx→x0
f (x) = A.
Navedena definicija koristi ideju konvergencije nizova. Narednadefinicija koristi pocetnu ideju o beskonacnom smanjivanju razlike.
Definicija (ε− δ)Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini E tacke x0. Kažemo da je Agranicna vrednost (limes) funkcije f u tacki x0 ako: za svako ε > 0 postojiδ > 0, tako da je |f (x)−A| < ε za sve one x ∈ E \{x0} za koje je |x − x0| < δ.
Ove dve definicije su ekvivalentne!
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Definicija (Hajne)
Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini E tacke x0. Ako za svaki niz (xn)n
ciji su clanovi iz skupa E \ {x0} i koji konvergira ka broju x0, važi da niz(f (xn))n konvergira ka broju A, tada je broj A granicna vrednost (limes)funkcije f u tacki x0.Zapisujemo:
limx→x0
f (x) = A.
Navedena definicija koristi ideju konvergencije nizova. Narednadefinicija koristi pocetnu ideju o beskonacnom smanjivanju razlike.
Definicija (ε− δ)Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini E tacke x0. Kažemo da je Agranicna vrednost (limes) funkcije f u tacki x0 ako: za svako ε > 0 postojiδ > 0, tako da je |f (x)−A| < ε za sve one x ∈ E \{x0} za koje je |x − x0| < δ.
Ove dve definicije su ekvivalentne!
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Definicija (Hajne)
Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini E tacke x0. Ako za svaki niz (xn)n
ciji su clanovi iz skupa E \ {x0} i koji konvergira ka broju x0, važi da niz(f (xn))n konvergira ka broju A, tada je broj A granicna vrednost (limes)funkcije f u tacki x0.Zapisujemo:
limx→x0
f (x) = A.
Navedena definicija koristi ideju konvergencije nizova. Narednadefinicija koristi pocetnu ideju o beskonacnom smanjivanju razlike.
Definicija (ε− δ)Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini E tacke x0. Kažemo da je Agranicna vrednost (limes) funkcije f u tacki x0 ako: za svako ε > 0 postojiδ > 0, tako da je |f (x)−A| < ε za sve one x ∈ E \{x0} za koje je |x − x0| < δ.
Ove dve definicije su ekvivalentne!
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Definicija (Hajne)
Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini E tacke x0. Ako za svaki niz (xn)n
ciji su clanovi iz skupa E \ {x0} i koji konvergira ka broju x0, važi da niz(f (xn))n konvergira ka broju A, tada je broj A granicna vrednost (limes)funkcije f u tacki x0.Zapisujemo:
limx→x0
f (x) = A.
Navedena definicija koristi ideju konvergencije nizova. Narednadefinicija koristi pocetnu ideju o beskonacnom smanjivanju razlike.
Definicija (ε− δ)Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini E tacke x0. Kažemo da je Agranicna vrednost (limes) funkcije f u tacki x0 ako: za svako ε > 0 postojiδ > 0, tako da je |f (x)−A| < ε za sve one x ∈ E \{x0} za koje je |x − x0| < δ.
Ove dve definicije su ekvivalentne!
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Beskonacni limes i limes u beskonacnosti
Definicija
Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini E tacke x0. Ako za svaki realanbroj M postoji broj δ > 0 tako da nejednakost f (x) > M (f (x) < M) važi zasve one x ∈ E \ {x0} za koje je |x − x0| < δ tada kažemo da f teži +∞ (−∞).Zapisujemo:
limx→x0
f (x) = +∞, ( limx→x0
f (x) = −∞).
Definicija
Neka je funkcija f definisana na segmentu E = (a,+∞) (E = (−∞, a)).Kažemo da je A limes funkcije f u +∞ (−∞) ako za svako ε > 0 postoji M,takav da je |f (x)− A| < ε za sve one x ∈ E koji su veci (manji) od M.Zapisujemo:
limx→+∞
f (x) = A, ( limx→−∞
f (x) = A).
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Beskonacni limes i limes u beskonacnosti
Definicija
Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini E tacke x0. Ako za svaki realanbroj M postoji broj δ > 0 tako da nejednakost f (x) > M (f (x) < M) važi zasve one x ∈ E \ {x0} za koje je |x − x0| < δ tada kažemo da f teži +∞ (−∞).Zapisujemo:
limx→x0
f (x) = +∞, ( limx→x0
f (x) = −∞).
Definicija
Neka je funkcija f definisana na segmentu E = (a,+∞) (E = (−∞, a)).Kažemo da je A limes funkcije f u +∞ (−∞) ako za svako ε > 0 postoji M,takav da je |f (x)− A| < ε za sve one x ∈ E koji su veci (manji) od M.Zapisujemo:
limx→+∞
f (x) = A, ( limx→−∞
f (x) = A).
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Osobine limesa
Teorema
Neka je limx→x0 f (x) = A i limx→x0 g(x) = B, pri cemu su A i B realnibrojevi. Tada je:1o limx→x0(f (x)± g(x)) = A± B2o limx→x0(f (x) · g(x)) = A · B30 limx→x0
f (x)g(x) = A
B , ako je B 6= 0.
Teorema
Neka funkcije g i h imaju u tacki x0 jednaku granicnu vrednost A. Akoza funkciju f važi g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) za svako x iz neke okoline tackex0, tada i funkcija f ima granicnu vrednost A u tacki x0.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Pojam neprekidnosti funkcije
Intuitivno, funkcija je neprekidna kada grafik možemo danacrtamo ”bez podizanja olovke sa papira“. Formalno:
Definicija
Neka je f : E → R funkcija, i x0 ∈ E. Za funkciju f kažemo da jeneprekidna u tacki x0 ako za svaki broj ε > 0 postoji broj δ > 0,takav da je |f (x)− f (x0)| < ε, za sve one x ∈ E za koje je |x − x0| < δ.Ako u nekoj tacki svog domena funkcija nije neprekidna, kažemo da utoj tacki ima prekid. Ukoliko je funkcija f neprekidna u svakoj tackiskupa E, tada kažemo da je f neprekidna na skupu E.
Teorema
Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini tacke x0. Funkcija f jeneprekidna u tacki x0 ako i samo ako je limx→x0 f (x) = f (x0).
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Pojam neprekidnosti funkcije
Intuitivno, funkcija je neprekidna kada grafik možemo danacrtamo ”bez podizanja olovke sa papira“. Formalno:
Definicija
Neka je f : E → R funkcija, i x0 ∈ E. Za funkciju f kažemo da jeneprekidna u tacki x0 ako za svaki broj ε > 0 postoji broj δ > 0,takav da je |f (x)− f (x0)| < ε, za sve one x ∈ E za koje je |x − x0| < δ.Ako u nekoj tacki svog domena funkcija nije neprekidna, kažemo da utoj tacki ima prekid. Ukoliko je funkcija f neprekidna u svakoj tackiskupa E, tada kažemo da je f neprekidna na skupu E.
Teorema
Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini tacke x0. Funkcija f jeneprekidna u tacki x0 ako i samo ako je limx→x0 f (x) = f (x0).
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Pojam neprekidnosti funkcije
Intuitivno, funkcija je neprekidna kada grafik možemo danacrtamo ”bez podizanja olovke sa papira“. Formalno:
Definicija
Neka je f : E → R funkcija, i x0 ∈ E. Za funkciju f kažemo da jeneprekidna u tacki x0 ako za svaki broj ε > 0 postoji broj δ > 0,takav da je |f (x)− f (x0)| < ε, za sve one x ∈ E za koje je |x − x0| < δ.Ako u nekoj tacki svog domena funkcija nije neprekidna, kažemo da utoj tacki ima prekid. Ukoliko je funkcija f neprekidna u svakoj tackiskupa E, tada kažemo da je f neprekidna na skupu E.
Teorema
Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini tacke x0. Funkcija f jeneprekidna u tacki x0 ako i samo ako je limx→x0 f (x) = f (x0).
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Osobine neprekidnih funkcija
Teorema
Ako su funkcije f i g neprekidne u tacki x0, tada su i funkcije f ± g if · g neprekidne u x0, a ako je g(x0) 6= 0 i funkcija f
g je neprekidna ux0.
Teorema
Ako je funkcija f : A→ B neprekidna u tacki x0, a funkcija g : B → Rneprekidna u tacki f (x0) = y0, tada je funkcija g ◦ f : A→ Rneprekidna u tacki xo.
Pomocu ove dve teoreme možemo zakljuciti da su neprekidneneke funkcije koje imaju ”komplikovan” zapis, gde bi dokaz podefiniciji bio mukotrpan. Recimo, funkcija:f (x) = (e − 2010)sinx+cos(2009·x).
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Osobine neprekidnih funkcija
Teorema
Ako su funkcije f i g neprekidne u tacki x0, tada su i funkcije f ± g if · g neprekidne u x0, a ako je g(x0) 6= 0 i funkcija f
g je neprekidna ux0.
Teorema
Ako je funkcija f : A→ B neprekidna u tacki x0, a funkcija g : B → Rneprekidna u tacki f (x0) = y0, tada je funkcija g ◦ f : A→ Rneprekidna u tacki xo.
Pomocu ove dve teoreme možemo zakljuciti da su neprekidneneke funkcije koje imaju ”komplikovan” zapis, gde bi dokaz podefiniciji bio mukotrpan. Recimo, funkcija:f (x) = (e − 2010)sinx+cos(2009·x).
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Osobine neprekidnih funkcija
Teorema
Ako su funkcije f i g neprekidne u tacki x0, tada su i funkcije f ± g if · g neprekidne u x0, a ako je g(x0) 6= 0 i funkcija f
g je neprekidna ux0.
Teorema
Ako je funkcija f : A→ B neprekidna u tacki x0, a funkcija g : B → Rneprekidna u tacki f (x0) = y0, tada je funkcija g ◦ f : A→ Rneprekidna u tacki xo.
Pomocu ove dve teoreme možemo zakljuciti da su neprekidneneke funkcije koje imaju ”komplikovan” zapis, gde bi dokaz podefiniciji bio mukotrpan. Recimo, funkcija:f (x) = (e − 2010)sinx+cos(2009·x).
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Koši-Bolcanova teorema
Naredne dve teoreme su izuzetno važne osobine neprekidnefunkcije.
Teorema (Koši-Bolcano)
Neka je funkcija f neprekidna na segmentu [a,b] i neka je A = f (a) iB = f (B). Ako je M bilo koji broj izmedu brojeva A i B, tada postojic ∈ [a,b] tako da je f (c) = M.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Vajerštrasova teorema
Teorema (Vajerštras)
Neka je f neprekidna na segmentu [a,b]. Tada je f ogranicena nasegmentu [a,b], tj. postoji broj M > 0 takav da je |f (x)| < M za svakox ∈ [a,b]. Pored toga, postoje tacke c,d ∈ [a,b] u kojima funkcija fdostiže svoju najvecu i najmanju vrednost na segmentu [a,b].
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Vajerštrasova teorema
Teorema (Vajerštras)
Neka je f neprekidna na segmentu [a,b]. Tada je f ogranicena nasegmentu [a,b], tj. postoji broj M > 0 takav da je |f (x)| < M za svakox ∈ [a,b]. Pored toga, postoje tacke c,d ∈ [a,b] u kojima funkcija fdostiže svoju najvecu i najmanju vrednost na segmentu [a,b].
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Problem odredivanja tangente
Koeficijent pravca secice grafika funkcije f u tackama saapscisama x i x + h iznosi k = f (x+h)−f (x)
(x+h)−x . Kako odreditikoeficijent pravca tangente?
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Pojam izvoda funkcije
Definicija
Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini tacke x0. Ako postoji(konacna) granicna vrednost
limh→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
onda kažemo da je f diferencijabilna u tacki x0, a taj limesnazivamo izvodom funkcije f u tacki x0. Oznacavamo ga sa:
f ′(x0) = limh→0
f (x0 + h)− f (x0)
h.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Odredimo, recimo, izvod funkcije f (x) =√
x u nekoj tacki x0 > 0.
f ′(x0) = limh→0
f (x0 + h)− f (x0)
h= lim
h→0
√x0 + h −
√x0
h=
= limh→0
(x0 + h)− x0
h(√
x0 + h +√
x0)= lim
h→0
1√x0 + h +
√x0
=1
2√
x0.
Definicija
Neka je funkcija f diferencijabilna u svakoj tacki svog domena E.Tada funkciju x 7→ f ′(x) nazivamo izvod funkcije f i obeležavamo saf ′,Df ili df
dx .
Recimo, izvod funkcije f (x) =√
x , posmatrane na domenu(0,+∞) je funkcija f ′(x) = 1
2√
X.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Odredimo, recimo, izvod funkcije f (x) =√
x u nekoj tacki x0 > 0.
f ′(x0) = limh→0
f (x0 + h)− f (x0)
h= lim
h→0
√x0 + h −
√x0
h=
= limh→0
(x0 + h)− x0
h(√
x0 + h +√
x0)= lim
h→0
1√x0 + h +
√x0
=1
2√
x0.
Definicija
Neka je funkcija f diferencijabilna u svakoj tacki svog domena E.Tada funkciju x 7→ f ′(x) nazivamo izvod funkcije f i obeležavamo saf ′,Df ili df
dx .
Recimo, izvod funkcije f (x) =√
x , posmatrane na domenu(0,+∞) je funkcija f ′(x) = 1
2√
X.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Odredimo, recimo, izvod funkcije f (x) =√
x u nekoj tacki x0 > 0.
f ′(x0) = limh→0
f (x0 + h)− f (x0)
h= lim
h→0
√x0 + h −
√x0
h=
= limh→0
(x0 + h)− x0
h(√
x0 + h +√
x0)= lim
h→0
1√x0 + h +
√x0
=1
2√
x0.
Definicija
Neka je funkcija f diferencijabilna u svakoj tacki svog domena E.Tada funkciju x 7→ f ′(x) nazivamo izvod funkcije f i obeležavamo saf ′,Df ili df
dx .
Recimo, izvod funkcije f (x) =√
x , posmatrane na domenu(0,+∞) je funkcija f ′(x) = 1
2√
X.
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Pravila diferenciranja
Teorema
Neka su funkcije f i g diferencijabilne u tacki x. Tada su i funkcije f ± g, f · g if/g diferencijabilne u x (poslednja pod uslovom g(x) 6= 0) i važi:1o (f ± g)′(x) = f ′(x)± g′(x) 2o (f · g)′(x) = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x)
3o“
fg
”′(x) = f ′(x)g(x)−f (x)g′(x)
(g(x))2 .
Teorema
Neka je funkcija f diferencijabilna u tacki x, a funkcija g diferencijabilna utacki y = f (x). Tada je i funkcija g ◦ f diferencijabilna u x i važi(g ◦ f )′(x) = g′(y)f ′(x) = g′(f (x))f ′(x).
Teorema
Neka je f diferencijabilna u tacki x0 i neka je f ′(x0) 6= 0. Ako postoji f−1 i akoje neprekidna u tacki y0 = f (x0), tada je ona diferencijabilna u tacki y0 i važi(f−1)′(y0) = 1
f ′(x0).
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Pravila diferenciranja
Teorema
Neka su funkcije f i g diferencijabilne u tacki x. Tada su i funkcije f ± g, f · g if/g diferencijabilne u x (poslednja pod uslovom g(x) 6= 0) i važi:1o (f ± g)′(x) = f ′(x)± g′(x) 2o (f · g)′(x) = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x)
3o“
fg
”′(x) = f ′(x)g(x)−f (x)g′(x)
(g(x))2 .
Teorema
Neka je funkcija f diferencijabilna u tacki x, a funkcija g diferencijabilna utacki y = f (x). Tada je i funkcija g ◦ f diferencijabilna u x i važi(g ◦ f )′(x) = g′(y)f ′(x) = g′(f (x))f ′(x).
Teorema
Neka je f diferencijabilna u tacki x0 i neka je f ′(x0) 6= 0. Ako postoji f−1 i akoje neprekidna u tacki y0 = f (x0), tada je ona diferencijabilna u tacki y0 i važi(f−1)′(y0) = 1
f ′(x0).
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Pravila diferenciranja
Teorema
Neka su funkcije f i g diferencijabilne u tacki x. Tada su i funkcije f ± g, f · g if/g diferencijabilne u x (poslednja pod uslovom g(x) 6= 0) i važi:1o (f ± g)′(x) = f ′(x)± g′(x) 2o (f · g)′(x) = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x)
3o“
fg
”′(x) = f ′(x)g(x)−f (x)g′(x)
(g(x))2 .
Teorema
Neka je funkcija f diferencijabilna u tacki x, a funkcija g diferencijabilna utacki y = f (x). Tada je i funkcija g ◦ f diferencijabilna u x i važi(g ◦ f )′(x) = g′(y)f ′(x) = g′(f (x))f ′(x).
Teorema
Neka je f diferencijabilna u tacki x0 i neka je f ′(x0) 6= 0. Ako postoji f−1 i akoje neprekidna u tacki y0 = f (x0), tada je ona diferencijabilna u tacki y0 i važi(f−1)′(y0) = 1
f ′(x0).
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu
UvodNizovi
Funkcije
Osnovni pojmoviGranicna vrednost funkcijeNeprekidnost funkcijeIzvod funkcije
Tablica izvoda elementarnih funkcija
Marko -Dikic Uvod u matematicku analizu