Prof. Maria de los Angeles

1. Transformaciones IsomtricasLa palabra isometra, significa igual medida, por lo tanto, en una transformacin isomtrica: 1) No se altera la forma ni el tamao de la figura (figuras congruentes).2) Slo cambia la posicin (orientacin o sentido de sta).

Tipos de Simetras:Se puede considerar una simetra como aquel movimiento que aplicado a una figura geomtrica, produce el efecto de un espejo (refleja la figura).Simetra Axial: Reflexin respecto de un eje.Eje de Simetra 2. Tipos de Transformaciones Isomtricas

En una simetra axial:Cada punto y su imagen o simtrico equidistan del eje de simetra.El trazo que une un punto con su simtrico es perpendicular al eje de simetra.AA

AAEje de Simetra: X=1MAM = MALa Simetra axial corresponde a una transformacin geomtrica que hace corresponder a cada punto A del plano, otro A, tal que la recta que los une, es perpendicular a una recta fija llamada Eje de Simetra.

Simetra Central:OO : centro de simetraAAAO = OA Reflexin respecto de un punto.

OLa Simetra central corresponde a una transformacin isomtrica de modo que el simtrico de un punto A, con respecto a un punto O, es A`, donde OA = OA` y A`pertenece a la recta AO.Ejemplo:AABBCCOA = OAOC = OCOB = OB

El centro de rotacin es el punto medio del trazo que une un punto con su simtrico. OBS: Una simetra central equivale a una rotacin en torno al centro de simetra en un ngulo de 180.OAAEn una simetra central:

Resumiendo, las Simetras en un sistema de ejes coordenados:En torno al eje XEl simtrico de P(a,b) es P(a,-b)En torno al eje YEl simtrico deP(a,b) es P(-a,b)En torno al origenEl simtrico deP(a,b) es P(-a,-b)PPPPPP

Una traslacin en el plano, corresponde a una aplicacin T(a, b) que transforma un punto P(x,y), en otro P(x + a, y + b ).P(x, y)T(a, b)P( x + a, y + b )Ejemplo 1:P(2, 1)T(3, -5)P(2 + 3, 1 + -5)P(5, -4)

P(2, 1)T(3, -5)P(5, -4)PPLa aplicacin T(a, b) se denomina VECTOR TRASLACIN

Ejemplo 2:El tringulo PQR, de vrtices P(1,2), Q(3,1) y R(4,3) se traslada al aplicar el vector traslacin T(-4,2), y las coordenadas de sus nuevos vrtices son: P, Q y R.P(1,2)T(-4,2)P(-3,4)Q(3,1)Q(-1,3)R(4,3)R(0,5)

Grficamente, el tringulo se traslada 4 unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba. P(1,2)P(-3,4)Q(3,1)Q(-1,3)R(4,3)R(0,5)

En una traslacin:Al deslizar la figura todos los puntos describen lneas rectas paralelas entre s.

En una traslacin se distinguen tres elementos:Sentido (derecha, izquierda, arriba, abajo).Magnitud del desplazamiento (distancia entre la posicin inicial y final de cualquier punto)Direccin (horizontal, vertical u oblicua).

Traslaciones en un sistema de ejes coordenadosEn este caso se debe sealar las coordenadas del vector de traslacin.

Estas son un par ordenado de nmeros (x,y), donde x representa el desplazamiento horizontal e y representa el desplazamiento vertical.

A(4,6)A (2,3)Traslacin de A(4,6) a travs del vector v(-2,-3)Traslacin de B(-5,2) a travs del vector v(4,4)B(-5,2)B(-1,6)Traslaciones de puntos en el sistema cartesiano.Traslacin de C(-4,-2)a travs del vector v(7,1)C(-4,-2)C(3,-1)

Hoja1

Hoja2

Hoja3

En la abscisa:Signo positivo: desplazamiento hacia la derecha.Signo negativo: desplazamiento hacia la izquierda.En la ordenada:Signo positivo: desplazamiento hacia arriba.Signo negativo: desplazamiento hacia abajo.

Corresponde a un movimiento circular con respecto a un centro de rotacin y un ngulo. La rotacin es positiva si es en sentido contrario a los punteros del reloj. 00: centro de rotacinUna rotacin es el movimiento que se efecta al girar una figura en torno a un punto. Este movimiento mantiene la forma y el tamao de la figura.

En una rotacin se identifican tres elementos:El punto de rotacin (centro de rotacin), punto en torno al cual se efecta la rotacin.La magnitud de rotacin, que corresponde al ngulo, ste est determinado por un punto cualquiera de la figura, el centro de rotacin (vrtice del ngulo) y el punto correspondiente de la figura obtenida despus de la rotacin.El sentido de giro, positivo (antihorario), negativo (horario)

Rotacin en el plano cartesiano:Si el punto A (x,y) gira con respecto al origen en 90, 180, 270 en 360; se transforma en otro punto, cuyas coordenadas se indican en la siguiente tabla:(-y,x)(-x,-y)(y,-x)(x,y)Ejemplo 1:(8,5)(-5,8)(-8,-5)(5,-8)En la rotacin negativa, 90 equivale a 270.

Rotacin en el plano cartesiano:Si el punto A (x,y) gira con respecto a un punto P(h,k) en 90, 180, 270 en 360; se transforma en otro punto, cuyas coordenadas se indican en la siguiente tabla:(h-y+k,x-h+k)(2h-x,2k-y) (h+y-k,k-x+h)(x,y)Ejemplo 1: P(2,3)(13,6)(-1,14)(-9,0)(5,-8)En la rotacin negativa, 90 equivale a 270.

AEjemplo 2:Si el punto A (2,3) gira con respecto al origen en 90, se transforma en el punto A(-3,2).A

Importante:Toda transformacin isomtrica, mantiene la forma y tamao de una figura geomtrica, por lo tanto el permetro y el rea no sufren variacin.

3. TeselacionesUna teselacin es una regularidad o patrn de figuras que cubre completamente una superficie plana, de manera que no queden espacios y no se superpongan las figuras. Ejemplos:M.C. Escher

Teselacin del plano por polgonos regulares Los tres polgonos regulares que recubren el plano son:Tringulo equilteroCuadradoHexgono regular Slo estas tres figuras teselan regularmente el plano.

Las teselaciones se crean usando Transformaciones isomtricas sobre una figura inicial.Simetra+ Traslacin